grupos kleinianos.geometria & dinamica

Grupos Kleinianos: geometrıa y Dinamica

Jose Seade

Escuela de Matematicas de America Latina y el CaribeCuernavaca, Mexico. Julio de 2006

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2 1 GRUPOS DE REFLEXIONES E INVERSIONES

TEMARIO:Seccion 1: Grupos de Reflexiones e Inversiones.Seccion 2: Inversiones y Transformaciones de Mobius.Seccion 3: Grupos Kleinianos y Fuchsianos.Seccion 4: Grupos Kleinianos y Geometrıa hiperbolica.

1 Grupos de Reflexiones e Inversiones

Empecemos por estudiar algunas de las transformaciones mas basicas de la geometrıa. Porsimplicidad trabajaremos siempre en dimension 2, excepto al final de este curso, dondeincursionaremos en dimensiones superiores.

Recordemos primero que una translacion en R2 es la transformacion que a cadapunto (x, y) del plano le asocia el punto (x + xo, y + yo) donde xo y yo son fijos. Es decir,si identificamos puntos del plano con vectores, entonces al vector v = (x, y) le asociamosel vector v + uo, donde uo = (xo, yo).

Similarmente, una rotacion significa que fijamos un punto en el plano, y desde ahıgiramos todo el plano un cierto angulo θ. Por ejemplo, la rotacion de (1, 0) por unangulo θ en torno al origen, lo transforma en el punto con coordenadas (cos θ, sen θ),y al punto (0, 1) lo lleva en (−sen θ, cos θ). En consecuencia, ya que las rotaciones sontransformaciones lineales, tenemos

Roθ(x, y) = x(cos θ, sen θ) + y(−sen θ, cos θ) = (x cos θ − y sen θ, x sen θ + y cos θ).

Esta transformacion es muy simple de describir usando numeros complejos: z 7→ eiθ z.Consideremos ahora una recta L en el plano euclidiano R2. La reflexion en el plano

con respecto a esta recta es la funcion que a cada punto (x, y) le asocia el unico punto(x′, y′) del plano, tal que el segmento (x, y), (x′, y′) que une a estos dos puntos intersectala recta L ortogonalmente en un punto P que es el punto medio de este segmento.

Dejamos como ejercicio al lector encontrar la expresion anaıtica de esta transformacion.Geometricamente, al hacer una reflexion estamos “volteando” al plano usando la recta

como eje, y lo que obtenemos de cada lado de L es la imagen que tenıamos antes del otrolado, usando a L como si fuera un espejo.

Dejamos como ejercicio al lector verificar las siguientes afirmaciones:

Proposicion 1.1 La composicion de dos rotaciones alrededor del mismo punto es unarotacion. De hecho, las rotaciones (con centro el 0 ∈ R2) forman un grupo, llamado elgrupo ortogonal especial SO(2), que se puede identificar con el cırculo unitario S1 = z ∈C | |z| = 1.

Proposicion 1.2 La composicion de dos reflexiones en rectas que se intersectan con unangulo θ en un punto P es una rotacion con centro en P y angulo 2 θ. Las reflexiones en

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X

Y

p

pp L

f

2fa

bx

y

Figure 1: El punto PP es la imagen de P bajo la reflexion en L.

rectas que pasan por el orıgen generan un grupo, llamado el grupo ortogonal O(2), quetiene a SO(2) como subgrupo de ındice 2. De hecho SO(2) consiste de todos los elementosde O(2) que se pueden expresar por un numero par de reflexiones

Observamos que las rotaciones preservan la orientacion del plano. Intuitivamenteesto se puede explicar ası: si pintamos el lado de arriba del plano de azul y el lado de abajode rojo, al aplicar una rotacion el lado azul seguira arriba. Mientras que al aplicar al planouna reflexion, los lados de este se intercambiaran y el rojo pasara a estar arriba; es decirlas reflexiones invierten la orientacion. Por supuesto que al aplicar una segundareflexion, volvemos a intercambiar los lados del plano y por tanto la composicion de dosreflexiones (que es ya una rotacion si las rectas se intersectan) preserva la orientacion.

Proposicion 1.3 La composicion de dos reflexiones en rectas paralelas es una traslacionpor un vector u cuya direccion es ortogonal a las rectas en cuestion (el sentido dependedel orden en que hacemos las reflexiones) y su magnitud es el doble de la distancia entrelas rectas.

Consideremos ahora dos rectas que se intersectan de manera tal que el angulo t entreellas es de la forma θ = π

ppara algun entero p. Por simplicidad, en estos casos diremos

que el angulo t es racional. Por la afirmacion anterior, al hacer la reflexion en una deellas y luego en la otra, obtenemos rotacion por un angulo 2 π

p, y al repetir este proceso

p veces regresamos a la identidad. Por tanto, si denotamos por A al sector del planodeterminado por estas dos rectas y por RA su imagen bajo una de estas reflexiones (no

importa cual), entonces p copias del segmento doble A = A ∪ RA llenan el plano, y las

distintas copias de A son todas ajenas, excepto que se unen en sus fronteras.

Dejamos al lector descubrir que sucede si el angulo entre las rectas es irracional.Con este bagaje, podemos ahora ya empezar a jugar y divertirnos.


Consideremos ahora tres rectas no concurrentes, L1, L2 y L3, tales que los angulosentre ellas son todos racionales, y denotemos por R1, R2 y R3 las reflexiones correspon-dientes. Observamos que estas rectas determinan un triangulo T con angulos de la formaπ/p, π/q, π/r para algunos p, q, r ≥ 2 que satisfacen 1

p+ 1

q+ 1

r= 1. La imagen R1(T )

bajo la reflexion R1 es un trıangulo sımetrico a T y con un lado en comun con este.Similarmente, las transformaciones R2 y R3 llevan a T en triangulos semejantes a T .Podemos ahora, por ejemplo, aplicar primero R1 y luego R2, y despues R3, seguida deR2, y nuevamente R1, etc. Es decir, nos fijamos en el grupo generado por estas tresreflexiones, que denotamos Σ∗

p,q,r.El grupo Σ∗ = Σ∗

p,q,r se conoce como un grupo triangular, y haciendo abuso denotacion diremos que Σ∗ es un grupo de reflexiones (la expresion correcta es que es ungrupo generado por reflexiones).

Notese que las imagenes de T bajo las distintas transformaciones en Σ∗ cubren todoel plano y son ajenas dos a dos, excepto porque cada uno tiene una cara en comun concada uno de sus vecinos. Alrededor de cada vertice tenemos exactamente 2π/p, 2π/q y2π/r triangulos. Por esto decimos que el triangulo T es un dominio fundamental parala accion del grupo Σ∗ en el plano, y las distintas imagenes de T determinan un mosaicodel plano; es decir que cubrimos al plano con copias del triangulo T .

Podemos ahora hacer lo mismo con, por ejemplo, cuatro rectas que formen un cuadradoD. Obtenemos entonces un grupo de transformaciones del plano, con cuatro generadores.Las distintas imagenes de D cubren todo el plano y este cuadrado es un dominio funda-mental para la accion en el plano del grupo correspondiente.

Nos preguntamos que sucede si ahora consideramos las cinco rectas que forman loslados de un pentagono P ?. El problema es que, si el pentagono es regular, sus angulosinternos seran de la forma 3π/5 y por tanto al fijarnos en las imagenes de P bajo el grupode reflexiones correspondiente, estas se traslaparan unas con otras, y no obtenemos unmosaico del plano. De hecho se sabe que los unicos subgrupos de O(2) que dan orıgen amosaicos del plano son, salvo isomorfismo, los grupos triangulares Σ∗

(3,3,3), Σ∗

(2,3,5) , Σ∗

(2,4,4),y el grupo cuadrangular Σ∗

(2,2,2,2).Por tanto, si queremos segur jugando de esta manera, y obtener cosas mas intere-

santes, tenemos que hacer algo, y para esto ampliaremos el tipo de transformaciones quepermitiremos: consideraremos las inversiones.

Empecemos con la inversion mas sencilla de todos: la funcion ι que a cada x ∈ R leasocia 1/x. Notamos que para que esta funcion este bien definida tenemos que agregar aR el valor ∞, y definimos ι(0) = ∞ y ι(∞) = 0. En otras palabras calI es una funcion de

la recta real extendida R en sı misma, que tiene los puntos ±1 como puntos fijos, mandael interiordel intervalo [0, 1] en el exterior del mismo, y su exterior en el interior.

An’alogamente, dado cualquier intervalo [a−t, a+t] en R podemos definir la inversion

con respecto a este intervalo, que sera una funcion de R en si misma, con los extremoscomo puntos fijos; el puntoa es enviado a ∞ y ∞ va a a. Es conveniente pensar a estacomo la inversion en el intervalo con centro en a y radio t. Dejamos como ejercicio al

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lector probar que esta funcion esta dada por:

ι(x) =t2

x − a+ a .

Es decir que dado el intervalo I = [a − t, a + t], el punto inverso de x 6= a,∞ conrespecto a I es el unico punto x′ de R2 tal

d(x, a) · d(x′, a) = t2 ,

donde d( , a) es la distancia a a. De esta manera podemos generalizar las inversiones adimensiones altas:

Definicion 1.4 La inversion en el plano R2 con respecto al cırculo con centro en a ∈ R2

y radio r es la funcion del plano extendido en sı mismo,

ι : R2 → R

2

que a cada punto z = (x, y) 6= a,∞ le asocia el punto z ′ = (x′, y′) que esta en la linearecta que pasa por z y a, y satisface:

d(z, a) · d(z′, a) = r2 ,

donde d( , a) es la distancia a a. Definimos ι(a) = ∞ y ι(∞) = a.

Es decir que en R2 ∪ ∞, la inversion ι lo que hace es enviar cada rayo que surge del

punto a en sı mismo, siguiendo la receta anterior en R. Si C ⊂ R2 es el cırculo de radior > 0 con centro en el origen, la inversion correspondiente esta definida por:

ιr(x, y) =r2

‖(x, y)‖2(x, y) .

