Capítulo 9

Procesos de transporte

1

Flujo

El flujo de una magnitud a través de una superficie es la cantidad dela misma que atraviesa la superficie por unidad de tiempo.

Tipos de flujos:Partículas: s−1

Volumen: m3s−1

Masa: kg s−1

Energía: W

Carga eléctrica: A

El número de Avogadro y la masa molecular nos permiten pasar de unflujo de partículas a uno de masa. La densidad nos transforma un flujo demasa en uno de volumen.

La densidad de flujo es el flujo a través de una superficie dividido por elárea de la misma.

Movimiento de difusión

El recorrido libre medio l corresponde a la distancia media que recorreuna partícula entre dos colisiones. Dicha distancia dividida por la veloci-dad media es eltiempo de colisión.

El recorrido libre medio vale:

l =1

4πa2np

siendoa el radio molecular ynp la densidad de partículas.

La velocidad media de una molécula de gas viene dada por:

v =

√√√√3kT

m

y el tiempo de colisión por:

τ = l

√m

3kT.

Primera ley de Fick

La densidad de flujo jx de un determinado tipo de partículas en unpunto es proporcional al gradiente de su concentración correspon-diente:

jx = −Ddndx

La constante de proporcionalidadD se denominacoeficiente de difu-sión.

En el caso general, en que hay una posible dependencia temporal, la ecua-ción de continuidad es:

−∂j∂x

=∂n

∂t.

Segunda ley de Fick

En el caso unidimensional tenemos:

∂n

∂t= D

∂2n

∂x2

En el caso tridimensional:

∂n

∂t= D

∂2n

∂x2 +∂2n

∂y2 +∂2n

∂z2

Esta ecuación recibe el nombre de ecuación de la difusión y describeel transporte de partículas por difusión.

Coeficiente de difusión

El coeficiente de difusión de un gas en otro es aproximadamente igual a:

D = vl =v

4πa2n

a es un valor medio de los radios moleculares de los dos tipos de partícu-las. La velocidad media es proporcional a

√T , mientras que la densidad

es inversamente proporcional aT , yD es proporcional aT 3/2.

El coeficiente de difusión se mide en m2/s.

Einstein encontró que para una partícula en un fluidoD vale:

D =kT

F=

kT

6πηa

η es el coeficiente de viscosidad ya el radio de la partícula.

Caso estacionario unidimensional

La densidad de flujo es igual a:

j = −Dn2 − n1

x2 − x1

n1 y n2 son las concentraciones en los puntosx1 y x2, respectivamente.

La concentración es:

n = n1 + (n2 − n1)x− x1

x2 − x1

Caso estacionario esférico

La densidad de flujo es de la forma:

j =b

r2

en donde la constanteb vale:

b =D(n2 − n1)

1

r2− 1

r1

La concentración es igual a

n = n1 +b

D

(1

r− 1

r1

)

La difusión desde una zona pequeña a todo el espacio corresponde a con-siderarn2 = 0 enr2 =∞.

Dependencia temporal

El tiempo de igualación de una diferencia de concentraciones entre dosregiones a una distanciaL es aproximadamente:

t ≈ L2

D

La distancia que recorre una partícula en función del tiempo en un movi-miento de difusión es:

L ≈√Dt

Difusión del calor

La densidad del flujo de calor es proporcional al gradiente de tempe-raturas

Q

St= −K∆T

∆x

K se denominaconductividad térmica, y se mide en W/(m K).

La temperatura se difunde de forma similar a las partículas. El coeficientede difusión térmica vale:

Dt =K

ρcp

El coeficiente de difusión térmica del aire vale1.9 · 10−5 m2/s.

Problemas estacionarios

Caso unidimensional:entre dos puntosx1 y x2, a temperaturasT1 y T2,se establece un flujo calorífico:

Q

St= −KT2 − T1

x2 − x1

La temperatura, a su vez, es:

T = T1 +T2 − T1

x2 − x1(x− x1)

Caso esférico:la densidad de flujo calorífico es:

jq =K(T2 − T1)

r2

(1

r2− 1

r1

)−1

La temperatura varía de la forma:

T = T1 + (T2 − T1)1r −

1r1

1r2− 1

r1

Otras formas de transporte calorífico

Convección: se produce cuando el medio en sí se mueve formando unacorriente.

