leyes de escala aplicadas a las ciencias biológicas

Primera Edición, 2015.Monografías. Fundamentos de la Física - Cuaderno 2.Leyes de Escala aplicadas a las Ciencias Biológicas.

Se tienen los derechos de autor. Sin embargo, se autoriza la reproducción sin fines de lucro (gratuita) con objetivos educativos. Es suficiente con informar a los autores.

Editor: Omayra PérezMayo, 2015.Monográfico Editado en entorno Mac.Programa utilizado para la edición: Adobe InDesign CS5.

Leyes de Escala aplicadas a las Ciencias Biológicas

Omayra Pérez y Bernardo Fernández

Estación [email protected]

Facultad de Ciencias Naturales, Exactas y Tecnología. Universidad de Panamá

CONTENIDO

1. Introducción 72. Leyes de escala aplicadas a casos especiales de las ciencias 9

biológicas 173. Conclusión 434. Apéndice Nº 1 455. Referencias 516. Indice de Figuras 557. Indice de Tablas 59

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Monografías Fundamentos de la Física - Cuaderno 2

Leyes de Escala aplicadas a las Ciencias Biológicas.Bernardo Fernández y Omayra Pérez, 2015.

1. INTRODUCCIÓN

La naturaleza de las ciencias es tal que el hombre, desde que apareció el ser hu-

mano en la naturaleza, ha tenido curiosidad por conocerla a fondo y de manera que

llamamos objetiva. Sin embargo, esto no se logrará hasta entender que conocerla, re-

quiere comprender, ¿cuál es su naturaleza? Actualmente la enseñanza de las Ciencias

Experimentales, en los cursos de servicio, se hace de forma tal que no motiva a los

estudiantes hacia el estudio de la física. Este no es un problema sólo de nuestro país.

Las investigaciones en esta área ha llevado a afirmar (por ejemplo, véase las referen-

cias del informe Rocard, 2007) que, el desinterés de los alumnos por la Ciencia está

directamente relacionado con la forma en que se enseñan las Ciencias Experimentales.

Es decir, que la manera como en el aula se está enseñando Ciencias Experimentales,

desmotiva a los alumnos hacia estas áreas. Así, (Vásquez et al., 2004) en una socie-

dad cada vez más impregnada de ciencia y tecnología, sucede que el aprendizaje de

la ciencia escolar no es funcional ni significativo para la mayoría de los ciudadanos,

pues no les ayuda a comprenderlas. Entonces, los cambios, en lo referente a las for-

mas de enseñar son necesarios. Por otro lado, la naturaleza de la Ciencia no es algo

que podamos enseñar a través de un ejercicio descontextualizado, donde el hacer de

la Ciencia y su naturaleza queda reducido a dos o tres fórmulas. En consecuencia, se

hace indispensable encontrar otra forma para trabajar la enseñanza, más acorde con

las Ciencias Experimentales, con su naturaleza y con los intereses de los alumnos. En

esta monografía proponemos una manera de motivar a los alumnos de ciencias bioló-

gicas a través del estudio de una simetría clásica: la invariancia de escala aplicada a

casos especiales de las ciencias biológicas.

9



2. LEYES DE ESCALA APLICADAS A CASOS ESPECIALES DE LAS CIENCIAS BIOLÓGICAS

La Física estudia las leyes de la naturaleza que tienen estructura matemática. Las

leyes de escala tienen, como veremos más adelante, una estructura matemática. Por lo

tanto todos aquellos fenómenos biológicos que expresan seguir leyes de escala, pueden

ser estudiados por la Física.

El espacio que nos rodea tiene las características de un espacio euclidiano con una

ruptura de simetría generada por la forma del campo gravitatorio cerca de la superficie

terrestre. En cuanto a su dirección, es perpendicular a la superficie terrestre en cada

punto pues suponemos la Tierra esférica, y el campo gravitatorio siendo radial y todo

radio es perpendicular al plano tangente a la esfera, podemos entender que es perpendi-

cular en cada punto a la superficie terrestre. Además, el módulo del campo gravitatorio

es, en física clásica, de la forma:

g GMR2=

Por los valores de M (masa de la Tierra), de G y de R (radio de la Tierra), el valor

numérico de g, en el sistema internacional de unidades, es 9,8 m/s2. Si hay variaciones

locales de M y del radio terrestre, esto se verá reflejado en variaciones de g, pero siempre

alrededor de un valor promedio.

Toda interacción, como el nombre lo dice, es una acción entre por lo menos dos ac-

tores (figura 1). Por lo tanto, la modificación de las propiedades del espacio, debido a

la gravedad generada por la Tierra, tomará importancia sobre una masa m con la cual

interactúa el campo gravitatorio (F = m g).


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Fig. 1. La Tierra deforma el espacio en su alrededor, pero cerca de la su-perficie de la Tierra las líneas de campo llegan perpendiculares.

En la siguiente tabla (Willmer et al., 2005) se muestra la masa de algunos animales de

la superficie terrestre (tabla 1).

Animal Masa CorporalAmeba 10-4

Afidio (pulga del trigo) 10-3

Abeja 10-1

Musaraña (insectívoro) 1Hámster 10 2

Perro 104

Hombre 105

Elefante 5x106

Ballena Azul 108

Tabla 1. Masa corporal de algunos animales de la superficie terrestre (Willmer et al, 2005).

Nótese que hay 12 órdenes de magnitud entre las masas de estas dos formas de vida

sobre la superficie terrestre, la ameba y la ballena azul. Cuando se trabaja con muchos

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órdenes de magnitud, las comparaciones se deben hacer en escala logarítmica, de ma-

nera a tener un sistema líneal, de más fácil captación, al menos visual. En la figura 2 se

puede ver lo anterior si llamamos tamaño, a la masa expresada en gramos.

Fig. 2. Diferencia de tamaños en animales, en escala logarítmica.

Otro ejemplo, similar al anterior en lo referente a las escalas usadas, es el de la detec-

ción del sonido por el oído humano. El oído humano es sensible a las ondas de sonido

(que son ondas mecánicas de presión) desde la frecuencia alrededor de 25 Hz hasta la de

20 000 Hz. Hay muchos órdenes de magnitud, expresados en base diez, entre ambos

valores. Los números en base diez se escriben de la siguiente forma X0 x 10n, donde el

X0 se llaman los dígitos significativos, 10 es la base numérica utilizada y n la potencia a la

cuál debe estar 10 indicando la posición más fuerte, en valor, del número.