Dejamos como ejercicio al lector verificar que, en general, la inversion con respecto a laesfera S(a,r), con centro en a = (a1, a2) ∈ R2 y radio r > 0, esta dada por:

ιa,r(x, y) = (a1, a2) +r2

‖(x, y) − (a1, a2)‖2

(x − a1, y − a2

),

y definimos ιa,r(a) = ∞, y ιa,r(∞) = a. De hecho, estas formulas son validas para describirlas inversiones en todas las dimensiones (considerando el numero apropiado de variables).

Notamos que las inversiones estan realmente definidas en la esfera de Riemann S2, noen el plano R2.

Como en el caso de las reflexiones, tenemos que si (x′, y′) es el inverso de (x, y) conrespecto al cırculo C, entonces el segmento (x, y), (x′, y′) interseca C ortogonalmente enun punto P , satisfaciendo la identidad 1.4.


Tambien notamos que cuando el radio r > 0 tiende a ∞, el cırculo tiende a una linearecta y la inversion correspondiente tiende a una reflexion. Por tanto, podemos considerara las reflexiones como inversiones en cırculos de radio infinito.

El siguiente resultado enuncia dos propiedades importantes de las inversiones Aquı,al hablar de “cırculos” en el plano R2 extendido incluımos las lineas rectas. Esto sejustifica por el hecho de que si identificamos R2 = R2 ∪ ∞ con la esfera S2 a traves dela proyecccon estereografica, con ∞ correspondiendo al polo norte N , entonces las rectasen R2 corresponden a cırculos de radio maximo en S2 que pasan por N . Similarmente, alhablar de inversiones incluımos tambien las reflexiones.

Proposicion 1.5 Toda inversion en R2 es una transformacion conforme que lleva cırculos

en cırculos.

Recordamos que por definicion, conforme significa que sı dos curvas C1, C2 enR2 se intersecan con un angulo θ, entonces sus imagenes ι(C1), ι(C2) se intersecan con elmismo angulo.

La demostracion de esta proposicion es sencilla y la dejamos su como ejercicio al lector.Hay otro hecho notable de las inversiones, que usaremos frecuentemente: consideremos

dos cırculos C1 y C2 en S2 que se intersecan ortogonalmente en los puntos P1 y P2.Por simplicidad asumimos que estos cırculos no pasan por ∞ y los consideramos comocontenidos en el plano C, via la proyeccion estereografica.

CCp

p

11 2

2

Figure 2: El punto PP es la imagen de P bajo la reflexion en L.

Si denotamos por ι1 la inversion en el primer cırculo, entonces esta funcion debe dellevar a C2 en otro cırculo en S2, que pasa por los puntos P1 y P2; queremos decir cuales el cırculo imagen ι1(C2). Observamos ahora que un cırculo C en C queda determinadopor su centro zo y un punto P por el que pase, y tambien notamos que la recta que une aP con el centro zo es ortogonal a C. Con esto podemos ya decir cual es el cırculo ι1(C2):necesariamente pasa por los puntos P1 y P2, pues estos estan en C1, que es el conjunto de

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puntos fijos de ι1. Sean L∞ y L′

∞las rectas tangentes a C1 en los puntos P1 y P2, sean

L∈ y L′

∈las rectas tangentes a C2 en esos mismos puntos, y sean z1 y z2 los centros de

C1 y C2, respectivamente. Por hipotesis C2 interseca a C1 ortogonalmente. Esto implicael siguiente resultado:

Proposicion 1.6 Dos cırculos C1 y C2 en S2 se intersecan ortogonalmente en los puntos

P1 y P2 si y solamente si el centro z2 de C2 es la interseccion de las rectas L∞ y L′

∞,

tangentes a C1 en los puntos P1 y P2, y el centro z1 de C1 es la interseccion de las rectasL∈ y L′

∈, tangentes a C2 en esos mismos puntos.

Ahora, como los cırculos son ortogonales, la inversion en C1, ι1, manda a L∈ y L′

∈en

sı mismas. Y como las rectas que unen al centro z ′

2 de ι1(C2) con P1 y P2 son ortogonalesa L∈ y L′

∈, se tiene que z′2 = z2, y hemos por tanto demostrado el siguiente resultado:

Teorema 1.7 Sean C1 y C2 dos cırculos en S2 y sea ι1 la inversion con respecto al cırculoC1. Entonces ι1(C2) = C2 si y solamente si C1 y C2 se intersecan ortogonalmente.

Una aclaracion importante es que este resultado no afirma que el cırculo C2 se quedefijo punto a punto, lo cual es falso; solo se afirma que C2 es un conjunto invariante bajola inversion ι1.

c

Figure 3: Un collar de cırculos, y la inversion en cada uno de ellos deja C invariante.

Con este bagaje, tenemos ahora una gran riqueza para construir “grupos de reflex-iones” (o mas bien de inversiones) en S2 ∼= R2. Por ejemplo:

Ejemplo 1.8 (Grupos triangulares)


Figure 4: El mosaico de un grupo triangular.

Consideremos el disco unitario D ⊂ C, con frontera ∂D = S1, y tres cırculos C1, C2

y C3, contenidos en C, ortogonales a ∂D y tales que determinan un triangulo T = Tp,q,r

en D, como se indica en la figura, cuyos angulos internos son π/p, π/q, π/r, para algunosenteros p, q, r > 1. Un teorema clasico de geometrıa (el teorema de Gauss-Bonnet) diceque necesariamente estos enteros tienen que satisfacer π/p + π/q + π/r < π. (El mismoteorema nos garantiza que dados tres enteros arbitrarios que satisfagan estas condiciones,podemos encontrar un triangulo en D como arriba.) Sean σi, i = 1, 2, 3, las inversionesen estos tres cırculos C1, C2 y C3. El teorema 1.7 implica que estas tres inversiones dejaninvariante al disco D, y por tanto podemos fijarnos en la dinamica restringida a D.

Analogamente al caso euclideano, tenemos que el triangulo las distintas copias deltriangulo cubren todo D y son ajenas dos a dos, exepto por los lados del triangulo, quees un dominio fundamental para este grupo de transformaciones. Es claro que la accionde Γ en D es propiamente discontinua, i.e., cada punto de z ∈ D tiene una vecindad Vz

tal Vz ∩ γ(Vz) = ∅ para todo γ ∈ Γ excepto, a lo mas, para un numero finito de elementosγ ∈ Γ.

Hasta aqu parece no haber nada esencialmente diferente al caso euclideano que estu-diamos antes. Sin embargo, si hay diferencias profundas, y unas de ellas estan indicadasen los siguientes ejemplos.

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Ejemplo 1.9 Seguimos considerando el disco unitario abierto D en R2. Sean p1, ..., pr

enteros ≥ 2 tales que

π/p1 + π/p2 + .... + π/pr < (r − 2) π .

Entonces el Teorema de Gauss-Bonnet implica que podemos encontrar en D un ”polıgono”T con r lados, que son todos pedazos de cırculos en R2, ortogonales a la frontera ∂D.Denotamos por ι1, ..., ιr las inversiones en los cırculos correspondientes a los lados de T .Observamos que cada una de estas transformaciones manda a D en sı mismo, asi quedenotamos por Γ el grupo de transformaciones de D generado por estas inversiones. Esfacil ver que tenemos un mosaico de D, que esta cubierto por copias del polıgono T , quees un dominio fundamental para la accion de Γ en D.

Es decir, en este caso tenemos grupos triangulares de inversiones, y tambien gruposcuadrangulares, pentagonales, etc. Tenemos ası infinidades de grupos de ”reflexiones” ac-tuando en D, y estos grupos tienen gran riqueza geometrica y dinamica, que estudiaremosmas adelante.

Ejercicio 1.10 Ahora escojemos un numero r > 2 y escojemos al azar r puntos a1, ..., ar

en la frontera de D, y suponemos que estan numerados en orden cıclico. Cada parejaai, ai+1 (donde estamos identificando r + j con j) determina un unico cırculo en R2 quepasa por esos dos puntos y es ortogonal a ∂D ∼= S1. Tenemos ası r cırculos en R

2, todosortogonales a ∂D y que tocan tangencialmente a sus dos cırculos vecinos, formando un”collar” como en la figura ??. La inversion ιi en cada uno de estos cırculos preserva D, ypor tanto estas r inversiones generan un grupo de trasnformaciones de D que tiene comodominio fundamental al polıgono T ⊂ D cuyos r − 1 lados son las intersecciones con Dde los cırculos. En la figura de abajo se ilustra el caso con r = 3.

2 Inversiones y Transformaciones de Mobius

Una transformacion de Mobius es una funcion de la forma

T (z) =az + b

cz + d,

donde a, b, c y d son numeros complejos y ad − bc 6= 0. Es claro que una funcion ası estabien definida para todo z ∈ C siempre que el denominador no sea 0. Por tanto, si c = 0,entonces T esta bien definida para todo z ∈ C. Si c 6= 0 y z = − d

c, entonces definimos

T (−d

c) = lim

z→−d

c

T (z) = ∞ .

10 2 INVERSIONES Y TRANSFORMACIONES DE MOBIUS

M

L

al del

bet gam

b

a

Figure 5: Un grupo cuadrangular “ideal”

Tambien definimos:T (∞) = lim

z→∞

T (z) =a

c.

De esta manera obtenemos una funcion continua de C en si mismo. Es facil ver que,dada T , la transformacion:

S(z) =dz − b

−cz + a,

tambien es una transformacion de Mobius y ademas:

1

ad − bcT S =

1

ad − bcS T = Id ,

la identidad. Esto significa que S es la inversa de T , lo cual implica que toda trans-formacion de Mobius es un homeomorfismo. Mas aun, T es claramente una funcionholomorfa fuera de los puntos −d/c, ∞, y es sencillo probar que T es de hecho una

funcion holomorfa en todo C. Un importante resultado de analisis complejo garantizaque la afirmacion recıproca es tambien cierta: todo biholomorfismo de C esta dado poruna transformacion de Mobius (vea [1]).

