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ELEMENTOS DE GEOMETRÍA EUCLIDIANA

3.2 GRUPO III. AXIOMAS DE CONGRUENCIA.

III.1 Axioma de la construcción del segmento.

Sea AB un segmento cualquiera y CE una semirrecta de origen C.

Entonces existe en CE un único punto D tal que CDAB . (Ver Figura 30).

Figura 30

En términos prácticos, este axioma afirma la posibilidad de construir o trasladar un segmento

haciendo uso, por ejemplo, de regla y compás.

III.2 La congruencia entre segmentos es una relación de equivalencia

i. Propiedad reflexiva: Cada segmento es congruente consigo mismo, es decir:

ABAB para todo segmento AB .

ii. Propiedad de simetría: Si CDAB , entonces ABCD .

iii. Propiedad transitiva: Si CDAB y EFCD entonces EFAB .

III.3 Sean A, B, C puntos de una recta a y A', B', C' puntos de a ó de otra recta b tales que B

está entre A y C y B' entre A' y C'.

i. Si ''BAAB y ''CBBC , entonces, ''CAAC .

ii. Si ''BAAB y ''CAAC , entonces, ''CBBC .

(Ver Figura 31).

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Figura 31

El anterior axioma expresa que la "suma" y la "diferencia" de segmentos congruentes, dan

lugar a segmentos congruentes.

III.4 Axioma de la construcción del ángulo.

Sea OBOA , un ángulo cualquiera y O' un punto de una recta l situada en un plano .

Sea lΠ uno cualquiera de los semiplanos en que l divide a Π y CO´ una de las semirrectas

en que O' divide a l.

Entonces existe una semirrecta única DO' situada en el semiplano l tal que:

DO' ,' , COOBOA

(Ver Figura 32)

Figura 32

Igual que en III.1, este axioma afirma la posibilidad de construir o trasladar un ángulo

haciendo uso por ejemplo, del compás y la regla.

III.5 La congruencia entre ángulos es una relación de equivalencia

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El siguiente axioma expresa que la relación de congruencia entre ángulos verifica las

propiedades reflexiva, simétrica y transitiva, en términos similares a los del axioma 3.2, es

decir:

i. OBOAOBOA , , .

ii. Si YOXOOBOA ' ,' , , entonces, OBOAYOXO ,' ,' .

iii. Si UDUCOBOA , , y WYWXUDUC , , entonces

WYWXOBOA , , .

III.6 Sea OH , OK , OL semirrectas con un mismo origen O y situadas en un mismo

plano.

Sea RO' , SO' , TO' semirrectas con un mismo origen O’ y situadas en o en otro

plano ' .

Supongamos además que OL está en el interior de OKOH , y TO ' en el

interior de SORO ' ,' . (Ver Figura 33).

En consecuencia:

i. Si TOROOLOH ' ,' , y SOTOOKOL ' ,' , entonces

SOROOKOH ' ,' , .

ii. Si TOROOLOH ' ,' , y SOROOKOH ' ,' , entonces

SOTOOKOL ' ,' , .

Figura 33

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Este axioma, lo mismo que el III.3, expresa que la suma y la diferencia de ángulos

respectivamente congruentes, dan como resultado, ángulos respectivamente congruentes.

Definición 10.

Sean A, B, C tres puntos distintos y no colineales. Los segmentos AB , BC , CA

determinarán el triángulo de vértices A, B, C que denotaremos: ABC ó CBA

, y se

define:

∆ 𝐴𝐵𝐶 = 𝐴𝐵 ∪ 𝐵𝐶 ∪ 𝐴𝐶 .

Los segmentos AB , BC y CA se llaman lados del triángulo. Los ángulos CBA ˆ ,

CAB ˆ y BCA ˆ se llaman ángulos interiores o simplemente, ángulos del triángulo

CBA

y también serán denotados por sus vértices o sea A , B , C .

En un triángulo CBA

, diremos que A es el ángulo opuesto al lado BC y B y C son

ángulos adyacentes a dicho lado. Recíprocamente, BC se llama lado opuesto al ángulo A y el

mismo lado BC se llama lado adyacente tanto a B como a C . (Ver Figura 34).

Esta misma terminología es aplicable a los otros ángulos y lados del triángulo.

Figura 34

Definición 11.

El triángulo ABC es congruente al triángulo A’B’C’ si:

''BAAB , ''CAAC , ''CBBC .

