geometría analítica...sistema de ejes coordenados rectangulares denominado también, sistema de...

Geometría Analítica MATEMÁTICAS

1 g.f.s.

CENTRO DE BACHILLERATO TECNOLÓGICO INDUSTRIAL Y DE SERVICIOS No 158

Guía de aprendizaje

Geometría Analítica

S.A.E.T.I.

Chihuahua, Chih., mayo 2018


2 g.f.s.

SISTEMA DE COORDENADAS

Apertura

Actividad de apertura

Nombre:___________________________________________________________Gpo:_________

Apertura. Secuencia uno

I. De manera individual y tomando nota en sus libretas los alumnos, darán respuestas a los siguientes

cuestionamientos, al terminar en grupo y dirigidos por su maestro comentaran las respuestas

obtenidas.

1.- En la época del auge del transporte marítimo donde grandes barcos navegaban por el mundo, para

transportar víveres o realizar travesías, ¿qué utilizaban los capitanes de los barcos para trazar las rutas de sus

viajes y no perder rumbo?

________________________________________________________________________________________

________________________________________________________________________________________

________________________________________________________________________________________

2.- De la película de los Piratas del Caribe Realiza el dibujo de la brújula que orienta así lo que más se quiere

(lo recuerdas), sin olvidar todas sus partes que señalan las direcciones.

3.- Matemáticamente: ¿A qué te recuerda el señalamiento de la brújula que indica el Norte, Sur, Este u Oeste?

____________________________________________________________________________________

____________________________________________________________________________________

II. En el siguiente plano ubica las coordenadas para identificar las rutas del barco Perla Negra en el

mar Caribe. Ubica los puntos señalados con la letra inicial y al final une los puntos para que observes el

recorrido.

(P) Playa Paraíso: (-5, 0)

(T) Isla “Tortuga”: (-2, 4)

(R) Rincón de las Almas: (3, 2)

(PÑ) Puerto Peñasco: (4, 4)

(V) Isla de las Víboras: (9, 5)


3 g.f.s.

Desarrollo

Introducción a la geometría analítica

La historia del origen de la Geometría es muy similar a la de la Aritmética, siendo sus conceptos más antiguos

consecuencia de las actividades prácticas. Los primeros hombres llegaron a formas geométricas a partir de la

observación de la naturaleza.

Durante el siglo XVII surgieron casi todas las disciplinas matemáticas, produciéndose en lo que a la

geometría se refiere el nacimiento de la geometría analítica. Sin duda los dos grandes en esta materia y época

fueron René Descartes (1596-1650) y Pierre de Fermat (1601-1655).

Las ideas de la geometría analítica, es la introducción de coordenadas rectangulares y la aplicación a la

geometría de los métodos algebraicos, esto se concentra en una pequeña obra: "Introducción a la teoría de

los lugares planos y espaciales". Aquellos lugares geométricos representados por rectas o circunferencias se

denominaban planos y los representados por cónicas, espaciales.

Fermat abordó la tarea de reconstruir los "Lugares Planos" de Apolonio,

describiendo alrededor de 1636, el principio fundamental de la geometría

analítica: "siempre que en una ecuación final aparezcan dos incógnitas,

tenemos un lugar geométrico, al describir el extremo de uno de ellos una

línea, recta o curva".

Lo que sí está totalmente demostrado, es que la introducción del método de

coordenadas deba atribuirse a Fermat y no a Descartes, sin embargo su obra no

ejerció tanta influencia como la Geometría de Descartes, debido a la tardanza de

su edición y al complejo lenguaje algebraico utilizado.

El desarrollo posterior de la geometría analítica, mostró que las ideas de Descartes sobre la unificación del

álgebra y geometría no pudieron realizarse sino que siguieron un camino separado aunque relacionado.

El surgimiento de la geometría analítica, aligeró sustancialmente la formación del

análisis infinitesimal y se convirtió en un elemento imprescindible para la

construcción de la mecánica de Newton, Lagrange y Euler, significando la

aparición de las posibilidades para la creación del análisis de variables.

La historia de las matemáticas considera a René Descartes el fundador del sistema

matemático moderno y por lo tanto el padre de la geometría analítica.

El cálculo y la geometría analítica marcan el comienzo de las matemáticas

modernas en el siglo XVII.

Geometría Analítica: Estudia las figuras geométricas utilizando un sistema de coordenadas, y resuelve los

problemas geométricos por métodos algebraicos, que se representan por grupos numéricos y las figuras por

ecuaciones.

SISTEMA UNIDIMENSIONAL

Localización de un punto en la recta.

Un punto puede estar situado en una recta, en un plano o en el espacio, según donde se halle, cambia la

referencia para localizarlo. En un sistema de coordenadas unidimensional se utiliza un solo eje (generalmente

en forma horizontal) donde existe un punto llamado origen representado por el cero, a la izquierda del origen


4 g.f.s.

se encuentran los valores negativos y a la derecha los positivos. Este sistema también es conocido como

recta numérica.

Ejemplo 1: Ubica en la recta numérica los siguientes puntos:

SISTEMA BIDIMENSIONAL

Un sistema de referencia es un plano que permite representar puntos con los que es posible construir gráficas

o analizar figuras geométricas. En Matemáticas, los sistemas de referencias más comunes son el sistema de

coordenadas cartesianas y el sistema de coordenadas polares.

