introducción al mØtodo de elemento...

Introducción al Método de Elemento Finito

Antonio Carrillo LedesmaFacultad de Ciencias, UNAM

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Invierno 2019, Versión 1.0�1

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Índice

1 Sistemas Continuos y sus Modelos 31.1 Los Modelos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.1.1 Física Microscópica y Física Macroscópica . . . . . . . 41.2 Cinemática de los Modelos de Sistemas Continuos . . . . . . . 4

1.2.1 Propiedades Intensivas y sus Representaciones . . . . . 61.2.2 Propiedades Extensivas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.2.3 Balance de Propiedades Extensivas e Intensivas . . . . 10

1.3 Ejemplos de Modelos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

2 Ecuaciones Diferenciales Parciales 182.1 Clasi�cación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

2.1.1 Condiciones Iniciales y de Frontera . . . . . . . . . . . 222.1.2 Modelos Completos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

3 Análisis Funcional y Problemas Variacionales 253.1 Operador Lineal Elíptico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253.2 Espacios de Sobolev . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

3.2.1 Trazas de una Función en Hm () : . . . . . . . . . . . 303.2.2 Espacios Hm

0 () : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313.2.3 Espacios H (div;) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

3.3 Formulas de Green y Problemas Adjuntos . . . . . . . . . . . 353.4 Adjuntos Formales para Sistemas de Ecuaciones . . . . . . . . 443.5 Problemas Variacionales con Valor en la Frontera . . . . . . . 49

4 Métodos de Solución Aproximada para EDP 544.1 Método Galerkin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 554.2 El Método de Residuos Pesados . . . . . . . . . . . . . . . . . 584.3 Método de Elementos Finitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

5 Método de Elementos Finitos 645.1 Triangulación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 655.2 Interpolación para el Método de Elementos Finitos . . . . . . 665.3 Discretización en 2D Usando Rectángulos . . . . . . . . . . . . 665.4 Discretización en 2D Usando Triángulos . . . . . . . . . . . . 725.5 Implementación Computacional . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

5.5.1 Procedimiento General para Programar FEM . . . . . 81

[email protected] 1 Antonio Carrillo Ledesma


6 Apéndice A: Algúnos Conceptos Básicos 846.1 Nociones de Algebra Lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 846.2 �-Algebra y Espacios Medibles . . . . . . . . . . . . . . . . . . 856.3 Espacios Lp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 876.4 Distribuciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

7 Apéndice B: Consideraciones Sobre la Implementación deMétodos de Solución de Grandes Sistemas de EcuacionesLineales 937.1 Métodos Directos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

7.1.1 Factorización LU . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 957.1.2 Factorización Cholesky . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

7.2 Métodos Iterativos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 987.2.1 Método de Gradiente Conjugado . . . . . . . . . . . . 1007.2.2 Gradiente Conjugado Precondicionado . . . . . . . . . 1047.2.3 Método Residual Mínimo Generalizado . . . . . . . . . 106

7.3 Precondicionadores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1097.3.1 Precondicionador a Posteriori . . . . . . . . . . . . . . 1117.3.2 Precondicionador a Priori . . . . . . . . . . . . . . . . 115

7.4 Estructura Óptima de las Matrices en su Implementación Com-putacional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1177.4.1 Matrices Bandadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1197.4.2 Matrices Dispersas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1217.4.3 Multiplicación Matriz-Vector . . . . . . . . . . . . . . . 123

8 Apéndice C: Integración Numérica 125

9 Bibliografía 133



1 Sistemas Continuos y sus Modelos

Los fundamentos de la física macroscópica los proporciona la �teoría de losmedios continuos�. En este capítulo, con base en ella se introduce una for-mulación clara, general y sencilla de los modelos matemáticos de los sistemascontinuos. Esta formulación es tan sencilla y tan general, que los mode-los básicos de sistemas tan complicados y diversos como la atmósfera, losocéanos, los yacimientos petroleros, o los geotérmicos, se derivan por mediode la aplicación repetida de una sola ecuación diferencial: �la ecuación difer-encial de balance�.Dicha formulación también es muy clara, pues en el modelo general no hay

ninguna ambigüedad; en particular, todas las variables y parámetros que in-tervienen en él, están de�nidos de manera unívoca. En realidad, este modelogeneral de los sistemas continuos constituye una realización extraordinaria delos paradigmas del pensamiento matemático. El descubrimiento del hecho deque los modelos matemáticos de los sistemas continuos, independientementede su naturaleza y propiedades intrínsecas, pueden formularse por medio debalances, cuya idea básica no di�ere mucho de los balances de la contabilidad�nanciera, fue el resultado de un largo proceso de perfeccionamiento en elque concurrieron una multitud de mentes brillantes.

1.1 Los Modelos

Un modelo de un sistema es un sustituto de cuyo comportamiento es posiblederivar el correspondiente al sistema original. Los modelos matemáticos,en la actualidad, son los utilizados con mayor frecuencia y también los másversátiles. En las aplicaciones especí�cas están constituidos por programasde cómputo cuya aplicación y adaptación a cambios de las propiedades delos sistemas es relativamente fácil. También, sus bases y las metodologíasque utilizan son de gran generalidad, por lo que es posible construirlos parasituaciones y sistemas muy diversos.Los modelos matemáticos son entes en los que se integran los conocimien-

tos cientí�cos y tecnológicos, con los que se construyen programas de cóm-puto que se implementan con medios computacionales. En la actualidad, lasimulación numérica permite estudiar sistemas complejos y fenómenos nat-urales que sería muy costoso, peligroso o incluso imposible de estudiar porexperimentación directa. En esta perspectiva la signi�cación de los mod-elos matemáticos en ciencias e ingeniería es clara, porqué la modelación



matemática constituye el método más efectivo de predecir el comportamientode los diversos sistemas de interés. En nuestro país, ellos son usados amplia-mente en la industria petrolera, en las ciencias y la ingeniería del agua y enmuchas otras.

1.1.1 Física Microscópica y Física Macroscópica

La materia, cuando se le observa en el ámbito ultramicroscópico, está formadapor moléculas y átomos. Estos a su vez, por partículas aún más pequeñascomo los protones, neutrones y electrones. La predicción del comportamientode estas partículas es el objeto de estudio de la mecánica cuántica y la físicanuclear. Sin embargo, cuando deseamos predecir el comportamiento de sis-temas tan grandes como la atmósfera o un yacimiento petrolero, los cualesestán formados por un número extraordinariamente grande de moléculas yátomos, su estudio resulta inaccesible con esos métodos y en cambio el en-foque macroscópico es apropiado.Por eso en lo que sigue distinguiremos dos enfoques para el estudio de la

materia y su movimiento. El primero -el de las moléculas, los átomos y laspartículas elementales- es el enfoque microscópico y el segundo es el enfoquemacroscópico. Al estudio de la materia con el enfoque macroscópico, se lellama física macroscópica y sus bases teóricas las proporciona la mecánica delos medios continuos.Cuando se estudia la materia con este último enfoque, se considera que

los cuerpos llenan el espacio que ocupan, es decir que no tienen huecos,que es la forma en que los vemos sin el auxilio de un microscopio. Porejemplo, el agua llena todo el espacio del recipiente donde está contenida.Este enfoque macroscópico está presente en la física clásica. La ciencia haavanzado y ahora sabemos que la materia está llena de huecos, que nuestrossentidos no perciben y que la energía también está cuantizada. A pesar deque estos dos enfoques para el análisis de los sistemas físicos, el microscópicoy el macroscópico, parecen a primera vista conceptualmente contradictorios,ambos son compatibles, y complementarios, y es posible establecer la relaciónentre ellos utilizando a la mecánica estadística.

1.2 Cinemática de los Modelos de Sistemas Continuos

En la teoría de los sistemas continuos, los cuerpos llenan todo el espacio queocupan. Y en cada punto del espacio físico hay una y solamente una partícula.



Así, de�nimos como sistema continuo a un conjunto de partículas. Aún más,dicho conjunto es un subconjunto del espacio Euclidiano tridimensional. Uncuerpo es un subconjunto de partículas que en cualquier instante dado ocupaun dominio, en el sentido matemático, del espacio físico; es decir, del espacioEuclidiano tridimensional. Denotaremos por B(t) a la región ocupada por elcuerpo B, en el tiempo t; donde t puede ser cualquier número real.

Figura 1: Representación del movimiento de partículas de un cuerpo B; paraun tiempo dado.

Frecuentemente, sin embargo, nuestro interés de estudio se limitará a unintervalo �nito de tiempo. Dado un cuerpo B, todo subdominio ~B � B, cons-tituye a su vez otro cuerpo; en tal caso, se dice que ~B � B es un subcuerpode B. De acuerdo con lo mencionado antes, una hipótesis básica de la teoríade los sistemas continuos es que en cualquier tiempo t 2 (�1;1) y encada punto x 2 B de la región ocupada por el cuerpo, hay una y sólo unapartícula del cuerpo. Como en nuestra revisión se incluye no solamente laestática (es decir, los cuerpos en reposo), sino también la dinámica (es decir,los cuerpos en movimiento), un primer problema de la cinemática de lossistemas continuos consiste en establecer un procedimiento para identi�car alas partículas cuando están en movimiento en el espacio físico.Sea X 2 B, una partícula y p(X; t) el vector de la posición que ocupa,

en el espacio físico, dicha partícula en el instante t: Una forma, pero no laúnica, de identi�car la partícula X es asociándole la posición que ocupa enun instante determinado. Tomaremos en particular el tiempo t = 0; en talcaso p(X; 0) � X:A las coordenadas del vectorX � (x1; x2; x3), se les llama las coordenadas

materiales de la partícula. En este caso, las coordenadas materiales de unapartícula son las coordenadas del punto del espacio físico que ocupaba lapartícula en el tiempo inicial, t = 0. Desde luego, el tiempo inicial puede ser



cualquier otro, si así se desea. Sea B el dominio ocupado por un cuerpo en eltiempo inicial, entonces X 2 B si y solamente si la partícula X es del cuerpo.Es decir, B caracteriza al cuerpo. Sin embargo, debido al movimiento, laregión ocupada por el mismo cambia con el tiempo y será denotada por B(t).Formalmente, para cualquier t 2 (�1;1); B(t) se de�ne por

B(t) ��x 2 R3 j 9X 2 B tal que x = p(X; t)

(1.1)

el vector posición p(X; t) es función del vector tridimensionalX y del tiempo.Si �jamos el tiempo t; p(X; t) de�ne una transformación del espacio Euclid-iano R3 en si mismo y la Ec. (1.1) es equivalente a B(t) = p(B; t): Unanotación utilizada para representar esta familia de funciones es p(�; t). Deacuerdo a la hipótesis de los sistemas continuos: En cualquier tiempo t 2(�1;1) y en cada punto x 2 B de la región ocupada por el cuerpo hay unay sólo una partícula del cuerpo B para cada t �jo. Es decir, p(�; t) es unafunción biunívoca, por lo que existe la función inversa p�1(�; t).Si se �ja la partícula X en la función p(X; t) y se varía el tiempo t,

se obtiene su trayectoria. Esto permite obtener la velocidad de cualquierpartícula, la cual es un concepto central en la descripción del movimiento.Ella se de�ne como la derivada con respecto al tiempo de la posición cuandola partícula se mantiene �ja. Es decir, es la derivada parcial con respecto altiempo de la función de posición p(X; t). Por lo mismo, la velocidad comofunción de las coordenadas materiales de las partículas, está dada por

V¯(X; t) �

@p

@t(X; t): (1.2)

1.2.1 Propiedades Intensivas y sus Representaciones

En lo que sigue consideraremos funciones de�nidas para cada tiempo, en cadauna de las partículas de un sistema continuo. A tales funciones se les llama�propiedades intensivas�. Las propiedades intensivas pueden ser funcionesescalares o funciones vectoriales. Por ejemplo, la velocidad, de�nida por laEc. (1.2), es una función vectorial que depende de la partículaX y del tiempot.Una propiedad intensiva con valores vectoriales es equivalente a tres es-

calares, correspondientes a cada una de sus tres componentes. Hay dos for-mas de representar a las propiedades intensivas: la representación Euleriana yla re-presentación Lagrangiana. Los nombres son en honor a los matemáticos



Leonard Euler (1707-1783) y Joseph Louis Lagrange (1736-1813), respecti-vamente. Frecuentemente, el punto de vista Lagrangiano es utilizado en elestudio de los sólidos, mientras que el Euleriano se usa más en el estudio delos �uidos.Considere una propiedad intensiva escalar, la cual en el tiempo t toma

el valor �(X; t) en la partícula X. Entonces, de esta manera se de�ne unafunción � : B ! R1, para cada t 2 (�1;1) a la que se denomina rep-resentación Lagrangiana de la propiedad intensiva considerada. Ahora, sea (x; t) el valor que toma esa propiedad en la partícula que ocupa la posi-ción x, en el tiempo t. En este caso, para cada t 2 (�1;1) se de�ne unafunción : B(t) ! R1 a la cual se denomina representación Euleriana dela función considerada. Estas dos representaciones de una misma propiedadestán relacionadas por la siguiente identidad

�(X; t) � (p(X; t); t): (1.3)

Nótese que, aunque ambas representaciones satisfacen la Ec. (1.3), lasfunciones �(X; t) y (x; t) no son idénticas. Sus argumentos X y x sonvectores tridimensionales (es decir, puntos de R3); sin embargo, si tomamosX = x, en general

�(X; t) 6= (X; t): (1.4)

La expresión de la velocidad de una partícula dada por la Ec. (1.2), de�nea su representación Lagrangiana, por lo que utilizando la Ec. (1.3) es claroque

@p

@t(X; t) = V

¯(X; t) � v

¯(p(X; t); t) (1.5)

donde v¯(x; t) es la representación Euleriana de la velocidad. Por lo mismo

v¯(x; t) � V

¯(p�1(x; t); t): (1.6)

Esta ecuación tiene la interpretación de que la velocidad en el punto xdel espacio físico, es igual a la velocidad de la partícula que pasa por dichopunto en el instante t. La Ec. (1.6) es un caso particular de la relación

(x; t) � �(p�1(x; t); t)

de validez general, la cual es otra forma de expresar la relación de la Ec. (1.3)que existe entre las dos representaciones de una misma propiedad intensiva.



La derivada parcial con respecto al tiempo de la representación Lagrangiana�(X; t) de una propiedad intensiva, de acuerdo a la de�nición de la derivadaparcial de una función, es la tasa de cambio con respecto al tiempo que ocurreen una partícula �ja. Es decir, si nos montamos en una partícula y medimosa la propiedad intensiva y luego los valores así obtenidos los derivamos conrespecto al tiempo, el resultado �nal es @�(X;t)

@t: En cambio, si (x; t) es la

representación Euleriana de esa misma propiedad, entonces @ (x;t)@t

es simple-mente la tasa de cambio con respecto al tiempo que ocurre en un punto �joen el espacio. Tiene interés evaluar la tasa de cambio con respecto al tiempoque ocurre en una partícula �ja, cuando se usa la representación Euleriana.Derivando con respecto al tiempo a la identidad de la Ec. (1.3) y la regla dela cadena, se obtiene

@�(X; t)

@t=@

@t(p(X; t); t) +

3Xi=1

@

@xi(p(X; t); t)

@pi@t(X; t): (1.7)

Se acostumbra de�nir el símbolo D Dtpor

D

Dt=@

@t+

3Xi=1

vi@

@xi(1.8)

o, más brevemente,D

Dt=@

@t+ v¯� r (1.9)

utilizando esta notación, se puede escribir

@�(X; t)

@t=D

Dt(p(X; t) �

�@

@t+ v¯� r

�(p(X; t); t): (1.10)

Por ejemplo, la aceleración de una partícula se de�ne como la derivadade la velocidad cuando se mantiene a la partícula �ja. Aplicando la Ec. (1.9)se tiene

Dv¯

Dt=@v¯@t+ v¯� rv¯

(1.11)

una expresión más transparente se obtiene aplicando la Ec. (1.9) a cada unade las componentes de la velocidad. Así, se obtiene

DviDt

=@vi@t+ v¯� rvi: (1.12)



Desde luego, la aceleración, en representación Lagrangiana es simplemente

@

@tV¯(X; t) =

@2

@t2p(X; t): (1.13)

1.2.2 Propiedades Extensivas

En la sección anterior se consideraron funciones de�nidas en las partículasde un cuerpo, más precisamente, funciones que hacen corresponder a cadapartícula y cada tiempo un número real, o un vector del espacio Euclidianotridimensional R3. En ésta, en cambio, empezaremos por considerar fun-ciones que a cada cuerpo B de un sistema continuo, y a cada tiempo t leasocia un número real o un vector de R3. A una función de este tipo E(B; t)se le llama �propiedad extensiva�cuando esta dada por una integral

E(B; t) �ZB(t)

(x; t)dx¯. (1.14)

Observe que, en tal caso, el integrando de�ne una función (x; t) y porlo mismo, una propiedad intensiva. En particular, la función (x; t) es larepresentación Euleriana de esa propiedad intensiva. Además, la Ec. (1.14)establece una correspondencia biunívoca entre las propiedades extensivas ylas intensivas, porqué dada la representación Eulereana (x; t) de cualquierpropiedad intensiva, su integral sobre el dominio ocupado por cualquiercuerpo, de�ne una propiedad extensiva. Finalmente, la notación empleadaen la Ec. (1.14) es muy explicita, pues ahí se ha escrito E(B; t) para enfatizarque el valor de la propiedad extensiva corresponde al cuerpo B. Sin embargo,en lo que sucesivo, se simpli�cara la notación omitiendo el símbolo B es decir,se escribirá E(t) en vez de E(B; t):Hay diferentes formas de de�nir a las propiedades intensivas. Como aquí

lo hemos hecho, es por unidad de volumen. Sin embargo, es frecuente quese le de�na por unidad de masa véase [16]. Es fácil ver que la propiedadintensiva por unidad de volumen es igual a la propiedad intensiva por unidadde masa multiplicada por la densidad de masa (es decir, masa por unidadde volumen), por lo que es fácil pasar de un concepto al otro, utilizando ladensidad de masa.Sin embargo, una ventaja de utilizar a las propiedades intensivas por

unidad de volumen, en lugar de las propiedades intensivas por unidad demasa, es que la correspondencia entre las propiedades extensivas y las inten-sivas es más directa: dada una propiedad extensiva, la propiedad intensiva



que le corresponde es la función que aparece como integrando, cuando aquéllase expresa como una integral de volumen. Además, del cálculo se sabe que

(x; t) � limV ol!0

E(t)V ol

= limV ol!0

RB(t) (�; t)d�

V ol: (1.15)

La Ec. (1.15) proporciona un procedimiento efectivo para determinar laspropie-dades extensivas experimentalmente: se mide la propiedad extensivaen un volumen pequeño del sistema continuo de que se trate, se le divideentre le volumen y el cociente que se obtiene es una buena aproximación dela propiedad intensiva.El uso que haremos del concepto de propiedad extensiva es, desde luego,

lógicamente consistente. En particular, cualquier propiedad que satisface lascondiciones de la de�nición de propiedad extensiva establecidas antes es, porese hecho, una propiedad extensiva. Sin embargo, no todas las propiedadesextensivas que se pueden obtener de esta manera son de interés en la mecánicade los medios continuos. Una razón básica por la que ellas son importantes esporqué el modelo general de los sistemas continuos se formula en términos deecuaciones de balance de propiedades extensivas, como se verá más adelante.

1.2.3 Balance de Propiedades Extensivas e Intensivas

Los modelos matemáticos de los sistemas continuos están constituidos porbalances de propiedades extensivas. Por ejemplo, los modelos de transportede solutos (los contaminantes transportados por corrientes super�ciales osubte-rráneas, son un caso particular de estos procesos de transporte) seconstruyen haciendo el balance de la masa de soluto que hay en cualquierdominio del espacio físico. Aquí, el término balance se usa, esencialmente, enun sentido contable. En la contabilidad que se realiza para �nes �nancieroso �scales, la diferencia de las entradas menos las salidas nos da el aumento, ocambio, de capital. En forma similar, en la mecánica de los medios continuosse realiza, en cada cuerpo del sistema continuo, un balance de las propiedadesextensivas en que se basa el modelo.

Ecuación de Balance Global Para realizar tales balances es necesario,en primer lugar, identi�car las causas por las que las propiedades extensivaspueden cambiar. Tomemos como ejemplo de propiedad extensiva a las ex-istencias de maíz que hay en el país. La primera pregunta es: ¿qué causas



pueden motivar su variación, o cambio, de esas existencias?. Un análisis sen-cillo nos muestra que dicha variación puede ser debida a que se produzca ose consuma. También a que se importe o se exporte por los límites del país(fronteras o litorales). Y con esto se agotan las causas posibles; es decir, estalista es exhaustiva. Producción y consumo son términos similares, pero susefectos tienen signos opuestos, que fácilmente se engloban en uno solo de esosconceptos. De hecho, si convenimos en que la producción puede ser negativa,entonces el consumo es una producción negativa.Una vez adoptada esta convención, ya no es necesario ocuparnos sepa-

radamente del consumo. En forma similar, la exportación es una importaciónne-gativa. Entonces, el incremento en las existencias �E en un período �tqueda dado por la ecuación

�E = P+ I (1.16)

donde a la producción y a la importación, ambas con signo, se les ha repre-sentado por P y I respectivamente.Similarmente, en la mecánica de los medios continuos, la lista exhaustiva

de las causas por las que una propiedad extensiva de cualquier cuerpo puedecambiar, contiene solamente dos motivos:

i) Por producción en el interior del cuerpo; y

ii) Por importación (es decir, transporte) a través de la frontera.

Esto conduce a la siguiente ecuación de �balance global�, de gran gener-alidad, para las propiedades extensivas

dEdt(t) =

ZB(t)

g(x; t)dx+

Z@B(t)

q(x; t)dx+

Z�(t)

g�(x; t)dx: (1.17)

Donde g(x; t) es la generación en el interior del cuerpo, con signo, de lapropiedad extensiva correspondiente, por unidad de volumen, por unidad detiempo. Además, en la Ec. (1.17) se ha tomado en cuenta la posibilidadde que haya producción concentrada en la super�cie �(t), la cual está dadaen esa ecuación por la última integral, donde g�(x; t) es la producción porunidad de área. Por otra parte q(x; t) es lo que se importa o transportahacia el interior del cuerpo a través de la frontera del cuerpo @B(t); en otraspalabras, es el �ujo de la propiedad extensiva a través de la frontera delcuerpo, por unidad de área, por unidad de tiempo. Puede demostrarse, con



base en hipótesis válidas en condiciones muy generales, que para cada tiempot existe un campo vectorial �(x; t) tal que

q(x; t) � �(x; t) � n(x; t) (1.18)

donde n(x; t) es normal exterior a @B(t). En vista de esta relación, la Ec.(1.17) de balance se puede escribir como

dEdt(t) =

ZB(t)

g(x; t)dx+

Z@B(t)

�(x; t) � n(x; t)dx+Z�(t)

g�(x; t)dx: (1.19)

La relación (1.19) se le conoce con el nombre de �ecuación general de bal-ance global�y es la ecuación básica de los balances de los sistemas continuos.A la función g(x; t) se le denomina el generación interna y al campo vectorial�(x; t) el campo de �ujo.

