flujo-compresible

7/17/2019 flujo-compresible

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UNIVERSIDAD TECNICA DE ORUROFACULTAD NACIONAL DE INGENIERÍA

INGENIERÍA MECÁNICA

Mecánica de Fluidos II

Flujo compresible

Apuntes de ClaseTeoría y problemas resueltos

(En revisión)

Emilio Rivera Chávez

Septiembre de 2006-septiembre de 2007



Apuntes de Clase Mecánica de Fluidos II

Profesor: Emilio Rivera Chávez

1

Contenido

Introducción. Conceptos básicos de la Termodinámica. Propagación de las

ondas sonoras. El cono de Mach. Estado de referencia: propiedades de es-

tancamiento isentrópico local; condiciones críticas. Ecuaciones fundamenta-

les para un flujo isentrópico. Efectos del cambio de área en las propiedades.Flujo isentrópico de un gas ideal. Flujo isentrópico en toberas. Flujo en una

tobera real en condiciones de diseño. Flujo adiabático en conducto de sec-

ción constante con fricción.- línea de Fanno. Flujo permanente sin fricción en

un ducto de área constante con intercambio de calor.- Línea de Rayleigh.

Ondas de choque normales





2

I FLUJO COMPRESIBLE UNIDIMENSIONAL

1.1 Introducción

En el flujo incompresible, la presión y la velocidad de flujo son las variables principales, siendolas ecuaciones de cantidad de movimiento y continuidad las que permiten relacionar estas va-riables y resolver los problemas concernientes a estas variables. A su vez la ecuación de energ-ía permite identificar las perdidas de energía mecánica.

En el caso del flujo compresible, es necesario considerar además las variaciones de la densidady la temperatura, por ello la aplicación de la ecuación de energía como la ecuación de estadoson necesarias para la resolución de problemas de flujo compresible. Este tipo de flujo implicavariaciones apreciables de la densidad en todo el campo de flujo ya sea debido a altas veloci-dades de flujo y/o cambios apreciables de la temperatura. Los cambios apreciables en la veloci-dad de flujo implican grandes variaciones de presión en el flujo de gases, estos cambios depresión van acompañados de variaciones significativas tanto en la densidad como en la tempe-ratura.

El estudio del flujo compresible se caracteriza mediante el parámetro adimensional denominadonúmero de Mach. En función a cuyos valores las altas velocidades en aerodinámica externasuelen clasificarse en las siguientes categorías (http://en.wikipedia.org/wiki/Mach_number ):

Flujo incompresible Flujo en el que los efectos de la variación de la densidadson despreciables, esta comprendido en el rango aproximado de:

Flujo subsónico. El número de Mach debe estar comprendido en el siguienterango:

Flujo sónico: El número de Mach es igual a 1

Flujo transónico. Flujo comprendido entre número de Mach ligeramentemayores y menores que 1.

Flujo supersónico. En este flujo el número de Mach debe estar comprendidoen el siguiente rango:

Flujo hipersónico. El número de Mach es superior a 5.

M < 0.3

0.3 < M < 0.8

M = 1

0.8 < M < 1.2

1.2 < M < 5

M > 5

Sin embargo en flujo en conductos (flujo interno), la cuestión más importante es saber si el flujoes subsónico (M<1) o supersónico (M>1). En este capítulo se estudia el flujo interno unidimen-sional estable de fluidos compresibles, principalmente del gas ideal.

Objetivos de Aprendizaje

Al finalizar el estudio de este capítulo el estudiante será capaz de:

Verbalizar con sus propias palabras los principios básicos que rigen el flujo compresible.

Emplear las ecuaciones básicas del flujo isentrópico para la resolución de problemas deflujo isentrópico.

Explicar y determinar el efecto del cambio de área sobre las propiedades del fluido paraflujo isentrópico.

Determinar y explicar gráficamente las distribuciones de presión a través de un conducto desección variable: tobera convergente y tobera convergente-divergente.

Escribir y aplicar las ecuaciones básicas para el flujo adiabático, unidimensional y perma-nente de un gas con calores específicos constantes en la resolución de problemas de flujoen conductos de área constante.

Escribir y explicar las ecuaciones básicas para el flujo compresible unidimensional y per-manente de un gas ideal a través de una onda de choque normal.

http://en.wikipedia.org/wiki/Mach_number








3

1.2 Consideraciones termodinámicas

En este epígrafe se hace un resumen de la termodinámica necesaria para el estudio del flujocompresible, incluyendo la ecuación de estado, y ecuaciones de temperatura- entropía.

Relaciones termodinámicas para un gas ideal

La presión, la densidad y la temperatura de una sustancia pueden relacionarse funcionalmentemediante una ecuación de estado. Para la mayoría de los gases usados en la ingeniería existeuna relación sencilla entre sus propiedades que esta representada por la conocida ecuación deestado del gas ideal ,

R es una constante para cada gas y esta dada por

R=R u /M

Donde R U = 8314N.m/kgm ol.K es la constante universal de los gases y M es la masa moleculardel gas.

El gas ideal tiene otras características sencillas y muy útiles que se exponen a continuación.

Energía int ern a

La energía interna para una sustancia cualquiera puede expresarse como una función de latemperatura y del volumen específico,

),( T uu

de donde,

d u

dT T

udu

T

Los calores específicos a cp, a presión constante y cv, a volumen constante se definen como:

T

uc

uc v

T

p

Para el caso de un gas ideal ( pv=RT) la energía interna, para un proceso isotérmico, se ajusta a

la relación:

0

d

u

T

en consecuencia

)(T uu

por lo que

dT cdu p

Lo que significa que para un gas ideal, la energía interna y los cambios de temperatura puedenrelacionarse si se conoce c v .

En ta lpía

A partir de la definición de entalpía y de la ecuación de estado del gas ideal se puede escribir:

RT p





4

RT uh RT p p

uh

;

como u = u(T) para un gas ideal, entonces h debe ser también solo una función de la tempera-tura. Así,

)(T hh

Es posible establecer una relación entre h y T, expresando h como una función de p y T,

),( T phh

entonces

dp p

hdT

T

hdh

T p

Como h es función solo de T, se tiene

0

dp

p

h

T

y como

T

p

uc

por lo que

dT cdh p

Relación ent re los c alores es pecífico s

A partir de la ecuación, RT uh se puede escribir

RdT

du

dT

dh

RdT dudh

Debido a que h y u son funciones solamente de la temperatura, los calores específicos, c p y cv,serán también funciones solo de la temperatura, de modo que no se precisan derivadas parcia-les dadas en sus definiciones, por tanto para un gas ideal

dT

duc

dT

dhc v p ;

Entonces,

Rcc v p

La razón entre los calores específicos, es parámetro adimensional útil, se define como:

v

p

c

ck

Combinado adecuadamente estas dos últimas relaciones, se pueden escribir expresiones paralos calores especificas, aplicables a los gases ideales. Así,

1;

1

k

Rc

k

kRc v p





5

Para un gas ideal, los calores específicos son funciones solo de la temperatura. Para intervalosde temperatura razonables, los calores específicos pueden tratarse como constantes en cálcu-los de exactitud de ingeniería. En estas condiciones,

)(

)(

1212

1212

2

1

2

1

2

1

2

1

T T cdT cdhhh

T T cdT cduuu

p

T

T p

h

h

v

T

T v

u

u

Ecuaciones que pueden usarse para simplificar el análisis.

Relaciones de las propiedades de un gas ideal sujeto a un proceso isentrópico.

Se pueden establecer una relación útil entre p y v para un gas ideal con calor específico cons-

tante sujeto a un proceso adiabático reversible a partir del primer principio con dh y du expresa-dos en función de los calores específicos y temperaturas. Así,

dpdT c

pd dT c

p

p

Combinado ambas ecuaciones y ordenando adecuadamente se tiene

d k

d

c

c

p

dp

v

p

Integrando para k=cte.

C k p lnlnln

C p k

Aplicando la última ecuación entre dos estados, se tiene:

k

k k

p

p p p

1

2

2

12211

Combinado esta relación con la ecuación de estado de un gas ideal se puede expresar esteresultado en función de la temperatura y la densidad. Así,

k k

k

p

p

T

T

T

T

/1

2

1

2

1

1

2

1

2

1

La entropía y el segundo principio de la termodinámica

La entropía es una propiedad muy útil en el estudio del flujo compresible. El diagrama Tempera-tura vs. entropía, es una buena herramienta para la interpretación física de los resultados analí-ticos. Por ello se hará un uso intensivo del diagrama T-s en la solución de problemas de flujo





6

compresible y por tanto se justifica repasar algunos conceptos y relaciones útiles que involucrana la entropía.

La entropía se define matemáticamente mediante la siguiente relación:

revrev T

QdS o

T

QS

De la segunda ley se deduce la conocida desigualdad de Clausius, que establece que:

0 T

QS

Como una consecuencia de la segunda ley, estos resultados pueden extenderse a:

QTdS oT

QdS

Para procesos reversibles, se puede escribir la siguiente ecuación:

dm

QTds

En tanto que para un proceso irreversible se cumple la desigualdad,

dm

QTds

Para un proceso adiabático, como 0dm

Q , se tiene:

0ds (Proceso adiabático reversible)

y

0ds (Proceso adiabático irreversible)

En consecuencia se puede afirmar que un proceso que es reversible y adiabático también esisentrópico; es decir que la entropía permanece constante durante el proceso. Así mismo laúltima relación muestra que la entropía debe crecer cuando un proceso es adiabático e irrever-sible.

Es decir que: la entropía de un sistema aislado térmicamente durante un proceso siempre seincrementa o, en el restrictivo caso de un proceso reversible, permanece constante. Dicho deotro modo, la entropía – para un sistema adiabático- nunca disminuye. Esto se conoce como elprincipio de incremento de entropía

1. Entonces, en ausencia de cualquier intercambio de calor,

el cambio de entropía se debe solo a la irreversibilidad y su efecto es siempre incrementar laentropía.

1 El principio de incremento de entropía no implica que la de un sistema no pueda disminuir. El cambio deentropía de un sistema puede ser negativo durante un proceso, pero la generación de entropía no. El prin-

cipio de incremento de entropía puede resumirse de la siguiente manera:Si Sgenerada > 0 entonces el proceso es irreversible Si Sgenerada = 0 entonces el proceso es reversible

Si Sgenerada < 0 entonces el proceso No es posible

Estas relaciones pueden servir como criterio de decisión respecto de la irreversibilidad, irreversibilidad oimposibilidad de un proceso.





7

Un análisis del conjunto de las ecuaciones anteriores, muestra que el cumplimiento de cuales-quiera dos de tres las restricciones –reversible, adiabático o isentrópico- debe implicar el cum-plimiento de la tercera. Así por ejemplo, un proceso que es isentrópico y reversible debe sertambién adiabático.

A partir de la primera y segunda ley de la termodinámica, es posible obtener una relación ma-temática entre la presión, volumen específico, temperatura absoluta, entropía y energía interna

específica ( p, v, T, s, u), valida para todos los procesos entre estados de equilibrio. Esta rela-ción esta dada por:

vdpdh pdvduTds

Para un gas ideal, se puede escribir

p

dp R

T

dT cds p

Ejemplo 1Fluye aire a través de un ducto de sección constante a razón de 0.15 kg/s. Un tramo corto delconducto se enfría con nitrógeno líquido que rodea al ducto. La razón de pérdida de calor delaire en esta sección es 15.0 kJ /s. La presión, temperatura y velocidad de entrada en la sección

fría son 188 kPa (abs), 440K y 210 m/s, respectivamente. Las condiciones de estado en la sali-da son 213 kPa (abs.) y 351 K. Calcule el área de la sección transversal del ducto y los cambiosde entalpía y entropía para este flujo.

El objet ivo de este ejemplo es consolidar los conceptos básicos expuestos hasta ahora.

RESOLUCION

Datos:

Entrada Salida

T1

440 K T2

351 K

P1 188 kP P2 213 kP

V1

210m

s

Hipótesis:

i flujo permanenteii flujo uniforme en cada sección

iii gas ideal R 287J

kg K

a) Cálculo del área de la sección de flujo

El área de la sección de flujo del ducto se calcula a partir del flujo másico a la entrada, que de

acuerdo al planteamiento hipotético y de acuerdo con la ecuación de continuidad debe ser cons-tante a lo largo del tubo:

m = ρVA = cte.

Previamente debemos calcular la densidad, para ello usamos la ecuación del gas ideal,

1

P1

R T1

1 1.489

kg

m3

m 0.15kg

s





8

Luego entonces:

Se tiene

d) Finalmente el cambio de entropía puede calcularse a partir de la ecuación:

De donde:

b) El cambio de entalpía se puede calcular recordando que para un gas ideal con calores especí-ficos constantes:

si asumimos para el aire (tabla):

Cp 1004J

kg K

Tendremos que:

c) De manera similar se puede calcular el cambio de energía interna:Partimos de la siguiente relación

)( 12

2

1T T cdT cu vv

Si tomamos para el aire (tabla)

Cv 717.4 J

kg K

U m Cv T2

T1

U 9.577 103

W

dpdhTds

1

Integrando esta ecuación para un gas ideal con calores específicos constantes, se tiene:

2

1

2

1 p

dp R

T

dT c s p

s Cp ln

T2

T1

R ln

P2

P1

s 262.724 m

2

K s2

Am

1 V

1

A 4.798 10

4 m

2

H 1.34 104

W

H Cp m T2

T1

)( 12

2

1T T cdT ch p p





9

1.3 Efectos de la compresibilidad

Dos parámetros importantes en el estudio de flujo compresible son la velocidad de sonido, c , yel número de Mach, M. La velocidad del sonido es la velocidad a la cual una onda de presióninfinitesimalmente pequeña viaja a través de un medio. Una onda de presión puede ser origina-da por una pequeña perturbación, la cual crea un ligero aumento en la presión local. El numerode Mach se define como el cociente de la velocidad real del fluido (o de un objeto que se mueve

en el fluido en reposo) entre la velocidad del sonido en el mismo medio fluido, en el mismo es-tado.

M = V/c

Es decir que el número de Mach depende de la velocidad del sonido, c, que a su vez dependedel estado del fluido, como se verá más adelante.

Propagación de una onda elástica

Si en un fluido se origina una perturbación, la velocidad de avance del frente de onda corres-pondiente es proporcional a la raíz cuadrada del cociente entre el modulo de compresibilidaddel fluido y su densidad.

Esto se puede comprobar, al considerar la propagación de una perturbación en un fluido ini-cialmente en reposo: debido a la acción molecular, la presión se incrementa a la derecha de dela perturbación y este incremento se moverá hacia aguas abajo a una velocidad c por otra partede acuerdo a la segunda ley de newton, el fluido localizado inmediatamente a la derecha delfrente de onda se acelerara como consecuencia de la diferencia de presión dp.a una velocidaddV .

