cap´ıtulo 12 introducción a flujo compresible · 262 capítulo 12. flujo compresible 12.2....

Capıtulo 12

Introduccion a flujo

compresible

Un muchos casos de interes practico no es razonable suponer que la den-

sidad del fluido se mantiene constante. En este capıtulo discutiremos algunos

conceptos para determinar cuando podemos suponer que es correcto suponer

que la densidad es constante. Cuando no lo es, se debe de extender el analisis

de flujo para tomar en cuenta este efecto.

Cuando la variacion de densidad es importante y se debe considerar, las

ecuaciones de conservacion son las siguientes:

∂ρ

∂t+ ~v · ∇ρ+ ρ(∇ · ~v) = 0 (12.1)

ρ

(∂~v

∂t+ (~v · ∇)~v

)

= ρ~g −∇P + (λ+ µ)∇(∇ · ~v) + µ∇2~v(12.2)

ρCp

(∂T

∂t+ (~v · ∇)T

)

= ∇ (k∇T ) +Φ (12.3)

P = ρRT (12.4)

Este sistema de 6 ecuaciones (1 de masa, tres de momemtum lineal, 1

energıa y 1 de estado) y 6 incognitas (densidad, presion, temperatura y ve-

locidad, 3) esta cerrado. En principio, se podrıa resolver pues se tiene un

257

258 CAPITULO 12. FLUJO COMPRESIBLE

numero de incognitas igual al numero de ecuaciones disponibles. Sin em-

bargo, como se ha discutido ampliamente, no existen metodos matematicos

para encontrar la solucion. Por lo tanto, se deben de hacer simplificaciones

importantes.

En este capıtulo analizaremos el caso de flujo compresible unidimensional

y no-viscoso.

Antes de arrancar es importante hacer un repaso breve de algunos con-

ceptos importantes de la termodinamica de gases ideales.

12.1. Repaso de termodinamica de gases idea-

les

La ecuacion de estado para un gas ideal es:

P = ρRT

donde R es la constante del gas. Esta es:

R =RU

Mm

donde RU = 8314 J/(KgmolK) es la constante universal de los gases y Mm es

la masa molecular.

Usualmente en termodinamica se usa el inverso de la densidad, v = 1/ρ,

llamado volumen especıfico.

La energıa interna, u, de una sustancia se puede expresar como funcion

de otras dos variables termodinamicas:

u = f(v, T ).

Por lo tanto,

du =

(∂u

∂T

)

v

dT +

(∂u

∂v

)

T

dv

12.1. REPASO DE TERMODINAMICA DE GASES IDEALES 259

lo cual puede escribirse como

du = CvdT +

(∂u

∂v

)

T

dv

dondeCv es la capacidad calorıfica a volumen constante. Para un gas ideal se

puede demostrar que la energıa interna no depende del volumen especıfico,

es decir ∂u/∂v = 0. Entonces,

du = CvdT

En otras palabras, el cambio de energıa interna depende unicamente de los

cambios de temperatura.

Podemos tambien definir la propiedad termodinamica, h, entalpıa como:

h = u+P

ρ

De igual manera, podemos escribir a la entalpıa como una funcion de

otras dos variables termodinamicas.

h = g(P, T ).

Por lo tanto, los cambios de entalpıa se pueden calcular como:

dh =

(∂h

∂P

)

T

dP +

(∂h

∂T

)

P

dT

pero ∂h/∂P = 0 por lo que

dh = CPdT

donde CP es la capacidad calorıfica a presion constante.

De la definicion de entalpıa tenemos

h = u+RT.

Entonces

dh = du+RdT


y usando las expresiones anteriores podemos escribir:

CPdT = CvdT +RdT

por lo tanto:

r = CP − Cv

Si definimos k = CP/Cv, entonces,

CP =kR

k − 1

Cv =R

k − 1

Sabemos que tanto CP como Cv son aproximadamente constantes para

un amplio rango de temperaturas. Por lo tanto podemos calcular el cambio

de energıa interna y entalpıa como:

∆u = Cv(T2 − t1)

∆h = CP (T2 − t1)

Tambien es util definir el concepto de entropıa:

∆s =

∫

rev

δQ

T

Esta ecuacion representa la segunda ley de la termodinamica.