''ˆ'ˆ CBACBA , ''ˆ'ˆ CABCAB , ''ˆ'ˆ ACBACB .

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Escritura simbólica: ''' CBAABC .

(Ver Figura 35).

Figura 35

La definición anterior establece que dos triángulos son congruentes si tanto los lados como los

ángulos se presentan en pares respectivamente congruentes.

Consecuencias de esta definición:

Si dos triángulos son congruentes, entonces, a lados respectivamente congruentes se

oponen ángulos respectivamente congruentes y recíprocamente.

El siguiente axioma establece condiciones mínimas para la congruencia de dos triángulos y se

denomina axioma LADO-ÁNGULO-LADO, en símbolos: L-A-L.

III.7 Axioma L-A-L.

Si los triángulos ABC y A’B’C’ presentan las congruencias: ''BAAB , ''CAAC y

''ˆ'ˆ CABCAB , entonces ''' CBAABC . (Figura 36.).

Figura 36

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Según el axioma L-A-L, dos triángulos son congruentes si en uno de ellos existen dos lados y el

ángulo comprendido (entre dichos lados), respectivamente congruentes a dos lados y el

ángulo comprendido (entre dichos lados), en el otro triángulo.

El siguiente teorema establece que la relación de congruencia entre segmentos

(respectivamente entre ángulos), mantiene la disposición de los puntos en una recta

(respectivamente, la disposición de las semirrectas que tienen el origen en el vértice de un

ángulo.).

Figura 37

Demostración.

Por el axioma de construcción del segmento, existe un punto C’’ en b tal que B’ está entre A’ y

C’’ y además '''CBBC . (Ver Figura 37.).

El teorema quedará demostrado si se logra probar que C’’ coincide con C’.

De las congruencias: ''BAAB .

'''CBBC .

TEOREMA 9.

Sean A, B, C tres puntos de una recta a y A’B’C’ tres puntos de una recta b tales que,

y .

Si B está entre A y C y B’ está del mismo lado que C’ con respecto a A’ (ver Figura 33),

entonces B’ está entre A’ y C’.

''BAAB ''CAAC

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Se obtiene '''CAAC (Suma de segmentos), y como ''CAAC (hipótesis) se concluye

''''' CACA (transitividad). De donde se sigue, como una consecuencia del axioma de

construcción del segmento, que C' y C" coinciden pues están en la recta b, del mismo lado de

A'. Ya que C" se tomó de modo que B' está entre A' y C" se concluye que B' está entre A' y C',

como se quería demostrar.

Tiene lugar un teorema, análogo al anterior, para ángulos.

Figura 38

TEOREMA 10.

Supongamos que en cierto plano fijo se tienen las semirrectas , y y que

en el mismo plano o en otro cualquiera, se tienen las semirrectas , y .

Supongamos además que las semirrectas y están en el mismo semiplano

respecto a la recta y que las semirrectas , tienen disposición análoga

con respecto a .

Entonces, si y

En consecuencia:

Si la semirrecta está en el interior de (Figura 38), la semirrecta

estará así mismo en el interior de .

OH OK OL

'' HO ''KO ''LO

OK OL

OH ''KO ''LO

'' HO

'' ,'' ,. KOHOOKOH

O'L'HOOLOH ,'' ,

OK OLOH , ''KO

'' ,'' LOHO

TEOREMA 11. (Caso Ángulo-Lado-Ángulo: A-L-A)

Sean y dos triángulos tales que:

, ,𝐶��𝐴 ≅ 𝐶′𝐵′𝐴′.

Entonces, . (Figura 39).

ABC ''' CBA

''BAAB ''ˆ'ˆ CABCAB

''' CBAABC

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Figura 39

Demostración.

Esta consistirá en demostrar que ''CAAC con lo cual se tiene ''' CBAABC (por el

axioma L-A-L).

Razonando por reducción al absurdo, supongamos ''CAAC . Sea D un punto en la

semirrecta AC tal que:

''CAAD (Axioma de construcción del segmento).

Por tanto, ''' CBAABD (Axioma L-A-L). (Ver Figura 40).

Figura 40

Luego ''ˆ'ˆ ABCABD y como ''ˆ'ˆ ABCABC , (hipótesis), se tiene por transitividad,

ABCABD ˆˆ lo cual contradice el axioma de construcción del ángulo. Esta contradicción

permite concluir que ''CAAC como se quería demostrar.

Definición 12.

i. Se llama triángulo isósceles aquel que tiene al menos dos lados congruentes

(Figura 41).

