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Agosto 2011 Agosto 2011

Posición ?

2.2 Transformaciones de coordenadas: matriz de rotación y ángulos de Euler.

M.C. Cynthia Guerrero

Introducción

El análisis cinemático directo

nos permite determinar en donde se encuentra el elemento terminal

del robot (mano) si se conoce la posición de todas las articulaciones.

45

50

15



Introducción

Mientras que el análisis cinemático inverso nos permite

calcular la posición que deben de tener todas las articulaciones si

queremos que la mano se localice en un punto y orientación en

particular.

?

?

?

herramienta

(50,30,120)



Introducción Un robot manipulador puede ser modelado como una cadena de eslabones. Los eslabones son conectados unos con otros por articulaciones. Por lo general, los robot tienen dos tipos de articulaciones: de rotación y prismáticas.

Eslabón

Articulación

Herramienta



Introducción

Eslabón

Articulación

Herramienta



Sistemas coordenados

Dados dos vectores y y sea el ángulo que forman. EL producto punto entre dos vectores es:

Productos punto (o producto escalar)

a b

cosa b a b

Y puede ser utilizado para representar una relación de la proyección de las magnitudes de ambos vectores. Y se usara mas adelante como herramienta para el análisis cinemático directo.





0

45

Ej. 1

Ej. 2

Ej. 3 90





Si la magnitud en ambos vectores a y b es unitaria, entonces el producto punto se reduce a :

?

cosa b





Dos vectores a y b son ortogonales entre si, si su producto punto es igual a:

?

cos 0a b

90





Un sistema coordenado ortogonal cuyos vectores tienen magnitud unitaria se denota como un sistema coordenado ortonormal:

1x

2x

3x

sistema coordenado ortonormal X en R3





n

X

xp

xp

xp

p

2

1

Las coordenadas de un punto p respecto a un sistema coordenado ortonormal X en Rn esta denotado por [p]x, y están dadas por:




Sistemas coordenados móviles y fijos

Sean M={m1,m2,m3} y F={f1,f2,f3} dos sistemas coordenados ortonormales móvil y fijo, respectivamente. Los cuales están fijos a los prismas mostrados en la siguiente figura. El sistema móvil M, esta fijo al prisma superior, mientras que F esta fijo al prisma inferior. Los sistemas son inicialmente coincidentes. Las coordenadas del punto p con respecto al sistema fijo F cambiaran si el prisma gira.

1m

3m

1f

2f

3fp

2m

1.4

0.40.6





1m

3m

1f

2f

3fp

2m

1.4

0.40.6

Las coordenadas del punto p respecto del sistema móvil M son :

1 2 3 0.4 0.6 1.4M T T

p p m p m p m





2m

1m

3m

1f

2f

3fp

2m

1.4

0.40.6

Si rotamos el prisma superior respecto de f3 en un ángulo de 90o , los sistemas coordenados resultan como se muestra en la Figura





El problema es encontrar las coordenadas del punto p respecto del sistema fijo [p]f después de la rotación. Si podemos encontrar una expresión que mapee el sistema coordenado móvil respecto del sistema coordenado fijo, podemos entonces multiplicar esta expresión por las coordenadas del punto p respecto del sistema móvil, resultando las coordenadas del punto p respecto del sistema fijo. Las columnas de la matriz A contienen la alineación de cada vector del sistema coordenado móvil respecto de los vectores del sistema coordenado fijo.

332313

322212

312111

mfmfmf

mfmfmf

mfmfmf

A





Usando entonces la matriz A, tenemos:

MFpAp

Usando la formula del producto punto para vectores unitarios y sustituyendo valores, tenemos las coordenadas resultantes del punto p respecto del sistema fijo

cos(90) cos(0) cos(90) 0.4 0 1 0 0.4 0.6

cos(180) cos(90) cos(90) 0.6 1 0 0 0.6 0.4

cos(90) cos(90) cos(0) 1.4 0 0 1 1.4 1.4

Fp





Podemos entonces usar la matriz A para mapear al sistema móvil respecto del fijo después de realizar transformaciones sobre cualquiera de los ejes del sistema fijo. Las transformaciones pueden ser rotaciones o translaciones, las siguientes secciones analizan por separado cada transformación.





Ejemplo 1: Suponga que las coordenadas del punto p con respecto al sistema móvil son [p]M=[0.6 0.5 1.4]T . ¿Cuáles son las coordenadas del punto p con respecto al sistema fijo F con los planos como se muestran a continuación?, compruebe su resultado gráficamente.

