MMéétodos de elemento todos de elemento finitofinito

7.4.1.7.4.1. MMéétodo de todo de GalerkinGalerkin7.4.2.7.4.2. FormulaciFormulacióón de elemento finito n de elemento finito

en 2 dimensionesen 2 dimensiones

Los mLos méétodos de todos de elemento finitoelemento finito (MEF) son una estrategia (MEF) son una estrategia numnuméérica alternativa muy popular para la simulacirica alternativa muy popular para la simulacióón de n de el flujo subterrel flujo subterrááneo.neo.

La teorLa teoríía de a de elemento finitoelemento finito es mes máás abstracta que los s abstracta que los mméétodos de todos de diferencias finitasdiferencias finitas (MDF), el (MEF) tiene (MDF), el (MEF) tiene ventajas significativas sobre el (MDF) en algunas ventajas significativas sobre el (MDF) en algunas aplicaciones practicas.aplicaciones practicas.

El (MEF) se basa en considerar al cuerpo o estructura El (MEF) se basa en considerar al cuerpo o estructura dividido en elementos discretos, con determinadas dividido en elementos discretos, con determinadas condiciones de vcondiciones de víínculo entre snculo entre síí, gener, generáándose un sistema ndose un sistema de ecuaciones que se resuelve numde ecuaciones que se resuelve numééricamente y ricamente y proporciona el estado de tensiones y deformaciones.proporciona el estado de tensiones y deformaciones.

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )xExfxxExfxf

n

0j

jnj +=+= ∑

=

Se utiliza la teoría de aproximación polinominalpresentada en la sección 7.2 como punto de partida en el desarrollo del método, combinando las ecuaciones 7.15 y 7.16 de la sección 7.2 tenemos que:

f(xf(x)) es la funcies la funcióón buscada, que puede ser en este caso n buscada, que puede ser en este caso h(xh(x))ĥĥ(x)(x) es la aproximacies la aproximacióón polinominal de n polinominal de h(x)h(x)..E(xE(x)) es el error de aproximacies el error de aproximacióón n

(7.65)

La aproximaciLa aproximacióón cln cláásica para el desarrollo de el sica para el desarrollo de el mméétodo de todo de elemento finitoelemento finito utiliza el concepto de residuos pesados.utiliza el concepto de residuos pesados.

Para hacer este concepto tan abstracto mPara hacer este concepto tan abstracto máás concreto, quizs concreto, quizááayude seleccionar una ecuaciayude seleccionar una ecuacióón a la cual se le aplique el n a la cual se le aplique el (MEF).(MEF).

Si definimos un operador Si definimos un operador ££(x) como una ecuaci(x) como una ecuacióón de flujo n de flujo de agua subterrde agua subterráánea en una dimensinea en una dimensióón en estado n en estado estacionario con una fuente estacionario con una fuente Q(xQ(x)) tenemos que:tenemos que:

Ahora si definimos el residual Ahora si definimos el residual R(xR(x)) como la diferencia entre como la diferencia entre el valor obtenido de la soluciel valor obtenido de la solucióón exacta n exacta h(xh(x)) y el valor y el valor obtenido de sustituir obtenido de sustituir ĥĥ(x).(x).

( )( ) ( ) ( ) 0xQdx

xhdKxh£ 2

2

=−≡ (7.66)

Obtenemos la ecuaciObtenemos la ecuacióón:n:

Si consideramos que Si consideramos que ££((h(xh(x))=0))=0 tenemos:tenemos:

Consideremos ahora, una funciConsideremos ahora, una funcióón de peso n de peso w(xw(x)) que es que es tambitambiéén funcin funcióón de x. El mn de x. El méétodo de residuos pesados todo de residuos pesados puede ser simplemente definida como:puede ser simplemente definida como:

( ) ( )( ) ( )( )xh£xh£xR −≡

( ) ( )( )xh£xR −=

( )( ) ( ) 0dxxwxh£

X

= Xx∈

(7.67)

(7.68)

(7.69)

La ecuaciLa ecuacióón anterior afirma que se busca un valor de n anterior afirma que se busca un valor de ĥĥ(x)(x), tal que la integral en el dominio de X por la , tal que la integral en el dominio de X por la funcifuncióón n w(xw(x)) sea igual a cero.sea igual a cero.

