elemento finito de elemento timo marco espacial y elemento tipo barra

Formulacion de elemento finito de estructuras


¿Que es una estructura?

Una estructura consiste de elementos rectos conectados en sus extremosya sea por tornillos, remaches o soldadura. Los elementos encontrados enlas estructuras principalmente consisten de tubos de aluminio o acero,soportes de madera, barras de metal, angulos y canalones. Lasestructuras en ingenierıa se usan en muchas aplicaciones, por mencionaralgunas, torres, puentes, edificios y gruas.


Tipos de Estructuras

Una armaduras esta disenada para soportar cargas y songeneralmente, estructuras totalmente estacionarias. Las armadurasestan formadas exclusivamente de miembros rectos conectados enlas juntas situadas en la extremos de cada miembro. Los miembrosde una armadura, por lo tanto, son two force miembros, es decir, losmiembros de actuar en consecuencia por dos fuerzas iguales yopuestas dirigidas a lo largo del miembro.

Los marcos son tambien estructuras totalmente por lo general a serestacionarios. Sin embargo, los marcos siempre contienen al menosun miembro multi forzado, es decir, un miembro accionado por treso mas fuerzas que, en general, no estan dirigidos a lo largo delelemento.


Armaduras (truss por su nombre en ingles)

Una armadura consta de miembros rectos conectados en las juntas. Loselementos de refuerzo estan conectados solamente en sus extremidades;por lo tanto, ningun miembro es continuo a traves de una articulacion.Para el analisis de este tipo de estructuras se usan elementos tipo barralos cuales solo pueden resistir fuerzas axiales (compresion y tension), porlo que solo pueden deformarse en direccion axial. Las armaduras nopueden soportar cargas transversales ni momentos flexionantes.


Derivacion de la matriz de rigidez para un elemento barraen coordenadas locales

Ahora consideraremos la derivacion de la matriz de rigidez para la elelemento barra con caracterısticas: linealmente elastica, de area seccionalconstante y prismatica mostrada en la figura siguiente

La barra esta sujeta a fuerzas de tension; los desplazamientos nodalespositivos son en la direccion local x .


El elemento barra se asume de area seccional constante A, modulo deelasticidad E y longitud inicial L. Los grados de libertad nodales son: losdesplazamientos axiales locales (longitudinales, dirigidos a lo largo de lalongitud de la barra), representados por q1 y q2 en los extremos delelemento.Haciendo sumatoria de Fuerzas

−P +

(

P +∂P

∂x

)

= 0 (1)

Reduciendo la ecuacion (1)∂P

∂x= 0 (2)

De la ley de Hooke y la relacion de fuerza/desplazamiento se obtiene

σx = Eεx (3)

εx =du

dx(4)


De mecanica de materiales se sabe

σx =P

A(5)

Aσx = P (6)

Sustituyendo (4) en (3)

σx = Edu

dx(7)

Introduciendo (7) en (2)

d

dx

(

AEdu

dx

)

= 0 (8)

Como el area de la seccion transversal A y el modulo de elasticidad E sonconstantes la ecuacion (8) se puede representar de la siguiente forma

AEd2u

dx2= 0 (9)


Asumiendo una variacion lineal del desplazamiento a lo largo del eje x

como una funcion lineal en los extremos finales. Por lo cual usando unpolinomio de primer grado para representar los desplazamientos

u (x) = a1 + a2x (10)

Evaluando en las condiciones el polinomio en x = 0 y x = L (Condicionesde frontera), para encontrar el valor las constantes del polinomio

u (0) = a1 = q1 (11)

u (L) = a2L+ q1 = q2

por lo que el valor de las constantes queda

a1 = q1 (12)

a2 =q2 − q1

L

Sustituyendo el valor de las constantes a1 y a2 en (10)

u =q2 − q1

Lx + q1 (13)


Poniendo en forma matricial la ecuacion (13)

u =[

N1 N2

]