Además de la frecuencia (portadora de energía mecánica), el oído también recibe

energía por la vía del cuadrado de la amplitud de la onda mecánica de presión y que

suele llamarse volumen (o intensidad sonora). La máxima sensibilidad del oído a este


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parámetro (energético) está cerca de 5 000 Hz. La manera de conocerlo es graficando

ambos parámetros (portadores de energía), uno en función del otro: Intensidad versus

frecuencia. Incluso, como la percepción del oído no está basada en un sistema numérico

en base 10, sino que está construido en base 2, podemos expresar los valores extremos

de la siguiente forma: 1,5 x 24= 25 Hz y 1,2 x 214= 20 000 Hz, Con eso constatamos que

hay diez órdenes de magnitud entre ambos, pero en base dos. De la misma manera

la intensidad sonora va de valores muy pequeños a muy altos. Va de 20 micropascales

que se toma como referencia de presión a 200 pascales (compare con la atmosférica que

es de 100 kilopascales). La pregunta es ¿por qué el oído resiste la presión atmosférica?

Si entendemos el concepto de presión como proporcional a la energía cinética promedio

de las partículas y está variación de la presión atmosférica es lenta punto a punto, en-

tendemos que al variar lentamente podemos resistir esa presión (el organismo creó los

mecanismos de control) y no así el sonido que son variaciones locales fuertes de presión,

y el umbral del dolor o tolerancia depende de la frecuencia también. No olvidemos que

la cantidad básica en física es la acción, producto de la energía por el tiempo. Por la

diferencia en los órdenes de magnitud entre ambos límites en la intensidad, se trabaja

también en escala logarítmica para ambos parámetros. El gráfico mostrado en la figura

3 (en escala doblemente logarítmica) muestra la relación entre ambos parámetros (fre-

cuencia, intensidad), la sensibilidad y el umbral de audición. Para la intensidad se define

el Belio, pero resulta una unidad muy alta por lo que en la práctica se utiliza en decibelio

que es un submúltiplo.

Para el caso de las frecuencias, cada orden de magnitud se denomina octava y a su

vez se divide en 7 partes (para la escala temperada) cada una llamada nota. La nota La

= 440 Hz es la frecuencia internacional de referencia. Para ello se utilizó la nota mínima

llamada fundamental (o quantum fundamental) de valor X0 = 13,75 Hz (la más cercana a

13



Fig. 3. Relación frecuencia vs intensidad para el oido humano.

15 Hz compatible con la nota de referencia básica La 440 Hz) y las demás notas de refe-

rencia son X0 x 2n = Nota (en Hz), con n = 1, 2,…10 enteras y las frecuencias base, según

los valores de la siguiente tabla, son los representantes de cada octava. La pendiente

de la recta en papel semilogarítmico (hecha con Origin a partir de la tabla de Wikipedia)

indica que la base numérica es dos (figura 4).

La función logaritmo es la función que se define a partir de la ecuación,

donde λ es una constante real, que significa que la operación derivada es un

cambio de escala λ y sabemos que solo la función exponencial verifica dicha exigencia.

dfdx

f= λ

ddx


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Tabla 2. La información en esta tabla fue tomada del si-tio: http://es.wikipedia.org/wiki/La_(nota)

Nombre de la octava Frecuencia (Hz) nSubsubcontraoctava 13,75 0Subcontraoctava 27,5 1Contraoctava 55 2Gran octava 110 3Pequeña octava 220 4Octava prima 440 5Octava segunda 880 6Octava tercera 1 760 7Octava cuarta 3 520 8Octava quinta 7 040 9Octava sexta 14 080 10

Fig. 4. La pendiente de la recta es 2 lo que indica que el com-portamiento es logarítmico en base dos.

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Para conocer las funciones que verifican dicha ecuación se integra y se obtiene ln

f = λ x + a (donde λ y a son constantes). Como sabemos que la derivada común al ac-

tuar sobre una función f, le baja el grado de crecimiento de una unidad con respecto a la

variable x, al multiplicar f por x debemos restituir el grado de crecimiento. Por lo tanto,

si buscamos la solución de la ecuación es decir las funciones a las cuales

solo le hacemos un cambio de escala sin alterar su grado de crecimiento, tendremos las

funciones potenciales. De allí deducimos que las tres funciones que están ligadas a los

cambios de escala son: exponencial (y su combinaciones, por ejemplo seno y coseno con

argumento complejo), la función inversa de la función exponencial denominada logaritmo

( que indica que la función que no baja de un nivel de crecimiento es la función

logaritmo) y por último la función potencial (f = A xn). Debemos hacer notar que estamos

frente a un prejuicio epistemológico. Se trata de que se hizo la hipótesis implícita de que

se baja de un nivel al decir que la “derivada común al actuar sobre una función f, le baja

el grado de crecimiento de una unidad con respecto a la variable x”. Para el caso general

véase el apéndice N° 1.

En los dos casos paradigmáticos, mostrados anteriormente, se ha ilustrado las situa-

ciones en que una escala logarítmica es necesaria debido a la diferencia en órdenes de

magnitud entre los valores extremos (masa de los seres vivos que habitan la superficie

terrestre y frecuencias de audición del ser humano).

Sin embargo, hay múltiples situaciones donde los cambios de escala están involu-

crados. Por ejemplo, si representamos animales que inicialmente tienen distintos tama-

ños como es el caso de una mosca, un perro y un elefante, después suponemos que por

cambio de escala los tres obtienen el mismo tamaño, veríamos la diferencia en el espesor

relativo de las patas de cada uno, como se muestra en la figura 5. Entender el por qué es

x dfdx

f,= λ

x d(ln)dx

1,=


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una preocupación que viene desde la época de Galileo, ¿Cómo responder a la pregunta?

¿Hay invariancia de las propiedades de un objeto al cambiar la escala? Por ejemplo,

¿mantendría las mismas proporciones largo/ancho las patas (y para los vertebrados los

huesos) de una mosca, o de un perro cuyo tamaño sería igual al de un elefante? O ¿man-

tendrían las patas la misma fuerza? Las imágenes siguientes dan una percepción de la

respuesta a la pregunta anterior sobre las proporciones ancho largo para el caso de tres

animales terrestres, mosca, perro y elefante, presentados a una misma escala.

Para la relación largo/ancho de las patas ¡la respuesta es no! Como se observa clara-

mente en las imágenes, un elefante es más “agarrado” que un perro (sus patas son más

anchas, es decir es un cilindro de mayor radio), pues sus huesos (soporte del animal) son

más anchos que largos comparados con los de un perro.

En cuanto a la fuerza relativa de dos animales con el mismo tamaño (al de una hormi-

ga) pero con formas distintas (de elefante y de hormiga) es diferente. La imagen clásica

(tomada de internet*) ilustra lo anterior. Sabemos que los elefantes tienen una fuerza

Fig. 5. Ilustración de la percepción del tamaño (largo/an-cho de las patas) de una mosca, un perro y un elefante.