0.5 0.6 1.4F T

p




Transformación de sistemas coordenados: Traslación

Si un sistema móvil se mueve en el espacio sin cambiar su orientación, la transformación consiste solo en una traslación. Estas traslaciones son denotadas por

1 2 3( , , )f f fTran p p p

Donde pf1, pf2 y pf3 son los tres componentes del vector de traslación P con respecto a los ejes f1, f2 y f3 del sistema fijo. Y es mostrado gráficamente a continuación:




Transformación de sistemas coordenados: Traslación

Ya que el sistema móvil no cambia su orientación, la matriz de traslación queda definida por:

1

2

3

f

f

f

p

Tran p p

p




Transformación de sistemas coordenados: Rotación

Una rotación fundamental consiste de una rotación simple del sistema móvil respecto del sistema fijo. Estas rotaciones fundamentales son denotadas por :

( , )kRot f

Donde φ representa el ángulo de rotación dado en radianes y fk denota el eje sobre el cual se realiza la transformación. En el espacio R3 existen 3 posibles rotaciones:





De esta manera una rotación fundamental del sistema coordenado móvil sobre el eje f1 del sistema fijo se denota por :

),( 1fRot





Si usamos la matriz A, la rotación fundamental sobre f1 queda definida por

cos2

cos2

cos

2coscos

2cos

2cos

2cos)0cos(

),( 1fRot

Simplificando, resulta

cos0

cos0

001

),( 1

sen

senfRot





Procediendo de manera similar, la rotación fundamental sobre f2 se denota por

),( 2fRot





Aplicando de nuevo la matriz A y simplificando, la rotación fundamental sobre f2 se define por

cos0

010

0cos

),( 2

sen

sen

fRot





Procediendo de manera similar, la rotación fundamental sobre f3 se denota por

),( 3fRot





Aplicando de nuevo la matriz A y simplificando, la rotación fundamental sobre f3 se define por

3

cos 0

( , ) cos 0

0 0 1

sen

Rot f sen




Coordenada homogéneas

Para poder realizar tanto rotaciones como translaciones con una sola matriz de transformación es necesario aumentar la dimensión de dicha matriz para incluir ambas operaciones. La matriz de transformación homogénea se puede definir por:

( , )kRot f pT




Coordenada homogéneas

Donde fk es la matriz de rotación fundamental, p es el vector de translación, η es un vector de perspectiva (para nuestro caso η=[0 0 0] ), σ es un factor de escalamiento que usualmente se maneja igual a uno (σ=1 ). De esta manera, cuando se ha de realizar una traslación simple, la matriz de rotación fundamental se iguala a una matriz identidad, y cuando se trate de una rotación simple, el vector de traslación se iguala a ceros.

1

2

3

1 0 0

0 1 0

0 0 1

0 0 0 1

p

pTran p

p

0

( , ) 0,

0

0 0 0 1

kRot iRot k

Algoritmo : Transformaciones homogéneas compuestas

1. Inicializar la matriz de transformación T=I, que corresponde a los sistemas coordenados fijo y móvil, originalmente coincidentes.

2. Representar rotaciones y translaciones usando matrices de transformación homogéneas independientes.

3. Si el sistema coordenado móvil M es rotado o trasladado a lo largo de un vector del sistema coordenado fijo F, premultiplicar (por la izquierda) la matriz de

transformación T por la matriz de rotación o translación fundamental apropiada.

4. Si el sistema coordenado móvil M es rotado o trasladado a lo largo de uno de sus propios vectores, postmultiplicar (por la derecha) la matriz de transformación

T por la matriz de rotación o translación fundamental apropiada.

5. Si hay más rotaciones o translaciones fundamentales a realizar, ir al paso 3; de otra manera, parar. La matriz de transformación homogénea compuesta T , mapea al sistema coordenado móvil M respecto del sistema coordenado fijo F.



Ejemplo 2: Sean y dos sistemas coordenados fijo y móvil, respectivamente, y originalmente coincidentes. Suponga que trasladamos M a lo largo de f2 en 3 unidades, y después rotamos M sobre f3 en π radianes. Encontrar después de la transformación compuesta.

Inicializar la matriz de transformación T=I

Si M es rotado o trasladado a lo largo de un vector del F, premultiplicar por la matriz de rotación o translación



f3

f2

f1

m3

m2

m3

m2

m1

m1

3 2 1

-1 -2 -3

-1



Ejemplo 3: Para mostrar el efecto del orden en las transformaciones invertimos el orden en estas, suponga entonces que primero rotamos M sobre f3 en π radianes, y después trasladamos M a lo largo de f2 en 3 unidades. Encontrar después de la transformación compuesta.


3

cos 0

( , ) cos 0

0 0 1

sen

Rot f sen


m3

m1

m2

m3 m1

m2

f2

f1

f3




Transformación homogénea inversa Si tenemos una matriz de transformación homogénea T con rotación y traslación que mapea el sistema móvil M respecto del sistema fijo F, la matriz homogénea inversa que mapea el sistema fijo F respecto del sistema móvil M esta dada por



Transformaciones Tornillo Ciertas transformaciones homogéneas compuestas aparecen repetidamente en aplicaciones de robótica. Una es un desplazamiento lineal a lo largo de un eje combinado con un desplazamiento angular sobre el mismo eje. Este tipo de movimiento corresponde a una operación de roscado o desenroscado, y por tanto se denomina transformación tornillo. Transformación Tornillo: Sean F y M dos sistemas coordenados fijo y móvil, respectivamente, y originalmente coincidentes. Si M es trasladado a lo largo del k-esimo vector de F con un desplazamiento de λ unidades, y rotado sobre el mismo k-esimo vector de F en un angulo de ϴ radianes, la matriz de transformación homogénea compuesta es llamada la matriz de transformación tornillo sobre el k-esimo vector. Esta es denotada por


