fatla cinemática tipos de movimiento [modo de compatibilidad]

Elaborado por: Ing. Inés Cedeño

CINEMÁTICA

MOVIMIENTOS SEGÚN LA ACELERACIÓN

LA ACELERACIÓN DE UNA PARTÍCULA PUEDE SER VARIABLE O CONSTANTE; EN ESTE ÚLTIMO CASO, PUEDE TENER UN

VALOR IGUAL A CERO O DIFERENTE DE CERO

ESTA CLASIFICACIÓN DE LOS MOVIMIENTOS, NOS PERMITE ESTUDIAR UNA GRAN CANTIDAD DE SITUACIONES

MOVIMIENTO CON ACELERACIÓN VARIABLE

EN ESTE CASO, ES NECESARIO EL EMPLEO DEL CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL, PARTIENDO DE LAS SIGUIENTES EXPRESIONES:

;dt

drv = ;

dt

dva = ;

2

2

dt

rda =

dr

dvva ⋅=


CINEMÁTICA


LA IDEA GIRA EN TORNO A LA POSIBILIDAD DE OBTENER LAS MAGNITUDES FÍSICAS INVOLUCRADAS EN CINEMÁTICA, UNAS A PARTIR DE LAS OTRAS, UTILIZANDO DERIVADAS E INTEGRALES. POR EJEMPLO:

� SI CONOCEMOS LA POSICIÓN COMO UNA FUNCIÓN DEL TIEMPO, ES POSIBLE DETERMINAR LA VELOCIDAD COMO

UNA FUNCIÓN DEL TIEMPO, MEDIANTE LA ECUACIÓN

EN ESTE CASO TENDRÍAMOS QUE INTEGRAR

� SI CONOCEMOS LA ACELERACIÓN COMO UNA FUNCIÓN DEL TIEMPO, ES POSIBLE DETERMINAR LA VELOCIDAD COMO UNA

FUNCIÓN DEL TIEMPO, MEDIANTE LA ECUACIÓN

dt

drv =

dt

dva =


CINEMÁTICA


DE LAS EXPRESIONES QUE TENEMOS, PODEMOS AFIRMAR QUE:

DONDE v0 Y t0 SON CONDICIONES INICIALES DADAS EN EL EJERCICIO

dtadv ⋅= ⇒ ∫∫ ⋅=t

t

v

vdtadv

00

EN ESTE SENTIDO SE DERIVA

EN ESTE SENTIDO SE INTEGRA

)(trr

)(tvr

)(tar


CINEMÁTICA

MOVIMIENTO CON ACELERACIÓN CONSTANTE E IGUAL A CERO

SI LA ACELERACIÓN SIEMPRE ES CERO, IMPLICA QUE LA VELOCIDAD NO CAMBIA, ES CONSTANTE

¿CUÁNDO EL RESULTADO DE UNA DERIVADA ES CERO?

EN ESTE CASO, CUANDO LO QUE SE DERIVA (LA VELOCIDAD) ES CONSTANTE CON RESPECTO AL TIEMPO

SI LA VELOCIDAD NO CAMBIA, INDICA QUE EN TODO INSTANTE DE TIEMPO ES IGUAL; ES DECIR, IGUAL MAGNITUD, IGUAL DIRECCIÓN E IGUAL SENTIDO

EN EL CASO DE UNA TRAYECTORIA RECTILINEA, LA SITUACIÓN SE CONOCE COMO MOVIMIENTO RECTILINEO UNIFORME (MRU)

AQUÍ, LA VELOCIDAD MEDIA ES IGUAL A LA VELOCIDAD INSTANTÁNEA, ENTONCES:

[ ]dt

tvdta

)()(

rr

=

t

trtvtvm ∆

∆==

)()()(

rrr


CINEMÁTICA

EN ESTA SITUACIÓN, LA ACELERACIÓN SIEMPRE TENDRÁ IGUAL MAGNITUD, IGUAL DIRECCIÓN E IGUAL SENTIDO, YA QUE ES CONSTANTE

DEDUCCIÓN DE LAS ECUACIONES A UTILIZAR:

(LA ACELERACIÓN ES CONSTANTE, PUEDE

SALIR DE LA INTEGRAL)

VECTORIALMENTE:

1)

INTEGRANDO:

MOVIMIENTO CON ACELERACIÓN CONSTANTE Y DIFERENTE DE CERO

dt

dva = dtadv ⋅= ⇒ ∫∫ =

t

t

v

vdtadv00

⇒

t

t

v

vtav00

⋅= ⇒ ( )00 ttavv −⋅=− ⇒ ( )00 ttavv −⋅+=

( )00 ttavv −⋅+=rrr

; SI t0 = 0: tavv ⋅+=rrr

0


CINEMÁTICA

2)

