clasificación de los vectores operaciones con vectores...

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Magnitudes vectoriales

– Clasificación de los vectores

– Operaciones con vectores

– Funciones vectoriales

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1.- Características de los vectores

La representación gráfica de una magnitud vectorial es un segmento de recta, orientado, que recibe el nombre de vector

El módulo indica, en la unidad elegida, el valor numérico de la cantidad de la magnitud representada.Al origen A se le denomina punto de aplicación La dirección es la de la recta en que está contenido El sentido se representa por una punta de flecha en su extremo

ABa

Propiedades de la notación vectorial:

La formulación de una ley física en función de los vectores es independiente de los ejes de coordenadas que se escojan La notación vectorial es concisa

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Libres: Componentes

Deslizantes: Componentes y recta de acción

Ligados: Componentes y punto de aplicación

2.- Clasificación de los vectores

(I) Según los grados de libertad

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Polares: No presentan ninguna duda para asignarles el sentido en queactúan (fuerza, velocidad, etc.)

Axiales: Hay que asignar un sentido por convenio(velocidad angular de una rueda, …)

Se adopta un convenio: regla del tornillo o de la manoderecha

Clasificación de los vectores

(II) Según la forma de actuar

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Vectores libres

1.- Suma vw

ss = v + w

2.- Producto de un escalar por un vector

Versor: vector unitariovv

p = m v

3. Operaciones con vectores

vp = mv

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k cos γj cos βi cos αvvu

1γcosβcosαcos

;vvcos γ ;

vv

cos β ;vvcos α

vvvv

kvjvivv

v

222

zyx

z2

y2

x2

zyx

++==

=++

===

++=

++=

Componentes vectoriales, escalares y cosenos directores

vvx vy

vx

αβ

γ

x y

z

cosenos directores

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Determinación de un vector• 3 componentes

• Módulo y dos cosenos directores

• Coordenadas extremo E(xE, yE, zE) y origen O(xO, yO, zO)

Operaciones suma y producto por un escalar en función de las componentes:

( ) ( ) ( )kmvjmvimvvmp

kwvjwviwvwvs

zyx

zzyyxx

++==

+++++=+=

v = (xE-xO)i + (yE-yO)j + (zE-zO)k

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3.- Producto escalar (resultado: un escalar)

a

bα

zzyyxx bababababa ++==⋅ αcos

Propiedades

•Distributiva

•Conmutativa

•No asociativa

• Escalar: > = < 0• Vect. Perpendiculares prod. escalar 0• Vect. Paralelos prod. escalar máximo• v . v = v2

• i . i = j . j = k . k = 1• i . j = j . k = k . i = 0

a

bα

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4.- Producto vectorial (resultado: un vector)

ααsenbaba

cba

=×

=×

Propiedades

•Seudovector

•Area del paralelogramo

•Distributiva

•No conmutativa

•No asociativa

• Perpendiculares = máximo• Paralelos = 0• i x i = j x j = k x k = 0• i x j = k• j x k = i• k x i = j

ab

i j k

ax ay az

bx by bz

a x b = = (aybz – azby)i + (azbx-axbz)j +(axby-aybx)k

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5.- Otras operaciones

• Producto mixto: a x b . C

• Doble producto vectorial: a x b x c

Los sistemas coordenados sirven para localizar puntos en el espacio.

La localización de un punto se obtiene por intersección de tres superficies.

La intersección de dos superficies da lugar a una línea.

En un plano, la posición de un punto está determinada por la intersección de dos líneas

Por tanto, para localizar un punto necesitaremos tres superficies. El parámetrocaracterístico de la superficie nos dará la coordenada.

No obstante, además de las superficies (coordenadas geométricas) necesitaremostambién unos elementos de referencia.

Por ejemplo, el parámetro característico de una esfera es el radio (coordenada), y elelemento de referencia su centro (punto).

El parámetro característico de un cono es su ángulo de semiapertura (coordenada) y elelemento de referencia su eje (línea).

SISTEMA COORDENADO CARTESIANO O RECTANGULAR

Las superficies de referencia son tres planos perpendiculares entre sí (XY, XZ, YZ),denominados planos coordenados. Lo que comúnmente se denominan ejes coordenadosson la intersección de cada par de elementos de referencia.

La intersección es debida a tres planos que pasan por el punto P y que son paralelos a losde referencia. Su característica geométrica (coordenada) es la distancia al plano dereferencia. El plano por tanto es el lugar geométrico de los puntos que equidistan del planode referencia.

SISTEMA DE COORDENADAS CILÍNDRICAS

Por un origen arbitrario se pasa un planode referencia.

Sobre el plano se traza la recta dereferencia, indicando su sentido positivo.

Las coordenadas de P quedan especificadaspor el corte de tres superficies.

Superficie 1: plano paralelo al plano dereferencia (superficie con z=cte)

Superficie 2: plano que pasa por O y Pnormal al plano de referencia (superficiecon φ=cte respecto al plano perpendicularal de referencia y que contiene a la línea dereferencia)

Superficie 3: cilindro circular recto con ejenormal al plano de referencia y contiene alorigen (superficie con ρ=cte)


El radio ρ es la coordenada radial de P.

φ es la coordenada polar del punto P.Es el ángulo φ entre la parte positivade la recta de referencia y el planoque pasa por O y P, medido en sentidoantihorario.