( , , ) ( , ) ( , )k k kscrew f Rot f Tran f


Coordenadas en los eslabones. Recuerde que un brazo robótico puede ser modelado como una cadena de eslabones rígidos interconectados por articulaciones, ya sea de revolución o prismáticas. El objetivo de esta sección es asignar sistemáticamente sistemas coordenados a cada uno de esos eslabones. Una vez realizado, una ecuación general del brazo que representa el movimiento cinemático de los eslabones del manipulador puede ser obtenida.



Parámetros Cinemáticos Cada par de eslabones adyacentes están conectados por una articulación, de revolución o prismática. La posición y orientación relativas de dos eslabones sucesivos puede ser especificada por dos parámetros de la articulación, como se muestra en la siguiente figura: θk = ángulo de la articulación, y es

la rotación sobre Zk-1 necesaria para hacer al eje Xk-1 paralelo al eje Xk

dk = distancia de la articulación, y es la traslación a lo largo de Zk-1 necesaria para hacer al eje Xk-1 colineal con el eje Xk



Así como una articulación conecta eslabones adyacentes, hay un eslabón entre dos articulaciones sucesivas. La posición y orientación relativa entre los ejes de dos articulaciones sucesivas están especificadas por dos parámetros del eslabón, como se muestra en la siguiente figura. Los parámetros asociados con el eslabón están definidos con respecto a , el cual es una normal común a los ejes de la articulación y la articulación .

ak = llamado el largo del eslabón, y es la traslación sobre Xk necesaria para hacer que el eje Zk-1 intercepte al eje Zk

αk = llamado el ángulo de torsión del eslabón, y es la rotación sobre Xk necesaria para hacer al eje Zk-1 paralelo con el eje Zk.



Orientación de la herramienta La orientación convencional de la herramienta que se usara será el sistema yaw-pitch-roll (YPR), como se muestra en la siguiente Figura. Para especificar la orientación de la herramienta, se agrega a la herramienta un sistema coordenado móvil M={m1,m2,m3}, el cual se mueve junto con la herramienta.

f1,m1

f2,m2

f3,m3

Roll

Pitch

Yaw



Los ángulos de giro positivos corresponden al sentido contrario al de las agujas del reloj. Los movimientos de la herramienta se desarrollan en el orden de Yaw con θ1, Pitch con θ 2 y Roll con θ 3, siguiendo el Algoritmo 2.4.1 nos queda que: Nota: Un robot tiene una muñeca esférica si y solo si los ejes utilizados para orientar la herramienta se interceptan en el mismo punto.

3 3 2 2 1 1( ) ( ) ( )YPR R R R



Ejemplo 4: Suponga que la herramienta mostrada a continuación es rotada alrededor de sus ejes fijos, con yaw=π/2, seguido por un pitch=-π/2, y un roll=π/2. ¿Cual es la matriz de rotación compuesta resultante? Y resuélvalo gráficamente.

3 3 2 2 1 1 3 2 1( ) ( ) ( )2 2 2

YPR R R R R R R

cos 01 0 0cos 02 2

2 2

cos 0 0 1 0 0 cos2 2 2 2

0 0 1 0 cos0 cos2 2

2 2

sensen

YPR sen sen

sensen

0 1 0 0 0 1 1 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1

1 0 0 0 1 0 0 0 1 1 0 0 0 0 1 0 1 0

0 0 1 1 0 0 0 1 0 0 0 1 1 0 0 1 0 0

YPR



Ejemplo 4: Suponga que la herramienta mostrada a continuación es rotada alrededor de sus ejes fijos, con yaw=π/2, seguido por un pitch=-π/2, y un roll=π/2. ¿Cual es la matriz de rotación compuesta resultante? Y resuélvalo gráficamente.

Gráficamente tenemos que:

f1,m3

f2

f3,m1

m2

0 0 1

0 1 0

1 0 0

YPR

1 1 1 2 1 3

2 1 2 2 2 3

3 1 3 2 3 3

f m f m f m

f m f m f m

f m f m f m

f1,m1

f2,m2

f3,m3

Roll

Pitch

Yaw



Vectores Normal, de Deslizamiento y de Aproximación. Por convención, las articulaciones y los eslabones de un brazo robótico son numerados comenzando con la base fija, el cual es eslabón 0, y terminando con la herramienta, que es el eslabón n. La orientación de la herramienta puede ser expresada en coordenadas rectangulares por una matriz de rotación R={ri,r2,r3} donde las tres columnas de R corresponden a los vectores Normal, de Deslizamiento, y de Aproximación, respectivamente. Como se muestra en la figura


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