Se puede analizar el fenómeno a partir de un volumen de control que se mueve encerrando alfrente de onda como se muestra en la figura. Luego a partir de las ecuaciones de continuidad ycantidad de movimiento aplicadas a este volumen de control se pueden escribir las siguientesecuaciones diferenciales:

1.3.1

1.3.2

y combinado ambas ecuaciones y despejando la velocidad de propagación, se obtiene:

d

dpc 1.3.3

Para el caso de un gas ideal, la presión y la densidad en un proceso isentrópico están relacio-nados mediante la ecuación:

cte

k

p

1 1.3.4

Volumen de control Vo=c

c velocidad densidad p presión

c – dV velocidad

+d densidad p+dp presión

Fig. 1.3.1 Volumen decontrol alrededor del frentede onda.

c

dpdV

d cdV





10

A partir de la que se obtiene por derivación (previa logaritmización):

kp

d

dp 1.3.5

Entonces la velocidad de propagación de una onda de presión en función de las propiedades

termodinámicas del fluido estará da-da, para un gas ideal, por:

kpc 1.3.6

kRT c 1.3.7

Como, para un gas ideal en particular,R es constante y k (relación de calores específicos) es, cuando mucho, unafunción de la temperatura, T, se con-

cluye que la velocidad del sonido enun gas ideal dado es función sola-mente de la temperatura (figura 1.3.2).

El Cono de Mach

Número Mach.- Conocido coloquialmente como mach ("mac "), se define como el cociente entrela velocidad de un objeto y la velocidad del sonido en el medio en que se mueve dicho objet o.Dicha relación puede expresarse según la ecuación:

c

V M 1.3.8

Si un objeto viaja a través de un medio, entonces su número de Mach es la razón entre la ve-

locidad del objeto y la velocidad del sonido en ese medio. Es un número sin unidades, típica-mente usado para describir la velocidad de los aviones. Mach 1 equivale a la velocidad del so-

nido, Mach 2 es dos veces la velocidad del sonido, etc.

Este número fue propuesto por el físico y filósofo austriaco Ernst Mach2,

como una manera sencilla de expresar la velocidad de un objeto con res-pecto a la velocidad del sonido.

La utilidad del número de mach reside en que permite expresar la veloci-dad de un objeto no de forma absoluta en km/h o m/s, sino tomando comoreferencia la velocidad del sonido, algo interesante desde el momento enque la velocidad del sonido cambia dependiendo de las condiciones de laatmósfera. Por ejemplo, cuanto mayor sea la altura sobre el nivel del mar

2 Ernst Mach (18 de febrero, 1838 - 19 de febrero, 1916) físico y filósofo austriaco. Trabajó como catedrático de matemáticas en la Universidad

de Graz y de 1867 a 1895 como catedrático de física experimental en la Universidad de Praga. Realizó importantes descubrimientos en loscampos de la óptica, la acústica y la termodinámica. Sus trabajos acerca de la mecánica newtoniana tuvieron una gran importancia ya que conellos rebatió en parte dicha teoría y en particular el concepto de espacio absoluto. Sus tesis desempeñaron un papel muy importante en la formu-lación de la teoría especial de la relatividad por parte de Albert Einstein en e l año 1905. Mach estudió sobre todo la física de fluidos a velocidadessuperiores a la del sonido, y descubrió la existencia del cono que lleva su nombre. Se trata de una onda de presión de forma cónica que parte delos cuerpos que se mueven a velocidades superiores a la del sonido. Descubrió que la relación entre la velocidad a la que se desplaza el cuerpo yla velocidad del sonido es un factor físico de gran importancia. Dicho factor se conoce con el nombre de número de Mach, en su honor. Unavelocidad de Mach 2,7 significa que el cuerpo se mueve a una ve locidad 2,7 veces superior a la de propagación del sonido.Como filósofo de la naturaleza, rechazó de forma contundente toda metafísica y religiosidad convirtiéndose por e llo en uno de los representantesmas destacados del positivismo. Fuente: "http://es.wikipedia.org/wiki/Ernst_Mach"

Ernst Mach

Fig. 1.3.2 La velocidad del sonido, C, varia con al tem-peratura, T, y con el fluido.

0 500 1000 15000

1000

2000

3000

Ca T( )

Che T( )

T

c

Helio

Aire

http://es.wikipedia.org/wiki/Austria


http://es.wikipedia.org/wiki/Ernst_Mach









11

o la temperatura de la atmósfera, menor es la velocidad del sonido. De esta manera, no necesi-tamos saber la velocidad del sonido para saber si un avión que vuela a una velocidad dada laha superado: Nos basta con saber su número de Mach

3.

Ejemplo 2

Un aeroplano vuela a 180 m/s y 500 m de altura en un día con condiciones estándar. As-ciende a 15 km y vuela a 320 m/s. Calcule el número de Mach de vuelo en ambos casos.

(flujo supersónico)M2

1.084M2

V2

c

entonces el numero e Mach, sera:

c 295.076m

sc k R T

2

entonces

(Tabla A.3 Fox, pag. 840)T2

216.7K

b ) Para 15000 m de a ltitud , la temperatura es:

(flujo subsónico)M1 0.532M1

V1

c

entonces el numero e Mach, sera:

c 338.338m

sc k R T

1

entonces

(Tabla A.3 Fox, pag. 840)T1

284.9K

a ) Para 500m d e alti tud, la temperatura es:

en cada caso calculamos la temperatura en función a l a alti tud a la que se encuentra el

aeroplano.

Donde, la veloci dad del sonido, esta dada por:

En ambos casos util izaremos la ecuación:

R 287 J

kg K Z

2 15000mZ

1 500 m

k 1.4V2

320 m

sV

1 180

m

s

Datos :

3 Instrumentation

An aircraft Mach meter or electronic flight information system (EFIS) can display Mach number derived from impact pressure (pitot tube) and staticpressure.For subsonic compressible flow:

Where: qc is impact pressure and, P 0 is static pressure.

http://en.wikipedia.org/wiki/EFIS



http://en.wikipedia.org/wiki/Pitot_tube









12

)( ot t V

)( ot t c SILENCIO

ACCION

Figura 1.3.3d. V>0. Movimiento supersónico

Supongamos, ahora, que se emite una perturbación ins-tantánea infinitesimal en un punto de un fluido. El frente sepropaga en forma esférica con la velocidad del sonido, elpatrón de sonido se propaga uniformemente en todas lasdirecciones. En cualquier instante el radio de la esfera esc(t-t0), cuyo centro coincide con el punto de emisión de laperturbación. Se explicarán ahora cuatro situaciones posi-bles:

En el instante (t-to) después de la emisión, cualquierpulso sonoro se localiza en el radio c (t-to), medidodesde la fuente, figura 1.3.3a.

Si la perturbación se emite en un fluido que se muevecon una velocidad uniforme Vo < C, figura 1.3.3b. Laconcentricidad del patrón de onda se pierde; ya no haycírculos concéntricos, debido a que la propagación semueve hacia fuera esféricamente con respecto al fluidoy por consiguiente se mueve hacia aguas abajo con ve-locidad Vo.

Si ahora, que la perturbación se emite en un medio quese mueve con una velocidad constante VO=C; (M=1). Ellugar geométrico de las superficies delanteras de lasondas sonoras es un plano en la fuente. Consecuente-mente, un observador enfrente de la fuente no la escu-chará cuando ella se acerque.

Si, ahora, se emite una perturbación en un medio fluidoque se mueve con velocidad Vo>C. Esto representa unaacción simple en un flujo supersónico. En este caso, ellugar geométrico de las superficies delanteras de las

ondas sonoras es un cono, denominado cono de Mach.También en este caso, ningún sonido se escuchará fren-te al cono.

El ángulo del cono, 2, está relacionado con el número deMach, relación que puede obtenerse a partir de la geo-

metría de la figura (como se vera en elejemplo 3) y está dado por:

M V

C sen

1)( ,

Es decir

1.3.9

)( ot t c

)( oo t t V

Figura 1.3.3b Propagación de una

onda V0<c. corrimiento Doppler.

)( ot t c

)( ot t c

Figura 1.3.3c. V0=c

M arsen

1

)( ot t c

Figura 1.3.3a Propagación de una onda

en un fluido en reposo. V0=0.





13

Ejemplo3.-Un avión que vuela a 2000 m de altitud pasa directamente por arriba de un observador. Si elavión se desplaza a un número de Mach igual a 1.5 y la temperatura ambiente es 10ºC, ¿cuán-tos segundos tiene que esperar el observador antes de escuchar el sonido producido por elavión?

Datos:T= 10 + 273 = 283 oK; M = 1.5; Z = 2000 m

Para el aire se puede tomar: k = 1.4

Para M=1.5 se tiene V > C es decir flujo supersónico, por lo que usaremos el cono de Machcomo referencia para resolver el problema.

Donde el ángulo de Mach está dado por:

M V

C sen

1)(

La velocidad del sonido se puede calcular a partir de:

kRT C

El tiempo se puede calcular a partir de la relación

t V t t V x o )(

CM

x

V

xt

Así mismo, x se calcula a partir del cono de Mach, así:

tg

z x

Reemplazando valores numéricos, en las ecuaciones anteriores se tiene que el observador oirá

el sonido luego de un tiempo de t= 4.420 s.

SILENCIO )( ot t c

ACCI N

z

x= V.(t - t o )





14

1.4 Estado de referencia

Propiedades locales de estancamiento isentrópico

En el flujo compresible, es conveniente emplear el estado de estancamiento como un estado de

referencia. Las propiedades de estancamiento (To, po, o…) en cualquier punto en un campo deflujo, son las que corresponden a los valores que tomarían estas propiedades en el punto en

cuestión si hipotéticamente la velocidad se redujera a cero isentrópicamente.

En un flujo adiabático unidimensional debe tenerse la misma entalpía isentrópica de estanca-miento en todos los puntos y, recíprocamente, si para un flujo unidimensional particular se sabeque la entalpía de estancamiento isentrópica es constante en todos los puntos, puede concluir-se que el flujo es adiabático.

El estado e estancamiento se llama estado deestancamiento isentrópico cuando el proceso deestancamiento es reversible y adiabático (isentró-pico). La entropía de un fluido permanece cons-tante durante el proceso isentrópico de llevar elfluido al estado e estancamiento. El proceso real(irreversible) y el proceso isentrópico de llevar alreposo un flujo de fluido se puede observar en lafigura. La entalpía de estancamiento del fluido (yla temperatura de estancamiento si el fluido es ungas ideal) es la misma en ambos casos. Sin em-bargo, la presión de estancamiento real es menorque la presión de estancamiento isentrópica por-que la entropía aumenta durante el proceso realde estancamiento como resultado de la friccióndel fluido. Frecuentemente, los procesos de es-tancamiento se aproximan a isentrópicos y a laspropiedades de estancamiento isentrópico se lesllama simplemente propiedades de estancamien-to.

A partir de la primera ley de la termodinámica se puede escribir la siguiente relación, para un unproceso isentrópico:

hV

20

2

hV

hV

oo

22

22

hV

ho 2

2

1.4.1

Para flujos a altas velocidades la energía potencial del fluido es insignificante, pero la energíacinética no lo es. En estos casos la entalpía de estancamiento representa la energía total del

flujo fluido, es decir que la entalpía de estancamiento h0, se interpreta en estos casos como lacombinación la entalpía estática (o simplemente entalpía) y la energía cinética del fluido.

Ahora suponiendo calores específicos constantes (cuando un fluido se aproxima a un gas idealcon calores específicos constantes, su entalpía puede reemplazarse por c pT) y con Vo=0, apartir de la ecuación anterior se puede escribir:

T cV

T c P o

o P 2

2

T c

V T

P

oo

2

2

12

2

T c

V

T

T

P

oo 1.4.2

h

s

2

2V

p0

p0,act

Estado de estanca-miento isentrópico

Estado real de estan-camiento isentrópico

Figura 1.4.1. Estado real, estado de estancamientoisentrópico y estado de estancamiento real de un

fluido.

Estado real

0





15

De la relación anterior se establece que la temperatura de estancamiento T 0 , es constante paraun flujo adiabático.

En la ecuación 1.4.2, la temp eratura de estancamiento T 0 , representa la temperatura quealcanza un gas ideal cuando se lleva al reposo adiabáticamente. El término V

2/2cp corresponde

al incremento de la temperatura alcanzado durante el proceso y se llama temperatura dinámica.Estas ecuaciones nos muestran que para flujos a bajas velocidades las temperaturas de estan-camiento y estática, T0 y T, son prácticamente iguales, pero para flujos a altas velocidades latemperatura de estancamiento puede ser considerablemente mayor que la temperatura estáticadel fluido

4.

Si recordamos que:

C

V M ykRT C R

k

k c P

2;

1

A partir de la relación 1.4.2 se puede obtener una relación para la razón de las temperaturas deestancamiento y estática, en función del número de Mach:

1.4.3

Figura 1.4.2. Variación de la razón To /T vs M

4 Así pues, cuando un flujo es llevado al reposo, el flujo está en estancamiento, por lo tanto, un termóme-tro en un flujo compresible medirá T0, no T.

Entonces, cuando T = 17 0C ≡290 K, si:

M=0.10, T0/T=1.002, entonces T0=290.58 K ≡17.58oC;

M=0.50, T0/T=1.050, entonces T0=304.5 K ≡ 31.50 oC;

M=2.0 T0/T=1.80, entonces T0 = 522 K ≡ 249oC

M T0 /T

0.00 1.000

0.10 1.0020.20 1.008

0.30 1.018

0.40 1.032

0.50 1.050

0.60 1.072

0.70 1.098

0.80 1.128

0.90 1.162

1.00 1.200

1.20 1.288

1.40 1.392

M T0 /T

1.60 1.512

1.80 1.6482.00 1.800

2.20 1.968

2.40 2.152

2.60 2.352

2.80 2.568

3.00 2.800

3.50 3.450

4.00 4.200

4.50 5.050

5.00 6.000

10.00 21.000

12

1 2

M k

T

T o

Razon T0/T vs M

0.0

2.0

4.0

6.0

8.0

10.0

12.0

14.0

16.0

18.0

20.0

0.00 2.00 4.00 6.00 8.00 10.00

Número de Mach M

T o / T

esta última ecuación sólo requiere que el flujo sea adiabáti

co , es decir que sigue siendo válida en presencia de irreversibi- idades tales como las pérdidas por fricción u ondas de choque.





16

Relaciones isentrópicas de presión y densidad en función al número de Mach.

A partir de esta última relación, y de las conocidas relaciones isentrópicas para un gas ideal,pueden formularse relaciones similares para la densidad y la presión de estancamiento:

Presión de estancamiento.- Se denomina presión de estancamiento , p 0 , a la presión quealcanza un fluido cuando se lleva al reposo isentrópicamente. Para un gas ideal con calores

específicos constantes, p0 se puede relacionar con la presión estática del fluido, p, y el númerode Mach de la siguiente manera:

1

k

k

oo

T

T

p

p 12 1

2

1

k

k

o M k

p

p 1.4.4

Análogamente la densidad de estancamiento, 0, y la densidad estática,, pueden relacionarsemediante las siguientes expresiones:

1

1

k oo

T

T

1

1

21

2

1

k o M

k

1.4.5

Consideremos ahora un flujo fluido a través de un ducto, si se usan entalpías de estancamiento,el balance de energía (primera ley e la termodinámica) para un volumen de control con flujoestacionario y con una entrada y una salida puede expresarse del siguiente modo:

)(22

)( 12

21

22

12 z z g V V

hhwq

Reordenando convenientemente;

)()

2

()

2

( 12

21

1

22

2 z z g V

hV

hwq

y de (1.4.1)

q - w = h02 + h01 + g(z2-z1) 1.4.6

Donde h02 y h01 son las entalpías de estancamiento en los estados 2 y 1, respectivamente.

Es decir que: cuando se usan entalpías de estancamiento no es necesario referirse a la energ-ía cinética de manera explicita, sin embargo las entalpías de estancamiento, como ya se dijo,toman en cuenta su contribución.