INTEGRANDO:


dt

drv = dtvdr ⋅= ⇒

( )∫∫ ⋅+=t

t

r

rdttavdr

000

⇒

t

t

r

rtatvr

0

0

2

02

1

⋅+⋅= ⇒ ( ) ( )200002

1ttattvrr −⋅+−⋅=−

( ) dttavdr ⋅⋅+= 0

( ) ( )200002

1ttattvrr −⋅+−⋅+= O ( ) ( )2000

2

1ttattvr −⋅+−⋅=∆

⇒


CINEMÁTICA

2) VECTORIALMENTE:


SI t0 = 0:

( ) ( )200002

1ttattvrr −⋅+−⋅+=

rrrrO

( ) ( )20002

1ttattvr −⋅+−⋅=∆

rrr

2

002

1tatvrr ⋅+⋅+=

rrrrO

2

02

1tatvr ⋅+⋅=∆

rrr


CINEMÁTICA

3)


dr

dvva ⋅=

(LA ACELERACIÓN ES CONSTANTE, PUEDE

SALIR DE LA INTEGRAL)

AUNQUE ESTAS ECUACIONES NO SE PUEDEN ESCRIBIR VECTORIALMENTE, DEBEN CONSIDERARSE LAS CARACTERÍSTICAS DE LOS VECTORES

INVOLUCRADOS, AL UTILIZARSE EN LA RESOLUCIÓN DE UN EJERCICIO

INTEGRANDO:

dravdv ⋅= ⇒ ∫∫ =r

r

v

vdravdv

00

⇒

r

r

v

vrav

00

2

2

1⋅= ⇒ ( ) ( )0

2

0

2

2

1rravv −⋅=−

⇒ ( )02

0

2 2 rravv −⋅=− ⇒ ( )02

0

2 2 rravv −⋅+=

ravv ∆⋅+= 22

0

2O


CINEMÁTICA


2

0 vvvm

rrr += (SÓLO PORQUE LA

ACELERACIÓN ES CONSTANTE)

CUANDO LA PARTÍCULA DESCRIBE UNA TRAYECTORIA RECTILINEA, SE DICE QUE TIENE UN MOVIMIENTO RECTILINEO UNIFORMEMENTE VARIADO (MRUV)

OTRA ECUACIÓN VALIDA EN ESTE TIPO DE MOVIMIENTO ES:

SI TRABAJAMOS EN DOS O TRES DIMENSIONES, SE TENDRÍAN QUE APLICAR LAS ECUACIONES PARA CADA DIRECIÓN (x, y, z) POR SEPARADO

EN ESTE TIPO DE MOVIMIENTO, ADEMÁS DE LOS MOVIMIENTOS HORIZONTALES, SE ESTUDIAN TRES SITUACIONES PARTÍCULARES:

� CAÍDA LIBRE

� LANZAMIENTO VERTICAL HACIA ABAJO

� LANZAMIENTO VERTICAL HACIA ARRIBA


CINEMÁTICA


ESTOS TRES MOVIMIENTOS DE LOS CUERPOS TIENEN CARACTERÍSTICAS COMUNES:

¿ACELERACIÓN DE LA GRAVEDAD?

1) SON MOVIMIENTOS VERTICALES

2) SON INFLUENCIADOS POR LA ACELERACIÓN DE LA GRAVEDAD; ES DECIR, LOS CUERPOS QUE SE MUEVEN ESTÁN EN EL AIRE, NO TIENEN UN MECANISMO QUE LOS SOSTENGA

?


CINEMÁTICA


LA ACELERACIÓN DE LA GRAVEDAD ES AQUELLA CON LA QUE LA TIERRA ATRAE A LOS CUERPOS HACIA SU CENTRO

MAGNITUD:

NOTACIÓN: gr

SIN TOMAR EN CUENTA LOS EFECTOS DE LA RESISTENCIA DEL AIRE, TODO CUERPO QUE CAE CERCA DE LA SUPERFICIE TERRESTRE SE

MOVERÁ CON ACELERACIÓN CONSTANTE E IGUAL A gr

DIRECCIÓN: VERTICAL

SENTIDO: HACIA ABAJO

S.I. c.g.s. TÉCNICO Inglés

9,81 m / s2 981 cm / s2 9,81 m / s2 32 pie / s2

⇒ ( )2

81,9s

mjgrr

−=

ok


CINEMÁTICA


¿QUÉ DIFERENCIA A ESTOS TRES MOVIMIENTOS VERTICALES?

