Geometría Analítica

Definición de Sistema de Coordenadas

Es un sistema de ejes coordenados, en que a cada punto del plano le corresponde un par ordenado de números reales, al número del eje x se conoce como abscisa, al eje Y ordenada.

Definición de abscisaAbscisa: los números tomados sobre el eje X que miden la distancia en magnitud y el signo desde el origen. El eje X se llama, eje de las abscisas.

Definición de ordenada

Ordenadas: los números tomados sobre el eje Y miden la distancia en magnitud y signo desde el origen. El eje Y recibe el nombre de ordenada.

Coordenadas (x,y)

Sabemos como se construye una recta numérica. La línea horizontal es el eje de x, la vertical es el eje

de y y su intersección es el origen. Estos ejes dividen el plano en cuatro zonas llamadas

cuadrantes.

Definición de Par Ordenado Par de números de la forma ( x, y )

utilizados para localizar puntos en un plano, se expresan en forma de pares ordenados. El orden en que se escribe es muy importante.

Signos de los puntos ( pares ordenados) en los cuadrantes

( x, y )

X

Y

Cuadrante ICuadrante II

Cuadrante III Cuadrante IV

( + , + )( - , + )

( - , - ) ( + , - )

Origen

Ejemplo de Par Ordenado

Ejemplo:

En el par ordenado ( 3 , 5) el 3 corresponde al número localizado en el eje de ( x ) y el 5 corresponde al número localizado en el eje de ( y ).

Par Ordenado ( 3 , 5)

X

Y

Origen

0

1 2 3 4

12345

( 3 , 5 )

Ejercicios resueltos:

Localiza los siguientes pares ordenados en el plano:

A ( 2 , 3)

B (-3 , 4)

C (-3 , -2)

D ( 3 , 0)0 X

Y

1 2 3 4 - 4 - 3 -2 -1-1

-2

-3

-4

1

2

3

4( 2 , 3 )

( 3 , 0 )

( -3 , 4 )

( -3 , -2 )

A

D

B

C

Resuelve las ecuaciones y dibuja las gráficas

Ejemplo # 1

y = - 3x + 5

Si x = 0 y = -3 (0) + 5 = 0 + 5 = 5

( x, y )

( 0 , 5 )

Si x = 1 y = -3 (1) + 5 = -3 + 5 = 2 ( 1 , 2 )

Si x = 5 y = -3 (5) + 5 = -15 + 5 = -10 ( 5, -10 )Si x = -1 y = -3 (-1) + 5 = 3 + 5 = 8 ( -1, 8 )

X Y

0 5

1 2

5 -10

-1 8 X

Y

2 4 6 8 10-10 -8 -6 -4 -2 0

2

4

6 8

10

-2

-4

-6

-8

-10

(0, 5)

(1, 2)

(5, 10)

(-1, 8)

Continuación I

Gráficamente estos fueron los pares ordenados que se

formaron.

Ejercicio # 2 y = 4x + 2

Si x = 0 y = 4 (0) + 2 = 0 + 2 = 2 ( 0 , 2 )

( x, y )

Si x = 1 y = 4 (1) + 2 = 4 + 2 = 6 ( 1 , 6 )

Si x = -1 y = 4 (-1) + 2 = -4 + 2 = - 2 ( -1,-2 )

X Y

0 2

1 6

-1 -2

Variable independiente

Variable dependiente

Continuación II

X Y

0 2

1 6

-1 -2

X

Y

0 1 2 3 4 5-5 -4 -3 -2 -1

1

23456

-1-2

-3-4-5-6

Continuación III

(1,6)

(0,2)

(-1,-2)Los pares ordenados

formados son estos.

Ejercicios resueltos con dos variables

* Despejar para y *

2x + 5y = 10

X Y

0 2

Si x = 0

2( 0 ) + 5y = 10 0 + 5y = 10

y = 10/ 5 y = 2Continuación…

* Despejar para y *

2x + 5y = 10

X Y

0 2

5 0Si x = 5

2( 5 ) + 5y = 1010 + 5y = 10 5y = 10 - 10

5y = 0

Continuación…

* Despejar para y *

2x + 5y = 10

Si x = -5

2( -5 ) + 5y = 10

-10 + 5y = 10 5y = 10 + 10

5y = 20

y = 20/5 y = 4

X Y

0 2

5 0

-5 4

Continuación, ejercicio anterior

Continuación…

X

YX Y

0 2

5 0

-5 4

0 1 2 3 4 5 -5 -4 -3 -2 -1-1-2

-3

-4

-5

1

2

3

4

5

Continuación B

Estos son los pares ordenados que se

formaron.