Un sistema de ejes coordenados se forma

cuando dos líneas rectas se intersecan. Si las

rectas son perpendiculares entre sí, se tiene un

sistema de ejes coordenados rectangulares

denominado también, sistema de coordenadas

cartesianas. Este sistema fue creado por el

matemático y filósofo francés René Descartes

(1596-1650).

La recta X se denomina eje X o eje de las

abscisas, y la recta Y es el eje Y o eje de las

ordenadas. El punto de intersección de los ejes

coordenados, es el punto O llamado origen.

Los ejes coordenados dividen al plano en 4

regiones llamadas cuadrantes, que se

enumeran en sentido contrario al giro de las

manecillas de un reloj y se enumeran con

números romanos.

Localizar un punto en el plano

En un sistema de coordenadas bidimensional se establece una relación:


5 g.f.s.

A cada par de números reales (x, y) le corresponde un punto definido del plano y a cada punto del plano le

corresponde un par único de coordenadas (x, y).

Ejemplo 1: Localizar el punto A (-3, 1)

El primer número del par

ordenado indica desplazamiento

horizontal con respecto al cero.

- 3

positivo para los puntos ubicados a la derecha

negativo para los puntos ubicados a la izquierda

El segundo número del par

ordenado indica desplazamiento

vertical con respecto al cero.

1

positivo para los puntos ubicados hacia arriba.

negativo para los puntos ubicados hacia abajo

Ejemplo 2: Ubicar en un plano cartesiano los siguientes puntos:

A(-2, 3), B(2, -3),

C(2, 3), D(-2, -3),

E(0, 5), F(5, 0),

G(4, 4), H(-4, -4)


6 g.f.s.

Práctica 1

Nombre: ___________________________________________________________Gpo:_________

Sistema coordenado rectangular

a) P1 ( 5 , 3 ) f) P6 ( -4 , 0 )

b) P1 ( 2 , 0 ) g) P7 ( 4 , -3 )

c) P3 ( -4 , 7 ) h) P8 ( 0 , -5 )

d) P4 ( 0 , 3 ) i) P9 ( 8/3 , -15/4 )

e) P5 (-6 , -2 ) j) P10 (-7/2 , 8/5 )


7 g.f.s.


8 g.f.s.

PARTIENDO DE LA LOCALIZACIÓN DE PUNTOS EN UN PLANO, DETERMINAR

ÁREAS, DISTANCIAS Y PUNTO MEDIO.

Áreas de polígonos a partir de vértices

Es posible determinar el área de un polígono situado en un plano cartesiano aplicando un procedimiento

sencillo. Éste se basa en la fórmula para hallar el área de un triángulo:

donde b es la base y h es la altura del triángulo.

Área de un triángulo

Sean P1(x1,y1), P2(x2,y2), P3(x3,y3), los vértices de un triángulo cualquiera, entonces su área se determina mediante

la siguiente fórmula:

Donde :

A = área del triángulo

El área de un polígono es igual a

la suma de las áreas de los

triángulos en que se descompone,

sin traslapes.


9 g.f.s.

Sean P1(x1,y1), P2(x2,y2), P3(x3,y3),… Pn(xn,yn) los vértices

de un polígono cualquiera, entonces su área se determina

mediante la siguiente fórmula la cual consiste en construir

una arreglo vertical que contiene las coordenadas de los

vértices del polígono en el siguiente orden:

Áreas de polígonos a partir de vértices

Ejemplo 1: Calcula el área del triángulo cuyos vértices son A (0,0), B (5,6), C (7,2)

Paso No.1:

Se escribe el arreglo formado por tres hileras y dos columnas, debajo de la

tercera hilera colocamos nuevamente el primer renglón:

Paso No.2:

Se encuentra la suma de cada uno de los productos de los dos números por

los que pasa cada una de las diagonales que se observan en la imagen:


10 g.f.s.

Paso No.3:

Se encuentra la suma de cada uno de los productos de los dos números por los

que pasa cada una de las diagonales:

Paso No.4

El valor del determinante es la resta de los dos resultados obtenidos de las

multiplicaciones en el paso 2 y 3:

10 – 42 = -32

Paso No.5:

Aplicando la fórmula del triángulo, por lo tanto el área del triángulo es:

Ejemplo 2: Calcula el área de una región limitada por:

(-6, 16), (16, 6), (-10, -4), (12, 12) y (20,-8)

1) Se ubican las coordenadas en un plano bidimensional.


11 g.f.s.

2) Se escribe el arreglo formado por cinco hileras y dos

columnas, debajo de la quinta hilera colocamos nuevamente el

primer renglón, para el orden de las coordenadas se toman según

los cuadrantes del plano con sentido contrario a las manecillas del

reloj iniciando en el primer cuadrante.

3) Se encuentra la suma de cada uno de los productos de los dos

números por los que pasa cada una de las diagonales como se

observa en la imagen:

4) Se encuentra la suma de cada uno de los productos de los dos

números por los que pasa cada una de las diagonales:

5) El valor del determinante es la resta de los productos de los

pasos 3 y 4 :

608 - ( - 368 ) = 976

6) Aplicando la fórmula del triángulo, por lo tanto el área del

triángulo es:

Distancia entre dos puntos.