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ii. Si el triángulo ABC es isósceles con ACAB y ABBC , entonces se llama

base del triángulo al tercer lado BC .

Figura 41

Demostración.

Figura 42

Sea ABC un triángulo isósceles con ACAB .

Veamos que los ángulos B y C son congruentes.

Sean D y E puntos tales que B está entre A y D, C entre A y E y CEBD . ¿Por qué ? (Ver

Figura 42).

TEOREMA 12.

En todo triángulo isósceles, los ángulos opuestos a los lados congruentes son

congruentes.

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Por suma de segmentos, ADAE .

Entonces en los triángulos EBA

, DCA

se tiene:

ACAB , ADAE , DACEAB ˆˆ .

(El ángulo del vértice en A es común para ambos triángulos).

Se concluye que dichos triángulos son congruentes (L-A-L). De donde:

CEBCDB ˆˆ , CDBE , DCAEBA ˆˆ .

Consideremos ahora los triángulos, BDC , CEB . En dichos triángulos se tiene:

CEBD , BECD , CEBCDB ˆˆ .

Luego CEBBDC (Axioma L-A-L), de donde, BCDCBE ˆˆ . Y puesto que ya se tenía

DCAEBA ˆˆ , se sigue por diferencia de ángulos que BCACBA ˆˆ que era lo que se quería

demostrar.

Definición 13. Primera clasificación angular.

i. Dos ángulos se llaman adyacentes si tienen el mismo vértice, un lado común y

ninguno de los lados de uno de ellos está en el interior del otro (Ver Figura 43).

ii. Dos ángulos hacen un par lineal si son adyacentes y los lados no comunes son

semirrectas opuestas. (Ver Figura 44).

iii. Dos ángulos se llaman opuestos por el vértice si tienen el mismo vértice y sus

lados son semirrectas opuestas. (Ver Figura 45).

Figura 43

Figura 44

Figura 45

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En la Figura 43, los ángulos BOA ˆ , COB ˆ son adyacentes. En la figura 44, los ángulos BOA ˆ y

COB ˆ hacen un par lineal. En la Figura 45, los ángulos COA ˆ y DOB ˆ son opuestos por el

vértice.

Observaciones.

1. Todo ángulo hace un par lineal con, exactamente, dos de sus ángulos adyacentes. En la

Figura 45, el ángulo BOA ˆ hace un par lineal con DOB ˆ y también con COA ˆ .

2. Cuando dos rectas distintas se cortan, determinan, alrededor del punto común, cuatro

ángulos que son opuestos por el vértice de dos en dos. En la Figura 46, las parejas

BOA ˆ y DOC ˆ , así como COA ˆ y DOB ˆ son respectivamente ángulos opuestos por el

vértice.

Figura 46

Demostración.

Sean BOA ˆ , COA ˆ un par lineal y ''ˆ' BOA , ''ˆ' COA otro par lineal tales que ''ˆ'ˆ BOABOA

(Figura 47). Veamos que ''ˆ'ˆ COACOA .

Supongamos que los puntos A', B', C' se tomaron de tal modo que:

TEOREMA 13.

Si uno de los ángulos de un par lineal, es congruente a uno de los ángulos de otro par

lineal, entonces los otros dos ángulos también son respectivamente congruentes.

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Figura 47

'' AOOA , ''BOOB , ''COOC . ¿Por qué? (Ver Figura 48).

Figura 48

Se tiene por la tanto,

''' BOAAOB , (L-A-L) y ''BCCB (Suma de segmentos congruentes).

De donde, ''ˆ'ˆ ABOABO y ''BAAB

Ahora se puede concluir que:

''' CBAABC , (L-A-L)

Luego,

''ˆ'ˆ CBABCA y ''CAAC .

De estas dos últimas relaciones junto con ''COOC podemos afirmar que

''' COAAOC (L-A-L) y por tanto concluir que:

''ˆ'ˆ COACOA como se quería.

Demostración.

Sean BOA ˆ y DOC ˆ ángulos opuestos por el vértice, luego las semirrectas OC y OB están

en línea recta, lo mismo que las semirrectas OA y OD . (Ver Figura 49).

COROLARIO.

Dos ángulos opuestos por el vértice, son congruentes.

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Veamos que los ángulos BOA ˆ y DOC ˆ son congruentes.

Figura 49

Esto resulta como una consecuencia del teorema anterior, ya que el ángulo AOC hace un par

lineal con cada uno de dichos ángulos.