Radiación: El calor perdido (o ganado) por unidad de área y de tiempo,R, viene dado por:

R = εσ(T 4 − T 40 )

en dondeσ es la constante de Stefan–Boltzmann, igual a5.7·10−8 W/(m2K4),ε es la emisividad del cuerpo, es aproximadamente igual a 0.3;T es latemperatura absoluta del cuerpo yT0 la del entorno.

Evaporación: el calor latente de evaporación vale, aproximadamente,2.4× 106 J kg−1.

Presión osmótica

La presión osmótica es igual a:

po =nsRT

V=NskT

V

en dondens es el número de moles yNs el de partículas del soluto.

Si existen varias sustancias disueltas, la presión osmótica es la suma delas presiones debidas a cada una de ellas.

La osmolaridad es igual al número de moles de solutos impermeables porlitro de disolución.

La presión osmótica correspondiente a una disolución de osmolaridadigual a la unidad es de 22.4 atm.

La energía necesaria para separar por ósmosis inversa es:

W = p∆V

Transporte a través de membranas

La densidad de flujoj a través de una membrana es:

j = −L∆p

L es elcoeficiente de filtraciónde la membrana igual a:

L =CπR4

8ηd

R es el radio de un poro yd el grosor de la membrana.

La densidad de flujo de soluto en una disolución es proporcional a ladiferencia de concentraciones:

js = −ωRT ∆n

ω recibe el nombre de permeabilidad de la membrana.

Si el transporte es por difusiónωRT = D/d, y si es a través de poros:

ωRT =CπR2D

d

Problema 9.1

Las moléculas de un gas poseen una masa de 46 u. Elgas tiene una densidad de 1.5 kg/m3. En un punto existeun flujo de partículas de 5 · 1020 s−1. Obtén el flujo de vo-lumen y el flujo de masa correspondientes a dicho flujo departículas.

Problema 9.2

El flujo de partículas de una sustancia disuelta en un líqui-do es de 3 · 1019 s−1. El flujo de masa correspondiente esde 10−5 kg/s. ¿Cuál es la masa molecular de la sustancia?

Problema 9.3

Calcula el recorrido libre medio de un gas a una presiónde 0.5 atm y una temperatura de 100 K. Supón un radiomedio de las moléculas de 3 Å.

Problema 9.4

Estima el coeficiente de difusión de la hemoglobina en elagua a 20◦C, sabiendo que η = 0.001 N s/m2 y que el radioefectivo de la hemoglobina es de 5.2 nm.

Problema 9.5

Tenemos una disolución acuosa de azúcar entre los pla-nos de coordenadas x = 0 y x = 0.2 m. La concentraciónde azúcar en el primer plano es constante, igual a 2 mol/ly en el segundo igual a 0.2 mol/l. Calcula:(a) la concentración de azúcar entre los dos planos,(b) la densidad de flujo de partículas de azúcar,(c) la densidad de flujo de masa, sabiendo que la masa

molecular del azúcar es de 180 u,(d) la velocidad de arrastre de las partículas de azúcar,(e) su velocidad media a una temperatura de 0◦C,(f) el radio efectivo de la molécula de azúcar (a partir del

coeficiente de difusión).

Problema 9.6

Un objeto de 1 mm de radio sumergido en agua despren-de una sustancia con una concentración de 10−4 mol/l. Elcoeficiente de difusión de la sustancia en el agua es de10−9 m2/s. ¿Cuántas partículas de la sustancia se difun-den hacia el agua por minuto?

Problema 9.7

Dejamos una mota de tinta en agua. Si el coeficiente dedifusión de la tinta utilizada en el agua es de 10−9 m2/s,¿cuánto tiempo tarda la tinta en ocupar una nube esféricade 10 cm de radio?