La selecciLa seleccióón de la funcin de la funcióón de n de w(xw(x)) indica la naturaleza indica la naturaleza del mdel méétodo de residuos pesados.todo de residuos pesados.

MMéétodo de todo de GalerkinGalerkin

La funciLa funcióón de peso mn de peso máás coms comúúnmente usada es la misma nmente usada es la misma funcifuncióón utilizada para aproximar la funcin utilizada para aproximar la funcióón conocida, n conocida, ĥĥ(x).(x).

Esta formulaciEsta formulacióón es conocida como el n es conocida como el ““MMéétodo de todo de GalerkinGalerkin””

De la ecuaciDe la ecuacióón n 7.657.65 podemos ver que es un polinomio de podemos ver que es un polinomio de LagrangeLagrange, , ℓℓnn

jj(x)(x) y de la ecuaciy de la ecuacióón n 7.697.69 tenemos que:tenemos que:

( )( ) ( ) 0dxxxh£

X

ni∫ = Xx∈ I,,1,0i …= (7.70)

El siguiente paso es sustituir la aproximaciEl siguiente paso es sustituir la aproximacióón de n de ĥĥ(x)(x) dada dada por la ecuacipor la ecuacióón n 7.657.65 sin el termino del error.sin el termino del error.

Hay que tener en cuenta que el valor de Hay que tener en cuenta que el valor de h(xh(xjj)) es un es un nnúúmero representando la funcimero representando la funcióón n ĥĥ(x)(x) con x=xcon x=xjj=j=j∆∆x. Si x. Si asumimos que I=n=2, podemos utilizar esta informaciasumimos que I=n=2, podemos utilizar esta informacióón n dada en la figura 7.8 con la cual la ecuacidada en la figura 7.8 con la cual la ecuacióón anerior queda n anerior queda de la siguiente forma:de la siguiente forma:

( ) ( ) ( ) 0dxxxhx£

X

ni

n

0j

jnj∫ ∑ =

⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

=

Xx∈ I,,1,0i …=

( ) ( ) ( ) 0dxxxhx£

2x

0x

2i

2

0j

j2j =

⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

∫ ∑=

2,1,0i =

(7.71)

(7.72)

Si tomamos en cuenta la definiciSi tomamos en cuenta la definicióón de n de ££(x)(x) y la y la sustituimos en la ecuacisustituimos en la ecuacióón obtenemos:n obtenemos:

Pero conocemos de la ecuaciPero conocemos de la ecuacióón 7.33 quen 7.33 que

Sustituyendo en la ecuaciSustituyendo en la ecuacióón resulta:n resulta:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0dxxxQxxhxdxdK

2x

0x

2i

2i

2

0j

j2j2

2

=−⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

∫ ∑=

( ) ( ) ( ) ( ) ( )2

210

2

0j

j2j2

2

xxhxh2xhxhx

dxd

Δ+−

=⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

∑=

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0dxxxQxx

xhxh2xhK

2x

0x

2i

2i2

210 =−⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

Δ+−∫

2,1,0i =

2,1,0i =

(7.74)

(7.75)

(7.76)

Si consideramos para esta ecuaciSi consideramos para esta ecuacióón la forma general de n la forma general de los polinomios de los polinomios de LagrangeLagrange ecuaciecuacióón 7.13 obtenemos:n 7.13 obtenemos:

Sustituyendo en la ecuaciSustituyendo en la ecuacióón para n para ii=1=1

∏≠=

−−

=

n

ij0i

ij

inj xx

xx

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0dxxxQxx

xhxh2xhK

2x

0x

21

212

210 =−⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

Δ+−∫

( ) ( ) ( ) ( )( )( )( ) ( ) ( )( )

( )( ) 0dxxxxx

xxxxxQxxxx

xxxxx

xhxh2xhK

2x

0x 2101

20

2101

202

210 =−−−−

−−−−−

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

Δ+−∫

(7.77)

(7.78)

Si consideramos que la componente Si consideramos que la componente QQ es constante en es constante en el espacio y no depende de x.el espacio y no depende de x.

Pero esta ecuaciPero esta ecuacióón es la aproximacin es la aproximacióón de diferencias n de diferencias finitas para la ecuacifinitas para la ecuacióón. n.