{

q1q2

}

(14)

Donde Ni son las funciones de forma

N1 = 1− x

L(15)

N2 =x

L

La relacion deformacion/desplazamiento es

εx =du

dx=

q2 − q1

L(16)

{εx} = [B]~q(e) (17)

[B] =[

− 1L

1L

]

(18)


Usando la relacion dada en la ecuacion (16) y ademas usando lasecuaciones (3) y (6)

f1x = −P = AE

(

q1 − q2

L

)

(19)

f2x = P = AE

(

q2 − q1

L

)

Poniendo en forma matricial las relaciones dadas en ( 19)

[

f1xf2x

]

=AE

L

[

1 −1−1 1

]{

q1q2

}

(20)

Por lo que la matriz de rigidez para un elemento barra en coordenadaslocales esta dada por la siguiente relacion

[

k (e)]

=AE

L

[

1 −1−1 1

]

(21)


Matriz de rigidez en coordenadas globales

Para encontrar la matriz de rigidez de un elemento barra en lascoordenadas globales del sistema XYZ , es necesario encontrar una matrizde transformacion. El elemento bajo consideracion es un elemento de unaarmadura espacial. Sea el nodo 1 y 2 en coordenadas locales con susnodos correspondientes i y j , respectivamente, el sistema global semuestra en la figura


Los desplazamientos q1 y q2 pueden ser representados en componentesde las coordenadas globales. Por lo que los desplazamientos estanrelacionados con la siguiente ecuacion

~q(e) = [λ] ~Q(e) (22)

donde la matriz de transformacion [λ] y el vector de desplazamientos del

elemento e en coordenadas globales del sistema ~Q(e) esta dada por

[λ] =

[

lij mij nij 0 0 00 0 0 lij mij nij

]

(23)

~Q(e) =

Q3i−2

Q3i−1

Q3i

Q3j−2

Q3j−1

Q3j

(24)

y lij , mij y nij denotan los cosenos directores de los angulos entre la lineaij en las direcciones 0X , 0Y , y 0Z , respectivamente.


Los cosenos directores pueden calcularse en terminos de las coordenadasglobales de los nodos i y j como

lij =Xj−Xi

l, mij =

Yj−Yi

l, nij =

Zj−Zi

l(25)

donde (Xi ,Yi ,Zi) y (Xj ,Yj ,Zj) son las coordenadas globales de los nodosi y j , respectivamente, y l es la longitud del elemento ij dado por

l =[

(Xj − Xi )2+ (Yj − Yi)

2+ (Zj − Zi)

2]

12

(26)


cosα =Ax

|A| (27)

cosβ =Ay

|A|

cos γ =Az

|A|


Por lo que la matriz de rigidez de un elemento barra en coordenadasglobales del sistema puede obtenerse de la siguiente forma

[

K (e)]

= [λ]T[

k (e)]

[λ] (28)

[

K (e)]

=AE

L

l2ij lijmij lijnij −l2ij −lijmij −lijnijlijmij m2

ij mijnij −lijmij −m2ij −mijnij

lijnij mijnij n2ij −lijnij −mijnij −n2ij−l2ij −lijmij −lijnij l2ij lijmij lijnij

−lijmij −m2ij −mijnij lijmij m2

ij mijnij−lijnij −mijnij −n2ij lijnij mijnij n2ij

(29)Para una armadura planar la matriz de rigidez en coordenadas globalesdel sistema esta dada por la siguiente relacion

[

K (e)]

=AE

L

l2ij lijmij −l2ij −lijmij

lijmij m2ij −lijmij −m2

ij

−l2ij −lijmij l2ij lijmij

−lijmij −m2ij lijmij m2

ij

(30)


Encontrar los desplazamientos nodales desarrollados en una armaduraplanar como la que se muestra en la figura, cuando una carga horizontalde 1000N es aplicada en el nodo 4.