Para flujo adiabático (sin intercambio de calor), en ausencia de trabajo y sin cambio de energíapotencial, se tiene que:

h02 = h01 = constante

Es decir que en estas condiciones la entalpía permanece constante.

Cuando el fluido es un gas ideal con calores específicos constantes, la ecuación (1.4.6) toma lasiguiente forma:

q - w = cp(T02 +T01 ) + g(z2-z1) 1.4.7

Donde T02 y T01 son las temperaturas de estancamiento.





17

Propiedades de estancamiento en función del número de Mach

M T/To p/po /o M T/To p/po /o M T/To p/po /o

0.00 1.0000 1.0000 1.0000 2.00 0.5556 0.1278 0.2300 4.00 0.2381 0.0066 0.0277

0.10 0.9980 0.9930 0.9950 2.10 0.5313 0.1094 0.2058 4.10 0.2293 0.0058 0.0252

0.20 0.9921 0.9725 0.9803 2.20 0.5081 0.0935 0.1841 4.20 0.2208 0.0051 0.0229

0.30 0.9823 0.9395 0.9564 2.30 0.4859 0.0800 0.1646 4.30 0.2129 0.0044 0.0209

0.40 0.9690 0.8956 0.9243 2.40 0.4647 0.0684 0.1472 4.40 0.2053 0.0039 0.0191

0.50 0.9524 0.8430 0.8852 2.50 0.4444 0.0585 0.1317 4.50 0.1980 0.0035 0.0174

0.60 0.9328 0.7840 0.8405 2.60 0.4252 0.0501 0.1179 4.60 0.1911 0.0031 0.0160

0.70 0.9107 0.7209 0.7916 2.70 0.4068 0.0430 0.1056 4.70 0.1846 0.0027 0.0146

0.80 0.8865 0.6560 0.7400 2.80 0.3894 0.0368 0.0946 4.80 0.1783 0.0024 0.0134

0.90 0.8606 0.5913 0.6870 2.90 0.3729 0.0317 0.0849 4.90 0.1724 0.0021 0.0123

1.00 0.8333 0.5283 0.6339 3.00 0.3571 0.0272 0.0762 5.00 0.1667 0.0019 0.0113

1.10 0.8052 0.4684 0.5817 3.10 0.3422 0.0234 0.0685 5.50 0.1418 0.0011 0.0076

1.20 0.7764 0.4124 0.5311 3.20 0.3281 0.0202 0.0617 6.00 0.1220 0.0006 0.0052

1.30 0.7474 0.3609 0.4829 3.30 0.3147 0.0175 0.0555 6.50 0.1058 0.0004 0.0036

1.40 0.7184 0.3142 0.4374 3.40 0.3019 0.0151 0.0501 7.00 0.0926 0.0002 0.0026

1.50 0.6897 0.2724 0.3950 3.50 0.2899 0.0131 0.0452 7.50 0.0816 0.0002 0.0019

1.60 0.6614 0.2353 0.3557 3.60 0.2784 0.0114 0.0409 8.00 0.0725 0.0001 0.0014

1.70 0.6337 0.2026 0.3197 3.70 0.2675 0.0099 0.0370 8.50 0.0647 0.0001 0.0011

1.80 0.6068 0.1740 0.2868 3.80 0.2572 0.0086 0.0335 9.00 0.0581 0.0000 0.0008

1.90 0.5807 0.1492 0.2570 3.90 0.2474 0.0075 0.0304 9.50 0.0525 0.0000 0.0006

0.00

0.10

0.20

0.30

0.40

0.50

0.60

0.70

0.80

0.90

1.00

0.00 2.00 4.00 6.00 8.00

Núme ro de Mach

Figura 1.4.3 Propiedades de estancamiento como función del número deMach, para k=1.4

0

0T

T

0 p

p





18

T

M 1=0.4,T 1=2350

oF

p1=90.0

M 2 =0.8,T 2 =1200

oF

p2 =3.00

R 53.3 pie lbf

lbm R k 1.4

cp 0.240 Btu

lbmR cv 0.171

Btu

lbmR

Ejemplo 4.-Entra aire a una turbina a M 1=0.4, T 1=2350 oF y p1=90.0 psia. Las condiciones a la

salida de la turbina son M 2 =0.8, T 2 =1200 oF y p2 =3.00 psia. Evalúe las condiciones locales de

estancamiento isentrópico a) en la entrada de la turbina y b) en la salida de la turbina. Calcule elcambio de entropía específica a través de la turbina. Grafique los puntos de estado estático y de

estancamiento en un diagrama T-s.

DATOS Otros datos importantes (aire estándar).

Haciendo uso de las relaciones matemáticas, establecidas en esta sección, se pueden calcular las condiciones de estancamiento del aire tanto en la entrada como en la salida de la turbina. (Para esto se utilizó el MatCAD).

Btu

lbmR s 0.108de donde:s cp ln

T2

T1

cp cv( ) ln p2

p1

R cp cvs cp ln T2

T1

R ln p2

p1

c)Cambio de la entropia específica.-Para calcular el cambio de entropia, uti l izamecuación: Tds=dh-vdp; que para un gas ideal se puede s¡escribir:

o2 6 .598 10 3

lbm

pie3

o1 0.094lbm

pie3

o1 po1 144

R To1

o2 po2 144

R To2

a partir de la ecuación general de los gases:

Densidad de estancami ento

psia po2 4.573 psia po1 100.49

po2 k 1

2M2

2 1

k

k 1 p2 po1

k 1

2M1

2 1

k

k 1 p1

-Presión de estancami ento

R T o1 2.9 103

R To2 1.872 10

3

To2 k 1

2M2

2 1

T2To1 k 1

2M1

2 1

T1

- Temperatura de estancami ento

b) en la salida de la turb inaa) en la entrada de la turbina

* El estudiante debe dibujar el diagrama T-s, referido a los puntos de estado del proceso.





19

1 2

?v2 pie/sv1 500lbf.pie/lbm.R 53.3

k 1.4R T2 800R T1 600

Btu/lbm.Rcp 0 .24psiap2 40psiap1 60constantessección 2sección 1

2 v2 A

v2 1 v1

2 v2 1 10

3 pie/s

M2v2

c2 M2 0.721

Con estos datos, la presión de estancamiento en 2, se puede cal cular del sigui ente mod

po2 p2 1k 1

2

M2

2

k

k 1

po2 56.56 psia

Ahora a partir de la pri mera ley de la termodinámica calculamos el calor transferido:

q h k donde :

h cp T2 T1( ) k v2

2v1

2

2

entonces se tiene que:

q cp T2 cp T1 v2

2

2

v12

2

q cp T2 v22

2 cp T1 v12

2

En base a estos datos realizamos algunos calculos preliminares, que serán úitles

posteriormente;seccción de flujo 1 seccción de flujo 2

2p2 144

R T2 2 0. 135

1p1 144

R T1 1 0.27

c1 k R 32.2 T1 c1 1.201 103

c2 k R 32.2 T2 c2 1.386 103

M1v1

c1 M1 0.416 M2

A parti r de la ecuación de continu idad, podemos calcular l a velocidad v2, que es necesa

conocer para calcular el cambio de energía cinética:

1 v1 A =

Ejemplo 5.- Fluye aire por un ducto de área constante. En la sección1 el aire está a 60 psia, 600 R y500 pies/s. Como e resultado de la transferencia térmica y de la fricción, el aire en la sección 2 aguasabajo se encuentra a 40 psia, 800 R. Calcule la transferencia térmica por libra de aire entre las secciones 1y 2, así como la presión de estancamiento en la sección 2.

RESOLUCIONDATOS





20

Pero según se vio en la clase teórica, la entalpia de estancamiento de un punto determi

es igual a la suma de la entalpi a y la energia cinetica del punto en cuestión.

cp To = cp T v

2

2

entoces, para cp=cte., se tiene:

q cp To2 To1( )

La temperatura de estancamiento en las secciones 1 y 2 estan dadas por:

To1 T1 1k 1

2

M12

To2 T2 1k 1

2

M22

To1 620.809 R To2 883.237 R

Finalmente se tiene qu e el calor transferido entre 1 y 2 esq 6 2. 98 Btu/lbm

Un forma más directa de calcular el calor transferido es, calcular el incremento de la encinéti ca, claro que cuando se usa el sistema de unidades británico se debe tener cuidad

usar los factores de conversión adecuados para compatib il izar las unidades:

k v2

2v1

2

2 libf-pie/slug

k k

32.2 libf-pie/lbm

k k

778.16

Btu/lbm k 14. 97 Btu/lbm

h cp T2 T1( ) h 48. 00 Btu/lbm

q h k q 6 2. 97 Btu/lbm

Ejemplo 6.- Un avión F-4 pasa a muy poca altura sobre un campo de aterrizaje que se encuen-tra al nivel del mar en un día en condiciones estándares. Un tubo de pitot sobre el avión registrauna presión de estancamiento de 23 psia. Determine el numero de Mach al cual vuela el avión.Evalúe la velocidad del mismo.

RESOLUCION

El número de Mach se puede calcular a partir de la relación entre la presión de estancam

y la presión de la corriente de aire relativa al avion. El tubo de Pitot permite medir la pre

estancamiento de la corriente de aire.

cp 0.240RTa 520

Va

Ta 60 460 lbf pielb R

R 53.3

psia p

b

14.696k 1.4

g 32.174psia po

23.6

DATOS :





21

psia p2 21.086 p

2 p

b

T2

Ta

k

k 1

La presión para un proceso de expansión isentropica se puede ca lcular, apartir de:

T2

576.5

T2

Ta

Va2

V2

2

2 cp 778.16 g

de donde:

22)(

22

2

2vv

T T cp aa

y para cp constante:

22

22

2

2v

hv

h aa

a) para un proceso adiabático, se tiene de la primera ley de la termodinámica:

V2

475

Ahora el avión de l problem a an terior vuela a M=0.851. El ai re se frena en el sistema de

del motor a 475 pie/s respecto del avión. Determine la temperaura del aire en esta ubica

el proceso de desacele ración se modela rá como isentropico, ¿Cuál sería la presión esátic

esta sección?

mphVa

1.467648.337o en m il las por hora:

pie

sVa 951.11Va M c

entonces la vel ocidad de a ire sera:

pie

sc 1.117 10

3c k R g Ta

La velocidad del aire relativa al avión se puede calcular a partir de la deif inición del núMach

M 0.851M 2

k 1

po

p b

k 1

k

1





22

Condiciones criticas M =1

Las propiedades de estancamien-to son una referencia útil paradeterminar las propiedades termo-dinámicas; sin embargo no sirvenpara el cálculo de la velocidad,debido a que la velocidad de es-tancamiento es igual a cero pordefinición. Una referencia útil paracalcular la velocidad es la llamadavelocidad crítica que tiene lugarcuando el número de Mach esigual a 1. Aun cuando no existarealmente un punto en el campode flujo donde el número de Machsea igual a 1, se puede usar estacondición como una referenciahipotética.

A

A RA o ;

T

T RT o ;

o R ;

p

p Rp o

Relaciones y valores críticos en el punto sónico:

Si para M=1, las propiedades termodinámicas se designan con un asterisco, a partir de las rela-ciones de estancamiento se pueden escribir las siguientes relaciones para calcular las propie-dades termodinámicas en condiciones críticas:

12

1*

*0

k

T

T y para k=1.4 (aire estándar) 200.1

*

*0 T

T

1

1

*

*0 1

2

1

k k

y para k=1.4 (aire estándar) 5771

*

*0 .

1

*

*0 1

2

1

k

k

k

p

p y para k=1.4 (aire estándar) 893.1

*

*0

p

p

Para la Velocidad critica, se puede establecer una relación matemática, en términos de latemperatura de estancamiento T0 en condiciones sónicas. Así:

0***

1

2* T

k

k RkRT C M V

0 0.5 1 1.5 2 2.50

1

2

3

Número de Mach

RA M( )

RT M( )

R M( )

Rv M( )

Rp M( )

M

Representación grafica de las relaciones de estancamiento en función M

a velocidad crítica es por definición igual a la velocidad del sonido en las condiciones sónicas (M=1). Y se usa frecuentemente comovelocidad de re erencia en un lu o isentró ico o adiabático.





23

Ejemplo 7En muchos problemas las propiedades sónicas son valores de referencia más útiles que laspropiedades de estancamiento. Deduzca para el flujo isentrópico de un gas las relaciones p/p*;

T/T* y /* como funciones del número de Mach.





24

2

2V d dh

xdx

dp p

2

1

1.5 Flujo isentrópico en conductos de sección variable.

Antes de considerar el flujo en toberas, es necesario discutir varios aspectos importantes delflujo isentrópico como ser el efecto de la variación del área, consistente con las condicionesisentrópicas del flujo, sobre la velocidad y la presión de un flujo compresible (subsónico o su-persónico) existente. Para ello, aplicaremos las leyes fundamentales del flujo fluido a un volu-

men de control estacionario de espesor infinitesimal, figura 1.5.1.

Hipótesis: Flujo estacionarioFlujo isentrópico

Ecuación de continuidad.

aplicando logaritmos y derivando un expresión,que será de mucha utilidad, para nuestro propósito.

(1.5.1)

Ecuación de energía (primera ley de la termo-dinámica).

Realizando las operaciones indicadas cancelando términos y menospreciando los diferencialesde segundo orden, se obtiene:

Esta última ecuación se puede escribir en términos de variación e energía cinética así:

(1.5.2)

Ecuación de cantidad de movimiento.

Al realizar el balance e fuerzas en la dirección del flujo, x, se considera que la presión en lasuperficie lateral infinitesimal del volumen de control es uniforme e igual a la presión promedio.

entonces la ecuación de cantidad de movimiento se aplicada al volumen de control se expresa:

(1.5.3)

Combinando adecuadamente las ecuaciones 1.5.1 y 1.5.3, se puede obtener:

(1.5.4)

AVp

h

xdx

d

xdx

dvv

xdx

dp p

xdx

dA A

xdx

dp p

2

1

Figura 1.5.1 . Volumen de control de espesor

infinitesimal x, donde x es la dirección del flujo,en el que se muestran la variación de las variablesde flujo entre la entrada y la salida del volumen decontrol.

x

x

cte Av

0 A

dA

v

dvd

C Av lnlnln

22

2

1

2

x

dx

dV V x

dx

dhh

V h

VdV dh0

)())(21())(( V x

dxdvV vA x

dxdA x

dxdp p x

dxdA A x

dxdp p pA

VdV dp

2

21V

dp

dp

d V

A

dA





25

2

21

V

dp M

A

dA

Flujo subsónico M<1 Flujo subsónico M<1

Flujo supersónico M > 1 Flujo supersónico M > 1

Acción de la toberadp < 0

dV > 0

Acción del difusordp > 0dV < 0

Figura 1.5-2.- Variación del área de flujo en toberas y difusores subsónicossu ersónicos.

0dV

dA 0dV

dA

0dV

dA 0dV

dA

V dV M

AdA 21

01

01

dV

dA M

dV

dA M

y, recordando que el grado de compresibilidad, dp/d, es igual al cuadrado de la velocidad delsonido, ver sección 1.3, y la definición de número de Mach, se tiene:

Sustituyendo en 1.5.4

(1.5.5)

Donde dp será positivo o negativo según se trate de un difusor o de una tobera respectivamen-te, esto se discute en la siguiente sección.

La ecuación 1.5.5 es importante en el flujo en conductos de sección variable, debido a que des-cribe la variación de la presión en función a la variación del área de flujo.

