cap 1. flujo compresible. definiciones..pdf

UNEXPO

UNIVERSIDAD NACIONAL EXPERIMENTAL POLITCNICA

ANTONIO JOS DE SUCRE

VICE-RECTORADO PUERTO ORDAZ

DEPARTAMENTO DE INGENIERA MECNICA

SECCIN DE TERMOFLUIDOS

DINAMICA DE GASES

DINAMICA DE

GASES (322678)

Profesor: LUIS M. BUSTAMANTE

Puerto Ordaz. 2013.

Prof. Luis M. Bustamante. Ingeniero Mecnico. U.C.V. Esp. UNEXPO, UCAB. Diplomado U.L.A. Sociedad Bolivariana

UNEXPO. Dpto. de Ingeniera Mecnica Seccin de Termofluidos. Dinmica de Gases. Conceptos Fundamentales de Flujo Compresible.

2

CAPITULO I

CONCEPTOS FUNDAMENTALES DE FLUJO COMPRESIBLE.

1.1 Definicin de Flujo Compresible. 1.2 Regmenes de Flujo Compresible. 1.3 Velocidad del sonido. Nmero y

Angulo de Mach. 1.4 Condicin Caracterstica y de

Estancamiento. 1.5 Resumen de ecuaciones. 1.6 Aplicaciones. 1.7 Problemas. 1.8 Bibliografa.



3

CAPITULO I

CONCEPTOS FUNDAMENTALES DE FLUJO

COMPRESIBLE.

1.1.- DEFINICIN DE FLUIDO COMPRESIBLE.

Por lo general el fluido compresible se ha definido como aquel cuya densidad vara; esto en contraste con la tradicional definicin del fluido incompresible, en donde la densidad se asume como constante. Cientficamente se puede demostrar que todo fluido es compresible en mayor o menor grado. De cualquier modo, el hecho de asumir que la densidad se mantiene constante para algunos gases y lquidos puede considerarse razonable y en muchos casos el uso de la ecuacin de Bernoulli de la forma

constVp 22

1 (1.1)

permite cierta confianza. Sin embargo, para los conocimientos a suministrar en este trabajo, no se puede utilizar la ecuacin (1.1) para tratar el fluido compresible, ya que se requiere una definicin ms elaborada del mismo.

Considrese un pequeo elemento de fluido de volumen v . La presin que los

alrededores ejercen sobre ese elemento de volumen es p . Ahora considrese que esa

presin es incrementada una cantidad infinitesimal dp . Sobre este elemento de

volumen se estar experimentando una compresin que genera una variacin de

volumen dv y como el volumen se ha reducido, ste ser negativo. La compresibilidad, la cual es una medida de cuanto se puede comprimir un fluido, de un fluido se ha definido como

dp

dv

v

1 (1.2)

Fsicamente, la compresibilidad es una fraccin de cambio de un elemento de

volumen por unidad de cambio de presin. Sin embargo, lo expresado anteriormente, no es totalmente preciso. Por experiencia cuando un gas es comprimido su temperatura se incrementa, dependiendo de la cantidad de calor que ese gas intercambia con los alrededores. Si la temperatura de ese elemento de fluido es mantenida constante, entonces se estar realizando una compresin isotrmica y la compresibilidad se puede definir como



4

T

p

v

v

1 (1.3)

En otro orden de ideas si en el proceso de compresin no existe transferencia de

calor, es decir, si el proceso es adiabtico, se estar realizando una compresin isentrpica y la compresibilidad se define como

S

p

v

v

1 (1.4)

en donde el subndice s , indica que la derivada parcial es realizada a entropa constante.

La compresibilidad es una propiedad de los fluidos. Los lquidos la poseen muy

baja, (por el orden de 10-10 N

m2 a 1 atm) y los gases la poseen muy alta (por el orden

de 10-5 N

m2 a 1 atm). Si se asume que el elemento de fluido posee una masa unitaria,

v es el volumen especfico, y la densidad es v

1 ; en trminos de la densidad la

compresibilidad queda como

dp

d

1 (1.5)

o tambin

dpd (1.6)

es decir, cuando se experimenta un cambio de presin existir el correspondiente cambio en la densidad del fluido.