Problema 9.8

Tenemos una barra de hierro de 0.1 m2 de sección y 0.7 mde longitud. Uno de sus extremos se mantiene a 150◦C yel otro a 0◦C. Determina:(a) la temperatura a lo largo de la barra,(b) la densidad de flujo calorífico,(c) las calorías que se han transmitido por la barra en

una hora.

Problema 9.9

¿Cuánto desciende en un segundo la temperatura de uncubito de hielo de 3 cm de radio y a −30◦C cuando estáen contacto con agua a 25◦C? ¿Qué tiempo tardaría enalcanzar los 0◦C?

Problema 9.10

Calcula la conductividad térmica del aire a partir de su coe-ficiente de difusión térmica, densidad y calor específico.

Problema 9.11

Si la temperatura en nuestra piel es de 37◦C y en nuestroentorno de 24◦C, y podemos suponer que el calor se di-funde como si fuéramos un objeto esférico de 1.8 m2 desuperficie, ¿cuánto calor por unidad de tiempo perdemospor conducción?

Problema 9.12

Halla la potencia perdida por radiación por una persona de1.7 m2 de superficie corporal y 37◦C de temperatura en unlugar a 20◦C. Supón un coeficiente de emisividad de 0.3.

Problema 9.13

La concentración de hemoglobina en el interior de un gló-bulo rojo posee una osmolaridad de 0.01 mol/l. Determinala presión osmótica que se establece cuando sumergimosun glóbulo rojo en agua destilada a 20◦C.

Problema 9.14

¿Cuántos kilogramos de glucosa hay que disolver por me-tro cúbico de agua para obtener una disolución isotónica,o sea, de 0.3 osmol/l? La masa molecular de la glucosa esde 180 u. ¿Cuál será la presión osmótica de la disolucióna 36◦C?

Problema 9.15

¿Qué cantidad de cloruro sódico hay que añadir por litrode agua para obtener la misma presión osmótica que ladel agua del mar, que es de 25.8 atm a 20◦C? (Supón quela sal se disocia completamente.)

Problema 9.16

¿Qué energía mínima se necesita para desalinizar por ós-mosis inversa 1 m3 de agua con una osmolaridad de 1.1osmol/l a 23◦C? Compara el resultado con la energía re-querida para evaporar la misma cantidad de agua. Si elprecio de 1 kW-h de energía es de 15 pesetas, ¿cuál es elcosto mínimo para desalinizar 1 m3 de dicha agua?

Problema 9.17

La presión osmótica de una disolución acuosa a 25◦C esde 2.5 atm y su densidad es de 1.02 kg/l. ¿Cuál es la masamolecular del soluto?

Problema 9.18

Si la presión osmótica del plasma es de 28 mm de Hg,¿qué potencia neta consumen los riñones para filtrar 180litros diarios del mismo por ósmosis inversa?

Problema 9.19

Un recipiente con una disolución acuosa de masa molecu-lar 200 u está separado por una membrana semipermea-ble de otro con agua pura. Si la temperatura es de 20◦Cy la diferencia de niveles de los recipientes es de 1 cm,¿Cuál es la concentración de la disolución?

Problema 9.20

Una membrana de 0.5 mm de espesor posee 100 porospor centímetro cuadrado. El radio de un poro es de 0.6mm, y el área de la membrana de 0.1 m2. La membranaconstituye la base de un cilindro lleno de agua, hasta unaaltura de 1 m. Determina:(a) el coeficiente de filtración de la membrana,(b) el volumen de agua que atraviesa la membrana por

unidad de tiempo al principio,(c) la variación de la altura de la columna de agua con el

tiempo.

Problema 9.21

Una máquina de diálisis posee una membrana que separael fluido corporal cuyo contenido de uréa se quiere reducirde un volumen muy grande de fluido, que podemos supo-ner que no contiene uréa. El área de la membrana es de0.5 m2 y la permeabilidad es de ωRT = 7 · 10−6 m/s. Elfluido corporal que deseamos filtrar posee un volumen de30 l y una concentración de nitrógeno de 0.9 g/l. Calcu-la el flujo de nitrógeno que se filtra inicialmente. Pruebaque la concentración de nitrógeno en el fluido es una fun-ción exponencial, si suponemos infinito el volumen del lí-quido externo. Encuentra el tiempo necesario para reducirla concentración de nitrógeno a la mitad.