Datos de los nodos y elementos que componen la estructura

Numero de miembro Area Longitud Modulo de Elasticidad

”e” A(e)cm2 L(e)cm E (e) N/cm2

1 2.0√250 2× 106

2 2.0√250 2× 106

3 1.0√2.5100 2× 106

4 1.0√2100 2× 106

Numero de Nodo global correspondiente a Coordenadas de los nodos localesElemento Nodo local 1 Nodo local 2 (i) y (j) en coordenadas globales

”e” (i) (j) Xi Yi Xj Yj

1 1 3 0.0 0.0 50.0 50.0

2 3 2 50.0 50.0 100.0 0.0

3 3 4 50.0 50.0 200.0 100.0

4 2 4 100.0 0.0 200.0 100.0


k1 = 1.0× 104

2.8284 2.8284 −2.8284 −2.82842.8284 2.8284 −2.8284 −2.8284−2.8284 −2.8284 2.8284 2.8284−2.8284 −2.8284 2.8284 2.8284

k2 = 1.0× 104

2.8284 −2.8284 −2.8284 2.8284−2.8284 2.8284 2.8284 −2.8284−2.8284 2.8284 2.8284 −2.82842.8284 −2.8284 −2.8284 2.8284

k3 = 1× 104

1.1384 0.3795 −1.1384 −0.37950.3795 0.1265 −0.3795 −0.1265−1.1384 −0.3795 1.1384 0.3795−0.3795 −0.1265 0.3795 0.1265

k4 = 1× 103

7.0711 7.0711 −7.0711 −7.07117.0711 7.0711 −7.0711 −7.0711−7.0711 −7.0711 7.0711 7.0711−7.0711 −7.0711 7.0711 7.0711


Ensamble de la matriz global en coordenadas globales delsistema

K = 1.0× 104

2.8284 2.8284 0 0 −2.8284 −2.8284 0 02.8284 2.8284 0 0 −2.8284 −2.8284 0 0

0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0

−2.8284 −2.8284 0 0 2.8284 2.8284 0 0−2.8284 −2.8284 0 0 2.8284 2.8284 0 0

0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0

K = 1.0×104

2.8284 2.8284 0 0 −2.8284 −2.8284 0 02.8284 2.8284 0 0 −2.8284 −2.8284 0 0

0 0 2.8284 −2.8284 −2.8284 2.8284 0 00 0 −2.8284 2.8284 2.8284 −2.8284 0 0

−2.8284 −2.8284 −2.8284 2.8284 5.6569 0 0 0−2.8284 −2.8284 2.8284 −2.8284 0 5.6569 0 0

0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0


K = 1.0 × 104

2.8284 2.8284 0 0 −2.8284 −2.8284 0 02.8284 2.8284 0 0 −2.8284 −2.8284 0 0

0 0 2.8284 −2.8284 −2.8284 2.8284 0 00 0 −2.8284 2.8284 2.8284 −2.8284 0 0

−2.8284 −2.8284 −2.8284 2.8284 6.7953 0.3795 −1.1384 −0.3795−2.8284 −2.8284 2.8284 −2.8284 0.3795 5.7833 −0.3795 −0.1265

0 0 0 0 −1.1384 −0.3795 1.1384 0.37950 0 0 0 −0.3795 −0.1265 0.3795 0.1265

K = 1.0 × 104

2.8284 2.8284 0 0 −2.8284 −2.8284 0 02.8284 2.8284 0 0 −2.8284 −2.8284 0 0

0 0 3.5355 −2.1213 −2.8284 2.8284 −7.0711 −7.07110 0 −2.1213 3.5355 2.8284 −2.8284 −7.0711 −7.0711

−2.8284 −2.8284 −2.8284 2.8284 6.7953 0.3795 −1.1384 −0.3795−2.8284 −2.8284 2.8284 −2.8284 0.3795 5.7833 −0.3795 −0.1265