Es un ejercicio verificar que la composicion de dos transformaciones de Mobius es otratransformacion de Mobius, y por tanto estas forman un grupo, conocido como el grupode Mobius Mob(2, C).

Vale la pena observar que si admitimos funciones como las de Mobius pero tales quead − bc = 0, entonces la funcion es automaticamente constante y por tanto no muyinteresante.

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Notamos tambien que si en una transformacion de Mobius multiplicamos cada uno delos coeficientes por un escalar t 6= 0, la transformacion no cambia; sin embargo el productoad − bc se transforma en t2(ad − bc). Por tanto podemos escoger a los coeficientes de Tde manera tal que satisfagan ad − bc = 1, y esto haremos de aquı en adelante.

Denotemos por GL(2, C) el grupo formado por todas las matrices de 2 × 2 con coefi-cientes complejos y determinante 6= 0. Este grupo se conoce como el grupo general lineal.A una matriz ası, digamos,

A =

(a bc d

),

le podemos asociar la transformacion de Mobius T (z) = az+bcz+d

. Esta asociacion define unafuncion:

φ : GL(2, C) → Mob(2, C) .

Un calculo directo muestra que si tenemos dos matrices A, B en GL(2, C), entonces:

φ(A · B) = φ(A) φ(B) ,

es decir que multiplicar las matrices y despues fijarnos en la imagen del producto bajoφ es lo mismo que tomar las imagenes de A y B bajo φ y tomar la composicion de lastransformaciones de Mobius correspondientes. Esto implica que φ es un homomorfismo de

grupos. Ademas, es claro que si A es de la forma

(a 00 a

), entonces φ(A) es la identidad.

Por tanto tenemos un isomorfismo de grupos:

Mob(2, C) ∼= GL(2, C)/C∗ ,

donde C∗ denota a los numeros complejos distintos de 0, y estamos identificando a cada a ∈

C∗ con la matriz diagonal

(a 00 a

). En otras palabras, cada matriz en GL(2, C) determina

una transformacion de Mobius, y dos tales matrices definen la misma transformacion si ysolamente si difieren por multiplicacion por una constante.

Observese que si consideramso matrices en GL(2, C) con coeficientes reales, lo queobtenemos es una transformacion de Mobius con coeficientes reales y tenemos el siguienteteorema.

Teorema 2.1 El grupo de Mobius Mob(2, C) es isomorfo a PSL(2, C) ∼= GL(2, C)/C∗,el grupo lineal proyectivo, y el subgrupo Mob(2, R) de transformaciones de Mobius concoeficientes reales es isomorfo al grupo lineal proyectivo GL(2, R)/R∗. Es decir, tenemosisomorfismos de grupos:

Mob(2, C) ∼= GL(2, C)/C∗ ∼= SL(2, C)/ ± Id := PSL(2, C) ,

yMob(2, R) ∼= GL(2, R)/R

∗ ∼= SL(2, R)/ ± Id := PSL(2, R) .


Antes de continuar, veamos algunos ejemplos importantes de transformaciones deMobius.

Ejemplos 2.2 i) Una traslacion: T (z) = z + b , b 6= 0. En este caso a = c = 0 yd = 1.

ii) Una rotacion: T (z) = az , |a| = 1 . En este caso b = c = 0 y d = 1. Como almultiplicar dos numeros complejos, se suman los argumentos y se multiplican las normas,en este caso las normas no cambian, pues |a| = 1, y esta funcion es una rotacion por unangulo igual al argumento de a ∈ C.

iii) Una homotecia: T (z) = az , a ∈ R . En este caso a > 0, b = c = 0 y d = 1.Como a es real, al multiplicar z por a, el argumento de z no cambia y la norma de z semultiplica por a. Por tanto la funcion es una expansion uniforme del plano si a > 1, esdecir todos los vectores conservan su direccion y sentido, pero se amplifican por a, o unacontraccion si 0 < a < 1.

Notese que en general, la multiplicacion por un numero complejo a 6= 0, z 7→ az, esuna homotecia y una rotacion.

iv) Una inversion compleja: T (z) = 1z. Para describir esta transformacion recordemos

la inversion euclidiana ι, con centro en 0 y radio 1, definida por:

ι(x, y) =1

‖(x, y)‖2(x, y) =

1

|z|2z ,

si identificamos a (x, y) con el complejo z = x + iy. Recordamos tambien la funcionconjugacion en los numeros complejos, definida por x + iy 7→ x − iy, al que denotamospor z. Es decir, la conjugacion es la funcion j : C → C definida por j(z) = z = x − iysi z = x + iy. Lo que esta funcion hace es reflejar al plano C con respecto al eje real.Notamos que |z| = |z| y zz = |z|2.

Entonces, la transformacion de Mobius z 7→ 1/z es la conjugacion j, seguida de lainversion ι:

z 7→ z 7→ ι(z) =z

zz= T (z) .

Otro ejemplo importante esta dado por la transformacion

T (z) =z − i

−iz + 1, (2.3)

que lleva al semiplano superior H+ = z = (x, y) ∈ C | y > 0 , en el disco unitarioD = z ∈ C | |z| < 1 , y al eje real (union ∞) en el cırculo unitario, que es la frontera deD.

Teorema 2.4 Toda transformacion de Mobius es composicion de un numero par de in-versiones euclidianas.

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z = x+i y

z = x−i y

τ−τ

1/z

Figure 6: La inversion compleja z 7→ 1z.

Demostracion. Sea T (z) = az+bcz+d

una transformacion de Mobius. Entonces T se puedeexpresar como la siguiente composicion:

z 7→ z +d

c7→ c2 (z +

d

c) 7→

1

c2(z + dc)7→

bc − ad

c2 (z + dc)7→

a

c+

bc − ad

c2 (z + dc)

=az + b

cz + d.

La primera funcion arriba es una traslacion, seguida de la multiplicacion por c2, quees una homotecia y una rotacion. Despues tenemos una inversion compleja, seguida demultiplicacion por (bc− ad), y finalmente otra traslacion. Podemos entonces concluir quetoda transformacion de Mobius es composicion de traslaciones, rotaciones, homoteciase inversiones complejas. Demostraremos ahora que cada una de estas operaciones escomposicion de un numero par de inversiones euclidianas. En efecto:

Una traslacion T (z) = z + b, b ∈ C∗, es la composicion de dos reflexiones en rectasortogonales a la recta L ⊂ C determinada por b, situadas a una distancia b/2 entre ellas.

Una rotacion de C por un angulo θ alrededor de un punto zo se obtiene mediante dosreflexiones en rectas que se cruzan en zo y tienen un angulo θ/2 entre ellas.

Una homotecia T (z) = az, a ∈ R − 0, se obtiene haciendo inversiones euclidianasen dos cırculos con centro en 0, cuyos radios difieran por a/2. Si la homotecia no es concentro en 0 sino en zo, tomamos los cırculos con centro en zo.

Finalmente, ya sabemos que la inversion compleja esta dada por la conjugacion com-pleja, que es una reflexion en el eje real, seguida de la inversion euclidiana en el cırculounitario. 2

Ya sabemos que si entendemos a las rectas como cırculos de radio maximo en C ∼= S2,entonces las inversiones euclidianas mandan cırculos en cırculos. Por tanto las trans-formaciones de Mobius, siendo composicion de inversiones, tambien mandan cırculos encırculos. Este hecho se puede tambien verificar directamente, sin necesidad de usar elteorema anterior, simplemente mostrando que si tenemos una ecuacion del tipo:

Ax2 + Ay2 + Dx + Ey + F = 0 , (2.5)

con coeficientes reales (que son las ecuaciones de cırculos en R2), con x = 12(z + z) y

y = i12(z − z) siendo las partes real e imaginaria de z = x + iy, si sustituimos x, y por


la parte real y la parte imaginaria de T (z) = az+bcz+d

en la ecuacion (2.5), obtenemos unaecuacion del tipo de (2.5), en general con otros coeficientes. Observese que el caso de unarecta corresponde al caso degenerado de la ecuacion de un cırculo para el cual A = 0.

Recordamos ahora que si dos curvas en C ∼= S2 se intersecan, el angulo entre ellas es,por definicion, el mınimo angulo entre sus rectas tangentes en el punto de interseccion.Y observamos que, por la definicion misma de las inversiones euclidianas se tiene que,si dos curvas en S2 se intersecan con un angulo θ entre ellas, entonces las imagenes deestas curvas bajo una inversion se intersecaran con un angulo θ. (Dejamos como ejercicioverificar esta afirmacion.) Esto significa que las inversiones son funciones conformes en laesfera de Riemann (i.e., que preservan angulos). Y la composicion de funciones conformeses conforme. Por tanto tenemos:

Teorema 2.6 Las transformaciones de Mobius son difeomorfismos conformes de la esferade Riemann S2 y mandan cırculos en cırculos.

Lo sorprendente es que las afirmaciones recıprocas tambien son ciertas:

Teorema 2.7 Todo difeomorfismo conforme de la esfera de Riemann es composicion deinversiones, y toda composicion de un numero par de inversiones es una transformacionde Mobius.

Una demostracion de este teorema puede encontrarse en [1] o tambien en [7]. Hayesencialmente dos puntos de vista diferentes para demostrar este resultado: uno es a travesdel analisis complejo (que es el punto de vista de Ahlfors), otro es a traves de la geometrıahiperbolica (como en [7]); esto es consecuencia de la riqueza geometrica que existe detrasde las transformaciones de Mobius: resulta que el grupo de Mobius Mob(2, C), ademas deser isomorfo a la llamada “proyectivizacion” GL(2, C)/C∗ del grupo general lineal y, comoya sabemos, ser tambien isomorfo al grupo de difeomorfismos conformes (que preservanla orientacion) de S2, tambien es isomorfo al grupo de transformaciones isometricas delespacio hiperbolico tridimensional, H3, como lo explicaremos mas adelante.