9.1 Las moléculas de un gas poseen una masa de 46 u. El gas tiene unadensidad de 1.5 kg/m3. En un punto existe un flujo de partículas de 5 · 1020 s−1.Obtén el flujo de volumen y el flujo de masa correspondientes a dicho flujo departículas.

Un mol de la sustancia considerada pesa 46 g y contieneNA moléculas.Por tanto, el flujo de masa es:

φmasa = φpart0.046

NA= 5 · 1020 0.046

6.022 · 1023 = 3.82 · 10−5 kg/s.

La densidad es el factor que nos pasa de flujo de masa a flujo de volumen:

φvol =φmasa

ρ=

3.82 · 10−5

1.5= 2.55 · 10−5 m3/s.

9.2 El flujo de partículas de una sustancia disuelta en un líquido es de 3 · 1019

s−1. El flujo de masa correspondiente es de 10−5 kg/s. ¿Cuál es la masamolecular de la sustancia?

La masa molecular de la sustancia es:

x =NAφmasa

φpart1000 =

6.022 · 1023 10−5

3 · 1019 1000 = 201 u.

9.3 Calcula el recorrido libre medio de un gas a una presión de 0.5 atm y unatemperatura de 100 K. Supón un radio medio de las moléculas de 3 Å.

El recorrido libre medio depende de la densidad de partículas, dada por:

np =N

V=nNA

V=

pV

V kT=

0.5 · 1.013 · 105

1.38 · 10−23 373= 9.84 · 1024 m−3.

El recorrido libre medio es:

l =1

4πa2np=

1

4π9 · 10−20 9.84 · 1024 = 9.0 · 10−8 m.

9.4 Estima el coeficiente de difusión de la hemoglobina en el agua a 20◦C,sabiendo que η = 0.001 N s/m2 y que el radio efectivo de la hemoglobina es de5.2 nm.

El coeficiente de difusión de la hemoglobina en agua es:

D =kT

6πηa=

1.38 · 10−23 293

6π 0.001 · 5.2 · 10−9 = 4.13 · 10−11 m2/s.

9.5 Tenemos una disolución acuosa de azúcar entre los planos de coordena-das x = 0 y x = 0.2 m. La concentración de azúcar en el primer plano esconstante, igual a 2 mol/l y en el segundo igual a 0.2 mol/l. Calcula:

(a) la concentración de azúcar entre los dos planos,

(b) la densidad de flujo de partículas de azúcar,

(c) la densidad de flujo de masa, sabiendo que la masa molecular del azúcares de 180 u,

(d) la velocidad de arrastre de las partículas de azúcar,

(e) su velocidad media a una temperatura de 0◦C,

(f) el radio efectivo de la molécula de azúcar (a partir del coeficiente de difu-sión).

(a) La concentración de azúcar entre los planos variará linealmente conla distancia y por tanto:

n(x) = n1 + (n2 − n1)x− x1

x2 − x1= 2− 1.8

x

0.2= 2− 9x mol/l.

(b) La densidad de flujo viene dada por:

j = −Dn2 − n1

x2 − x1= −3 · 10−10 (0.2− 2) 1000

0.2

= 2.7 · 10−6 mol/(s m2).

Y la densidad de flujo de partículas es igual a:

jp = jNA = 2.7 · 10−6 6.022 · 1023 = 1.63 · 1018 s−1m−2.

(c) La densidad de flujo de masa es:

jm = 2.7 · 10−6 180 · 0.001 = 4.86 · 10−7 kg/(s m2).

