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Geometría Euclidiana

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  • Geometra

    Euclidiana

  • Historia de la geometra.

    Las matemticas son tan antiguas como la

    propia humanidad en los diseos

    prehistricos de cermica, tejidos y en las

    pinturas rupestres se puede encontrar

    evidencias del sentido geomtrico y del

    inters en figuras geomtricas.

    Las matemticas son una de las ciencias

    ms antiguas, y ms tiles.

    El concepto de matemticas, se comenz a

    formar, desde que el hombre vio la

    necesidad de contar objetos, esta

    necesidad lo llev a la creacin de sistemas

    de numeracin que inicialmente se

    componan con la utilizacin de los dedos,

    piernas, o piedras. Los sistemas de clculo

    primitivos estaban basados, seguramente,

    en el uso de los dedos de una o dos manos,

    lo que resulta evidente por la gran

    abundancia de sistemas numricos en los

    que las bases son los nmeros 5 y 10.

    La historia de las matemticas o del clculo

    comienza desde que el hombre ve la

    necesidad de contar. La palabra clculo

    proviene del latn calculus, que significa

    contar con piedras. Las matemticas son el

    estudio de las relaciones entre cantidades,

    magnitudes y propiedades, y de las

    operaciones lgicas utilizadas para deducir

    cantidades, magnitudes y propiedades

    desconocidas. En el pasado las

    matemticas eran consideradas como la

    ciencia de la cantidad, referida a las

    magnitudes (como en la geometra), a los

    nmeros (como en la aritmtica), o a la

    generalizacin de ambos (como en el

    lgebra).

    Hacia mediados del siglo XIX las

    matemticas se empezaron a considerar

    como la ciencia de las relaciones, o como la

    ciencia que produce condiciones

    necesarias. Esta ltima nocin abarca la

    lgica matemtica o simblica, ciencia que

    consiste en utilizar smbolos para generar

    una teora exacta de deduccin e

    inferencia lgica basada en definiciones,

    axiomas, postulados y reglas que

  • transforman elementos primitivos en

    relaciones y teoremas ms complejos.

    La historia del origen de la Geometra es

    muy similar a la de la Aritmtica, siendo sus

    conceptos ms antiguos consecuencia de

    las actividades prcticas. Los primeros

    hombres llegaron a formas geomtricas a

    partir de la observacin de la naturaleza.

    No solo el origen de los conocimientos

    geomtricos, sino diversos aspectos, como la

    necesidad de comparar las reas y

    volmenes de figuras simples, la

    construccin de canales y edificios, las

    figuras decorativas, los movimientos de los

    astros, contribuyeron al nacimiento de las

    reglas y propiedades geomtricas que se

    encuentran en los documentos de las

    antiguas civilizaciones egipcia y

    mesopotmica.

  • Los asirios y babilonios La rueda inventada

    por los sumerios 3500

    aos A.C., marca en la

    historia el inicio de la

    civilizacin; inventaron

    la escritura, crearon la

    aritmtica y las

    construcciones de sus

    ciudades revelan la

    aceptacin de las

    figuras geomtricas.

    En la antigua

    Mesopotamia florece la cultura de los

    babilonios, herederos de los sumerios.

    Tenan el conocimiento de cmo calcular el

    rea de algunas figuras geomtricas como

    el rectngulo, el tringulo y el trapecio; as

    como el volumen de algunos prismas rectos

    y pirmides de base cuadrada.

    Es probable que descubrieran las

    propiedades de la circunferencia, ya que

    asignaron a un valor de 3, estableciendo la relacin entre la circunferencia y el

    dimetro de un crculo.

    Los egipcios La aplicacin de sus conocimientos

    geomtricos se hicieron sobre la medida de

    la tierra, de lo cual se deduce el significado

    etimolgico de Geometra, cuyas races

    griegas son:

    GEO (tierra) y METRON (medida).

    Los egipcios aplicaron sus conocimientos de

    geometra en la construccin de pirmides

    como la de KEOPS, KEFREN y MEKERINOS,

    que son cuadrangulares y sus caras laterales

    son tringulos equilteros, la de KEOPS es

    una de las siete maravillas del mundo donde

    se ha comprobado que

    adems de la precisin en

    sus dimensiones est

    perfectamente orientada.

    Los conocimientos de los

    egipcios estn contenidos

    en cinco papiros, siendo el

    de mayor inters el de

    RHIND donde se

    establecen las reglas para

    calcular el rea del

  • tringulo issceles, rea del trapecio

    issceles y el rea del crculo. Determinaron

    el valor de 3.1604 como relacin entre la

    circunferencia y el dimetro de un crculo,

    valor mucho ms aproximado para .