Hay otro hecho notable de las inversiones, que usaremos en la seccion siguiente: con-sideremos dos cırculos C1 y C2 en S2 que se intersecan ortogonalmente en los puntos P1

y P2. Por simplicidad asumimos que estos cırculos no pasan por ∞ y los consideramoscomo contenidos en el plano C, via la proyeccion estereografica.

Otra propiedad importante de las transformaciones de Mobius esta dada por el sigu-iente teorema:

Teorema 2.8 El grupo Mob(2, C) actua simple y transitivamente en la trıadas de puntos

diferentes de C.

15

Vamos a explicar esto. Consideremos 3 puntos arbitrarios, diferentes, de C, digamosz1, z2 y z3. La afirmacion es que entonces existe una transformacion de Mobius T1 tal queT1(z1) = 0, T1(z2) = 1 y T1(z3) = ∞, como por ejemplo:

T1(z) =(z − z1)(z3 − z2)

(z − z3)(z1 − z2).

Afirmamos que esta funcion es la unica que hace eso, es decir que si S es otra trans-formacion de Mobius que manda a z1, z2 y z3 en 0, 1,∞, respectivamente, entonces lacomposicion R = T S−1 es la identidad y por tanto T = S. Esto se sigue de un calculodirecto: si una transformacion de Mobius R = αz+β

γz+δfija al 0, entonces tiene:

0 =α(0) + β

γ(0) + δ=

β

δ,

y por tanto β = 0. Similarmente, si R fija a ∞ se tiene ∞ = T (∞) = αγ, por definicion,

asi que γ = 0. Por tanto, si R fija a 0 e ∞, entonces R es de la forma αzδ

, y tambienestamos suponiendo que R(1) = 1. Por tanto α

δ= 1. Y, como lo notamos antes, podemos

suponer que tambien (αδ) = 1. Por tanto a = d = 1 y R es la identidad. Esto implica que

dadas dos trıadas arbitrarias de puntos diferentes de C, z1, z2, z3 y w1, w2, w3, existeuna unica transformacion de Mobius que lleva z1 en w1 , z2 en w2 y z3 en w3.

Esta propiedad sera usada a continuacion para describir la geometrıa y dinamica delas transformaciones de Mobius.

Sea T una transformacion de Mobius. Queremos describir “como mueve” T a lospuntos de C. Es decir que nos fijamos en las orbitas de los puntos de C bajo T y todossus iterados, tanto positivos como negativos; o sea, consideramos la accion en C del grupoΓ = T nn∈Z.

Consideramos primero transformaciones de Mobius con coefficientes reales. Tenemos:

Teorema 2.9 Sea T ∈ Mob(2, C) y sea H+ = z = (x, y) ∈ C | y > 0 el semiplanosuperior de C. Entonces T preserva el semi-plano H+ si y solamente si T se puederepresentar de la manera (az + b)/(cz + d) con a, b, c, d numeros reales. Es decir queT (H+) = H+ si y solamente si T esta en Mob(2, R) ∼= PSL(2, R).

Demostracion. Nos interesa determinar el subgrupo de PSL(2, C) que lleva H+ en sımismo. Pero si f(z) ∈ H+ para todo z ∈ H+, tambien ocurre que f aplica la frontera, R,en la frontera, por continuidad.

Es inmediato comprobar que cuando todos los coeficientes de f son numeros reales,se tiene f(R) ⊂ R, y tambien es inmediato de la condicion ad − bc = 1, que f preservala orientacion de R, es decir, que f(0) < f(1). En consecuencia, el semiplano superior vaen el semiplano superior, pues como toda transformacion de Mobius preserva el sentido


de los angulos, al recorrer R de izquierda a derecha, la region a la izquierda permaneceinvariante bajo f .

Demostraremos que la condicion de que los coeficientes sean reales tambien es nece-saria.

Busquemos entonces el subgrupo de las transformaciones f ∈ PSL(2, C) que llevancualquier numero real en otro numero real.

Cuando evaluamos f(z) en z = 0 obtenemos

f(0) =b

d∈ R;

y podemos escribir b = λd, con λ ∈ R.Como ∞ pertenece a cualquier recta por el origen en C, tambien debe ocurrir que al

evaluar f(z) en ∞ obtengamos un numero real, esto es

f(∞) = limz→∞

(az + b

cz + d

)=

a

c∈ R,

si c 6= 0; en consecuencia, a = µc, con µ ∈ R.Al evaluar f(z) primero en z = 1 y luego en z = −1, los resultados respectivos son

f(1) =a + b

c + d∈ R, f(−1) =

−a + b

−c + d∈ R.

Usando todas las relaciones ya obtenidas, es ahora facil probar que todos los coeficientesa, b, c y d son multiplos reales de uno solo de ellos, por ejemplo d, y entonces es posibledividir el numerador y el denominador de f(z) entre dicho coeficiente para obtener unaexpresion donde todos los coeficientes son numeros reales y a′d′ − b′c′ = 1,

f(z) =a′z + b′

c′z + d′.

Dejamos como ejercicio al lector probar el teorema cuando c = 0. 2

Estudiemos ahora la dinamica de las transformaciones en Mob(2, R). Analizamosprimero sus puntos fijos. Estos ocurren cuando z = az+b

cz+d, es decir que son las soluciones

de la ecuacion:cz2 + (d − a)z + −b = 0 ,

que estan dados por:

z =(a − d) ±

√(d − a)2 + 4bc

2c.

Como los coeficientes a, b, c, d son todos reales, observamos que hay 3 posibilidadesdistintas:

i) (d − a)2 + 4bc < 0 ;

17

ii) (d − a)2 + 4bc = 0 ;

iii) (d − a)2 + 4bc > 0 .Notamos que, como dijimos anteriormente, dada una transformacion de Mobius T ,

podemos escoger a sus coeficientes de manera tal que satisfagan ad− bc = 1. En este casotenemos:

(d − a)2 + 4bc = (a + d)2 − 4 ,

y los tres casos de arriba se pueden dividir como:

i) (a + d)2 < 4 , y la transformacion se llama elıptica;

ii) (a + d)2 = 4 , y la transformacion se llama parabolica

iii) (a + d)2 > 4 , la transformacion se llama hiperbolica.Nos referimos al numero (a + d) como la traza de T y lo denotamos tr(T ).Ahora usaremos los resultados previos para dar un modelo canonico de cada uno de

estos tipos de transformaciones de Mobius.

Una transformacion elıptica T tiene un punto fijo α en H+ y otro punto fijo α con-jugado del primero, contenido en el semiplano inferior. Por el teorema (2.8), existe unatransformacion de Mobius h, que manda a los puntos fijos α y α en ±i. Entonces latransformacion de Mobius S = h T h−1 tiene ±i como sus puntos fijos, y es (holomor-ficamente) conjugada a T , pues h T = S h−1, y podemos estudiar la dinamica de T atraves de S, que necesariamente es de la forma: S(z) = az+b

−bz+a, con a2 + b2 = 1. Es decir:

Proposicion 2.10 Sea T ∈ Mob(2, C) una transformacion elıptica, y sea h una trans-formacion de Mobius que manda a los puntos fijos de T en ±i. Entonces S = h T h−1

es una transformacion elıptica conjugada a T , que tiene ±i como sus puntos fijos, y esde la forma: S(z) = az+b

−bz+a, con a2 + b2 = 1.

Esto significa que la transformacion T se ve como una rotacion alrededor de cada puntofijo, con un eje como conjunto invariante. En el diagrama de la derecha en la figura deabajo mostramos como es la dinamica de una transformacion elıptica si la conjugamos conotra transformacion de Mobius para que los puntos fijos sean los polos de la esfera. Losparalelos del dibujo de la derecha corresponden a los cırculos del dibujo de la izquierda.

Una transformacion parabolica tiene un solo punto fijo α, contenido en el eje real, ylos demas puntos del plano se desplazan a lo largo de cırculos, llamados horociclos, queson tangentes al eje real en el punto α, que se indican en el dibujo de la izquierda en lafigura de abajo. Si conjugamos la transformacion para hacer que su punto fijo sea el ∞,entonces T es de la forma T (z) = az+b

d, con ad = 1 y (a + d) = ±2. Esto implica a = ±1,

y por tanto la transformacion toma la forma:

T (z) = ±z + k ,


N

S α

α

Figure 7: La dinamica de una transformacion elıptica.

con k ∈ R constante. Por tanto es una traslacion paralela al eje real. Note que si hacemosuna proyeccion estereografica de C en S2 que mande el punto fijo α, del primer dibujo,en el ∞, entonces las rectas paralelas al eje real en el lado derecho, son la imagen de loshorociclos del lado izquierdo.

Proposicion 2.11 Sea T ∈ Mob(2, C) una transformacion parabolica, y sea h una trans-formacion de Mobius que manda a el punto fijo de T en ±i. Entonces S = h T h−1 esuna transformacion parabolica conjugada a T , que tiene a ∞ como su punto fijo, y es dela forma: S(z) = ±z + k , con k ∈ R constante. .

Figure 8: La dinamica de una transformacion parabolica .

Por otro lado, las transformaciones hiperbolicas tienen dos puntos fijos, α y β, amboscontenidos en el eje real (union ∞). Estos puntos determinan un unico cırculo C en C,que pasa por estos puntos y es ortogonal al eje real. La transformacion h(z) = z−α

z−βnos

permite llevar estos puntos al 0 e infinito. Entonces T toma la forma:

T (z) = (a

d)z = a2z ,

pues ad = 1. Por tanto la transformacion, llevada a esta forma, hace que todos los puntosdel plano C se desplacen a lo largo de rayos que surgen del origen y se van a ∞. Estos rayoscorresponden a los meridianos en S2. En el lado derecho de la figura de abajo indicamos

19

la dinamica cuando los puntos fijos α y β estan en R. Uno de los puntos, digamos α,es repulsor y el otro es atractor. Los puntos en C se mueven siempre a lo largo de estecırculo, alejandose de α y acercandose a β, que son respectivamente los conjuntos α yω-lımite. Para describir las otras orbitas observamos que cualquier otro punto del planodetermina, junto con α y β, un unico cırculo en C. Cada uno de estos cırculos es unconjunto invariante y las orbitas se mueven a lo largo de ellos.