Condiciones de Balance Local Los modelos de los sistemas continuosestán constituidos por las ecuaciones de balance correspondientes a una colec-ción de propiedades extensivas. Así, a cada sistema continuo le correspondeuna familia de propiedades extensivas, tal que, el modelo matemático delsistema está cons-tituido por las condiciones de balance de cada una de laspropiedades extensivas de dicha familia.Sin embargo, las propiedades extensivas mismas no se utilizan directa-

mente en la formulación del modelo, en su lugar se usan las propiedadesintensivas asociadas a cada una de ellas. Esto es posible porqué las ecua-ciones de balance global son equivalentes a las llamadas condiciones de bal-ance local, las cuales se expresan en términos de las propiedades intensivascorrespondientes. Las condiciones de balance local son de dos clases: �lasecuaciones diferenciales de balance local�y �las condiciones de salto�.Las primeras son ecuaciones diferenciales parciales, que se deben satis-

facer en cada punto del espacio ocupado por el sistema continuo, y las se-gundas son ecuaciones algebraicas que las discontinuidades deben satisfacerdonde ocurren; es decir, en cada punto de �. Cabe mencionar que las ecua-ciones diferenciales de balance local son de uso mucho más amplio que lascondiciones de salto, pues estas últimas solamente se aplican cuando y dondehay discontinuidades, mientras que las primeras en todo punto del espacioocupado por el sistema continuo.Una vez establecidas las ecuaciones diferenciales y de salto del balance

local, e incorporada la información cientí�ca y tecnológica necesaria para



completar el modelo (la cual por cierto se introduce a través de las llamadas�ecuaciones constitutivas�), el problema matemático de desarrollar el modeloy derivar sus predicciones se transforma en uno correspondiente a la teoría dela ecuaciones diferenciales, generalmente parciales, y sus métodos numéricos.

Las Ecuaciones de Balance Local En lo que sigue se supone quelas propiedades intensivas pueden tener discontinuidades, de salto exclusi-vamente, a través de la super�cie �(t). Se entiende por �discontinuidad desalto�, una en que el límite por ambos lados de �(t) existe, pero son diferentes.Se utilizará en lo que sigue los resultados matemáticos que se dan a conti-

nuación, ver [8].

Teorema 1 Para cada t > 0, sea B(t) � R3 el dominio ocupado por uncuerpo. Suponga que la �propiedad intensiva� (x; t) es de clase C1, exceptoa través de la super�cie �(t). Además, sean las funciones v(x; t) y v�(x; t)esta última de�nida para x2 �(t) solamente, las velocidades de las partículasy la de �(t), respectivamente. Entonces

d

dt

ZB(t)

dx �ZB(t)

�@

@t+r � (v )

�dx+

Z�

[(v � v�) ] � ndx: (1.20)

Teorema 2 Considere un sistema continuo, entonces, la �ecuación de bal-ance global� (1.19) se satisface para todo cuerpo del sistema continuo si ysolamente si se cumplen las condiciones siguientes:i) La ecuación diferencial

@

@t+r � (v ) = r � � + g (1.21)

vale en todo punto x2 R3, de la región ocupada por el sistema.ii) La ecuación

[ (v � v�)� � ] � n = g� (1.22)

vale en todo punto x2 �.A las ecuaciones (1.21) y (1.22), se les llama �ecuación diferencial de

balance local�y �condición de salto�, respectivamente.

Desde luego, el caso más general que se estudiará se re�ere a situacionesdinámicas; es decir, aquéllas en que las propiedades intensivas cambian conel tiempo. Sin embargo, los estados estacionarios de los sistemas continuos



son de sumo interés. Por estado estacionario se entiende uno en que laspropiedades intensivas son independientes del tiempo. En los estados esta-cionarios, además, las super�cies de discontinuidad �(t) se mantienen �jas(no se mueven). En este caso @

@t= 0 y v� = 0. Por lo mismo, para los

estados estacionarios, la ecuación de balance local y la condición de salto sereducen a

r � (v ) = r � � + g (1.23)

que vale en todo punto x2 R3 y

[ v � � ] � n = g� (1.24)

que se satisface en todo punto de la discontinuidad �(t) respectivamente.

1.3 Ejemplos de Modelos

Una de las aplicaciones más sencillas de las condiciones de balance local espara formular restricciones en el movimiento. Aquí ilustramos este tipo deaplicaciones formulando condiciones que se deben cumplir localmente cuandoun �uido es incompresible. La a�rmación de que un �uido es incompresiblesigni�ca que todo cuerpo conserva el volumen de �uido en su movimiento.Entonces, se consideraran dos casos: el de un ��uido libre�y el de un ��uidoen un medio poroso�. En el primer caso, el �uido llena completamente elespacio físico que ocupa el cuerpo, por lo que el volumen del �uido es igualal volumen del dominio que ocupa el cuerpo, así

Vf (t) =

ZB(t)

dx (1.25)

aquí, Vf (t) es el volumen del �uido y B(t) es el dominio del espacio físico (esdecir, de R3) ocupado por el cuerpo. Observe que una forma más explicitade esta ecuación es

Vf (t) =

ZB(t)1dx (1.26)

porqué en la integral que aparece en la Ec. (1.25) el integrando es la funciónidénticamente 1. Comparando esta ecuación con la Ec. (1.14), vemos que elvo-lumen del �uido es una propiedad extensiva y que la propiedad intensivaque le corresponde es = 1.



Además, la hipótesis de incompresibilidad implica

dVfdt(t) = 0 (1.27)

esta es el balance global de la Ec. (1.19), con g = g� = 0 y � = 0, el cual asu vez es equivalente a las Ecs. (1.21) y (1.22). Tomando en cuenta ademásque = 1, la Ec. (1.21) se reduce a

r � v = 0: (1.28)

Esta es la bien conocida condición de incompresibilidad para un �uidolibre Además, aplicando la Ec. (1.22) donde haya discontinuidades, se obtiene[v] � n = 0. Esto implica que si un �uido libre es incompresible, la velocidadde sus partículas es necesariamente continua.El caso en que el �uido se encuentra en un �medio poroso�, es bastante

diferente. Un medio poroso es un material sólido que tiene huecos distribuidosen toda su extensión, cuando los poros están llenos de un �uido, se dice queel medio poroso esta �saturado�. Esta situación es la de mayor interés en lapráctica y es también la más estudiada. En muchos de los casos que ocurrenen las aplicaciones el �uido es agua o petróleo. A la fracción del volumen delsistema, constituido por la �matriz sólida�y los huecos, se le llama �porosidad�y se le representara por �, así

�(x; t) = limV!0

Volumen de huecosVolumen total

(1.29)

aquí hemos escrito �(x; t) para enfatizar que la porosidad generalmente esfunción tanto de la posición como del tiempo. Las variaciones con la posiciónpueden ser debidas, por ejemplo, a heterogeneidad del medio y los cambioscon el tiempo a su elasticidad; es decir, los cambios de presión del �uidooriginan esfuerzos en los poros que los dilatan o los encogen.Cuando el medio esta saturado, el volumen del �uido Vf es igual al volu-

men de los huecos del dominio del espacio físico que ocupa, así

Vf (t) =

ZB(t)

�(x; t)dx: (1.30)

En vista de esta ecuación, la propiedad intensiva asociada al volumen de�uido es la porosidad �(x; t) por lo que la condición de incomprensibilidaddel �uido contenido en un medio poroso, esta dada por la ecuación diferencial

@�

@t+r � (v�) = 0: (1.31)



Que la divergencia de la velocidad sea igual a cero en la Ec. (1.28) comocondición para que un �uido en su movimiento libre conserve su volumen,es ampliamente conocida. Sin embargo, este no es el caso de la Ec. (1.31),como condición para la conservación del volumen de los cuerpos de �uidocontenidos en un medio poroso. Finalmente, debe observarse que cualquier�uido incompresible satisface la Ec. (1.28) cuando se mueve en el espaciolibre y la Ec. (1.31) cuando se mueve en un medio poroso.Cuando un �uido efectúa un movimiento en el que conserva su volumen,

al movimiento se le llama �isocorico�. Es oportuno mencionar que si biencierto que cuando un �uido tiene la propiedad de ser incompresible, todossus movimientos son isocoricos, lo inverso no es cierto: un �uido compresibleen ocasiones puede efectuar movimientos isocoricos.Por otra parte, cuando un �uido conserva su volumen en su movimiento

satisface las condiciones de salto de Ec. (1.22), las cuales para este caso son

[�(v � v�)] � n = 0: (1.32)

En aplicaciones a geohidrología y a ingeniería petrolera, las discontinuidadesde la porosidad están asociadas a cambios en los estratos geológicos y poresta razón están �jas en el espacio; así, v� = 0 y la Ec. (1.32) se reduce a

[�v] � n = 0 (1.33)

o, de otra manera�+vn+ = ��vn� : (1.34)

Aquí, la componente normal de la velocidad es vn � v �n y los subíndicesmás y menos se utilizan para denotar los límites por los lado más y menosde �, respectivamente. Al producto de la porosidad por la velocidad se leconoce con el nombre de velocidad de Darcy U , es decir

U = �v (1.35)

utilizándola, las Ecs. (1.33) y (1.34) obtenemos

[U ] � n = 0 y Un+ = Un� (1.36)

es decir, 1.La Ec. (1.34) es ampliamente utilizada en el estudio del agua subterránea

(geohidrología). Ahí, es frecuente que la porosidad � sea discontinua en la



super�cie de contacto entre dos estratos geológicos diferentes, pues general-mente los va-lores que toma esta propiedad dependen de cada estrato. Ental caso, �+ 6= �� por lo que vn+ 6= vn� necesariamente.

Para más detalles de la forma y del desarrollo de algunos modelos usadosen ciencias de la tierra, véase [8], [16], [24] y [14].



2 Ecuaciones Diferenciales Parciales

Cada una de las ecuaciones de balance da lugar a una ecuación diferencialparcial u ordinaria (en el caso en que el modelo depende de una sola variableindependiente), la cual se complementa con las condiciones de salto, en elcaso de los modelos discontinuos. Por lo mismo, los modelos de los sistemasconti-nuos están constituidos por sistemas de ecuaciones diferenciales cuyonúmero es igual al número de propiedades intensivas que intervienen en laformulación del modelo básico.Los sistemas de ecuaciones diferenciales se clasi�can en elípticas, hiper-

bólicas y parabólicas. Es necesario aclarar que esta clasi�cación no es exhaus-tiva; es decir, existen sistemas de ecuaciones diferenciales que no pertenecen aninguna de estas categorías. Sin embargo, casi todos los modelos de sistemascontinuos, en particular los que han recibido mayor atención hasta ahora, siestán incluidos en alguna de estas categorías.

2.1 Clasi�cación

Es importante clasi�car a las ecuaciones diferenciales parciales y a los sis-temas de tales ecuaciones, porqué muchas de sus propiedades son comunesa cada una de sus clases. Así, su clasi�cación es un instrumento para al-canzar el objetivo de unidad conceptual. La forma más general de abordarla clasi�cación de tales ecuaciones, es estudiando la clasi�cación de sistemasde ecuaciones. Sin embargo, aquí solamente abordaremos el caso de unaecuación diferencia de segundo orden, pero utilizando un método de análisisque es adecuado para extenderse a sistemas de ecuaciones.La forma general de un operador diferencial cuasi-lineal de segundo orden

de�nido en � R2 es

Lu � a(x; y)@2u

@x2+ b(x; y)

@2u

@x@y+ c(x; y)

@2u

@y2= F (x; y; u; ux; uy) (2.1)

para una función u de variables independientes x e y: Nos restringiremos alcaso en que a; b y c son funciones sólo de x e y y no funciones de u:Para la clasi�cación de las ecuaciones de segundo orden consideraremos

una simpli�cación de la ecuación anterior en donde F (x; y; u; ux; uy) = 0 ylos coe�cientes a; b y c son funciones constantes, es decir

a@2u

@x2+ b

@2u

@x@y+ c

@2u

@y2= 0 (2.2)



en la cual, examinaremos los diferentes tipos de solución que se puedenobtener para diferentes elecciones de a; b y c: Entonces iniciando con unasolución de la forma

u(x; y) = f(mx+ y) (2.3)

para una función f de clase C2 y para una constante m; que deben serdeterminadas según los requerimientos de la Ec. (2.2). Usando un apostrofepara denotar la derivada de f con respecto de su argumento, las requeridasderivadas parciales de segundo orden de la Ec. (2.2) son

@2u

@x2= m2f 00;

@2u

@x@y= mf 00;

@2u

@y2= f 00 (2.4)

sustituyendo la ecuación anterior en la Ec. (2.2) obtenemos�am2 + bm+ c

�f 00 = 0 (2.5)

de la cual podemos concluir que f 00 = 0 ó am2 + bm + c = 0 ó ambas. Enel caso de que f 00 = 0 obtenemos la solución f = f0 + mx + y; la cual esuna función lineal de x e y y es expresada en términos de dos constantesarbitrarias, f0 y m. En el otro caso obtenemos

am2 + bm+ c = 0 (2.6)

resolviendo esta ecuación cuadrática para m obtenemos las dos soluciones

m1 =

��b+ 2

pb2 � 4ac

�2a

; m2 =

��b� 2

pb2 � 4ac

�2a

(2.7)

de donde es evidente la importancia de los coe�cientes de la Ec. (2.2), ya queel signo del discriminante (b2 � 4ac) es crucial para determinar el número ytipo de soluciones de la Ec. (2.6). Así, tenemos tres casos a considerar:

Caso I. (b2 � 4ac) > 0; Ecuación Hiperbólica.La Ec. (2.6) tiene dos soluciones reales distintas, m1 y m2: Así cualquier

función de cualquiera de los dos argumentos m1x+ y ó m2x+ y resuelven ala Ec. (2.2). Por lo tanto la solución general de la Ec. (2.2) es

u(x; y) = F (m1x+ y) + G(m2x+ y) (2.8)



donde F y G son cualquier función de clase C2: Un ejemplo de este tipo deecuaciones es la ecuación de onda, cuya ecuación canónica es

@2u

@x2� @2u

@t2= 0: (2.9)

Caso II. (b2 � 4ac) = 0; Ecuación Parabólica.Asumiendo que b 6= 0 y a 6= 0 (lo cual implica que c 6= 0). Entonces se

tiene una sola raíz degenerada de la Ec. (2.6) con el valor de m1 =�b2aque

resuelve a la Ec. (2.2). Por lo tanto la solución general de la Ec. (2.2) es

u(x; y) = F (m1x+ y) + yG(m1x+ y) (2.10)

donde F y G son cualquier función de clase C2: Si b = 0 y a = 0; entonces lasolución general es

u(x; y) = F (x) + yG(x) (2.11)

la cual es análoga si b = 0 y c = 0: Un ejemplo de este tipo de ecuaciones esla ecuación de difusión o calor, cuya ecuación canónica es

@2u

@x2� @u

@t= 0: (2.12)

Caso III. (b2 � 4ac) < 0; Ecuación Elíptica.La Ec. (2.6) tiene dos soluciones complejas m1 y m2 las cuales satisfacen

que m2 es el conjugado complejo de m1, es decir, m2 = m�1: La solución

general puede ser escrita en la forma

u(x; y) = F (m1x+ y) + G(m2x+ y) (2.13)

donde F y G son cualquier función de clase C2: Un ejemplo de este tipo deecuaciones es la ecuación de Laplace, cuya ecuación canónica es

@2u

@x2+@2u

@y2= 0: (2.14)

Consideremos ahora el caso de un operador diferencial lineal de segundoorden de�nido en � Rn cuya forma general es

Lu =nXi=1

nXj=1

aij@2u

@xi@xj+

nXi=1

bi@u

@xi+ cu (2.15)



y consideremos también la ecuación homogénea asociada a este operador

Lu = 0 (2.16)

además, sea x2 un punto del espacio Euclidiano y V (x) una vecindad deese punto. Sea una función u de�nida en V (x) con la propiedad de que existauna variedad � de dimensión n � 1 cerrada y orientada, tal que la funciónu satisface la Ec. (2.16) en V (x)n�: Se supone además que existe un vectorunitario n que apunta en la dirección positiva (único) está de�nido en �.Además, la función u y sus derivadas de primer orden son continuas a travésde �; mientras que los límites de las segundas derivadas de u existen porambos lados de �: Sea x2 � tal que�

@2u

@xi@xj(x)

�6= 0 (2.17)

para alguna pareja i; j = 1; :::; n: Entonces decimos que la función u es unasolución débil de esta ecuación en x:

Teorema 3 Una condición necesaria para que existan soluciones débiles dela ecuación homogénea (2.16) en un punto x2 � es que

nXi=1

nXj=1

aijninj = 0: (2.18)

Así, si de�nimos a la matriz A= (aij) y observamos que

n � A � n =nXi=1

nXj=1

aijninj (2.19)

entonces podemos decir que:

I) Cuando todos los eigenvalores de la matriz A son distintos decero y además del mismo signo, entonces se dice que el operadores Elíptico.

II) Cuando todos los eigenvalores de la matriz A son distintos decero y además n � 1 de ellos tienen el mismo signo, entonces sedice que el operador es Hiperbólico.

III) Cuando uno y sólo uno de los eigenvalores de la matriz A esigual a cero, entonces se dice que el operador es Parabólico.

Para el caso en que n = 2; esta forma de clasi�cación coincide con la dadaanteriormente.



2.1.1 Condiciones Iniciales y de Frontera

Dado un problema concreto de ecuaciones en derivadas parciales sobre undominio ; si la solución existe, esta no es única ya que generalmente estetiene un número in�nito de soluciones. Para que el problema tenga una ysólo una solución es necesario imponer condiciones auxiliares apropiadas yestas son las condiciones iniciales y condiciones de frontera.En esta sección sólo se enuncian de manera general las condiciones ini-

ciales y de frontera que son esenciales para de�nir un problema de ecuacionesdiferenciales:

A) Condiciones Iniciales

Las condiciones iniciales expresan el valor de la función al tiempoinicial t = 0 (t puede ser �jada en cualquier valor)

u(x; y; 0) = (x; y): (2.20)

B) Condiciones de Frontera

Las condiciones de frontera especi�can los valores que la funciónu(x; y; t) o ru(x; y; t) tomarán en la frontera @, siendo de trestipos posibles:

1) Condiciones tipo Dirichlet

Especi�ca los valores que la función u(x; y; t) toma en la frontera @

u(x; y; t) = (x; y): (2.21)

2) Condiciones tipo Neumann

Aquí se conoce el valor de la derivada de la función u(x; y; t) con re-specto a la normal n a lo largo de la frontera @

ru(x; y; t) � n = (x; y): (2.22)

3) Condiciones tipo Robin

Está condición es una combinación de las dos anteriores

�(x; y)u(x; y; t) + �(x; y)ru(x; y; t) � n = g@(x; y) (2.23)

8 x, y 2 @:En un problema dado se debe prescribir las condiciones iniciales al prob-

lema y debe de existir alguno de los tipos de condiciones de frontera o com-binación de ellas en @:



2.1.2 Modelos Completos

Los modelos de los sistemas continuos están constituidos por:

� Una colección de propiedades intensivas o lo que es lo mismo,extensivas.

� El conjunto de ecuaciones de balance local correspondientes(dife-renciales y de salto).

� Su�cientes relaciones que liguen a las propiedades intensivasentre sí y que de�nan a g, � y v en términos de estas, las cualesse conocen como leyes constitutivas.

Una vez que se han planteado las ecuaciones que gobiernan al problema,las condiciones iniciales, de frontera y mencionado los procesos que inter-vienen de manera directa en el fenómeno estudiado, necesitamos que nuestromodelo sea completo. Decimos que el modelo de un sistema es completo side�ne un problema bien planteado. Un problema de valores iniciales y condi-ciones de frontera es bien planteado si cumple que:

i) Existe una y sólo una solución y,

ii) La solución depende de manera continua de las condiciones iniciales yde frontera del problema.

Es decir, un modelo completo es aquél en el cual se incorporan condi-ciones iniciales y de frontera que de�nen conjuntamente con las ecuacionesdiferenciales un problema bien planteado.A las ecuaciones diferenciales de�nidas en � Rn

�u = 0 (2.24)@2u

@t2��u = 0

@u

@t��u = 0

se les conoce con los nombres de ecuación de Laplace, ecuación de onda yecuación del calor, respectivamente. Cuando se considera la primera de estas



ecuaciones, se entiende que u es una función del vector x � (x1; :::; xn); mien-tras que cuando se considera cualquiera de las otras dos, u es una función delvector x � (x1; :::; xn; t). Así, en estos últimos casos el número de variablesindependientes es n+1 y los conceptos relativos a la clasi�cación y las demásnociones discutidas con anterioridad deben aplicarse haciendo la sustituciónn! n+ 1 e identi�cando xn+1 = t.

Ecuación de Laplace Para la ecuación de Laplace consideraremos condi-ciones del tipo Robin. En particular, condiciones de Dirichlet y condicionesde Neumann. Sin embargo, en este último caso, la solución no es únicapues cualquier función constante satisface la ecuación de Laplace y también@u@n= g@ con g@ = 0.

Ecuación de Onda Un problema general importante consiste en obtenerla solución de la ecuación de onda, en el dominio del espacio-tiempo � [0; t],que satisface para cada t 2 (0; t] una condición de frontera de Robin en @y las condiciones iniciales

u(x; 0) = u0(x) y@u

@t(x; 0) = v0(x); 8x 2 (2.25)

aquí u0(x) y v0(x) son dos funciones prescritas. El hecho de que para laecuación de onda se prescriban los valores iniciales, de la función y su derivadacon respecto al tiempo, es reminiscente de que en la mecánica de partícu-las se necesitan las posiciones y las velocidades iniciales para determinar elmovimiento de un sistema de partículas.

Ecuación de Calor También para la ecuación del calor un problema gen-eral importante consiste en obtener la solución de la ecuación de onda, enel dominio del espacio-tiempo � [0; t], que satisface para cada t 2 (0; t]una condición de frontera de Robin en y ciertas condiciones iniciales. Sinembargo, en este caso en ellas sólo se prescribe a la función

u(x; 0) = u0(x); 8x 2 : (2.26)



3 Análisis Funcional y Problemas Variacionales

En este capítulo se detallan los conceptos básicos de análisis funcional yproblemas variacionales con énfasis en problemas elípticos de orden par 2m;para comenzar detallaremos lo que entendemos por un operador diferencialparcial elíptico de orden par 2m en n variables, para después de�nir a losespacios de Sobolev para poder tratar problemas variacionales con valor enla frontera.En donde, restringiéndonos a problemas elípticos, contestaremos una

cuestión central en la teoría de problemas elípticos con valores en la frontera,y está se relaciona con las condiciones bajo las cuales uno puede esperar queel problema tenga solución y esta es única, así como conocer la regularidadde la solución, para mayor referencia de estos resultados ver [13], [19], [3] y[28].

3.1 Operador Lineal Elíptico

De�nición 4 Entenderemos por un dominio al conjunto � Rn que seaabierto y conexo.

Para poder expresar de forma compacta derivadas parciales de orden mo menor, usaremos la de�nición siguiente.

De�nición 5 Sea Zn+ el conjunto de todas las n-duplas de enteros no neg-ativos, un miembro de Zn+ se denota usualmente por � ó � (por ejemplo� = (�1; �2; :::; �n): Denotaremos por j�j la suma j�j = �1 + �2 + :::+ �n ypor D�u la derivada parcial

D�u =@j�ju

@x�11 @x�22 :::@x

�nn

(3.1)

así, si j�j = m, entonces D�u denota la m-ésima derivada parcial de u:

Sea L un operador diferencial parcial de orden par 2m en n variables yde la forma

Lu =X

j�j;j�j�m

(�1)j�jD��a��(x)D

�u�; x 2 � Rn (3.2)

donde es un dominio en Rn. Los coe�cientes a�� son funciones suaves realvaluadas de x.