Con el anterior razonamiento se debe de llegar a comprender, definitivamente, que la compresibilidad es una propiedad exclusiva de los fluidos. Asmase ahora que ese elemento de fluido tiene velocidad, la cual es creada por una diferencia de presin. En particular, altos cambios de velocidad involucran altos cambios de presin. En consecuencia, si existen cambios de presin y en base a la ecuacin (1.6), existirn cambios en la densidad. Estos cambios en la densidad sern pequeos en los lquidos (poseen bajos valores de ), y altos en los gases (poseen altos valores de ). Para un campo de flujo de lquidos se hace necesario muy altos gradientes de presin para crear altas velocidades y as generar altos cambios en la densidad. Por lo anterior es que se asume que los lquidos son incompresibles, en donde la densidad de los mismos es constante. En otro orden de ideas, para un campo de flujo de gas, los cuales poseen altos valores de compresibilidad, para moderados cambios del gradiente de presin



5

existen sustanciales cambios en la densidad. Al mismo tiempo, al existir gradientes de presin, existirn altos cambios en la velocidad. El flujo definido de esta forma ser considerado como compresible.

Sin embargo es til sealar que para campos de flujos de gases a baja velocidad, los cambios de presin asociados a los mismos, son pequeos, a pesar de poseer alta compresibilidad. Por esta razn, los campos de flujo de gas a bajas velocidades pueden considerarse como incompresibles. Por ejemplo, al disear ventiladores, estos se disean como si fueran a manejar un flujo incompresible.

Para fines de clculo se considerar como flujo compresible aquel cuyo cambio en su densidad este por encima del 5 por ciento. 1.2.- REGMENES DE FLUJO COMPRESIBLE.

En el flujo compresible, as como en el flujo incompresible, existen diferentes regmenes de flujo. Antes de sealar los diferentes tipos de regmenes del flujo compresible, es necesario considerar algunas definiciones iniciales, las cuales algunas sern tratadas con ms detalle ms adelante y otras ya fueron estudiadas en el curso de Mecnica de Fluidos. Aguas arriba de un cuerpo aerodinmico, si el campo de flujo es uniforme, la velocidad ser considerada como velocidad de corriente libre uniforme (

V ). Una lnea de corriente es aquella curva, en el campo de flujo, en donde la

velocidad local de cada partcula del campo de flujo, V , es tangente a esa curva.

Considrese un punto arbitrario en un campo de flujo, en donde p , T , y V son la

presin, temperatura, densidad y el vector velocidad reales o estticas o locales en ese

punto. Estas propiedades pueden variar en ese punto a otro en el campo de flujo. Si a

es la velocidad del sonido para la corriente libre uniforme, entonces la relacin

aV

,

define el nmero de Mach de esa corriente libre y se expresa como M . Similarmente,

se define como nmero de Mach real, esttico o local como a

VM , el cual puede

variar de un punto a otro en el campo de flujo.

Con las anteriores definiciones en mente, se puede sealar que existen cuatro regmenes de flujo compresible, los cuales se sealan a continuacin. (Ver figura 1.1)

1.- Flujo Subsnico. Considrese unas condiciones infinitas en donde 8,0M y un

cuerpo aerodinmico agua abajo de esas condiciones infinitas. En el cuerpo el nmero de Mach local, en cualquier punto, es menor a la unidad y por lo tanto la velocidad del campo de flujo, en cada punto, es menor a la velocidad del sonido. El campo de flujo, con las caractersticas del nmero de Mach sealado anteriormente, se define como flujo subsnico. Este flujo se caracteriza por tener sus lneas de corriente paralelas y una variacin en las propiedades en forma continua. Se debe de notar que en la corriente libre uniforme las lneas de corriente son rectas y paralelas y es al llegar al



6

cuerpo aerodinmico dejan de ser rectas y se amoldan al mismo. Es decir, las lneas de corriente se percatan de la presencia del cuerpo, propiedad sta importante en el flujo

b

V

M 1

V

M 0.8

M 1

0.8 M 1.0

M 1 M 1

Onda de Choque

M 1

1.0 M 1.2

M 1

Onda de Choque Curva

Onda de Choque

Onda de Choque Oblicua

M 1.2

M 1

M 5

M 1

. 1.1FIGURA flujoderegmenesdetiposdiferentesdenIlustraci



7

subsnico, y cambian de direccin Como se demostrar posteriormente, al pasar el campo de flujo sobre el cuerpo aerodinmico, la velocidad y el nmero de Mach local se incrementan, pero no lo suficiente como para que el nmero de Mach supere la unidad. En definitiva se considera un campo de flujo subsnico aquel en donde la corriente libre tenga un nmero de Mach igual o menor a 0,8.