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enorme; con su fuerza es capaz de arrancar de raíz, un árbol por el tronco.

Agrandemos una arriera (de un cm de longitud) 100 veces su talla para que tenga

una longitud de 1 metro, es decir que sea del tamaño de un niño. ¿Qué pasaría con el

peso de la arriera que es normalmente de alrededor de 1 gramo? Se multiplicaría por

(102)3=106 (es decir pesaría 103 kilogramos) suponiendo que es una figura geométrica que

se comporta como un cubo y que la densidad (los seres vivos son básicamente agua) se

mantiene constante. ¿Sería tan poderosa? ¡No!, la potencia de sus músculos se com-

porta dimensionalmente como una superficie. La fuerza de un animal depende del área

de la sección transversal de sus músculos y la resistencia de sus huesos depende de la

sección transversal de ellos. Eso significa que la capacidad de carga total del animal de-

pende de un área. Vemos que se multiplicarían sólo por (102)2=104 y no sería tan fuerte.

Fig. 6. Comparación ilustrativa de la fuerza de una hormiga y un elefante.


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En su talla natural la arriera levanta 50 % su peso que es de unos gramos (1 gramo, por

ejemplo). Al tener la talla de 1 metro sólo levantaría una centésima de su peso, mientras

que un niño de talla natural (1 metro) cargaría su peso. Hay entonces una degradación de

k veces y la arriera gigante colapsará por su propio peso. Dicho de otro modo, la arriera

gigante tiene una capacidad de carga menor que la de su nuevo peso. Al contrario si un

elefante redujera su tamaño mil veces, a la talla de una hormiga (de 2 m a 2 mm), su fuer-

za se reduciría 106 veces y su masa 109 veces. Como consecuencia, la fuerza relativa del

elefante sería mayor que la de una hormiga. Otro ejemplo sería el siguiente: ¿Saltaría una

pulga una altura del alto de su talla si la agrandamos a las dimensiones nuestras? ¡No!.

En su talla normal, la proporción del salto de la pulga es 200 veces mayor que la altura a

la que saltaría cualquier perro comparada a su talla. Si hacemos el cambio de escala se

pierde la proporción.

Eso significa que las películas de Hollywood, sobre animales gigantes que nos inva-

den, no son viables.

¿Qué ocurre? Muchos de los parámetros de los seres vivos se relacionan entre sí,

siguiendo una función potencial. Como vimos anteriormente, estas funciones Y = b Xm

tienen invariancia de escala. Sin embargo, notemos que tradicionalmente se supone que

el exponente m es un número entero.

¿Qué se tiene clásicamente? Las figuras clásicas, inmersas en espacios euclidianos,

en los cuales todas las direcciones son físicamente equivalentes, respetan lo que se

denomina las semejanzas geométricas. Por ejemplo, para cualquier figura geométrica

clásica, dos longitudes cualesquiera d y L se relacionan a través de una relación lineal:

d = b L

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Donde m es el exponente de L y en este caso m = 1 y b es una constante.

La superficie S se relaciona con cualquier longitud L a través de la expresión

S = b L2 (m = 2)

Los volúmenes V y las longitudes L están relacionados por la expresión

v = b L3 (m = 3)

Una característica importante, en Biología, es la relación superficie/masa de los orga-

nismos. Esta relación no es más que la relación de la superficie del cuerpo del ser vivo

comparado a su masa. A través de la superficie corporal se hace el intercambio de sus-

tancias y energía con el medio. La relación entre área y volumen es importante, cuando

un organismo aumenta su tamaño, algunos mantienen su forma y otros no; si la mantiene

decimos que hay una isometría.

Sean L1 y L2, las longitudes características, tales que L1/L2 = RL. De forma análoga,

las superficies serán S1 y S2 y los volúmenes, V1 y V2. Así las relaciones se expresan:

(L1/L2)3= (S1L1/S2L2) = (V1/V2)

Por lo tanto

S1/S2 = (L1/L2)2= (V1/V2)

2/3

Y si la densidad ρ es constante V = M ρ, se tiene

S1/S2 = (V1/V2)2/3= (M1/M2)

2/3 o sea

S = k M0,67

llamada Ley de Rubner (que sería equivalente a una relación constante entre super-

ficie y volumen)

En la gráfica se ilustran los resultados experimentales de la Ley de Rubner y van


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desde el ratón hasta la ballena azul (nótese que se trata de organismos complejos cuya

reproducción no se hace por división simple del organismo). Estoy indica una universali-

dad en esas relaciones.

Estas relaciones potenciales explican muchos hechos biológicos observados, como

los anteriores. Pero se refieren a hechos estructurales y no dinámicos. Mostramos a

continuación un caso dinámico. Una célula tiene necesidad de nutrientes (para vivir) de

manera proporcional a su volumen y es variable en el tiempo. Igualmente secreta de-

sechos proporcionalmente al volumen. Tanto los nutrientes como los desechos circulan

a través de la membrana que tiene dimensiones de una superficie y les comunica con el

exterior del ser vivo. Hay una relación crítica que acota el comportamiento dinámico de

la célula. Sea R la relación superficie/volumen (en unidades especiales) que determina el

Fig. 7. Representación gráfica de la Ley de la Superficie de Rubner.

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crecimiento, manteniendo la forma de la célula:

R = superficie/volumen

Alternativas para la célula según el valor de R; la célula

3-MUERE para valores de R < a.

2- Entra en estado estacionario de NO CRECIMIENTO para valores de R = a.

3- Para valores de R > a, SE MULTIPLICA para bajar el valor de R y seguir creciendo.

Cuando el tamaño de la célula aumenta, la relación entre superficie/volumen dismi-

nuye. La capacidad de una célula para intercambiar sustancias con su ambiente es pro-

porcional a la superficie. Si una célula crece demasiado, su superficie no sería suficiente

para obtener sustancias necesarias para sus actividades metabólicas. Si se divide puede

mantener una relación de supervivencia y optimizar su funcionamiento. Hay maneras,

también complejas, que tienen que hacer con las formas que toma el volumen, sin embar-

go, abordamos las más simples. No referimos, por ejemplo, a la forma de un pulmón que

intercambia productos de la sangre con el exterior (aire), entre otros, oxígeno, anhídrido

carbónico.

Ejemplo en caso de un volumen con simetría esférica: sea el radio r = 1,0 µm. Área

de superficie 4πr 2= 13 µm2; Volumen (4/3) πr 3= 4,2 µm3; relación Superficie/Volumen = 3r

con r unitario, o sea 3. Esa relación disminuye con el aumento del radio, por ello si crece

demasiado, es mejor multiplicarse.