Proposicion 2.12 Sea T ∈ Mob(2, C) una transformacion hiperbolica, y sea h una trans-formacion de Mobius que manda a los puntos fijos de T en 0,∞. Entonces S = hT h−1

es una transformacion hiperbolica conjugada a T , que tiene 0,∞ como sus puntos fijos,y es de la forma S(z) = a2z , con a real.

N

S

a b

Figure 9: La dinamica de una transformacion hiperbolica.

Con esto hemos descrito por completo la dinamica del sistema dinamico generado poruna transformacion de Mobius con coeficientes reales. Cuando los coeficientes son comple-jos se tienen 4 posibilidades, 3 de ellas similares a las anteriores. Si la transformacion tieneun solo punto fijo, entonces la transformacion se llama parabolica; el mismo argumento deantes se aplica en este caso y la transformacion es conjugada a una traslacion. Si T tienedos puntos fijos, entonces es conjugada a una cuyos puntos fijos son 0 e ∞ y tiene la formaz 7→ a2z; al numero k = a2 se le llama el multiplicador. Si a tiene norma 1, esta es unarotacion y la trasformacion se llama elıptica; si a es real, entonces la transformacion esuna homotecia y se le llama transformacion hiperbolica; si a no es real y tiene norma 6= 1,entonces la transformacion se conoce como transformacion loxodromica, su dinamicaes combinacion de homotecia y rotacion.

Es importante notar que en la literatura, en ocasiones el termino “transformacion lox-odromica” incluye tambien a las transformaciones hiperbolicas, reservando el termino “es-trictamente loxodromica” para aquellas transformaciones cuyo multiplicador es un numerocomplejo de norma 6= 1. Aquı adoptaremos esta convencion.

Nota 2.13 El Teorema (2.9) nos caracteriza las transformaciones de Mobius que preser-van el semi-plano superior. Mas adelante sera importante estudiar transformaciones de


Figure 10: La dinamica de una transformacion loxodromica.

Mobius que preservan el disco unitario D en C, y sabemos que la transformacion dada enla ecuacion (2) da una equivalencia entre el semi-plano y el disco. Podemos ası determi-nar el subgrupo de transformaciones de Mobius que preservan el disco D. Dejamos comoejercicio al lector probar que ese grupo consiste de todas las transformaciones de Mobiusde la forma:

f(z) =az + b

bz + a, donde |a|2 − |b|2 = 1. (2.14)

Mas aun. En la Seccion 1 estudiamos las inversiones en C y luego vimos (en esta seccion)que toda transformaciones de Mobius es composicion de un numero par de inversiones.Por tanto la equacion (2.14) nos caracteriza las transformaciones de C que preservan aldisco y son obtenidas como composicion de un numero par de inversiones. Dejamos allector verificar que las transformaciones de la forma

f(z) =az + b

bz + a, donde |a|2 − |b|2 = 1. (2.15)

tambien preservan al disco y corresponden a composiciones de un numero impar de in-versiones (vea [7], Capıtulo IV).

21

3 Grupos Kleinianos y Fuchsianos

En la seccion anterior estudiamos las transformaciones de Mobius; vimos que todasson composicion de un numero par de inversiones, y vimos que hay basicamente trestipos diferentes de tales transformaciones, que son elıpticas, parabolicas y loxodromicas.Tambien describimos la geometrıa y dinamica de cada uno de estos tipos de transfor-maciones. Ahora consideraremos un numero (finito o infinito) de transformaciones deMobius, T1, ..., Tr, ...., y el grupo

Γ = Γ(T1, ..., Tr, .....)

generado por ellas. Es decir, Γ es el conjunto de transformaciones de la esfera de Rie-mann S2 cuyos elementos son ”palabras” en T1, ..., Tr, ....., o sea composiciones de estastransformaciones, en cualquier orden y cada una de ellas a cualquier potencia (positiva onegativa).

Definicion 3.1 Sea Γ un subgrupo de Mob(2, C), el grupo de transformaciones de Mobius.

• La region de discontinuidad de Γ, denotada como Ω, o ΩΓ, es la union de todos lospuntos de C que tienen una vecindad V tal que V ∩ γ(V ) = ∅ excepto, a lo mas,para un numero finito de elementos γ ∈ Γ.

• El conjunto lımite de Γ, denotado por Λ o ΛΓ, es el conjunto de puntos de acumu-lacion de alguna orbita de Γ. Es decir que zo ∈ C esta en Λ si existe un punto x ∈ C

y una sucesion gn de elementos distintos de Γ, tales que limn→∞ gn(x) = zo.

Teorema 3.2 Estos dos conjuntos son complementarios, es decir que son ajenos y suunion es todo C:

ΩΓ = C \ ΛΓ .

Que la region de discontinuidad y el conjunto lımite no se intersecan es obvio, puesninguna orbita puede tener un punto de acumulacion en la region de discontinuidad. Loque si requiere una demostracion es que la union de ambos conjuntos es todo. Esto no esdifıcil de demostrar y le sugerimos al lector ver [4], Th. II.E.6.

Este resultado permite definir, en este caso, la region de discontinuidad como el com-plemento del conjunto lımite, lo que encontramos frecuentemente en la literatura.

Por ejemplo, si Γ es el grupo triangular de la seccion anterior (Ejemplo 1.8) y Γ es

el sugbrupo de Γ de palabras de longitud par, entonces Γ consiste de transformacionesde Mobius y es facil ver que su conjunto lımite ΛΓ es todo el cırculo S1; la region dediscontinuidad ΩΓ es C menos el cırculo S1.

Es claro que, por definicion, el conjunto lımite es un cerrado y la region de discon-tinuidad es un abierto, que puede ser vacio. El conjunto lımite nunca es vacio, a menosque el grupo sea finito, ya que C es un conjunto compacto y toda sucesion infinita en uncompacto tiene subsucesiones que convergen.

22 3 GRUPOS KLEINIANOS Y FUCHSIANOS

Definicion 3.3 Sea Γ un subgrupo de Mob(2, C), el grupo de transformaciones de Mobius.Se dice que Γ es un grupo Kleiniano si su region de discontinuidad ΩΓ no es vacia. Si,mas aun, el conjunto lımite ΛΓ esta contenido en el cırculo S1, entonces decimos que elgrupo es Fuchsiano.

Es claro que todo grupo Fuchsiano es Kleiniano, por definicion. Cabe mencionar queestos conceptos fueron introducidos por el gran matematico frances H. Poincare a finalesdel siglo 19 en su estudio de ciertas ecuaciones diferenciales llamadas Fuchsianas. FuePoincare mismo quien les llamo a estos grupos Fuchsianos y Kleinianos, en honor a Fuchsy F. Klein, quien tuvo contribuciones fundamentales para la geometrıa hiperbolica.

Una vez mas, los grupos triangulares son basicamente ejemplos de grupos Fuchsianos.Lo unico es que para que esta afirmacion sea correcta, consideramos solo las transforma-ciones que son composicion de un numero par de inversiones en los lados del trıangulo,pues estas son transformaciones de Mobius. Es decir que no consideramos el grupo tri-angular completo, sino su subrupo de ındice 2 que consiste de palabras de longitud par.Mas adelante veremos los grupos de Schottky, que son Kleinianos, pero en general no sonFuchsianos.

T C

C

C 1

2

3

Figure 11: Las inversiones en C1, C2 y C3 generan un grupo triangular, que es Fuchsiano.

Ejemplo 3.4 Consideremos ahora un ejemplo semejante al dado en la figura anterior,solo que esta vez separamos los cırculos C1, C2 y C3, que definen a T , para hacer que eltriangulo T tenga sus vertices en el cırculo S1, donde los lados son ortogonales. Decimos

23

entonces que T es un triangulo virtual. Notese que en este caso los cırculos C1, C2 y C3

son tangentes entre sı en los puntos de interseccion, asi que los “angulos” internos de Tson todos 0. En este caso el diseno que obtenemos es como se indica abajo. Este grupoes de gran relevancia para la teorıa de numeros. Observamos que en este caso el conjuntolımite sigue siendo todo el cırculo S1 y su region de discontinuidad es el complemento delcırculo. El diseno correspondiente se indica abajo. Observe que la orbita del triangulo seacumula en todo el cırculo frontera del disco.

C

CC

1

3

2

Figure 12: Grupo Fuchsiano generado por las invesriones en los lados de un trianguloideal.

El ejemplo anterior se puede pensar como un caso “lımite” de los grupos triangularesdel ejemplo (1.8). Continuemos “empujando” los cırculos en este ejemplo, hasta separarlos cırculos C1, C2 y C3. Obtenemos el diseno que se indica a continuacion. Ahora elconjunto lımite se ha convertido en un Cantor contenido en el cırculo S1, y “anidado”en los interiores de los discos delimitados por C1, C2 y C3. En este ejemplo la region dediscontinuidad incluye a los arcos I1, I2 e I3, situados entre los cırculos, asi como tambiena las orbitas de estos arcos.

Todos estos son ejemplos de grupos Fuchsianos, y por supuesto tambien Kleinianos.

Ejemplo 3.5 Consideremos ahora varios cırculos C1, C2, · · ·Cr, r ≥ 4 , y supongamosque todos ellos estan situados como en la Figura 4.8 de la seccion anterior, formando un“collar”, de manera que todos ellos son ortogonales al cırculo C. Sea γi, i = 1, · · · , r ,la inversion en el cırculo Ci y sea Γ el grupo generado por estas inversiones. Todas las


C

CC

I

I

I

2

2

1

1

3

3

Figure 13: El conjunto lımite es un Cantor.

inversiones γi dejan invariante a C, pues este es un cırculo ortogonal comun a todos losCi

′s. Es facil ver que en este caso el conjunto lımite es todo C. Ademas, si escojemoscualquier punto en C, se tiene que suorbita se acumula en todo C. En particular, C es unconjunto invariante y todas los orbitas en C son densas. El subgrupo de Γ de elementosformados por un numero par de inversiones tiene la misma dinamica y es por tanto ungrupo Fuchsiano.