(0,2)

(5,0)

(-5,4)

Practicar para no olvidar

Ejercicio 1

¿Cuales signos corresponden al primer cuadrante en el plano cartesiano? Recuerda que se gira contrario a la manecilla del reloj:

•A: ( + , - )

•B: ( + , + )

Ejercicio 2

¿Cuales signos corresponden al tercer cuadrante en el plano cartesiano?:

•A: ( - , - )

•B: ( + , + )

Ejercicio 3Localiza el siguiente punto en el plano

cartesiano: P = (3, 5). Seleccione su respuesta

A:

B:

1 2 3 -1-2-3-4-5

1234 5

P

1 2 3 4 5 -4 -3 –2 -1-1

-3-4-5

-2

P

Ejercicio 4

Localiza el siguiente punto en el plano cartesiano: Q = (-4, 2). Seleccione la respuesta correcta.

1 2 3 4 -1-2-3-4-5

1234 5

1 2 3 4 -1-2-3-4-5

1

-4 -3 -2 -1

2

3 B:A:

Ejercicio 5Localiza el siguiente punto en el plano cartesiano:

R = (-1, -3). . Seleccione la respuesta correcta.

A: B:

1 2 3 4 -1-2-3-4

1

-4 -3 -2 -1

2

3

-1-2-3-4-5

1

-4 -3 -2 -1

2

3R

R

Ejercicio 6

Resuelve la ecuación y = 2x + 5 cuando x = 1. Selecciona la alternativa correcta:

B:A:

( 1 , 7 ) ( 3 , 5 )

Ejercicio 7

Resuelve la ecuación y = 3x + 7

cuando x = 2. Selecciona la alternativa correcta:

B

( 2 , 13 )

A

( 3 , 10 )

Ejercicio 8Resuelve la ecuación y = 2x + 5

cuando x = 4

•A: ( 5 , 10 )

•B: ( 4 , 13 )

•C: ( 13 , 4 )

Ejercicio 9

Resuelve la ecuación y = 2x + 5 cuando x = 5

•A: ( 2 , 5 )

•B: ( 5 , 15)

•C: ( 4 , 10 )

Ejercicio 10

•Resuelve la ecuación y = 2x + 5 cuando x = 0

•A: ( 0 , 5 )

•B: ( 5 , 2 )

•C: ( 1 , 4)

Selección incorrecta

•Recuerda que en el primer cuadrante la coordenada de x y la de y son positivas.

•Ejemplo 3 a la derecha y 5 hacia arriba.

•Intente otra alternativa

Felicidades•Usted ha seleccionado correctamente:

X

Y

Cuadrante ICuadrante II

Cuadrante III Cuadrante IV

( + , + )

Origen

Siguiente ejercicioSiguiente ejercicio

Selección incorrecta

•Recuerda que en el tercer cuadrante la coordenada de x y la de y son negativas.

•Ejemplo -4 a la izquierda y -5 hacia abajo.

•Intente otra alternativa

Felicidades

•Usted ha seleccionado correctamente:

X

Y

Cuadrante ICuadrante II

Cuadrante III Cuadrante IV

( - , - )

Origen

Siguiente ejercicioSiguiente ejercicio

Felicidades

• Recuerda que al recorrer 3 a la derecha (coordenada x) y 5 hacia arriba (ordenada y) los dos números son positivos, por tanto el par ordenado estará en el primer cuadrante.

Usted ha seleccionado correctamente:

1 2 3 -1-2-3-4-5

1234 5

P

Resp. B, Ejercicio 3

Siguiente ejercicioSiguiente ejercicio

Error intente otra alternativa

• Esta respuesta es incorrecta porque si recorre 3 espacios a la izquierda y luego 5 hacia abajo, el par ordenado será (-3,-5) por tanto negativos. En cambio el par ordenado que presenta el ejercicio es (3,5).

1 2 3 4 5 -4 -3 –2 -1-1

-3-4-5

-2

Respuesta A, ejercicio 3

Felicidades•Selección de respuesta correcta.

1 2 3 4 -1-2-3-4-5

1

-4 -3 -2 -1

2

3

Es correcta porque si recorre -4 a la izquierda y luego 2 hacia arriba se formará el par ordenado (-4,2) que es el que pertenece al punto Q que nos señala el ejercicio propuesto.

Q

Siguiente ejercicioSiguiente ejercicio

Error intente otra alternativa

•Su selección es incorrecta.

1 2 3 4 -1-2-3-4

1234 5

Esta respuesta es incorrecta porque si recorre 2 espacios a la derecha y luego 4 hacia abajo, el par ordenado será (2,-4) por tanto, el primer número es positivo y pertenece a la coordenada x, el segundo es negativo y pertenece a la ordenada y. En cambio el par ordenado que presenta el ejercicio es (-4,2).