Para proceso no reversible tenemos:

ds ≥ δQ

T

y para uno reversible:

Tds =dQ

mSi el proceso es adiabatico dQ = 0, entonces en un proceso adiabatico

reversible ds = 0 (proceso isentropico). De otra manera, ds > 0.

De la primera ley de la termodinamica sabemos que

∆u = Q−W

12.1. REPASO DE TERMODINAMICA DE GASES IDEALES 261

por lo tanto

du = δQ− δW.

Entonces,

Tds = du+ Pdv

y

Tds = dh− vdP

Por lo tanto

ds = CvdTT

+Rdvv

ds = CPdTT

− RdPP

(12.5)

Si el proceso es isentropico para un gas ideal, entonces

0 = CvdT + Pdv

0 = CPdT − vdP(12.6)

Por lo tanto,

dT =vdP

CP

= −PdvCv

y

fracdPP +CP

Cv

dv

v= 0

Esta expresion se puede integrar:

lnP + ln vk = constante

y finalmente:P

ρk= constante.

Para un proceso isentropico de un gas ideal la relacion P/ρk se mantiene

constante:P1

ρk1=P2

ρk2.


12.2. Propagacion de una perturbacion pe-

quena de presion

Consideremos que existe un dominio que esta originalmente en reposo, a

una presion P y a una densidad ρ. Supongamos que en una region de ese

dominio la presion crece subitamente (una pequena explosion). Por lo tanto

la densidad y la velocidad se veran afectadas:

Pρ

Vx=0

P+dP

ρ+ dρ

dVx

c

x

y

Como resultado del gradiente de presion el fluido tendera a moverse. Por

lo tanto, la frontera entre el fluido sin moverse y el que se esta moviendo

se desplazara. Para el caso mostrado en la figura, el desplazamiento se dara

hacia la izquierda.

Si suponemos que la frontera se desplaza a una velocidad constante pode-

mos realizar un analisis de volumen de control que se desplaza a una velocidad

constante c hacia la derecha.

La ecuacion de conservacion de masa para este volumen de control es:

d

dt

∫

V

ρdV +

∫

S

ρ~v · ~ndS = 0

Si el flujo es estacionario la primera integral es cero. Si consideramos un flujo

uniforme tenemos∫

Sizq

ρ~v · ~ndS +

∫

Sdere

ρ~v · ~ndS = 0

12.2. PROPAGACION DE UNA PERTURBACION PEQUENA DE PRESION263

entonces

−(ρcS) + (ρ+ dρ)(c− dVx)S = 0

por lo tanto

−ρcS + ρcS − ρdVxS + cdρS − dVxdρS = 0

si despreciamos los terminos que involucran productos de cantidades diferen-

ciales, tenemos

dVx = cdρ

ρ

La conservacion de momentum, en la direccion x, para el mismo volumen

de control es:

d

dt

∫

V

ρVxdV +

∫

S

ρVx~v · ~ndS = Fsx + FV x

Si el flujo es estacionario y no hay fuerzas volumetricas en x, tenemos

∫

S

ρVx~v · ~ndS = Fsx

Por lo tanto

−(ρc)cS + (ρ+ dρ)(c− dVx)(c− dVx)S = PS − (P + dP )S

Simplificando tenemos:

−ρcdVxS = −dPS

lo que se puede reescribir como:

dVx =1

ρcdP

Usando el resultado de la ecuacion de conservacion de masa

cdρ

ρ=c

ρdP


y por lo tanto

c2 =dP

dρ

Si consideramos un gas ideal y que el proceso de compresion se llevo a

cabo de manera isentropica tenemos:

P

ρk= constante.

Por tanto,dP

P− k

dρ

ρ= 0.

EntoncesdP

dρ= k

P

ρ= RT

Finalmente

c =√kRT

Para aire a temperatura ambiente, k = 1.4, R = 286.9 J/(Kg K), T = 293

K, c = 343.1 m/s.