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )( )( ) 0dx

xxxxxxxxxQ

xxhxh2xhK

2x

0x 2101

202

210 =−−−−

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−⎥⎦

⎤⎢⎣⎡

Δ+− ∫( ) ( ) ( ) ( ) 0xQ

xxhxh2xhK 2

210 =⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−⎥⎦

⎤⎢⎣⎡

Δ+−

(7.79)

(7.80)

Sin embargo, si consideramos los mismos 3 nodos Sin embargo, si consideramos los mismos 3 nodos pero ahora empleando polinomios lineales de pero ahora empleando polinomios lineales de LagrangeLagrangeusando una estrategia ligeramente diferente, podemos usando una estrategia ligeramente diferente, podemos obtener una nueva formulaciobtener una nueva formulacióón a partir de sustituir la n a partir de sustituir la definicidefinicióón de n de ££((h(xh(x)))) dentro de la ecuacidentro de la ecuacióón n 7.707.70..

( ) ( ) ( ) 0dxxxQdx

xhdK

X

ni2

2

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−∫ Xx∈ I,,1,0i …= (7.81)

Ahora definimos Ahora definimos ĥĥ(x)(x) usando polinomios lineales de usando polinomios lineales de Lagrange como se muestra en la Lagrange como se muestra en la figura 7.9figura 7.9..

La aproximaciLa aproximacióón a n a h(xh(x)) ahora se escribe como:ahora se escribe como:

dondedonde

( ) ( ) ( ) ( ),xhxhxhxh 221100 ++=

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

≤≤−−

≤≤−−

=

xotras las todas0

xxx,xxxx

xxx,xxxx

x 2112

2

1001

0

1

(7.82)

(7.83)

La sustituciLa sustitucióón de la ecuacin de la ecuacióón de la ecuacin de la ecuacióón n 7.827.82 en en 7.817.81 produce, para ecuaciproduce, para ecuacióón generada por la funcin generada por la funcióón de n de peso peso ℓℓ11..

Inmediatamente surge un problema, puesto que la Inmediatamente surge un problema, puesto que la segunda derivada de una funcisegunda derivada de una funcióón lineal es cero casi en n lineal es cero casi en cualquier lugar tal que la aproximacicualquier lugar tal que la aproximacióón n dd22h/dxh/dx22 tiende a tiende a cero excepto en los puntos cero excepto en los puntos nodalesnodales, en donde esta es , en donde esta es infinita.infinita.

( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( )∫ =⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−++

X

12211002

2

0dxxxQxhxhxhdxdK (7.84)

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )

( ) ( )∫

∫

=−

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +++

++−

=

=

1X

1

2xx

0xx

1221100

X

1221100

0dxxxQ

xhxxhxxhxdxdK

dxdxdxhxxhxxhx

dxdK

[ ]10 x,xx∈

Ir a 26

Para esquivar este problema, se puede aplicar la Para esquivar este problema, se puede aplicar la integraciintegracióón por partesn por partes de la segunda derivada, donde el de la segunda derivada, donde el resultado para una funciresultado para una funcióón de peso, la cual es:n de peso, la cual es:

NNóótese que tese que ℓℓ11(x)=0(x)=0 para para x=xx=x00 y tambiy tambiéén para n para x=xx=x22, , por lo que el segundo termino en la ecuacipor lo que el segundo termino en la ecuacióón n desaparece.desaparece.

(7.85)

De la ecuaciDe la ecuacióón 7.41 obtenemos la aproximacin 7.41 obtenemos la aproximacióón, y de la n, y de la ecuaciecuacióón n 7.837.83 tenemos que:tenemos que:

De manera similar,De manera similar,

Combinando las ecuaciones anteriores con la Combinando las ecuaciones anteriores con la 7.857.85obtenemos que:obtenemos que:

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )x

xhxhdx

xhdxhxxhxdxd 01

1100 Δ−

==+ [ ]10 x,xx∈x

1dxd

1 Δ=

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )x

xhxhdx

xhdxhxxhxdxd 12

2211 Δ−

==+x

1dxd

1 Δ−= [ ]21 x,xx∈

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0dxxxQdxx

1x

xhxhKdxx

1x

xhxhK

0x

1

1x

12

0x

01 =−ΔΔ

−+

ΔΔ−

−

2x 2x 1x

∫∫∫( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0xxQ

xxhxhK

xxhxhK 1201 =Δ−

Δ−

+Δ−

−

(7.90)

(7.91)

Si consideramos que Si consideramos que QQ es constante rescribimos la es constante rescribimos la ecuaciecuacióón anterior como:n anterior como:

Si utilizamos el (MEF) o el (MDF), siempre Si utilizamos el (MEF) o el (MDF), siempre terminaremos con la misma aproximaciterminaremos con la misma aproximacióón numn numéérica de rica de la ecuacila ecuacióón de flujo de agua subterrn de flujo de agua subterráánea en estado nea en estado estacionario en presencia de una fuente constante estacionario en presencia de una fuente constante QQ..