0 0 −7.0711 −7.0711 −1.1384 −0.3795 1.8455 1.08660 0 −7.0711 −7.0711 −0.3795 −0.1265 1.0866 0.8366


Aplicando condiciones de frontera

K = 1.0× 104

6.7953 0.3795 −1.1384 −0.37950.3795 5.7833 −0.3795 −0.1265−1.1384 −0.3795 1.8455 1.0866−0.3795 −0.1265 1.0866 0.8366

~P =

P5

P6

P7

P8

=

000

−1000

~Q =

Q5

Q6

Q7

Q8

=

0.0265170.0088390.347903−0.560035


Elemento de un marco planar

En el caso de analisis de marcos de dos dimensiones, es necesario usar elelemento de 6 grados de libertad como se muestra en la Fig.23. Esteelemento se asume que esta en el plano XY y tiene dos grados delibertad axiales y cuatro grados de libertad flexionantes.


Usando un modelo de interpolacion lineal para los desplazamientoslineales y uno modelo cubico para los desplazamientos transversales ysuperponiendo las dos matrices de rigidez. Se puede obtener la siguientematriz de rigidez

[

k(e)axial

]

=

AEL

0 0 −

AEL

0 00 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0

−

AEL

0 0 AEL

0 00 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0

(31)

La matriz de rigidez dada en la ecuacin (31) representa losdesplazamientos axiales. Mientras que la matriz de rigidez dada en laecuacin (32) representa los desplazamientos y rotaciones debido a ladeflexin de la viga

[

k(e)xy

]

=EIyy

L3

0 0 0 0 0 00 12 6L 0 −12 6L0 6L 4L2 0 −6L 2L2

0 0 0 0 0 00 −12 −6L 0 12 −6L0 6L 2L2 0 −6L 4L2

(32)


Para obtener la matriz de rigidez incluyendo tanto los desplazemientosaxiales como los debido a las deflexin se obtiene por superposicin

[

k (e)]

=[

k(e)axial

]

+[

k (e)xy

]

(33)

La ecuacin (34) es la matriz de rigidez para un elemento de un marcoplanar en coordenadas locales

[

k (e)]

=EIyy

L3

AL2

Iyy0 0 −AL2

Iyy0 0

0 12 6L 0 −12 6L0 6L 4L2 0 −6L 2L2

−AL2

Iyy0 0 AL2

Iyy0 0

0 −12 −6L 0 12 −6L0 6L 2L2 0 −6L 4L2

(34)

donde el verctor de coordenadas locales es de la siguiente forma

~q(e)T ={

q1 q2 q3 q4 q5 q6}

(35)


Las coordenadas locales estn relacionadas las coordenadas globales atravs de la matriz de transformacin, usando la siguiente relacin con delibertad

~q(e) = [λ] ~Q(e) (36)

donde la matriz de transformacion [λ] y el vector de desplazamientos del

elemento e en coordenadas globales del sistema ~Q(e) esta dada por

[λ] =

lox mox 0 0 0 0loy moy 0 0 0 00 0 1 0 0 00 0 0 lox mox 00 0 0 loy moy 00 0 0 0 0 1

(37)

donde

loy = −mox

dmoy = lox

d(38)

d =(

m2ox + l2ox

)12 (39)

[

K (e)]

= [λ]T[

k (e)]

[λ] (40)


Elemento de marcos espaciales

Un elemento de una estructura espacial es una viga recta de secciontransversal uniforme que es capaz de resistir fuerzas axiales, momentosflexionantes con respecto a los dos ejes principales en el plano de suseccion transversal y un momento torsionante con respecto a su eje degiro. En la Fig. 1 se puede observar los seis grados de libertad, por lo quese puede apreciar que la matriz de rigidez y de masas debera de ser de 12x 12.


Figure: Elemento con doce grados de libertad [?])