De forma mas general, para otros fluidos y solidos podemos emplear la

definicion del coeficiente de compresibilidad, Ev:

Ev =∂P

(∂ρ)/ρ.

Por lo tanto,

c =

√

Ev

ρ

Para agua, ρ = 1000 Kg/m3, Ev = 2.2× 109, c = 1483 m/s.

12.2.1. Emision sonica y tipos de flujo

Si consideramos la existencia de una fuente de sonido (perturbaciones

de presion), esta viajara a la velocidad c en todas las direcciones. Esto se

muestra esquematicamente en la figura abajo. Si cada pulso de sonido esta


separado por un instante de tiempo ∆t, la separacion entre los diferentes

pulsos de presion estara dado por una distancia radial cδt. El frente de cada

onda sera entonces un cırculo cuyo radio crecera el en tiempo. Los frentes de

onda consecutivos seran entonces cırculos concentricos.

b

Posicion de un pulso sonicodespues de un tiempo ∆t.

Objeto

(V=0)

c(∆t)

c(2∆t)c(3∆t)

Ahora supongamos que el objeto que esta emitiendo pulsos sonicos se

mueve a una velocidad V de izquierda a derecha, como se muestra en la figu-

ra. El objeto se mueve a V < c. El pulso sonico se emitira de lugares distintos

pero la propagacion se dara de la misma manera, radialmente uniforme. No-

te que los pulsos estan menos espaciados en la direccion de movimiento del

objeto. Por lo tanto la frecuencia del sonido enfrente al objeto se incremen-

ta, mientras que detras del objeto la frecuencia es menor. Este es el efecto

Doppler.

b

Objeto se mueve(V<c)

c(∆t)

c(2∆t)c(3∆t)

b b b

V(3∆t)

V(2∆t)

V(∆t)

Ahora consideremos el caso en que la velocidad del objeto es igual a la


velocidad de propagacion del sonido (V = c). En este caso los frentes de

onda no se pueden propagar por enfrente al objeto. Los frentes de onda se

‘enciman’ formando una frontera a traves de la cual la presion se incremen-

ta fuertemente. A esta frontera se le llama onda de choque. Por tanto, un

observador que se encuentre enfrente del objeto en movimiento no escuchara

ningun sonido hasta que el objeto llegue a su posicion.

b

Objeto se mueve(V=c)

c(∆t)

c(2∆t)c(3∆t)

b b b

V(3∆t)

V(2∆t)

V(∆t)

Frontera de avance


Y finalmente, consideremos el caso en que el objeto se mueve a una velo-

cidad mayor a la del sonido (V > c). El objeto se adelanta a los frentes de

sonido que va generando. La frontera de frentes de onda se inclina, formando

un cono de Mach. Por fuera de esta region no se escucha sonido (zona de

silencio).

b

Objeto se mueve(V>c)

c(∆t)

c(2∆t)c(3∆t)

b b b

V(3∆t)

V(2∆t)

V(∆t)

Frontera de avance

α

El angulo del cono de de Mach se puede calcular usando trigonometrıa:

sinα =c∆t

V∆t=

c

V

.

La razon entre la velocidad del objeto (o del flujo) y la del propagacion

del sonido sirve entonces para caracterizar la fenomenologıa de flujos com-

presibles. El numero adimensional, Ma, se define como:

Ma =V

c

Asi podemos definir diferentes regımenes de flujo:

Ma < 1, flujo subsonico. Ventiladores.

Ma > 1, flujo supersonico. Compresores, aviones.

0.9 < Ma < 1.1, flujo transonico.

Ma > 5, flujo hipersonico. Entrada a la atmosfera.


12.3. Flujo compresible unidimensional esta-

cionario

Un flujo unidimensional es aquel en que la velocidad unicamente cambia

en una de las direcciones coordenadas. Es decir

~v = ~v(x; t) o ~v(x; t)

En este caso, por lo tanto, consideramos que el flujo es uniforme en la

direccion perpendicular al movimiento.