(d) La velocidad de arrastre la deducimos a partir de la densidad de flu-jo de partículas y de la densidad de partículas. Si una cantidadj de

partículas atraviesa una sección unidad es como si lasn partículaspor unidad de volumen poseyeran una velocidad igual a:

va =jp

np=

2.7 · 10−6NA

n(x)NA=

2.7 · 10−6

(2− 9x)1000

=2.7

2− 9x10−9 m/s.

(e) La velocidad media de las moléculas de azúcar viene dada por:

v =

√√√√3kT

m=

√√√√3 · 1.38 · 10−23 · 273

180 · 1.66 · 10−27 = 194 m/s.

(f) El radio efectivo de la molécula de azúcar será:

a =kT

6πηD=

1.38 · 10−23 273

6π0.001 · 3 · 10−10 = 6.66 · 10−10 m.

9.6 Un objeto de 1 mm de radio sumergido en agua desprende una sustanciacon una concentración de 10−4 mol/l. El coeficiente de difusión de la sustanciaen el agua es de 10−9 m2/s. ¿Cuántas partículas de la sustancia se difundenhacia el agua por minuto?

La densidad de flujo en el caso estacionario esférico viene dada por:

j =b

r2 =1

r2

D(n2 − n1)1r2− 1

r1

=Dn1r1

r2 .

Hemos supueston2 = 0 y r2 =∞. El flujo de partículas es:

φp = 4πr2jNA = 4πDn1r1jNA = 4π 10−9−4+3−3 6.022 · 1023

= 7.57 · 1011 s−1 = 4.54 · 1013 1/min.

9.7 Dejamos una mota de tinta en agua. Si el coeficiente de difusión de la tintautilizada en el agua es de 10−9 m2/s, ¿cuánto tiempo tarda la tinta en ocuparuna nube esférica de 10 cm de radio?

El tiempo que tarda una sustancia en difundirse es:

t =L2

D=

0.12

10−9 = 107 s.

9.8 Tenemos una barra de hierro de 0.1 m2 de sección y 0.7 m de longitud.Uno de sus extremos se mantiene a 150◦C y el otro a 0◦C. Determina:

(a) la temperatura a lo largo de la barra,

(b) la densidad de flujo calorífico,

(c) las calorías que se han transmitido por la barra en una hora.

(a) Supongamos que el extremo a0◦C se encuentra enx = 0 y el otroenx = L = 0.7 m. La temperatura en función dex es:

T = T1 +T2 − T1

Lx =

150

0.7x = 214x ◦C.

(b) La densidad de flujo calorífico viene dada por:

jq = −kT2 − T1

x2 − x1= −75

150

0.7= −1.61 · 104 W/m2.

(c) Durante 1 hora la barra transmite un total de calorías igual a:

Q = |jq|St = 1.61 · 104 0.1 · 3600 = 5.79 · 106 J = 1390 kcal.

9.9 ¿Cuánto desciende en un segundo la temperatura de un cubito de hielode 3 cm de radio y a −30◦C cuando está en contacto con agua a 25◦C? ¿Quétiempo tardaría en alcanzar los 0◦C?

La densidad de flujo calorífico en el caso esférico viene dada por

jq =b

r2 =1

r2

K(T2 − T1)1

r2− 1

r1

=1

r2 0.54 (25 + 30) 0.03 =0.89

r2 W/m2.

El descenso de temperatura del hielo en un segundo es:

∆T =Q

cpm=

4πr2jqt

cpm=

4π 0.89 · 12090 4

3π 0.033 920= 0.051◦C.

La ecuación que nos da el cambio de temperatura es:

dT

dt=

4πr2jq

cpm=

4πKr1

cpm(25− T )

=4π 0.54 · 0.03

2090 43π 0.033 920

(25− T ) = 9.4 · 10−4(25− T ).

La solución a esta ecuación es de la forma:

T = 25− Ae−αt.

A ha de ser55◦C para que ent = 0 la temperatura seaT = −30◦C.α sedetermina a partir de la ecuación diferencial y sale:α = 9.4 · 10−4 1/s.El tiempo necesario para llegar aT = 0◦C es:

0 = 25− 55e−αt =⇒ t =1

αln

55

25=

0.79

9.4 · 10−4 = 839 s.

