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Capítulo 7
Leyes de escala
1
Cambios de escala geométricos
Las longitudes se relacionan entre sí a través de una ecuación del tipo:
d = c1 L ∝ m1/3
en dondec1 es independiente del tamaño del objeto ym es la masa.
Una superficie y una longitud están relacionadas por:
S = c2 L2 ∝ m2/3.
Los volúmenes y las longitudes están relacionados por:
V = c3 L3 ∝ m.
Semejanza elástica
En el modelo de semejanza elástica los diámetros y las longitudesestán relacionados por:
d = c L2/3.
La masa es igual a:m = c d2 L.
Los diámetros y las longitudes en función de la masa vienen dados por:
d = cm3/8 y L = cm1/4.
Cualquier superficie lateral verifica:
S ∝ dL ∝ m3/8m1/4 = m5/8 = m0.625.
Tasas metabólicas
La ley de Kleiber nos dice que la tasa metabólica basal es proporcio-nal a la sección transversal y, por tanto, va como:
d2 ∝ (m3/8)2 = m3/4 = m0.75.
La tasa metabólica máxima también es proporcional am0.75, con unaconstante de proporcionalidad diez veces mayor que la de la tasa basal.
La fuerza muscular también va comom0.75.
Leyes de escala en el sistema circulato-rio
La presión sanguínea es básicamente la misma para todos los animales.
El caudal sanguíneo es proporcional a la tasa metabólica, o sea, am3/4.
El período cardíaco es igual al volumen impulsado en un latido divididopor el caudal, proporcional am/m3/4 = m1/4. Va, por tanto, como unadistancia longitudinal.
El tiempo natural de los relojes biológicos de los mamíferos es pro-porcional am1/4.
Las vidas medias de los animales son proporcionales am1/4. Por tanto, elnúmero medio de latidos cardíacos es el mismo para todos los animales,aproximadamente igual a1.5 · 109.
Problema 7.1
Un cubo posee un área lateral total 27 veces mayor que lade otro de 0.2 m de arista. Calcula la arista y el volumendel primer cubo.
Problema 7.2
¿Cuál es el radio de una esfera de masa 10 veces mayorque otra del mismo material y de 0.15 m de radio? ¿Cuáles el cociente entre las superficies esféricas de ambas es-feras?
Problema 7.3
Tenemos dos cubos de un mismo material, y uno de ellosposee una masa 8 veces mayor que el otro. Le aplica-mos a ambos una misma fuerza de compresión. ¿Cuáles la relación entre los acortamientos respectivos? Si, envez de aplicar fuerzas iguales, ejerciésemos esfuerzos decompresión iguales, ¿cuál sería la relación entre los acor-tamientos?
Problema 7.4
La relación entre las alturas de dos árboles es de 2.5. Ob-tén la relación entre sus diámetros, suponiendo que satis-facen el modelo de semejanza elástica.
Problema 7.5
Un árbol es 2 m mayor que otro y su diámetro es dobleque el de éste. ¿Cuál es la altura de ambos si satisfacenel modelo de semejanza elástica?
Problema 7.6
Un perro pesa el doble que otro, y su altura es un 20 %mayor que la de éste. ¿Verifican el modelo de semejanzaelástica?
Problema 7.7
Dos animales son semejantes, según el modelo elástico,y la altura de uno de ellos es 10 cm mayor que la del otroy su masa doble que la de éste. ¿Cuánto miden ambosanimales?
Problema 7.8
Supón exacto el modelo de semejanza elástica. Un animalposee una masa 10 veces mayor que la de otro. Determinala relación entre sus:(a) alturas,(b) secciones de las patas,(c) superficies corporales,(d) tasas metabólicas,(e) períodos cardíacos.
Problema 7.9
Deduce la dependencia de la masa, la tasa metabólica ba-sal y el período cardíaco en función de la altura de unaanimal según el modelo de semejanza elástica.
Problema 7.10
La relación entre las tasas metabólicas de dos animalesque satisfacen el modelo de semejanza elástica es de 4.Determina la relación entre sus:(a) masas,(b) alturas,(c) secciones de las patas,(d) períodos cardíacos,(e) vidas medias.