Segmentos dirigidos: Cuando en geometría usamos segmentos que representan magnitudes vectoriales, es necesario indicar el

sentido de dichos segmentos; esto lo hacemos usando los signos + o - , que se obtienen cuando establecemos

la diferencia de las abscisas o bien de las ordenadas. Para ello se sigue un orden preestablecido, consistente en

señalar una letra que corresponde al punto donde se inicia el segmento y a continuación la letra que

corresponde al punto donde termina el segmento.

Distancia dirigida: puede ser positiva o negativa dependiendo del sentido. Pero como se toma su valor

absoluto la distancia es siempre positiva.

Dado los puntos P1 y P2 en la recta numérica


12 g.f.s.

Cuando no consideramos el sentido, hablamos simplemente de distancia entre los puntos.

El valor absoluto de la distancia no dirigida entre los puntos, es la distancia entre ellos.

La distancia entre P1 y P2 es 9:

Ejemplos: Determina la distancia no dirigida entre los puntos dados a continuación


13 g.f.s.

Distancia entre dos puntos

La distancia entre dos puntos se puede presentar en tres formas:

Horizontal

Si los valores de “y” son

iguales

Vertical

Si los valores de “x” son iguales

Inclinada

Cuando los valores de “x” y “y”

son diferentes

Donde: d = distancia

Ejemplo 1: Encuentra la distancia entre los puntos: P1 (-3,2) y P2 (5,2)

Observamos que las ordenadas de los puntos son iguales por lo tanto utilizamos la formula de la distancia

entre dos puntos en forma Horizontal:

Ejemplo 2: Encuentra la distancia entre los puntos cuyas coordenadas son: P1(0,5) y P2(0,-3)

Observamos que las abscisas de los puntos son iguales por lo tanto utilizamos la formula de la distancia entre

dos puntos en forma Vertical:


14 g.f.s.

Desarrollo para determinar la formula de la distancia entre dos puntos en su forma inclinada:

Encuentra la distancia entre los puntos P1 (x1, y1) y P2 (x2, y2) en el plano, así como también el

segmento de recta

Al trazar por el punto P1 una paralela al eje x y por P2 una paralela al eje y, éstas se interceptan en el

punto R, determinado el triángulo rectángulo P1RP2 y en el cual podemos aplicar el teorema de Pitágoras:

Pero

Donde

Sustituyendo los datos anteriores tenemos:

Sacamos la raíz cuadrada de ambos lados

Por lo tanto la distancia entre los puntos P1 y P2 está dada por:

Ejemplo 3: Encuentra la distancia entre los puntos cuyas coordenadas son: A (-3, -2) y B (2,4).

Observamos que las “x” y “y” son diferentes, por lo tanto utilizamos la fórmula de la distancia entre dos

puntos en forma Inclinada:


15 g.f.s.


16 g.f.s.

Práctica 2

Nombre:____________________________________________________________Gpo:_________

Distancia entre dos puntos. Áreas y perímetros.

I. Resuelve los ejercicios siguientes con base en lo que se indica en cada figura.

1. Calcula la distancia entre los puntos A y C de la figura siguiente.

16.1

2. Calcula la longitud del segmento de recta AB de la figura que sigue.

13


17 g.f.s.

II. Resuelve los ejercicios siguientes a partir de los datos proporcionados.

3. Halla la distancia que hay entre los puntos

A(7, 3) y B(12, 5).

4. Halla la distancia que hay entre los puntos M(—2,8) y

N(-6, 1).

5.38

Raíz de 65

III. Responde a las preguntas 7, 8, 9, 10 y 11 con base en el triángulo siguiente.


18 g.f.s.

7. Calcula la longitud del lado AB.

9. Calcula la longitud del lado AC.

15.81 12.65

8. Estima la longitud del lado BC.

10. Determina el perímetro del triángulo.

9.49 37.95

11. Calcula el área del triángulo.

60 U2


19 g.f.s.

Coordenadas de un punto que divide un segmento en una razón dada

En matemáticas básicas se abordaron los temas de razón y proporción, de los cuales se retomarán definiciones

para encontrar puntos de división de un segmento. Como recordarás, razón es la comparación por división de

dos cantidades semejantes, por lo general es mediante el cociente de las mismas.

Ejemplo 1.

Diego puede leer 350 palabras por minuto y un lector promedio lee 250 palabras por minuto. ¿Cuánto más

rápido lee Diego? Para poder encontrar la relación, se divide:

Esto es, por cada 7 palabras que lee Diego, un lector promedio lee 5.

De la misma forma si se tiene un segmento que es dividido en dos partes, la razón se calcula de la manera

siguiente

A continuación se realizará un análisis de diferentes razones en el eje coordenado horizontal y posteriormente

se generalizará al plano cartesiano.

Ejemplo 2.

El punto P divide el segmento punto biseca al segmento.

en dos partes iguales, encontrar la razón a la cual el

Independientemente de lo que mida cada tramo, son iguales, y la razón se establece:

El punto de división es el punto medio y los segmentos están a razón de 1.

Ejemplo 3.

Se divide el segmento

en tres partes iguales, encontrar las razones en las cuales se

divide al segmento por cada punto de trisección.


20 g.f.s.

Primero se obtiene la razón a la cual punto P1 divide al segmento denominándola r1.

Ahora se obtiene la razón para el punto P2, la cual se denomina r2.

Por lo tanto, el primer punto de trisección P1 está a razón de 1/2, y el punto P2 está a razón de 2.

Ejemplo 4.

Se divide un segmento en 4 partes iguales y se desea encontrar la razón del punto que está a la izquierda del

extremo izquierdo, como se ve en la figura.