El teorema 14 corresponde al recíproco del teorema 12, como se verá a continuación.

Demostración.

Consideremos en el triángulo ABC, los ángulos CBA ˆ y BCA ˆ congruentes y veamos que

ACAB (Figura 50).

TEOREMA 14.

Si un triángulo tiene dos de sus ángulos congruentes, entonces, los lados opuestos a

ellos son congruentes y en consecuencia el triángulo es isósceles.

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Figura 50

Para ello, sean D y E puntos tales que B está entre A y D, C entre A y E y CEBD . ¿ por qué?

Por el teorema 13, y en vista de que BCACBA ˆˆ y además CBA ˆ y DBC ˆ hacen un par

lineal y BCA ˆ y ECB ˆ hacen otro par lineal, se tiene:

ECBDBC ˆˆ .

Siendo BC un lado común para los triángulos DBCΔ

y EBCΔ

, se concluye que dichos

triángulos son congruentes (L-A-L). De donde:

CDBE , CEBCDB ˆˆ , BCDCBE ˆˆ .

Como se tienen las congruencias, BCACBA ˆˆ y BCDCBE ˆˆ , se sigue que DCAEBA ˆˆ

(Suma de ángulos congruentes) y por lo tanto los triángulos EBA

, DCAΔ

que tienen además

CDBCEB ˆˆ y CDBE , son congruentes (A-L-A), de donde ACAB como se quería

demostrar.

Observación.

Los teoremas 12 y 14 se pueden reunir en un solo enunciado, así:

TEOREMA 15.

Un triángulo es isósceles si y solo si al menos dos de sus ángulos son congruentes.

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Definición 14.

Un triángulo CBA

se llama equilátero si sus tres lados son congruentes, es decir,

BCACAB .

Una consecuencia del teorema 15 es la siguiente:

Observación.

La demostración del corolario anterior se propone al lector.

Definición 15.

Un triángulo ∆ ABC se llama equiángulo si sus tres ángulos son congruentes, es decir

�� ≅ �� ≅ ��.

Demostración.

Sean CBA

y ''' CBA

dos triángulos que tienen: (Figura 51),

''BAAB , ''CAAC , ''CBBC .

Consideremos en el semiplano ABC

~ el punto A" tal que:

'C'B'A''ABC , '''' BABA . (Axiomas de construcción del segmento y el ángulo)

COROLARIO.

Un triángulo es equilátero si y solo si sus ángulos interiores son congruentes.

TEOREMA 16. (Caso Lado-Lado-Lado: L-L-L).

Sí un triángulo tiene sus tres lados respectivamente congruentes a los tres lados de

otro triángulo entonces estos dos triángulos son congruentes.

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Figura 51

Según el axioma de separación, el segmento ''AA tiene un punto P en el segmento BC . Para

dicho punto P se presentan tres opciones:

1. P está en el interior de BC , como en la Figura 51.

2. P coincide con uno de los extremos, corno en la Figura 52.

3. P está en el exterior de BC , como en la Figura 53.

Figura 52

Figura 53

Vamos a demostrar el caso 1. Los otros dos se dejan al lector.

Los triángulos ''' CBA

y CBA

'' son congruentes por tener:

'''' BABA , ''CBBC , ''ˆ'ˆ ABCABC (L-A-L).

Veamos ahora que los triángulos CBAΔ

y CBA

'' son congruentes.

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Por una parte se tiene ''BAAB y BABA '''' , luego BAAB '' (transitividad), de donde

el triángulo ''ABAΔ

es isósceles y por tanto A''AB''AAB (Teorema 12).

En la misma forma, el triángulo ''ACAΔ

es isósceles y por tanto AACAAC ''ˆ''ˆ .

Por otra parte, el segmento ''AA pasa por P, punto entre B y C, luego dicho segmento está en el

interior de los ángulos CAB ˆ y CAB ''ˆ , y por el axioma de suma de ángulos congruentes se

tiene: CABCAB ''ˆˆ .

Finalmente, los triángulos CBAΔ

y CBA

'' tienen:

BAAB '' , CAAC '' , CABCAB ''ˆˆ

y por el axioma L-A-L se concluye, BCAABC '' . Como ya se tenía BCACBÁ '''''

entonces, por transitividad4, ''' CBAABC como se quería demostrar.

Definición 16.

Si los ángulos de un par lineal son congruentes, cada uno de ellos se llama ángulo recto.