El operador L es asumido que aparece dentro de una ecuación diferencialparcial con la forma

Lu = f; (3.3)

donde f pertenece al rango del operador L.La clasi�cación del operador L depende sólo de los coe�cientes de la

derivada más alta, esto es, de la derivada de orden 2m, y a los términosinvolucrados en esa derivada son llamados la parte principal del operador Ldenotado por L0 y para el operador (3.2) es de la forma

L0 =X

j�j;j�j�m

a��D�+�u: (3.4)

Teorema 6 Sea � un vector en Rn; y sea �� = ��1n :::��nn ; � 2 Z+n : Entonces

i) L es elíptico en xo 2 ; siXj�j;j�j=m

a��xo��+� 6= 0 8� 6= 0; (3.5)

ii) L es elíptico, si es elíptico en todos los puntos de ;iii) L es fuertemente elíptico, si existe un número � > 0 tal que��

Xj�j;j�j=m

a��xo��+�

�� j�j2m (3.6)

satisfaciéndose en todo punto xo 2 ; y para todo � 2 Rn: Aquí j�j =��21 + :::+ �2n

� 12 :

Para el caso en el cual L es un operador de 2do orden (m = 1), la notaciónse simpli�ca, tomando la forma

Lu = �nX

i;j=1

@

@xi

�aij(x)

@u

@xj

�+

nXj=1

aj@u

@xj+ a0u = f (3.7)

en :Para coe�cientes adecuados aij; aj y a0 la condición para conocer si el

operador es elíptico, es examinado por la condición

nXi;j=1

aij(x0)�i�j 6= 0 8� 6= 0 (3.8)



y para conocer si el operador es fuertemente elíptico, es examinado por lacondición

nXi;j=1

aij(x0)�i�j > � j�j2 : (3.9)

3.2 Espacios de Sobolev

En esta subsección detallaremos algunos resultados de los espacios de Sobolevsobre el conjunto de números reales, en estos espacios son sobre los cualestrabajaremos tanto para plantear el problema elíptico como para encontrarla solución al problema. Primeramente de�niremos lo que entendemos porun espacio L2.

De�nición 7 Una función medible u(x) de�nida sobre � Rn se dice quepertenece al espacio L2() si Z

ju(x)j2 dx <1 (3.10)

es decir, es integrable.

La de�nición de los espacios medibles, espacios Lp, distribuciones y derivadasde distribuciones están dados en el apéndice, estos resultados son la base parapoder de�nir a los espacios de Sobolev.

De�nición 8 El espacio de Sobolev de orden m, denotado por Hm(); esde�nido

Hm() =�u j D�u 2 L2() 8� tal que j�j � m

: (3.11)

El producto escalar h�; �i de dos elementos u y v 2 Hm() esta dado por

hu; viHm =

Z

Xj�j�m

(D�u) (D�v) dx para u; v 2 Hm () : (3.12)

Nota: Es común que el espacio L2() sea denotado por H0().

Un espacio completo con producto interior es llamado un espacio deHilbert, un espacio normado y completo es llamado espacio de Banach. Ycomo todo producto interior de�ne una norma, entonces todo espacio deHilbert es un espacio de Banach.



De�nición 9 La norma k�kHm inducida a partir del producto interior h�; �iHm

queda de�nida por

kuk2Hm = hu; uiHm =

Z

Xj�j�m

(D�u)2 dx: (3.13)

Ahora, con norma k�kHm, el espacio Hm() es un espacio de Hilbert, estoqueda plasmado en el siguiente resultado.

Teorema 10 El espacioHm() con la norma k�kHm es un espacio de Hilbert.

Ya que algunas de las propiedades de los espacios de Sobolev sólo son val-idas cuando la frontera del dominio es su�cientemente suave. Para describiral conjunto donde los espacios de Sobolev están de�nidos, es común pedirlealgunas propiedades y así de�nimos lo siguiente.

De�nición 11 Una función f de�nida sobre un conjunto � � Rn es llamadaLipschitz continua si existe una constante L > 0 tal que

jf(x)� f(y)j � L jx� yj 8x; y 2 �: (3.14)

Notemos que una función Lipschitz continua es uniformemente continua.

Sea � Rn (n � 2) un dominio con frontera @; sea x0 2 @ y cons-truyamos la bola abierta con centro en x0 y radio ", i.e. B(x0; "), entoncesde�niremos el sistema coordenado (�1; :::; �n) tal que el segmento @\B(x0; ")pueda expresarse como una función

�n = f(�1; :::; �n�1) (3.15)

entonces de�nimos.

De�nición 12 La frontera @ del dominio es llamada de Lipschitz si fde�nida como en la Ec. (3.15) es una función Lipschitz continua.

El siguiente teorema resume las propiedades más importantes de los es-pacios de Sobolev Hm () :



Teorema 13 Sea Hm() el espacio de Sobolev de orden m y sea � Rn undominio acotado con frontera Lipschitz. Entoncesi) Hr() � Hm() si r � mii) Hm() es un espacio de Hilbert con respecto a la norma k�kHm

iii) Hm() es la cerradura con respecto a la norma k�kHm del espacioC1():

De la parte iii) del teorema anterior, se puede hacer una importante in-terpretación: Para toda u 2 Hm() es siempre posible encontrar una funciónin�nitamente diferenciable f; tal que este arbitrariamente cerca de u en elsentido que

ku� fkHm < " (3.16)

para algún " > 0 dado.Cuando m = 0; se deduce la propiedad H0() = L2() a partir del

teorema anterior.

Corolario 14 El espacio L2() es la cerradura, con respecto a la norma L2;del espacio C1():

Otra propiedad, se tiene al considerar a cualquier miembro de u 2 Hm();este puede ser identi�cado con una función en Cm(); después de que posi-blemente sean cambiados algunos valores sobre un conjunto de medida cero,esto queda plasmado en los dos siguientes resultados.

Teorema 15 Sean X y Y dos espacios de Banach, con X � Y: Sea f : X !Y tal que f (u) = u: Si el espacio X tiene de�nida la norma k�kX y el espacioY tiene de�nida la norma k�kY ; decimos que X está inmersa continuamenteen Y si

kf (u)kY = kukY � K kukX (3.17)

para alguna constante K > 0:

Teorema 16 (Inmersión de Sobolev)Sea � Rn un dominio acotado con frontera @ de Lipschitz: Si (m� k) >

n=2; entonces toda función en Hm() pertenece a Ck(); es decir, hay unmiembro que pertenece a Ck(): Además, la inmersión

Hm() � Ck() (3.18)

es continua.



3.2.1 Trazas de una Función en Hm () :

Una parte fundamental en los problemas con valores en la frontera de�nidossobre el dominio ; es de�nir de forma única los valores que tomará la funciónsobre la frontera @; en este apartado veremos bajo que condiciones es posibletener de�nidos de forma única los valores en la frontera @ tal que podamosde�nir un operador tr (�) continuo que actué en tal que tr (u) = uj@:El siguiente lema nos dice que el operador tr (�) es un operador lineal

continuo de C1��a C (@), con respecto a las normas k�kH1() y k�kL2(@) :

Lema 17 Sea un dominio con frontera @ de Lipschitz. La estimación

ktr (u)kL2(@) � C kukH1() (3.19)

se satisface para toda función u 2 C1��; para alguna constante C > 0:

Ahora, para el caso tr (�) : H1 () ! L2 (@) ; se tiene el siguiente teo-rema.

Teorema 18 Sea un dominio acotado en Rn con frontera @ de Lipschitz:Entonces:i) Existe un único operador lineal acotado tr (�) : H1 () ! L2 (@) ; tal

quektr (u)kL2(@) � C kukH1() ; (3.20)

con la propiedad que si u 2 C1��; entonces tr (u) = u j@ :

ii) El rango de tr (�) es denso en L2 (@).

El argumento anterior puede ser generalizado para los espacios Hm () ;de hecho, cuando m > 1; entonces para toda u 2 Hm () tenemos que

D�u 2 H1 () para j�j � m� 1; (3.21)

por el teorema anterior, el valor de D�u sobre la frontera está bien de�nidoy pertenece a L2 () ; es decir

tr (D�u) 2 L2 () ; j�j � m� 1: (3.22)

Además, si u es m-veces continuamente diferenciable, entonces D�u es almenos continuamente diferenciable para j�j � m� 1 y

tr (D�u) = (D�u) j@ : (3.23)



3.2.2 Espacios Hm0 () :

Los espacio Hm0 () surgen comúnmente al trabajar con problemas con valor

en la frontera y serán aquellos espacios que se nuli�quen en la frontera deldominio, es decir

De�nición 19 De�nimos a los espacios Hm0 () como la cerradura, en la

norma de Sobolev k�kHm ; del espacio Cm0 () de funciones con derivadas

continuas del orden menor que m, todas las cuales tienen soporte compactoen ; es decir Hm

0 () es formado al tomar la unión de Cm0 () y de todos

los límites de sucesiones de Cauchy en Cm0 () que no pertenecen a C

m0 () :

Las propiedades básicas de estos espacios están contenidas en el siguienteresultado.

Teorema 20 Sea un dominio acotado en Rn con frontera @ su�cien-temente suave y sea Hm

0 () la cerradura de C10 () en la norma k�kHm ;

entoncesa) Hm

0 () es la cerradura de C10 () en la norma k�kHm ;

b) Hm0 () � Hm();

c) Si u 2 Hm() pertenece a Hm0 (); entonces

D�u = 0; sobre @; j�j � m� 1: (3.24)

Teorema 21 (Desigualdad de Poincaré-Friedrichs)Sea un dominio acotado en Rn. Entonces existe una constante C > 0

tal que Z

juj2 dx � C

Z

jruj2 dx (3.25)

para toda u 2 H10 () :

Introduciendo ahora una familia de semi-normas sobreHm () (una semi-norma j�j satisface casi todos los axiomas de una norma excepto el de positivode�nido), de la siguiente forma:

De�nición 22 La semi-norma j�jm sobre Hm () ; se de�ne como

juj2m =Xj�j=m

Z

jD�uj2 dx: (3.26)

Esta es una semi-norma, ya que jujm = 0 implica que D�u = 0 para j�j = m;lo cual no implica que u = 0:



La relevancia de esta semi-norma está al aplicar la desigualdad de Poincaré-Friedrichs ya que es posible demostrar que j�j1 es de hecho una norma sobreH10 () :

Corolario 23 La semi-norma j�j1 es una norma sobre H10 () ; equivalente

a la norma estándar k�kH1 :

Es posible extender el teorema anterior y su corolario a los espaciosHm0 () para cualquier m � 1; de la siguiente forma:

Teorema 24 Sea un dominio acotado en Rn. Entonces existe una con-stante C > 0 tal que

kuk2L2 � C juj2m (3.27)

para toda u 2 Hm0 () ; además, j�jm es una norma sobre Hm

0 () equivalentea la norma estándar k�kHm :

De�nición 25 Sea un dominio acotado en Rn. De�nimos por H�m ()al espacio de todas las funcionales lineales acotadas sobre Hm

0 () ; es decir,H�m () será el espacio dual del espacio Hm

0 () :

Teorema 26 q será una distribución de H�m () si y sólo si q puede serexpresada en la forma

q =Xj�j<m

D�q� (3.28)

donde q� son funcionales en L2 () :

Algunos Comentarios y Precisiones Sea un dominio tal que la fron-tera @ es su�cientemente suave (considerando sólo frontera Lipschitz con-tinua), entonces existe un operador 0 : H

1 () ! L2 () lineal y continuo,tal que 0v = tr (v) sobre @ para toda v suave (por ejemplo v 2 C1

��),

un análisis más profundo muestra que tomando las trazas de todas las fun-ciones de H1 () uno no obtiene el espacio completo de L2 () ; sólo obtieneun subespacio de este. Tenemos entonces

H1 (@) � 0�H1 ()

�� L2 (@) � H0 (@) (3.29)

donde cada inclusión es estricta.



Finalmente reconocemos que el espacio 0 (H1 ()) pertenece a la familia

de espacios Hs (@) y corresponde exactamente a el valor de s = 1=2: De talforma que

H1=2 (@) = 0�H1 ()

�(3.30)

conkgkH1=2(@) = inf

v2H1() y 0v=gkvkH1() (3.31)

de forma similar, se ve que las trazas de las funciones en H2 () pertenecena el espacio Hs (@) para s = 3=2; por lo tanto tenemos que

H3=2 (@) = 0�H2 ()

�(3.32)

kgkH3=2(@) = infv2H2() y 0v=g

kvkH2() : (3.33)

Esto puede generalizarse a las trazas de derivadas de orden alto. Por ejemplo,si la frontera @ es su�cientemente suave, podemos de�nir @v

@n j@ 2 H1=2 (@)

para v 2 H2 () :Por otro lado, para ejempli�car algunos casos de Hm

0 notemos que

H10 () =

�v j v 2 H1 () ; vj@ = 0

(3.34)

H20 () =

�v j v 2 H2 () ; vj@ = 0 y

@v

@n j@= 0

�:

Además, en algunas ocasiones necesitamos considerar funciones que se nuli-�can en alguna parte de la frontera, supongamos que @ = D [ N; dondeD es frontera tipo Dirichlet y N es frontera tipo Neumann y D \ N = ;;entonces podemos de�nir

H10;D () =

�v j v 2 H1 () ; vjD = 0

(3.35)

y donde tenemos que H10 () � H1

0;D () � H1 () :

3.2.3 Espacios H (div;)

De�nición 27 Sea un dominio acotado en Rn. De�nimos a (L2 ())n alespacio �

L2 ()�n=�grad H1 ()

��rot H1

0 (): (3.36)



De�nición 28 Sea un dominio acotado en Rn. De�nimos por H (div;)al espacio

H (div;) =�q j q 2

�L2 ()

�n; div q 2 L2 ()

: (3.37)

De�nición 29 La norma k�k2H(div;) de H (div;) ; se de�ne como q 2H(div;)

= q 2

0;+ div q 2

0;: (3.38)

CuandoH (div;) es equipada con la norma k�k2H(div;) el correspondienteproducto interior se convierte en un espacio de Hilbert.Notemos que, si es un dominio acotado en Rn; con frontera suave @;

si n es un vector normal a @ y sea q 2 H (div;) ; entonces los vectores deH (div;) admiten una norma de la traza sobre @: Esta norma de la trazaq � n pertenece a H�1=2 (@) y esto se sigue de la formula de integración porpartesZ

q � grad vdx+Z

div qvdx =v; q � n

�H1=2(@)�H�1=2(@)

(3.39)

para toda q 2 H (div;) y cualquier v 2 H1 () : Pudiendo escribir formal-mente

R@vq � nds en lugar del producto dual

v; q � n

�:

Lema 30 Sea q 2 H (div;) ; podemos de�nir q � nj@ 2 H�1=2 (@) y por la

formula de Green Z

div qvdx+Z

q � grad vdx =v; q � n

�(3.40)

para toda v 2 H1 () :

Lema 31 La traza del operador q 2 H (div;) ! q � nj@ 2 H�1=2 (@) essuprayectivo.

Sea un dominio con frontera suave @, además supongamos que esfrontera tipo Neumann N = @, entonces podemos de�nir

H0;N (div;) =�q j q 2 H (div;) ;

v; q � n

�= 0;8v 2 H1

0;D (): (3.41)

este espacio contiene funciones del espacio H (div;) cuyas trazas normalesse nuli�can en la frontera N:



De�nición 32 Un subespacio importante de H (div;) es N0 (div;) ; quese de�ne como

N0 (div;) =�q j q 2 H (div;) ; div q = 0

: (3.42)

Lema 33 El operador de traza normal q ! q �nj@ es una forma suprayectivaN0 (div;) sobre

�� j � 2 H�1=2 (@) ; h�; 1i = 0

:

3.3 Formulas de Green y Problemas Adjuntos

Una cuestión central en la teoría de problemas elípticos con valores en lafrontera se relaciona con las condiciones bajo las cuales uno puede esperaruna única solución a problemas de la forma

Lu = f en � Rn (3.43)

Bou = g0B1u = g1

...Bm�1u = gm�1

9>>>=>>>; en @

donde L es un operador elíptico de orden 2m; de forma

Lu =Xj�j�m

(�1)j�jD�

0@Xj�j�m

a��(x)D�u

1A ; x 2 � Rn (3.44)

donde los coe�cientes a�� son funciones de x suaves y satisfacen las condi-ciones para que el operador sea elíptico, el conjunto B0; B1; :::; Bm�1 de op-eradores de frontera son de la forma

Bju =Xj�j�qj

b(j)� D�u = gj (3.45)

y constituyen un conjunto de condiciones de frontera que cubren a L: Loscoe�cientes b(j)� son asumidos como funciones suaves.En el caso de problemas de segundo orden la Ec. (3.45) puede expresarse

como una sola condición de frontera

Bu =nXj=1

bj@u

@xj+ cu = g en @: (3.46)



Antes de poder ver las condiciones bajo las cuales se garantice la existenciay unicidad es necesario introducir el concepto de formula de Green asociadacon el operador L�, para ello de�nimos:

De�nición 34 Con el operador dado como en la Ec. (3.44), denotaremospor L� al operador de�nido por

L�u =Xj�j�m

(�1)j�jD�

0@Xj�j�m

a��(x)D�u

1A (3.47)

y nos referiremos a L� como el adjunto formal del operador L:

La importancia del adjunto formal es que si aplicamos el teorema deGreen (82) a la integral Z

vLudx (3.48)

obtenemos Z

vLudx =Z

uL�vdx+Z@

F (u; v)ds (3.49)

en la cual F (u; v) representa términos de frontera que se nuli�can al aplicar elteorema ya que la función v 2 H1

0 (). Si L = L�; i.e. a�� = a�� el operadores llamado de manera formal el auto-adjunto.En el caso de problemas de segundo orden, dos sucesivas aplicaciones del

teorema de Green (82) y obtenemos, para i y j �jos

�Z

v@

@xi

�aij

@u

@xj

�dx = �

Z@

vaij@u

@xjnids+

Z

aij@u

@xj

@v

@xidx(3.50)

= �Z@

�vaij

@u

@xjni � uaij

@v

@xinj

�ds

�Z

u@

@xj

�aij

@v

@xi

�dx:

Pero sumando sobre i y j; obtenemos de la Ec. (3.49)

L�v = �nX

i;j=1

@

@xi

�aji(x)

@v

@xj

�(3.51)



y

F (u; v) = �nX

i;j=1

aij

�v@u

@xjni � u

@v

@xinj

�(3.52)

tal que L es formalmente el auto-ajunto si aji = aij:

Para hacer el tratamiento más simple, restringiremos nuestra atenciónal problema homogéneo, es decir, en el cual g0; g1; :::; gm�1 = 0 (esta no esuna restricción real, ya que se puede demostrar que cualquier problema no-homogéneo con condiciones de frontera puede convertirse en uno con condi-ciones de frontera homogéneo de una manera sistemática), asumiremos tam-bién que es suave y la frontera @ de es de clase C1:Así, en lo que resta de la sección, daremos los pasos necesarios para poder

conocer bajo que condiciones el problema elíptico con valores en la fronteradel tipo

Lu = f en � Rn (3.53)

Bou = 0B1u = 0

...Bm�1u = 0

9>>>=>>>; en @

donde el operador L y Bj estan dados como en (3.44) y (3.45), con s � 2mtiene solución y esta es única. Para ello, necesitamos adoptar el lenguajede la teoría de operadores lineales, algunos resultados clave de algebra linealestán detallados en el apéndice.Primeramente denotemos N(Bj) al espacio nulo del operador de frontera

Bj : Hs ()! L2 () ; entonces

N(Bj) = fu 2 Hs () j Bju = 0 en @g (3.54)

para j = 0; 1; 2; :::;m� 1:Adicionalmente de�nimos al dominio del operador L, como el espacio

D(L) = Hs () \N(B0) \ ::: \N(Bm�1) (3.55)

= fu 2 Hs () j Bju = 0 en @; j = 0; 1; ::;m� 1g :

Entonces el problema elíptico con valores en la frontera de la Ec. (3.53)con s � 2m, puede reescribirse como, dado L : D(L)! Hs�2m () ; hallar uque satisfaga

Lu = f en : (3.56)



Lo primero que hay que determinar es el conjunto de funciones f enHs�2m () para las cuales la ecuación anterior se satisface, i.e. debemosidenti�car el rango R(L) del operador L: Pero como nos interesa conocerbajo que condiciones la solución u es única, entonces podemos de�nir elnúcleo N(L) del operador L como sigue

N(L) = fu 2 D(L) j Lu = 0g (3.57)

= fu 2 Hs () j Lu = 0 en ; Bju = 0 en @; j = 0; 1; ::;m� 1g :

Si el N(L) 6= f0g ; entonces no hay una única solución, ya que si u0 es unasolución, entonces u0 + w también es solución para cualquier w 2 N(L); yaque

L (u0 + w) = Lu0 + Lw = Lu0 = f: (3.58)

Así, los elementos del núcleo N(L) de L deberán ser excluidos del dominioD(L) del operador L; para poder asegurar la unicidad de la solución u.Si ahora, introducimos el complemento ortogonal N(L)? del núcleo N(L)

del operador L con respecto al producto interior L2; de�niéndolo como

N(L)? = fv 2 D(L) j (v; w) = 0 8w 2 N(L)g : (3.59)

De esta forma tenemos que

D(L) = N(L)�N(L)? (3.60)

i.e. para toda u 2 D(L); u se escribe como u = v + w donde v 2 N(L)? yw 2 N(L): Además N(L) \N(L)? = f0g :

De forma similar, podemos de�nir los espacios anteriores para el problemaadjunto

L�u = f en � Rn (3.61)

B�ou = 0

B�1u = 0...

B�m�1u = 0

9>>>=>>>; en @

y de�nimos

D(L�) = Hs () \N(B�0) \ ::: \N(B�

m�1) (3.62)

=�u 2 Hs () j B�

ju = 0 en @; j = 0; 1; ::;m� 1:



Entonces el problema elíptico con valores en la frontera de la Ec. (3.53)con s � 2m, puede reescribirse como, dado L� : D(L�)! Hs�2m () ; hallaru que satisfaga

L�u = f en : (3.63)

De�niendo para el operador L�

N(L�) = fu 2 D(L�) j L�u = 0g (3.64)

=�u 2 Hs () j L�u = 0 en ; B�

ju = 0 en @; j = 0; 1; ::;m� 1:

yN(L�)? = fv 2 D(L�) j (v; w)L2 = 0 8w 2 N(L�)g : (3.65)

Así, con estas de�niciones, es posible ver una cuestión fundamental, estaes, conocer bajo que condiciones el problema elíptico con valores en la fronterade la Ec. (3.53) con s � 2m tiene solución y esta es única, esto queda resueltoen el siguiente teorema cuya demostración puede verse en [3] y [13].

Teorema 35 Considerando el problema elíptico con valores en la frontera dela Ec. (3.53) con s � 2m de�nido sobre un dominio acotado con frontera@ suave. Entoncesi) Existe al menos una solución si y sólo si f 2 N(L�)?; esto es, si

(f; v)L2() = 0 8v 2 N(L�): (3.66)

ii) Asumiendo que la solución u existe, esta es única si u 2 N(L)?; estoes, si

(u;w)L2() = 0 8w 2 N(L): (3.67)

iii) Si existe una única solución, entonces existe una única constanteC > 0; independiente de u; tal que

kukHs � C kfkHs�2m : (3.68)

Observación 1 i) El teorema a�rma que el operador L es un operadorsuprayectivo de D(L) sobre el subespacio de funciones en Hs�2m que sat-isface (3.67). Además el operador L es inyectivo si el dominio es restringidoal espacio de funciones que satisfagan a (3.66).ii) La parte (iii) del teorema puede interpretarse como un resultado de

regularidad, en el sentido en que se muestra

u 2 Hs�2m () si f 2 Hs () : (3.69)



Así, formalmente podemos de�nir el adjunto formal de la siguiente manera

De�nición 36 Sea L un Operador Diferencial, decimos que un operadorL� es su adjunto formal si satisface la siguiente condición

wLu� uL�w = r �D (u;w) (3.1)

tal que las funciones u y w pertenecen a un espacio lineal: Aquí D(u;w) esuna funcional bilineal que representa términos de frontera.