Si los ejes locales (xyz) se eligen de tal forma que coincidan con los ejesprincipales de la seccion transversal. De acuerdo a la teorıa de flexion ytorsion de una viga, los desplazamientos axiales q1 y q7 dependen solo delas fuerzas axiales y los desplazamientos torsionales q4 y q10 dependensolo de los momentos torsionantes. Sin embargo, para elegir lascoordenadas del sistema xyz , los desplazamientos flexionantes sepresentan en el plano xy , es decir, q2, q6, q8 y q12 dependen solo de lasfuerzas flexionantes actuando en este plano, pero las fuerzas flexionantesactuan tambien en el plano xz . Por otra parte, si los planos xy y xz

coinciden con los ejes de la seccion transversal, los desplazamientosflexionantes y las fuerzas en los dos planos puede considerarseindependientes una de la otra.


Entonces eligiendo las coordenadas locales del sistema xyz de tal formaque coinciden con los ejes principales de la seccion transversal, con el ejex representando el eje centroidal del elemento de la estructura. Por lotanto, los desplazamientos se pueden se pueden separar dentro de cuatrogrupos, cada uno de los cuales corresponde a un conjunto dedesplazamientos independientes y entonces obtener la matriz total derigidez del elemento por superposicion.


Desplazamientos axiales

La matriz de rigidez correspondiente a los desplazamientos nodales q1 yq7 es dada como

[

ka]

=

∫ ∫ ∫

[B]T [D] [B] dV =AE

l

[

1 −1−1 1

]

q1q7

(41)

donde A, E y l son el area de la seccion transversal, el modulo deElasticidad y la longitud del elemento, respectivamente.


Desplazamientos torsionales

Para los grados de libertad q4 y q10 y asumiendo una variacion lineal delos desplazamientos de torsion o angulo de giro, los desplazamientosestan expresados como

θ (x) = [N ]~qt (42)

donde[N ] =

[(

1− x

l

)(x

l

)]

(43)

~qt =

{

q4q10

}

(44)


La matriz de rigidez del elemento correspondiente a los desplazamientostorsionales se deriva de la siguiente ecuacion

kt =

∫ ∫ ∫

[B]T[D] [B] dV = G

∫

dx

∫ ∫

r2dA

{

− 1l

1l

}

{

− 1l

1l

}

(45)donde G es el modulo de rigidez del material. Ademas usando la relacionde

∫ ∫

r2dA = J momento polar de inercia de la seccion transversal. Laecuacion (43) se reescribe de la siguiente forma

kt =GJ

l

[

1 −1−1 1

]

q4q10

(46)


Desplazamientos flexionantes en el plano xy

La matriz de rigidez correspondiente a los cuatro grados de libertadflexionantes q2, q6, q8 y q12 se deriva como se realizo la de la viga tipoEuler-Bernulli.

[kxy ] =EIzz

l3

12 6l −12 6l6l 4l2 −6l 2l2

−12 6l 12 −6l6l 2l2 −6l 4l2

(47)

donde Izz =∫ ∫

y2dA es el momento de inercia de la seccion transversalcon respecto al eje z .


Desplazamientos flexionantes en el plano xz

Para los grados de libertad q3, q5, q9 y q11 los desplazamientosflexionados en el plano xz estan dados en la siguiente matriz de rigidez

[kxy ] =EIyy

l3

12 6l −12 6l6l 4l2 −6l 2l2

−12 6l 12 −6l6l 2l2 −6l 4l2

(48)

donde Iyy es el momento de inercia de la seccion transversal con respectoal eje y .