Consideremos un flujo a traves de un canal mostrado esquematicamente

en la figura:

ρV AρV A+d(ρV A)

dx

PA PA + d(PA)

τPdx

x

δQδW

(P+dP/2)dA

Considerando un volumen de control de tamano infinitesimal en x, pode-

mos realizar balances de masa, momentum y energıa.

Conservacion de Masa

Para la conservacion de masa tenemos, para el caso estacionario:∫

S

ρ~v · ~ndS = 0

12.3. FLUJO COMPRESIBLE UNIDIMENSIONAL ESTACIONARIO 269

Entonces

−(ρV A) + (ρV A) + d(ρV A) = 0,

por lo tanto

d(ρV A) = 0 ⇒ m = constante

Conservacion de Momentum Lineal

Si consideramos un flujo estacionario y sin fuerzas volumetricas tenemos

para el volumen de control mostrado:∫

S

ρux ~vrel · ~ndS = Fx

El lado izquierdo de la ecuacion da:∫

S

ρux ~vrel · ~ndS = −[ρV 2A] + [ρV 2A+ d(ρV 2A)] = d(ρV 2A),

el cual, usando el resultado de la ecuacion de conservacion de masa, se puede

escribir como:

d(ρV 2A) = d(mV ) = mdV = ρV AdV.

Las fuerzas en x, Fx, son:

Fx = [PA]− [PA+ d(PA)] + [(P + dP/2)dA)]− [τPdx]

Simplificando y eliminado productos de diferenciales tenemos:

Fx = −d(PA) + PdA− τPdx = −AdP − τPdx.

El ultimo termino de la expresion anterior representa la perdidas por

friccion viscosa. Este se puede reescribir usando el factor de friccion para

flujo en tuberıas, f :

τPdx =

(ρV 2

2

)(4fA

Dh

)

dx

donde Dh es el diametro hidraulico, Dh = 4A/P .


Por lo tanto, la ecuacion de conservacion de momentum lineal resulta en:

dP + ρV dV +

(ρV 2

2

)(4f

Dh

)

dx = 0 (12.7)

Si el flujo es inviscido, sin friccion, la ecuacion anterior se simplifica a:

dP + ρV dV = 0

o ∫dP

ρ+V 2

2= constante (12.8)

la cual es, de hecho, la ecuacion de Bernoulli para un fluido compresible.

Si el fluido es incompresible, entonces recuperamos la ecuacion clasica de

Bernoulli:P

ρ+V 2

2= constante

Para la ecuacion de Bernoulli compresible, podemos considerar la ecua-

cion de gas ideal, P = ρRT para evaluar la primera integral:

RT lnP

Po+V 2

2= C

donde Po es una presion de referencia. Esta ecuacion es, entonces, la ecuacion

de Bernoulli para un flujo compresible isotermico.

Si consideramos en caso de un flujo isentropico, sabemos que P/ρk =

constante. Entonces, la integral∫dP/ρ se puede escribir como:

∫dP

ρ= C1/k

∫

P−1/kdP = C1/k

(k

k − 1

)(

Pk−1k − P

k−1k

o

)

pero la constante C esta dada por C = P/ρk = Po/ρko , entonces

(k

k − 1

)P

ρ+V 2

2= constante

y finalmente,

CpT +V 2

2= constante (12.9)

es la ecuacion de Bernoulli para el flujo isentropico de un gas ideal.

12.4. RELACIONES PARA FLUJO ISENTROPICO DE UNGAS IDEAL271

Conservacion de Energıa

La ecuacion de conservacion de energıa para un volumen de control es:

d

dt

∫

V

ρedV+

∫

S

ρ(h+ V 2/2 + gz) ~vrel · ~ndS = Q− W

Si el flujo es estacionario, la primera integral es cero. Despreciando los

efectos gravitacionales, el flujo de energıa neto a traves de las paredes del

volumen de control es:∫

S

ρ(h+V 2/2) ~vrel·~ndS = m[−[(h + V 2/2)] + [(h+ V 2/2) + d(h+ V 2/2)]

]= md(h+V 2/2)

Por lo tanto:

d(h+ V 2/2) = δq − δw.