Ejemplos de Operadores Adjuntos Formales A continuación se mues-tra mediante ejemplos el uso de la de�nición de operadores adjuntos formalesy la parte correspondiente a términos de frontera.

A) Operador de la derivada de orden cero

La derivada de orden cero de una función u es tal que

dnu

dxn= u (3.70)

es decir, n = 0; sea el operador

Lu = u (3.71)

de la de�nición de operador adjunto tenemos que

wLu = uL�w +r �D (u;w) (3.72)

entonces el término izquierdo es

wLu = wu (3.73)

de aquíuL�w = uw (3.74)

por lo tanto el operador adjunto formal es

L�w = w (3.75)

nótese que el operador es auto-adjunto.



B) Operador de la derivada de primer orden

La derivada de primer orden en términos del operador es

Lu = cdu

dx(3.76)

de la de�nición de operador adjunto tenemos

wLu = uLw +r �D (u;w) (3.77)

desarrollando el lado izquierdo

wLu = wcdu

dx(3.78)

=d (wcu)

dx� u

d (cw)

dx

=d (wcu)

dx� uc

dw

dx

por lo tanto, el operador adjunto formal es

L�w = �cdwdx

(3.79)

y los términos de frontera son

D (u;w) = wcu (3.80)

C) Operador Elíptico

El operador elíptico más sencillo es el Laplaciano

Lu � �4u = � @

@xi

�@u

@xi

�(3.81)

de la ecuación del operador adjunto formal tenemos

wLu = �w @

@xi

�@u

@xi

�(3.82)

= � @

@xi

�w@u

@xi

�+@u

@xi

@w

@xi

= � @

@xi

�w@u

@xi

�+

@

@xi

�u@w

@xi

�� u

@

@xi

�@w

@xi

�=

@

@xi

�u@w

@xi� w

@u

@xi

�� u

@

@xi

�@w

@xi

�[email protected] 41 Antonio Carrillo Ledesma


entonces, el operador adjunto formal es

L�w = �u @

@xi

�@w

@xi

�(3.83)

es decir, el operador es autoadjunto. Notemos que la función bilinealD(u;w) es

D (u;w) = u@w

@xi� w

@u

@xi: (3.84)

D) Consideremos el operador diferencial elíptico más general de segundoorden

Lu = �r ��a � ru

�+r � (bu) + cu (3.85)

de la de�nición de operador adjunto formal tenemos que

wLu = uL�w +r �D (u;w) (3.86)

desarrollando el lado derecho de la ecuación anterior

wLu = w��r �

�a � ru

�+r � (bu) + cu

�(3.87)

= �wr ��a � ru

�+ wr � (bu) + wcu

aplicando la igualdad de divergencia a los dos primeros sumandos setiene que la ecuación anterior es

wLu = �r ��wa � ru

�+ a � ru � rw +r � (wbu) (3.88)

�bu � rw + wcu

= �r ��wa � ru

�+r �

�uarw

�� ur �

�a � rw

�+r � (wbu)

�bu � rw + wcu

= r ��a (urw � wru)

�+r � (wbu)� ur �

�a � rw

��bu � rw + wcu

reordenando términos se tiene

wLu = �ur ��a � rw

�� ub � rw + ucw + (3.89)

r ��a (urw � wru) + (wbu)

�por lo tanto, el operador adjunto formal es

L�w = �r ��a � rw

�� b � rw + cw (3.90)



y el término correspondiente a valores en la frontera es

D (u;w) = a � (urw � wru) + (wbu) : (3.91)

E) La ecuación bi-armónica

Consideremos el operador diferencial bi-armónico

Lu = �2u (3.92)

entonces se tiene que

wLu = uL�w +r �D (u;w) (3.93)

desarrollemos el término del lado derecho

wLu = w�2u (3.94)

= wr � (r�u)

utilizando la igualdad de divergencia

r � (sV ) = sr � V + V � rs (3.95)

tal que s es función escalar y V vector, entonces sea w = s yr�u = V;se tiene

wr � (r�u) (3.96)

= r � (wr�u)�r�u � rw

ahora sea s = �u y V = rw; entonces

r � (wr�u)�r�u � rw (3.97)

= r � (wr�u) + �ur � rw �r � (�urw)= �wr � ru+r � (wr�u��urw)

sea s = �w y V = ru; entonces

�wr � ru+r � (wr�u��urw) (3.98)

= r � (�wru)�ru � r (�w) +r � (wr�u��urw)= �ru � r (�w) +r � (wr�u+�wru��urw)



por último sea s = u y V = r (�w) y obtenemos

�ru � r (�w) +r � (wr�u+�wru��urw) (3.99)

= ur � (r (�w))�r � (ur (�w)) +r � (wr�u+�wru��urw)

reordenando términos

wLu = u�2w +r � (wr�u+�wru��urw � ur�w) (3.100)

entonces se tiene que el operador adjunto formal es

L�w = �2w (3.101)


D (u;w) = wr�u+�wru��urw � ur�w: (3.102)

3.4 Adjuntos Formales para Sistemas de Ecuaciones

En esta sección trabajaremos con funciones vectoriales, para ello necesita-mos plantear la de�nición de operadores adjuntos formales para este tipo defunciones.

De�nición 37 Sea L un operador diferencial, decimos que un operador L�es su adjunto formal si satisface la siguiente condición

w L u� u L�w = r �D (u;w) (3.103)

tal que las funciones u y w pertenecen a un espacio lineal: Aquí D(u;w)representa términos de frontera.

Por lo tanto se puede trabajar con funciones vectoriales utilizando oper-adores matriciales.

A) Operador diferencial vector-valuado con elasticidad estática

SeaL u = �r � C : ru (3.104)

de la de�nición de operador adjunto formal tenemos que

w L u = u L�w +r �D (u;w) (3.105)



para hacer el desarrollo del término del lado derecho se utilizará no-tación indicial, es decir, este vector wLu tiene los siguientes compo-nentes

� wi

�@

@xj

�Cijpq

@up@xq

��; i = 1; 2; 3 (3.106)

utilizando la igualdad de divergencia tenemos

�wi�

@

@xj

�Cijpq

@up@xq

��(3.107)

= Cijpq@up@xq

@wi@xj

� @

@xj

�wiCijpq

@up@xq

�=

@

@xj

�uiCijpq

@wi@xj

�� ui

@

@xj

�Cijpq

@wi@xj

�� @

@xj

�wiCijpq

@up@xq

�reordenado términos tenemos que la ecuación anterior es

@

@xj

�uiCijpq

@wi@xj

� wiCijpq@up@xq

�� ui

@

@xj

�Cijpq

@wi@xj

�(3.108)

en notación simbólica tenemos que

w L u = �ur ��C : rw

�+r �

�u � C : rw � w � C : ru

�(3.109)

por lo tanto el operador adjunto formal es

L�w = �r ��C : rw

�(3.110)


D (u;w) = u � C : rw � w � C : ru (3.111)

El operador de elasticidad es auto-adjunto formal.

B) Métodos Mixtos a la Ecuación de Laplace

Operador LaplacianoL u =�u = f (3.112)



escrito en un sistema de ecuaciones se obtiene

L u =

�1 -rr� 0

� �pu

�=

�0f

�(3.113)

consideraremos campos vectoriales de 4 dimensiones, estos son denota-dos por :

u ��p; uy w =

�q; w

(3.114)

ahora el operador diferencial vector-valuado es el siguiente

Lu =

�1 �rr� 0

��pu

�(3.115)

=

�p�rur � p

�entonces

w L u =

�qw

��1 �rr� 0

��pu

�(3.116)

utilizando la de�nición de operador adjunto

wLu = uLw +r �D (u;w) (3.117)

haciendo el desarrollo del término izquierdo se tiene que

wLu =

�qw

��1 �rr� 0

��pu

�(3.118)

=

�qw

��p�rur � p

�= qp� qr � u+ wr � p

aquí se utiliza la igualdad de divergencia en los dos términos del ladoderecho y obtenemos

qp� qr � u+ wr � p (3.119)

= qp+ ur � q �r ��qu�� p � rw +r �

�wp�

= p�q �rw

�+ ur � q +r �

�wp� uq

�



si se agrupa los dos primeros términos en forma matricial, se tiene

p�q �rw

�+ ur � q +r �

�wp� uq

�(3.120)

=

�pu

� �q �rww

�+r �

�wp� uq

�=

�pu

��1 �rr� 0

��qw

�+r �

�wp� uq

�por lo tanto, el operador adjunto formal es

L�w =

�1 �rr� 0

��qw

�(3.121)

=

�q �rwr � q

�y el término correspondiente a valores en la frontera es

D (u;w) = wp� uq: (3.122)

C) Problema de Stokes

El problema de Stokes es derivado de la ecuación de Navier-Stokes, lacual es utilizada en dinámica de �uidos viscosos. En este caso estamossuponiendo que el �uido es estacionario, la fuerza gravitacional es nulay el �uido incompresible. Entonces el sistema de ecuaciones a serconsiderado es

��u+rp = f (3.123)

�r � u = 0

se considerará un campo vectorial de 4 dimensiones. Ellos serán deno-tados por

U = fu; pg y W = fw; qg (3.124)

ahora el operador diferencial vector-valuado es el siguiente

LU =�� r�r� 0

��up

�(3.125)

el desarrollo se hará en notación indicial, entonces tenemos que

WLU =��w�u+ wrp�qr � u (3.126)



usando notación indicial se obtiene

wi

�Xj

@2ui@x2j

+@p

@xi

!= �

Xj

wi@2ui@x2j

+ wi@p

@xi(3.127)

=Xj

@wi@xj

@ui@x2j

�Xj

@

@xj

�wi@ui@xj

��

p@wi@xi

+@

@xi(wip)

desarrollando la primera suma como la derivada de dos funciones setiene

�Xj

ui@2wi@x2j

+Xj

@

@xj

�ui@wi@xj

�(3.128)

�Xj

@

@xj

�wi@ui@xj

�� p

@wi@xi

+@

@xi(wip)

reordenando términos tenemos

�Xj

ui@2wi@x2j

� p@wi@xi

+ (3.129)

Xj

@

@xj

�ui@wi@xj

� wi@ui@xj

�+

@

@xi(wip)

Ahora consideremos la ecuación 2 en Ec. (3.126), tenemos

� qr � u (3.130)

en notación índicial se tiene

� qXi

@ui@xi

= �Xi

q@ui@xi

(3.131)

=Xi

ui@q

@xi�Xi

@

@xi(qui)

en la ecuación anterior se utilizó la igualdad de divergencia, entonces



agrupando las ecuaciones Ec. (3.129) y Ec. (3.131) se tiene

wi

�Xj

@2ui@x2j

+@p

@xi

!� q

Xi

@ui@xi

(3.132)

= �Xj

ui@2wi@x2j

� p@wi@xi

+

Xj

@

@xj

�ui@wi@xj

� wi@ui@xj

�+

@

@xi(wip) +

Xi

ui@q

@xi�Xi

@

@xi(qui)

ordenando los términos tenemos

�Xj

ui@2wi@x2j

+Xi

ui@q

@xi� p

@wi@xi

(3.133)

+Xj

@

@xj

�ui@wi@xj

� wi@ui@xj

�+

@

@xi(wip)�

Xi

@

@xi(qui)

escribiendo la ecuación anterior en notación simbólica, se obtiene

� u�w + urq � pr � w +r � (urw � wru+ wp� uq) (3.134)

por lo tanto, el operador adjunto formal es

L�W =

�� r�r� 0

��wq

�(3.135)

y el término de valores de frontera es

D (u;w) = urw � wru+ wp� uq: (3.136)

3.5 Problemas Variacionales con Valor en la Frontera

Restringiéndonos ahora en problemas elípticos de orden 2 (problemas de or-den mayor pueden ser tratados de forma similar), reescribiremos este en suforma variacional. La formulación variacional es más débil que la formulación



convencional ya que esta demanda menor suavidad de la solución u, sin em-bargo cualquier problema variacional con valores en la frontera correspondea un problema con valor en la frontera y viceversa.Además, la formulación variacional facilita el tratamiento de los proble-

mas al usar métodos numéricos de ecuaciones diferenciales parciales, en estasección veremos algunos resultados clave como es la existencia y unicidad dela solución de este tipo de problemas, para mayores detalles, ver [3] y [13].

Si el operador L está de�nido por

Lu = �r � a � ru+ cu (3.137)

con a una matriz positiva de�nida, simétrica y c � 0; el problema quedaescrito como

�r � a � ru+ cu = f en (3.138)

u = g en @:

Si multiplicamos a la ecuación �r�a �ru+ cu = f por v 2 V = H10 (),

obtenemos� v

�r � a � ru+ cu

�= vf (3.139)

aplicando el teorema de Green (82) obtenemos la Ec. (3.50), que podemosre-escribir como Z

�rv � a � ru+ cuv

�dx =

Z

vfdx: (3.140)

De�niendo el operador bilineal

a (u; v) =

Z


�dx (3.141)

y la funcional lineal

l(v) = hf; vi =Z

vfdx (3.142)

podemos reescribir el problema dado por la Ec. (3.43) de orden 2, haciendouso de la forma bilineal a (�; �) y la funcional lineal l (�).

Entonces entenderemos en el presente contexto un problema variacionalcon valores de frontera (VBVP) por uno de la forma: hallar una función u quepertenezca a un espacio de Hilbert V = H1

0 () y que satisfaga la ecuación

a (u; v) = hf; vi (3.143)



para toda función v 2 V donde a (�; �) es una forma bilineal y l (�) es unafuncional lineal.

De�nición 38 Sea V un espacio de Hilbert y sea k�kV la norma asociadaa dicho espacio, decimos que una forma bilineal a (�; �) es continua si existeuna constante M > 0 tal que

ja (u; v)j �M kukV kvkV 8u; v 2 V (3.144)

y es V -elíptico si existe una constante � > 0 tal que

a (v; v) � � kvk2V 8v 2 V (3.145)

donde k�kV es la norma asociada al espacio V:

Esto signi�ca que una forma V� elíptico es una que siempre es no negativay toma el valor de 0 sólo en el caso de que v = 0; i.e. es positiva de�nida.Notemos que el problema (3.138) de�nido en V = H1

0 () reescrito como elproblema (3.143) genera una forma bilineal V -elíptico cuyo producto interiorsobre V es simétrico y positivo de�nido ya que

a (v; v) � � kvk2V > 0; 8v 2 V; v 6= 0 (3.146)

reescribiéndose el problema (3.143), en el cual debemos encontrar u 2 V talque

a (u; v) = hf; vi � a (u0; v) (3.147)

donde u0 = g en @; para toda v 2 V:

Entonces, la cuestión fundamental, es conocer bajo que condiciones elpro-blema anterior tiene solución y esta es única, el teorema de Lax-Milgramnos da las condiciones bajo las cuales el problema (3.138) reescrito como elproblema (3.143) tiene solución y esta es única, esto queda plasmado en elsiguiente resultado.

Teorema 39 (Lax-Milgram)Sea V un espacio de Hilbert y sea a (�; �) : V � V ! R una forma bilineal

continua V -elíptico sobre V: Además, sea l (�) : V ! R una funcional linealcontinua sobre V: Entonces



i) El VBVP de encontrar u 2 V que satisfaga

a (u; v) = hf; vi ;8v 2 V (3.148)

tiene una y sólo una solución;ii) La solución depende continuamente de los datos, en el sentido de que

kukV �1

�klkV � (3.149)

donde k�kV � es la norma en el espacio dual V � de V y � es la constante dela de�nición de V -elíptico.

Más especí�camente, considerando ahora V un subespacio cerrado deHm() las condiciones para la existencia, unicidad y la dependencia continuade los datos queda de mani�esto en el siguiente resultado.

Teorema 40 Sea V un subespacio cerrado deHm(); sea a (�; �) : V�V ! Runa forma bilineal continua V -elíptico sobre V y sea l (�) : V ! R unafuncional lineal continua sobre V: Sea P un subespacio cerrado de V tal que

a (u+ p; v + p) = a (u; v) 8u; v 2 V y p; p 2 P: (3.150)

También denotando por Q el subespacio de V consistente de las funcionesortogonales a P en la norma L2; tal que

Q =

�v 2 V j

Z

updx = 0 8p 2 P�; (3.151)

y asumiendo que a (�; �) es Q-elíptico: existe una constante � > 0 tal que

a (q; q) � � kqk2Q para q 2 Q; (3.152)

la norma sobre Q será la misma que sobre V: Entoncesi) Existe una única solución al problema de encontrar u 2 Q tal que

a (u; v) = hl; vi ; 8v 2 V (3.153)

si y sólo si las condiciones de compatibilidad

hl; pi = 0 para p 2 P (3.154)

se satisfacen.ii) La solución u satisface

kukQ � ��1 klkQ� (3.155)

(dependencia continua de los datos).



Otro aspecto importante es la regularidad de la solución, si la soluciónu al VBVP de orden 2m con f 2 Hs�2m() donde s � 2m; entonces upertenecerá a Hs() y esto queda de mani�esto en el siguiente resultado.

Teorema 41 Sea � Rn un dominio suave y sea u 2 V la solución alVBVP

a (u; v) = hf; vi ; v 2 V (3.156)

donde V � Hm(): Si f 2 Hs�2m() con s � 2m; entonces u 2 Hs() y laestimación

kukHs � C kfkHs�2m (3.157)

se satisface.



4 Métodos de Solución Aproximada para EDP

En el presente capítulo se prestará atención a varios aspectos necesarios paraencontrar la solución aproximada de problemas variacionales con valor enla frontera (VBVP). Ya que en general encontrar la solución a problemascon geometría diversa es difícil y en algunos casos imposible usando métodosanalíticos.En este capítulo se considera el VBVP de la forma

Lu = f en (4.1)

u = g en @

dondeLu = �r � a � ru+ cu (4.2)

con a una matriz positiva de�nida, simétrica y c � 0; como un caso particulardel operador elíptico de�nido por la Ec. (3.43) de orden 2; con � R2 undominio poligonal, es decir, es un conjunto abierto acotado y conexo talque su frontera @ es la unión de un número �nito de polígonos.La sencillez del operador L nos permite facilitar la comprensión de muchas

de las ideas básicas que se expondrán a continuación, pero tengamos en menteque esta es una ecuación que gobierna los modelos de muchos sistemas de laciencia y la ingeniería, por ello es muy importante su solución.


obtenemos� v


�= vf (4.3)



�dx =

Z

vfdx: (4.4)


a (u; v) =

Z


�dx (4.5)


l(v) = hf; vi =Z

vfdx (4.6)

podemos reescribir el problema dado por la Ec. (4.1) de orden 2 en formavariacional, haciendo uso de la forma bilineal a (�; �) y la funcional lineal l (�).



4.1 Método Galerkin

La idea básica detrás del método Galerkin es, considerando el VBVP, encon-trar u 2 V = H1

0 () que satisfaga

a (u; v) = hf; vi 8v 2 V (4.7)

donde V es un subespacio de un espacio de Hilbert H (por conveniencia nosrestringiremos a espacios de�nidos sobre los números reales).

El problema al tratar de resolver la Ec. (4.7) está en el hecho de queel espacio V es de dimensión in�nita, por lo que resulta que en general noes posible encontrar el conjunto solución. En lugar de tener el problema enel espacio V; se supone que se tienen funciones linealmente independientes�1; �2; :::; �N en V y de�nimos el espacio V h a partir del subespacio dimen-sionalmente �nito de V generado por las funciones �i; es decir,

V h = Generado f�igNi=1 ; V h � V: (4.8)

El índice h = 1=N es un parámetro que estará entre 0 y 1; cuya mag-nitud da alguna indicación de cuan cerca V h esta de V; h se relaciona conla dimensión de V h: Y como el número N de las funciones base se escogede manera que sea grande y haga que h sea pequeño, en el límite, cuandoN !1; h! 0.Después de de�nir el espacio V h; es posible trabajar con V h en lugar de

V y encontrar una función uh que satisfaga

a (uh; vh) = hf; vhi 8vh 2 V h: (4.9)

Esta es la esencia del método Galerkin, notemos que uh y vh son sólocombinaciones lineales de las funciones base de V h; tales que

uh =NXi=1

ci�i y vh =NXj=1

dj�j (4.10)

donde vh es arbitraria, como los coe�cientes de dj y sin perdida de generalidadpodemos hacer vh = �j: Así, para encontrar la solución uh sustituimos lasEcs. (4.10) en la Ec. (4.9) y usando el hecho que a (�; �) es una forma bilinealy l (�) es una funcional lineal se obtiene la ecuación

NXi=1

a��i; �j

�ci =

f; �j

�(4.11)



o más concisamente, como

NXi=1

Kijci � Fj = 0 j = 1; 2; :::N (4.12)

en la cualKij = a

��i; �j

�y Fj =

f; �j

�(4.13)

notemos que tanto Kij y Fj pueden ser evaluados, ya que �i, a (�; �) y l (�)son conocidas.Entonces el problema se reduce a resolver el sistema de ecuaciones lineales

NXi=1

Kijci � Fj; j = 1; 2; :::N (4.14)

o más compactamenteKu = F (4.15)

en la cual K y F son la matriz y el vector cuyas entradas son Kij y Fj: Unavez que el sistema es resuelto, la solución aproximada uh es encontrada.

Notemos que la forma bilineal a (�; �) de�ne un producto interior sobre V ,si a (�; �) es simetrica y V�elíptica, entonces las propiedades de linealidad ysimetria son obvias, mientras que la propiedad de V�elíticidad de a (�; �) espor

a(v; v) � � kvk2 > 0 8v 6= 0; (4.16)

además, si a (�; �) es continua, entonces la norma kvka � a (v; v) generada poreste producto interior es equivalente a la norma estandar sobre V , tal que siV es completa con respecto a la norma estandar, esta también es completacon respecto a la norma kvka.Por otro lado, si el conjunto de funciones base f�ig

Ni=1 se eligen de tal

forma que sean sean ortogonales entre si, entonces el sistema (4.12) se sim-pli�ca considerablemente, ya que

Kij = a��i; �j

�= 0 si i 6= j (4.17)

yKiici = Fi �o ci = Fi=Kii: (4.18)



Así, el problema (4.1) de�nido en V h = H10 () reescrito como el problema

(4.7) genera una forma bilineal V h-elíptica cuyo producto interior sobre V h

es simétrico y positivo de�nido ya que

a (vh; vh) � � kvhk2V h > 0; 8vh 2 V h; vh 6= 0 (4.19)

reescribiéndose el problema (4.9) como el problema aproximado en el cualdebemos encontrar uh 2 V h � V tal que

a (uh; vh) = hf; vhi � a (u0; vh) (4.20)

donde u0 = g = 0 en @; para toda vh 2 V h; es decirZ

�rvh � a � ruh + cuhvh

�dxdy =

Z

fvhdxdy (4.21)

para todo vh 2 V h:Entonces, el problema (4.1) al aplicarle el método Galerkin obtenemos

(4.4), el cual podemos reescribirlo como (4.21). Aplicando el teorema deLax-Milgram (39) a este caso particular, tenemos que este tiene soluciónúnica y esta depende continuamente de los datos.Como un caso particular del teorema de Lax-Milgram (39) tenemoe el

sigui-ente resultado

Teorema 42 Sea V h un subespacio de dimensión �nita de un espacio deHilbert V , sea a (�; �) : V h � V h ! R una forma bilineal continua y V -elíptica, y l (�) : V h ! R una funcional lineal acotada. Entonces existe unaúnica funcion uh 2 V h tal que satisface

a (uh; vh) = hl; vhi 8vh 2 V h: (4.22)

Además, si l (�) es de la forma

hl; vhi =Z

fvhdx (4.23)

con f 2 L2 () ; entonces

kuhkV �1

�kfkL2 ; (4.24)

donde � es la constante en (4.16).