    Los griegos El pensamiento racional de los griegos

    condujo a los primeros matemticos a

    buscar no slo el cmo, sino adems el porqu de los fenmenos y de la realidad que los rodeaba. Para ellos las matemticas

    tenan un objetivo principal; entender el

    lugar que ocupa el ser humano en el

    Universo, de acuerdo a un esquema

    racional. En Grecia comienza la geometra

    como ciencia deductiva, con los

    matemticos, Tales de Mileto1, Pitgoras de

    Samos2 y Euclides de Alejandra; quienes

    fueron a Egipto a iniciarse en los

    conocimientos de la geometra. Tales de

    Mileto(siglo VII A.C.) fue uno de los sabios, se

    inicia en la filosofa y las ciencias,

    especialmente en la geometra. Resolvi

    algunas dudas como la altura de las

    pirmides, la

    igualdad de los

    ngulos de la

    base en el

    tringulo

    issceles,

    que el valor

    del ngulo

    inscrito en un

    semicrculo es un ngulo

    recto, y demostr algunos

    teoremas relativos a proporcionalidad de

    segmentos determinados en dos rectas

    cortadas por un sistema de paralelas.

    Pitgoras de Samos(siglo VI A.C.) fund la

    escuela pitagrica, atribuyndose el

    teorema que lleva su nombre y que se

    enuncia: El cuadrado construido sobre la hipotenusa de un tringulo rectngulo es

    igual a la suma de los cuadrados construidos

    sobre los catetos. Otro de sus teoremas expresa: La suma de los ngulos interiores de un tringulo cualquiera es igual a dos

    rectos.

  • Euclides de Alejandra(siglo IV A.C.) uno de

    los ms distinguidos maestros de la escuela

    de Alejandra y quin por encargo de

    Ptolomeo Rey de Egipto, reuni y orden los

    teoremas y dems proporciones

    geomtricas en una obra llamada

    Elementos constituida por 13 libros, p or lo cual se le considera el padre de la

    geometra.

    Tales de mileto1

    Pitgoras de Samos2

    Euclides de Alejandra3

  • Definicin de Geometra En su forma ms elemental, la geometra se aplica a la resolucin de problemas mtricos,

    como calcular las reas y permetros de figuras planas, as como superficies y volmenes de

    cuerpos slidos. Es decir, estudia las propiedades de las formas y de los cuerpos geomtricos.

    Para su estudio, la geometra se divide en:

    Geometra plana

    Estudia las propiedades de las superficies y figuras planas como los

    tringulos, las rectas, los polgonos, los cuadrilteros y la circunferencia.

    Esta geometra tambin recibe el nombre de geometra euclidiana, en

    honor del matemtico griego Euclides.

    Geometra del espacio

    Estudia los cuerpos geomtricos cuyos puntos no estn en el mismo plano,

    es decir, las figuras de tres dimensiones. Existen otras geometras

    especializadas en diferentes campos de las matemticas, como son:

  • Geometra analtica

    Estudia las figuras geomtricas utilizando un sistema de coordenada, y

    los problemas geomtricos por mtodos algebraicos, que se

    representan por grupos numricos y las figuras por ecuaciones.

    Geometra descriptiva

    Estudia los cuerpos en el espacio por medio de sus proyecciones sobre

    determinados planos.

  • Conceptos bsicos de la Geometra Euclidiana

    Conceptos no definidos

    La estructura deductiva de la geometra parte de tres conceptos bsicos no definidos que son

    el punto, la lnea y el plano. Son conceptos fundamentales no definidos o primitivos, puesto

    que no hay palabras ms sencillas para definirlos. Sin embargo, se pueden describir

    intuitivamente para comprenderlos y darles un significado.

    Punto:

    Concepto geomtrico no definido que carece de longitud, anchura y espesor. Euclides hizo la

    definicin de un punto como lo que tiene posicin pero no tiene dimensin. La idea de punto

    est sugerida por la huella que deja un lpiz en el papel. Los puntos se representan o designan

    por letras maysculas, por un trazo, una cruz o un pequeo crculo.

    A. Punto A Punto B Punto C

  • Concepto geomtrico no definido que posee longitud pero carece de anchura y espesor. Las

    lneas pueden ser rectas, curvas o combinaciones de stas. La recta es una lnea que tiene

    todos sus puntos en una misma direccin. Cuando los puntos no siguen una misma direccin la

    lnea es curva. La lnea formada por rectas que no siguen la misma direccin es quebrada. La

    formada con rectas y curvas es mixta.

    A

    B

    C D

    E

    F

    G

    H

  • Plano:

    Concepto geomtrico no definido. Una superficie como la de una pared o la de un piso, etc.,

    nos sugiere la idea de un plano. Se suele representar por un paralelogramo y se nombra por

    tres de sus puntos no alineados o por una letra griega. La Geometra plana estudia las figuras

    planas, es decir, las que pueden dibujarse sobre una superficie plana. Una superficie es el lmite

    que separa a los cuerpos del espacio que los rodea. Las superficies slo tienen dos

    dimensiones, largo y ancho.

    Plano

    Plano ABC

    A B

    C D

  • Integrantes:

    Gonzlez Snchez Lizbeth

    Alpizar Rendn Ana Luisa

    Ocaa de los Santos Dana Atzuri

    Vizuet Reyes Abigail

    Arrazola Martnez Carlos Josu

    Grupo:

    2IM18

    Profesora:

    Gabriela Villegas