Al ser A, y V cantidades siempre positivas, el signo del segundo miembro de la ecuación1.5.5, y por tanto de dA y dp, dependerá del valor del número de Mach. Así para flujo subsónicoM<1, (1-M

2) > 0, por tanto dA y dp deben tener el mismo signo. Es decir que si la presión del

fluido aumenta el área del ducto también debe aumentar y debe disminuir si el área del ducto

disminuye. Dicho de otro modo para flujo subsónico la presión disminuye en ductos convergen-tes (toberas o toberas aceleradoras subsónicas) y aumenta en ductos divergentes (difusores otoberas desaceleradotas subsónicas).

En cambio para flujo supersónico M>1, (1-M2) < 0, por tanto dA y dp deben tener signo opues-

tos. Es decir que si la presión del fluido aumenta el área del ducto debe disminuir y debe dismi-nuir si el área del ducto aumenta. Dicho de otro modo para flujo subsónico la presión aumentaen ductos convergentes (toberas o toberas aceleradoras supersónicas) y disminuye en ductosdivergentes (difusores o toberas desaceleradotas supersónicas).

Sustituyendo 1.5.3 en 1.5.5,s obtiene la siguiente ecua-ción:

Esta relación determina laforma de una tobera o deun difusor isentrópicossegún sean subsónicos osupersónicos. Observe que:

Puesto que A y V son can-tidades siempre positivas,figura 1.5.2.La forma adecuada de unatobera depende del mayor numero de Mach deseado (mayor velocidad de flujo relativa a la ve-locidad el sonido). Así para acelerar un fluido debe usarse una tobera convergente a velocida-des subsónicas (M<1) y una tobera divergente a velocidades supersónicas (M>1).

2

2

1

V

M

cdp

d





26

1.6 Flujo isentrópico en toberas.

Las toberas y difusores son dispositivos de regulación del flujo que se encuentran en muchasaplicaciones de ingeniería, como en turbinas de gas y de vapor, sistemas de propulsión deaviones, y en sopladores industriales de diferente índole. Estas pueden ser toberas convergen-tes y toberas convergente-divergentes.

Una tobera es un dispositivo que incrementa la velocidad de un fluido a expensas de la presión.En cambio un difusor es un dispositivo que incrementa la presión de un fluido al desaceléralo.Es decir, las toberas y los difusores llevan a cabo tareas opuestas. El área de la sección trans-versal de una tobera, como se vio en la sección anterior, disminuye en la dirección de flujo paraflujos subsónicos y aumenta para los supersónicos. En los difusores ocurre exactamente locontrario (figura 1.6.2).

El flujo de calor entre el fluido que fluye por una tobera o un difusor y los alrededores es gene-

ralmente muy pequeño (Q/t 0) ya que la velocidad de flujo es alta y por lo tanto no se man-tiene suficiente tiempo en el dispositivo como para que ocurra alguna transferencia e calor im-

portante. La toberas y difusores por lo común no tienen que ver con trabajo (W/t = 0) y cual-

quier cambio de energía potencial es insignificante (Ep 0). Las toberas y los difusores co-rrientemente están relacionados con velocidades de flujo muy altas, que provocan grandescambios de velocidad en el fluido que pasa por alguno de estos dispositivos. Consecuentemen-

te, al analizar el flujo a través de estos dispositivos se deben considerar los cambios de energíacinética (V0). Es decir:

dt

dmh Z g V

t

W

t

Q

2

2

1

h02 h01

Como ya vimos, en la sección 1.4, en todos los estados de un flujo isentrópico tienen la mismaentalpía de estancamiento. Además, todos los estados de de flujo isentrópico, incluidos el deestancamiento, tienen la misma entropía. Es decir: en un flujo isentrópico todos los estados deestancamiento tienen las mismas entalpía y entropía de estancamiento.

teconshV

hV

h tan22

0

21

1

22

2

2

2

1V h

… y como en un estado de estancamiento la velocidad es cero, se tiene que las propiedades de estancamiento son constantes en todos los

untos en un lu o isentró ico…

h

Figura 1.6.1 Flujo isentrópico.- propiedades deestancamiento en los estados 1 y 2. Interpretación

de la energía total por unidad de masa.

h0

2

21V

2

22V

p1

p2

h2

h1

Energía

total

p0

sS= S 0 = cte..





27

2

2V d dh

2

21V

dp M

A

dA

Modelo Matemático:

En la figura 1.6.1, se muestra el modelo matemático para este tipo de dispositivos (toberas y/odifusores), que como se puede observar, es similar al presentado en la sección 1.5.

Las ecuaciones diferenciales, correspondientes son:

Continuidad:

Energía:

Cantidad de movimiento:

A partir de estas ecuaciones se tiene que:

o también:

Las implicaciones de estas dos últimas relaciones se resumen en la figura 1.6.2 (un análisissimilar también fue expuesto en la sección 1.5).

Figura 1.6.1.- Flujo unidimensional estacionarioen una tobera convergente. Los efectos de fric-

ción y gravitacional son despreciables.

Apv

x

dx

d

xdx

dvv

xdx

dp p

xdx

dA A

pa

x

dA>0 dA<0

Flujo subsónico: M<1 tal que M2-1<0

dv < 0; v disminuyedp > 0; p aumentaEl dispositivo operacomo difusor

dv > 0; v aumentadp < 0; p disminuye.El dispositivo opera

como tobera

Flujo supersónico: M>1 tal que M2-1>0

dv < 0; v disminuyedp > 0; p aumentaEl dispositivo operacomo difusor

dv > 0; v aumentadp < 0; p disminuye.El dispositivo opera

como tobera

Figura 1.6.2. Consecuencias de la variación de lapresión y la velocidad en toberas y difusores.

0 A

dA

v

dvd

VdV dp

1.5.1

1.5.2

1.5.3

1.5.5

V

dV M

A

dA 21





28

12 12

1

k

k

o M k

p

p

1

1

2 12

1

k o M k

Relaciones isentrópicas entre las variables de estado en función del número de Mach.

Las relaciones entre velocidad, densidad y área de flujo y para la variación de las razones delas propiedades termodinámicas estáticas (presión, temperatura y densidad) y de estancamien-to en función del número de Mach, son las que corresponden a un flujo unidimensional isentró-pico. Las expresiones para las propiedades locales de estancamiento isentrópico para un gasideal, desarrolladas en la sección 1.4, son aplicables al flujo en toberas y difusores, por ello las

volvemos a escribir:

Razón de temperaturas5: 1.4.3

Razón de presiones:

Razón de densidades:

Estas relaciones son importantes porque, como ya se vio, en el flujo isentrópico permanente, laspropiedades de estancamiento son constantes.

En muchas situaciones de flujo en tobera y difusores, las condiciones críticas son frecuente-mente usadas como referencia para el cálculo de las variables de estado. Puesto que las pro-piedades de estancamiento son constantes para flujo isentrópico, entonces se puede escribir.

Área crítica A partir de la ecuación de continuidad y las relaciones del gas ideal podemos obtener una rela-ción matemática para la razón de área e flujo/área crítica en función del número de Mach. Así:

Según la ecuación de continuidad, podemos afirmar que el flujo másico en cualquier sección deflujo debe ser igual al flujo másico en una sección (real o imaginaria) en la que el flujo esta encondiciones sónicas.

VA = *V*A*De donde:

5 Esta relación solo exige que el flujo sea adiabático (no necesariamente isentrópico), es decir que como semencionó en la sección 1.4, esta ecuación es también valida en presencia de irreversibilidades.

V

V

A

A ***

12

1 2

M k

T

T o

12

1*

k

T

T o

1

1

* 12

1

k o k

1

* 12

1

k

k

o k

p

p

0**

1

2T

k

k RC V

1.4.4

1.4.5

1.6.2

1.6.3

1.6.4

1.6.5

1.6.6

1.6.7





29

Además la razón de densidades y de velocidades del segundo miembro se pueden expresar enfunción del número de Mach.

Similarmente para la velocidad:

Sustituyendo en 1.6.8 y 1.6.9 en 1.6.7

Para aire estándar (k=1.4), se tiene:

0

0

** 1

1

2)1(21

1*

k M k

k

2/10

2/10

2/1

0

1

2

1

21

2

*

k kRT M

kRT

k V

kRT

V

RT k

k

V

V

2/10

1

21*

k T

T

M V

V 2/1

2

1

1)1(2

1*

k

M k M V

V

)1(2

1

2

1

)1(21*

k

k

k

M k

M A

A

32

2.1

2.011*

M

M A

A

Figura 1.6.3. Relación de áreas en función del número de

Mach para flujo isentrópico para un gas ideal.

Razón de áreas Vs. Número de Mach

k=1.4; gas ideal

0.000

1.000

2.000

3.000

4.000

5.000

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3

1.6.8

1.6.9

1.6.10

1.6.11

M

A*/A





30

1.6.1 Operación de Toberas convergentes

Se analiza ahora lo que ocurre cuando una tobera convergente opera en condiciones diferentesa las de diseño, es decir diferentes contrapresiones.Suponiendo que las condiciones de estancamiento a la entrada de la tobera se mantienen cons-tantes, en tanto que la contrapresión (presión de la cámara a la salida de la tobera, presión delreceptor) varía disminuyendo gradualmente desde un valor igual a la presión de estancamiento

hasta un valor inferior a la presión crítica. En el diagrama se ilustra el comportamiento de latobera como consecuencia de esta variación, que es una gráfica de la relación de la presión a lolargo de la boquilla con respecto a la presión de estancamiento.

Mientras la contrapresión es ligeramente menor que la presión de estancamiento, seproduce un flujo completamente subsónico. Pero a medida que la contrapresión desmi-nuye, se incremente el número de Mach del flujo. El fluido en estas condiciones sale dela boquilla a la presión ambiente (pb) como chorro libre subsónico, es decir

La tendencia anterior continúa hasta que finalmente el número de Mach es igual a 1, al-canzando las condiciones sónicas en la garganta. La presión de la contrapresión es

igual a la presión crítica en la garganta. En esta situación se dice que la tobera estáoperando en condiciones de diseño.

Toda disminución adicional de la contrapresión no tiene ningún efecto sobre el flujo enla tobera y se dice que la tobera esta operando en una condición de estrangulamiento.

p/po

1

p*/po

0

(pe)min=p*

Garganta

(Presión dediseño)

pe = p b

pe = p*

0

*

0 p

p

p

p b

o o

b

p

p

p

p *

pe

pb

Contrapresiónp o

T o

o

v o 0

pe=p b

pe=p*





31

p

po0.571

p

o0.143

Ejemplo 8. Air from a large reservoir at 700 kPa and 40ºC flows through a converging nozzle,the exit area of which is 0.025 m

2 . Assuming that frictional effects are negligible, determine the

pressure and temperature in the exit plane of the nozzle and the mass flow rate when the am-bient pressure is:(a) 400 kPa(b) 100 kPa

Ans: (a) 400 kPa, 267 K, 39.8 kg/s; (b) 370 kPa , 261 K, 40.5 kg/s

ResoluciónLo importante en este tipo de problemas es verificarsi la tobera está estrangulada o no. Esto ocurre,como se vio en la clase, cuando el cociente entre lapresión de la salida y la presión del estancamientoes:

1

1

2

k

k

oo k p

p

p

p *

y para k=1.4 5280.o p

p

a) para p = 400 kPa> 0.528

Por lo que la tobera, en este caso, no esta estrangulada; el flujo es subsónico a través de latobera y la presión de salida es igual a la contrapresión (presión atmosférica), es decir ps =400 kPa.

b) En este caso la presión atmosférica, contrapresión, es 100 kPa, por lo que:

< 0.528; la tobera esta estrangulada!

Entonces la presión del aire a la salida de la tobera no es igual a la contrapresión (presión at-mosférica en est caso), y se calcula a partir de la presión de estancamiento (en realidad es iguala la presión crítica)

p o = 700 kPa

T o = 313 K

patm

As=0.025 m2

ps=?m=?Ts=?

k /sm 39. 8m s As M k R Tsm s vs As vs

final mente e l flu jo m ásico se calcul a a partir de su definición y con l os datos de la sali da

s 5. 225kg

m3

sps 1000

R Ts

La densidad de l ai re a la sali da se puede calcu lar con la ecuación de los gases ideales:

KTs 2 66 .75Ts To

ps

po

k 1

k

Como e l flu jo e s isentropico la temperatura de sali da se puede calcular, de l a sigui ente

M 0 .93 1M

2

k 1

po

ps

k 1

k

1

calculamos el número de Mach a partir de la condiciones de estancamieps 400con





32

kg/sm 40. 0m s As k R

2

k 1 To

m/sk R 2

k 1

ToV*=

El fluj o másico se puede cal cular con l a velocidad crítica (condiciones críticas):

s 4. 938sps 1000

R Ts

kg

m3

KTs 2 60 .79Ts To

ps

po

k 1

k

La temperatura y densidad del aire a la salida se calculan igual que en el caso anterior:

kPap s 3 69 .6p s 0 .52 8 p o

Tarea: El estudiante debe resolver los siguientes problemas, (ante cualquier duda debe consul-tar con el docente):

1. Air allowed to flow from a reservoir with temperature of 21 _ C and with pressure of 5MPathrough a tube. It was measured that air mass flow rate is 1kg/s. At some point on the tube static pressure was measured to be 3 MPa. Assume that process is isentropic and neglects the veloci-ty at the reservoir; calculate the Mach number, velocity, and the cross section area at that point

where the static pressure was measured. Assumed that the ratio of specific heats is k=Cp=Cv=1:4. Ans: 0:88639; 304 m/s; 8.26x10-5 m2

2. Air flows from the atmosphere into an evacuated tank through a convergent nozzle of 0.04 mtip diameter. If the atmospheric pressure and temperature is 10 5 N/m 2 and 20º C, what va-cuum must be maintained in the tank to produce sonic velocity in the jet. What is the flow rate?Ans: p <52.8 kPa; 0.3 kg/s

3. The Mach number at point A on tube is measured to be M = 23 and the static pressure is

2Bar. Downstream at point B the pressure was measured to be 1.5 Bar. Calculate the Mach

number at point B under the isentropic flow assumption. Also, estimate the temperature at point

B. Assume that the specific heat ratio k = 1:4 and assume a perfect gas model.

Ans: 2; 271,42 K





33

1.6.2 Operación de Toberas convergente-divergentes

Cuando el fluido es incompresible, sabemos que, al producirse un aumento de la velocidad,que es lo que se pretende en una tobera, forzosamente deberá disminuir la sección a. En estecaso, la tobera es convergente.

En cambio, si el fluido es compresible, un aumento de c implica a su vez un aumento delvolumen específico, como sabemos, debido a que se produce una disminución de presión, porser, pv= Cte. Por lo tanto, la relación (c/v) es la que indica la variación de las secciones.

Si en un sistema de coordenadas (c/v, p) en donde sobre el eje de abscisas se sitúan las varia-ciones de presión en forma decreciente, tal como sucede en el sentido de la circulación del flui-do por la tobera, se obtiene la gráfica, que dice:

Entre O y M, la velocidad c crece más rápidamente que v, por lo que la función (c/v) es crecien-te, y alcanza un valor máximo en el punto M, al que corresponde la presión p k de la garganta dela tobera. Como G es constante y (c/v) creciente, forzosamente la sección “a” de la tobera tieneque disminuir. A partir del punto M, y para presiones menores que pk , resulta que es el volumen específico vel que crece más rápidamente que c, y por lo tanto la relación (c/v) disminuye, por lo que lasección a de la tobera aumentará para poder seguir manteniendo el gasto G constante; así seobtiene una tobera convergente-divergente tipo Laval.