El siguiente resultado nos da una condición su�ciente para que la aprox-imación uh del método Galerkin converja a la solución u del problema dadopor la Ec. (4.7), para más detalle véase [13] y [3].

Teorema 43 Sea V un subespacio cerrado de un espacio de Hilbert, y seala forma bilineal a (�; �) : V h � V h ! R continua V -elíptica y sea l (�) unafuncional lineal acotada. Entonces existe una constante C, independiente deh, tal que

ku� uhkV � C infvh2V h

ku� vhkV (4.25)

donde u es solución de (4.7) y uh es solución de (4.20), consecuentemente,una condición su�ciente para que la aproximación uh del método Galerkinconverge a la solución u del problema dado por la Ec. (4.7) es que exista unafamilia

�V hde subespacios con la propiedad de que

infvh2V h

ku� vhkV ! 0 cuando h! 0: (4.26)

4.2 El Método de Residuos Pesados

Este método se basa en el método Galerkin, y se escogen subespacios Uh

y V h de tal manera que la dimensión dimUh = dimV h = N; eligiendo lasbases como

f�igNi=1 para U

h y� jNj=1

para V h (4.27)

entonces

uh =NXi=1

ci�i y vh =NXj=1

bj j (4.28)

donde los coe�cientes bj son arbitrarios ya que vh es arbitraria.Sustituyendo esta última expresión Ec. (4.28) en

(Luh � f; vh) = 0 (4.29)

se obtienen N ecuaciones simultaneasNXi=1

Kijci = Fj con j = 1; :::; N

en la cual en la cual K y F son la matriz y el vector cuyas entradas son

Kij =�L�i; j

�y Fj =

�f; j

�[email protected] 58 Antonio Carrillo Ledesma


donde (�; �) representa el producto interior asociado a L2: A la expresión

�(uh) � Luh � f (4.30)

se le llama el residuo; si uh es la solución exacta, entonces por supuesto elresiduo se nuli�ca.

4.3 Método de Elementos Finitos

El método Finite Elements Method (FEM) provee una manera sistemática ysimple de generar las funciones base en un dominio con geometría poligonal.Lo que hace al método de elemento �nito especialmente atractivo sobre otrosmétodos, es el hecho de que las funciones base son polinomios de�nidos porpedazos (elementos i) que son no cero sólo en una pequeña parte de ;proporcionando a la vez una gran ventaja computacional al método ya quelas matrices generadas resultan bandadas ahorrando memoria al implantarlasen una computadora.Así, partiendo del problema aproximado (4.21), se elegirá una familia de

espacios V h(h 2 (0; 1)) de�nido por el procedimiento de elementos �nitos(descritos en las subsecciones siguientes en el caso de interpoladores lineales,para otros tipos de interpoladores, ver [16]), teniendo la propiedad de queV h se aproxima a V cuando h se aproxima a cero en un sentido apropiado,esto es, por supuesto una propiedad indispensable para la convergencia delmétodo Galerkin.

Mallado del dominio El Mallado o triangulación Th del dominio es elprimer aspecto básico, y ciertamente el más característico, el dominio � R2es subdividido en E subdominios o elementos e llamados elementos �nitos,tal que

=E[e=1

e

donde:

� Cada e 2 Th es un polígono (rectángulo o triángulo) con inte-rior no vacío (�e 6= ;) y conexo.� Cada e 2 Th tiene frontera @e Lipschitz continua.� Para cada i;j 2 Th distintos, �i \�j = ;:



� El diámetro hi = Diam(e) de cada e satisfaceDiam(e) � hpara cada e = 1; 2; :::; E:

� Cualquier cara de cualquier elemento i 2 Th en la triangu-lación es también un subconjunto de la frontera @ del dominio o una cara de cualquier otro elemento j 2 Th de la triangu-lación, en este último caso i y j son llamados adyacentes.

� Los vértices de cada e son llamados nodos, teniendo N de ellospor cada elemento e.

Una vez que la triangulación Th del dominio es establecida, se procedea de�nir el espacio de elementos �nitos Ph[k] a través del proceso descrito acontinuación.

Funciones Base A continuación describiremos la manera de construir lasfunciones base usada por el método de elemento �nito. En este procedimientodebemos tener en cuenta que las funciones base están de�nidas en un sube-spacio de V = H1 () para problemas de segundo orden que satisfacen lascondiciones de frontera.Las funciones base deberán satisfacer las siguientes propiedades:

� Las funciones base �i son acotadas y continuas, i.e �i 2 C (e) :� Existen ` funciones base por cada nodo del polígono e; y cadafunción �i es no cero solo en los elementos contiguos conectadospor el nodo i:

� �i = 1 en cada i nodo del polígono e y cero en los otros nodos.� La restricción �i a e es un polinomio, i.e. �i 2 Pk[e] paraalguna k � 1 donde Pk[e] es el espacio de polinomios de gradoa lo más k sobre e:

Decimos que �i 2 Pk[e] es una base de funciones y por su construcciónes evidente que estas pertenecen aH1 () : Al conjunto formado por todas lasfunciones base de�nidas para todo e de será el espacio Ph[k] de funcionesbase, i.e.

Ph[k] =E[e=1

Pk[e]

estas formarán las funciones base globales.



Solución aproximada Para encontrar la solución aproximada elegimosel espacio Ph[k] de funciones base, como el espacio de funciones lineales �ide�nidas por pedazos de grado menor o igual a k (en nuestro caso k = 1),entonces el espacio a trabajar es

V h = Generado��i 2 Ph[k] j �i(x) = 0 en @

: (4.31)

La solución aproximada de la Ec. (4.21) al problema dado por la Ec.(4.1) queda en términos deZ

�r�i � a � r�j � c�i�j

�dxdy =

Z

f�jdxdy (4.32)

si de�nimos el operador bilineal

Kij � a��i; �j

�=

Z

�r�i � aij � r�j � c�i�j

�dxdy (4.33)


Fj �f; �j

�=

Z

f�jdxdy (4.34)

entonces la matriz K � [Kij], los vectores u � (u1; :::; uN) y F � (F1; :::; FN)de�nen el sistema lineal (que es positivo de�nido)

Ku = F (4.35)

donde u será el vector solución a la Ec. (4.35) cuyos valores serán la soluciónal problema dado por la Ec. (4.21) que es la solución aproximada a la Ec.(4.1) en los nodos interiores de .

Un Caso más General Sea el operador elíptico (caso simétrico) en eldominio ; y el operador de�nido por

Lu = f en n� (4.36)

u = g en @

[u]� = J0

[an � ru]� = J1




conjuntamente con una particiónQ= f1; :::;Eg de . Multiplicando por

la función w obtenemos

wLu = �wr � a � ru+ cwu = wf (4.38)

entonces si w(x) es tal que [w] = 0 (es decir w es continua) y de�nimos

a (u;w) =EXi=1

Zi

�ru � a � rw + cwu

�dx (4.39)

tal que a (u;w) de�ne un producto interior sobre

H1 () = H1 (1)�H1 (2)� ::::�H1 (E) :

Entonces, reescribimos la Ec. (4.38) como

a (u;w) =

Z

wfdx+EXi=1

Z@

wan � ruds (4.40)

=

Z

wfdx+

Z@

wan � ruds�Z�

w [an � ru]� ds:

Sea u0(x) una función que satisface las condiciones de frontera y J0 unafunción que satisface las condiciones de salto, tal que

i) u0(x) = g(x) en @

ii) [u0(x)]� = J0

y sea u(x) = u0(x) + v(x): Entonces u(x) satisface la Ec. (4.39) si y sólosi v(x) satisface

a (u;w) =

Z

wfdx� hu0; wi �Z�

J1wds (4.41)

para toda w tal que w(x) = 0 en @: Sea f�ig una base de un subespacio dedimensión �nita V h de�nido como

V h =��i j �i 2 C1 (i) ;8i; �i = 0 en @ y �i 2 C0 ()

: (4.42)



La solución por elementos �nitos de (4.41) se obtiene al resolver el sistemalineal

Ku = F (4.43)

dondeKij = a

��i; �j

�(4.44)

y

Fj =

Z

�jfdx� a�u0; �j

��Z�

J1�jds (4.45)

esta solución será la solución en los nodos interiores de :En el presente capí-tulo se prestará atención a varios aspectos necesarios para encontrar la solu-ción aproximada de problemas variacionales con valor en la frontera (VBVP).Ya que en general encontrar la solución a problemas con geometría diversaes difícil y en algunos casos imposible usando métodos analíticos.



5 Método de Elementos Finitos

En este capítulo se considera el VBVP de la forma

Lu = f en (5.1)

u = g en @


con a una matriz positiva de�nida, simétrica y c � 0; como un caso particulardel operador elíptico de�nido por la Ec. (3.43) de orden 2; con � R2 undominio poligonal, es decir, es un conjunto abierto acotado y conexo talque su frontera @ es la unión de un número �nito de polígonos.La sencillez del operador L nos permite facilitar la comprensión de muchas

de las ideas básicas que se expondrán a continuación, pero tengamos en menteque esta es una ecuación que gobierna los modelos de muchos sistemas de laciencia y la ingeniería, por ello es muy importante su solución.


obtenemos� v


�= vf (5.3)



�dx =

Z

vfdx: (5.4)


a (u; v) =

Z


�dx (5.5)


l(v) = hf; vi =Z

vfdx (5.6)

podemos reescribir el problema dado por la Ec. (5.1) de orden 2 en formavariacional, haciendo uso de la forma bilineal a (�; �) y la funcional lineal l (�).



5.1 Triangulación

El Mallado o triangulación Th del dominio es el primer aspecto básico, yciertamente el más característico, el dominio � R2 es subdividido en Esubdominios o elementos e llamados elementos �nitos, tal que

=E[e=1

e

donde:

� Cada e 2 Th es un polígono (rectángulo o triángulo) con inte-rior no vacío (�e 6= ;) y conexo.� Cada e 2 Th tiene frontera @e Lipschitz continua.� Para cada i;j 2 Th distintos, �i \�j = ;:� El diámetro hi = Diam(e) de cada e satisfaceDiam(e) � hpara cada e = 1; 2; :::; E:

� Los vértices de cada e son llamados nodos, teniendo N de ellospor cada elemento e.

De�nición 44 Una familia de triangulaciones Th es llamada de forma-regularsi existe una constante independiente de h, tal que

hK � C�K ; con K 2 Th;

donde �K es el radio del circulo más grande contenido en K. El radio hK=�Kes llamado esl aspect ratio de K:

De�nición 45 Una familia de triangulaciones Th es llamada cuasi-uniformesi esta es de forma-regular y si existe una constante independiente de h, talque

hK � Ch; con K 2 Th:

Una vez que la triangulación Th del dominio es establecida, se procedea de�nir el espacio de elementos �nitos Ph[k] a través del proceso descrito acontinuación.



5.2 Interpolación para el Método de Elementos Finitos

Funciones Base A continuación describiremos la manera de construir lasfunciones base usada por el método de elemento �nito. En este procedimientodebemos tener en cuenta que las funciones base están de�nidas en un sube-spacio de V = H1 () para problemas de segundo orden que satisfacen lascondiciones de frontera.Las funciones base deberán satisfacer las siguientes propiedades:

i) Las funciones base �i son acotadas y continuas, i.e �i 2 C (e) :ii) Existen ` funciones base por cada nodo del polígono e; y cadafunción �i es no cero solo en los elementos contiguos conectadospor el nodo i:

iii) �i = 1 en cada i nodo del polígono e y cero en los otrosnodos.

iv) La restricción �i a e es un polinomio, i.e. �i 2 Pk[e] paraalguna k � 1 donde Pk[e] es el espacio de polinomios de gradoa lo más k sobre e:

Decimos que �i 2 Pk[e] es una base de funciones y por su construcciónes evidente que estas pertenecen aH1 () : Al conjunto formado por todas lasfunciones base de�nidas para todo e de será el espacio Ph[k] de funcionesbase, i.e.

Ph[k] =E[e=1

Pk[e]

estas formarán las funciones base globales.

5.3 Discretización en 2D Usando Rectángulos

Para resolver la Ec. (5.1), usando una discretización con rectángulos, primerodividimos el dominio � R2 en Nx nodos horizontales por Ny nodos verti-cales, teniendo E = (Nx� 1)(Ny� 1) subdominios o elementos rectangularese tales que = [Ee=1e y i \ j 6= ? si son adyacentes, con un total deN = NxNy nodos.



Donde las funciones lineales de�nidas por pedazos en e en nuestro casoserán polinomios de orden uno en cada variable separadamente y cuya re-stricción de �i a e es �

(e)i : Para simpli�car los cálculos en esta etapa, supon-

dremos que la matriz a = a

�1 00 1

�; entonces se tiene que la integral del

lado izquierdo de la Ec. (4.32) queda escrita comoZ

�ar�i � r�j + c�i�j

�dxdy =

Z

f�jdxdy (5.7)

donde

Kij =

Z


�dxdy (5.8)

=EXe=1

Ze

�ar�(e)i � r�(e)j + c�

(e)i �

(e)j

�dxdy

=EXe=1

Ze

a

"@�

(e)i

@x

@�(e)j

@x+@�

(e)i

@y

@�(e)j

@y

#+ c�

(e)i �

(e)j

!dxdy

y el lado derecho como

Fj =

Z

f�jdxdy (5.9)

=EXe=1

Ze

f�(e)j dxdy:

Para cada e de ; la submatriz de integrales (matriz de carga local)

Kij =

Ze

a

"@�

(e)i

@x

@�(e)j

@x+@�

(e)i

@y

@�(e)j

@y

#+ c�

(e)i �

(e)j

!dxdy (5.10)

tiene la estructura 26664K(e)1;1 K

(e)1;2 K

(e)1;3 K

(e)1;4

K(e)2;1 K

(e)2;2 K

(e)2;3 K

(e)2;4

K(e)3;1 K

(e)3;2 K

(e)3;3 K

(e)3;4

K(e)4;1 K

(e)4;2 K

(e)4;3 K

(e)4;4

37775la cual deberá ser ensamblada en la matriz de carga global que corresponda ala numeración de nodos locales del elemento e con respecto a la numeraciónglobal de los elementos en .



De manera parecida, para cada e de se genera el vector de integrales(vector de carga local)

Fj =

Ze

f�(e)j dxdy (5.11)

con la estructura 26664F(e)1

F(e)2

F(e)3

F(e)4

37775el cual también deberá ser ensamblado en el vector de carga global que cor-responda a la numeración de nodos locales al elemento e con respecto a lanumeración global de los elementos de .Montando los K(e)

ij en la matriz K y los F (e)j en el vector F según lanumeración de nodos global, se genera el sistema Kuh=F donde uh será elvector cuyos valores serán la solución aproximada a la Ec. (5.1) en los nodosinteriores de : La matriz K generada de esta forma, tiene una propiedadmuy importante, es bandada y el ancho de banda es de 9 elementos, esto esmuy útil al momento de soportar la matriz en memoria.

Para implementar numéricamente en cada e las integralesZe

a

"@�

(e)i

@x

@�(e)j

@x+@�

(e)i

@y

@�(e)j

@y

#+ c�

(e)i �

(e)j

!dxdy (5.12)

y Ze

f�(e)j dxdy; (5.13)

teniendo en mente el simpli�car los cálculos computacionales, se consideraun elemento de referencia en los ejes coordenados ("; �) cuyos vértices es-tán el (�1;�1); (1;�1); (1; 1) y (�1; 1) respectivamente, en el cual medianteuna función afín será proyectado cualquier elemento rectangular e cuyosvértices (x(e)1 ; y

(e)1 ); (x

(e)2 ; y

(e)2 ); (x

(e)3 ; y

(e)3 ) y (x

(e)4 ; y

(e)4 ) están tomados en sen-

tido contrario al movimiento de las manecillas del reloj como se muetra enla �guramediante la transformación f(x; y) = T ("; �)+b, quedando dicha



transformación como

x =x(e)2 � x

(e)1

2"+

y(e)2 � y

(e)1

2� (5.14)

y =x(e)4 � x

(e)1

2"+

y(e)4 � y

(e)1

2�

en la cual la matriz T está dada por

T =

x(e)2 �x(e)12

y(e)2 �y(e)12

x(e)4 �x(e)12

y(e)4 �y(e)12

!(5.15)

y el vector b= (b1; b2) es la posición del vector centroide del rectángulo e,



también se tiene que la transformación inversa es

" =

x� b1 � y(e)2 �y(e)12

26664 y�b2 x(e)4 �x(e)1

2

!0B@x�b1�y(e)2 �y(e)1

2

x(e)2 �x(e)1

2

1CA

37775x(e)2 �x(e)12

(5.16)

� =y � b2�

x(e)4 �x(e)12

� x�b1�

y(e)2 �y(e)1

2

x(e)2 �x(e)1

2

!+

y(e)4 �y(e)12

:

Entonces las �(e)i quedan de�nidas en términos de �i como

�1("; �) =1

4(1� ")(1� �) (5.17)

�2("; �) =1

4(1 + ")(1� �)

�3("; �) =1

4(1 + ")(1 + �)

�4("; �) =1

4(1� ")(1 + �)

y las funciones �(e)i son obtenidas por el conjunto �(e)i (x; y) = �i("; �) con(x; y) y (",�) relacionadas por la Ec. (5.14), entonces se tendrian las siguientesintegrales

K(e)ij =

Ze

a

"@�

(e)i

@x

@�(e)j

@x+@�

(e)i

@y

@�(e)j

@y

#+ c�

(e)i �

(e)j

!dxdy (5.18)

=

Z

"a

@�i@"

@"

@x+@�i@�

@�

@x

! @�j@"

@"

@x+@�j@�

@�

@x

!+

@�i@"

@"

@y+@�i@�

@�

@y

! @�j@"

@"

@y+@�j@�

@�

@y

!#+ c�i�j

!jJ j d"d�

donde el índice i y j varia de 1 a 4. En está última usamos la regla dela cadena y dxdy = jJ j d"d� para el cambio de variable en las integrales,



aquí jJ j = detT; donde T está dado como en la Ec. (5.15). Para resolverRef�

(e)j dxdy en cada e se genera las integrales

F(e)j =

Ze

f�(e)j dxdy (5.19)

=

Z

f�j jJ j d"d�

donde el índice i y j varia de 1 a 4.Para realizar el cálculo numérico de las integrales en el rectángulo de

refe-rencia = [�1; 1] � [�1; 1], debemos conocer @�i@"; @�i@�; @"@x; @"@y; @�@xy @�

@y;

entonces realizando las operaciones necesarias a la Ec. (5.17) obtenemos

@�1@"= �1

4(1� �) @�1

@�= �1

4(1� ")

@�2@"= 1

4(1� �) @�2

@�= �1

4(1 + ")

@�3@"= 1

4(1 + �) @�3

@�= 1

4(1 + ")

@�4@"= �1

4(1 + �) @�4

@�= 1

4(1� ")

(5.20)

y también@"@x=

�y(e)4 �y(e)12 detT

�@"@y=

�x(e)4 �x(e)12 detT

�@�@x=

�y(e)2 �y(e)12 detT

�@�@y=

�x(e)2 �x(e)12 detT

� (5.21)

las cuales deberán de ser sustituidas en cada K(e)ij y F (e)j para calcular las

integrales en el elemento e: Estas integrales se harán en el programa usandocuadratura Gaussiana, permitiendo reducir el número de cálculos al mínimopero manteniendo el balance entre precisión y número bajo de operacionesnecesarias para realizar las integraciones.

Suponiendo que fue dividido en E elementos, estos elementos generanN nodos en total, de los cuales Nd son nodos desconocidos y Nc son nodosconocidos con valor j; entonces el algoritmo de ensamble de la matriz K yel vector F se puede esquematizar como:

Ki;j = (�i; �j) 8i = 1; 2; :::; E; j = 1; 2; :::; EFj = (f; �j) 8j = 1; 2; :::; E8j = 1; 2; :::; Nd :

bj = bj � iKi;j 8i = 1; 2; :::; E



Así, se construye una matriz global en la cual están representados losnodos conocidos y los desconocidos, tomando sólo los nodos desconocidosde la matriz K formaremos una matriz A; haciendo lo mismo al vector Fformamos el vector b; entonces la solución al problema será la resolución delsistema de ecuaciones lineales Ax= b; este sistema puede resolverse usandopor ejemplo el método de Gradiente Conjugado. El vector x contendrá lasolución buscada en los nodos desconocidos Nd.

5.4 Discretización en 2D Usando Triángulos

Para resolver la Ec. (4.1), usando una discretización con triángulos, primerodividimos el dominio � R2 en Nx nodos horizontales por Ny nodos verti-cales, teniendo E = 2(Nx� 1)(Ny� 1) subdominios o elementos triángularese tales que = [Ee=1e y i \ j 6= ? si son adyacentes, con un total deN = NxNy nodos.Donde las funciones lineales de�nidas por pedazos en e en nustro caso

serán polinomios de orden uno en cada variable separadamente y cuya re-stricción de �i a e es �

(e)i : Para simpli�car los cálculos en esta etapa, supon-

dremos que la matriz a = a

�1 00 1

�; entonces se tiene que la integral del

lado izquierdo de la Ec. (4.32) queda escrita comoZ


�dxdy =

Z

f�jdxdy (5.22)

donde

Kij =

Z


�dxdy (5.23)

=

EXe=1

Ze

�ar�(e)i � r�(e)j + c�

(e)i �

(e)j

�dxdy

=EXe=1

Ze

a

"@�

(e)i

@x

@�(e)j

@x+@�

(e)i

@y

@�(e)j

@y

#+ c�

(e)i �

(e)j

!dxdy



y el lado derecho como

Fj =

Z

f�jdxdy (5.24)

=

EXe=1

Ze

f�(e)j dxdy:

Para cada e de la submatriz de integrales (matriz de carga local)

Kij =

Ze

a

"@�

(e)i

@x

@�(e)j

@x+@�

(e)i

@y

@�(e)j

@y

#+ c�

(e)i �

(e)j

!dxdy (5.25)

tiene la estructura 264k(e)1;1 k

(e)1;2 k

(e)1;3

k(e)2;1 k

(e)2;2 k

(e)2;3

k(e)3;1 k

(e)3;2 k

(e)3;3

375la cual deberá ser ensamblada en la matriz de carga global que corresponda ala numeración de nodos locales del elemento e con respecto a la numeraciónglobal de los elementos en .De manera parecida, para cada e de se genera el vector de integrales

(vector de carla gocal)

Fj =

Ze

f�(e)j dxdy (5.26)

con la estructura 264F(e)1

F(e)2

F(e)3

375el cual también deberá ser ensamblado en el vector de carga global que cor-responda a la numeriación de nodos locales al elemento e con respecto a lanumeración global de los elementos de .Montando los K(e)

ij en la matriz K y los F (e)j en el vector F según lanumeración de nodos global, se genera el sistema Kuh=F donde uh será elvector cuyos valores serán la solución aproximada a la Ec. (4.1) en los nodosinteriores de : La matriz K generada de esta forma, tiene una propiedadmuy importante, es bandada y el ancho de banda es de 7 elementos, esto esmuy útil al momento de soportar la matriz en memoria.