En este caso el segmento AP cambia de dirección y se refleja en el numerador de la razón, como se observa a

continuación.

Ejemplo 5.

Se divide un segmento en 4 partes iguales y se desea encontrar la razón del punto que está a la derecha del

extremo derecho del segmento.


21 g.f.s.

División de un segmento del plano cartesiano, en una razón dada.

Para dividir un segmento construido en el plano cartesiano, se requiere ubicar un punto que lo divida y trazar

las proyecciones de sus coordenadas.

A continuación se observa que se forman dos triángulos semejantes con las proyecciones, ya que los ángulos

que forman el segmento con las proyecciones horizontales son iguales, por lo cual, se puede establecer las

proporciones de los lados correspondientes, como se muestra a continuación.

Cambiando la parte izquierda de cada una de las proporciones

anteriores por “r”, ya que corresponde a lo que se conoce como

razón, se obtiene:

Si se desea encontrar las coordenadas del punto de partición P(x, y),

teniendo como datos conocidos los extremos del segmento y la

razón a la que se encuentra el punto, se puede deducir la fórmula a

partir de las proporciones anteriores, de la siguiente manera:


22 g.f.s.

Se realiza el despeje de las variables “x” y “y” de la proporción correspondiente.

Las fórmulas obtenidas son las coordenadas del punto que divide a un segmento a una razón dada.

Ejemplo 1: Hallar las coordenadas del punto P(x, y) que divide al segmento cuyos extremos son los puntos A

y B, y encuentra la distancia entre los puntos cuyas coordenadas son A (1, 1) y B (11,6) en una razón de

Paso 1: Aplicamos las fórmulas

Paso 2:

Sustituyendo los datos:

Tenemos que:

Paso 3:

Por lo tanto las coordenadas del punto P son: P(5, 3)

Punto medio. (Pm) es un caso particular de la

división de un segmento en una razón dada, en la

cual r = 1. De acuerdo con ello, obtenemos las

fórmulas para calcular el punto medio:

Por lo tanto las coordenadas del punto medio

son: Pm = (Xm , Ym )


23 g.f.s.

Ejemplo 1: Calcula las coordenadas del punto medio del segmento rectilíneo P1 (4, –2) y P2 (3, 4)

Paso1:

Aplicamos las fórmulas

Paso 2:

Sustituyendo los datos

Tenemos que:

Paso3:

Por lo tanto las coordenadas del punto

medio son:


24 g.f.s.

Práctica 3

Nombre:____________________________________________________________Gpo:_________

Dividir un segmento en una razón dada

I. Resuelve los ejercicios siguientes.

1. Determina en qué razón el punto P(3, 3) divide el segmento de recta cuyos puntos extremos

son A(-5,1) y B(15,6)

2/3

2. Indica en qué razón divide el punto P{3, 2) el segmento de recta AB cuyos puntos extremos son

A(—4, 7) y B(10, -3)

1


25 g.f.s.

3. Indica las coordenadas del punto P(x, y) que divide el segmento de recta determinado por los

puntos A(-4, 3) y B(8,6) en la razón r = 2.

P(4,5)

4. Halla las coordenadas del punto P(x, y) que divide el segmento de recta cuyos puntos

extremos son A(-3, 8) y B(9, -4) en la razón r =1/2

P(l,4)

5. Determina las coordenadas del punto P{x, y) que divide el segmento de recta cuyos puntos

extremos son P1(-3, 1) y P2(6,7) en la razón r = -1/3

P(-15/2, -2)

6. El punto P(4, 1) es el punto medio del segmento de recta cuyos extremos son los puntos

P1(x, 7) y P2(5, y). Determina los valores de "x" y" y".


26 g.f.s.

x = 3 , y = -5

9. P(1, 3) es el punto medio del segmento de recta AB y las coordenadas de A son (-1,11). Halla

las coordenadas del punto B

B(3, -5)

10. El punto medio del segmento PQ es el punto R(-2, 3); las coordenadas del extremo P son

(6, 5). Halla las coordenadas del punto Q.

Q(-10, 1)


27 g.f.s.

Apertura

Actividad de apertura

Nombre: ___________________________________________________________Gpo:_________

Apertura. Secuencia dos

I. De manera individual contesta el siguiente ejercicio.

Un tema de preocupación de la humanidad es el calentamiento global, éste se esta viendo reflejado en

diversos cambios climáticos, uno de ellos es en el aumento de agua y temperatura en el mar por los deshielos

glaciares, a continuación realiza lo que se te pide y contestas las preguntas.

a) Indica los puntos de acuerdo a la

siguiente información:

(N1) Nivel del Mar en 1980: (-4, -2)

(N2) Nivel del Mar en 2003: (8, 5)

b) Une los puntos con color azul.

c) Observa el comportamiento del nivel

del mar

d) ¿Qué relación encuentras entre el comportamiento del nivel del mar con el título: espacio y diversidad?

________________________________________________________________________________________

________________________________________________________________________________________

________________________________________________________________________________

II. De manera individual contesta las siguientes preguntas y guiados por tú maestro realicen un

pequeño debate grupal.

1.- ¿Crees recomendable en los próximos años invertir en bienes raíces a la orilla del mar?

¿Por qué?

________________________________________________________________________________________

_______________________________________________________________________________

2.- Si ustedes fueran parte de un consejo técnico para la prevención de catástrofes ambientales, que

recomendaciones propondrían para los constructores de las zonas costeras.