Para un flujo adiabatico y sin trabajo (o sea isentropico):

h+V 2

2= constante

lo cual es consistente con la ecuacion obtenida a traves de la conservacion de

momentum lineal ya que h = CPT para un gas ideal.

12.4. Relaciones para flujo isentropico de un

gas ideal

La ecuacion de Bernoulli para el flujo isentropico de un gas ideal se puede

reescribir como:

CPT +V 2

2= constante

Considerando la definicion del numero de Mach, podemos reescribir esta

relacion como:

CPT +(kRT )Ma2

2= constante

y de la relacion:

R =k − 1

kCP


podemos escribir:

T

(

1 +k − 1

2Ma2

)

= constante

Considerando queP

ρk= constante

podemos escribir

P = (constante)Tk

k−1

y

ρ = (constante)T1

k−1

para dar:

P

(

1 +k − 1

2Ma2

) kk−1

= constante

y

ρ

(

1 +k − 1

2Ma2

) 1k−1

= constante.

12.4.1. Propiedades isentropicas de estancamiento

Es util tener propiedades de referencia en un flujo compresible. Estas se

pueden obtener de las relaciones anteriores suponiendo que toda la energıa

cinetica del flujo se transforma en energıa termica o de presion. Para esto

podemos hacer el balance entre dos puntos del flujo y suponemos que en uno

de los puntos la velocidad del flujo es cero:

Entonces:

T

(

1 +k − 1

2Ma2

)

= To

(

1 +k − 1

2(0)2

)

por lo tanto:

T

To=

(

1 +k − 1

2Ma2

)−1

12.4. RELACIONES PARA FLUJO ISENTROPICO DE UNGAS IDEAL273

y de manera analoga:

P

Po=

(

1 +k − 1

2Ma2

) k1−k

y

ρ

ρo=

(

1 +k − 1

2Ma2

) 11−k

12.4.2. Propiedades sonicas

De manera similar, podemos calcular otra condicion de referencia que co-

rresponda a punto del flujo en el cualMa = 1. Estas condiciones se identifican

con el superındice ‘*’.

Entonces,

T ∗

To=

(

1 +k − 1

2

)−1

y

P ∗

Po=

(

1 +k − 1

2

) k1−k

y

ρ∗

ρo=

(

1 +k − 1

2

) 11−k

Es interesante notar que las propiedades sonicas unicamente dependen

del tipo de gas (el valor de k). Entonces para aire (k = 1.4):

T ∗

To= 0.8333

yP ∗

Po= 0.5283

yρ∗

ρo= 0.6339


Ejemplo

Suponga que existe un flujo isentropico de aire de un punto 1 a un punto

2 en un ducto. Si en el punto 1:

Ma = 0.3

A=0.001 m2

P=650 kPa

T=62 oC

calcule las propiedades del flujo en el punto 2, considerando que Ma2 = 0.8.

Solucion. Si el flujo entre 1 y 2 ocurre de manera isentropica, las condi-

ciones de estancamiento son las mismas para ambos puntos:

(To)1 = (To)2 = T1(1 +k − 1

2Ma2).

Al sustituir valores, tenemos

(To)1 = (To)2 = 341K.

Una vez conocida la condicion de estancamiento, podemos inferir las pro-

piedades en el punto 2 (pues se conoce Ma2):

T2 =(To)2

1 + k−12Ma22

= 302K

Consecuentemente:

c2 =√

kRT2 = 348m/s

y

V2 =Ma2c2 = 278m/s

La presion P2 se puede calcular de la relacion isentropica:

P2 = P1

(T2T1

) kk−1

= P1(0.696) = 452kPa.

El area en 2 es

A2 = A1ρ1ρ2

V1V2

=

12.5. FLUJOS CON CAMBIO DE AREA 275

Comparasion con un flujo incompresible

12.5. Flujos con cambio de area

Una parte interesante del flujo compresible es el efecto del cambio de area

en las propiedades del flujo.