2.- Flujo Transnico. Si M permanece subsnico, pero suficientemente cerca de la

unidad, y si el nmero de Mach esttico o local del campo de flujo que circula sobre la superficie del cuerpo aerodinmico llega a ser supersnico en varios puntos, el flujo se considera como flujo transnico. En este tipo de rgimen se puede producir alguna onda de choque en una dimensin, (este concepto se tratar posteriormente con detalle), con las respectivas discontinuidades en las propiedades del campo de flujo. Si el nmero de Mach, de la corriente libre, se incrementa sobre la unidad se pueden generar ondas de choque en tres dimensiones y hasta ondas de expansin. Para este rgimen las lneas de corriente de la corriente libre, son rectas y paralelas con un nmero de Mach uniforme. Al pasar el campo de flujo sobre el cuerpo aerodinmico y generarse alguna onda de choque, este se convierte en subsnico y posteriormente puede llegar a ser supersnico. Cuando en el campo de flujo exista una mezcla de flujo subsnico y supersnico se estar considerando como flujo transnico; y especficamente cuando se presenta la situacin en que el nmero de Mach vara de la

forma 2,18,0 M se estar considerando un rgimen transnico.

3.- Flujo Supersnico. Un campo de flujo en donde el nmero de Mach sea, en cada punto, constantemente superior a la unidad ser considerado como supersnico. Puede que se presente una onda de choque en dos dimensiones, (choque oblicuo), y como se estudiar posteriormente, la corriente de flujo, posterior a la onda de choque puede continuar supersnica, a pesar de existir las correspondientes discontinuidades en las propiedades del mismo. Aguas arriba de la onda de choque las lneas de corriente son paralelas y rectas. Aguas abajo de la onda de choque continan siendo rectas y paralelas. A diferencia del flujo snico, la corriente libre uniforme supersnica no se percata tan rpidamente de la presencia de la obstruccin y se genera una onda de choque. El campo de flujo es generalmente supersnico aguas arriba y abajo de la onda de choque oblicua, existiendo dramticos cambios en fsicos en las propiedades del campo de flujo. 4.- Flujo Hipersnico. Como se indicar posteriormente, la temperatura, la presin y la densidad de un campo de flujo se incrementan a travs de alguna onda de choque. En

la medida en que M se incrementa a valores muy altos, en esa misma medida los

cambios en las propiedades sern ms severos. Para valores de 5M y con alguna

onda de choque existirn, en el campo de flujo, un aumento de temperatura tal que el

gas se disocia y reacciona qumicamente. Por esta razn el campo de flujo con 5M

es un caso muy especial el cual se le denomina flujo hipersnico. Se ha establecido

entonces que el valor de 5M sea la frontera entre el flujo supersnico y flujo

hipersnico. El estudio de este tipo de flujo se tratar en futuros trabajos.



8

1.3.- VELOCIDAD DEL SONIDO. NMERO Y ANGULO DE MACH.

El aire est compuesto por molculas que estn en continuo movimiento, con diferentes velocidades instantneas y energas diferentes en diferentes tiempos. Sin embargo, se puede determinar, para un perodo de tiempo determinado, la velocidad promedio y el nivel de energa molecular. Para un gas perfecto dichas propiedades son nicamente funcin de la temperatura. Considrese ese aire alrededor de usted. Asuma que en este instante se produce alguna perturbacin, (como por ejemplo, la explosin de un globo de goma), alrededor de usted. La energa liberada por esa perturbacin es absorbida por las molculas adyacentes con el resultado del incremento de la velocidad media de las mismas. Estas molculas colisionan con las adyacentes a ellas, transfirindoles energa y as sucesivamente, crendose una transferencia neta de energa o la propagacin, en el espacio, de la perturbacin o especficamente, la creacin de una onda de energa. Esta onda de energa se desplaza en el aire a una velocidad que depende de la velocidad media de las molculas, ya que son las colisiones moleculares las que estn originando dicha onda de energa. Mientras la onda de energa se desplaza, se est variando la energa lo cual produce cambios sensibles en la presin, densidad y temperatura del aire. Lo anterior ocurre hasta que la onda llega al odo y es detectada en el celebro como un sonido. De este modo, esa onda energticamente dbil se denominar onda snica u onda de sonido y esa

velocidad se representa por a . Una onda snica, por definicin, es una onda dbil que produce cambios en las propiedades en forma infinitesimal. Bsicamente el propsito del estudio del flujo compresible consiste en estudiar los efectos que esa onda snica produce en el seno del aire o de algn gas. Considrese que se esta desplazando junto con una onda snica que tiene una velocidad a . El aire, aguas arriba de la onda, se

mueve a la velocidad de la onda a , como se indica en la figura 1.2. A causa de la existencia de los cambios en las propiedades del flujo, a travs de la onda, el flujo aguas abajo de la onda se desplaza a una velocidad diferente.