La simetría llamada geométrica de escala tiene variantes. Cuando se necesita un solo

parámetro para que a partir de un objeto original se obtenga el otro por similitud o cambio

de escala, se llama isometría (modelo de semejanza geométrica). Este es el caso de una

esfera o de un cubo (figura 8).


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Fig. 8. Variación del radio en el caso de la esfera o la arista en el caso del cubo.

Cuando se necesita más de un parámetro para reproducir, a escala, la figura y que manten-

ga la forma, se dice que se tiene una relación alométrica. Este es el caso de un cilindro o de

un paralepípedo rectángulo (figura 9). Una aplicación de la simetría de escala, que aunque

no es del área de la Biología, afecta enormemente los fenómenos biológicos como veremos

más adelante, se refiere al análisis dimensional el cual juega un papel importante en las leyes

físicas: veamos el caso del péndulo. En un péndulo, el periodo (T) (para ángulos pequeños)

debe depender (en principio) de la longitud (L) y de la masa (M) del péndulo y además del

campo gravitatorio g (Γ). Las expresiones dimensionales que expresan las relaciones son:

T = [ L]A [ M]B [ Γ ]C donde las unidades del campo gravitatorio se expresan en unidades

fundamentales [ Γ ] = [ L] [ T ]-2 (L: longitud; M: masa y Γ = representa a g cuyas unidades

Fig. 9 Cilindros y paralelepípedos.

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básicas son m/s2) y suponemos que no conocemos los valores de los exponentes. Por lo

tanto T = [L] A+C [M] B [T]-2C y se concluye que A + C = 0; B = 0; 1 = -2C, luego C = -1/2; B = 0

Y A= ½ que es la relación conocida para el periodo de un péndulo donde la constante es 2π:

T = [L]1/2 [Γ]-1/2 = 2 π(L/g)1/2

En el modelo de semejanza geométrica (isometría), las relaciones entre la masa y las

variables espaciales son: la densidad (ρ = MASA/VOLUMEN) media de los seres vivos es

prácticamente la misma, por lo tanto Si consideramos que la forma geométrica

de los seres vivos de una misma especie es aproximadamente la misma V = B L3 ==> L =

b V1/3 ==> L = b m1/3. Para las superficies tenemos S = b L2 = b (b m1/3)2 ==> S = b m2/3.

m V.α

Diámetro Longitud1/1( )α Diámetro masa

1/3( )α

Longitud masa1/3( )α Superficie masa

2/3( )α

La experiencia nos enseña que la relación entre L y m se verifica bastante bien

para animales de la misma especie (exponente 0,33). En la literatura (Cayetano et al.,

2013) encontramos la curva siguiente que verifica la certeza de dicha ley de escala.

Por otro lado los seres vivos están inmersos en la gravedad, generada por la Tierra,

lo cual crea una dirección privilegiada, perpendicular a la superficie terrestre. La simetría

de semejanza geométrica que más se adapta a esa situación es la alometría, que tiene un

cilindro como figura geométrica representativa. Está claro que para los seres vivos con

poca masa la gravedad es despreciable y no se aplica dicha simetría. Al modelo alomé-

trico también se le llama elástico debido al hecho de que los seres vivos para compensar

Tabla. 3. Relaciones funcionales isometricas entre el diámetro, la longitud, masa y superficie.


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Fig. 10. Representación gráfica de la relación L y m para animales (Cayetano et al., 2013).

m V m d L2α → α

la fuerza de gravedad desarrollan una fuerza cuyo modelo más elemental (función lineal

directamente proporcional) es la fuerza elástica: F = -k x. En el modelo de semejanza

elástica (alometría), las relaciones entre la masa y las variables espaciales son: la relación

entre la longitud y la masa en un cilindro es m = b (d2L) = b [(Bl3/2)2L)] = Bl4, L = bm1/4,

como

d = b L3/2 ==> L = bd2/3

m = b (d2L) = b [d2 (bd2/3)] d= b m3/8. Si toda superficie es prácticamente lateral S = b

Diámetro Longitud3/2( )α Diámetro masa

3/8( )α

Longitud masa1/4( )α Superficie masa

5/8( )α

Tabla. 4. Relaciones funcionales alometricas entre el diámetro, la longitud, masa y superficie.

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(L d) = b (bm3/8) (bm1/4) = b m5/8.

Y los resultados de la medición encontrados en la literatura nos dice que para el hú-

d (diámetro) L (Longitud).3/2α

Fig. 11. El húmero del antílope cumple con la relación d (diámetro) L (Longitud).3/2α

mero (hueso) de los antílopes se cumple que

Que es un indicador de que la simetría cilíndrica, debido a la gravedad como variable

determinante, impone su simetría a los sistemas de este tipo, en este caso la pata de ani-

males superiores que les deben servir de soporte ante la gravedad.

Y para los árboles (figura 12), al relacionar el diámetro con la longitud del tronco tam-

bién resulta cierto que


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Lo anterior nos indica que el concepto de alometría, para los seres vivos a partir de cierta

masa, sobre la superficie terrestre, está más cerca de la realidad que el de isometría. Por

lo tanto, un modelo geométrico deberá más bien tener como elemento de base el cilindro

y no el cubo o la esfera cuando se trata de los soportes del sistema frente a la gravedad.

Al igual que los animales y plantas de cierta masa, los cuerpos sólidos, de acuerdo a

las leyes de elasticidad, dentro de un campo gravitatorio uniforme, para soportar su propio

peso deben tener un diámetro que varía con la altura como la potencia 3/2. De allí que

d L L d3/2 2/3α → α

Fig. 12. Diámetro vs altura de un tronco de árbol.

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Fig. 13. El tronco de un árbol varían en diámetro según la ley d = k l 3/2

una chimenea como el tronco de un árbol varían en diámetro según la ley d = k l 3/2, en

consecuencia un animal (mamífero) puede modelarse con cilindros de dimensiones de

longitud l de diámetro d (figura 13). Y la relación superficie masa corporal se cumple 5/8

= 0,63 y es un mejor modelo, para estas situaciones (variables) que el de las isometrías

(figura 14).

Esto le sirve a los escultores, pues, en primera aproximación, podemos modelar un

ser vivo con una superposición de figuras geométricas cilíndricas desde muy tosca hasta

muy fina (arte cerámico). En la figura 15 mostramos un ejemplo.