( ) ( ) ( ) ( ) 0xQx

xhxh2xhK 2210 =−

Δ+−

(7.92)

FormulaciFormulacióón de elemento finito en 2 n de elemento finito en 2 dimensionesdimensiones

La extensiLa extensióón de la teorn de la teoríía de elemento finito en 2a de elemento finito en 2--D D requiere nuevos conceptos.requiere nuevos conceptos.

Consideremos la ecuaciConsideremos la ecuacióón de flujo de agua subterrn de flujo de agua subterráánea nea en 2en 2--D independientes del tiempo.D independientes del tiempo.

Extendemos la representaciExtendemos la representacióón de la carga hidrn de la carga hidrááulica ulica para 2para 2--D como D como ĥĥ(x,y)(x,y), donde los elementos finitos est, donde los elementos finitos estáán n representados por rectrepresentados por rectáángulos como se muestran en la ngulos como se muestran en la figura 7.10figura 7.10..

(7.93)( ) ( ) ( )

Qx

y,xhT

y2

yy,xh

Tyx

y,xhT

x yxyyxx =⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛∂

∂∂∂

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂

∂∂∂

+⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛∂

∂∂∂

Donde Donde ℓℓijij(x,y)(x,y)≡ℓ≡ℓii(x)(x)ℓℓjj(y)(y) y asumimos que los polinomios y asumimos que los polinomios de Lagrange son lineales.de Lagrange son lineales.

La funciLa funcióón n ℓℓijij(x,y)(x,y) se muestra en la se muestra en la figura 7.11 figura 7.11 para el para el elemento D y el nodo a.elemento D y el nodo a.

La funciLa funcióón es lineal para las dos direcciones n es lineal para las dos direcciones xx y y yy, sin , sin embargo la lembargo la líínea que se dibuja del nodo nea que se dibuja del nodo aa al al cc no lo es.no lo es.

( ) ( ) ( )∑=j,i

ijji y,xy,xhy,xh I,,1,0i …= J,,1,0j …= (7.94)

La ecuaciLa ecuacióón de residuos pesados la podemos escribir n de residuos pesados la podemos escribir como:como:

ΩΩ es el dominio en 2es el dominio en 2--D que representa el D que representa el áárea.rea.

El operador El operador ££((ĥĥ(x))(x)) lo definimos ahora como:lo definimos ahora como:

Introducimos la notaciIntroducimos la notacióónn

( )( ) ( ) ( ) ( ) Qx

y,xhTy

2y

y,xhTyx

y,xhTx

y,xh£ yxyyxx −⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂

∂∂∂

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂

∂∂∂

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂

∂∂∂

≡

( )( ) ( ) 0dxdyy,xy,xh£

ij =∫Ω

Ω∈y,x I,,1,0i …=J,,1,0j …=

(7.95)

(7.96)

( ) ( ) ( ) jy

y,xhix

y,xhy,xhxy ∂∂

+∂

∂≡∇ (7.97)

Podemos escribir la ecuaciPodemos escribir la ecuacióón n 7.967.96 como:como:

donde T es el tensor de transmisividaddonde T es el tensor de transmisividad

Combinando la ecuaciCombinando la ecuacióón de residuos pesados (n de residuos pesados (7.957.95) y la ) y la definicidefinicióón de la ecuacin de la ecuacióón 7.98 obtenemos:n 7.98 obtenemos:

( )( ) ( ) Qy,xhTy,xh£ xyxy −∇⋅⋅∇=

( )( ) ( ) 0dxdyy,xQy,xhT

klxyxy =−∇⋅⋅∇∫Ω

Ω∈y,x K,,1,0k …=L,,1,0l …=

(7.98)

(7.99)

Aplicando el segundo teorema de Aplicando el segundo teorema de GreenGreen

Aunque la ecuaciAunque la ecuacióón anterior es ann anterior es anáálogo a la ecuacilogo a la ecuacióón n 7.857.85, , si expandimos el primer termino de la integral de superficie si expandimos el primer termino de la integral de superficie en la ecuacien la ecuacióón 7.100 por una funcin 7.100 por una funcióón de peso localizada en n de peso localizada en un punto (un punto (xxkk,y,yll) esta dada por ) esta dada por