Sin embargo, estos cambios son sensibles. Como una onda snica, por definicin, es una onda dbil, se deben considerar los cambios en las propiedades, como cambios infinitesimales, y en el caso de la velocidad de la onda se tiene un

0V

T

p

a

dV

dTT

d

dpp

AA

ControldeVolumen

A A

a

T

p

daa

dTT

d

dpp

presindeonda presindeonda

.

)( . )( 1.2FIGURA

presindeondalaoconteniendcontroldevolumenalrelativoflujode

campoElbflujodecampodeltravsamoviendosepresindeOndaa

)(a )(b



9

cambio de da . De la misma forma, la presin, la densidad y la temperatura tendrn sus

respectivos cambios generando, aguas abajo de la onda, los valores de dpp , d

y dTT respectivamente.

Para aplicar las ecuaciones bsicas es necesario establecer el volumen de control en la onda snica, para ello se mantendr fija y moveremos el aire. El campo de flujo a travs de la onda es unidimensional. En base a la figura 1.2, y si la regin 1 y 2 estn aguas arriba y abajo respectivamente y aplicando continuidad, se tiene

daada (1.7)

daddaadaa (1.8)

realizando las operaciones necesarias y despreciando los trminos de segundo orden, se obtiene

d

daa (1.9)

Aplicando la segunda Ley de Newton, se logra

22 daaddppap (1.10) realizando, de nuevo, las operaciones necesarias y despreciando los trminos de segundo orden,

dadaadp 22 (1.11)

resolviendo para da :

a

dadpda

2

2

(1.12)

sustituyendo la ecuacin (1.12) en la (1.9)

a

ad

dp

a2

2

(1.13)

y resolviendo para 2a



10

d

dpa2 (1.14)

Considrese, en este momento, necesario estudiar el proceso que ocurre dentro

de la onda snica. Ya se ha dicho que los cambios producidos por la onda snica son sensibles, infinitesimales, esto implica que la irreversibilidad, los efectos de disipacin por friccin y transferencia de calor son despreciables. Por otro lado, no existe adicin de calor al flujo dentro de la onda snica. Por lo tanto se puede afirmar que el proceso, dentro de la onda snica, es isentrpico y la ecuacin (1.14) puede escribirse de la forma

S

pa

2 (1.15)

La ecuacin (1.15) es la expresin fundamental de la velocidad snica o de la

velocidad del sonido para cualquier gas. Si se recuerda que v

1 , entonces

2vdvd y si se sustituye este trmino en la ecuacin (1.15), se tiene que

S

SSp

vv

vv

v

ppa

1

22

y por lo tanto

SS

vpa

(1.16)

Se ha deducido la ecuacin (1.16) para confirmar que, si se considera 0 para los fluidos incompresibles, implica que la velocidad del sonido debe tener un valor infinito.

Para los gases calricamente perfectos, tomando en cuenta la relacin isentrpica

constpvk

diferenciando y recordando que

1v , se tiene



11

kpp

S

entonces,

kpa (1.17)

o

kRTa (1.18)

En definitiva, la ecuacin (1.16) es la expresin general de la velocidad snica

para todos los gases y las ecuaciones (1.17) y (1.18) son las expresiones de la velocidad snica para los gases perfectos. Obviamente que para los gases reales o qumicamente reaccionantes dichas ecuaciones no son vlidas. Es de notar que la ecuacin (1.18) indica que la velocidad snica est en funcin proporcional solamente de raz cuadrada de la temperatura y esto est en concordancia con el criterio inicial de que la velocidad snica es un promedio de la velocidad molecular.

Como se recordar el nmero de Mach est definido como a

VM , si ambos

lados de la ecuacin se elevan al cuadrado y se supone un gas calricamente perfecto, se obtiene

kp

V

kRT

V 22 2M (1.19)

La energa cintica e interna por unidad de masa de algn elemento de fluido son

2

2V y e respectivamente y recordando que 1

k

Rcv , se llega a

22

2222

2

1

1

2

1

222 M

kk

ka

Vk

kRT

V

Tc

V

e

V

v

Como se deduce, para un gas calricamente perfecto, (donde Tce v ), el

cuadrado del nmero de Mach es proporcional a la relacin entre las energas cintica e interna respectivamente. Esto es una forma de entender la relacin que existe entre el movimiento de un gas y el movimiento trmico molecular del mismo.



