GUÍADEMATEMÁTICANº15

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LICEOBICENTENARIOIGNACIOCARRERAPINTODEPARTAMENTODEMATEMATICA

PLANDEARENDIZAJEREMOTO–TERCEROMEDIOUNIDADI:LATOMADEDECISIONESENSITUACIONESDEINCERTEZA

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Objetivo:Aplicarelteoremadelaprobabilidadtotalenlatomadedecisionesensituacionesdeincerteza.

.ProbabilidadTotal

Recordemosque:

• El nos permite calcular la probabilidad de un suceso a partir deteorema de la probabilidad totalprobabilidadescondicionadas,sumandodichasprobabilidades.

• Sea𝑨𝟏,𝑨𝟐,… ,𝑨 un sistema completo de sucesos (una partición del espacio muestral) tal que la𝒏

probabilidaddecadaunodeellosesdistintadecero,ysea unsucesocualquieraparaelqueseconocenBlasprobabilidadesdeP(B/𝑨𝒊 ,entonceslaprobabilidaddelsucesoBvienedadaporlasiguienteexpresión:)

𝑃(𝐵)=𝑃(𝐴!)⋅𝑃(𝐵)+𝑃(𝐴!)⋅𝑃(𝐵)+⋯+𝑃(𝐴!)⋅𝑃(𝐵/𝐴!)

ü Ejemplo1:

SegúnlarevistaAllmovil,el63%delosusuariosdemóvilenEspañatieneun“Smartphone”.Entrelospropietariosdeestetipode teléfono, el 77% lo emplea para su conexión habitual a internet. Sin embargo, entre los propietarios de otros tipos deteléfonomóvilsoloel8%loempleaparalaconexiónhabitualainternet.

Calculalaprobabilidaddeconectarsehabitualmenteainternetatravésdelteléfonomóvil.a.SOLUCIÓN:

Definiremoslossucesos:S :Usuariopropietariodeunteléfonomóvil“Smartphone”.O :Usuariopropietariodeotrotipodeteléfonomóvil.I :Conexiónhabitualainternet.NoI :ConexiónhabitualNOainternet”.Organizaremoslainformaciónenundiagramadeárbol:

SeaA:conectarsehabitualmenteainternetatravésdelteléfonomóvil

EntonceslaprobabilidaddeAes: P(A)=0,63·0,77+0,37·0,08 P(A)=0,4851+0,0296 P(A)=0,5147Porlotanto,laprobabilidaddeconectarsehabitualmenteainternetatravésdelteléfonomóvilesde0,5147ó51,47%.

Consultas:claudiapino@licap.clanamariaescandor@licap.clfernandasepulveda@licap.cl

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ü Ejemplo2:

CiertaenfermedadpuedeserproducidaportrestiposdevirusA,B,C.EnunlaboratoriosetienentrestubosconelvirusA,dosconelBycincoconelC.LaprobabilidaddequeelvirusAproduzcalaenfermedades1/3,quelaproduzcaBes2/3yquelaproduzcaCes1/7.

Siseinoculaalgúnvirusaunanimal,¿cuáleslaprobabilidaddequeéstecontraigalaenfermedad?a.SOLUCIÓN:

Definiremoslossucesos:A:EnfermedadproducidaporelvirusA.B:EnfermedadproducidaporelvirusB.C:EnfermedadproducidaporelvirusC.E:Contraerlaenfermedad.E:Nocontraerlaenfermedad.Organizaremoslainformaciónenundiagramadeárbol:

EntonceslaprobabilidaddeE:elanimalcontraelaenfermedades: P(B)= !

!"· !!+ !

!"· !!+ !

!"· !!

P(B)= !

!"· !

! + !

!" · !!+ !

!" · !!

P(B)= !

!"+ !

!"+ !

!" → !"!!"!!"

!"#

P(B)= !"

!"# → !"

!"#≈ 0,3048

P(B) ≈30,48%Porlotanto,laprobabilidaddequeelanimalcontraigalaenfermedadesde0,3048ó30,48%aproximadamente.

ü Ejemplo3:

Unbancohaestimado,porexperienciasanteriores,quelaprobabilidaddequeunapersonafalleenlospagosdeunpréstamopersonalesde0,3.Tambiénhaestimadoqueel40%delospréstamosnopagadosatiemposehanhechoparafinanciarviajesdevacacionesyel60%delospréstamospagadosatiemposehanhechoparafinanciarviajesdevacaciones.Sesolicita:

Probabilidaddequeunpréstamosehagaparafinanciarviajedevacaciones.a.SOLUCIÓN:

Definiremoslossucesos:A:Préstamopersonalpagadoatiempo.A:PréstamopersonalNOpagadoatiempo(lapersonafallaenelpago).B:Financiarviajedevacaciones.B:Préstamodestinadoafinanciar“otros”.Organizaremoslainformaciónenundiagramadeárbol:

EntonceslaprobabilidaddeB:elpréstamosehagaparafinanciarviajedevacacioneses:

P(B)=0,7·0,6+0,3·0,4 P(B)=0,42+0,12 P(B)=0,54

Porlotanto,laprobabilidaddepréstamosehagaparafinanciarviajedevacacionesesde0,54ó54%.

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Probabilidaddequeelpréstamosepagueatiempoysehagaparapropósitosdistintosaviajesdevacaciones.b.

SOLUCIÓN:

SeaC:elpréstamosepagaatiempoysehizoparapropósitosdistintosafinanciarviajesdevacaciones.EntonceslaprobabilidaddeCes:P(C)=0,7·0,4P(C)=0,28 Porlotanto,laprobabilidaddequeelpréstamosepagueatiempoysehagapara propósitosdistintosafinanciarviajesdevacacionesesde0,28ó28%.