(Figura 54).

Figura 54

Para indicar que un ángulo es recto vamos a emplear la siguiente representación gráfica: .

El siguiente teorema garantiza que existen ángulos rectos.

4 Observación: La transitividad para la congruencia entre triángulos es un resultado que se obtiene fácilmente

a partir de la transitividad de la congruencia tanto entre segmentos como entre ángulos.

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Figura 55

Demostración.

Puesto que los puntos C y D están en lados opuestos a la recta l, el axioma de separación

asegura que la recta CD pasa por un punto P de l.

Además los ángulos CPO ˆ , DPO ˆ hacen un par lineal ya que tienen un lado común OP y los

otros dos están en línea recta.

Veamos que el ángulo CPO ˆ es recto. Para ello se tiene que los ángulos COP ˆ y DOP ˆ son

congruentes por hacer pares lineales con respectivos ángulos congruentes COA ˆ y DOA ˆ

(Teorema 13).

Se tienen así los triángulos congruentes CPO

, DPOΔ

por tener:

DOPCOP ˆˆ , ODOC , OP lado común (L-A-L).

Se concluye así que los ángulos del par lineal CPO ˆ , DPO ˆ son congruentes y, de acuerdo a la

definición 15, se sigue que tanto CPO ˆ como DPO ˆ son ángulos rectos.

TEOREMA 17.

Sean O y A puntos de una recta 𝑙. Entonces existen ángulos rectos. (Ver figura 55)

TEOREMA 18.

Todos los ángulos rectos son congruentes entre sí.

O

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La demostración del teorema 18 se deja como ejercicio. Se sugiere utilizar el método de

Reducción al absurdo.

Definición 17. Triángulo rectángulo

Un triángulo se llama rectángulo si al menos uno de sus ángulos es recto.

Observaciones.

1. Más adelante se podrá demostrar que un triángulo no puede tener más de un

ángulo recto.

2. En un triángulo rectángulo los lados adyacentes al ángulo recto se llaman catetos y

el lado opuesto, hipotenusa. (Ver Figura 56).

Figura 56

Definición 18. Punto medio de un segmento

Se llama punto medio de un segmento AB al punto O que está en la recta AB tal que

OBAO .

Observaciones.

1. Es posible demostrar, que todo segmento tiene un punto medio único y que dicho

punto está en el interior del segmento.

La existencia del punto medio garantiza que todo segmento se puede dividir en

dos segmentos congruentes y esto de un modo único.

2. Así como todo segmento tiene punto medio, todo ángulo no nulo tiene una

semirrecta contenida en su interior que lo divide en dos ángulos congruentes. El

nombre de esta semirrecta se da en la siguiente definición:

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Definición 19. Bisectriz de un ángulo

Se llama bisectriz de un ángulo BOA ˆ a la semirrecta OD que está en el interior del

ángulo y además verifica BODDOA ˆˆ . (Ver Figura 57).

Figura 57

Observación.

En forma análoga a lo dicho para el punto medio de un segmento, se puede demostrar que

todo ángulo no nulo tiene bisectriz única y que dicha bisectriz está en el interior del

ángulo.

La existencia de la bisectriz garantiza que todo ángulo no nulo se puede dividir en dos ángulos

congruentes y esto de un modo único.

Definición 20. Rectas perpendiculares

Sean a y b dos rectas distintas. La recta a es perpendicular a la recta b, si a corta a b

determinando ángulos rectos.

Observaciones.

1. Para indicar que a es perpendicular a b se emplea la notación: ba

2. Si ba se sigue de inmediato que ab y por tanto es correcto decir que las

rectas a y b son perpendiculares entre sí o que se cortan perpendicularmente.

3. Si dos rectas se cortan perpendicularmente en un punto, los cuatro ángulos que se

forman alrededor de dicho punto son rectos. (Ver Figura 58).

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Figura 58

Observación.

Vamos a denotar también a las semirrectas que un punto determina en una recta a, por a

y 'a . En consecuencia, a y 'a son semirrectas opuestas de una misma recta a. (Ver Figura

59).

El ángulo formado por dos semirrectas a y b lo denotaremos: ba , . (Ver Figura 60). Materia

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Figura 59

Figura 60

Demostración.

La demostración consta de dos partes. Veamos primero que si l es la recta dada en el plano Π

y A es un punto cualquiera de l, hay por lo menos una recta perpendicular a l que pasa por A y

está situada en Π .