12

En base a lo anterior se puede concluir que, dependiendo de que el nmero de Mach sea menor o mayor a la unidad, la respuesta de un campo de fluido difiere. Como

ilustracin de lo anterior se supondr la existencia de un emisor de sonido de forma intermitente cuya onda snica o perturbacin ya se conoce que se propagar a una velocidad relativa al fluido, (ver figura 1.3). Caso a. Supngase que el campo de flujo no tiene movimiento en relacin con la perturbacin. Las ondas snicas se propagan en forma uniforme desde el emisor.

Fuente

Fuente

Fuente

Fuente

aV

o

V

0

ttageneradaOnda

ttageneradaOnda 2

tata2

)a

aV

21 ta2ta

ttageneradaOnda ttageneradaOnda 2

ttageneradaOnda 3

ttageneradaOnda 2

ta2

ta

aV

Ondade

Envolvente

)c

)b

ta

ttageneradaOnda 3

ttageneradaOnda 2

ta2

tV3

t3

aV 2

)d

ondasdeEnvolvente

FIGURA 1.3.- Patrn de ondas generadas por el flujo sobre una perturbacin puntual a) M 0; b) M = 0,5; c) M = 1,0; M = 2,0



13

Cada onda se genera en el tiempo en forma intermitente desde un tiempo t inicial. Si a

un intervalo de tiempo t , la onda que se genera t segundos antes se ha difundido en un crculo de radio tc , (ver figura 1.3), la onda generada en tt 2 se ha difundido a un crculo de radio tc2 , y as sucesivamente generndose un patrn de ondas simtrico alrededor del punto emisor. Caso b. Supngase ahora que el campo de flujo tiene velocidad tal que 1M , y que pasa a travs del punto emisor. El comportamiento de las ondas snicas es similar al caso anterior, solo que no existe simetra en la generacin de las mismas. En este momento el flujo no se ve afectado por la onda snica hasta que est muy cerca del punto emisor. Caso c. Supngase que el campo de flujo tiene una mayor velocidad hasta el punto de que 1M , es decir, el campo de flujo se desplaza a la misma velocidad que la onda snica. El patrn de generacin de las ondas se indica en la figura 1.3. Se observa que las ondas forman una envolvente recta, perpendicular a la velocidad del campo de flujo. Todas las ondas forman parte de esta envolvente. En esta oportunidad el campo de flujo se ve afectado por las ondas snicas al cruzar la envolvente. Caso d.- Finalmente supngase que el campo de flujo tiene una velocidad tal que 1M . A una velocidad supersnica las ondas se arrastran corriente abajo ms rpido que lo que se difunden, (ver figura 1.3). Todas las ondas estn confinadas en una regin triangular o cnica, que se extiende corriente abajo desde el punto emisor.

Las ondas forman una envolvente de semingulo . Solamente el flujo dentro de

la envolvente es afectado por el punto emisor. Esta envolvente de ondas snicas infinitesimales se conoce como onda de Mach, en el flujo bidimensional y como cono de

Mach en el flujo tridimensional y el ngulo se conoce como ngulo de Mach.

Aplicando la trigonometra necesaria se tiene

M

1

2

2

V

a

tV

ta

tV

tasen

y

M

11sen (1.20)

1.4.- CONDICIN CARACTERSTICA Y DE ESTANCAMIENTO.

Antes de continuar, y para que exista una mayor facilidad en la comprensin de los captulos siguientes, se hace necesario emitir algunas otras definiciones.



14

Considrese un punto A en un campo de flujo arbitrario. A este punto de elemento de flujo le corresponden un nmero de Mach M , una velocidad V, una presin y temperatura real, local o esttica p y T, respectivamente. Ahora imagnese que, en forma adiabtica, la velocidad de ese elemento de flujo es modificada hasta tener, el punto A, un nmero de Mach igual a la unidad. Es de suponer que igualmente la temperatura del punto A se ha modificado. Cuando algn elemento de fluido llega, imaginativamente y en forma adiabtica, a un 1M , para unos valores reales iniciales de M y T, la nueva temperatura, (se insiste, solo en la imaginacin del lector), se define

como temperatura caracterstica T . De esta manera, se deriva la velocidad snica para

ese Mach =1 como a , donde

kRTa (1.21)

y

aVM (1.22)

De tal forma que para un elemento de flujo con valores reales o estticos de M y

T, se le pueden asociar valores imaginarios de T y a .

Se concluye que existen las definiciones que especifican las propiedades caractersticas como aquellas que se logran cuando se llega a 1M en forma imaginativamente adiabtica.

De forma similar las propiedades de estancamiento o totales son aquellas que se

logran cuando se llega a 0M en forma imaginativamente isentrpica; y las propiedades estticas o reales como aquellas que ese elemento de flujo posee realmente.