Consideremos la ecuacion de conservacion de momentum lineal (Eqn. xx)

obtenida anteriormente:dP

ρ+ V dV = 0

entoncesdP

ρV 2= −dV

V

De la ecuacion de conservacion de masa (Eqn. xxx), tenemos que

m = ρV A = textconstante.

Esta ecuacion se puede reescribir

ln ρ+ lnA+ lnV = ln(constante)

que al diferenciar da:dρ

ρ+dA

A+dV

V= 0

odA

A= −dρ

ρ− dV

V

Usando la ecuacion de conservacion de momentum lineal podemos rees-

cribir:dA

A=

dP

ρV 2− dρ

ρ

El ultimo termino del lado derecho se puede reexpresar como:

dρ

ρ=dP

ρc2.

Por lo tanto:dA

A=

dP

ρV 2

(1−Ma2

)


o en terminos de la velocidad

dA

A= −dV

V

(1−Ma2

)(12.10)

Con base en las expresiones anteriores podemos analizar el comporta-

miento del flujo para el caso subsonico y supersonico.

Para Ma < 1 tenemos que (1−Ma2) > 0 (positivo), entonces:

• Si el conducto es convergente, dA negativo, entonces dV sera posi-

tivo: la velocidad aumenta. Tambien dP sera negativo, la presion

decae.

• Si el conducto es divergente, dA positivo, entonces dV sera ne-

gativo: la velocidad disminuye. En este caso dP sera positivo: la

presion crece.

Para Ma > 1 tenemos que (1−Ma2) < 0 (negativo), entonces:

• Si el conducto es convergente, dA negativo, entonces dV sera nega-

tivo: la velocidad disminuye. Tambien dP sera positivo, la presion

aumenta.

• Si el conducto es divergente, dA positivo, entonces dV sera posi-

tivo: la velocidad crece. En este caso dP sera negativo: la presion

decrece.

¿Que pasa si Ma=1? Para este caso

dA

dV= 0

Esto lo podemos interpretar como un mınimo en el area. En otras pala-

bras Ma = 1 unicamente se puede alcanzar en la garganta de un canal

convergente-divergente.

12.6. TOBERA CONVERGENTE-DIVERGENTE 277

V < c

V = cacceleracion acceleracion

V < c

12.6. Tobera convergente-divergente

Consideremos la tobera mostradas en la figura.

Del lado izquierdo, el flujo entra a una velocidad subsonica. Al moverse a

traves de una tobera convergente el flujo se acelera. Al llegar a la garganta, el

flujo puede, o no, alcanzar la condicion sonica. Si no lo hace, la velocidad agua

abajo de la garganta vuelve a disminuir. Si si alcanza la velocidad sonica en

la garganta, entonces el flujo se hace supersonico y acelera aun mas al pasar

por una tobera divergente.

Podemos determinar si el area en la garganta es lo suficientemente pe-

quena para que se de la condicion sonica en ella. Para que Ma = 1 en la

garganta el area tiene que ser crıtica: A = A∗.

Entonces para m =constante, tenemos:

A∗

A=ρV

ρ∗c=

1

Ma

ρ

ρ∗

√

T ∗

T

la cual se puede manipular resultando en:

A∗

A=

1

Ma

[

1 + k−12Ma2

1 + k−12

] k+12(k−1)

12.7. Flujo ahogado

Consideremos ahora el flujo de un fluido compresible desde un contenedor

a presion, hacia el medio ambiente. El medio exterior se encuentra a una


presion PB y el tanque se encuentra a condiciones de estancamiento: Po, To

y ρo.

Condicion ambiental

PB

Condicion deestancamiento

Po

Toρo

Condicion degarganta

Podemos identificar varias condiciones de flujo:

Cuando Po = PB, no hay flujo porque no hay un gradiente de presion

que impulse al flujo. Conforme PB decrece (o Po crece), se genera una

onda de presion hacia adentro del tanque y el flujo comienza y se mueve

hacia afuera.

Si la razon PB/Po decrece podemos esperar que la velocidad del flujo en

la garganta, Vtr, crezca y por lo tanto que el gasto masico, m, tambien

crezca.