(Menciona mínimo 3 recomendaciones).

________________________________________________________________________________________

________________________________________________________________________________________

________________________________________________________________________________________

________________________________________________________________________________________

________________________________________________________________________________________

_______________________________________________________________________________


28 g.f.s.

LÍNEA RECTA

Desarrollo

Desde el punto de vista analítico, la ecuación de una recta y su gráfica sirven para modelar situaciones de

variada naturaleza, donde la tasa de crecimiento o decrecimiento es constante como: pagos de impuestos,

alargamiento de materiales, costos de productos, interés simple de un capital, ingresos económicos,

conversión de escalas de temperatura, etc. El uso de estos modelos lineales en la vida es muy extenso. Es

importante por esta razón conocer las diversas definiciones de la línea recta, entre ellas se encuentran:

Geométricamente

Analíticamente

Gráficamente

Se define como la distancia más corta entre dos puntos.

Es una ecuación de primer grado con dos variables.

Es el lugar geométrico de la sucesión de puntos, tales que, tomados dos puntos

diferentes cualesquiera P1( X1 , Y1 ) y P2 ( X2 ,Y2 ) del lugar geométrico, el valor de

la pendiente m es siempre constante.

PENDIENTE E INCLINACIÓN DE UNA RECTA

La pendiente ( m ) de una recta “ L ” se define como

la razón que existe en la variación de ordenadas (eje

y) entre la variación de abscisas (eje x).

La siguiente figura muestra la gráfica de la ecuación lineal y =

2x – 4, en ella se puede observar que el valor de y aumenta en

2 unidades cada vez que el valor de x aumenta una unidad,

La razón de cambio de y entre el cambio correspondiente de x

es.

A esta razón se le llama pendiente de la recta y se define

como sigue:

También se denomina pendiente o coeficiente angular de una recta a la tangente de un ángulo de inclinación.

Si la pendiente de la recta es:


29 g.f.s.

Valor del ángulo de inclinación:

A partir de la ecuación , despejando para el ángulo de inclinación de una recta tenemos:

Ejemplo 1: Encuentra y grafica la pendiente de la recta y su ángulo de inclinación determinada por los

siguientes pares de puntos:


30 g.f.s.

a) A (-4, -1) y B (5, 2)

Paso 1: Identificamos P1 y P2. Si P1 (X1, Y1) = (-4, -1) y P2 ( X2, Y2) = (5, 2), entonces tenemos que:

Paso 2: Sustituir datos en formulas correspondientes

b) A (3, -6) y B (-2, 5).

Paso 1: Identificamos los P1 y P2

Si P1( X1, Y1) = (3, -6) y P2( X2, Y2) = (-2, 5), entonces tenemos:

Paso 2:Sustituir datos en formulas correspondientes

Paso 3: Los resultados son:

Pendiente es: m = - 2.2

Ángulo de inclinación de la recta es:

Θ= 114.44°

c) A(3, -1) y B(-2, -1)


Si P1( X1, Y1) = (3, -1) y P2( X2, Y2) = (-2, -1),


31 g.f.s.

entonces tenemos :



Pendiente es:

m = 0


Θ = 0°

d) A(4, -4) y B(4, 5)


Si P1( X1, Y1) = (4, -4) y P2( X2, Y2) = (4, 5) entonces tenemos :



Pendiente es:

m = ∞


Θ = 90°

Ejemplo 2: Calcule la pendiente, dado el ángulo de inclinación.

El procedimiento a seguir para su solución es sustituir el ángulo en la formula:


32 g.f.s.

Ejemplo 3: Dada la pendiente, encuentre el ángulo Θ de inclinación.

Como la pendiente es negativa entonces el ángulo de

inclinación que resulta negativo se tendrá que hacer

una diferencia con respecto a 180° para obtener un

ángulo positivo:

Como la pendiente es positiva el ángulo de

inclinación es el resultante de la formula:

Θ = 63.43°

Como la pendiente es cero entonces el ángulo de

inclinación es:

Θ = 0°

Como la pendiente es negativa entonces el ángulo de

inclinación que resulta negativo se tendrá que hacer

una diferencia con respecto a 180° para obtener un

ángulo positivo:


33 g.f.s.

Práctica 1

Nombre:____________________________________________________________Gpo:_________

La recta. Ángulo de inclinación y pendiente de una recta.

I. Halla la pendiente y la inclinación de cada una de las rectas siguientes.


34 g.f.s.

5. Determina la pendiente y la inclinación de la recta que pasa por los puntos A(-3, 0) y B(1, 2).

a. Pendiente

m = 1/2

b. Inclinación de la recta

Ɵ = 26.56°

6. Determina la pendiente y la inclinación de la recta a. Pendiente que pasa por los puntos M(-3, 3) y N(3, -4).

a. Pendiente b. Inclinación de la recta

m = -7/6 Ɵ = 130.6°

7. Halla la pendiente y la inclinación de la recta que p asa por los puntos P1(7, 3) y P2(4, -3).

a. Pendiente b. Inclinación de la recta

m = 2 63,43°

8. Halla la inclinación de la recta que pasa por los puntos A(-1, 1) y B(2, 4).

Ɵ=45°

9. Halla la inclinación de la recta que pasa por los puntos A(2, 9) y B(7, 4).

Ɵ= 135°


35 g.f.s.