9.10 Calcula la conductividad térmica del aire a partir de su coeficiente de di-fusión térmica, densidad y calor específico.

La conductividad térmica es igual a:

K = Dtρcp = 1.9 · 10−5 1.2 · 1006 = 2.29 · 10−2 W/(m K).

El valor experimental es de 0.024 W/(m K).

9.11 Si la temperatura en nuestra piel es de 37◦C y en nuestro entorno de24◦C, y podemos suponer que el calor se difunde como si fuéramos un objetoesférico de 1.8 m2 de superficie, ¿cuánto calor por unidad de tiempo perdemospor conducción?

El calor que perdemos por conducción por unidad de tiempo es:

Q

t= jq4πr2 = 4πK(T2 − T1)r1

= 4π0.024(24− 37)

√√√√1.8

4π= 1.48 J/s.

Hemos supuesto que la temperatura de nuestro entorno se consigue enr2 =∞.

9.12 Halla la potencia perdida por radiación por una persona de 1.7 m2 desuperficie corporal y 37◦C de temperatura en un lugar a 20◦C. Supón un coefi-ciente de emisividad de 0.3.

El calor perdido por radiación por unidad de tiempo es:

Q

t= Sεσ(T 4 − T 4

0 ) = 1.7 · 0.3 · 5.7 · 10−8(3104 − 2934) = 54 J/s.

9.13 La concentración de hemoglobina en el interior de un glóbulo rojo poseeuna osmolaridad de 0.01 mol/l. Determina la presión osmótica que se establececuando sumergimos un glóbulo rojo en agua destilada a 20◦C.

La presión osmótica entre el interior y el exterior de un glóbulo rojo es:

p =nRT

V= 0.01 · 103 8.315 · 293 = 2.44 · 104 N/m2 = 0.24 atm.

9.14 ¿Cuántos kilogramos de glucosa hay que disolver por metro cúbico deagua para obtener una disolución isotónica, o sea, de 0.3 osmol/l? La masamolecular de la glucosa es de 180 u. ¿Cuál será la presión osmótica de ladisolución a 36◦C?

Suponiendo que todas las moléculas de azúcar se disocian, la cantidadque necesitamos es:

m = cV = 0.3 · 103 0.18 = 54 kg.

La presión osmótica es:

p =nRT

V= 0.3 · 103 8.315 · 309 = 7.7 · 105 N/m2 = 7.6 atm.

9.15 ¿Qué cantidad de cloruro sódico hay que añadir por litro de agua paraobtener la misma presión osmótica que la del agua del mar, que es de 25.8 atma 20◦C? (Supón que la sal se disocia completamente.)

El número de osmoles por litro que producen la presión osmótica dada esde:

n =pV

RT=

25.8 · 1.013 · 105−3

8.315 · 293= 1.07 osmoles.

Suponiendo una disociación total, estos osmoles equivalen a una masade:

m = 1.0758.8

2= 31.5 g.

en donde 58.8 u es la masa molecular del cloruro sódico, y el factor 2 sedebe a que se disocia en dos iones.

9.16 ¿Qué energía mínima se necesita para desalinizar por ósmosis inversa 1m3 de agua con una osmolaridad de 1.1 osmol/l a 23◦C? Compara el resulta-do con la energía requerida para evaporar la misma cantidad de agua. Si elprecio de 1 kW-h de energía es de 15 pesetas, ¿cuál es el costo mínimo paradesalinizar 1 m3 de dicha agua?

La presión osmótica correspondiente a agua con esa osmolaridad es:

p =nRT

V= 1.1 · 103 8.315 · 296 = 2.71 · 106 N/m2.

El trabajo mínimo que hemos de hacer para desalinizar 1 m3 de esa aguaes:

W = pV = 2.71 · 106 1 = 2.71 · 106 J.

La energía requerida para evaporar esa cantidad de agua (supuesta ya a100◦C) es:

E = mLV = 1000 · 2.26 · 106 = 2.26 · 109 J.