( )( ) ( ) ( ) ( )( ) 0dlny,xhTdxdyy,xQy,xy,xhT

xy

klklxyxy =⋅∇⋅+−∇⋅∇⋅− ∫∫Ω∂Ω

Ω∈y,x K,,1,0k …= L,,1,0l …=

(7.100)

( )( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )dxdyy

y,xx

y,xhTy

y,xhT

xy,x

yy,xhT

xy,xhT

dxdyy,xy,xhT

klyxyy

klxyxx

klxyxy

∂∂

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∂∂

+∂

∂+

∂∂

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∂∂

+∂

∂

=∇⋅∇⋅

∫∫

Ω

Ω

(7.101)

( )( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )dxdy

yy

xx

yxy,xhT

yyx

y,xhT

xx

yy

yxy,xhT

xyx

y,xhT

dxdyy,xy,xhT

lk

j,i

jijiyx

j,i

jijiyy

kl

j,i

jijixy

j,i

jijixx

klxyxy

∂∂

⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

∂

∂+

∂

∂+

∂∂

⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

∂

∂+

∂

∂

=∇⋅∇⋅

∑∑∫ ∑∑∫

Ω

Ω

Sustituyendo la funciSustituyendo la funcióón n ĥĥ(x)(x) obtenemos:obtenemos:

Esta ecuaciEsta ecuacióón no puede ser fn no puede ser fáácilmente simplificada a cilmente simplificada a causa de los productos de los de varios polinomios de causa de los productos de los de varios polinomios de LagrangeLagrange y sus derivadas.y sus derivadas.

En 2En 2--D la formulaciD la formulacióón de elemento finito no n de elemento finito no corresponden a la forma de diferencias finitas, acorresponden a la forma de diferencias finitas, aúún n cuando cuando TTxyxy==TTyxyx=0=0

(7.102)

Ir a 34

Como se menciono en el capitulo anterior existen 3 Como se menciono en el capitulo anterior existen 3 tipos de condiciones de frontera que pueden tipos de condiciones de frontera que pueden potencialmente se consideradas.potencialmente se consideradas.

La condiciLa condicióón de frontera tipo n de frontera tipo DirichletDirichlet, que se define , que se define como una condicicomo una condicióón de carga constante en la frontera.n de carga constante en la frontera.

El resultado sustituir valores constantes de la carga El resultado sustituir valores constantes de la carga conocida en la frontera es, una reducciconocida en la frontera es, una reduccióón en el nn en el núúmero mero de filas en la matriz.de filas en la matriz.

La matriz final contiene el nLa matriz final contiene el núúmero de ecuaciones no mero de ecuaciones no conocidas, que son el nconocidas, que son el núúmero de nodos menos el mero de nodos menos el nnúúmero de condiciones de frontera mero de condiciones de frontera DirichletDirichlet

El segundo tipo es la condiciEl segundo tipo es la condicióón de frontera tipo n de frontera tipo NeumannNeumann

Para los nodos localizados en la frontera de la regiPara los nodos localizados en la frontera de la regióón n de flujo dentro del elemento puede especificarse, de flujo dentro del elemento puede especificarse, asumiendo que una condiciasumiendo que una condicióón n DirichletDirichlet no esta no esta definida a lo largo del segmento de frontera.definida a lo largo del segmento de frontera.

Para esto se remplaza el termino Para esto se remplaza el termino TT·· ∇∇xyxyĥĥ(x,y(x,y)) por un por un valor de flujo conocido.valor de flujo conocido.

AsAsíí se crea el termino que representa el flujo a travse crea el termino que representa el flujo a travéés s de la frontera en el perde la frontera en el períímetro.metro.

La forma mLa forma máás popular y por lo tanto la ms popular y por lo tanto la máás utilizada s utilizada para elementos finitos en 2para elementos finitos en 2--D son los triD son los triáángulos en ngulos en comparacicomparacióón con los rectn con los rectáángulos.ngulos.

La ventaja de los triLa ventaja de los triáángulos en 2ngulos en 2--D y tetraedros en 3D y tetraedros en 3--D D en la flexibilidad para la localizacien la flexibilidad para la localizacióón de nodos.n de nodos.