Problema 7.11
Demuestra que la altura que consiguen saltar los animaleses independiente de su masa en el modelo de semejanzaelástica. Sugerencia: compara la energía potencial en elpunto más alto del salto con el trabajo que pueden realizarlas patas, proporcional a su longitud por la fuerza muscu-lar.
Problema 7.12
Haz una estimación de la vida media de una persona queposee un ritmo cardíaco de 65 pulsaciones por minuto, apartir del número total de latidos de los animales. ¿Esrazonable el resultado?
Problema 7.13
Estima el período cardíaco de un animal que posea unavida media de 5 años.
7.1 Un cubo posee un área lateral total 27 veces mayor que la de otro de 0.2m de arista. Calcula la arista y el volumen del primer cubo.
El área lateral total de un cubo es igual a8L2, siendoL la arista delmismo. Por tanto, la relación entre las áreas nos dice:
S ′
S=
8L′2
8L2 = 27 =⇒ L′ =√
27L = 1.04 m.
El volumen del cubo viene dado por:
V ′ = L′3
= 1.043 = 1.12 m3.
7.2 ¿Cuál es el radio de una esfera de masa 10 veces mayor que otra delmismo material y de 0.15 m de radio? ¿Cuál es el cociente entre las superficiesesféricas de ambas esferas?
La relación entre las masas de las dos esferas es:
m′
m=ρV ′
ρV=
43πR
′3
43πR
3 =
R′R
3
= 10
y de aquí deducimos el radio de la esfera mayor:
R′ = 101/3R = 0.32 m.
El cociente entre las superficies esféricas es:
S ′
S=
R′R
2
= 4.62.
7.3 Tenemos dos cubos de un mismo material, y uno de ellos posee una ma-sa 8 veces mayor que el otro. Le aplicamos a ambos una misma fuerza decompresión. ¿Cuál es la relación entre los acortamientos respectivos? Si, envez de aplicar fuerzas iguales, ejerciésemos esfuerzos de compresión iguales,¿cuál sería la relación entre los acortamientos?
La relación entre las masas de los cubos es:
m′
m=ρV ′
ρV=L′3
L3 = 8 =⇒ L′ = 2L.
La relación entre los acortamientos cuando aplicamos la misma fuerzaes:
∆L′
∆L=L′S
LS ′=L
L′=
1
2.
Si los esfuerzos de compresión,F/S, son iguales tenemos:
∆L′
∆L=L′
L= 2.
7.4 La relación entre las alturas de dos árboles es de 2.5. Obtén la relaciónentre sus diámetros, suponiendo que satisfacen el modelo de semejanza elás-tica.
Según el modelo de semejanza elástica, los diámetros y las longitudes serelacionan por medio ded ∝ L3/2. Por tanto:
d′
d=
L′L
3/2
= 2.53/2 = 3.95.
7.5 Un árbol es 2 m mayor que otro y su diámetro es doble que el de éste.¿Cuál es la altura de ambos si satisfacen el modelo de semejanza elástica?
El modelo de semejanza elástica nos permite obtener la relación entre laslongitudes a partir de la de los diámetros:
L′
L=
d′d
2/3
= 22/3 = 1.59.
La otra ecuación que sabemos es:
L′ = L+ 2 =⇒ 1.59L = L+ 2.
La altura del árbol más bajo es, por tanto:
L =2
0.59= 3.4 m.
La altura del árbol más alto esL′ = 3.4 + 2 = 5.4 m.
7.6 Un perro pesa el doble que otro, y su altura es un 20 % mayor que la deéste. ¿Verifican el modelo de semejanza elástica?
La relación entre las alturas de dos perros, uno con masa doble que elotro y que verifiquen el modelo de semejanza elástica, ha de ser:
L′
L=
m′m
1/4
= 21/4 = 1.19.
Los perros del enunciado no verifican el modelo de semejanza elástica deforma exacta. Para hacerlo la altura de uno debería de ser un 19 % mayorque la del otro.