El costo mínimo de desalinización por metro cúbico de agua es:

C = 2.71 · 106 15

1000 · 3600= 11.3 pts.

9.17 La presión osmótica de una disolución acuosa a 25◦C es de 2.5 atm y sudensidad es de 1.02 kg/l. ¿Cuál es la masa molecular del soluto?

El número de moles disueltos en un litro será:

n =pV

RT=

2.5 · 1.013 · 105−3

8.315 · 298= 0.102 moles.

Estos moles han de corresponder a 20 g, pues la densidad total es 1.02kg/l. Así, la masa molecular del soluto es:

m =20

0.102= 196 u.

9.18 Si la presión osmótica del plasma es de 28 mm de Hg, ¿qué potencianeta consumen los riñones para filtrar 180 litros diarios del mismo por ósmosisinversa?

La potencia que consumen los riñones es igual a:

P =W

t=pV

t=

28 · 133 · 0.18

24 · 3600= 0.0078 W.

9.19 Un recipiente con una disolución acuosa de masa molecular 200 u estáseparado por una membrana semipermeable de otro con agua pura. Si la tem-peratura es de 20◦C y la diferencia de niveles de los recipientes es de 1 cm,¿Cuál es la concentración de la disolución?

El número de moles por unidad de volumen es:

n

V=

p

RT=ρgh

RT=

1000 · 9.8 · 0.01

8.315 · 293= 0.04 mol/m3.

La concentración es de:

C = 0.04 · 200 = 8 g/m3.

9.20 Una membrana de 0.5 mm de espesor posee 100 poros por centímetrocuadrado. El radio de un poro es de 0.6 mm, y el área de la membrana de 0.1m2. La membrana constituye la base de un cilindro lleno de agua, hasta unaaltura de 1 m. Determina:

(a) el coeficiente de filtración de la membrana,

(b) el volumen de agua que atraviesa la membrana por unidad de tiempo alprincipio,

(c) la variación de la altura de la columna de agua con el tiempo.

(a) El coeficiente de filtración de la membrana vale:

L =CπR4

8ηd=

0.01π 64 10−16

8 · 0.001 · 5 · 10−4 = 1.02 · 10−9 m3/(N s).

(b) En el instante inicial el volumen de agua que atraviesa la membranapor unidad de tiempo es:

V

t= JS = L∆p S = 1.02 · 10−9 1000 · 9.8 · 1 · 0.1

= 1.02 · 10−6 m3/s.

(c) La variación de la altura de la columna con el tiempo viene dadapor:

dx

dt= − V

tS= −J = −L∆p = −Lρgx.

La solución de esta ecuación es:

x = x0 exp {−Lρgt} .

9.21 Una máquina de diálisis posee una membrana que separa el fluido cor-poral cuyo contenido de uréa se quiere reducir de un volumen muy grande defluido, que podemos suponer que no contiene uréa. El área de la membrana esde 0.5 m2 y la permeabilidad es de ωRT = 7 · 10−6 m/s. El fluido corporal quedeseamos filtrar posee un volumen de 30 l y una concentración de nitrógenode 0.9 g/l. Calcula el flujo de nitrógeno que se filtra inicialmente. Prueba que laconcentración de nitrógeno en el fluido es una función exponencial, si supone-mos infinito el volumen del líquido externo. Encuentra el tiempo necesario parareducir la concentración de nitrógeno a la mitad.

El flujo inicial de nitrógeno filtrado es:

|φ| = JS = ωRTnS = 7 · 10−6 0.9 · 10−6 0.5 = 3.15 · 10−12 kg/s.

La variación de concentración de nitrógeno viene dada por:

dn

dt=φ

V= −ωRT (n− 0)

S

V.

La solución de esta ecuación es:

n = n0 exp

{−ωRTSt

V

}.

Cuando la concentración se reduce a la mitadt1 verifica:

1

2= exp

{−ωRTSt1

V

}.

Despejandot1 se obtiene:

t1 =V ln 2

ωRTS=

0.03 · 0.693

7 · 10−6 0.5= 5.94 · 103 s.