Para demostrar esta primera parte, sea K una recta distinta de l y que también pasa por A. Sea

K una de las semirrectas en que A divide a K.

Si los ángulos Kl, y Kl ,' que forman un par lineal, son congruentes, cada uno es recto

y por tanto lK y la demostración termina. (Figura 61).

Pero si los ángulos del par lineal son diferentes, sea h una semirrecta de origen A situada en el

semiplano K:lΠ tal que:

TEOREMA 19.

Por un punto de una recta dada en un plano pasa una y solo una perpendicular a

dicha recta contenida en dicho plano.

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Figura 61

(1) hlKl ,',

Se presentan dos posibilidades respecto a h :

i. La semirrecta h está en el exterior de Kl, . (Esto ocurre cuando Kl, es

agudo. (Figura 62).

ii. La semirrecta h está en el interior de Kl, . (Esto ocurre cuando Kl, es

obtuso. (Figura 63).

Figura 62

Figura 63

Para ambos casos se puede continuar de la siguiente manera:

Se traza por A la bisectriz b del ángulo h K , . Por tanto:

(2) bKbh , , (Figura 64).

De (1 ) y (2) se obtiene, por suma de ángulos, en el caso del ángulo agudo y por diferencia, en

el caso del ángulo obtuso,

blbl ,' ,

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Estos dos ángulos forman un par lineal, luego cada uno de ellos es recto. Se concluye así que

lb .

Figura 64

Veamos ahora que b es la única perpendicular a l que pasa por A y está en Π . Sea C una

perpendicular al que pasa por A y está en el plano Π Sea c la semirrecta de origen A que está

en el semiplano b:lΠ .

Por tanto el ángulo cl , es recto y como todos los ángulos rectos son congruentes (Teorema

18), se sigue que:

blcl , , .

Por el axioma de construcción del ángulo se concluye que las semirrectas c y b coinciden y

esto demuestra la segunda parte de la prueba.

Definición 21. Mediatriz de un segmento

Dado un segmento no nulo, contenido en un plano dado se llama mediatriz del segmento

de dicho plano a la recta única perpendicular, levantada por el punto medio del segmento

y contenida en dicho plano.

Definición 22. Segmentos notables en el triángulo.

i. En todo triángulo, se llama altura al segmento perpendicular trazado desde uno

cualquiera de los vértices, a la recta que contiene el lado opuesto. (Figura 65).

ii. Se llama mediana, al segmento comprendido entre uno cualquiera de los vértices y

el punto medio del lado opuesto. (Figura 65).

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iii. Se llama bisectriz del triángulo, al segmento comprendido entre uno cualquiera de

los vértices y el lado opuesto y que divide al ángulo correspondiente a dicho

vértice en dos ángulos congruentes. (Ver Figura 65).

Figura 65

BH es altura, AM es mediana, AD es bisectriz.

Observaciones.

Tanto la mediana como la bisectriz son segmentos que están en el interior del triángulo.

Sin embargo la altura no siempre está en el interior. (Esto se demostrará posteriormente).

Puede definirse la bisectriz de un triángulo también como el segmento con extremos en el

vértice y en en el punto donde la bisectriz del ángulo intersecta el lado opuesto.

Demostración:

Sea ABC isósceles con ACAB y AM la mediana comprendida entre los lados

congruentes (Figura 66).

Se tiene MCBM (definición de mediana) con M entre B y C.

Por tanto, ACMABM (L-L-L).

De donde, MACBAM , luego AM es bisectriz del ABC .

TEOREMA 20. Propiedades de los segmentos notables en el triángulo isósceles.

En un triángulo isósceles, la mediana comprendida entre los lados congruentes es

altura, bisectriz y está contenida en la mediatriz del lado asociado a la mediana.

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Figura 66

También AMCBAM , con lo cual se tiene un par lineal de ángulos congruentes y por

tanto MCAM o sea que AM es altura del ABC .

Además, como M es un punto medio de BC , el segmento AM está sobre la mediatriz del

segmento BC .

Observación.

También es cierto que si en un triángulo coinciden la mediana y la bisectriz, o la mediana y

la altura, o la altura y la bisectriz, o la mediana está sobre la mediatriz, entonces dicho

triángulo es isósceles. Este teorema se probará posteriormente porque una parte de la

demostración requiere un caso de congruencia de triángulos rectángulos que no se tiene

todavía justificado. Este resultado se designa como Teorema recíproco de los

segmentos notables en un triángulo.

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