Para implementar numéricamente en cada e las integralesZe

a

"@�

(e)i

@x

@�(e)j

@x+@�

(e)i

@y

@�(e)j

@y

#+ c�

(e)i �

(e)j

!dxdy (5.27)

y Ze

f�(e)j dxdy

teniendo en mente el simpli�car los cálculos computacionales se considera aun elemento de referencia en los ejes coordenados ("; �) cuyos vertices estanen (0; 0); (1; 0) y (0; 1) y en el cual mediante un mapeo afín será proyectadocaulquier elemento triangulare cuyos vertices (x

(e)1 ; y

(e)1 ); (x

(e)2 ; y

(e)2 ); (x

(e)3 ; y

(e)3 )

están tomados en el sentido contrario al movimiento de las manecillas del relojcomo se muetra en la �guramediante la transformación f("; �) = T ("; �)+b,

quedando dicha transformación como

x = x(e)1 (1� "� �) + x

(e)2 "+ x

(e)3 �

y = y(e)1 (1� "� �) + y

(e)2 "+ y

(e)3 �

(5.28)



y en la cual la matriz T está dada por

T =

x(e)2 � x

(e)1 x

(e)3 � x

(e)1

y(e)2 � y

(e)1 y

(e)3 � y

(e)1

!(5.29)

donde b es un vector constante

b =

x(e)1

y(e)1

!(5.30)

también se tiene que la transformación inversa es

" =1

2Ae

h�y(e)3 � y

(e)1

��x� x

(e)1

��x(e)3 � x

(e)1

��y � y

(e)1

�i(5.31)

� =1

2Ae

h��y(e)2 � y

(e)1

��x� x

(e)1

��x(e)2 � x

(e)1

��y � y

(e)1

�idonde

Ae =

��det264 1 x

(e)1 y

(e)1

1 x(e)2 y

(e)2

1 x(e)3 y

(e)3

375�� : (5.32)

Entoces las �(e)i quedan de�nidas en términos de �i como

�1("; �) = 1� "� � (5.33)

�2("; �) = "

�3("; �) = �

entoces las funciones �(e)i son obtenidas por el conjunto �(e)i (x; y) = �i("; �)con (x; y) y (",�) relacionadas por la Ec. (5.28), entonces se tendrian lassiguientes integrales

k(e)ij =

Ze

a

"@�

(e)i

@x

@�(e)j

@x+@�

(e)i

@y

@�(e)j

@y

#+ c�

(e)i �

(e)j

!dxdy (5.34)

=

Z

"a

@�i@"

@"

@x+@�i@�

@�

@x

! @�j@"

@"

@x+@�j@�

@�

@x

!+

@�i@"

@"

@y+@�i@�

@�

@y

! @�j@"

@"

@y+@�j@�

@�

@y

!#+ c�i�j

!jJ j d"d�



donde el índice i y j varia de 1 a 3. En está última usamos la regla dela cadena y dxdy = jJ j d"d� para el cambio de variable en las integrales,aquí jJ j = detT; donde T está dado como en la Ec. (5.29). Para resolverRef�

(e)j dxdy en cada e se genera las integrales

F(e)j =

Ze

f�(e)j dxdy (5.35)

=

Z

f�j jJ j d"d�

donde el indice i y j varia 1 a 3.Para realizar el cálculo numérico de las integrales en el triángulo de ref-

erencia , debemos conocer @�i@"; @�i@�; @"@x; @"@y; @�@xy @�

@y; entonces realizando las

operaciones necesarias a las Ec. (5.33) obtenemos

@�1@"= �1 @�1

@�= �1

@�2@"= 1 @�2

@�= 0

@�3@"= 0 @�3

@�= 1

(5.36)

y también@"@x=

�y(e)3 �y(e)1

�2Ae

@"@y= �

�x(e)3 �x(e)1

�2Ae

@�@x= �

�y(e)2 �y(e)1

�2Ae

@�@y=

�x(e)2 �x(e)1

�2Ae

(5.37)

las cuales deberán de ser sustituidas en cada K(e)ij y F (e)j para calcular las

integrales en el elemento e:

Suponiendo que fue dividido en E elementos, estos elementos generanN nodos en total, de los cuales Nd son nodos desconocidos y Nc son nodosconocidos con valor j; entonces el algoritmo de ensamble de la matriz K yel vector F se puede esquematizar como:

Ki;j = (�i; �j) 8i = 1; 2; :::; E; j = 1; 2; :::; EFj = (f; �j) 8j = 1; 2; :::; E8j = 1; 2; :::; Nd :

bj = bj � iKi;j 8i = 1; 2; :::; E

Así, se construye una matriz global en la cual están representados losnodos conocidos y los desconocidos, tomando sólo los nodos desconocidos



de la matriz K formaremos una matriz A; haciendo lo mismo al vector Fformamos el vector b; entonces la solución al problema será la resolución delsistema de ecuaciones lineales Ax= b; este sistema puede resolverse usandopor ejemplo el método de gradiente conjugado. El vector x contendrá lasolución buscada en los nodos desconocidos Nd.

5.5 Implementación Computacional

A partir de los modelos matemáticos y los modelos numéricos en esta secciónse describe el modelo computacional contenido en un programa de cómputoorientado a objetos en el lenguaje de programación C++ en su forma secuen-cial y en su forma paralela en C++ u-sando la interfaz de paso de mensajes(MPI) bajo el esquema maestro-esclavo.Esto no sólo nos ayudará a demostrar que es factible la construcción del

propio modelo computacional a partir del modelo matemático y numéricopara la solución de problemas reales. Además, se mostrará los alcances y lim-itaciones en el consumo de los recursos computacionales, evaluando algunasde las variantes de los métodos numéricos con los que es posible implementarel modelo computacional y haremos el análisis de rendimiento sin llegar a serexhaustivo esté.También exploraremos los alcances y limitaciones de cada uno de los

métodos implementados (FEM, DDM secuencial y paralelo) y como es posibleoptimizar los recursos computacionales con los que se cuente.Primeramente hay que destacar que el paradigma de programación orien-

tada a objetos es un método de implementación de programas, organizadoscomo colecciones cooperativas de objetos. Cada objeto representa una in-stancia de alguna clase y cada clase es miembro de una jerarquía de clasesunidas mediante relaciones de herencia, contención, agregación o uso.Esto nos permite dividir en niveles la semántica de los sistemas complejos

tratando así con las partes, que son más manejables que el todo, permitiendosu extensión y un mantenimiento más sencillo. Así, mediante la herencia,contención, agregación o usó nos permite generar clases especializadas quemanejan e�cientemente la complejidad del problema. La programación ori-entada a objetos organiza un programa entorno a sus datos (atributos) y aun conjunto de interfases bien de�nidas para manipular estos datos (méto-dos dentro de clases reusables) esto en oposición a los demás paradigmas deprogramación.El paradigma de programación orientada a objetos sin embargo sacri�ca



algo de e�ciencia computacional por requerir mayor manejo de recursos com-putacionales al momento de la ejecución. Pero en contraste, permite mayor�exibilidad al adaptar los códigos a nuevas especi�caciones. Adicionalmente,disminuye notoriamente el tiempo invertido en el mantenimiento y búsquedade errores dentro del código. Esto tiene especial interés cuando se piensaen la cantidad de meses invertidos en la programación comparado con lossegundos consumidos en la ejecución del mismo.Para empezar con la implementación computacional, primeramente de�nire-

mos el problema a trabajar. Este, pese a su sencillez, no pierde generalidadpermitiendo que el modelo mostrado sea usado en muchos sistemas de laingeniería y la ciencia.

El Operador de Laplace y la Ecuación de Poisson Consideramoscomo modelo matemático el problema de valor en la frontera (BVP) aso-ciado con el operador de Laplace en dos dimensiones, el cual en general esusualmente referido como la ecuación de Poisson, con condiciones de fronteraDirichlet, de�nido en como:

�r2u = f en (5.38)

u = g@ en @:

Se toma está ecuación para facilitar la comprensión de las ideas básicas.Es un ejemplo muy sencillo, pero gobierna los modelos de muchos sistemas dela ingeniería y de la ciencia, entre ellos el �ujo de agua subterránea a travésde un acuífero isotrópico, homogéneo bajo condiciones de equilibrio y es muyusada en múltiples ramas de la física. Por ejemplo, gobierna la ecuación dela conducción de calor en un sólido bajo condiciones de equilibrio.En particular consideramos el problema con de�nido en:

= [�1; 1]� [0; 1] (5.39)

dondef = 2n

2�2 sin(n�x) � sin(n�y) y g@ = 0 (5.40)

cuya solución esu(x; y) = sin(n�x) � sin(n�y): (5.41)

Para las pruebas de rendimiento en las cuales se evalúa el desempeño delos programas realizados se usa n = 10, pero es posible hacerlo con n 2 N



Figura 2: Solución a la ecuación de Poisson para n=4.

grande. Por ejemplo para n = 4; la solución es u(x; y) = sin(4�x) � sin(4�y);cuya grá�ca se muestra a continuación:Hay que hacer notar que al implementar la solución numérica por el

método del elemento �nito y el método de subestructuración secuencial en unprocesador, un factor limitante para su operación es la cantidad de memoriadisponible en la computadora, ya que el sistema algebraico de ecuacionesasociado a esté problema crece muy rápido (del orden de n2); donde n es elnúmero de nodos en la partición.En todos los cálculos de los métodos numéricos usados para resolver el

sistema lineal algebraico asociado se usó una tolerancia mínima de 1�10�10.Ahora, veremos la implementación del método de elemento �nito secuencialpara después continuar con el método de descomposición de dominio tantosecuencial como paralelo y poder analizar en cada caso los requerimientos decómputo, necesarios para correr e�cientemente un problema en particular.

Método del Elemento Finito Secuencial A partir de la formulacióndel método de elemento �nito visto en la sección (4.3), la implementacióncomputacional que se desarrolló tiene la jerarquía de clases siguiente:Donde las clases participantes en FEM2D Rectángulos son:

La clase Interpolador Lineal de�ne los interpoladores lineales us-ados por el método de elemento �nito.



Figura 3: Jerarquía de clases para el método de elemento �nito

La clase Problema de�ne el problema a tratar, es decir, la ecuacióndiferencial parcial, valores de frontera y dominio.

La clase Base FEM ayuda a de�nir los nodos al usar la claseGeo-metría y mantiene las matrices generadas por el método y apartir de la clase Resuelve Ax=B se dispone de diversas formasde resolver el sistema lineal asociado al método.

La clase FEM2D controla lo necesario para poder hacer uso de lageometría en 2D y conocer los nodos interiores y de frontera, conellos poder montar la matriz de rigidez y ensamblar la solución.

La clase FEM2D Rectángulos permite calcular la matriz de rigidezpara generar el sistema algebraico de ecuaciones asociado al método.

Notemos que esta misma jerarquía permite trabajar problemas en unay dos dimensiones, en el caso de dos dimensiones podemos discretizar us-ando rectángulos o triángulos, así como usar varias opciones para resolver elsistema lineal algebraico asociado a la solución de EDP.Como ya se menciono, el método de elemento �nito es un algoritmo se-

cuencial, por ello se implementa para que use un solo procesador y un factorlimitante para su operación es la cantidad de memoria disponible en la com-putadora, por ejemplo:



Resolver la Ec. (5.38) con una partición rectangular de 513� 513 nodos,genera 262144 elementos rectangulares con 263169 nodos en total, donde261121 son desconocidos; así el sistema algebraico de ecuaciones asociado aeste problema es de dimensión 261121� 261121.Usando el equipo secuencial, primeramente evaluaremos el desempeño del

método de elemento �nito con los distintos métodos para resolver el sistemaalgebraico de ecuaciones, encontrando los siguientes resultados:

Método Iterativo Iteraciones Tiempo TotalJacobi 865037 115897 seg.

Gauss-Seidel 446932 63311 seg.Gradiente Conjugado 761 6388 seg.

Como se observa el uso del método de Gradiente Conjugado es por mu-cho la mejor elección. En principio, podríamos quedarnos solamente con elmétodo de Gradiente Conjugado sin hacer uso de precondicionadores porlos buenos rendimientos encontrados hasta aquí, pero si se desea resolver unproblema con un gran número de nodos, es conocido el aumento de e�cienciaal hacer uso de precondicionadores.Ahora, si tomamos ingenuamente el método de elemento �nito conjun-

tamente con el método de Gradiente Conjugado con precondicionadores aposteriori (los más sencillos de construir) para resolver el sistema algebraicode ecuaciones, encontraremos los siguientes resultados:

Precondicionador Iteraciones Tiempo TotalJacobi 760 6388 seg.SSOR 758 6375 seg.

Factorización Incompleta 745 6373 seg.

Como es notorio el uso del método de Gradiente Conjugado precondi-cionado con precondicionadores a posteriori no ofrece una ventaja signi�ca-tiva que compense el esfuerzo computacional invertido al crear y usar unprecondicionador en los cálculos por el mal condicionamiento del sistema al-gebraico. Existen también precondicionadores a priori para el método deelemento �nito, pero no es costeable en rendimiento su implementación.

5.5.1 Procedimiento General para Programar FEM

Como para casi todo problema no trivial que se desee programar, en necesariotener claro el procedimiento matemático del problema en cuestión. A partir



de los modelos matemáticos y los modelos numéricos se plasmará el modelocomputacional en algún lenguaje de programación usando algún paradigmade programación soportado por el lenguaje seleccionado.En particular, para programar el método de Elemento Finito que no es

un problema trivial, debemos empezar seleccionado la ecuación diferencialparcial más sencilla, con una malla lo más pequeña posible pero adecuadaa la dimensión de nuestro problema, esto nos facilitará hacer los cálculosentendiendo a cabalidad el problema. Además de esta forma podemos en-contrar errores lógicos, conceptuales, de cálculo en las integrales, ensamble enlas matrices y solución del sistema lineal Ax = b asociado, de otra forma seesta complicando innecesariamente el proceso de programación y depuración.Además tratar de rastrear errores sin tener primero claro los cálculos a losque debe llegar el programa es una complicación innecesaria.

Este procedimiento sirve tanto para 1D, 2D o 3D, pero lo recomendable esiniciar en 1D para adquirir la pericia necesaria para las dimensiones mayores,mediante el siguiente procedimiento:a) Supondremos la ecuación diferencial parcial más sencilla, la ecuación

de Poisson, con condiciones de frontera Dirichlet, de�nido en como:

�r2u = f en (5.42)

u = g@ en @:

b) Generar la matriz de carga correspondiente y compararla con la cal-culada por nosotrosc) Si la matriz es correcta, ahora usar una ecuación no homogénea cons-

tante para calcular el vector de carga y compararlo con lo calculado pornosotros, de ser necesario ahora podemos cambiar a una función del ladoderecho cualquierad) En la malla homogénea más sencilla aplicable a la dimensión del pro-

blema � para 1D una malla de 3 nodos, para 2D una malla de 3x3 nodos (2elementos por 2 elementos) y para 3D una malla de 3x3x3 nodos (2 elementospor 2 elementos por 2 elementos)� ahora podemos hacer el ensamble de lamatriz global A y el vector b y compararla con la calculada por nosotrose) Si es correcto el ensambla ahora podemos variar las dimensiones de

nuestro dominio y la cantidad de nodos usados en la descretización � en 2Dahora podemos usar una malla del tipo 2x3 y 3x2, algo similar en 3D sepuede hacer� para validar el ensamble correcto de la matriz, superado este



punto ahora podemos ampliar la malla y ver que el ensamble se mantienebien hecho � en 2D la malla mínima adecuada es 3x3 nodos, en 3D será de3x3x3 nodos�f) Regresando a la malla mínima aplicable a la dimensión del problema,

ahora solucionar el sistema Ax = b por inversa y revisar que concuerde conla solución calculada por nosotros. Si es correcta, ahora podemos usar algúnmétodo del tipo CGM o GMRES según sea simétrica o no simétrica la matrizAg) Si contamos con la solución analítica de alguna ecuación, ahora podemos

calcular la solución numérica por FEM para distintas mallas y compararlacon la analítica y poder ver si la convergencia es adecuada al aumentar lamallah) llegando a este punto, podemos ahora ampliar los términos de la

ecuación diferencial parcial y bastará con revisar que la matriz y vector decarga sea bien generada para tener certeza de que todo funcionará



6 Apéndice A: Algúnos Conceptos Básicos

En este apéndice se darán algunas de�niciones que se usan a lo largo del pre-sente trabajo, así como se detallan algunos resultados generales de algebra lin-eal y análisis funcional (en espacios reales) que se anuncian sin demostraciónpero se indica en cada caso la bibliografía correspondiente donde se encuen-tran estas y el desarrollo en detalle de cada resultado.

6.1 Nociones de Algebra Lineal

A continuación detallaremos algunos resultados de álgebra lineal, las demostra-ciones de los siguientes resultados puede ser consultada en [21].

De�nición 46 Sea V un espacio vectorial y sea f (�) : V ! R; f es llamadafuncional lineal si satisface la condición

f(�v + �w) = �f(v) + �f(w) 8v; w 2 V y �; � 2 R: (6.1)

De�nición 47 Si V es un espacio vectorial, entonces el conjunto V � de todaslas funcionales lineales de�nidas sobre V es un espacio vectorial llamadoespacio dual de V:

Teorema 48 Si fv1; :::; vng es una base para el espacio vectorial V , entoncesexiste una única base fv�1; :::; v�ng del espacio vectorial dual V � llamado labase dual de fv1; :::; vng con la propiedad de que V �

i = �ij: Por lo tanto V esisomorfo a V �:

De�nición 49 Sea D � V un subconjunto del espacio vectorial V: El nulode D es el conjunto N (D) de todas las funcionales en V � tal que se nuli�canen todo el subconjunto D; es decir

N (D) = ff 2 V � j f(v) = 0 8v 2 Dg : (6.2)

Teorema 50 Sea V un espacio vectorial y V � el espacio dual de V; entoncesa) N (D) es un subespacio de V �

b) Si M � V es un subespacio de dimensión m; V tiene dimensión n;entonces N (M) tiene dimensión n�m en V �:

Corolario 51 Si V = L�M (suma directa) entonces V � = N (L)�N (M) :



Teorema 52 Sean V y W espacios lineales, si T (�) : V ! W es lineal,entonces el adjunto T � de T es un operador lineal T � : W � ! V � de�nidopor

T �(w�)(u) = w�(Tu): (6.3)

Teorema 53 Si H es un espacio completo con producto interior, entoncesH� = H:

De�nición 54 Si V es un espacio vectorial con producto interior y T (�) :V ! V es una transformación lineal, entonces existe una transformaciónasociada a T llamada la transformación auto-adjunta T � de�nida como

hTu; vi = hu; T �vi : (6.4)

De�nición 55 Sea V un espacio vectorial sobre los reales. Se dice que unafunción � (�; �) : V � V ! R es una forma bilineal sobre V; si para todax; y; z 2 V y �; � 2 R se tiene

� (�x+ �y; z) = �� (x; z) + �� (y; z) (6.5)

� (x; �y + �z) = �� (x; y) + �� (x; z) :

De�nición 56 Si � (�; �) es una forma bilineal sobre V; entonces la funciónq� (�) : V ! R de�nida por

q� (x) = � (x; x) 8x 2 V (6.6)

se le llama la forma cuadrática asociada a � :

Notemos que para una forma cuadrática q� (�) se tiene que q� (�x) =j�j2 q� (x) 8x 2 V y � 2 R:

De�nición 57 Sea V � Rn un subespacio, P 2 Rn � Rn

6.2 �-Algebra y Espacios Medibles

A continuación detallaremos algunos resultados conjuntos de espacios �-algebra, conjuntos de medida cero y funciones medibles, las demostracionesde los siguientes resultados puede ser consultada en [23] y [3].



De�nición 58 Una �-algebra sobre un conjunto es una familia � de sub-conjuntos de que satisface

� ? 2 �

� Si n 2 � entonces1Sn=1

n 2 �

� Si 2 � entonces c 2 �:

De�nición 59 Si es un espacio topológico, la familia de Borel es el con-junto �-algebra más pequeño que contiene a los abiertos del conjunto :

De�nición 60 Una medida � sobre es una función no negativa real valu-ada cuyo dominio es una �-algebra � sobre que satisface

� � (?) = 0 y

� Si f ng es una sucesión de conjuntos ajenos de � entonces

�

1[n=1

n

!=

1Xn=1

� ( n) : (6.7)

Teorema 61 Existe una función de medida � sobre el conjunto de Borel deR llamada la medida de Lebesgue que satisface � ([a; b]) = b� a:

De�nición 62 Una función f : ! R es llamada medible si f�1 (U) es unconjunto medible para todo abierto U de :

De�nición 63 Sea E � un conjunto, se dice que el conjunto E tienemedida cero si � (E) = 0:

Teorema 64 Si � es una medida sobre el espacio X y � es una medida sobreel espacio Y; podemos de�nir una medida � sobre X �Y con la propiedad deque � (A�B) = � (A) � (B) para todo conjunto medible A 2 X y B 2 Y:

Teorema 65 (Fubini)Si f (x; y) es medible en X � Y entoncesZ

X�Y

f (x; y) d� =

ZX

ZY

f (x; y) d�d� =

ZY

ZX

f (x; y) d�d� (6.8)

en el sentido de que cualquiera de las integrales existe y son iguales.



Teorema 66 Una función f es integrable en el sentido de Riemann en siy sólo si el conjunto de puntos donde f (x) es no continua tiene medida cero.

Observación 2 Sean f y g dos funciones de�nidas en ; decimos que f yg son iguales salvo en un conjunto de medida cero si f(x) 6= g(x) sólo en unconjunto de medida cero.

De�nición 67 Una propiedad P se dice que se satisface en casi todos lados,si existe un conjunto E con � (E) = 0 tal que la propiedad se satisface entodo punto de Ec:

6.3 Espacios Lp

Las de�niciones y material adicional puede ser consultada en [13], [19] y [3].

De�nición 68 Una función medible f (�) (en el sentido de Lebesgue) es lla-mada integrable sobre un conjunto medible � Rn siZ

jf j dx <1: (6.9)

De�nición 69 Sea p un número real con p � 1: Una función u (�) de�nidasobre � Rn se dice que pertenece al espacio Lp() siZ

ju(x)jp dx (6.10)

es integrable.

Al espacio L2() se le llama cuadrado integrable.