Vamos ahora a separar ligeramente estos cırculos para que ya no se intersecten, peroconservando a C como un cırculo ortogonal comun a todos los Ci

′s. El grupo de inver-siones que obtenemos tiene ahora a un Conjunto de Cantor contenido en C como conjuntolımite. Si ahora movemos ligeramente los cırculos para hacer que ya no exista un cırculoortogonal comun, entonces el conjunto lımite sigue siendo un Cantor, pero el grupo encuestion ya no es Fuchsiano, si es Kleiniano. Los grupos correspondientes, formados porelementos de longitud par, se conocen como grupos de Shottky. En la siguiente figura seindica como es el conjunto lımite en estos casos.

25

Figure 14: El conjunto lımite es un cırculo.

Figure 15: El conjunto lımite es un Cantor en ambos casos.

Ahora, partiendo del “collar” con el que empezamos, vamos a mover los cırculosCi, traslapandolos ligeramente, haciendo que su interseccion ya no sea tangencial y de-struyendo que haya un cırculo ortogonal comun a todos los Ci. Ahora el conjunto lımiteΛ, que antes era el cırculo C, se ha convertido en una curva fractal, de longitud infinita,donde todas las orbitas son densas.

Vamos ahora a formalizar, y demostrar en general, algunos de los hechos que hemosresaltado en los ejemplos anteriores.

Cuando estudiamos dinamica, lo que interesa es estudiar lo que sucede “al infinito”,es decir cuando iteramos los procesos infinitas veces. Por tanto, en dinamica queremos


Figure 16: El conjunto lımite es una curva de longitud infinita.

que nuestros grupos sean infinitos. Si, por ejemplo, consideramos una rotacion por unangulo de la forma 2π/r, r entero, entonces todas las orbitas se cerraran despues de riteraciones y la dinamica es poco interesante. Observese que en este caso nuestro grupoΓ esta generado por un solo elemento (o transformacion) elıptico. Un resultado clasiconos dice que un subgrupo de Mob(2, C) es finito si y solamente si todos sus elementosson elıpticos (vea la p. 88 en [4]); en este caso, y solo en este caso, el conjunto lımite esvacio. Por otro lado, podemos considerar, por ejemplo, un grupo generado por una unicatransformacion parabolica, y todos sus iterados. En este caso el conjunto lımite consistede un solo punto, que es el punto fijo de la transformacion. Similarmente, si el grupo estagenerado por una sola transformacion loxodromica (incluimos aqui a las hiperbolicas),entonces el conjunto lımite consistira de los dos puntos fijos de la transformacion. En [4]se puede ver la clasificacion de los grupos Kleinianos cuyo conjunto lımite consiste de alo mas dos puntos. Estos grupos reciben el nombre de elementales.

Teorema 3.6 Sea Γ ⊂ Mob(2, C) un grupo Kleiniano que no es elemental. Entonces:

• El conjunto lımite ΛΓ es un conjunto cerrado, invariante, con una infinidad depuntos y en el cual toda orbita es densa. Por tanto ΛΓ es un conjunto perfecto.

• ΛΓ es el conjunto de puntos de acumulacion de cada orbita, y es por tanto indepen-diente de la orbita.

• Γ contiene una infinidad de elementos loxodromicos (incluidos aqui los hiperbolicos),

27

y ΛΓ es la cerradura del conjunto de puntos fijos de los elementos loxodromicos enΓ.

Es importante resaltar que Γ es un grupo de transformaciones; esto implica que cadavez que tenemos una transformacion T en Γ, tambien tenemos su inversa T−1, que tienelos mismos puntos fijos que T , pero los puntos atractores de T son repulsores para T −1 yviceversa. Por tanto, si T es un elemento loxodromico con puntos fijos α y β, atractor yrepulsor respectivamente, entonces T−1 tambien es un elemento loxodromico con puntosfijos α y β, pero ahora β es el atractor y α el repulsor.

Demostracion del teorema. Por definicion, ΛΓ es el conjunto de puntos de acumulacionde las orbitas. Esto implica que su complemento es abierto y por tanto ΛΓ es cerrado.Sea xo ∈ ΛΓ. Esto significa que existe un punto x ∈ C y una sucesion gn de elementosdistintos en Γ, tales que

limn→∞

gn(x) = xo .

Sea γ un elemento arbitrario de Γ. Entonces, por continuidad, tenemos:

limn→∞

(γ gn)(x) = limn→∞

γ(gn(x)) = γ(xo) ,

con las γ gn siendo una sucesion de elementos distintos en Γ. Por tanto γ(xo) esta enΛΓ, lo que demuestra que este conjunto es Γ-invariante.

Ahora queremos probar que toda orbita en ΛΓ es densa. Observamos que todaorbita es, obviamente, un conjunto Γ-invariante, y por tanto su cerradura tambien esΓ-invariante. Por tanto, demostrar que toda orbita es densa en ΛΓ es equivalente a de-mostrar que ΛΓ es un conjunto minimal, en el sentido de que si ∆ es un subconjuntocerrado, no vacio de C que es Γ-invariante, entonces ∆ contiene a ΛΓ. Vamos a demostraresta ultima afirmacion. Para esto necesitamos el siguiente lema, el cual implica tambienla primera parte de la afirmacion (iii) del teorema.

Lema 3.7 Todo grupo Kleiniano Γ cuyo conjunto lımite tiene mas de dos puntos, con-tiene una infinidad de elementos loxodromicos tales que sus puntos fijos son todos distin-tos.

Demostracion. Probemos primero que necesariamente existe algun elemento loxodromicoen Γ. Supongamos que esto no sucede. Si todos los elementos de Γ son elıpticos, entoncessabemos (vea V.C.4 en [4]) que el grupo es finito y ΛΓ es ∅. Tenemos entonces que Γcontiene algun elemento parabolico, y por lo visto anteriormente podemos suponer que,salvo conjugacion, este elemento es S(z) = z +1. Dada T (z) = az+b

cz+d∈ Γ, con ad− bc = 1,

tenemos:

Sn T (z) =(a + nc)z + (b + nd)

cz + d,

cuya traza satisface:Tr2(Sn T (z)) = (a + d + nc)2 .


Como estamos suponiendo que no hay elementos loxodromicos en Γ, tenemos entoncesque para todo entero n:

0 ≤ (a + d + nc)2 ≤ 4 .

Por tanto c = 0 y necesariamente todos los elementos de Γ fijan al ∞. Esto implica queΓ es conjugado a un grupo de traslaciones de R2 o a un grupo de rotaciones, y en amboscasos se tiene que el conjunto lımite consiste de a lo mas dos puntos, contradiciendo lashipotesis. Luego Γ contiene algun elemento loxodromico.

Probemos ahora que de hecho se tienen necesariamente infinitos elementos loxodromicosen Γ, cuyos puntos fijos son todos diferentes. Sea g un elemento loxodromico de Γ, queya sabemos que existe por el argumento anterior, y sean α y β sus puntos fijos. Si todoslos elementos de Γ dejan a estos puntos fijos, entonces Γ es conjugado a un grupo cuyoconjunto lımite consiste de dos puntos, que contradice la hipotesis. Por tanto existe f ∈ Γque no deja al conjunto α, β invariante, y hay dos posibilidades:

• α, β y f(α), f(β) tienen un elemento en comun; o

• ii) α, β y f(α), f(β) son ajenos.

Vale la pena hacer notar que el teorema 5.1.2 de [2] implica que el primer caso, enrealidad no puede ocurrir, pues si un subgrupo de Mob(2, C) tiene dos elementos lox-odromicos con un punto fijo en comun, entonces el grupo no es Kleiniano. Pero, supong-amos de cualquier forma que f(α) = α = g(α), y sea g = fgf−1 el conjugado de g por f ;claramente g(α) = α. Sea h el conmutador de g y g: h = [g, g] = ggg−1g−1. Claramenteh tambien fija a α. Afirmamos que h es una transformacion parabolica (i.e. su traza es±2). En efecto, podemos conjugar ambas transformaciones f y g para que el punto fijoen comun sea ∞ y las transformaciones tomen la forma:

g =

(a b0 d

)y

(a b

0 d

),

con ad = ad = 1. Un calculo directo muestra que h es de la forma: h(z) = z + k , con kconstante (k = aa(ab − ab + bd − bd). Por tanto h es parabolica, con traza 2 y punto fijoα. Como α no puede ser punto fijo de todos los elementos en Γ (pues si lo fuera, entoncesΛΓ = α), se tiene que existe alguna h ∈ Γ que no fija a α. Entonces la transformacionH = hhh−1 es parabolica, pues su traza es siempre la traza de h; y es claro que H notiene puntos fijos en comun con g. Entonces, los elementos HngH−n tienen la mismatraza que g y por tanto son loxodromicos, con sus puntos fijos todos diferentes, probando3.7 en este caso.

Supongamos ahora que los conjuntos α, β y f(α), f(β) son ajenos. Sea g = fgf−1

como antes. Entonces g es loxodromico y no tiene puntos fijos en comun con g. Estoimplica que los elementos gngg−n, n ∈ Z son loxodromicos y sus puntos fijos, gn(f(α)) ygn(f(β)), son todos diferentes. 2

29

Denotemos ahora por Λ0 a la cerradura del conjunto de puntos fijos de elementosloxodromicos de Γ, y para cada z ∈ C, sea Λ(z) el conjunto:

Λ(z) = w ∈ C | ∃ gn ∈ Γ , n ∈ N, distinct elements and limn→∞

gn(z) = w .