La evolución del caballo a lo largo de 60 millones de años (Cayetano et al., 2013) ha

demostrado que además de un aumento progresivo del tamaño, se ha modificado la es-


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Fig. 14. Representación gráfica de la relación superficie masa corporal.

Fig. 15. Modelación de un caballo con figuras geométricas.

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tructura de la pata hacia un espesor del cilindro (figura 16).

Esto nos sugiere averiguar ¿qué ocurre con el crecimiento de las extremidades de un

Fig. 16. Modificación de la estructura de la pata de un caballo.

mamífero a medida que crece, es decir que pasa de cría a adulto? Por ejemplo, si grafi-

camos la longitud del brazo en función de la talla (por edad) de un ser humano notamos

un cambio en el comportamiento de una ley de potencia (figura 17). Inicialmente tienen un

exponente 1,2 y pasa a una ley lineal. La pregunta es ¿A qué se debe el cambio? Esto

nos hace pensar que el modelo elástico también necesita ajustes. Para mejor visualizar

la situación enfrentada observemos que un niño no es un adulto a escala más pequeña.

También ocurre en otros animales, pero es menos pronunciado.


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Observe las proporciones del ser humano, adulto y niño y notará las variaciones (so-

Fig. 17. La longitud del brazo en función de la talla (por edad) de un ser hu-mano notamos un cambio en el comportamiento de una ley de potencia.

bre todo si las compara con las de dos adultos de diferentes talla).

Al verlos juntos es más pronunciado el efecto: si presentamos, a la misma altura, un

niño de 5 meses, de 9 meses, de dos años y nueve meses, de seis años y nueve meses,

de 13 años y de 26 años, vemos que las proporciones no son las mismas entre las dife-

rentes partes del cuerpo (figura 18).

En efecto, como vimos, la masa corporal cuenta para la estructura de los soportes y

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Fig. 18. Presentación de un niño de 5 meses, 9 meses, dos años, seis años, trece años, y de 26 años.

el niño, al crecer, aumenta su masa corporal por lo tanto debe variar la relación elástica y

por lo tanto su relación alométrica o sea el parámetro que la caracteriza. Basado en estas

consideraciones se han hecho estudios de la “adolescencia pues es una etapa crítica de

la ontogenia caracterizada por importantes cambios en la rapidez de crecimiento de los

tejidos que afectan al tamaño, forma y composición corporal, lo que origina profundas

diferencias alométricas entre los individuos según el sexo y estadio madurativo” (Maestre

López et al., 2006)

Se deben pues evaluar otros parámetros de los seres vivos. Por ejemplo, al estudiar


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la relación dinámica S/V de un organismo unicelular notamos un comportamiento espe-

cial. Esto provenía de la necesidad que tienen los seres vivos de nutrientes y de elimina-

ción de deshechos. De la misma manera se pensaba que la tasa metabólica basal (TMB)

era proporcional a la superficie corporal como predice el modelo

elástico. Sin embargo, Max Kleiber, formuló en la década de 1930 la ley que dice que a

medida que los seres vivos se hacen más grandes, su metabolismo y su esperanza de

vida se incrementan en tasas predecibles y el metabolismo es igual a la masa elevada a

la potencia tres cuartos. Experimentalmente se ha encontrado que TMB = a mb = a m3/4.

Estos resultados aparecen en la curva clásica (Max Kleiber) presentada en la figura 19.

Un árbol debe convertir la luz solar en energía y esta moverse dentro de un cuerpo

TMB S m ,5/8( )α α

Fig. 19. La curva clásica de Kleiber.

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más o menos estable. Para hacer esta tarea lo más eficiente posible, el árbol dispone de

una forma de ramificación con muchas superficies, sus hojas. «El área de superficie del

árbol y el volumen de espacio que ocupa son casi los mismos. Los nutrientes del árbol flu-

yen a una rapidez constante, independientemente de su tamaño». Calculando la relación

entre la masa de las diferentes especies de árboles y sus metabolismos se encontró que

la relación se ajusta a la Ley de Kleiber.

«Las geometrías de plantas y animales han evolucionado más o menos en parale-

lo», dice el botánico Todd Cooke. «Las primeras plantas y los animales tenían cuerpos

simples y bastante diferentes, pero la selección natural ha actuado en los dos grupos de

forma que las geometrías de los árboles y los animales modernos muestran, sorprenden-

temente, eficiencias energéticas equivalentes. Ambos son igualmente aptos. Y eso es lo

que la Ley Kleiber nos muestra».

La TMB = PB (TBM tasa metabólica basal y PB potencia basal) es proporcional al

área de la sección transversal, ya que el calor que genera es proporcional al número de

fibras que contenga, por tanto:

Y por tanto,

Según fuentes bibliográficas se tiene TMB = PB = a Pb

PB TMB a d a a m

PB TMB am

2 3/8 2

3/4

( )= = ′ = ′ ′

= =

PBM

70,0 MM

70,0M k caloríadía

3,40M W 290M kJ / día

34 1

414

14= = = =

− − −


34


Valores de a y b en las relaciones alométricas de la TMB con el peso (kg) Grupo Temperatura Corporal Factor a* Exponente b

Mamíferos euterios Normal 3,3 0,76 – 0,65Aves paseriformes Normal 6,3 0,72 – 0,73

Aves no paseriformes Normal 3,6 0,69 – 0,75

Lagartos 37 C 0,68 0,82

Reptiles 20 C 0,13 0,77 – 0,80

Anfibios 20 C 0,75 – 0,86

Peces 20 C 0,43 0,70 – 0,88

Crustáceos 20 C 0,27 0,78 – 0,81

Anélidos 20 C 0,61 – 0,82

Moluscos 20 C 0,75

Organismos unicelulares 20 C 0,055 0,83

* El valor de a corresponde a TMB expresada en Watios

Y observamos que el valor del exponente es cercano a 0,75. Pero la ordenada en el

origen difiere, además se nota que los organismos unicelulares y los de sangre fría mues-

tran un valor ligeramente más alto.

El gráfico adjunto (figura 20), se representa el metabolismo medido en potencia PB

en función de la masa en kg para diferentes especies. Los resultados (de la literatura)

revelan que hay tres tipos de comportamientos, que se diferencian no por la pendiente,

más bien por la ordenada en el origen. Esto permite agrupar las especies en tres grupos

según este parámetro.

Tabla 5. La ecuación tiene la forma TMB = a Pesob (Fuentes: Alexander, 1999, Willmer, 2005)

35



Fig. 20. Representación gráfica del metabolismo medido en poten-cia PB en función de la masa en kg para diferentes especies.