Entonces: la aceleración d el fluido a velocidades s upersónicas, M>1, puede logrars e so-

lamen te al añadir un a tobera div ergent e a la tobera acelerado ra, con verg ente, sub sónic a

en su garganta. Esta com binación se co noce com o tob era convergente divergente, com o

ya se menciono.

Sin embargo, el solo hecho de hacer fluir un fluido a través de una tobera convergente-divergente no garantiza que el fluido se acelerará a una velocidad supersónica. Pues, si la pre-sión del receptor (contrapresión) no está en el rango adecuado, existe la posibilidad de que elfluido puede por si mismo desacelerarse en la sección divergente en vez de acelerarse. La na-turaleza del flujo en una tobera está determinado por la razón de presiones Pb/Po Es decir quepara condiciones especificas de entrada, el flujo a través de una tobera convergente-divergenteestará regido por la contrapresión Pb, según se explica a continuación.

Distribución de velocidades en las diversas secciones de una tobera Laval





34

Consideremos ahora, igual que en el caso anterior, una tobera de convergente divergente en laque las condiciones de estancamiento a la entrada de la tobera se mantienen constantes, entanto que la contrapresión (presión de la cámara a la salida de la tobera, presión del receptor)varía disminuyendo gradualmente desde un valor igual a la presión de estancamiento hasta unvalor inferior a la presión crítica. El siguiente diagrama ilustra el comportamiento de la toberacomo consecuencia de esta variación.

Efectos de la contrapresión en el flujo de una tobera convergente-divergente.

Cuando po > pb> pC, el flujo permanece subsónico a través de la tobera, y el flujo demasa es menor que el flujo bloqueado. La velocidad del fluido aumenta en la secciónconvergente y alcanza un máximo en la garganta, pero Ma<1. Sin embargo, gran canti-dad del aumento en la velocidad se pierde en la sección divergente de la tobera, la cualactúa como difusor. La presión disminuye en la sección convergente, alcanza un míni-mo en la garganta, y aumenta a expensas de la disminución de la velocidad en la sec-ción divergente.

Cuando pb= pC, la presión en la garganta se convierte en p* y el fluido alcanza una ve-

locidad sónica en la garganta. Pero, la sección divergente de la tobera actúa aún comodifusor, al desacelerar al fluido a velocidades subsónicas. El flujo másico que se incre-menta con la disminución de pb alcanza su máximo valor.

Debemos recordar que p* es el valor más pequeño de la presión que puede obtenerse

en la garganta, y la velocidad sónica es la máxima velocidad que puede lograrse en una

p o

v o 0

T o

o pe

pb

Contra resión

pb

po

p

p

Flujo subsónico en la salida de latobera (sin choque).

Flujo subsónico en la salida de latobera (choque en la tobera).

Flujo supersónico en la salida de

la tobera (sin choque en la tobe-ra).

Flujo sónico enla garganta.Choque en la

tobera.

Entrada Garganta Salida

x

APA

B PB

C PC

D PD

PE

PF

E, F, G PG





35

po=4.5MPa man

To=750 KPatm

As=250 mm2

tobera convergente. En consecuencia, al disminuir aún más la contrapresión pb, no setiene influencia alguna del flujo en la parte convergente de la tobera o el flujo másico através de la tobera. Sin embargo, esto influye en la sección divergente.

Cuando pC > pb> pE, el fluido que alcanzó la velocidad sónica en la garganta continuaacelerándose a velocidades supersónicas en la sección divergente mientras que la pre-sión disminuye. Sin embargo, esta aceleración cesa repentinamente, cuando una ondade choque normal se forma en una sección transversal entre la garganta y el plano dela salida de la tobera, lo que origina una repentina caída en la velocidad a niveles sub-sónicos y un repentino incremento en la presión. El fluido continúa desacelerándose enla región restante de la sección divergente de la tobera. El flujo a través de una onda dechoque es muy irreversible y, por lo tanto, no puede ser aproximado como un flujoisentrópico.

Cuando pE > pb> 0, el flujo en la sección divergente es supersónico, y el fluido se ex-pande a pF a la salida de la tobera y ninguna onda de choque normal se forma dentrode la tobera. Así, el flujo a través de la tobera puede aproximarse como un flujo isentró- pico. Cuando pb = pF, no ocurren ningunas ondas de choque dentro o fuera de la tobera.Cuando pb< pF, unos procesos de mezclado irreversible y ondas de expansión ocurrencorriente abajo del plano de salida de la tobera.

Ejemplo 9 Una tobera convergente-divergente, diseñada para expandir aire a M=3.0 tiene 250mm

2 de área de salida. La tobera esta conectada a la parte lateral de un gran tanque y descar-

ga a la atmósfera estándar. El aire en el tanque está presurizado a 4.5 MPa (manométrica) y750 K. Suponga que el flujo dentro de la tobera es isentrópico. Evalué la presión en el plano desalida de la tobera. Calcule la relación de flujo másico de aire a través de la tobera.

DATOS DEL PROBLEMA

patm 101.325 kPa

po 4500 patm kPa presión absolut

po 4601.325 kPa

To 750 K

M2

3

k 1.4

R 0. 287 kJ/kgK

La clave en estos problemas es verificar si la tobera esta estrangulada, para ello evaluamos la rela

patm

po0.022 ademas para el aire

p*/po=2

k 1

k

k 1

0.528

como 0 .022 es menor que 0.528 la tobera está estrangulada, en la garganta se tienen

condi ciones sónicas.





36

kPa absp2

125.3p2

po

1k 1

2

M2

2

k

k 1

La presión a l a salida se puede calcular a partir de l a presión de estancamiento en el tanque (se de

recordar que las propiedades de estancamiento son constantes a lo largo del flujo cuando este es

isentropico) y el numero de Mach a la salida:

kg/sm 0 .40 1m 13.544 501.124 5.904 10

5

Entonces el flujo masico será:

m2

As M2

1k 1

2

1k 1

2

M2

2

k 1

2 k 1( )

5 .90 4 1 0 5

A* =

El área de la garganta se calcula a pa rtir de la ecuación:

m = *V*A*

m /sk R 1000 625. 501.124V*=c=

el flujo másico esta dado por:

kg

m3

2429.5

R 625.0 13.544*= p*/RT*=

la densidad en l a garganta se puede calcular a partir de la ecuaci ón de los gases ideales.

To2

k 1

625.000T* =

0.528 po 2429.500p*=

la presión en l a garganta será:





37

1.7 Flujo en una tobera real en condiciones de diseño.-Eficiencia

Las ecuaciones estudiadas hasta ahora permiten determinar los parámetros de flujo en unatobera con un flujo supuesto idealmente isentrópico, tomando como referencia ciertas condicio-nes de estancamiento. Sin embargo en la realidad no se pueden evitar los efectos de la fricciónque ocurren entre el fluido y las paredes de la tobera y entre las propias capas del fluido, que se

traducen en una perdida de energía que hacen que el proceso sea irreversible pero adiabáticolo que impiden que la tobera opere de la manera prevista durante el diseño, aun cuando lascondiciones de operación sean las mismas que se establecieron en el diseño y por lo tanto,habrá una diferencia entre el proceso en condiciones ideales y el proceso en condiciones realesrelacionada con la eficiencia. Afortunadamente este efecto es numéricamente pequeño, en lamayoría de los casos, por lo que las desviaciones son mínimas respecto del análisis isentrópico.

En general, se puede decir que para determinar la eficiencia de una tobera se compara el des-empeño real bajo condiciones definidas, con el desempeño que alcanzaría en condiciones idea-les.Una manera de evaluar esta eficiencia es por medio de la relación que existe entre la gananciade energía cinética debida a la caída de entalpía en condiciones reales y la ganancia de energíacinética debida a la caída de entalpía en condiciones ideales.

A continuación se explica la acción de la fricción a partir de la primera ley de la termodinámica.

Primera ley de la termodinámica

0 = H + K (1)

22

2

1

2

221

vvhh (2)

La ecuación 2 muestra que en ausencia de transferencia de calor 6, la fricción tiende a incremen-

tar la temperatura T2 y por consiguiente la entalpía h2 y con un mayor valor de h2 , es necesarioque V2 disminuya para equilibrar la igualdad. Esto

se apreciamejor en undiagrama T-sComo paráme-tro de medi-ción de losefectos de lafricción en lastoberas, seusa general-mente la de-

nominadaeficiencia de laboquilla, definida como la relación entre la energía cinética real a la salida de la tobera entre laenergía cinética ideal durante una expansión isentrópica en las mismas condiciones de entraday presión de salida.

6 Al estudiar la circulación de un fluido por una tobera, se supone que al ser un proceso muy rápido, éste es adiabático, por lo que

el fluido no intercambia calor con el medio exterior.

1

2

T1

T2

T2

p2

p1

T

s

1

2

2





38

isen

real

isen

real

hhV

V

V

V

)( 21

2

1

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

Para V12/2 muy pequeña con relación a (h1-h2), se tiene:

isen

real

hh

V

)( 21

2

2

2

y para un gas ideal:

isen p

real

T T c

V

21

2

2

2

En un proceso ideal o isentrópico,

y en un proceso real,

entonces,

Como la velocidad de entrada a la tobera V 1 es 0 o muy pequeña comparada con la velocidad a lasalida V 2 entonces puede decirse que:





39





40

1 2

Volumen de control con fricción en la capalímite

1 2

p1 p2

Diagrama de fuerzas actuantes sobre la superfi-

cie de control

m. Al=R f

1.8 Flujo adiabático en conducto de sección constante con fricción.- línea deFanno

Un diagrama de energía (entalpía-entropía o temperatura-entropía), nos ayudará a estudiar esteproceso. Para este propósito hemos seleccionado el volumen de control que se muestra en lafigura, al cual apicaremos las ecuaciones fundamentales del flujo y la ecuación de estado co-rrespondientes. Previamente planteamos las siguientes hipótesis:

i) Flujo permanente

ii) Flujo compresible

iii) Flujo adiabático

iv) Fricción en la capa límite (irreversible, efecto no isentrópico)

Bajo estas condiciones se tiene:

Ecuación de continuidad

.

.

cteV V

ctem AV AV

2211

2211

(1)

Ecuación de cantidad de movimiento

)()(121121

V V AV R A p p f (2)


2

2

2

1

2

1

12

2

1

2

2

22

220

hV

hV

hhV V

m

)(

(3)

Ecuación de estado

h=h(s,p) (4)

=(s,p) (5)Este conjunto de ecuaciones gobiernan el flujoadiabático permanente con fricción en un con-ducto de área constante. Conocidas las propie-dades del flujo en la sección 1 son conocidas, a

partir de este conjunto se pueden determinar las condiciones de flujo de la sección 2. Sin em-

bargo se tienen 6 incógnitas (p2,, 2, h2, V2, s2 y Rf )y sólo 5 ecuaciones, lo que matemáticamenteindica un conjunto infinito de soluciones.

Asumiendo un valor para una de las incógnitas de

la sección 2, por ejemplo V2, se pueden calcular elresto de las incógnitas para un valor dado de R, ysi volvemos a repetir el proceso obtendremos unconjunto de resultados para cada valor de V2,asumido. Ahora si representamos gráficamentelos valores de h2, s2 se obtiene un curva que re-presenta este conjunto de soluciones, es decir ellugar geométrico de todos los estados posiblesaguas abajo, esta curva se conoce como la línea

de Fanno .s

h

M<1

M>1

M=1

Entalpía de estancamiento





41

VdV V

d dh

2

2

VdV dT c p

T

dT d

p

dp

RT p

Figura 1.8.3a. Volumen de control diferencial para el

flujo en conductos de sección constante con friccióny sin intercambio de calor

T

V

p

xdx

dT T

xdx

d

xdx

dvv

xdx

dp p

x

y

dx

Figura 1.8.3b.Fuerzas superficiales que actúan

sobre el volumen de control diferencial.

x

y

dx

p dp p

l x f dAdF

Ecuaciones para la razón de las variables de estado en función de M del flujo de Fanno.

Para establecer las expresiones matemáticas que relacionan las propiedades de flujo con elnúmero de Mach, consideremos el volumen de control de área constante A y longitud dx, mos-trado en la figura 1.8.3. En general las propiedades de flujo pueden variar en la dirección deflujo x

. Aplicando a este modelo las tres ecuaciones fundamentales del flujo (leyes de conservación) seobtiene el siguiente sistema de ecuaciones diferenciales:

Continuidad:

Cantidad de movimiento:

Energía:

Estas tres ecuaciones tienen 6 incógnitas (p, , T, h, V, Fr ). Es necesario entonces complemen-tar nuestra formulación matemática, planteando ecuaciones adicionales:

Para un gas ideal:

Ecuación del gas ideal:

Además

82

1

222

22V f V

D f

R

dx

dh R

dx

dp R f x

Entonces

dx D

AV f dx

D

AV f dx P

V f dAdF

hhmojadol x f

2

4

88

222

0v

dvd

1.8.6

1.8.7

1.8.8

VdV dA

dF dp r

1.8.9

1.8.10

1.8.12

1.8.11





42

D

dx f

M

M k kM

p

dp

)1(2

)1(12

22

V

dV

D

dx f

M

kM d

)1(2 2

2

D

dx f

M

M k k

T

dT

)1(2

)1(2

4

D

dx f

kM d

p

dp

2

2

0

0

0

0

D

dx f

M

M k kM

M

M d

)1(2

)1(2)(2

22

2

2

Para resolver el sistema anterior en función del número de Mach y del coeficiente de fricción, esnecesario escribir la siguiente relación a partir de la definición de número de Mach.

A partir de las ecuaciones se pueden obtener las siguientes relaciones útiles:

1.8.14

1.8.15

1.8.16

1.8.17

1.8.18

El factor (1-M2) que esta presente en el denominador de las ecuaciones (excepto en la ecuación

1.8.17) hace que los flujos subsónicos y supersónicos tienen efectos opuestos (de manera simi-lar a las ecuaciones de variación de área), los que se resumen en la siguiente tabla.

Propiedad Subsónico Supersónico

Disminuye Aumenta

p Disminuye Aumenta

T Disminuye Aumenta

V Aumenta Disminuye

0, p0 Disminuye Aumenta

M Aumenta Disminuye

Entropía Aumenta Disminuye

La ecuación 1.8.18 permite evaluar los cambios de M a lo largo del conducto, por lo que para

tener una formula útil para el cálculo, se integrara esta ecuación diferencial, empleando comolímites una sección genérica en la que el número de Mach es M y x igual a 0; y la sección en laque ocurren las condiciones sónicas donde como se sabe M igual a 1 y x es igual a Lmax (enestas condiciones se dice que el flujo esta estrangulado o bloqueado). Todos los flujos de lalínea de Fanno tienden hacia M=1. El número de Mach alcanzará la unidad cuando para unalongitud máxima (real o hipotética) del ducto, como se muestra en la figura 1.8.4.