Probaremos que Λ(z) = Λ0 para todo z ∈ C. Esto demostrara los incisos (ii) y (iii)

de 3.6. Mostraremos primero que Λ0 ⊂ Λ(z) para todo z ∈ C. Es claro que Λ(z) esun cerrado, no vacio y Γ-invariante. Por tanto, basta demostrar que los puntos fijos deelementos loxodromicos estan en Λ(z), pues la cerradura de un conjunto es el mınimo

cerrado que lo contiene. Sea v ∈ C punto fijo de algun elemento loxodromico g ∈ Γ, y seaw un punto en Λ(z) que no es punto fijo de g. Entonces la sucesion gn(w) se acumula

en v, pues este punto es el ω-lımite (o el α-lımite) de todos los puntos de C (salvo del otropunto fijo de g). Por tanto v esta en Λ(z), lo que prueba Λ0 ⊂ Λ(z). Probemos ahoraque Λ(z) ⊂ Λ0. Por definicion, el conjunto de puntos fijos de elementos loxodromicos esun conjunto Γ-invariante. Por tanto su cerradura Λ0 tambien es Γ-invariante. Luego, si zesta en Λ0, entonces toda su Γ-orbita esta en Λ0. Como Λ0 es cerrado, se tiene entoncesque todo punto de acumulacion de la Γ-orbita de z esta en Λ0 y por tanto Λ(z) ⊂ Λ0

si z ∈ Λ0. Referimos al lector al teorema 5.3.9 en [2] para ver la demostracion en elcaso cuando z /∈ Λ0. La idea es probar que dado w ∈ Λ(z), existe una sucesion αn depuntos fijos de elementos loxodromicos que se acumula en w; esto, junto con el argumentoanterior, prueba la igualdad Λ(z) = Λ0. Este argumento prueba tambien que toda orbitaes densa en ΛΓ, completando ası la demostracion de 3.6.

En la siguiente seccion daremos otra demostracion de que para los grupos no-elementales,la accion en el conjunto lımite es minimal. Esa demostracion se basa en la geometrıahiperbolica.

4 Grupos Kleinianos y Geometrıa hiperbolica

Empezamos esta seccion describiendo dos modelos del plano hiperbolico que se debena Henri Poincare (1854-1912), estos son el modelo del disco y el modelo del semiplanosuperior, H+. Lo primero que necesitamos es introducir en H+ la metrica hiperbolica;esta es una metrica riemanniana, lo que significa que se define a traves de una nuevaforma de medir vectores tangentes.

Es decir, queremos modificar (de manera apropiada) el producto escalar de vectoresbasados en puntos de H+. Recordamos que el producto escalar de vectores es la base paramedir distancias y angulos.

Una forma de hacerlo es a traves del grupo de inversiones que definimos anteriormente,como explicaremos mas adelante. Ahora lo haremos en la manera clasica, que se encuentraen muchos textos.

30 4 GRUPOS KLEINIANOS Y GEOMETRIA HIPERBOLICA

Si un vector u esta anclado en el punto (0, 1) ∈ H+, definimos su norma hiperbolica‖u‖h igual a su norma euclidiana ‖u‖e; es decir que si u tiene coordenadas (u1, u2) (basadasen (0, 1)), entonces

‖u‖h =√

u12 + u2

2 .

Dicho de otra forma, si v es otro vector anclado en el punto (0, 1) ∈ H+, entonces elproducto escalar hiperbolico de u y v es el producto escalar usual para vectores en elplano euclidiano. Lo mismo aplica para el producto escalar de vectores basados en puntosde H+ que son de la forma (x, 1). Pero al variar la altura (i.e., la distancia al eje x),nuestro producto escalar hiperbolico cambia:

Definicion 4.1 El producto escalar hiperbolico de dos vectores en el semiplano su-perior, u y v, anclados en el punto z = x + iy, esta dado por

u ·h v =u ·e v

y2,

donde ·e denota el producto punto usual del plano euclidiano (vea la figura a continuacion).

Note que este producto escalar hiperbolico hereda del producto escalar usual, laspropiedades necesarias para un producto escalar:

- su valor es un numero real para cualesquiera u y v anclados en un mismo punto; es nonegativo cuando u = v y, en este caso, se anula si y solo si u = 0;

- es bilineal, es decir, abre sumas y saca escalares de cada factor; - es simetrico: su valorno depende del orden de los factores.

1

2a

b

vu

vu up

vp

Figure 17: En H+, el producto escalar hiperbolico depende de la altura del punto en quese anclan los vectores.

Una vez definido el producto escalar ·h, podemos definir la norma hiperbolica deun vector v anclado en un punto P0(x0, y0) del semiplano superior:

||v||h = (v · v)1/2 .

31

Con eso es posible medir la longitud hiperbolica de una curva en H+ en forma analogaa la usual: si α : [a, b] → H+ es una curva diferenciable, su longitud hiperbolica es

lh(α) =

∫ b

a

||α′(t)||hdt.

Ciertamente, la forma de calcular la norma varıa con el punto α(t) en que esta anclado elvector tangente α′(t), pero si la curva es suave la variacion es continua y eso da sentidoal integrando.

Y dados dos puntos P1 y P2 de H+, la distancia hiperbolica de P1 a P2, denotadaρh(P1, P2), es el ınfimo de las longitudes de las curvas en H+ que unen esos dos puntos.

Tenemos ası una nueva manera de medir en el semiplano superior, llamada metricahiperbolica. Las metricas obtenidas a partir de productos escalares que varıan suave-mente con el punto de apoyo de los vectores, se denominan metricas riemannianas, yjuegan un papel central en Geometrıa Diferencial.

Dejamos como ejercicio demostrar que la funcion ρh satisface las propiedades usualesde una metrica, a saber:

i) 0 ≤ ρh(P, Q) < ∞ para todos P, Q en H+;

ii) ρh(P, Q) = 0 si y solo si P = Q;

iii) ρh(P, Q) = ρh(Q, P ); y

iv) satisface la desigualdad del triangulo:

ρh(P, Q) ≤ ρh(P, R) + ρh(R, Q) .

Definicion 4.2 Llamamos plano hiperbolico al semi-plano H+, equipado con la metricahiperbolica, y lo denotamos por H2. Las “rectas” en H2, mejor llamadas geodesicas, sonlas curvas en H+ que minimizan la distancia hiperbolica entre sus puntos.

Teorema 4.3 Las rectas hiperbolicas son: i) segmentos de rectas euclidianas en H+ queson ortogonales al eje x (es decir el eje y = 0); y ii) los segmentos (arcos) de cırculosque intersecan ortogonalemente el eje x.

La demostracion de este teorema se basa en el siguiente resultado, que es en sı mismocentral para la geometrıa hiperbolica y para esta presentacion.

Teorema 4.4 Toda transformacion T del plano hiperbolico H2 obtenida como composicionde inversiones en cırculos (y rectas) ortogonales al eje x, es una isometrıa respecto a lametrica hiperbolica.

En otras palabras, T preserva las distancias entre puntos.


y

xp

Figure 18: Modelo del semiplano superior de Poincare. Las geodesicas que pasan por P .

Demostracion de (4.4). Sea T como en el teorema anterior. Si T consiste de un numeropar de inversiones, entonces, por el teorema (2.7) sabemos que T es una transformacionde Mobius, y (2.9) nos dice que dicha transformacion se puede tomar con coefficientesreales. Si T consiste de un numero impar de inversiones, entonces, se puede expresar comocomposicion de un numero par de inversiones, junto con la reflexion en el eje y. Comoesta reflexion obviamente preserva la metrica hiperbolica, basta demostrar el teorema(4.4) cuando T es una transformacion de Mobius con coeficientes reales:

T (z) =az + b

cz + d,

con a, b, c, d ∈ R y ad − bc = 1.Sabemos que todo cırculo en el plano esta determinado por tres puntos, y dados

cualesquiera tres puntos en el plano, existe una unica transformacion de Mobius que loslleva a 0, i,∞. Por tanto, dado cualquier cırculo en el plano, orthogonal al eje x, existeuna unica transformacion de Mobius que lo lleva en el eje y, y ademas preserva H+.

Por tanto, para demostrar el teorema, basta considerar el caso en que T lleva la partepositiva del eje Y en un semi-cırculo con centro en el origen y de radio 1; podemos tambienpedir que el punto i ∈ H+ se transforme en sı mismo.

Entonces, T debe cumplir:

T (0) = −1 ; T (∞) = 1 ; T (i) = i .

Por tanto tenemos:

b

d= −1 ;

a

c= 1 ;

ai + b

ci + d= i .

Entonces,

b = −d ; a = c ; ai + b = di − c, que implica a = d , b = −c .

Por tanto, la expresion para T (z) es:

T (z) =dz − d

dz + d=

z − 1

z + 1.

33

Los puntos de la parte positiva del eje Y tienen la forma z = it, por lo que al aplicarlesT obtenemos:

T (it) =it − 1

it + 1=

(it − 1)(−it + 1)

(it + 1)(−it + 1)=

−1 + t2 + 2ti

1 + t2.

Descomponiendo el termino de la derecha en sus partes real e imaginaria, obtenemosque los puntos T (it) en el semi-cırculo tienen la parametrizacion

(x(t), y(t)) =

(−1 + t2

1 + t2,

2t

1 + t2

),

y el vector tangente es, despues de simplificar,

(x′(t), y′(t)) =

(4t

(1 + t2)2,

2(1 − t2)

(1 + t2)2

).

Si el lector calcula la norma hiperbolica de (x′(t), y′(t)), encontrara que es 1/t, lamisma que para el vector tangente al semieje Y positivo en el punto it. Esto demuestraque T , restringida a los puntos del eje imaginario, es una isometrıa. Dejamos como tareadar argumentos que demuestren la validez del resultado para cualquier otra circunferenciacon centro en cualquier punto del eje X y de radio arbitrario.

Dado que dos puntos en H+ determinan un unico cırculo (o recta) en el plano, ortog-onal al eje x, con ello el lector habra demostrado que la longitud de cualquier segmentopermanece invariante bajo cualquier f ∈ GH+, y podemos enunciar ese resultado en laforma siguiente.