Grupo 1: organismos unicelulares (20 °C)

Grupo 2: organismos poikilotérmicos (20 °C)

Grupo 3: organismos homeotérmicos (39 °C)

Ese análisis conduce a un modelo con las siguientes características: se trata del ma-

nejo de la energía; luego el trabajo es F dr = Dw y la potencia es el producto de la fuerza

por la velocidad de la contracción muscular. Si la fuerza depende linealmente de la sec-

ción transversal del músculo y si esta es isotrópica, se tiene P = k d2 y la masa es propor-

cional a L d2 y L es proporcional a d3/2 entonces la potencia es proporcional a la masa a

la potencia ¾.


36


Para un gran número de especies y de funciones fisiológicas, la variación de la ener-

gía por unidad de tiempo en función de la masa sigue una ley de potencia ¾. El histogra-

ma construido con los exponentes de las especies, de un mismo grupo, presenta un pico

Fig. 21. La variación de la energía por unidad de tiempo en función de la masa, para un gran número de especies y de funciones fisiológicas.

muy pronunciado alrededor de 0,75.

Al hacer el gráfico normalizado representa el mismo metabolismo medido en poten-

cia P por unidad de masa en función de la masa para las diferentes especies. Se puede

apreciar de manera más precisa la diferencia entre los tres grupos (figura 22).

Fig. 22. Representación gráfica que facilita diferenciar entre los tres grupos señalados.

37



Un mamífero, para nutrir su masa corporal, necesita combustible (alimentos). La que-

ma de combustible genera calor. El animal tiene que encontrar una manera de deshacer-

se del exceso de calor corporal. La manera obvia es enfriando su superficie. Pero debido

a que la superficie es proporcionalmente menor que su masa, la piel de la criatura tendría

un calor ardiente y su pelaje podría estallar en llamas. A medida que los animales se ha-

cen más grandes en tamaño, su metabolismo debe aumentar a un ritmo más lento que su

volumen, o no serían capaces de deshacerse del exceso de calor. Si la superficie fuera

lo único que importara, el metabolismo de un animal aumentaría cuando su tamaño au-

menta, a razón de su masa a la potencia dos de la masa corporal. ¿Qué dice la gráfica?

Fig. 23. Representación gráfica relación entre volumen de los pul-mones de diferentes mamíferos y la masa del cuerpo.


38


La pendiente de la recta es muy aproximadamente igual a 1, es decir, el volumen de

los pulmones representa una fracción constante de la masa del cuerpo. Pero debemos

recordar que la función de los pulmones es optimizar el contacto entre el aire y la sangre.

¿Cómo obtiene la sangre una parte importante del proceso de la combustión que es el

oxígeno? A través de los pulmones. El volumen de aire inspirado o espirado en cada

respiración normal de los pulmones del adulto humano, en litros, es de unos 500 Ml, pero

la capacidad pulmonar total (CPT), es el volumen de aire que hay en el aparato respira-

torio, después de una inhalación máxima voluntaria. Corresponde a aproximadamente 6

litros de aire. Sin embargo, se necesita una gran superficie para conseguir del aire esa

cantidad, aproximadamente una cancha de baloncesto. Eso significa doblar esa super-

ficie para meterla en el menor volumen posible y se transforma en un reto como figura

geométrica: ¿Cuál es su dimensión fractal? En la unidad didáctica se propone una expe-

riencia para obtener simulación de la situación. Pero debemos tener presente, que hay

causas múltiples para los comportamientos relacionados con las leyes de escala en los

seres vivos, pues son organismos complejos. Según Darveau et al., y Hill et al., tenemos

la teoría de causas múltiples. Esto se ilustra en el caso del metabolismo específico como

se indica en el siguiente cuadro.

39



Tabla 6. Teoría de las causas múltiples.

Aquí entra la necesidad de introducir una actividad periódica, la que determina la

rapidez a la cual los nutrientes son llevados por todo el cuerpo de los animales y como

resultado de la producción de calor (combustión) aparecen desechos que se eliminan

por la sangre también como CO2. Ese órgano es el corazón, y a través de la presión

rítmica (la frecuencia introduce el tiempo que es la variable conjugada de la energía y

su producto es una acción). Se calculó la rapidez a la que el corazón de los animales


40


bombea sangre y encontraron que la rapidez del flujo sanguíneo era igual a la masa de

los animales a la potencia de una doceava parte.

Mientras que el volumen total de sangre es proporcional a la masa total del animal

la presión sanguínea es independiente de la masa del animal (figura 24).

La TMB es proporcional al caudal de sangre y

Por lo tanto, el periodo de los latidos cardiacos del corazón (TLC) es, TLC = bm1/4. El

tiempo de vida media de los animales es TVM = bm1/4. La Vida media es proporcional a

la potencia ¼ de la masa.

V m ,TS( )α

Fig. 24. Representación gráfica del volumen total de sangre vs la masa corporal de animales.

Q TMB m3/4α α Q V / t,=

t V / Q b(m /m ) bm .3/4 1/4= = =

41



Especie M (kg) AñosRatón 0,025 3,5

Conejillo de India 0,3 7,5Zorra 3 14Cabra 30 18

Hombre 65 70Gorila 200 35

Elefante 3 500 70

En consecuencia, se concluye que los periodos de los latidos cardiacos son propor-

cionales a las vidas medias de los animales

Así, el número medio de latidos cardiacos es aproximadamente el mismo para todos

los animales: 1 500 X 106 latidos en toda su vida.

Tabla 7. Datos sobre los años y la masa de distintas especies.

T T .LC VMα

Fig. 25. Gráfico del tiempo de vida media de la especie en función de la masa promedio.

43



A manera de reflexión, la física actual llama a las leyes de escala, cuando los expo-

nentes son fraccionarios, comportamiento fractal.

Vemos como el mundo vivo tiene una serie de comportamientos que no son inva-

riantes de escala clásicos (con exponentes enteros), se trata de invariancia de escala

por cada dimensión, es decir que el cambio de escala se hace según una dirección dada

diferente a las otras direcciones, las cuales, a su vez, pueden ser invariantes de escala

pero con otro factor de escala.

La complejidad es la característica esencial del mundo que nos rodea y de nosotros

mismos. Una característica esencial de la ciencia es que las ideas científicas están

sujetas a cambio, la ciencia no puede dar respuestas completas a todas las preguntas y

como la Ciencia es una actividad social compleja, no se debe tener una filosofía de tipo

reduccionista, a pesar de su éxito evidente en sus campos tradicionales de aplicación

particulares.

Ejercicio de aplicación: ¿Cuál es la estimación de la vida media de una persona si

tienen un promedio de ritmo del corazón de 65 latidos por minuto y comenta el resultado?