De�nición 70 La norma L2() se de�ne como

kukL2() =�Z

ju(x)j2 dx� 1

2

<1 (6.11)

y el producto interior en la norma L2() como

hu; viL2()

=

Z

u(x)v(x)dx: (6.12)



De�nición 71 Si p ! 1; entonces de�nimos al espacio L1() como elespacio de todas las funciones medibles sobre � Rn que sean acotadasen casi todo (excepto posiblemente sobre un conjunto de medida cero), esdecir,

L1() = fu j ju(x)j � kg (6.13)

de�nida en casi todo ; para algún k 2 R:

6.4 Distribuciones

La teoría de distribuciones es la base para de�nir a los espacios de Sobolev,ya que permiten de�nir las derivadas parciales de funciones no continuas,pero esta es coincidente con las derivadas parciales clásica si las funcionesson continuas, para mayor referencia de estos resultados ver [13], [19] y [3]

De�nición 72 Sea � Rn un dominio, al conjunto de todas las funcionescontinuas de�nidas en se denotarán por C0(), o simplemente C():

De�nición 73 Sea u una función de�nida sobre un dominio la cual es nocero sólo en los puntos pertenecientes a un subconjunto propio K � : SeaK la clausura de K: Entonces K es llamado el soporte de u. Decimos que utiene soporte compacto sobre si su soporte K es compacto. Al conjunto defunciones continuas con soporte compacto se denota por C0():

De�nición 74 Sea Zn+ el conjunto de todas las n-duplas de enteros no neg-ativos, un miembro de Zn+ se denota usualmente por � ó � (por ejemplo� = (�1; �2; :::; �n): Denotaremos por j�j la suma j�j = �1 + �2 + :::+ �n ypor D�u la derivada parcial

D�u =@j�ju

@x�11 @x�22 :::@x

�nn

(6.14)

así, si j�j = m, entonces D�u denota la m-ésima derivada parcial de u:

De�nición 75 Sea Cm() el conjunto de todas las funciones D�u tales quesean funciones continuas con j�j = m: Y C1() como el espacio de funcionesen el cual todas las derivadas existen y sean continuas en :

De�nición 76 El espacio D() será el subconjunto de funciones in�nita-mente diferenciales con soporte compacto, algunas veces se denota tambiéncomo C10 ():



De�nición 77 Una distribución sobre un dominio � Rn es toda funcionallineal continua sobre D():

De�nición 78 El espacio de distribuciones es el espacio de todas las fun-cionales lineales continuas de�nidas en D(), denotado como D�(), es decirel espacio dual de D():

De�nición 79 Un función f (�) es llamada localmente integrable, si paratodo subconjunto compacto K � se tieneZ

K

jf (x)j dx <1: (6.15)

Ejemplo de una distribución es cualquier función f (�) localmente inte-grable en : La distribución F asociada a f se puede de�nir de maneranatural como F : D()! R como

hF; �i =Z

f�dx (6.16)

con � 2 D():Si el soporte de � es K � ; entonces

jhF; �ij =��Z

f�dx

�� = ��ZK

f�dx

�� supx2K

j�jZ

jf(x)j dx (6.17)

la integral es �nita y hF; �i tiene sentido. Bajo estas circunstancias F esllamada una distribución generada por f:Otro ejemplo de distribuciones es el generado por todas las funciones

continuas acotadas, ya que estas son localmente integrables y por lo tantogeneran una distribución.

De�nición 80 Si una distribución es generada por funciones localmente in-tegrables es llamada una distribución regular. Si una distribución no es gen-erada por una función localmente integrable, es llamada distribución singular(ejemplo de esta es la delta de Dirac).

Es posible de�nir de manera natural en producto de una función y unadistribución. Especí�camente, si � Rn; u pertenece a C1(); y si f (�) es



una distribución sobre ; entonces entenderemos uf por la distribución quesatisface

h(uf) ; �i = hf; u�i (6.18)

para toda � 2 D(): Notemos que la anterior ecuación es una generalizaciónde la identidadZ

[u (x) f (x)]� (x) dx =

Z

f (x) [u (x)� (x)] dx (6.19)

la cual se satisface si f es localmente integrable.

Derivadas de Distribuciones Funciones como la delta de Dirac y la Hea-viside no tienen derivada en el sentido ordinario, sin embargo, si estas fun-ciones son tratadas como distribuciones es posible extender el concepto dederivada de tal forma que abarque a dichas funciones, para ello recordemosque:

Teorema 81 La versión clásica del teorema de Green es dada por la identi-dad Z

u@v

@xidx =

Z@

uvnids�Z

v@u

@xidx (6.20)

que se satisface para todas las funciones u; v en C1(); donde ni es la i-ésima componente de la derivada normal del vector n en la frontera @ deun dominio :

Una versión de la Ec. (6.20) en una dimensión se obtiene usando laformula de integración por partes, quedando comoZ b

a

uv0dx = [uv] jba �Z b

a

vu0dx; u; v 2 C1 [a; b] (6.21)

como un caso particular de la Ec. (6.20).Este resultado es fácilmente generalizable a un resultado usando derivadas

parciales de ordenm de funciones u; v 2 Cm() pero remplazamos u porD�uen la Ec. (6.20) y con j�j = m; entonces se puede mostrar que:

Teorema 82 Otra versión del teorema de Green es dado porZ

(D�u) vdx = (�1)j�jZ

uD�vdx+

Z@

h(u; v)ds (6.22)

donde h(u; v) es una expresión que contiene la suma de productos de derivadasde u y v de orden menor que m:



Ahora remplazando v en la Ec. (6.22) por � perteneciente a D() y como� = 0 en la frontera @ tenemosZ

(D�u)�dx = (�1)j�jZ

uD��dx (6.23)

ya que u esm-veces continuamente diferenciable, esta genera una distribucióndenotada por u; tal que

hu; �i =Z

u�dx (6.24)

o, como D�� también pertenece a D(), entonces

hu;D��i =Z

uD��dx (6.25)

además, D�u es continua, así que es posible generar una distribución regulardenotada por D�u satisfaciendo

hD�u; �i =Z

(D�u)�dx (6.26)

entonces la Ec. (6.23) puede reescribirse como

hD�u; �i = (�1)j�j hu;D��i ; 8� 2 D(): (6.27)

De�nición 83 La derivada de cualquier distribución f (�) se de�ne como:La ��ésima derivada parcial distribucional o derivada generalizada de unadistribución f es de�nida por una distribución denotada por D�f; que satis-face

hD�f; �i = (�1)j�j hf;D��i ; 8� 2 D():

Nótese que si f pertenece a Cm��; entonces la derivada parcial dis-

tribucional coincide con la derivada parcial ��ésima para j�j � m:

Derivadas Débiles Supóngase que una función u (�) es localmente inte-grable que genere una distribución, también denotada por u; que satisface

hu; �i =Z

u�dx (6.28)

para toda � 2 D():



Además la distribución u posee derivada distribucional de todos los or-denes, en particular la derivada D�u es de�nida por

hD�u; �i = (�1)j�j hu;D��i ; 8� 2 D(): (6.29)

por supuestoD�u puede o no ser una distribución regular. Si es una distribu-ción regular, entonces es generada por una función localmente integrable talque

hD�u; �i =Z

D�u (x)� (x) dx (6.30)

y se sigue que la función u y D�u están relacionadas porZ

D�u (x)� (x) dx = (�1)jmjZ

u (x)D�� (x) dx (6.31)

para j�j � m:

De�nición 84 Llamamos a la función (o más precisamente, a la equiva-lencia de clases de funciones) D�u obtenida en la Ec. (6.31), la ��ésimaderivada débil de la función u:

Notemos que si u pertenece a Cm��; entonces la derivada D�u coincide

con la derivada clásica para j�j � m:



7 Apéndice B: Consideraciones Sobre la Im-plementación de Métodos de Solución deGrandes Sistemas de Ecuaciones Lineales

Los modelos matemáticos de muchos sistemas en Ciencia e Ingeniería y enparticular una gran cantidad de sistemas continuos geofísicos requieren elprocesamiento de sistemas algebraicos de gran escala. Es este trabajo semuestra como proceder para transformar un problema de ecuaciones diferen-ciales parciales en un sistema algebraico virtual de ecuaciones lineales; y así,poder hallar la solución a dicho problema al resolver el sistema lineal asociadoal esquema DVS. La solución de este sistema virtual, involucra la soluciónacoplada de muchos sistemas lineales locales � uno por cada subdominio� ,cada uno de estos sistemas lineales puede ser expresado en la forma matricialsiguiente

Au = f (7.1)

donde la matriz A es de tamaño n�n y generalmente bandada, cuyo tamañode banda es b.

Los métodos de resolución del sistema algebraico de ecuaciones Au = fse clasi�can en dos grandes grupos (véase [26]): los métodos directos y losmétodos iterativos. En los métodos directos la solución u se obtiene en unnúmero �jo de pasos y sólo están sujetos a los errores de redondeo. En losmétodos iterativos, se realizan iteraciones para aproximarse a la solución uaprovechando las características propias de la matriz A; tratando de usar unmenor número de pasos que en un método directo (véase [16], [20], [21] y[26]).Por lo general, es conveniente usar librerías1 para implementar de forma

e�ciente a los vectores, matrices � bandadas y dispersas� y resolver lossistemas lineales locales asociados al método DVS, pero se decidió2 hacer

1Algunas de las librerías más usadas para resolver sistemas lineales usando matricesbandadas y dispersar son PETCs, HYPRE, ATLAS, LAPACK++, LAPACK, EISPACK,LINPACK, BLAS, entre muchas otras alternativas, tanto para implementaciones secuen-ciales como paralelas y más recientemente para hacer uso de los procesadores CUDA enlas GPU de nVidia.

2La variedad de librerías y las diferentes versiones que existen � muchas de ellas, di�erenen la forma de programar entre versiones sucesivas� y pueden usarse es grande, pero cadauna de ellas requiere de una implementación especi�ca en el programa y una con�guración



una jerarquía de clases propia, que implementa los algoritmos necesariospara este trabajo, los cuales corren en cualquier equipo de cómputo quetenga un compilador de C++ y la librería de paso de mensajes MPI; y encaso de querer usar librerías para la manipulación de sistemas lineales, sóloes necesario especializar las clases desarrolladas con las implementacionesparticulares de estas; y así, ocultar el uso de dichas librerías sin afectar alresto del código. Siendo sencillo, adaptar el código para usar una o máslibrerías o versiones de estas, según sea necesario para correr el programa enun equipo de cómputo particular.Así, para poder operar con los diversos métodos numéricos directos o ite-

rativos que resuelven sistemas lineales reales y virtuales, se implemento unajerarquía de clases, la cual se muestra a continuación:

Figura 4: Jerarquía de clases para la resolución de sistemas lineales

Esta jerarquía permite que los métodos DVS le soliciten a la clase ab-stracta Solvable3 que resuelva un determinado sistema lineal sin importar elmétodo numérico subyacente � directos o iterativos� , si la matriz es real� existe como tal� o es virtual � esta dispersa en los distintos procesadores

particular del equipo. Esto restringe al código desarrollado a una plataforma y versiónparticular de la librería seleccionada.

3En general los comportamientos virtuales de las clases abstractas, pueden no ser e�-cientes si son llamadas una gran cantidad de veces durante la ejecución del programa.Para el caso del esquema DVS, en el cual se usa CGM o GMRES para resolver el sistemalineal virtual, este sólo se llama una sola vez; y el proceso de solución del sistema linealasociado consume la mayoría del tiempo de ejecución, por eso se considera e�ciente.



del Cluster� y es reutilizable tanto en la implementación secuencial comoparalela. La clase Solvable tiene la siguiente estructura:

class Solvable{

private:int iter;

public:virtual int getIter(void)=0;virtual void solve(double *x, double *y)=0;

};

7.1 Métodos Directos

En los métodos directos (véase [16] y [25]), la solución u se obtiene en unnúmero �jo de pasos y sólo están sujetos a errores de redondeo. Entre losmétodos más importantes se puede considerar: Factorización LU � para ma-trices simétricas y no simétricas� y Factorización Cholesky � para matricessimétricas� . En todos los casos la matriz original A es modi�cada y en casode usar la Facto-rización LU el tamaño de la banda b crece a 2b + 1 si lafactorización se realiza en la misma matriz.

7.1.1 Factorización LU

Sea U una matriz triangular superior obtenida de A por eliminación bandada.Entonces U = L�1A; donde L es una matriz triangular inferior con unos enla diagonal. Las entradas de L�1 pueden obtenerse de los coe�cientes L

ijy

pueden ser almacenados estrictamente en las entradas de la diagonal inferiorde A ya que estas ya fueron eliminadas. Esto proporciona una FactorizaciónLU de A en la misma matriz A ahorrando espacio de memoria, donde elancho de banda cambia de b a 2b+ 1.En el algoritmo de Factorización LU, se toma como datos de entrada del

sistema Au = f , a la matriz A; la cual será factorizada en la misma matriz,esta contendrá a las matrices L y U producto de la factorización, quedando



el método numérico esquemáticamente como:

Aii = 1; para i = 1; :::; NPara J = 1; 2; :::; N f

Para i = 1; 2; :::; j

Aij = Aij �i�1Xk=1

AikAkj

Para i = j + 1; j + 2; :::; N

Aij =1Ajj

Aij �

j�1Xk=1

AikAkj

!g

(7.2)

El problema originalAu = f se escribe como LUu = f , donde la búsquedade la solución u se reduce a la solución sucesiva de los sistemas linealestriangulares

Ly = f y Uu = y: (7.3)

i,.e.

Ly = f ,8><>:y1 = f1=l11

yi =1Aii

fi �

i�1Xj=1

Aiiyi

!para toda i = 1; :::; n (7.4)

y

Uu = y ,8><>:xn = yn=unn

xi =1Aii

yi �

nXj=i+1

Aijxj

!para toda i = n� 1; :::; 1 :(7.5)

La descomposición LU requiere N3=3 operaciones aritméticas para la ma-triz llena, pero sólo Nb2 operaciones aritméticas para la matriz con un anchode banda de b siendo esto más económico computacionalmente.

Implementación LU Orientada a Objetos en C++ En este caso sedesarrollo una jerarquía de clases para poder operar con matrices bandadasy dispersas, llamada BandSolve la cual se muestra a continuación:



class BandSolve: public Solvable{

private:double **AK;

protect:factorLU(void);

public:BanSolve(int n, double **A);BanSolve(int n, Matriz *A);void solve(double *x, double *y);void convertBand(void);int getIter(void);

};

7.1.2 Factorización Cholesky

Cuando la matriz es simétrica y de�nida positiva, se obtiene la descomposi-ción LU de la matriz A = LDU = LDLT donde D = diag(U) es la diagonalcon entradas positivas.En el algoritmo de Factorización Cholesky, se toma como datos de entrada

del sistema Au = f , a la matriz A; la cual será factorizada en la misma matrizy contendrá a las matrices L y LT producto de la factorización, quedando elmétodo numérico esquemáticamente como:

para i = 1; 2; :::; n y j = i+ 1; :::; n

Aii =

vuut Aii � i�1Xk=1

A2ik

!

Aji =

Aji �

i�1Xk=1

AjkAik

!=Aii

(7.6)

El problema original Au = f se escribe como LLTu = b, donde labúsqueda de la solución u se reduce a la solución sucesiva de los sistemaslineales triangulares

Ly = f y LTu = y (7.7)

usando la formulación equivalente dada por las Ec.(7.4) y (7.5) para la de-scomposición LU.



La mayor ventaja de esta descomposición es que, en el caso en que esaplicable, el costo de cómputo es sustancialmente reducido, ya que requierede N3=6 multiplicaciones y N3=6 sumas.

Implementación Cholesky Orientada a Objetos en C++ En estecaso se desarrollo una jerarquía de clases para poder operar con matricesbandadas y dispersas, llamada BandCholesky la cual se muestra a contin-uación:

class BandCholesky: public Solvable{

private:double **AK;

protect:factorLU(void);

public:BanCholesky(int n, double **A);BanCholesky(int n, Matriz *A);void solve(double *x, double *y);void convertBand(void);int getIter(void);

};

7.2 Métodos Iterativos

En los métodos iterativos, se realizan iteraciones para aproximarse a la solu-ción u aprovechando las características propias de la matriz A; tratando deusar un menor número de pasos que en un método directo (véase [16] y [25]).En los métodos iterativos tales como Jacobi, Gauss-Seidel y de Relajación

Sucesiva (SOR) en el cual se resuelve el sistema lineal

Au = f (7.8)

comienza con una aproximación inicial u0 a la solución u y genera una suce-sión de vectores

�uk1k=1

que converge a u. Los métodos iterativos traenconsigo un proceso que convierte el sistema Au = f en otro equivalente me-diante la iteración de punto �jo de la forma u = Tu + c para alguna matriz



�ja T y un vector c: Luego de seleccionar el vector inicial u0 la sucesión delos vectores de la solución aproximada se genera calculando

uk = Tuk�1 + c 8k = 1; 2; 3; ::: (7.9)

La convergencia a la solución la garantiza el siguiente teorema (véase [26]).

Teorema 85 Si T < 1, entonces el sistema lineal u = Tu + c tiene una

solución única u� y las iteraciones uk de�nidas por la fórmula uk = Tuk�1+c 8k = 1; 2; 3; ::: convergen hacia la solución exacta u� para cualquier aprox-imación inicial u0:

Nótese que, mientras menor sea la norma de la matriz T ; más rápida es laconvergencia, en el caso cuando

T es menor que uno, pero cercano a uno,la convergencia es lenta y el número de iteraciones necesario para disminuirel error depende signi�cativamente del error inicial. En este caso, es deseableproponer al vector inicial u0 de forma tal que sea mínimo el error inicial.Sin embargo, la elección de dicho vector no tiene importancia si la

T espequeña, ya que la convergencia es rápida.Como es conocido, la velocidad de convergencia de los métodos itera-

tivos dependen de las propiedades espectrales de la matriz de coe�cientesdel sistema de ecuaciones, cuando el operador diferencial L de la ecuacióndel problema a resolver es auto-adjunto se obtiene una matriz simétrica ypositivo de�nida y el número de condicionamiento de la matriz A, es porde�nición

cond(A) =�max�min

� 1 (7.10)

donde �max y �min es el máximo y mínimo de los eigen-valores de la matrizA. Si el número de condicionamiento es cercano a 1 los métodos numéricosal solucionar el problema convergerá en pocas iteraciones, en caso contrariose requerirán muchas iteraciones.Frecuentemente al usar el método de Elemento Finito, Diferencias Fini-

tas, entre otros, se tiene una velocidad de convergencia de O�1h2

�y en el

caso de métodos de descomposición de dominio sin precondicionar se tieneuna velocidad de convergencia de O

�1h

�, donde h es la máxima distancia de

separación entre nodos continuos de la partición, es decir, que poseen unapobre velocidad de convergencia cuando h! 0 (véase [5], [15], [16] y [26]).Los métodos Jacobi, Gauss-Seidel y de Relajación Sucesiva (SOR) son

usualmente menos e�cientes que los métodos discutidos en el resto de esta



sección basados en el espacio de Krylov (véase [27] y [25]). Estos métodosminimizan, en la k-ésima iteración alguna medida de error sobre el espacioafín x0 + Kk; donde x0 es la iteración inicial y Kk es el k-ésimo subespaciode Krylov

Kk = Generado�r0; Ar0; :::; A

k�1r0para k � 1: (7.11)

El residual es r = b� Ax; tal�rkk�0 denota la sucesión de residuales

rk = b� Axk: (7.12)

Entre los métodos más usados de�nidos en el espacio de Krylov parael tipo de problemas tratados en el presente trabajo se puede considerar:Método de Gradiente Conjugado � para matrices simétricas� y GMRES� para matrices no simétricas� .

7.2.1 Método de Gradiente Conjugado

Si la matriz generada por la discretización es simétrica � A = AT� y de�nidapositiva � uTAu > 0 para todo u 6= 0� , entonces es aplicable el métodode Gradiente Conjugado � Conjugate Gradient Method (CGM)� . La ideabásica en que descansa el método del Gradiente Conjugado consiste en con-struir una base de vectores ortogonales espacio de Krylov Kn

�A; vn

�y uti-

lizarla para realizar la búsqueda de la solución en forma lo más e�cienteposible.Tal forma de proceder generalmente no sería aconsejable porqué la con-

strucción de una base ortogonal utilizando el procedimiento de Gram-Schmidtrequiere, al seleccionar cada nuevo elemento de la base, asegurar su ortogo-nalidad con respecto a cada uno de los vectores construidos previamente. Lagran ventaja del método de Gradiente Conjugado radica en que cuando seutiliza este procedimiento, basta con asegurar la ortogonalidad de un nuevomiembro con respecto al último que se ha construido, para que automática-mente esta condición se cumpla con respecto a todos los anteriores.En el algoritmo de Gradiente Conjugado, se toma a la matriz A como

simétrica y positiva de�nida, y como datos de entrada del sistema

Au = f (7.13)



el vector de búsqueda inicial u0 y se calcula r0 = f �Au0; p0 = r0; quedandoel método numérico esquemáticamente como:

�n =hpn;pnihpn;Apni

un+1 = un + �npn

rn+1 = rn � �nApn

Prueba de convergencia

�n =hrn+1;rn+1ihrn;rni

pn+1 = rn+1 + �npn

n = n+ 1

(7.14)

donde h�; �i = (�; �) será el producto interior adecuado al sistema lineal enparticular, la solución aproximada será un+1 y el vector residual será rn+1:En la implementación numérica y computacional del método es necesario

realizar la menor cantidad de operaciones posibles por iteración, en particularen Apn, una manera de hacerlo queda esquemáticamente como:Dado el vector de búsqueda inicial u; calcula r = f�Au; p = r y � = r �r:

Para n = 1; 2; :::;Mientras (� < ") fv = Ap� = �

p�vu = u+ �pr = r � �v�0 = r � r� = �0

�

p = r + �p� = �0

g

La solución aproximada será u y el vector residual será r:

Si se denota con f�i; VigNi=1 las eigen-soluciones de A; i.e. AVi = �iVi,i = 0; 1; 2; :::; N: Ya que la matriz A es simétrica, los eigen-valores son realesy se pueden ordenar �1 � �2 � ::: � �N : Se de�ne el número de condición porCond(A) = �N=�1 y la norma de la energía asociada a A por kuk2A = u �Auentonces u� uk

A� u� u0

A

241�qCond(A)

1 +qCond(A)

352k : (7.15)



El siguiente teorema da idea del espectro de convergencia del sistemaAu = b para el método de Gradiente Conjugado.

Teorema 86 Sea � = cond(A) = �max�min

� 1, entonces el método de GradienteConjugado satisface la A�norma del error dado por

kenkke0k �

2��p�+1p��1

�n+�p

�+1p��1

��n� � 2�p�� 1p�+ 1

�n(7.16)

donde em = u� um del sistema Au = b:

Nótese que para � grande se tiene quep�� 1p�+ 1

' 1� 2p�

(7.17)

tal que

kenkA ' e0

Aexp

��2 np

�

�(7.18)

de lo anterior se puede esperar un espectro de convergencia del orden deO(p�) iteraciones (véase [26] y [27]).

Consideraciones sobre la Matriz y el producto punto en el CGMEs común al trabajar en métodos de descomposición de dominio que se re-quieran usar más de un producto interior h�; �i en distintas implementacionesdel mismo algoritmo de Gradiente Conjugado. Por ello se diseña el algoritmopara soportar en forma de parámetro el objeto que implemente el productopunto.

class DotProd{

public:virtual double dot(double *x, double *y)=0;

};

En este caso, al usar el esquema DVS la matriz con la que trabajarael método de Gradiente Conjugado puede estar de�nida como tal o ser vir-tual; en el caso más general, puede estar en un procesador o en múltiplesprocesadores, por ello, en el diseño del algoritmo se decidió implementar unobjeto el cual pueda realizar la multiplicación de la matriz por el vector, sinimportar el tipo de matriz � real o virtual� .



class MultOp{

public:virtual void multOp(double *x, double *y)=0;virtual int getSize(void)=0;

};

Así, se diseña un solo método de Gradiente Conjugado robusto y �exibleque soporta diferentes productos interiores y trabaja con matrices reales ovirtuales, adaptándose sin ningún cambio a diversas necesidades de imple-mentación tanto secuencial como paralela.

Implementación CGM Orientada a Objetos en C++ Dado el sis-tema lineal Au = f , donde A sea una matriz real o virtual. La entrada almétodo será una elección de u0 como condición inicial, " > 0 como la toler-ancia del método, N como el número máximo de iteraciones además de unobjeto para realizar la multiplicación de la matriz por un vector y otro objetopara el producto interior, el algoritmo del método de Gradiente Conjugadoorientado a objetos en C++ queda como:

class CGM: public Solvable{

protect:MultOp *A;DotProd *dotP;double norm(double *x);

public:CGM(MulOp &A, DotProd &dotP, double eps);void solve(double *x, double *y);int getIter(void);

};

El método de Gradiente Conjugado por si mismo no permite el uso deprecondicionadores, pero con una pequeña modi�cación en el producto in-terior usa-do en el método, da origen al método de Gradiente Conjugadoprecondicionado que a continuación detallaremos.