Demostracion de (4.3): Consideremos primero una curva (x(t), y(t)) que una los pun-tos Ai y Bi del eje imaginario. Afirmamos que esta curva tiene longitud hiperbolica mayoro igual que la correspondiente al segmento de recta que va de Ai a Bi, que denotamospor Lh(AB). Para comprobarlo, basta tomar el caso de una curva sin autointerseccionescon t ∈ [a, b], y recordamos que y(t) > 0. Observamos que en este caso la curva (0, y(t))parametriza al segmento de recta en el eje imaginario que une los puntos Ai y Bi. Clara-mente tenemos:

∫ b

a

||(x′(t), y′(t))||h dt ≥

∫ b

a

||(0, y′(t))||h dt = Lh(AB) .

2

Es importante decir que la afirmacion recıproca al teorema (4.4) tambien es cierta:

Teorema 4.5 Toda isometrıa T del plano hiperbolico H2 es obtenida como composicionde inversiones en cırculos (y rectas) ortogonales al eje x.


La demostracion de este resultado no es difıcil, y sugerimos al lector buscarla en laliteratura (ver por ejemplo el Teorema 3, Cap 4.4 de [7]).

Otra forma conveniente de pensar en el plano hiperbolico es a traves del modelodel disco de Poincare. En este caso consideramos el disco unitario abierto D en R

2.Sabemos que existe una transformacion de Mobius G (dada por la funcion (2)) que mandaal semi-plano H+ en el disco D. Podemos entonces determinar, usando la derivada de G,DG, un producto escalar para vectores anclados en puntos en D, inducido por el productoescalar hiperbolico en H+. Mas precisamente, dados u, v vectores en R2 anclados enP ∈ D, definimos

u ·H v = DGP (u) ·h DGP (v) .

Denotamos por ∆ a D equipado con esta metrica y le llamamos el disco hiperbolico.Esta vez las curvas elegidas como “rectas hiperbolicas” (las geodesicas) son los arcosde circunferencia que cortan ortogonalmente a la frontera, incluıdas las rectas euclidianasque pasan por el orıgen.

En la figura de abajo hemos trazado varias rectas hiperbolicas con un mismo punto alinfinito; esas rectas se llaman paralelas hiperbolicas, a diferencia de las ultraparalelas,como L y M, que son rectas que no se cortan ni en puntos del disco hiperbolico ni enpuntos al infinito.

Observen que dos rectas hiperbolicas paralelas que “convergen al mismo punto alinfinito”, son tangentes puesto que ambas forman un angulo de 90 con la frontera.

p

L

M

Figure 19: Modelo del disco de Poincare, ∆.

35

vup

r

Figure 20: La metrica hiperbolica en el disco.

Ejercicio 4.6 Demuestre que el producto escalar en el disco D determinado arriba, elcual determina la metrica hiperbolica, esta dado por:

u ·H v =4u ·e v

(1 − r2)2 ,

donde ·e es el producto punto en R2 y r es la distancia al origen del punto de apoyo delos vectores.

La equivalencia entre el modelo del semi-plano para la geometrıa hiperbolica y modelodel disco, se puede dar a traves de la funcion (2), como lo hicimos arriba, o tambien demanera geometrica, usando proyecciones: pensamos al plano R2 como el plano x, y en R3,y pensamos a H+ como el semi-plano superior (x, 1, z) | z > 0. Ahora consideramos laesfera unitaria S2 en R3, la que interseca el plano x, y en la frontera ∂D de D, y hacemosproyeccion estereografica desde el polo sur S = (0, 0,−1), la que manda a D en la semi-esfera superior S2

+, de puntos en S2 con z > 0. Y ahora, la proyeccion estereografica en R3

desde el punto (0,−1, 0) manda ∂D al eje (x, 1, 0); y manda S2+ en (x, 1, z) | z > 0.

La composicion de ambas proyecciones identifica a D con H+, y lleva las geodesicas deun modelo en las geodesicas del otro.

Hay otra forma para determinar la metrica hiperbolica a partir de los grupos de trans-formaciones generadas por inversiones. Hagamos esto en el semi-plano (se puede hacerlo mismo en el disco). En el espacio tangente de H+ en el punto i = (0, 1) damos lametrica euclidiana usual, y distribuimos la metrica a todo el disco usando las inversiones.Es decir, observamos que el grupo PSL(2, R) actua transitivamente en H+, y la isotropıade cada punto es isomorfa a SO(2). Ahora, dado y ∈ H+, sea g ∈ PSL(2, R) tal que


g(i) = y; como g es un automorfismo, suderivada es un isomorfismo,

Dgi : TiH+ → TyH

+ .

Podemos entonces definir un producto escalar en TyH+ a partir del dado en TiH

+. Lametrica correspondiente esta bien definida porque SO(2) preserva la metrica usual enR

2 ∼= TiH+. Por construccion, la accion de SL(2, R) en H+ es por isometrıas.

Vamos ahora a hacer consideraciones analogas a las anteriores, pero en dimension 3.Consideramos el semi-espacio

H+(3) = (x, y, z) ∈ R3 | z > 0 ,

al cual equipamos con el producto escalar hiperbolico ·h: dados vectores u y v, an-clados en el punto (x, y, z) ∈ R3, ·h esta dado por

u ·h v =u ·e v

z2,

donde ·e es el producto punto en R3.Como antes, este producto escalar define una metrica riemanniana en H+(3), la

metrica hiperbolica, y H+(3) equipado con esta metrica se conoce como el espaciohiperbolico de dimension 3, H3.

No sera ahora difıcil para el lector decir como se construye el espacio hiperbolico dedimension n > 1, Hn.

Observamos que la manera que dimos antes para identificar el disco y el semi-planosuperior a traves de proyecciones estereograficas, tambien funciona en dimensiones altas.De esta manera podemos identificar H+(3) con la 3-bola abierta D3 ⊂ R4, que tambiennos sirve como modelo para H

3.

Otra forma de construir la metrica hiperbolica es como se indico arriba: usando losgrupos de inversiones apropiados. Para esto observamos que las inversiones en S

3 = R3∪∞

se pueden realizar en cualquiera 2-esfera en R3, incluidos los 2-planos. Una tal inversionpreserva el disco unitario D3 si y solo si la esfera correspondiente interseca la frontera∂D3 ∼= S2 ortogonalmente. Podemos entonces fijarnos en el grupo generado por inversionesen esferas ortogonales a ∂D3, que denotamos por Mob(3, R). Es facil ver que este grupoactua transitivamente en D3 (demuestrelo!!), y la isotropıa es SO(3). Podemos ahoradefinir en el espacio tangente de D3 en el centro 0, T0R

3, el producto punto usual, yesparcemos ese producto escalar a todo el disco usando la accion de Mob(3, R). Obtenemosası una metrica en el disco, que es la metrica hiperbolica, y Mob(3, R) es el grupo deisometrıas correspondiente.

Observese que toda 2-esfera S en R3 ∪ ∞ que interseca ∂D3 ∼= S2 transversalmentelo hace en un cırculo C = S ∪ ∂D3, y la inversion en S restringida a ∂D3 es la inversionen la 2-esfera definida por el cırculo C. Es decir, toda isometrıa de H3 determina unautomorfismo conforme de la esfera S

2 ∼= C ∪∞.

37

Recıprocamente, sabemso que todo automorfismo conforme de la esfera S2 ∼= C∪∞ es

composicion de inversiones en cırculos. Observamos ahora que todo cırculo C en S2 ∼= ∂D3

determina una unica 2-esfera S en R3 ∪∞ que interseca ortogonalmente la frontera ∂D3,y la interseccion es C. La inversion en ∂D3 definida por C obviamnete extiende a unainversion en R3 ∪∞ definida por S. Por tanto, todo automorfismo conforme de la esferaS2 ∼= C ∪∞ determina una isometrıa de H3. Obtenemos ası el siguiente teorema:

Teorema 4.7 El grupo PSL(2, C) es isomorfo a Iso+(H3), el grupo de isometrıas quepreservan la orientacion del espacio hiperbolico de dimension 3.

Por tanto, los grupos Kleinianos (y Fuchsianos) se pueden ver como gruposde isometrıas del espacio hiperbolico H3 (respectively H2).

Usando geometrıa hiperbolica, podemos demostrar con facilidad resultados impor-tantes que probamos antes. Para lo que sigue es conveniente pensar a H3 como el discohiperbolico, es decir la 3-bola D3 equipada con la metrica hiperbolica. La frontera ∂D3 esla esfera de Riemann S2. Observamos que S2 no pertenece a H3, y se le llama la esferaal infinito.

Recordamos que un subgrupo Γ de PSL(2, C) es Kleiniano si su conjunto lımite Λ ⊂S2 no es toda la esfera; y sabemos que esto es equivalente a pedir que la region dediscontinuidad de Γ en la esfera sea no-vacıa. Un grupo Kleiniano es elemental si suconjunto lımite Λ consiste de uno o dos puntos.

Teorema 4.8 Sea Γ ⊂ PSL(2, C) un grupo Kleiniano no elemental y sea Λ ⊂ S2 su

conjunto lımite. Entonces:

i) Γ actua propia y discontinuamente en H3.

ii) Toda orbita tiene a Λ como conjunto de puntos de acumulacion. Es decir, dadosx ∈ (H3 ∪ S

2) y su orbita

Ox = y ∈ (H3 ∪ S2) | y = g(x)para algung ∈ Γ ,

entonces se tiene:

Ox = Ox ∪ Λ .

ii) Si x esta en Λ, entonces su orbita es densa en Λ. Es decir, la accion de Γ en Λ esminimal.

Demostracion.

38 REFERENCES

References

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[2] A. F. Beardon; The geometry of discrete groups Springer Verlag, 1983.

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Jose SeadeUnidad Cuernavaca del Instituto de Matematicas,Universidad Nacional Autonoma de Mexico.e-mail: [email protected]

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