Para el caso de las propiedades de estancamiento se tendr

OO kRTa (1.23)

y

O

OO RT

p (1.24)



15

1.5.- RESUMEN DE ECUACIONES.

constVp 22

1

(1.1)

dp

dv

v

1

(1.2)

Tp

v

v

1

(1.3)

Sp

v

v

1

(1.4)

dp

d

1

(1.5)

dpd

(1.6)

daddaadaa

(1.8)

daada (1.7)

d

daa

(1.9)

22 daaddppap (1.10)

dadaadp 22

(1.11)

a

dadpda

2

2

(1.12)

a

ad

dp

a2

2

(1.13)

d

dpa2

(1.14)

S

pa

2

(1.15)

SS

vpa

(1.16)

kpa

(1.17)

kRTa

(1.18)

kp

V

kRT

V 22 2M

(1.19)

M

11sen

(1.20)

kRTa



4

(1.21)

aVM

(1.22)

OO kRTa

(1.23)

O

OO RT

p

(1.24)



4

1.6.- APLICACIONES.

N 1.- Un aeroplano est pasando exactamente sobre una persona a una altura de 1000 m. Cuanto tiempo tarda en or el aeroplano esa persona?. El aeroplano viaja con un nmero de Mach de 1,5 y la temperatura ambiente es de 20 .

Solucin 1.- Leer. 2.- Datos: a) z = 1000 m; b) M = 1.5; Temperatura ambiente = 20 C; k = 1,4; R = 287 m2/(s2 K) 3.- Pregunta: Cuanto tiempo se tarda en or el sonido de un aeroplano que pasa exactamente sobre una persona 4..- Dibujo:

5.- Hiptesis: a) Gas calricamente perfecto. Nmero de Mach constante.

6.- Leyes y Ecuaciones: Leyes Bsicas. B) ecuaciones:

a)

M

11sen ; b) kRTa ; c)

aVM ; txV

7.- Desarrollo.

tVtg

x

ztg

100011

sen

1M

tV

tgsen

1000

11

M

2932874,15,1 kRTaV MM

ttgsen

2932874,15,1

1000

15,1

1 m

seg 17,2t

Resultado

seg 17,2t

5,1 M

m 1000z

tVx

Prof. Luis M. Bustamante. Seccin de Termofluidos. 4

N 2- En un instante determinado, dos ondas de presin se mueven a la velocidad del sonido y son emitidas por un punto que se mueve a una determinada velocidad, tal y como se muestra en la figura. Determine el nmero de Mach del punto involucrado.

Solucin al problema

1.- Leer.

2.- Datos: e1 = 0,245 m; e2 = 0,127 m; e3 =

0,0508 m-

3.- Pregunta: a) Mach del punto involucrado.

4.- Esquema

5.- Hiptesis. Gas calricamente perfecto.

6.- Leyes y Ecuaciones. Ecuacin de Estado

Segunda Ley. Ecuaciones de Flujo Rayleigh.

Tablas Isentrpicas. Tablas Flujo Rayleigh.

kp

V

a

VM

7.- Desarrollo.

a) Mach del unto involucrado.

at

ta

24,024,01

1

at

24,01

at

24,02

Vt

tV

127,0127,03

3

Vt

127,03

321 ttt

Vaa

127,00504,024,0

Va

127,00504,024,0

1

67,0

19,0

127,0

0504,024,0

127,0

a

V

67,0M

RESULTADOS:

67,0M

0.254 mt

0.0508 mt

0.127 mt

0.254 mt

0.0508 mt

0.127 mt

Prof. Luis M. Bustamante. Seccin de Termofluidos. 4

N 2- La ecuacin S

pa

2 es la expresin fundamental de la velocidad snica o

de la velocidad del sonido para cualquier gas. Confirmar que, si se considera la

compresibilidad nula ( 0 ), para los fluidos incompresibles, implica que la velocidad del sonido debe tener un valor infinito.

Solucin al problema

1.- Leer.

2.- Datos: S

pa

2

; 0

3.- Pregunta: a) demostrar que para 0 la velocidad del sonido es infinita.

4.- Esquema

5.- Hiptesis. Gas calricamente perfecto.

6.- Leyes y Ecuaciones.

v1 ;

S

pa

2

7.- Desarrollo.

v1

2vdvd

S

SSp

vv

vv

v

ppa

1

22

y por lo tanto

SS

vpa

Si ).(0 DQa

N 3- A que velocidad V se propaga por un tubo una onda de choque normal,

creada durante el movimiento del pistn a la velocidad seg

m 250PV por un gas a

la temperatura K 3001 T (fig. 1). Considere R igual a 290 J/kg.K; y k igual a 1,3.