FORMAS DE LA ECUACIÓN DE UNA RECTA La ecuación de la línea recta se puede presentar de distintas maneras, destacando en cada caso alguna

característica del lugar geométrico.

Formas de la ecuación de la recta

Ejemplo 1:

Encuentra la ecuación de la recta en las formas punto-pendiente y - y1= m(x - x1 ), pendiente-ordenada

y m x b , y general A x B y C 0, que pasa por los puntos A (-2,3) y B (5,-2)

Solución:

Primero hay que encontrar la pendiente

Para la forma punto-pendiente

por donde pasa. necesitamos conocer la pendiente y un punto

Si tenemos que

y tomamos el punto A (-2,3), se sustituyen en la ecuación:

Por lo tanto, la ecuación de la recta de la forma punto – pendiente es:

Para la forma pendiente- ordenada y = m x + b


36 g.f.s.

Tenemos que encontrar el valor de b, para ello, sustituimos el valor de m y uno de los puntos A o B en la

ecuación de la forma pendiente ordenada, una vez obtenido, se acomodan los valores de acuerdo a la forma de

la ecuación.

Despejamos b de la ecuación

Sustituyendo el punto B (5, -2) en la ecuación ya despejada tenemos que:

Por lo tanto, la ecuación de la recta de la forma pendiente – ordenada es:

Para la forma general

De la forma pendiente-ordenada despejamos la ecuación a la izquierda e igualamos a cero.

Multiplicamos todo por el mínimo común denominador (m.c.d.) para este caso 7 tenemos que

Por lo tanto, la ecuación de la recta de la forma general es:

Ejemplo 2:

En mí casa se consumen dos refrescos diarios por persona al día, mí mama compra 3 refrescos extras por si

hace falta, crea la ecuación de la recta y representarla en una grafica.

Solución:

R(n) representa la cantidad de refrescos a comprar, mientras que n es la cantidad de personas consumidoras de

refresco en la casa.

Con una persona en la casa la cantidad de refresco a comprar seria: R(1) = 2(1)+3= 5.

Con dos personas: R(2) = 2(2)+3 =7

Con tres personas: R(3) = 2(3)+3 =9

Con cuatro personas: R(4) = 2(4)+3 =11

Por lo que se puede deducir que la ecuación R(n) = 2(n)+3 representa la cantidad de refrescos a comprar

dependiendo de la cantidad de n personas que se encuentren en casa.

De donde y = 2x+3 representa la ecuación de la recta pendiente-ordenada, que muestra la cantidad de

refrescos a comprar respecto la cantidad de n personas presentes en casa.


37 g.f.s.

La ecuación general de la recta se obtiene igualando a cero, por lo que resulta 2x-y+3=0.

Gráficamente:

Ecuación:

y=2x+

3

(Ejercicios en binas)

En binas resuelve los ejercicios que a continuación se presentan real ízalos en tú libreta en lo individual,

anexándolo al reverso.

A) Encuentra la ecuación de la recta en las formas punto-pendiente , pendiente-

ordenada y = m x +b, y en general que pasa por los pares de puntos dados. No olvides

graficar, puedes utilizar hojas milimétricas:

B) Escribe la ecuación de la recta en su forma pendiente ordenada dada por la pendiente ( m ) y con

intersección en “ y ” ( b ).

C) Encuentra la ecuación de la recta en la forma punto-pendiente y general que pasa por el punto A y que

tiene pendiente m.

D) Encuentra la pendiente (m) y la ordenada (b) de las siguientes rectas.


38 g.f.s.

Práctica 2

Nombre:____________________________________________________________Gpo:_________

La recta. Ecuación de la recta Punto-pendiente, y Pendiente-ordenada en el origen.

I. Escribe la ecuación que corresponde a la respuesta correcta en la forma pendiente-ordenada en

el origen. Además determina la gráfica.

1. Halla la ecuación de la recta que pasa por el punto P(-4, 5) y cuya pendiente es 2.

y = 2x + 13

2. Halla la ecuación de la recta que pasa por el punto A(4, -3) y que tiene pendiente igual a -2.

y = -2x + 5

3. Encuentra la ecuación de la recta que pasa por los puntos A(—3, 0) y B(l, 2).

4: Halla la ecuación de la recta que pasa por los puntos Q{-4, -6) y R(l, 9).

y = 3x + 6

5. Halla la ecuación de la recta que pasa por el punto (-5,4) y cuya pendiente es igual a 3/5


39 g.f.s.

6. Determina la ecuación de la recta de pendiente 4 y ordenada en el origen igual a -5

y = 4x - 5

7. Determina la ecuación de la recta de pendiente -3 y ordenada en el origen igual 7

y = - 3x +7

8. Determina la ecuación de la recta de la figura siguiente

Y = x + 5

9. Determina la ecuación de la recta de la figura siguiente


40 g.f.s.

Práctica 3

Nombre:____________________________________________________________Gpo:_________

La recta. Gráfica de una recta y aplicaciones.

1. Utiliza la técnica descrita párrafos atrás para trazar la gráfica de la función y = 2x - 3. {Nota:

puedes escribir el valor de la pendiente como la razón -2/1 o como 2/-1. Si el cambio vertical es

negativo el desplazamiento a partir del punto (0, b) es hacia abajo, y si el cambio horizontal es

negativo el desplazamiento es hacia la izquierda.