Entonces, separando variables e integrando la ecuación 1.8.18, entre los límites mencionados,tenemos:

kRT M V 22

T

dT

M

dM

V

dV

22 1.8.13





43

El factor de fricción, f, puede variar a lo largo del conducto, ya que el número de Reynolds va-

riará con x, sin embargo, como V es constante (ecuación de continuidad) a lo largo del conduc-to, la variación de Reynolds es causada únicamente por las variaciones de la viscosidad delfluido. En la práctica siempre se considera un valor medio para f, y no se tienen en cuenta las

pequeñas variaciones del número de Reynolds a lo largo del conducto, de esta manera se tieneque:

1.8.19

Combinando adecuadamente el resto de las ecuaciones, se obtienen otras formulas útiles paralas propiedades del flujo a lo largo del ducto, estas relaciones son:

Razón de presiones

1.8.20

Razón de densidades:

1.8.21

Razón de temperaturas

1.8.22

Propiedades de estancamiento:

1.8.23

Estas razones se hallan tabuladas en función del número de Mach, para un gas ideal con k=1.4,en casi todos los textos de Mecánica de Fluidos (p.e Tabla E.2 Fox; tabla B.3. White).

max

0

21

24

2

)())1(2(

)1(2 L

M D

dx f M d

M k kM

M

h D

L f

M k

M k

k

k

kM

M max2

2

2

2

)1(2

)1(ln

2

11

2)1(2

11

* M k

k

M p

p

1

)1(21*

*

2

k

M k

M V

V

2

2

)1(2

1

** M k

k

C

C

T

T

)1(2

1

2

*0

0*0

0

1

)1(21

k

k

k

M k

M p

p

M

Lmax

L1

M =1

X=0

M1

Figura 1.8.4.- Limites para el análisis del flujo en la línea de Fanno





44

Funciones de Flujo de la Línea de Fanno para flujo unidimensional.Gas ideal con k=1.4

M po/p0* T/T* p/p* V/V* fLmax/Dh M po/p0* T/T* p/p* V/V* fLmax/Dh

0.05 11.591 1.1994 21.903 0.0548 ###### 2.50 2.637 0.5333 0.292 1.8257 0.43200.10 5.822 1.1976 10.944 0.1094 66.9216 2.60 2.896 0.5102 0.275 1.8571 0.45260.20 2.964 1.1905 5.455 0.2182 14.5333 2.70 3.183 0.4882 0.259 1.8865 0.47180.30 2.035 1.1788 3.619 0.3257 5.2993 2.80 3.500 0.4673 0.244 1.9140 0.48980.40 1.590 1.1628 2.696 0.4313 2.3085 2.90 3.850 0.4474 0.231 1.9398 0.50650.50 1.340 1.1429 2.138 0.5345 1.0691 3.00 4.235 0.4286 0.218 1.9640 0.52220.60 1.188 1.1194 1.763 0.6348 0.4908 3.10 4.657 0.4107 0.207 1.9866 0.53680.70 1.094 1.0929 1.493 0.7318 0.2081 3.20 5.121 0.3937 0.196 2.0079 0.55040.80 1.038 1.0638 1.289 0.8251 0.0723 3.30 5.629 0.3776 0.186 2.0278 0.56320.90 1.009 1.0327 1.129 0.9146 0.0145 3.40 6.184 0.3623 0.177 2.0466 0.57521.00 1.000 1.0000 1.000 1.0000 0.0000 3.50 6.790 0.3478 0.169 2.0642 0.58641.10 1.008 0.9662 0.894 1.0812 0.0099 3.60 7.450 0.3341 0.161 2.0808 0.59701.20 1.030 0.9317 0.804 1.1583 0.0336 3.70 8.169 0.3210 0.153 2.0964 0.60681.30 1.066 0.8969 0.728 1.2311 0.0648 3.80 8.951 0.3086 0.146 2.1111 0.61611.40 1.115 0.8621 0.663 1.2999 0.0997 3.90 9.799 0.2969 0.140 2.1250 0.62481.50 1.176 0.8276 0.606 1.3646 0.1361 4.00 10.719 0.2857 0.134 2.1381 0.6331

1.60 1.250 0.7937 0.557 1.4254 0.1724 4.10 11.715 0.2751 0.128 2.1505 0.64081.70 1.338 0.7605 0.513 1.4825 0.2078 4.20 12.792 0.2650 0.123 2.1622 0.64811.80 1.439 0.7282 0.474 1.5360 0.2419 4.30 13.955 0.2554 0.118 2.1732 0.65501.90 1.555 0.6969 0.439 1.5861 0.2743 4.40 15.210 0.2463 0.113 2.1837 0.66152.00 1.688 0.6667 0.408 1.6330 0.3050 4.50 16.562 0.2376 0.108 2.1936 0.66762.10 1.837 0.6376 0.380 1.6769 0.3339 4.60 18.018 0.2294 0.104 2.2030 0.67342.20 2.005 0.6098 0.355 1.7179 0.3609 4.70 19.583 0.2215 0.100 2.2119 0.67902.30 2.193 0.5831 0.332 1.7563 0.3862 4.80 21.264 0.2140 0.096 2.2204 0.68422.40 2.403 0.5576 0.311 1.7922 0.4099 4.90 23.067 0.2068 0.093 2.2284 0.6891

5.00 25.000 0.2000 0.089 2.2361 0.6938

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

3.0

3.5

4.0

0 1 2 3 4 5

Número de Mach

*0

0

p

p

*T

T

*V

V

h D

fLmax

* p

p





45

18 psia= p1

20 pies

4 pies

6 pies

pamb. = 14 psia

1 2 p2= pamb. = 14.7 psia

=0.0001

Ejemplo 10. Un ducto de área constante opera en una condición estrangulada. La seccióntransversal es rectangular, con los lados de 6pies y 4 pies, y su superficie tiene una rugosidadrelativa de 0.0001. A 20 pies del extremo del ducto, la presión absoluta es 18 psi. Si no existetransferencia de calor a través de las paredes, determine el número de Mach y el de Reynoldsen esta sección para un flujo de aire. La presión ambiente de los alrededores, que es 14.7 psia.

DATOS DEL PROBLEMA

k 1.4R 53.3 lbf.pie/lbm.

como me or a roximación

M1 0 .83 8Nos quedamos con,

M 0.838( ) 0.838

M 0.841( ) 0.838M 0.817( ) 0.841

Comenzando con un valor arbitrario para M1, por ejempl o M1=1,

sustituyendo este valor en la función anterior calculamos un nuevo valorpara M1, y así sucesivam ente obtenemos una mej or aproximación.

M 1( ) 0.817

M M1( )1

1.224

k 1

2

1k 1

2

M12

1

2

Esta ecuación debe ser resuleta para M2, sin embargo no tiene soloción analítica pues es una ecu

cúbica, por ello se empl eará un método numérico (aproximaciones sucesivas o prueba y error, par

preparamos la ecuación del sigui ente modo :

1

M1

k 1

2

1k 1

2

M1

2

1

2

p1/p* =

18

14.71.224p1/p* =

como l a presíon crítica es constante, se puede usar este valor como referencia para calcula r el núme

Mach en la sección 1, usando para ello l as ecuaciones derivadas en la clase teórica (línea de Fann

p2p*=

Como el flu jo esta estrangulado, el número de Mach en la sección 2 es M2=1, entonces la presión

sera igual a la presíon de salida p2.





46

f D f Re

.

.log

512

732

1

Re 3.4 106

Re

2.51

f

10

1

2 f

3.7 D

o tambien med iante l a fórmul a de Colebrook (base del ábaco de Moody)

Entonces con f=0.0105 y=0.0001, se puede obtener el número de Reynolds,del diagrama de Moody.

f 0. 01 05f 0. 061

D

k L

entonces :

D 4 .80 0D 4

a b( )

2 a b( )

donde el diametro equivalente D se puede calcular, del siguiente modo:

k 1

2ln

k 1( ) M12

2 1k 1

2

M12

1

M12

1

0.061=

f k L

D

El número de Reynolds en la sección 1, se puede calcular de manera aproximada, a part ir del dia

Moody. Para ell o es necesario estimar el valor del coefici ente de fricción a partir de la ecuación:

En todo caso el val or hallado para M1= 0.838 es una mej or aproximación.

M1 = 0.84 para p/p* = 1.22

se obtiene de la tabl a B.7 (línea de Fanno) página 810 Shames.

18

14.71.224p1/p* =

Otra manera de obtener un valor aproximado para M!, es median te valores tabulados para la línea

asi para la relación:





47

1 2

p01=100 psiaT0=500 RM1=0.70 A=1 pie2

T1=? p1=?

p02=?T0=500 RM2=1T2=? p2=?

1 2

p1

m. Al=R f

p2

Diagrama de fuerzas actuantes sobre lasuperficie de control

A parti r de las condi ciones de estancam iento e la seccción 1, se calculan T 1 y p1:

T1To

1k 1

2

M12

T1 4 55 .4 R

p1po1

1k 1

2

M12

k

k 1

p 1 7 2. 1 psia

Ejemplo 11. Considere un flujo adiabático de aire en una tubería de área constante con fricción.En una sección de la tubería, p0=100 psia, T0, 500 R y M=0.70. Si el área de la sección trans-versal es 1 pie

2 y el numero de Mach en la salida es M2=1, encuentre la fuerza de fricción ejer-

cida sobre el fluido por la tubería.

DATOS DISPONIBLES

Otros datos:k 1.4R 53.3 lbf.pie/lbm.

De la ecuación de cantidad de movimiento se tiene:

AV

V V p p R

A p pV V V R

f

f

)()(

)()(

11

22

1121

211211

(1)

Además sabemos que: kRT M McV entonces:

1

2

1

2

11

22

1

2

T T

M M

kRT M

kRT M V V (2)

Sustituyendo (2) en (1), se obtiene:

AT

T

M

M kRT M p p R f

)()( 1

1

2

1

21

2

1121 (3)

Esta última ecuación nos muestra que es necesario calcular previamente los siguientes paráme-

tros de estado en las secciones 1 y 2: 22111 T pT p ,,,,





48

La densidad1 se puede cal cular a pa rtir de la ecuación de l os gases ideales:

lb m

pi e31

p1 144

R T1 1 0. 428

En la sección de flujo 2, con To y M 2 se calcula T2,:

T2To

1k 1

2

M22

T 2 4 16 .7 R

De la ecuación de continuidad: 2211 V V , combinando con (2) se tiene:

2

1

2

1

2

1

1

2

T

T

M

M

V

V

(4)

entonces la densidad 2 sera:

2 1M1

M2

T1

T2 2 0 .313

lbm

pie3

La presión p2 se puede calcular a partir de la ecuación de los gases ideales:

p2 2 R T2

144

p 2 4 8. 3 psia

Sustituyend estos valores en l a ecuación (3) se tiene

Rf p1 p2( ) 144 1 M12 k R T1 M2M1

T2T1

1

A

Rf 8 20 .0 lbf

PROBLEMAS PROPUESTOSPRACTICA

IMPORTANTE: La entrega de las dos prácticas es requisito que habilita para el primerexamen parcialResolver los siguientes problemas:FOX: 13.63; 13.69; 13.118

SHAMES: 11.43; 11.72; 11.76; 11.87

ANEXO: se incluyen adicionalmente dos problemas resueltos. FOX 13.62 y 13.72.





49

1 2

Volumen de control

m

Q

1 2

p1 p2

Diagrama de fuerzas actuantes sobre la superfi-

cie de control

T1 p1

1 h1 s1

V1

T2 p2

2 h2 s2

V2

1.9 FLUJO PERMANENTE SIN FRICCION EN UN DUCTO DE AREA CONSTANTE CON IN-TERCAMBIO DE CALOR.- Línea de Rayleigh

Estudiamos ahora el flujo compresible a lo largo de un conducto de sección constante conside-rando el intercambio de calor pero sin considerar los efectos de la fricción. Para ello al igual queel caso anterior comenzamos escribiendo las ecuaciones fundamentales del flujo fluido al volu-men de control presentado esquemáticamente en la figura.

Ecuación de continuidad

.

.

cteV V

ctem AV AV

2211

2211

(1)

Ecuación de cantidad de movimiento

)()(

)()(

121121

121121

V V V p p

V V AV A p p

(2)


0102

1

2

1

2

2

2

12

2

1

2

2

22

22

hhm

Q

hV

hV

m

Q

hhV V

mt

Q

)(

(3)

Ecuaciones de estado

h=h(s,

) (4)

=

(s, p) (5)

Este sistema de ecuaciones, al igual que en elcaso anterior, presenta infinitas soluciones. Demanera análoga para un conjunto dado de condi-ciones iniciales, sección 1; se buscan los posi-bles estados que pueden alcanzarse en la sec-ción 2 para diferentes variaciones del calenta-miento. Podemos nuevamente asumir valorespara V2, a partir de lo cual calculamos el resto de

los parámetros de estado en la sección 2, me-diante una combinación adecuada de sistema deecuaciones planteado. El lugar geométrico delos estados posibles agua abajo representadosen el diagrama h-s, se conoce como línea de

Rayleigh .s

h

M<1

M>1

M=1

1

k

M=

Enfriamiento

Enfriamiento

Calentamiento

Calentamiento





50

1.9.1 Relaciones matemáticas para el cálculo del flujo de la línea de Rayleigh de un gasideal

A partir de la ecuaciones fundamentales de flujo, planteadas anteriormente, es posible estable-cer ecuaciones algebraicas útiles para relacionar las variables de estado de dos secciones deflujo en términos del número de Mach, tomando como referencia la condición crítica donde elnúmero de Mach es M=1.

Relación de presiones.

De la ecuación de cantidad de movimiento,

k M p pk M p p

k M pk M p p p

RT pk M RT k M RT p p

kRT M kRT M p p

V V p p

V V V V V V V p p

2

222

2

111

211

22221

2

111

2

22221

1

2

112

2

2221

2

11

2

2221

111222121121

;

)(

2

1

2

2

2

1

1

1

kM

kM

p

p

(1)

Relación de temperaturas. A partir de la ecuación anterior (1) y de la ecuación de los gasee ideales, se puede obtener,

2

1

2

2

22

11

1

1

kM

kM

T

T

(2a)

De la ecuación de continuidad,

1

2

1

2

11

22

11

22

1

2

2

1

2211

T

T

M

M

kRT M

kRT M

c M

c M

V

V

V V

(2b)

Combinado estas dos últimas ecuaciones, tenemos,

2

1

2

2

2

1

1

2

1

2

1

1

kM

kM

T

T

T

T

M

M

2

2

1

2

2

2

1

2

1

1

1

kM

kM

M

M

T

T (2)





51

Relación de densidades.

Combinado la ecuación (2) con la ecuación (2b), se tine

2

1

2

2

2

1

1

1

kM

kM

(3)

Para simplificar el cálculo, conviene relacionar los parámetros de flujo de una sección cualquie-ra del ducto, con los de una sección del ducto en la que, hipotéticamente, se alcanzan las con-diciones sónicas es decir las condiciones críticas M=1. Para ello reemplazamos M2=1 en las tresrelaciones anteriores y suprimimos también el subíndice 1 para hacer referencia a una secciónde flujo cualquiera.

21

1

kM

k

p

p

*

2

21

1

kM

k M

T

T

*

k M

kM

1

1

* 2

2

2

2

1

1

* kM

k M

V

V

De manera similar se obtiene relaciones para la presión y temperatura de estancamiento:

12

2* 1

)1(2

1

1

k

k

o

o

k

M k

kM

k

p

p

22

22

*1

)1(2)1(

kM

M k M k

T

T

o

o

En base a estas relaciones matemáticas, se han elaborado tablas, en las que se tabulan losvalores de las relaciones para diferentes valores de M, y con k=1.4. El la figura de la siguientepágina se muestra un resumen de estos datos, elaborados en base a este conjunto de relacio-nes matemáticas. Tablas más completas están disponibles en los textos de mecánica de fluidosy termodinámica.