La coordenada z del punto P es ladistancia más corta entre P y el planode referencia.

SISTEMA DE COORDENADAS ESFÉRICAS

Por un origen arbitrario se pasa un plano de referencia.

Por el origen pasamos dos rectas perpendiculares entresí (líneas de referencia) y asignamos sentido positivo aambas.

Las coordenadas de P quedan especificadas por el cortede tres superficies.

Superficie 1: esfera con centro en el origen y radio r(superficie con r=cte)

Superficie 2: plano con φ constante, donde φ es unángulo medido en sentido antihorario a partir de ladirección positiva de la recta de referencia que está en elplano de referencia (superficie con φ=cte)

Superficie 3: cono de semiapertura θ, con vértice en elorigen y cuyo eje es la parte positiva de la recta dereferencia perpendicular al plano de referencia. θ es elángulo medido en el plano φ=cte a partir del plano dereferencia (superficie con θ=cte)

EJEMPLO: LA TIERRA

Explicar un sistema de coordenadas adecuado para definir la posición de un punto enla Tierra

El plano de referencia es el plano del Ecuador, por el que pasamos las líneas de referencia.

Superficie 1: esfera terrestre de radio r (superficie con r=cte=6370 km)

Superficie 2: plano con φ constante, que nos da la longitud. Se ha elegido el plano que pasapor el Real Observatorio de Greenwich (Londres, Gran Bretaña).

Superficie 3: cono de semiapertura θ que nos da la latitud

ELEMENTO DIFERENCIAL DE RECORRIDO

El diferencial de recorrido dl asociado a una coordenada i dli se define en ladirección de máxima variación de la coordenada y sentido el de aumento de lacoordenada. La dirección por tanto es perpendicular a la superficie de coordenadaconstante. Por ejemplo, en coordenadas cartesianas (que son las más sencillas) oen cilíndricas podemos ver dos ejemplos:

dly=dyPerpendicular al plano y=cte

dlρ=dρPerpendicular al plano ρ=cte

Para cualquier coordenada por tanto podemos definir los vectores unitarios como:

idli

idlu =

Así, los vectores diferenciales de recorrido y de superficie serán:

dSi=│dSi│ui

dli=│dli │ui

Cualquier superficie Si por tanto es perpendicular al plano de coordenada iconstante.


Segmento elemental de recta con dirección arbitraria en un sistema cartesiano: dl

Elemento de longitud dlx normal al plano x=cte: dlx =dx

Elemento de longitud dly normal al plano y=cte: dly =dy

Elemento de longitud dlz normal al plano z=cte: dlz =dz

La magnitud del elemento de longitud en una dirección arbitraria es:

222222 dzdydxdldldldl zyx ++=++=


dSx=dy dz dSy=dx dz dSz=dx dy

dV=dx dy dz


La magnitud del elemento de longitud dlρ en el punto P normal alcilindro ρ=constante, esto es, en los planos φ=constante,z=constante es:

dlρ=dρ

La magnitud del elemento de longitud dlφ en el punto P normal alplano φ=constante, esto es, en el cilindro ρ=constante y el planoz=constante es:

dlφ =ρdφ

La magnitud del elemento de longitud dlz en el punto P normal alplano z=constante, esto es, en el cilindro ρ=constante y en el planoφ=constante es:

dlz=dz

dSρ=ρdφdz

dSφ=dρdz

dSz=ρdρdφ

dV=ρdρdφdz



La magnitud del elemento de longitud dlr en ladirección radial normal a la esfera r=constante es:

dlr=dr

La magnitud del elemento de longitud dlφ en ladirección azimutal normal al plano φ=constante es:

dlφ=rcosθdφ

Y la de lθ es:

dlθ=rdθ


La magnitud de los elementos de área dSr, dSφ y dSθ en P que están sobre la esfera de radior, el plano φ=constante y el cono de semiapertura θ=constante, están dadas por:

dSr=r2cosθdφdθdSφ=rdrdθ

dSθ=rcosθdrdφ

Y el elemento de volumen dV estará dado por:

dV=r2cosθdrdφdθ

CAMBIO DE COORDENADAS

Si la posición de P está dada en coordenadas cilíndricaspor P(r, q, z), y deseamos determinar sus coordenadascartesianas, suponiendo el mismo origen, podemos verque:

x=ρcosφy=ρsenφ

z=z

Inversamente, si P está dado en coordenadas cartesianas,sus coordenadas cilíndricas están dadas por:

22 yx +=ρ

z=zxytanarc=φ


Si P está dada en términos de sus coordenadas esféricas P(r, θ, φ), y deseamos dar laposición de P en coordenadas cartesianas, entonces:

x=rsenθcosφy=rsenθsenφ

z=rcosθ

Si deseamos determinar las coordenadas de P en coordenadas esféricas cuando P estádado en coordenadas cartesianas vemos que de las ecuaciones anteriores:

222 zyxr ++=

xytanarc=φ

222 zyxzsenarc

++=θ


Si las coordenadas cilíndricas de P son:

ρ=rcosθφ=φ

z=rcosθ

donde r, θ, φ son las coordenadas esféricas de P, P(ρ, φ, z) pueden ser transformadas aP(r, θ, φ) por medio de:

22 zr +ρ=

φ=φ

22 zzcosarc

ztanarc

+ρ=

ρ=θ

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