7.7 Dos animales son semejantes, según el modelo elástico, y la altura deuno de ellos es 10 cm mayor que la del otro y su masa doble que la de éste.¿Cuánto miden ambos animales?
La relación entre las alturas de los animales ha de ser:
L′
L=
m′m
1/4
= 21/4 = 1.19.
Además, tenemos:L′ = L+ 0.1.
De donde deducimos:
L =0.1
0.19= 0.53 m,
yL′ = 0.53 + 0.1 = 0.63 m.
7.8 Supón exacto el modelo de semejanza elástica. Un animal posee unamasa 10 veces mayor que la de otro. Determina la relación entre sus:
(a) alturas,
(b) secciones de las patas,
(c) superficies corporales,
(d) tasas metabólicas,
(e) períodos cardíacos.
(a) La relación entre alturas es:
L′
L=
m′m
1/4
= 101/4 = 1.78.
(b) Las secciones de las patas están relacionadas por:
S ′
S=
d′d
2
=
m′m
6/8
= 103/4 = 5.63.
(c) Las superficies corporales vienen dadas por:
S ′
S=d′L′
dL=
m′m
5/8
= 105/8 = 4.21.
(d) Las tasas metabólicas son proporcionales a las secciones transver-sales, por eso el resultado coincide con el del apartado b):
T ′mTm
= 5.63.
(e) Los períodos son proporcionales a las longitudes, por tanto, el re-sultado coincide con el del apartado a):
T ′
T= 1.78.
7.9 Deduce la dependencia de la masa, la tasa metabólica basal y el períodocardíaco en función de la altura de una animal según el modelo de semejanzaelástica.
Despejando la masa de la ecuación que nos da la altura, obtenemos:
m = cL4.
La tasa metabólica basal irá como:
Tm = cm3/4 = c′L3.
El período cardíaco en función de la altura es:
T = cL.
7.10 La relación entre las tasas metabólicas de dos animales que satisfacen elmodelo de semejanza elástica es de 4. Determina la relación entre sus:
(a) masas,
(b) alturas,
(c) secciones de las patas,
(d) períodos cardíacos,
(e) vidas medias.
(a) La relación entre las masas es:
m′
m=
T ′mTm
4/3
= 44/3 = 6.3.
(b) El cociente entre las alturas vale:
L′
L=
m′m
1/4
= 6.31/4 = 1.6.
(c) Las secciones de las patas están relacionadas por:
S ′
S=T ′mTm
= 4.
(d) Los períodos cardíacos vienen dados por:
T ′
T=L′
L= 1.6.
(e) Las vidas medias son proporcionales a los períodos en general y elresultado es el mismo que el del apartado anterior.
7.11 Demuestra que la altura que consiguen saltar los animales es indepen-diente de su masa en el modelo de semejanza elástica. Sugerencia: comparala energía potencial en el punto más alto del salto con el trabajo que puedenrealizar las patas, proporcional a su longitud por la fuerza muscular.
La energía potencial en el punto más alto esmgh, siendoh la alturade salto. Dicha energía ha de ser igual al trabajo que pueden realizar laspatas, dado por el producto de su longitud por su fuerza, ésta proporcionala la sección:
mgh = LF = cLS = c′m1/4m3/4 = c′m.
De aquí deducimos queh es independiente de la masa:
h = c′′m0.
7.12 Haz una estimación de la vida media de una persona que posee un ritmocardíaco de 65 pulsaciones por minuto, a partir del número total de latidos delos animales. ¿Es razonable el resultado?
Supongamos que el número de latidos total de la persona es de1.5 · 109.El tiempo en años que necesita para darlos es:
T =1.5 · 109 60
365 · 24 · 3600 · 65= 44.
El tiempo es menor que la vida media humana, que gracias a la medici-na y demás factores es comparativamente más larga que la de los otrosanimales.
7.13 Estima el período cardíaco de un animal que posea una vida media de 5años.
Dividimos la vida media del animal por el número total de latidos paraobtener su período cardíaco:
Tc =T
N=
5 · 365 · 24 · 3600
1.5 · 109 = 0.105 s.
O sea, el animal debería latir unas 571 veces por minuto.