� CAÍDA LIBRE:ES UN MOVIMIENTO DE ARRIBA HACIA ABAJO, DONDE

LA VELOCIDAD INICIAL ES CERO

� LANZAMIENTO VERTICAL HACIA ABAJO:TAMBIÉN ES UN MOVIMIENTO DE ARRIBA HACIA ABAJO,

PERO LA VELOCIDAD INICIAL ES DISTINTA DE CERO

� LANZAMIENTO VERTICAL HACIA ARRIBA:ES UN MOVIMIENTO DE ABAJO HACIA ARRIBA, DONDE

LA VELOCIDAD INICIAL ES DIFERENTE DE CERO


CINEMÁTICA


ASPECTOS A CONSIDERAR EN LOS MOVIMIENTOS VERTICALES:

� LA RAPIDEZ DE UN CUERPO EN UN PUNTO DE LA TRAYECTORIA ALSUBIR, ES IGUAL A LA RAPIDEZ DEL MISMO CUERPO EN UN PUNTODE LA TRAYECTORIA AL BAJAR, SIEMPRE Y CUANDO AMBOSPUNTOS ESTÉN AL MISMO NIVEL HORIZONTAL

CUERPO SUBIENDO

CUERPO BAJANDO

1 2v1 = v2


CINEMÁTICA


� ALTURA MÁXIMA (hMAX): ES LA ALTURA DEL PUNTO MÁSALTO EN LA TRAYECTORIA DE LA PARTÍCULA. EN ESTEPUNTO, LA VELOCIDAD DE LA PARTÍCULA ES IGUAL A CERO

� SE SUELEN EMPLEAR LOS SIGUIENTES TÉRMINOS:

� TIEMPO MÁXIMO (tMAX): ES EL TIEMPO QUE EMPLEA LAPARTÍCULA EN LLEGAR A LAALTURAMÁXIMA

� TIEMPO DE VUELO (tV): ES EL TIEMPO QUE LA PARTÍCULAPERMANECE EN EL AIRE. (¡CUIDADO!, NO SIEMPRE ELTIEMPO DE VUELO ES DOS VECES EL TIEMPO MÁXIMO)


CINEMÁTICA

MOVIMIENTO EN EL PLANO

ES AQUEL MOVIMIENTO DONDE EL CUERPO SE MUEVE EN DOS DIMENSIONES AL MISMO TIEMPO, POR LO QUE SU TRAYECTORIA ESTÁ SOBRE UN PLANO

AUNQUE CONTEMPLA LO SIGUIENTE:

a) MOVIMIENTO DE PROYECTILES

b) MOVIMIENTO CIRCULAR

ESTUDIAREMOS EL PRIMERO, EL MOVIMIENTO DE PROYECTILES


CINEMÁTICA

MOVIMIENTO DE PROYECTILES

ES UN MOVIMIENTO DONDE EL CUERPO ESTÁ EN EL AIRE,

Y ES LANZADO A ÉL CON UN ÁNGULO DE INCLINACIÓN α

ES UN MOVIMIENTO COMPUESTO POR DOS MOVIMIENTOS INDEPENDIENTES:

� EN EL EJE X, EL CUERPO SE MUEVE CON MOVIMIENTORECTILINEO UNIFORME (MRU); ES DECIR, LA VELOCIDAD ENESTE EJE SE MANTIENE CONSTANTE

� EN EL EJE Y, EL CUERPO SE MUEVE CON MOVIMIENTORECTILINEO UNIFORMEMENTE VARIADO (MRUV); ES DECIR, LAACELERACIÓN EN ESTE EJE SE MANTIENE CONSTANTE, Y ESIGUAL A LAACELERACIÓN DE LA GRAVEDAD

EN EL EJE X, SE UTILIZAN LAS ECUACIONES DEL MRU

EN EL EJE Y, SE UTILIZAN LAS ECUACIONES DEL MRUV


CINEMÁTICA


EJE X: MRU

EJE Y: MRUV

t

trtv

∆∆

=)(

)(

rr

tavv YY Y⋅+=

rrr0

2

02

1tatvr YY Y⋅+⋅=∆

rrr

YYY ravvY

∆⋅+= 22

0

2


CINEMÁTICA


AQUÍ SE CUMPLEN LAS CONSIDERACIONES ESTABLECIDAS EN LOS MOVIMIENTOS VERTICALES VISTOS ANTERIORMENTE, PERO

SE UTILIZA UN CUARTO TÉRMINO, EL ALCANCE HORIZONTAL

� ALCANCE HORIZONTAL (R): ES LA DISTANCIA RECORRIDAPOR EL CUERPO EN EL EJE X


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