Matriz de rigidez total del elemento

Uniendo el conjunto de matrices de rigidez de los desplazamientosindependientes se obtiene matriz de rigidez total del elemento, quedandocomo

ke =

EAl

0 0 0 0 0 −EAl

0 0 0 0

012EIzz

l30 0 0 6EI

l20

−12EIzzl3

0 0 0

0 012EIyy

l30

−6EIyy

l20 0 0

−12EIyy

l30

−6EIyy

l2

0 0 0 GJl

0 0 0 0 0 −GJl

0

0 0−6EIyy

l20

4EIyyl

0 0 06EIyy

l20

2EIyyl

06EIzzl2

0 0 04EIzz

l0

−6EIzzl2

0 0 0

−EAl

0 0 0 0 0 EAl

0 0 0 0

0−12EIzz

l30 0 0

−6EIzzl2

012EIzz

l30 0 0

0 0−12EIyy

l30

6EIyy

l20 0 0

12EIyy

l30

6EIyy

l2

0 0 0 −GJl

0 0 0 0 0 GJl

0

0 0−6EIyy

l20

2EIyyl

0 0 06EIyy

l20

4EIyyl

06EIzzl2

0 0 02EIzz

l0

−6EIzzl2

0 0 0

(49)


Matriz Global de Rigidez

De la ecuacion (47) se nota que las coordenadas del sistema estan dadasen coordenadas locales xyz . Pero se pueden relacionar las coordenadaslocales con las coordenadas globales usando la siguiente matriz detransformacion

λ =

lox mox nox 0 0 0 0 0 0 0 0 0loy moy noy 0 0 0 0 0 0 0 0 0loz moz noz 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 lox mox nox 0 0 0 0 0 00 0 0 loy moy noy 0 0 0 0 0 00 0 0 loz moz noz 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 lox mox nox 0 0 00 0 0 0 0 0 loy moy noy 0 0 00 0 0 0 0 0 loz moz noz 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 lox mox nox0 0 0 0 0 0 0 0 0 loy moy noy0 0 0 0 0 0 0 0 0 loz moz noz

(50)


donde lox , mox y nox denota los cosenos directores del eje x ; loy , moy ynoy representan los cosenos directores del eje y ; y loz , moz y noz indicanlos cosenos directores del eje z con respecto a los ejes globales X ,Y , Z .

lox =Xj − Xi

l, mox =

Yj − Yi

l, nox =

Zj − Zi

l(51)

donde la longitud l del elemento e esta representada por

l =(

(Xj − Xi )2+ (Yj − Yi)

2+ (Zj − Zi)

2)

12

(52)

donde Xk , Yk , Zk indican las coordenadas del nodo k (k = i , j) en lascoordenadas globales del sistema. La matriz de rigidez del elemento conrespecto a las coordenadas globales de sistema se pueden obtener como

[K e ] = [λ]T[ke ] [λ] (53)


Matriz de Transformacion

Para derivar la matriz de transformacion [λ] entre las coordenadas localesy globales es necesario encontrar

[

λ]

la cual esta dada por

[

λ]

=

lox mox noxloy moy noyloz moz noz

(54)

donde[

λ]

es la transformacion entre las coordenadas xyz y lascoordenadas XYZ la cual puede obtenerse como

[

λ]

= [λ2] [λ1] (55)


La matriz [λ1] esta dada por

[λ1] =

lox mox nox

− (loxmox )d

(l2ox+n2ox)d

− (moxnox )d

− noxd

0 loxd

(56)

donde d esta dada por la siguiente expresion

d =(

l2ox + n2ox)

12 (57)

Cuando la los ejes de la seccion transversal

[λ2] =

1 0 00 cosα sinα0 − sinα cosα

(58)


Nota:

1 Cuando α = 0, la matriz [λ2] es una matriz unitaria.

2 Cuando el elemento e esta sobre la vertical (es decir, cuando el eje x

coincide con el eje Y ), lox = nox = 0 por lo que d = 0 Haciendo quealgunos terminos de [λ1] se indeterminen.

En este caso la matriz[

λ]

es dada por la siguiente expresion

[

λ]

=

0 mox 0−mox cosα 0 mox sinα

sinα 0 cosα

(59)


elemento finito de elemento timo marco espacial y elemento tipo barra

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