Para los elementos triangulares no conviene utilizar la Para los elementos triangulares no conviene utilizar la notacinotacióón n ijij utilizada para los rectutilizada para los rectáángulos.ngulos.

Por el contrario, cada nodo es numerado como se Por el contrario, cada nodo es numerado como se muestra en la muestra en la figura 7.12figura 7.12..

La ecuaciLa ecuacióón (n (7.1027.102) y la teor) y la teoríía presentada en este a presentada en este capcapíítulo, tomada para elementos triangulares, difiere tulo, tomada para elementos triangulares, difiere solo en la definicisolo en la definicióón de funciones de peso y base n de funciones de peso y base φφii(x,y(x,y))..

Si usamos Si usamos φφii(x,y(x,y)) en vez de en vez de ℓℓii(x,y)(x,y) reconociendo que esta reconociendo que esta funcifuncióón no es un polinomio de Lagrange en el sentido n no es un polinomio de Lagrange en el sentido clasico.clasico.

Por lo que podemos considerar que a Por lo que podemos considerar que a φφii(x,y(x,y)) como una como una pieza plana del polinomio de pieza plana del polinomio de LagrangeLagrange..

Si consideramos el elemento A en la Si consideramos el elemento A en la figura 7.12figura 7.12. La . La funcifuncióón base identificada con el nodo 2 se asemeja a la n base identificada con el nodo 2 se asemeja a la figura 7.13.figura 7.13.

Puesto que la integraciPuesto que la integracióón que esta en la ecuacin que esta en la ecuacióón n 7.1027.102esta sobre un triesta sobre un triáángulo, una transformacingulo, una transformacióón coordenada n coordenada se aplica para facilitar los cse aplica para facilitar los cáálculos.lculos.

Consideremos un ejemplo para ver las ventajas de la Consideremos un ejemplo para ver las ventajas de la flexibilidad de elementos finitos triangulares contra flexibilidad de elementos finitos triangulares contra mallas rectangulares.mallas rectangulares.

En la figura En la figura 7.147.14 se muestra una malla rectangular se muestra una malla rectangular generada por la aplicacigenerada por la aplicacióón de diferencias finitas.n de diferencias finitas.

En la figura En la figura 7.157.15 se muestra una malla triangular se muestra una malla triangular generada por la aplicacigenerada por la aplicacióón de elemento finito.n de elemento finito.

La comparaciLa comparacióón de las 2 mallas ilustra dos caractern de las 2 mallas ilustra dos caracteríísticas:sticas:

La primera, en la vecindad de la localizaciLa primera, en la vecindad de la localizacióón de un pozo, n de un pozo, ambas mallas requieren una gran densidad de nodos.ambas mallas requieren una gran densidad de nodos.

Para el caso de la malla rectangular, las consideraciones Para el caso de la malla rectangular, las consideraciones geomgeoméétricas requieren que una ltricas requieren que una líínea de nodos una vez nea de nodos una vez empezado debe ser continua en la frontera del modelo.empezado debe ser continua en la frontera del modelo.

En contraste, la malla de elemento finito, triEn contraste, la malla de elemento finito, triáángulos ngulos pequepequeñños reflejan el gran nos reflejan el gran núúmero de nodos cerca del mero de nodos cerca del pozo, pero es un decrecimiento gradual en la densidad de pozo, pero es un decrecimiento gradual en la densidad de nodos.nodos.

La segunda caracterLa segunda caracteríística se puede observar en la parte stica se puede observar en la parte superior derecha, donde la frontera es oblicua.superior derecha, donde la frontera es oblicua.

El nEl núúmero de nodos en la malla rectangular son cerca mero de nodos en la malla rectangular son cerca de 1600 y en la malla triangular son cerca 400.de 1600 y en la malla triangular son cerca 400.

Para el manejo computacional, el considerar mallas Para el manejo computacional, el considerar mallas triangulares es mtriangulares es máás eficiente que las mallas s eficiente que las mallas rectangulares.rectangulares.

Cuando se generan lCuando se generan lííneas de flujo, se puede utilizar el neas de flujo, se puede utilizar el hecho de que, para un triangulo, el gradiente es hecho de que, para un triangulo, el gradiente es constante. Asconstante. Asíí se construyen las lse construyen las lííneas de flujo de un neas de flujo de un punto arbitrario.punto arbitrario.