*

*

V

V

Observa que …





52

Funciones de flujo de Rayleigh para un gas ideal con k=1.4Flujo unidimensional

M1 To/To* po/po* T/T* p/p* V/V*

0.00 0.0000 1.2679 0.0000 2.4000 0.0000

0.10 0.0468 1.2591 0.0560 2.3669 0.0237

0.20 0.1736 1.2346 0.2066 2.2727 0.0909

0.30 0.3469 1.1985 0.4089 2.1314 0.1918

0.40 0.5290 1.1566 0.6151 1.9608 0.3137

0.50 0.6914 1.1141 0.7901 1.7778 0.4444

0.60 0.8189 1.0753 0.9167 1.5957 0.5745

0.70 0.9085 1.0431 0.9929 1.4235 0.6975

0.80 0.9639 1.0193 1.0255 1.2658 0.8101

0.90 0.9921 1.0049 1.0245 1.1246 0.9110

1.00 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000

1.10 0.9939 1.0049 0.9603 0.8909 1.0780

1.20 0.9787 1.0194 0.9118 0.7958 1.1459

1.30 0.9580 1.0437 0.8592 0.7130 1.2050

1.40 0.9343 1.0777 0.8054 0.6410 1.2564

1.50 0.9093 1.1215 0.7525 0.5783 1.3012

M1 To/To* po/po* T/T* p/p* V/V*

1.60 0.8842 1.1756 0.7017 0.5236 1.3403

1.70 0.8597 1.2402 0.6538 0.4756 1.3746

1.80 0.8363 1.3159 0.6089 0.4335 1.4046

1.90 0.8141 1.4033 0.5673 0.3964 1.4311

2.00 0.7934 1.5031 0.5289 0.3636 1.4545

2.10 0.7741 1.6162 0.4936 0.3345 1.4753

2.20 0.7561 1.7434 0.4611 0.3086 1.4938

2.30 0.7395 1.8860 0.4312 0.2855 1.5103

2.40 0.7242 2.0451 0.4038 0.2648 1.5252

2.50 0.7101 2.2218 0.3787 0.2462 1.5385

2.60 0.6970 2.4177 0.3556 0.2294 1.5505

2.70 0.6849 2.6343 0.3344 0.2142 1.56132.80 0.6738 2.8731 0.3149 0.2004 1.5711

2.90 0.6635 3.1359 0.2969 0.1879 1.5801

3.00 0.6540 3.4245 0.2803 0.1765 1.5882

Diagramas para las funciones de flujo de Rayleigh

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

3.0

0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0

Núme ro e Mach M

F u n c i o n e s d e f l u j o d e R a y l e i g h .

*0

0

p

p

*T

T

*V

V

* p

p

*0

0

T

T





53

1 2

p1 p2

Volumen de Control

T1= 50 oC1=2.16 kg/m3

M1=0.30

2 = 0.721 kg/m3

M2 = 0.60S = ?

cp=1.005 kJ/kg.KR= 0.287 kJ/kg K

q=?

Ejemplo 12. Fluye aire sin fricción por un corto ducto de área constante. A la entrada del ducto

M1=0.3, T1=50 C y 1=2.16 kg/m3. Como resultado del calentamiento, el número de Mach y la

densidad del tubo son M2=0.60 y 2=0.721 kg/m3. Determine la adición de calor por unidad de

masa y el cambio de entropía en el proceso.

DATOS E INCOGNITAS DEL PROBLEMA

Estrategia: Con los datos de la sección 1, po-demos calcular, las condiciones críticas (es-

trangulamiento), con estos datos luego calcula-mos las condiciones de estado en la sección de

flujo 2. Además en cada sección determinamosla temperatura de estancamiento, a partir de

estos valores las respectivas entalpías de es-

tancamiento, luego con la ecuación de energíadeterminamos el flujo de calor por unidad de

masas. (Los cálculos los implementamos en el

MATCAD).

KT02

776.3T02

948 0.8189

luego la temperatura de estancamiento en 2 será:

para M2= 0.6 de la misma tabla se obtiene To/T o* = 0.8189

KT01

328.9T01

948 0.3469

entonces la temperatura de estancamiento en 1, es:

de la mencionada tabla se tiene: To/To* = 0.3469M1 0.30para

Ahora con estos datos y haciendo uso de tablas (tabla E .3 Fox), determinamos la temperat

estancamiento en cada una de las secciones de flujo que se consideran.

790 1k 1( )

2

948.000To*=

KT1

1 k M12

M1 1 k ( )

2

790.0T*=

kPap1

1 k M12

1 k 93.9p*=

kPap1

200.2p1 1 R T

1

Primero cálculamoso de la presión en la sección 1, a partir de la ecuación de los gases id





54

kJ/kgKcp ln724.2

323

R ln149.9

200.2

0.895s=

entoces el incremeto de la entropia sera:

kPap2

149.9p2 2 R T

2

La presión en l a seción 2 se puede calcular a medi ante la ecuación de los gases ideal es:

K790.0M2 1 k ( )

1 k M22

2

724.2T2=

La temperatura en la sección 2 se puede calcular a partir de la temperatura crítica (estra

s cp ln

T2

T1

R ln

p2

p1

p2

s2 - s1=

Integrando, parr cp=cte. tenemos:ds cp

dT

T R

dp

p

de donde, para el caso de un gas ideal podemos escribir:

Tds = dh -vdp

Para calcular el cambio de entropia, partimos de la ecuación:

kJ/kgq 4 50 .1q cp T02

T01

q h02

h01

h

Entonces el cal or añadido,calcul ado a partir de la ecuación de energia con cp constante





55

1 2

p1 p2

Volumen de Control

T1= 40 oCp1=124.1 kPaV1=30 m/s

T2 = ?M2 = ?V2 = ?

cp=1.005 kJ/kg.KR= 0.287 kJ/kg K

q=465.18 kJ/kg

Ejemplo 13. Un ducto de área constante conduce una mezcla de aire y combustible. A la entra-da del ducto la mezcla tiene una velocidad de 30m/s, una temperatura de 40

oC y una presión

absoluta de 124.100 Pa. Si el calor de reacción de la mezcla es 465.180 J/kg. ¿cuáles son elnúmero de Mach de salida, la temperatura y la velocidad del flujo? Se supone que el calor es-pecífico y la constante de gas R de los reactantes y los productos de la combustión son igualesa los del aire. Suponga que cp =1.005 J/kg.K para los cálculos. La tubería se encuentra aisladatérmicamente.

DATOS E INCOGNITAS DEL PROBLEMA

En la figura se ilustran los datos disponibles,

para la resolución del problema planteado. Uncomentario particular merece el “calor añadido”,

en este caso el tubo esta aislado sin embargo elcalor añadido al sistema proviene del combustible

que es aportado desde el exterior al flujo puesse trata de un combustor, en consecuencia pode-

mos aplicar en este caso el conjunto de ecuacio-

nes planteado en esta sección (flujo con transfe-

rencia de calor y sin fricción en un ducto de sec- ción constante) .

A partir de la ecuación de energía (primera ley de la termodinámica), podemos calcular la tem-peratura de estancamiento en la sección 2 del conducto, T02; para ello esta ecuación se puedeescribir así:

)( 010201021

2

12

2

2

22T T cphhh

V h

V

m

Q

A partir de esta temperatura, la temperatura de estrangulamiento y el número de Mach en lasección 1 se pueden calcular las condiciones de flujo en la sección 2. (Los cálculos los imple-

mentamos en el MATCAD)

1- Cálculo de las temperaturas de estancamiento en las secciones 1 y 2:

M1

V1

k R 1000 T1

M1 0.085

a partir de este valo r calculam os la temperatura de estancami ento en la sección 1,

T01

T1

1k 1

2

M1 2

T

01 313.448 K

con este dato y a partir de la primera ley de la termodinam ica se calcula la temperatuestancami ento en l a seción 2:

T02

T01

q

cp

T02

776.31 K





56

M2

0.135de donde podem os asumir

0 .1 25 0 .1 3 0 .1 350.07

0.08

0.09

f M( )

0.083

M

f M( )

0.078

0.079

0.080

0.081

0.082

0.083

0.085

0.086

0.087

0.088

0.089

M

0.130

0.131

0.132

0.133

0.134

0.135

0.136

0.137

0.138

0.139

0.140

M 0 .13 0 .13 1 0.14 f M( )

2 k 1( ) M( )2

1k 1

2

M( )2

1 k M( )2

2

se opta por un método de aproximación sucesiva, los resultados se muestran a contin

2 k 1( ) M2

2 1

k 1

2

M2

2

1 k M2

2

20.083 =

para una mejor aproximación se puede obtener M2 directamente partir de la ecuaci

KT2

830.042

T

2

0.1070 7757.4

De la tabla E.3 (Fox) para T o/To*=0.08947; se tiene M=0.14 ; T/T* =0.1070, con est

calcular la temperatura en la sección 2

776.31

9308.90.083To2/To*=

3 cálculo de la temperatura de estancamiento en la sección 2: (por formula o medi an

7757.4 1k 1( )

2

9308.9To*=

KT1

1 k M12

M1 1 k ( )

2

7757.4T*=

2 Cálculo de la temperatura y la temperatura de estancamiento en condiciones de

estrangulamiento.





57

kPap2

122.2kPap2

2.340 52.23

1 k

1 k M2

2

2.340p2/p*=

luego con esta presión y el número de Mach de la sección 2, calcul amos la presión e

sección 2, mediante la ecuación:

kPap1

1 k M12

1 k 52.23p*=

primero calculam os la presión crítica con datos de l a sección 1:

También podemos calcular la presión en la sección de salida:

m/sV2

75.300

V2

M2

k R 1000 T2

La velocidad también se puede calcular a partir de M2.

(501.3 C)K7757.4

M2

1 k ( )

1 k M2 2

2

774.3T2 =

A parti r de este valor para M2=0.135 y de la temperatura crítica (estrangulam iento),

calculamos la temperatura T2,





58

1.10 Ondas de Choque Normales.

Se ha visto que las ondas de propagación de sonido se deben a cambios de pre-sión infinitesimales, y a que éstas viajan a través del medio a la velocidad del so-nido. También se ha visto que para algunos valores de contrapresión ocurrencambios abruptos en las propiedades de los fluidos en una sección muy delgadade una tobera convergente-divergente en condiciones de flujo supersónico y crean

una onda de choque. En esta sección se estudia las condiciones en las cuales seforman las ondas de choque que ocurren en un plano normal a la dirección de fl u- jo, denom inadas on da s de choque nor mal es . Como ya se mencio nó el f lu jo através de una onda de choque es fuertemente irreversible y no puede aproximarsea un proceso de flujo isentrópico.

Para analizar los cambios en las propiedades del flujo, cuando el flujo atraviesauna onda de choque normal, seleccionaremos un volumen de control muy delgado,de espesor suficiente para encerrar a la onda

7, como se muestra en la figura

1.7.1, y plantearemos las ecuaciones fundamentales del flujo f luido, considerandoflujo permanente y unidimensional.

Ecuaciones básicas de de flujo:Conservación de masaDe la ecuación de continuidad setiene:

como,

se tiene:

1.7.1

Conservación de cantidad demovimiento.De la ecuación de cantidad demovimiento, considerando sola-

mente las fuerzas debidas a lapresion a la entrada y salida delvolumen de control, y menospre-ciando las fuerzas en la superfi-cie lateral del V.C. (por ser estacara muy delgada), se tiene:

1.7.2

Conservación de energía A par tir de la segun da le y de la ter mod inámica , par a fluj o adia bá tic o, se pue deescribir:

1.7.3

7 Las ondas de choque normales son extremadamente delgadas, (unas micras de espesor), de tal maneraque las áreas de flujo entrante y saliente del volumen de control son prácticamente iguales.

0201

02

22

1

21

12

2

1

2

2

22

)22

(0

hh

hhV

hV

hhV V m

M1>1

2

p2

h2

2

V2 s2

p1

h1

1

V1 s1

Figura 1.7.1. Flujo a través de una onda de choque normal.-volumen de control alrededor de la onda de choque

A1 A2

Volumen de control deespesor muy delgado

Onda de choque

M2<1

ctem AV AV

.

222111

21 A A

.

2211 cteV V

)()(

)()(

121121

12211121

V V V p p

V V AV A p p





59

Incremento de entropía:Según lo indica la segunda ley de la termodinámica:

s2>s1 1.7.4

Ecuaciones de estado

h=h(s,) 1.7.5

=(s,p) 1.7.6

Este conjunto de ecuaciones son las que rigen el flujo de un gas a través de una onda de cho-que normal. Si todas las propiedades en el estado 1 se conocen, entonces tenemos la situaciónde seis ecuaciones con seis incógnitas. Por tanto, si se conocen todas las condiciones de esta-do inmediatamente delante de la onda de choque, matemáticamente que hay un único estadoposible inmediatamente después de la onda de choque (seis ecuaciones y seis incógnitas). Auque debido al término cuadrático de la velocidad, existen dos soluciones matemáticas, perosolo es válida aquella en que s2 – s1 >0, como exige la segunda ley de la termodinámica.

La ecuaciones de continuidad 1.7.1 y energía 1.7.2, pueden combinarse en una sola ecuación ygraficar en un diagrama h-s, utilizando además las ecuaciones de estado 1.7.5 y 1.7.6. La curvaresultante es la línea de Fanno, y a lo largo de esta curva se localizan los estados que tienen el

mismo valor de entalpía de estancamiento (h0) y flujo de masa por unidad de área (V). Delmimo modo, combinando lasecuaciones 1.7.1 (conserva-ción de la masa) y 1.7.4(conservación de cantidad demovimiento) en una solaecuación y graficarla en undiagrama h-s se obtiene lalínea de Rayleigh, estascurvas se muestran en lafigura 1.7.2.Las lineas deFanno y de Rayleigh se in-

terceptan en dos puntos querepresentan los dos estadosdonde las tres ecuaciones deconservación se satisfacen.El punto 1 corresponde alestado antes del choque, y elpunto 2 corresponde al esta-do después del choque. Seobserva que el flujo es su-persónico antes del choque ysubsónico después. Es decirque, el flujo a través de unaonda de choque normal im-

plica un cambio de velocidadde supersónica a subsónica.Cuanto mayor sea el númerode Mach antes del choque,mas fuerte será el choque.

En el caso limite M igual a 1, la onda de choque simplemente se convierte en una onda de pro-pagación del sonido. También se observa en la figura 1.7.2 que la entropía aumenta, lo que eraprevisible porque el flujo a través de una onda de choque es adiabático pero irreversible.

s

M < 1

M > 1

M=1

Línea de RayleighONDA DE

CHOQUE

Calentamiento

Línea de Fanno

M=1

1

2

Figura 1.7.2 Diagrama h-s para el flujo a través de una ondade choque normal. Observe la intersección de las líneas deFanno y Rayleigh como una solución de las ecuaciones de

onda de choque normal.

h01 = h02

s1 s2

h2

h1

s2 – s1

p01 p02

h





60

12

1

12

1

22

21

1

2

M

k

M k

T

T

RT

p

El principio de conservación de energía (Ec. 1.7.3) exige que la entalpía de estancamiento per-manezca constante durante el choque. Como h=f(T), para gases ideales, entonces la tempera-tura de estancamiento también permanece constante durante el choque para un gas ideal.