Solucin

1.- Leer.

2.- Datos: VP = 250 m/s; T1 = 300 K; k = 1,3; R

= 290 J/kg K.

1 1 2 3 3

PV V 1V 2V

Fig. 1. a) Onda de Choque delante del pistn. b) Velocidades respecto del tubo y la onda. 1 = tubo. 2 =

pistn. 3 = onda de choque.

a b

4

3.- Pregunta: Velocidad V de la onda de

choque.

4.- Esquema

5.- Hiptesis. Flujo Isentrpico. Gas

Calricamente perfecto.

6.- Leyes y Ecuaciones. Conservacin de la

masa. Segunda Ley. Energa

RT

p

(1) 2211 VV

(2) 2

222

2

111 VpVp

(3) 22

2

22

2

11

Vh

Vh

1k

kRTTch P

VV 1

PVVV 2

7.- Desarrollo.

a) Velocidad de la onda de choque

(4) 2

222

2

1111 VRTVRT

(5) RVR

VV

V

VTT 22

12

1

212

(6)

2121

2

22

2

11 V

k

kRTV

k

kRT

(7) 2111

212

22

221

1

21

2

11

VV

k

kVV

k

k

V

VRT

k

k

VRT

k

k

ya que:

VV 1

PVVV 2

y sustituyendo en la ecuacin (7) y

desarrollando

(8) 032,11338632,2872 VV

sm 32,509V

Tambin se puede desarrollar el clculo

sustituyendo V1 y V2 en la ecuacin (7).

Desarrollando y resolviendo:

(9) 02

1 12 kRT

VVkV P

3002903,14

4

15,0

4

1 22

xxxVkVk

V PP

sm 49,509V

RESULTADO:

sm 49,509V

V1 V2

4

1.7.- PROBLEMAS. 1.1.- Determine la velocidad del sonido del aire cuando la temperatura es de 100 F y para -20 F.

1.2.- Compare los valores de la velocidad del sonido en seg

m para los siguientes

lquidos a 68 F: a) alcohol etlico, b) glicerina; c) mercurio. 1.3.- Un aeroplano est volando a una velocidad de 500 mph y a una altitud de 40000 pies. Determine el nmero de Mach si el aeroplano vuela a una presin atmosfrica estndar. 1.4.- El campo de flujo de un gas calricamente perfecto es considerado incompresible

si el nmero de Mach es menor a 0.3. Determine la velocidad para 3.0M para el: a) aire; b) hidrgeno a 68 F. 1.5.- Una foto del movimiento de un objeto en el aire a 14.7 psia y 68 F indica que el ngulo de Mach es de 28. A que velocidad se est moviendo el objeto? 1.6- En un instante determinado, dos ondas de presin se mueven a la velocidad del sonido y son emitidas por un punto que se mueve a una determinada velocidad, tal y como se muestra en la figura P1.6. Determine el nmero de Mach involucrado. 1.7- La compresibilidad de un lquido usualmente se

expresa como

d

dp . Demuestre que

a .

1.8-. Demuestre que para un gas calricamente perfecto que

a

dVk

p

dp y

a

dVk

T

dT1

1.9- El nmero de Mach de un flujo en un conducto es 3. Si la velocidad disminuye en un 25% qu porcentaje de cambio de rea es necesario para lograr dicha disminucin? Y si en nmero de Mach es de 0.7?

1.10.- Una bala se dispara con una velocidad de 500 seg

m en sentido opuesto a una

corriente de aire cuya temperatura es de 25 C y una velocidad de 100 seg

m .

0.254 mt

0.0508 mt

0.127 mt

Fig. P1.6

HaroldResaltado

HaroldResaltado

5

1.11.- Calclese el nmero de Mach para el flujo de aire, el nmero de Mach del proyectil si la bala se hubiera disparado en aire en reposo y respecto a la corriente de aire.

1.12.- Desde un recipiente con una temperatura de 30 C y una presin absoluta de 6.3