2. Utiliza la pendiente y la ordenada en el origen para trazar la recta cuya ecuación es :

1. El valor comercial de un automóvil que tiene ocho años de uso es de $56 000. Cuando tenía

cinco años de uso, su valor era de $80 000. Si dicho valor varía linealmente con el tiempo,

determina:

a. La ecuación particular que expresa el valor del auto en términos del tiempo de uso.

c. El valor del automóvil cuando era nuevo


41 g.f.s.

V = -8000t + 120000

Costo nuevo $120000

b. El valor del automóvil cuando tenga 12 años de uso

$24000

d. A los cuántos años de uso el automóvil ya no tendrá valor comercial

15 años

e. Utiliza la pendiente como razón de cambio para completar la tabla siguiente.

T 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

v

2. Una casa que tiene cuatro años de uso tiene un valor de $480 000, pero cuando era nueva su

valor era de $300 000. Si el valor de la casa varía linealmente con el tiempo, calcula. a. La ecuación que expresa el valor de la casa en valor de la casa

dentro de 20 años.

V = 45000t + 300000

c. La variación del valor de la casa por año. términos del tiempo.

$45000/año

b. El valor de la casa dentro de 20 años.

$1200000

d. Completa la tabla.

T 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

t


42 g.f.s.

Práctica 4

Nombre:____________________________________________________________Gpo:_________

La recta. Ecuación de la recta en Forma simétrica, y Forma general.

I. Forma simétrica

1. Halla la forma simétrica de la ecuación de la recta cuya abscisa y ordenada en el origen son 2 y 7, respectivamente.

3. Halla la forma simétrica de la ecuación de la recta de la figura siguiente.

2. Halla la forma simétrica de la ecuación de la recta cuya abscisa y ordenada en el origen son -3 y 5, respectivamente

4. Halla la forma simétrica de la ecuación de la recta de la figura siguiente.

6. Halla la forma simétrica de la ecuación de la recta

y = 5x + 10

5. Halla la forma simétrica de la ecuación de la recta y = 3x - 12.

7. Halla la forma simétrica de la ecuación de la recta 4x - 5y - 20 = 0.


43 g.f.s.

II. Forma general

1. Halla la forma general de la ecuación de la recta que pasa por el punto P(—5,1) y cuya pendiente es 7.

7x - y + 36 = 0

2. Halla la forma general de la ecuación de la recta que pasa por los puntos P{-3, 25) y Q(2, -10).

7x + y - 4 = 0

3 Halla la forma general de la ecuación de la recta que pasa por el punto (-3, -2) y cuya pendiente es -2/3

2x + 3y + 12 = 0

4. Halla la forma general de la ecuación de la recta que pasa por los puntos P(-10, -7) y Q(-6, -2).

5x - 4y + 22 = 0

5. Halla la forma general de la ecuación de la recta de la ecuación de la recta de la figura siguiente.

6. Halla la forma general de la ecuación de la recta de pendiente 3/5 y ordenada en el origen -4.

3x - 5y - 20 = 0


44 g.f.s.

DISTANCIA Y COMPORTAMIENTO DE DOS RECTAS

Distancia de un punto a una recta La distancia de un punto P ( X1 , Y1 ) desde la recta Ax + By + C = 0 , se determina al sustituir las

coordenadas de dicho punto en la ecuación de la recta en su forma general, por lo que su valor se obtiene por

la ecuación:

Ejemplo 1: Para el punto y la recta determina la distancia:

Del punto: y de la recta , Determinamos los valores:

Los sustituimos en la fórmula:

Así tenemos:

Por lo tanto la distancia del punto a la recta es: d = 2

Distancia entre rectas paralelas

Para encontrar la distancia entre dos rectas paralelas, tomamos un punto en una de ellas y encontramos la

distancia de ahí a la otra recta.

Ejemplo:

Encontrar la distancia entre las rectas 6x + 2y - 3 = 0 y 6x + 2y + 5 = 0.


45 g.f.s.

Solución: Las rectas son paralelas, pues mediante un cálculo directo se ve que la pendiente de ambas es

m = -3. Elegimos un punto cualquiera en la primera recta. Para ello, tomamos cualquier valor de x, por

ejemplo x = 1, lo sustituimos en la ecuación y encontramos el valor de y correspondiente:

6 (1) + 2y – 3 = 0

Por tanto

Así que el punto

pertenece a la primera recta. Calculamos ahora la distancia de P a la segunda

recta:

así que la distancia entre las rectas es:


46 g.f.s.

Práctica 5

Nombre:____________________________________________________________Gpo:_________

Distancia entre un punto y una recta y entre rectas.

1. Determina la distancia dirigida del punto P(-2, 3) a la recta 8x - I5y + 10 = 0

3

2. Halla la distancia dirigida del P(-1,-2)a la recta 20x + 2ly + 4 = 0

2

4. Halla la distancia dirigida del punto P(4, 2) a la recta 6x + 8y + 5 = 0.

4.5

3. Halla la distancia dirigida del punto Q(-2,-1) a la recta 3x — 4y — 12 = 0.

14/5

5. Determina la distancia dirigida que hay del punto P(-3, -2) a la recta 5x - 12y - 22 = 0

1

6. Halla la distancia no dirigida entre las rectas paralelas 3x + 4y - 12 = 0 y 3x + 4y + 8 = 0.

4

8. Halla la distancia no dirigida que hay entre las rectas paralelas 9x + I2y - 27 = 0 y 9x + 12y + 33 = 0

4


47 g.f.s.