T01 = T02 1.7.3a

Sin embargo, se observa que la presión de estancamiento disminuye durante el choque debidoa las irreversibilidades, en tanto que la temperatura estática aumenta fuertemente debido a laconversión de energía cinética en entalpía lo que provoca una gran caída de la velocidad delfluido.

1.7.1 Ecuaciones para el cálculo de ondas de choque normales en un gas ideal.

Como ya se explico anteriormente, el sistema de ecuaciones fundamentales para el flujo através de una onda de choque normal establecen que para una condición de estado dada de-lante de una onda hay un único estado posible inmediatamente después de la onda. Se plante-an ahora expresiones matemáticas para las relaciones entre las propiedades de flujo antes ydespués del choque para un gas ideal con calores específicos constantes, en términos de M1inmediatamente antes de la onda de choque.

Ecuaciones de estado para un gas ideal.1.7.6a

h=h2 – h1 = cp(T2 – T1) 1.7.5a

Incremento de entropía en el choquePara fines de cálculo del cambio de entropía real a través de la onda de choque, para el casode un gas ideal con calores específicos constantes, se puede usar la siguiente ecuación.

1

2

1

212 lnln

p

p R

T

T c s s p > 0 1.7.4a

Relación que puede expresarse en términos del número de Mach, al sustituir las relaciones detemperatura y presión por sus expresiones en términos de M, mismas que se desarrollan a con-tinuación:

Ecuación para la razón de temperaturas.Una ecuación para la razón de temperaturas puede obtenerse a partir de la ecuación:

12

1 2

M k

T

T o

La misma que se aplica a la entrada y la salida el volumen de control.

Antes de la onda de choque 12

1 21

1

01

M k

T

T

Después de la onda de choque 12

1 22

2

02

M k

T

T

dividiendo miembro a miembro las dos últimas expresiones, y recordando que T01=T02, la razónde temperaturas puede expresarse como:

1.7.7





61

12

1

12

1

21

22

2

1

1

2

M

k

M k

M

M

Relación para la razón de densidades. A partir de la ecuación 1.7.7 y de continuidad, 1.7.1 se puede obtener una relación para larazón de densidades:

y recordando que M kRT cM V , se tiene que:

Luego combinado con la ecuación 1.7.7 (relación de temperaturas), se tiene finalmente:

1.7.8

Ecuación para la razón de presiones.Una expresión para la razón e presiones se puede obtener a partir de la ecuación de estado delgas ideal 1.7.6a. Así:

Antes de la onda de choque 111 RT p

Después de la onda de choque 222 RT p

y reemplazando las razones de densidad y temperatura en la última relación, se tiene que:

1.7.9a

Al ser esta ecuación (1.7.9a) una combinación de las ecuaciones de energía y continuidad, re-

sulta ser la ecuación de la línea de Fanno para un gas ideal con calores específicos constantes.Es posible también obtener una relación para la razón de presiones, combinando las ecuacio-nes de cantidad de movimiento y de continuidad la ecuación resultante (1.7.9b) será la ecua-ción para la línea de Rayleigh.

De la ecuación de cantidad de movimiento se tiene que:

Ademas,

Así entonces

Finalmente,1.7.9b

De la combinación de las ecuaciones 1.7.9a y 1.7.9b se obtiene una ecuación explicita para M2,en función de M1:

1.7.10

2

1

1

22211

V

V V V

2

1

2

1

1

2

22

11

1

2

T

T

M

M

kRT M

kRT M

1

2

1

2

1

2

T

T

p

p

21

1

122

2

2122222121121 )( V

RT

pV

RT

pV V V V V V V p p

1

1

22

21

1

2

kM

kM

p

p

k M pk M pkRT M RT

pkRT M

RT

p p p 2

112221

21

1

12

22

2

221

)1()1(

2

11

2

22 kM pkM p

11

2

1

2

21

21

2

k

k M

k M

M

12

1

12

1

22

21

2

1

1

2

2

1

1

2

M

k

M k

M

M

T

T

M

M

p

p





62

0.0

1.0

2.0

3.0

4.0

5.0

6.0

1.0 1.5 2.0 2.5 3.0

Número de Mach antes de la onda de choque M1

F u n c i o n e s d e o n d a d e

c h o q u e n o r m a l

La ecuación 1.7.10 representa la intersección de las líneas de Fanno y Rayleigh y relaciona losnúmeros de Mach antes y después de la onda de choque normal.

Ecuación para la razón de presiones de estancamiento.La razón de presiones de estancamiento se puede evaluar mediante la siguiente relación:

1

21

22

1

2

01

02

12

1

12

1

k

k

M k

M k

p

p

p

p

Las razones de presión, temperatura, etc. para flujo a través de una onda de choque normalpara flujo de un gas ideal, se encuentran tabuladas, tablas que se encuentran en la mayoría elos textos de mecánica de fluidos y termodinámica (p.e. Tabla E.4; Fox, funciones de flujo deonda de choque normal.- flujo unidimensional, gas ideal). En la figura 1.7.3, se muestra, a ma-nera de ejemplo, una tabla resumida y las curvas de las funciones de onda de choque normalpara un gas ideal.

Las ondas de choque no se presentan solo en las toberas supersónicas. Este fenómeno tam-bién se presenta en la entrada del motor de un avión supersónico, por ejemplo.

Figura 1.7.3 Funciones de onda de choque normal para un gas ideal con k=1.4Flujo unidimensional

M1 M2 T2 /T1 2 /1 p2 /p1 p02 /p01 1.00 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000

1.10 0.9118 1.0649 1.1691 1.2450 0.9989

1.20 0.8422 1.1280 1.3416 1.5133 0.9928

1.30 0.7860 1.1909 1.5157 1.8050 0.9794

1.40 0.7397 1.2547 1.6897 2.1200 0.9582

1.50 0.7011 1.3202 1.8621 2.4583 0.9298

1.60 0.6684 1.3880 2.0317 2.8200 0.8952

1.70 0.6405 1.4583 2.1977 3.2050 0.8557

1.80 0.6165 1.5316 2.3592 3.6133 0.8127

1.90 0.5956 1.6079 2.5157 4.0450 0.7674

2.00 0.5774 1.6875 2.6667 4.5000 0.7209

2.10 0.5613 1.7705 2.8119 4.9783 0.6742

2.20 0.5471 1.8569 2.9512 5.4800 0.6281

2.30 0.5344 1.9468 3.0845 6.0050 0.5833

2.40 0.5231 2.0403 3.2119 6.5533 0.5401

2.50 0.5130 2.1375 3.3333 7.1250 0.4990

2.60 0.5039 2.2383 3.4490 7.7200 0.4601

2.70 0.4956 2.3429 3.5590 8.3383 0.4236

2.80 0.4882 2.4512 3.6636 8.9800 0.3895

2.90 0.4814 2.5632 3.7629 9.6450 0.3577

2.10 0.5613 1.7705 2.8119 4.9783 0.67423.00 0.4752 2.6790 3.8571 10.3333 0.3283

p2 /p1

2 /1

T2 /T1

02 /01

M2





63

Ejemplo 14





64

15 m

Difusor

Ducto de área cons-

tante

Tobera convergente-

divergente

As=0.6 m2

To=90 oC

Secciónde prueba

A*=0.397 m2

PROBLEMAS RESUELTOS

PROBLEMA 1.- (Examen I-2006) Unf lujo de 25 kg/s de un f luido es des-acelerado por un di fusor para quepase a t ravés del ducto largo de áreaconstante de 0.5 m 2 , de manera que

se reduzcan las pérdidas en la presiónde estancamiento. El ducto t iene unarugosidad e = 0.4 mm. Para ir a unasección de prueba supersónica el f lujose expande a t ravés de una boqui l la.La geometría está dada en el diagra-ma. (a) ¿Cuál es la presión en la sec-ción de prueba? (b) ¿Cuál es el núme-ro de Mach que entra al ducto desde eldi fusor?

DEFINICIÓN DE V AR IA BL ES PA RA M AT HC AD

Ms 1.864

f M( )

0.664

0.663

0.663

0.662

0.662

0.661

0.661

0.66

M

1.86

1.861

1.862

1.863

1.864

1.865

1.866

1.867

1 .8 55 1 .8 6 1 .8 650.658

0.66

0.662

0.664

f M( )

0.662

M

M 1.86 1.861 1.867

La ecuación anterior pued e resolverse m edia nte aproximaciones sucesivas:

f M( ) M

1k 1

2

1k 1

2

M( )2

k 12 k 1( )

Con este dato se puede calcular el número de Mach en la sección de salida mediante la ecuaci

0.397

0.60.662 A*/As =

La relación área de l a garganta entre area de salida de la boquill a de expanción esta dada po r:

(a) Prime ro calcul amos el número de Mach a la sali da de la boqui lla convergente di vergente, a

relación de areas A*/As:

CALCULOS

D 0.798D 4A

m

2As 0.6mme 0.0004J/kgKR 287

m2

A 0.5K T o 363To 90 273kg

sm 25k 1.4





65

k 1

2ln

k 1( ) Me2

2 1 k 1

2

Me2

1

Me2

1

1.043=

f k L

D

Con el número de Mach Me=0.547 cal culamos la longi tud des estrangulamiento (hipotética), a parti

ecuación:

Me 0.547

f M( )

0.792

0.793

0.794

0.795

0.796

0.797

M

0.545

0.546

0.547

0.548

0.549

0.55

0 .5 46 0 .5 480.792

0.794

0.796

0.798

f M( )

0.794

M

M 0.5450.546 0.55

Esta ecuación puede resolverse mediante aproximaciones sucesivas:

f M( ) M

1 k 1

2

1 k 1

2

M( )2

k 1

2 k 1( )

Con este dato se puede cal cular el núm ero de Mach en l a sección de sali da med iante l a ecuación:

0.397

0.50.794 A*/Ae =

La relación á rea de la garganta entre area de sali da de l a boqui ll a de expanción esta dada por:

(b) Calculamos el número de Mach a l a entrada de l a boquil la convergente-divergente, a partir de l

relación de areas A*/Ae:

Con Ms=1.864 y la T empertura de estancami ento (To permanece constante a l o largo del ducto

flujo adiabático) calculamos la temperatura de salida de la boquilla Ts:

T o 363Ts

To

1 k 1

2

Ms2

Ts 214.2

A parti r de l fluj o másico se calcula la densidad de l ai re a lasali da de la boqui l la:

m = VA y Vs Ms k R Tsde donde:

s m

As Vs s 0 .076 kg/m3

Ahora, la p resión a la sal ida de la boqu ill a sed puede calcu lar a partir de la ecuación de los gases

ideales:

p R T

ps= 0.062R 321.6

1000

5.72 kPa





66

M1 0.505

0.5 0.505 0.511.4

1.45

F M( )

1.442

M

F M( )

1.485

1.474

1.463

1.452

1.441

1.43

1.419

1.408

M

0.501

0.502

0.503

0.504

0.505

0.506

0.507

0.508

M 0.5010.502 0.508

f k L

D1.442=F M( )

k 1

2ln

k 1( ) M2

2 1k 1

2

M2

1

M2

1

L L0

15

Ahora con L=Lo + 15 cal culamos el numro de Mach a la em trada del ducto desde el di fusor:

L0

33.965L0

D

f k

f 0 .017f 1

7.71992

f 7.7199( ) 7.7199

f 7.734( ) 7.7199

Con Me, calcul amos la tem peratura en este punto, a partir de la T o:

TeTo

1k 1

2

Me2

Te 342.5

Para Te=342.5 K (69.5 C) se teneuna viscosidad cinemática=2.137*10(-5)

D 4A

D 0.798 ;

e

D

V Me k R Te V 202.92

2.137 10 5

Re

D V

Re 7.577 10

6

El coefici ente de fricción se cal cula a partir del número dçreynolds y la rugosidad realtiva

diagrama de M oody o tambi en med iante la formula de Colebrook (base del ábaco de Mo

f f Re

.

.log

512

732

1

f x( ) 2 log2.51x

Re

3.7

f 1( ) 7.7340





67

PROBLEMA 2 (examen I-2006). Una mezcla de combustible-aire, con las propiedades termo-dinámicas de aire puro, entra en un combustor de área constante. La temperatura de estanca-miento de la corriente de entrada es constante en 405 K. La fricción es despreciable. Cuando seañade calor al flujo a la relación de 1.4MJ/kg, se estrangula el flujo en la salida del ducto. Enesta condición, la presión estática en la entrada es 154.6 kPa (abs.) y la presión en la salida delducto es 65.7 kPa (abs.). Calcule (a) la temperatura de salida del combustor, (b) el número deMach de entrada del combustor y (c) la pérdida en la presión de estancamiento a través decombustor.

DEFINICIÓN DE VARIABLES PARA MHATCAD

)( 010201021

2

12

2

2

22T T cphhh

V h

V

m

Q

T02

T01

q

cp T

02 1797 K

La temperatura de estancamiento a la salida es igual a la temperatura de estancamiento círit ica po

el flu jo está, segun el enunciado del problema, en condici ones de estrangulamiento, entonces la

temperatura de sali da se puede calcula r de la sigui ente manera:

T2=T

02

1 k 1( )

2

1497 K

El número de Mach a la entrada, se puede calcular a partir de las condiciones críticas, (estas son

constantes a lo largo de todo el conducto).

To1/To*=405

17970.2254

De la tabla E.3 (Fox) para T o/To*=0.2395; se tiene M=0.226

para una mejor aproximación se puede obtener M1 directamente partir de la ecuaci ón:

0.226 =

2 k 1( ) M1

2 1

k 1

2

M1

2

1 k M1

2 2

se opta por un método de aproximaciones sucesivas:

f M( )

2 k 1( ) M( )2

1 k 1

2

M( )2

1 k M( )2

2

q 1400 kJ

kgcp 1.006

kJ

kgK p1

154.6 kPa

T01

405 K k 1.4 p

2 65.7 kPa

R 0 .287 kJ/kgK

RESOLUCION

A parti r de la segunda l ey de la termod inámica se obtiene:





68

kP p02

p01

36.123

kPa p01

160.488 p01

p1

1k 1

2

M

1

2

k

k 1

M1

0.2317

presión de estancamiento a la entrada:

kPa p02

124.365

p02

p2

1k 1

2

M2

2

k

k 1

M2

1

presión de estancamiento a la salida:

M1

0.2317de donde podemos asumir

f M( )

0.2241

0.2243

0.2245

0.2246

0.2248

0.2250

0.2251

0.2253

0.2255

0.2257

0.2258

M

0.2310

0.2311

0.2312

0.2313

0.2314

0.2315

0.2316

0.2317

0.2318

0.2319

0.2320

0.231 0.23150.224

0.225

0.226

f M( )

0.2254

M

M 0. 2310 0. 2311 0.2320

Bibliografía:Shames, Mecánica de Fluidos.Fox, Introducción a la mecánica de fluidos

Yunus, Mecánica de fluidos.White, Mecánica de fluidos

External l inks

Gas Dynamics Toolbox Calculate Mach number and normal shock wave parameters for mixtures of perfect and imperfect gases.

NASA's page on Mach Number Calculate Mach number. PAF Falcons Online - Second To None

http://www.paffalcons.com/



http://www.grc.nasa.gov/WWW/K-12/airplane/mach.html








http://www-rcf.usc.edu/~alexeenk/GDT/index.html















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flujo-compresible

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