2cm

kg , fluye hidrgeno isentrpicamente hacia una seccin de 5 cm de dimetro,

donde la velocidad es de 350 seg

m . Calclese la temperatura, la presin, el nmero de

Mach y el caudal msico en la seccin dada. 1.13.- sese la ecuacin de la energa

0 prdidasddp

VdV

la ecuacin de continuidad constV y d

dpa para demostrar que, en el caso de

flujo subsnico en la tubera, la velocidad debe aumentar en la direccin corriente abajo. 1.14.- Un proyectil se desplaza en el agua a 2000 pie/seg. La temperatura del agua es de 89 F. Cul es el nmero de Mach? 1.15.- Utilice los datos del volumen especfico de una tabla de vapor para calcular y graficar la velocidad del sonido en agua lquida saturada, arriba del intervalo de temperatura de 32 a 400 F. 1.16.- En el vuelo de aviones a velocidades supersnicas, los coeficientes de sustentacin y arrastre son funciones exclusivas del nmero de Mach. Un avin de

pasajeros supersnico con envergadura de 75 m , va a volar a 780 seg

m y a 20 km de

altura en un da con condiciones estndar. Se va ha medir el funcionamiento del avin a partir de pruebas en un modelo con envergadura de 0.9 m en un tnel de viento supersnico. El tnel de viento se va ha alimentar de un gran depsito de aire comprimido el cual puede calentarse si se desea. La temperatura esttica del aire, en la

seccin de prueba, ser de 10 C para evitar el congelamiento de la humedad. A qu velocidad del aire deben efectuarse las pruebas del tnel de viento para duplicar el nmero de Mach del prototipo? Cul debe ser la temperatura de estancamiento en el depsito? Qu presin se requiere en el depsito si la presin, en la seccin de

prueba, va a ser de 10 kPa?

1.17. Un extintor de incendios, lleno con gas dixido de carbono, est presurizado a 35 MPa (manomtrica) y almacenado a 30 C . Calcule las condiciones caractersticas,

(temperatura, presin y velocidad del flujo) que corresponden a estas condiciones de estancamiento.

HaroldResaltado

6

1.18.- Un flujo desconocido de un gas ideal, con 4.1k , con Pc constante, isentrpico y

sin trabajo, circula a travs de un tramo horizontal de un ducto aislado (1 denota la

entrada y 2 denota la salida). Las propiedades son: kPa 41 p , segm 2001 V ,

R 1941 T , kPa 402 p , segm 5452 V , R 4962 T . El flujo fluye de izquierda a

derecha o de derecha a izquierda? 1.19.- Suponga que en un ensayo un misil de crucero se mueve horizontalmente a

2M en la atmsfera, a una elevacin de 305 m por encima de la superficie de la tierra. Cunto tiempo tarda un observador; sobre el terreno, en or la perturbacin, a partir del instante en que el misil se encuentra directamente encima de l? 1.20.- Demuestre que para una perturbacin adiabtica pequea en un flujo estable, la

ecuacin de energa adopta la forma Vah . 1.8.- BIBLIOGRAFA.

Anderson, J. D. (1990). Modern Compressible Flow With Historical Perspective. 2da. Edicin McGraw Hill. Inc.

Bustamante, L. M. (1999). La Dinmica del Flujo Compresible. Volumen I. UNEXPO.

Bustamante, L. M. (2009). La Dinmica del Flujo Compresible. Volumen II. UNEXPO.

Bustamante, L. M. (1999). Problemas de Dinmica de Gases. UNEXPO.

Bustamante, L. M. (1999). Dinmica de Gases. Apndice. UNEXPO.

Bolinaga J. (1992). Mecnica elemental de los fluidos. Fundacin Polar UCAB.

Encyclopedia and Compressible Flows. (1989). Volumen 8. Aerodynamics and Compressible Flows.

Fox, Robert y McDonald, Alan (1991). Introduccin a la Mecnica de los Fluidos. Iberoamericana S.A.

Jones, J. B.; Dugan, R. E. (1997). Ingeniera Termodinmica. Prentice-Hall Hispanoamericana, S.A. Primera Edicin. Mxico.

Lames, Irwinig. (1995). La Mecnica de Fluidos. McGraw-HILL.

Middleman Stanley.- (1998). An Introduction to Fluid Dynamics. John Wiley & Sons, Inc.

Munson, B. R. ((1998). Fundamentals of Fluid Mechanics. New York. John Wiley & Sons, Inc. Third Edition.

P. Gerhart, R. Gross y J.Hochstein (1995). Fundamentos de Mecnicas de Fluidos. Addison Wesley.

Rotty R. (1968). Introduccin a la Dinmica de Gases. Centro Regional de Ayuda Tcnica. Agenda para el Desarrollo Internacional. Mxico.

Shapiro A. H. (1953). The Dynamics and Thermodynamics of Compressible Fluid Flow. Vol. I/II. Ronald Press. New York.

Streeter V. L. y Wylie E. B. (1990). Mecnica de Fluidos.

Wylen, Van y Sonntag. (1997). Fundamentos de Termodinmica. Limusa. Vigsima segunda Reimpresin.

cap 1. flujo compresible. definiciones..pdf

Documents