Felicidades •Selección de respuesta correcta.

1 2 3 4 -1-2-3-4

1

-4 -3 -2 -1

2

3

Es correcta porque si recorre -1 a la izquierda y luego -3 hacia abajo se formará el par ordenado (-1,-3) que es el que pertenece al punto R que nos presenta el ejercicio propuesto.

Siguiente ejercicioSiguiente ejercicio

Error intente otra alternativa•Selección incorrecta.

1 2 3 4 -1-2-3-4-5

1

-4 -3 -2 -1

2

3

Esta respuesta es incorrecta porque si recorre 1 espacio a la derecha y luego 3 hacia arriba, el par ordenado que se forma es (1,3) por tanto, los números son positivos y pertenecen al primer cuadrante, donde todos los pares ordenados son positivos. En cambio el par ordenado que presenta el ejercicio es (-1,-3).

Selección correcta: Felicidades

•Solución de la ecuación y = 2x + 5 cuando x = 1

y = 2x + 5 y = 2(1) +5 y = 2 + 5 y = 7

El par ordenado que se forma es: (1 , 7)

Siguiente ejercicioSiguiente ejercicio

Error, su elección es incorrecta

•Al resolver la ecuación y = 2x + 5 cuando x = 1, la solución nos debe dar como resultado un par ordenado, donde x sea igual a uno (x = 1) pues el ejercicio nos lo indica.

Error, su elección es incorrecta

•Al resolver la ecuación y = 3x

+ 7 cuando x = 2, la solución nos debe dar como resultado un par ordenado, donde x sea igual a dos (x = 2) pues el ejercicio nos lo indica.

Selección correcta: Felicidades

•Solución de la ecuación y = 3x + 7 cuando x = 2

y = 3x + 7 y = 3(2) +7 y = 6 + 7 y = 13

El par ordenado que se forma es: (2 , 13)

Siguiente ejercicioSiguiente ejercicio

Solución correcta:

•Solución de y = 2x + 5 cuando x = 4

y = 2x + 5 y = 2(4) +5 y = 8 + 5 y = 13

Par ordenado ( 4 , 13 )

Siguiente ejercicioSiguiente ejercicio

Error, selecciones otra respuesta

•Al resolver la ecuación 2x + 5

cuando x = 4, la solución nos debe dar como resultado un par ordenado, donde x sea igual a cuatro (x = 4) pues el ejercicio nos lo indica.

Error, solucion icorrecta

•Al resolver la ecuación 2x + 5

cuando x = 4, la solución nos debe dar como resultado un par ordenado, donde x sea igual a cuatro (x = 4) pues el ejercicio nos lo indica.

Selección correcta:

•y = 2x + 5•y = 2(5) +5

•y = 10 + 5•y = 15

Solución de y = 2x + 5 cuando x = 5

Par ordenado ( 5 , 15 )

Siguiente ejercicioSiguiente ejercicio

Error, solucion icorrecta

•Al resolver la ecuación y = 2x +

5 cuando x = 5, la solución nos debe dar como resultado un par ordenado, donde x sea igual a cinco (x = 5) pues el ejercicio nos lo indica.

Error, solucion icorrecta

•Al resolver la ecuación y = 2x +

5 cuando x = 5, la solución nos debe dar como resultado un par ordenado, donde x sea igual a cinco (x = 5) pues el ejercicio nos lo indica.

Selección correcta:

•Solución de y = 2x + 5 cuando x = 0

y = 2x + 5 y = 2(0) +5 y = 0 + 5 y = 5

Par ordenado ( 0 , 5 )

Siguiente ejercicioSiguiente ejercicio

Error, selección icorrecta

•Al resolver la ecuación y = 2x +

5 cuando x = 0, la solución nos debe dar como resultado un par ordenado, donde x sea igual a cero (x = 0) pues el ejercicio nos lo indica.

Error, selección icorrecta

•Al resolver la ecuación y = 2x +

5 cuando x = 0, la solución nos debe dar como resultado un par ordenado, donde x sea igual a cero (x = 0) pues el ejercicio nos lo indica.

Direcciones en Internet relacionadas al tema• http://www.cut-the-knot.org/Curriculum/index.shtml

• http://jahumada.metro.inter.edu/mrsg1010/unidad3/u3s1t1.htm

• http://omega.ilce.edu.mx:3000/sites/telesec/prope/htmlb/sec_39.html

• http://www.nuevaalejandria.com/archivos-curriculares/

• http://www.kn.pacbell.com/wired/bluewebn/index.cfm

• http://www.shodor.org/interactivate/activities/graphit/

• http://www.salonhogar.com/