¿Cómo se alargaría la vida si ese fuese el único factor que determinase la edad de una

persona?

3. CONCLUSIÓN

45



4. APÉNDICE N° 1

La derivada (que es un operador lineal) está asociada a la rapidez de crecimiento de

la función potencial, en efecto, al derivar f(x) = Axq, se tiene una función derivada que

crece menos rápidamente de un grado, comparada con f(x). Si aplicamos la derivada

varias veces a la función f(x), la función obtenida crece menos rápidamente de unidad en

unidad hasta pasar por cero, el cual le cambia el comportamiento de potencial creciente

a potencial decreciente.

La integral, que es la operación inversa de la derivada, le hace lo mismo a la fun-

ción pero de manera inversa, sube el grado (o rapidez) de crecimiento de una unidad,

cada vez que se integra. Eso significa que la operación derivada (e integral) tal como

la conocemos es una acción cuantificada. Realmente pensamos que esto se da como

un prejuicio epistemológico ya que no es la manera natural de abordar el proceso, pero

cabe preguntarse si no existe la q-derivada, es decir, la derivada en el continuo, la cual

haría bajar el grado de crecimiento de una cantidad correspondiente a un intervalo de R

infinitamente pequeño (conjunto de los números reales).

Por otro lado, es lógico preguntarse ¿cuál es la función que más rápidamente crece?

La respuesta es que si la buscamos por integración clásica debemos hacerlo sobre la

función generadora f(x) = Axq. Es equivalente a que q tienda al infinito, pero lo hacemos

crecer de unidad en unidad o de intervalo infinitamente pequeño en intervalo infinitamen-

te pequeño.

Ahora analicemos la tasa de variación (dqf/dqx) y hacemos la hipótesis más sim-

ple que es la de linealidad, con lo cual decimos que la función que más rápidamen-


46


te crece no se le puede subir el grado de crecimiento (por q-integral) o bajar el grado

de crecimiento por q-derivada y por lo tanto es proporcional a ella misma dq f/dqx = k

fq(x) donde k es una constante que fijamos según las condiciones iniciales, por ejemplo

f(0) = 1, y tomemos q =1. Con ello decimos que la función f(x) es la que más rápida-

mente crece pues su tasa de variación es proporcional a ella misma. A esa función

se le denomina 1-exponencial (o simplemente exponencial) cualquiera que sea la base

utilizada para escribir los números. La función inversa de la función anterior debe ser

la función que más lentamente crece y se le denomina 1-logaritmo o simplemente lo-

garitmo natural. Si suponemos que la q-derivada se reduce al recorrido de q por los

enteros o por un conjunto isomorfo a N, podemos resolver, por el método clásico, la

ecuación que se obtiene al derivar e integrar la función f(x) para un caso y para el otro:

df/f(x)= dx de allí que ln f(x) = x + constante, con lo cual f(x) = A exp(x).

La función que más rápidamente crece es pues f(x) = A exp(x) y lo que cambia en la

escritura es que la variable x se pone en el exponente y no en la base (y la base puede

ser cualquier número). Recordemos que Aquí se ha utilizado las

propiedades de que toda cantidad multiplicada por un número superior a uno la aumenta,

se toma un número ligeramente superior a uno (pero usando el conjunto Q isomorfo a N)

para fabricar una cantidad cada vez más pequeña (1/n) de manera que tenemos 1 + 1/n.

Eso nos da la base e (número transcendente que es la base del exponencial y del logarit-

mo natural) y sugiere que podemos, de la misma manera, generar cualquier número real.

Para ello reemplazamos 1/n por un número cualquiera cercano pero menor que 1 o sea

1 - q = 1/n es decir, n = 1/(1-q) y en la expresión tenemos donde

Sin embargo, conocemos la expresión llamada serie geométrica:

lim(1 (1 q)x)q 1

1/(1 q)+ −→

−

lim(1 (1 q)x)q 1

1/(1 q)+ −→

−q 1.<

1 q q q 1 q1 q

2 nn 1

+ + + + = −−

+

47



Con ello podríamos encontrar las funciones exponenciales con cualquier base.

Ahora supongamos que no estamos en el caso lineal, de manera que dqf/dqx)= k fq(x)

y si f(x) = y tenemos la 1-derivada dy/dx = yq.

Vista la expresión podemos generalizarla a la expresión n = (1- qn)/(1-q) que sabemos,

por la serie geométrica, que podemos escribir donde k

es entero que va de 1 al infinito.

Jackson en 1910 definió una q derivada. La diferencia entre la derivada corriente y

esta derivada está en que la variación no es aditiva (Δx = x´ - x0, o sea x´ = x + Δx) mul-

tiplicativa (x´= qx),

Y como ejemplo, para ver su funcionamiento, tenemos el caso simple de la función

cuadrática

Para el caso simple, cuando integramos la ecuación dy/dx= yq; la solución es

que se verifica derivando la función y con respecto a x. Vemos apa-

recer el caso de la hipótesis simple de la sustitución de n por una variación simple n = 1/

(1-q). Al sustituir q por su forma más simple 1 – 1/n tenemos el cual si n es

entero, en el límite, obtenemos que y es el exponencial clásico e y si n no es entero debe-

mos servirnos del teorema de Godel para suponer que por inducción el límite existe pues

1 q q q q2 3 k 1+ + + + = ∑ −

D f x f(qx) f(x)qx x

, lim D D ddx.q q 1 q 1( ) ≡ −

−= ≡

→

la función f(x) x , luego

D f(x) (qx) xqx x

x (q 1)x(q 1)

x(q 1)(q 1)(q 1)

x (1 q).

limD f(x) limx (1 q) 2x.

2

q

2 2 2 2

q 1 q q 1

=

= −−

= −−

= − +−

= +

= + =→ →

y 1 (1 q) x11 q= + − −

1 xn

n

+


48


lo que significa que hay más términos multiplicando (similar al factorial de n o función

gama para cuando en el factorial, n no es entero). Expresiones de un número base n

(generado a partir de q) llamado número nq y el factorial de ese número.

La función y se denomina expq(x) o q-exponencial. La función inversa de q-expo-

nencial será la función q-logaritmo, en efecto y

cambiando q por q = 1 – 1/n = (n-1)/n, se tiene y(x) = n(x1/n-1) que vemos que es la función

inversa de la q-exponencial.

Existen otras maneras de general el exponencial y el cálculo, pero sabemos que de

acuerdo a los trabajos de Robinson y Reeb que todos los cálculos no estándar son equi-

valentes.

n 1 q1 q

1 q q q (q ).

n !n n 1 1 si n 1,2,3.