ü Ejemplo4:

Un banco revisa su política de tarjetas de crédito, con el objetivo de cancelar algunas de ellas. En el pasado, el 5% de losclientes con tarjeta ha pasado a sermoroso, esto es que ha dejado de pagar sin que el banco pudiera recuperar la deuda.Además,elbancohacomprobadoquelaprobabilidaddequeunclientenormalseatraseenunpagoesde2%.Laprobabilidaddequeunclientemorososeatraseenunpagoes1.

¿Cuáleslaprobabilidaddequeelclienteseatraseenunpagomensual?a.SOLUCIÓN:

Definiremoslossucesos:M:Elclienteesmoroso.M:ElclienteNOesmoroso.A:Elclienteseatrasaenunpagomensual.A:ElclienteNOseatrasaenunpagomensual.Organizaremoslainformaciónenundiagramadeárbol:EntonceslaprobabilidaddeA:elclienteseatrasaenunpagomensuales: P(A)=0,05·1+0,95·0,2 P(A)=0,05+0,19 P(A)=0,24

Porlotanto,laprobabilidaddequeelclienteseatraseenunpagomensualesde0,24ó24%.

Al banco le gustaría cancelar la línea de crédito de un cliente si la probabilidad de que éste se atrase en un pagob.mensualesmayorde0,25.Deacuerdoconlosresultadosanteriores,¿debecancelarunalíneasiunclienteseatrasaenunpagomensual?.¿Porqué?

SOLUCIÓN:

Laprobabilidaddequeunclienteseatraseenunpagomensualesde0,24,queesmenorquelaprobabilidad0,25exigidaporelbanco.Enconsecuencia,nodeberíadecancelarselacuentadeunclientequeseatraseenunpago.

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v AHORATÚ!!

El volumen de producción de dos plantas de una empresa es de 8.000 y 10.000 unidades de producto por día. Elporcentajedepiezasdefectuosasesdel0,5%enlaprimerafábricaydel0,8%enlasegunda.

Calcularlaprobabilidaddequealelegirunproductoalazarseadefectuoso.a.

Enunaasignaturauniversitariadeprimerañoasistena laclase100de los150alumnosmatriculados.Sesabequeapruebanel90%delosalumnosqueasistenaclaseyel30%delosquenoasisten.Seeligeunalumnoalazar.

Calcularlaprobabilidaddequehayaaprobado.a. Calcularlaprobabilidaddequehayaasistidoaclaseyhayaaprobado.b.

Unafábricadeenlatadosproduce5000envasesdiarios.LamáquinaAproduce3000deestosenvases,delosqueel0,02sondefectuososylamáquinaBproducelos2000restantesdelosquesesabequeel0,04sondefectuosos.

Determinarlaprobabilidaddequeunenvaseelegidoalazarseadefectuoso.a. DeterminarlaprobabilidaddequeunenvaseelegidoalazarseadelamáquinaAyestéenbuenestado.b.

En la sala de pediatría de unhospital, el 60%de los pacientes sonniñas.De los niños el 35% sonmenores de 24meses.El20%delasniñastienenmenosde24meses.Unpediatraqueingresaalasalaseleccionauninfantealazar.

Determineelvalordelaprobabilidaddequeseamenorde24meses.a. Determinelaprobabilidadqueseaunaniñaymenorde24meses.b.

Unmédicocirujanoseespecializaencirugíasestéticas.Entresuspacientes,el20%serealizancorreccionesfaciales,un35%implantesmamariosyelrestanteenotrascirugíascorrectivas.Sesabeademás,quesondegeneromasculinoel25%delosqueserealizancorreccionesfaciales,15%implantesmamariosy40%otrascirugíascorrectivas.Siseseleccionaunpacientealazar,determine:

Laprobabilidaddequeseadegéneromasculinoa. Laprobabilidadqueseadegéneromasculinoyquehayarealizadounacirugíadecorreccionesfaciales.b.

Sesabequeel65%delosaccidentesdetráficoqueseproducendurantelanochedelossábadossedebenalaingestaexcesiva de alcohol, el 25% se deben a la imprudencia del conductor (sobrio) y el resto a otras causas (fallomecánico... etc.). En estos accidentes, el resultado es nefasto el 30% de las veces en el primer caso, el 20% en elsegundoyel5%eneltercero.

Calcularlaprobabilidaddequeunodeestosaccidentestengaresultadonefasto.a.

v TICKETDESALIDA–MATEMÁTICA3ºMEDIO–PROBABILIDADTOTAL

Nombre: Curso: Fecha:Instrucciones:

Ø Unaveztrabajadosloscontenidosdeestaguía,respondelasiguientepreguntaencuestionarioClassroom.Ø Sitienesdudas,consultaalasprofesorasencargadas.Ø NoseaceptarántareasenviadasaloscorreosoWhatsApp.Ø Aquelloscasosjustificadospreviamente,enviarfotografíaconlaactividaddesarrolladaalcorreofernandasepulveda@licap.cl

Unmédicohaobservadoqueel0,4desuspacientesfumaydeestos,el0,75sonhombres.Entrelosquenofuman,el0,61.-

sonmujeres.¿Cuáleslaprobabilidaddequeunpacienteseamujer?Ayuda:Representalasituaciónenundiagramadeárbol.

A. 0,3B. 0,4C. 0,46D. 0,5E. 0,54