7. Halla la distancia no dirigida entre las rectas paralelas 15x + 8y + 30 = 0 y 15x + 8y - 4 = 0.

2

9. Halla la distancia no dirigida entre las rectas paralelas 20x - 21y + 9 = 0 y 20x - 2l y - 20 = 0

1

10. Halla la distancia dirigida del origen a la recta 3x - 4y +10 = 0.

2


48 g.f.s.

Análisis del comportamiento de dos rectas

Sean las rectas:

L1 de ecuación

L2 de ecuación

Entonces las posiciones relativas que se pueden dar entre ambas rectas son las siguientes:

Paralelismo: dos rectas son

paralelas si y sólo si sus

pendientes son iguales.

Perpendicularidad: dos rectas

son perpendiculares entre sí, si y

sólo si, sus pendientes son

inversas y de signos contrarios.

Coincidencia: dos rectas

coinciden entre sí si y sólo si sus

pendientes son iguales.


49 g.f.s.

Intersección: Dos rectas se

pueden cortar en uno y

solamente un punto, si y sólo

si, no son paralelas entre sí.

Ejemplo 1: La ecuación de una recta es 5x - 4y + 20 = 0. Encuentra la ecuación de la recta paralela que pasa

por el punto (2, 3).

Recta L1

Despejamos la recta para encontrar su pendiente:

Por lo tanto su pendiente es

Por la condición de paralelismo:

Se sustituyen los datos en la ecuación :

Donde

Multiplicamos todo el resultado por -1

Se tiene que la ecuación es:


50 g.f.s.

Ejemplo 2: Determina la ecuación de la recta que pasa por el punto (0,3) y es perpendicular 3x + 2y - 12 = 0

Recta L1

Despejamos la recta para encontrar su pendiente:

Por lo tanto su pendiente es

Por la condición de perpendicularidad:

Se sustituyen los datos en la ecuación :

Multiplicamos todo el resultado por -1


51 g.f.s.

Ángulo entre dos rectas

En nuestro estudio de la recta, los ángulos están directamente relacionados, ya que, precisamente, los lados

del ángulo son líneas rectas. El ángulo que se forma en la intersección de un par de rectas se puede calcular en

función de sus pendientes.

La relación para obtener el valor del ángulo θ entre

dos rectas está dada por:

Para aplicar esta relación se debe determinar cuál es la pendiente m1 y cuál m2. Para ello se debe seguir las

indicaciones siguientes:

Si las dos pendientes son positivas, m2 es la mayor y m1 la menor.

Cuando una pendiente es positiva y la otra negativa, m2 es la pendiente negativa y m1 la positiva.

Cuando las dos pendientes son negativas, m2 tiene mayor valor absoluto.

Ejemplo 1: Determina el valor del ángulo que forman las rectas:

Expresamos las ecuaciones de las rectas en su forma pendiente-ordenada: y = mx + b

Determinamos cuál es m1 y cuál m2 como una es negativa y la otra positiva por lo tanto


52 g.f.s.

Sustituimos en la fórmula

Obtenemos el valor del ángulo:


53 g.f.s.

Práctica 6

Nombre:____________________________________________________________Gpo:_________

I. Rectas notables de un triángulo.

1.-Encuentra la ecuación general de la mediatriz que pasa por el lado AB, en el triángulo

cuyos vértices son A(4,1), B(2,-3) y C(-3,-5)

Sol : x+2y-1=0

2.-Halla la ecuación de la mediana que pasa por el vértice A del triángulo cuyos vértices

son A(2, 3), B(5, 7) y C(3, 4)

Sol. 5x+2y-16=0

3.- Halla la ecuación de la altura que pasa por el vértice C del triángulo cuyos vértices son

A(2, 3), B(5, 7) y C(3, 4)

Sol. 3x+4y-7=0


54 g.f.s.

II. Ecuaciones entre rectas

4. Halla la forma general de la ecuación de la recta que pasa por el punto (3, -2) y que es paralela a la recta 2x + 5y + 1 = 0.

2x + 5y + 4 = 0

5. Halla la forma general de la ecuación de la recta que pasa por el punto P(6, 4) y que es paralela a la recta 2x - 5y - 10 = 0.

2x - 5y + 8 = 0

6. Halla la forma general de la ecuación de la recta que pasa por el punto (4, -2) y que es perpendicular a la recta 5jc - y — 3 = 0.

X + 5y +6 = 0

7. Halla la forma general de la ecuación de la recta que pasa por el punto B(-4, -6) y que es

perpendicular a la recta

.

2x - y + 2 = 0

8. Halla la forma general de la ecuación de la recta que pasa por el punto A(-3, 5) y que es perpendicular a la recta y = 3x + 8

X + 3y - 12 = 0

9. Halla la forma general de la ecuación de la recta que pasa por el punto P(5,4) y que es

perpendicular a la recta

—

5x + 2y - 33 = 0


55 g.f.s.

9. Halla la ecuación de la recta que pasa por el punto Q(2, -5) y es paralela a la recta y = -4x + 11

y = - 4 x + 3

10. Halla la ecuación de la recta que pasa por el punto A(-3, 2) y que es perpendicular a la recta

y = 5 x + 17

geometría analítica...sistema de ejes coordenados rectangulares denominado también, sistema de...

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