1 si n 0,

n ! 1 1 q 1 q q 1 q q q

q

n2 n 1

nk 1

qq q q

q2 2 n 1

( ) ( )

{ }

{ } { } { } { }

{ } ( )

≡ −−

= + + + + = ∑

≡− =

=

≡ ⋅ + ⋅ + + + + + +

− −

−

(n 1) 1 1 q 1 q q 1 q q q n q!.

lim n lim 1 q1 q

n,

lim n ! n!,

lim n 1 lim n ! n! (n 1).

q2 2 n 1

q 1 q q 1

n

q 1 q

q 1 q q 1 q q

( ) ( )( ) { }{ }

{ }( ) { }

Γ + ≡ ⋅ + ⋅ + + + + + + =

= −−

=

=

Γ + = = = Γ +

−

→ →

→

→ →

y(x) x 11 q

1 xq 1

, x 01 q 1 q

= −−

= −−

>− −

51



5. REFERENCIAS

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brary/pdf_06/report-rocard-on-science-education_fr.pdf.

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edición electrónica. En

http://www.campus-oei.org/revista/deloslectores/702Vazquez.PDF.

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http://inside.mines.edu/~dwu/classes/chen610/articles/West%20Life’s%20Universal%20Sca-

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Cromer, Alan H. (1996). Física para las ciencias de la vida. Editorial Reverte. Barcelona, España.

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52


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cundaria. Monografía para optar por el título de licenciada en docencia en física. Universidad de

Panamá.

Tsallis, C. (1988). Jour. Of Stat. Phys., 52, p. 479.

55



6. INDICE DE FIGURAS

Fig. 1 La Tierra deforma el espacio en su alrededor, pero cerca de la superficie de la Tierra las líneas de campo llegan perpendiculares. Fig. 1a., obtenida del sitio (marzo, 2015): https://encrypted-tbn3.gstatic.com/images?q=tbn:ANd9GcQP51jlFVN_CB7MtydiML95mXFyHMShqE-mwFa6DxL77OZ8FqXhaMgFig. 1b., obtenida del sitio (marzo, 2015): http://upload.wikimedia.org/wikipe-dia/commons/thumb/e/e6/Pushing1.png/220px-Pushing1.png

10

Fig. 2 Diferencia de tamaños en animales, en escala logarít-mica. Figura obtenida del sitio (marzo, 2015):

11

Fig. 3 Relación frecuencia vs intensidad para el oido humano. Imagen to-mada del sitio (marzo de 2015): https://encrypted-tbn2.gstatic.com/images?q=tbn:ANd9GcRq-KXRzwPrUhlLwWh8J_ghwiqaxhuggYsiaX4UUp-Z51eHHAeRfTw

13

Fig. 4 La pendiente de la recta es 2 lo que indica que el comportamiento es logarít-mico en base dos. Gráfica construida con la información obtenida del sitio: http://es.wikipedia.org/wiki/La_(nota).

14

Fig. 5 Ilustración de la percepción del tamaño (largo/ancho de las patas) de una mosca, un perro y un elefante. Figura 5.a. Obtenida del sitio: https://encryp-ted-tbn2.gstatic.com/images?q=tbn:ANd9GcTuWQNjYJKcKkxgKpBFLD9hetBAwT9yf4eqLI-JZdcUqfyTXg8CRwFigura 5.b. Obtenida del sitio: http://img.loquenosabias.com/tops10/2011/10/05/las-10-razas-de-perros4.jpgFigura 5.c. Obtenida del sitio: https://encrypted-tbn1.gstatic.com/images?q=tbn:ANd9GcQnymBP9eeHl50tktlMjtpSpJr5PpO3C4tg6WuSQlf3i_PofaYejg

16

Fig. 6 Comparación ilustrativa de la fuerza de una hormiga y un elefante. Obteni-da del documento disponible en el sitio: http://www.udea.edu.co/portal/page/portal/bActualidad/facultadCienciasExactasNaturales/ElementosDiseno/Do-cumentos/2012/Taller%20Biofisica-EEC.pdf

17

Fig. 7 Representación gráfica de la Ley de la Superficie de Rubner. 20Fig. 8 Variación del radio en el caso de la esfera o la arista en el caso del cubo. 22Fig. 9 Cilindros y paralelepípedos. 22Fig. 10 Representación gráfica de la relación L y m para animales (Cayetano et al.,

2013).24

Fig. 11 El húmero del antílope cumple con la relación 25Fig. 12 Diámetro vs altura de un tronco de árbol. 26Fig. 13 El tronco de un árbol varían en diámetro según la ley d = k l 3/2. 27Fig. 14 Representación gráfica de la relación superficie masa corporal. 28Fig. 15 Modelación de un caballo con figuras geométricas. 28Fig. 16 Modificación de la estructura de la pata de un caballo. 29

d (diámetro) L (Longitud).3/2α


56


Fig. 17 La longitud del brazo en función de la talla (por edad) de un ser humano notamos un cambio en el comportamiento de una ley de potencia.

30

Fig. 18 Presentación de un niño de 5 meses, 9 meses, dos años, seis años, trece años, y de 26 años.

31

Fig. 19 La curva clásica de Kleiber. 32

Fig. 20 Representación gráfica del metabolismo medido en potencia PB en función de la masa en kg para diferentes especies.

35

Fig. 21 La variación de la energía por unidad de tiempo en función de la masa, para un gran número de especies y de funciones fisiológicas

36

Fig. 22 Representación gráfica que facilita diferenciar entre los tres grupos señalados. 36

Fig. 23 Representación gráfica relación entre volumen de los pulmones de diferentes mamíferos y la masa del cuerpo.

37

Fig. 24 Representación gráfica del volumen total de sangre vs la masa corporal de animales.

40

Fig. 25 Gráfico del tiempo de vida media de la especie en función de la masa promedio. 41

59



6. INDICE DE TABLAS

Tabla 1 Un conjunto de animales con su correspondiente masa corporal. 10

Tabla 2. La información en esta tabla fue tomada del sitio: http://es.wikipedia.org/wiki/La_(nota).

14

Tabla 3. Relaciones funcionales entre el diámetro, la longitud, masa y superficie. 23

Tabla 4. Relaciones funcionales alometricas entre el diámetro, la longitud, masa y su-perficie.

24

Tabla 5. La ecuación tiene la forma TMB = a Peso (kg)b (Fuentes: Alexander, 1999, Willmer, 2005)

34

Tabla 6. Teoría de las causas múltiples. Fuentes: Darveau et al., 2002; Hill et al., 2006 39

Tabla 7. Datos sobre los años y la masa de distintas especies. 40

leyes de escala aplicadas a las ciencias biológicas

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