Dentro del tanque, y hacia la garganta, podemos esperar que el flujo se

subsonico pues la condicion de inicio es de estancamiento. Por tanto, la

presion en la garganta sera entonces Ptr = PB. Esto lo podemos explicar

de la siguiente manera: si Ptr > PB entonces el flujo se expandirıa

despues de la garganta y la velocidad del chorro se reducirıa, y por lo

tanto la presion crecerıa. Entonces la condicion de que la presion debe

de ser PB no se cumplirıa. Por lo tanto la suposicion es incorrecta.

Si PB/Po continua decreciendo, eventualmente la velocidad del flujo en

la garganta alcanzara la velocidad sonica (Vtr = V ∗ = c). Entonces la

12.7. FLUJO AHOGADO 279

presion en la garganta sera

Ptr

Po=PB

Po=P ∗

Po=

(

1 +k − 1

2

) k1−k

y la velocidad en la garganta sera:

Vtr = V ∗ = c =√kRT ∗

Aunque PB/Po continue disminuyendo, la velocidad en la garganta no

podra incrementarse por encima de valor sonico. A esta condicion se le

denomina flujo ahogado.

El maximo flujo posible es entonces:

mA = ρ∗A∗V ∗

Las propiedades sonicas se calculan con las expresiones desarrolladas

anteriormente.

La siguiente figura muestra como es que cambia el gasto masico como funcion

de la razon Pb/Po.

FIGURA.

Una manera sencilla de comprobar si el flujo esta ahogado o no consiste

en verificar si la presion exterior es menor o no que la presion sonica. En

otras palabras si

Pb

Po≤ P ∗

Po=

(

1− k − 1

2

) k1−k

entonces el flujo esta ahogado (Ptr = Po).

Ejemplo:Se tiene un contenedor a 1 MPa y una temperatura de 333 K

con aire. Si se abre un agujero de 0.001 m2 determinar el gasto masico

de salida si la presion ambiental es 590 kPa. Determine si el flujo esta

ahogado o no. Repita el calculo para 500 kPa.

El primer paso es verificar si el flujo esta ahogado. Para ello calcula-


mosPB

Po

=5.9× 105

1.0× 106= 0.591 > 0.528.

Por lo tanto el flujo no esta ahogado.

Entonces Ptr = PB. Usando la relacion:

Ptr

Po

=

(

1 +k − 1

2Ma2tr

) k1−k

podemos despejar el Matr , lo que resulta en Matr = 0.9.

La temperatura en la garganta se obtiene de:

ToTtr

=

(

1 +k − 1

2Ma2

)

por lo que Ttr = 287 K.

El gas masico es m = ρtr(Matrctr)Atr por lo tanto

m =

(Ptr

RTtr

)

Matr√

kRTtrAtr = 2.20kg/s

Ahora, si PB = 500 kPa:

PB

Po

=5.0× 105

1.0× 106= 0.50 < 0.528,

que indica que el flujo esta ahogado.

Para este caso, mmax = ρ∗V ∗Atr. Entonces, usando

T ∗

To=

(

1 +k − 1

2

)−1

tenemos T ∗ = 277.5 K por lo que:

V ∗ = c =√kRT ∗ = 333.9m/s

12.8. OTROS TEMAS DE INTERES EN FLUJO COMPRESIBLE 281

y de

ρ∗

ρo=

(

1 +k − 1

2

) 11−k

encontramos que ρ∗ = 0.2ρo. Entonces,

m = 3.93kg/s

12.8. Otros temas de interes en flujo compre-

sible

Este capıtulo es solo una introduccion breve al tema general de dinamica

de gases y flujo compresible. Hay un gran cantidad de temas que no se han

cubierto en estas notas. Si se desea profundizar en estos temas o continuar con

otros se debe de consultar algun libro especializado. Consultar por ejemplo

Liepmann and Roshko [2002].

cap´ıtulo 12 introducción a flujo compresible · 262 capítulo 12. flujo compresible 12.2....

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