7.2.2 Gradiente Conjugado Precondicionado

Cuando la matriz A es simétrica y de�nida positiva se puede escribir como

�1 �uA � uu � u � �n (7.19)

y tomando la matriz C�1 como un precondicionador de A con la condiciónde que

�1 �uC�1A � uu � u � �n (7.20)

entonces la Ec. (7.13) se pude escribir como

C�1Au = C�1b (7.21)

donde C�1A es también simétrica y de�nida positiva en el producto interiorhu; vi = u � Cv; porque

u;C�1Av�= u � C

�C�1Av

�(7.22)

= u � Av

que por hipótesis es simétrica y de�nida positiva en ese producto interior.La elección del producto interior h�; �i quedará de�nido como

hu; vi = u � C�1Av (7.23)

por ello las Ecs. (7.14[1]) y (7.14[3]), se convierten en

�k+1 =rk � rk

pk+1 � C�1pk+1(7.24)

y

�k+1 =pk � C�1rk

pk � Apk (7.25)

generando el método de Gradiente Conjugado precondicionado con precondi-cionador C�1. Es necesario hacer notar que los métodos Gradiente Conju-gado y Gradiente Conjugado Precondicionado sólo di�eren en la elección delproducto interior.



Para el método de Gradiente Conjugado Precondicionado, los datos deentrada son un vector de búsqueda inicial u0 y el precondicionador C�1: Cal-culándose r0 = b� Au0; p = C�1r0; quedando el método esquemáticamentecomo:

�k+1 =pk � C�1rk

pk � Apk (7.26)

pk+1 = rk � �k+1pk

�k+1 =rk � rk

pk+1 � C�1pk+1

uk+1 = uk + �k+1pk+1

rk+1 = C�1rk � �k+1Apk+1:

Algoritmo Computacional del Método Dado el sistema Au = b, conla matriz A simétrica y de�nida positiva de dimensión n � n. La entradaal método será una elección de u0 como condición inicial, " > 0 como latolerancia del método; N como el número máximo de iteraciones y la matrizde precondicionamiento C�1 de dimensión n�n, el algoritmo del método deGradiente Conjugado Precondicionado queda como:

r = b� Au

w = C�1r

v = (C�1)Tw� =

Pnj=1w

2j

k = 1Mientras que k � N

Si kvk1 < " Salir

x = Av

t =�Pn

j=1 vjxj

u = u+ tv

r = r � tx

w = C�1r

� =Pn

j=1w2j



Si krk1 < " Salir

s =�

�

v =�C�1

�Tw + sv

� = �

k = k + 1

la salida del método será la solución aproximada u = (u1; :::; un) y elresidual r = (r1; :::; rn).

En el caso del método sin precondicionamiento, C�1 es la matriz identi-dad, que para propósitos de optimización sólo es necesario hacer la asignaciónde vectores correspondiente en lugar del producto de la matriz por el vec-tor. En el caso de que la matriz A no sea simétrica, el método de GradienteConjugado puede extenderse para soportarlas, para más información sobrepruebas de convergencia, resultados numéricos entre los distintos métodos desolución del sistema algebraico Au = b generada por la discretización de unproblema elíptico y como extender estos para matrices no simétricas ver [9]y [7].

Teorema 87 Sean A;B y C tres matrices simétricas y positivas de�nidasentonces

��C�1A

��

�C�1B

��B�1A

�:

7.2.3 Método Residual Mínimo Generalizado

Si la matriz generada por la discretización es no simétrica, entonces unaopción, es el método Residual Mínimo Generalizado � Generalized Mini-mum Residual Method (GMRES)� , este representa una formulación iter-ativa común satisfaciendo una condición de optimización. La idea básicadetrás del método se basa en construir una base ortonormal�

v1; v2; :::; vn

(7.27)

para el espacio de KrylovKn�A; vn

�: Para hacer vn+1 ortogonal aKn

�A; vn

�,

es necesario usar todos los vectores previamente construidos fvn+1jgnj=1 � enla práctica sólo se guardan algunos vectores anteriores� en los cálculos. Yel algoritmo se basa en una modi�cación del método de Gram-Schmidt para



la generación de una base ortonormal. Sea Vn= [v1; v2; :::; vn] la cual denota

la matriz conteniendo vj en la j-ésima columna, para j = 1; 2; :::; n; y seaHn= [hi;j] ; 1 � i; j � n; donde las entradas de H

nno especi�cadas en el

algoritmo son cero. Entonces, Hnes una matriz superior de Hessenberg. i.e.

hij = 0 para j < i� 1; y

AVn= V

nHn+ hn+1;n

�0; :::; 0; vn+1

�(7.28)

Hn= HT

nAV

n:

En el algoritmo del método Residual Mínimo Generalizado, la matriz Aes tomada como no simétrica, y como datos de entrada del sistema

Au = f (7.29)

el vector de búsqueda inicial u0 y se calcula r0 = f � Au0; �0 = kr0k ;v1 = r0=�0; quedando el método esquemáticamente como:

Para n = 1; 2; :::;Mientras �n < ��0 {wn+10 = Avn

Para l = 1 hasta n {hl;n =

wn+1l ; vl

�wn+1l+1 = wn+1l � hl;nv

l

}hn+1;n =

wn+1n+1

vn+1 = wn+1n+1=hn+1;n

Calcular yn tal que �n = �0e1 � H

nyn es mínima

g

(7.30)

donde Hn= [hij]1�i�n+1;1�j�n, la solución aproximada será u

n = u0 + Vnyn,

y el vector residual será

rn = r0 � AVnyn = V

n+1

��0e1 � H

nyn�: (7.31)

Teorema 88 Sea uk la iteración generada después de k iteraciones de GM-RES, con residual rk: Si la matriz A es diagonalizable, i.e. A = V �V �1

donde � es una matriz diagonal de eigen-valores de A, y V es la matrizcuyas columnas son los eigen-vectores, entonces rk

kr0k � � (V ) minp�2��;pk(0)=1

max jp� (�j)j�j

(7.32)



donde � (V ) = kV kkV �1k es el número de condicionamiento de V :

Consideraciones sobre la Matriz en el GMRES En este caso al usarDVS la matriz con la que trabajara el método GMRES puede estar de�nidacomo tal o ser virtual, o en el caso más general, puede estar en un procesadoro en múltiples procesadores, por ello en el diseño del algoritmo se decidióimplementar un objeto el cual pueda realizar la multiplicación de la matrizpor el vector, sin importar el tipo de matriz � real o virtual� .

class MultOp{

public:virtual void multOp(double *x, double *y)=0;virtual int getSize(void)=0;

};

Así, se diseña un sólo método de GMRES robusto y �exible que trabajecon matrices reales o virtuales, adaptándose sin ningún cambio a diversasnecesidades de implementación tanto secuencial como paralela.

Implementación GMRES Orientada a Objetos en C++ Dado elsistema lineal Au = f , donde A sea una matriz real o virtual. La entrada almétodo será una elección de u0 como condición inicial, " > 0 como la toler-ancia del método, N como el número máximo de iteraciones y k el númerode vectores a guardar además de un objeto para realizar la multiplicaciónde la matriz por un vector, el algoritmo del método de GMRES orientado aobjetos en C++ queda como:

class DQGMRES: public Solvable{

protect:MultOp *A;

public:DQGMRES(MulOp &A, int k);void solve(double *x, double *y);int getIter(void);

};



7.3 Precondicionadores

Una vía que permite mejorar la e�ciencia de los métodos iterativos consisteen transformar al sistema de ecuaciones en otro equivalente, en el sentidode que posea la misma solución del sistema original pero que a su vez tengamejores condiciones espectrales. Esta transformación se conoce como pre-condicionamiento y consiste en aplicar al sistema de ecuaciones una matrizconocida como precondicionador encargada de realizar el mejoramiento delnúmero de condicionamiento.Una amplia clase de precondicionadores han sido propuestos basados en

las características algebraicas de la matriz del sistema de ecuaciones, mientrasque por otro lado también existen precondicionadores desarrollados a partirde las características propias del problema que lo origina, un estudio máscompleto puede encontrarse en [2] y [18].

¿Qué es un Precondicionador? De una manera formal podemos decirque un precondicionador consiste en construir una matriz C, la cuál es unaaproximación en algún sentido de la matriz A del sistema Au = b, de maneratal que si multiplicamos ambos miembros del sistema de ecuaciones originalpor C�1 obtenemos el siguiente sistema

C�1Au = C�1b (7.33)

donde el número de condicionamiento de la matriz del sistema transformadoC�1A debe ser menor que el del sistema original, es decir

Cond(C�1A) < Cond(A); (7.34)

dicho de otra forma un precondicionador es una inversa aproximada de lamatriz original

C�1 ' A�1 (7.35)

que en el caso ideal C�1 = A�1 el sistema convergería en una sola iteración,pero el coste computacional del cálculo de A�1 equivaldría a resolver el sis-tema por un método directo. Se sugiere que C sea una matriz lo más próximaa A sin que su determinación suponga un coste computacional elevado.Dependiendo de la forma de plantear el producto de C�1 por la matriz

del sistema obtendremos distintas formas de precondicionamiento, estas son:



C�1Au = C�1b Precondicionamiento por la izquierdaAC�1Cu = b Precondicionamiento por la derecha

C�11AC�1

2C2u = C�1

1b

Precondicionamiento por ambos ladossi C puede factorizarse como C = C

1C2:

El uso de un precondicionador en un método iterativo provoca que seincurra en un costo de cómputo extra debido a que inicialmente se construye yluego se debe aplicar en cada iteración. Teniéndose que encontrar un balanceentre el costo de construcción y aplicación del precondicionador versus laganancia en velocidad en convergencia del método.Ciertos precondicionadores necesitan poca o ninguna fase de construcción,

mientras que otros pueden requerir de un trabajo substancial en esta etapa.Por otra parte la mayoría de los precondicionadores requieren en su aplicaciónun monto de trabajo proporcional al número de variables; esto implica quese multiplica el trabajo por iteración en un factor constante.De manera resumida un buen precondicionador debe reunir las siguientes

características:

i) Al aplicar un precondicionador C al sistema original de ecua-ciones Au = b, se debe reducir el número de iteraciones necesariaspara que la solución aproximada tenga la convergencia a la solu-ción exacta con una exactitud " pre�jada.

ii) La matriz C debe ser fácil de calcular, es decir, el costo com-putacional de la construcción del precondicionador debe ser pe-queño comparado con el costo total de resolver el sistema de ecua-ciones Au = b.

iii) El sistema Cz =r debe ser fácil de resolver. Esto debe inter-pretarse de dos maneras:

a) El monto de operaciones por iteración debido a la aplicacióndel precondicionador C debe ser pequeño o del mismo orden quelas que se requerirían sin precondicionamiento. Esto es impor-tante si se trabaja en máquinas secuenciales.

b) El tiempo requerido por iteración debido a la aplicación delprecondicionador debe ser pequeño.

En computadoras paralelas es importante que la aplicación del precondi-cionador sea paralelizable, lo cual eleva su e�ciencia, pero debe de existir un



balance entre la e�cacia de un precondicionador en el sentido clásico y su e�-ciencia en paralelo ya que la mayoría de los precondicionadores tradicionalestienen un componente secuencial grande.

Clasi�cación de los Precondicionadores En general se pueden clasi�caren dos grandes grupos según su manera de construcción: los algebraicos o aposteriori y los a priori o directamente relacionados con el problema continuoque lo origina.

7.3.1 Precondicionador a Posteriori

Los precondicionadores algebraicos o a posteriori son los más generales, yaque sólo dependen de la estructura algebraica de la matriz A, esto quieredecir que no tienen en cuenta los detalles del proceso usado para construir elsistema de ecuaciones lineales Au = b. Entre estos podemos citar los méto-dos de precondicionamiento del tipo Jacobi, SSOR, factorización incompleta,inversa aproximada, diagonal óptimo y polinomial.

Precondicionador Jacobi El método precondicionador Jacobi es el pre-condicionador más simple que existe y consiste en tomar en calidad de pre-condicionador a los elementos de la diagonal de A

Cij =

8<:Aij si i = j

0 si i 6= j:(7.36)

Debido a que las operaciones de división son usualmente más costosas entiempo de cómputo, en la práctica se almacenan los recíprocos de la diagonalde A.

Ventajas: No necesita trabajo para su construcción y puede mejo-rar la convergencia.

Desventajas: En problemas con número de condicionamiento muygrande, no es notoria la mejoría en el número de iteraciones.

Precondicionador SSOR Si la matriz original es simétrica, se puededescomponer como en el método de sobrerrelajamiento sucesivo simétrico



(SSOR) de la siguiente manera

A = D + L+ LT (7.37)

donde D es la matriz de la diagonal principal y L es la matriz triangularinferior.La matriz en el método SSOR se de�ne como

C(!) =1

2� w

�1

!D + L

��1

!D

��1�1

!D + L

�T(7.38)

en la práctica la información espectral necesaria para hallar el valor óptimode ! es demasiado costoso para ser calculado.

Ventajas: No necesita trabajo para su construcción, puede mejo-rar la convergencia signi�cativamente.

Desventajas: Su paralelización depende fuertemente del orde-namiento de las variables.

Precondicionador de Factorización Incompleta Existe una ampliaclase de precondicionadores basados en factorizaciones incompletas. La ideaconsiste en que durante el proceso de factorización se ignoran ciertos elemen-tos diferentes de cero correspondientes a posiciones de la matriz original queson nulos. La matriz precondicionadora se expresa como C = LU , dondeL es la matriz triangular inferior y U la superior. La e�cacia del métododepende de cuán buena sea la aproximación de C�1 con respecto a A�1.El tipo más común de factorización incompleta se basa en seleccionar un

subconjunto S de las posiciones de los elementos de la matriz y durante elproceso de factorización considerar a cualquier posición fuera de éste iguala cero. Usualmente se toma como S al conjunto de todas las posiciones(i; j) para las que Aij 6= 0. Este tipo de factorización es conocido comofactorización incompleta LU de nivel cero, ILU(0).El proceso de factorización incompleta puede ser descrito formalmente

como sigue:Para cada k; si i; j > k:

Sij =

8<:Aij � AijA

�1ij Akj Si (i; j) 2 S

Aij Si (i; j) =2 S:(7.39)



Una variante de la idea básica de las factorizaciones incompletas lo consti-tuye la factorización incompleta modi�cada que consiste en que si el producto

Aij � AijA�1ij Akj 6= 0 (7.40)

y el llenado no está permitido en la posición (i; j), en lugar de simplementedescartarlo, esta cantidad se le substrae al elemento de la diagonal Aij.Matemáticamente esto corresponde a forzar a la matriz precondicionadoraa tener la misma suma por �las que la matriz original. Esta variante resultade interés puesto que se ha probado que para ciertos casos la aplicación dela factorización incompleta modi�cada combinada con pequeñas perturba-ciones hace que el número de condicionamiento espectral del sistema pre-condicionado sea de un orden inferior.

Ventaja: Puede mejorar el condicionamiento y la convergenciasigni�cativamente.

Desventaja: El proceso de factorización es costoso y difícil deparalelizar en general.

Precondicionador de Inversa Aproximada El uso del precondicionadorde inversas aproximada se ha convertido en una buena alternativa para losprecondicionadores implícitos debido a su naturaleza paralelizable. Aquíse construye una matriz inversa aproximada usando el producto escalar deFrobenius.Sea S � Cn; el subespacio de las matrices C donde se busca una inversa

aproximada explícita con un patrón de dispersión desconocido. La formu-lación del problema esta dada como:Encontrar C

02 S tal que

C0= argm�{nC2S

AC � I : (7.41)

Además, esta matriz inicial C0puede ser una inversa aproximada de A

en un sentido estricto, es decir, AC0� I = " < 1: (7.42)

Existen dos razones para esto, primero, la ecuación (7.42) permite ase-gurar que C

0no es singular (lema de Banach), y segundo, esta será la base



para construir un algoritmo explícito para mejorar C0y resolver la ecuación

Au = b:La construcción de C

0se realiza en paralelo, independizando el cálculo

de cada columna. El algoritmo permite comenzar desde cualquier entradade la columna k, se acepta comúnmente el uso de la diagonal como primeraaproximación. Sea rk el residuo correspondiente a la columna k-ésima, esdecir

rk = ACk � ek (7.43)

y sea Ik el conjunto de índices de las entradas no nulas en rk; es decir, Ik =fi = f1; 2; :::; ng j rik 6= 0g : Si Lk = fl = f1; 2; :::; ng j Clk 6= 0g ; entonces lanueva entrada se busca en el conjunto Jk = fj 2 Lck j Aij 6= 0;8i 2 Ikg : Enrealidad las únicas entradas consideradas en Ck son aquellas que afectanlas entradas no nulas de rk: En lo que sigue, asumimos que Lk [ fjg =�ik1; i

k2; :::; i

kpk

es no vacío, siendo pk el número actual de entradas no nulas

de Ck y que ikpk= j, para todo j 2 Jk: Para cada j, calculamos

ACk � ek 22= 1�

pkXl=1

hdet�Dk

l

�i2det�Gk

l�2

�det�Gk

l

� (7.44)

donde, para todo k; det�Gk

0

�= 1 y Gk

les la matriz de Gram de las columnas

ik1; ik2; :::; i

kpkde la matriz A con respecto al producto escalar Euclidiano; Dk

l

es la matriz que resulta de remplazar la última �la de la matriz Gk

lpor

akik1 ;akik2 ;; :::; akikl ; con 1 � l � pk: Se selecciona el índice jk que minimiza elvalor de

ACk � ek 2:

Esta estrategia de�ne el nuevo índice seleccionado jk atendiendo sola-mente al conjunto Lk; lo que nos lleva a un nuevo óptimo donde se actualizantodas las entradas correspondientes a los índices de Lk: Esto mejora el cri-terio de (7.41) donde el nuevo índice se selecciona manteniendo las entradascorrespondientes a los índices de Lk: Así Ck

se busca en el conjunto

Sk = fCk 2 Rn j Cik = 0;8i 2 Lk [ fjkgg ;

mk =

pkXl=1

det�Dk

l

�det�Gk

l�2

�det�Gk

l

� ~ml (7.45)



donde ~C l es el vector con entradas no nulas ikh (1 � h � l) : Cada una de ellas

se obtiene evaluado el determinante correspondiente que resulta de remplazarla última �la del det

�Gk

l

�por eth; con 1 � l � pk:

Evidentemente, los cálculos de ACk � ek

22y de Ck pueden actualizarse

añadiendo la contribución de la última entrada j 2 Jk a la suma previa de1 a pk � 1: En la práctica, det

�Gk

l

�se calcula usando la descomposición de

Cholesky puesto que Gk

les una matriz simétrica y de�nida positiva. Esto

sólo involucra la factorización de la última �la y columna si aprovechamosla descomposición de Gk

l�1: Por otra parte, det�Dk

l

�= det

�Gk

l

�es el valor

de la última incógnita del sistema Gk

ldl =

�akik1 ;akik2 ;; :::; akikl

�Tnecesitándose

solamente una sustitución por descenso. Finalmente, para obtener ~C l deberesolverse el sistema Gk

lvl = el; con ~Cik1 l

= vhl; (1 � h � l) :

Ventaja: Puede mejorar el condicionamiento y la convergenciasigni�cativamente y es fácilmente paralelizable.

Desventaja: El proceso construcción es algo laborioso.

7.3.2 Precondicionador a Priori

Los precondicionadores a priori son más particulares y dependen para suconstrucción del conocimiento del proceso de discretización de la ecuacióndife-rencial parcial, dicho de otro modo dependen más del proceso de con-strucción de la matriz A que de la estructura de la misma.Estos precondicionadores usualmente requieren de más trabajo que los del

tipo algebraico discutidos anteriormente, sin embargo permiten el desarrollode métodos de solución especializados más rápidos que los primeros.Veremos algunos de los métodos más usados relacionados con la solución

de ecuaciones diferenciales parciales en general y luego nos concentraremosen el caso de los métodos relacionados directamente con descomposición dedominio.En estos casos el precondicionador C no necesariamente toma la forma

simple de una matriz, sino que debe ser visto como un operador en general.De aquí que C podría representar al operador correspondiente a una versiónsimpli�cada del problema con valores en la frontera que deseamos resolver.Por ejemplo se podría emplear en calidad de precondicionador al oper-

ador original del problema con coe�cientes variables tomado con coe�cientes



cons-tantes. En el caso del operador de Laplace se podría tomar como pre-condicionador a su discretización en diferencias �nitas centrales.Por lo general estos métodos alcanzan una mayor e�ciencia y una conver-

gencia óptima, es decir, para ese problema en particular el precondicionadorencontrado será el mejor precondicionador existente, llegando a disminuir elnúmero de iteraciones hasta en un orden de magnitud. Donde muchos deellos pueden ser paralelizados de forma efectiva.

El Uso de la Parte Simétrica como Precondicionador La aplicacióndel método del Gradiente Conjugado en sistemas no auto-adjuntos requieredel almacenamiento de los vectores previamente calculados. Si se usa comoprecondicionador la parte simétrica

(A+ AT )=2 (7.46)

de la matriz de coe�cientes A, entonces no se requiere de éste almacenamientoextra en algunos casos, resolver el sistema de la parte simétrica de la matrizA puede resultar más complicado que resolver el sistema completo.

El Uso de Métodos Directos Rápidos como PrecondicionadoresEn muchas aplicaciones la matriz de coe�cientes A es simétrica y positivode�nida, debido a que proviene de un operador diferencial auto-adjunto yacotado. Esto implica que se cumple la siguiente relación para cualquiermatriz B obtenida de una ecuación diferencial similar

c1 �xTAx

xTBx� c2 8x (7.47)

donde c1 y c2 no dependen del tamaño de la matriz. La importancia de estapropiedad es que del uso de B como precondicionador resulta un métodoiterativo cuyo número de iteraciones no depende del tamaño de la matriz.La elección más común para construir el precondicionador B es a partir

de la ecuación diferencial parcial separable. El sistema resultante con lamatriz B puede ser resuelto usando uno de los métodos directos de soluciónrápida, como pueden ser por ejemplo los basados en la transformada rápidade Fourier.Como una ilustración simple del presente caso obtenemos que cualquier

ope-rador elíptico puede ser precondicionado con el operador de Poisson.



Construcción de Precondicionadores para Problemas Elípticos Em-pleando DDM Existen una amplia gama de este tipo de precondicionadores,pero son especí�cos al método de descomposición de dominio usado, para elmétodo de subestructuración, los más importantes se derivan de la matrizde rigidez y por el método de proyecciones, en este trabajo se detallan en laimplementación del método DVS.

De�nición 89 Un método iterativo para la solución de un sistema lineal esllamado óptimo, si la razón de convergencia a la solución exacta es indepen-diente del tamaño del sistema lineal.

De�nición 90 Un método para la solución del sistema lineal generado pormétodos de descomposición de dominio es llamado escalable, si la razón deconvergencia no se deteriora cuando el número de subdominios crece.

La gran ventaja de los métodos de descomposición de dominio precondi-cionados entre los que destacan a FETI-DP y BDDC y por ende DVS esque estos métodos pueden ser óptimos y escalables según el tipo de precondi-cionador a priori que se use en ellos.

7.4 Estructura Óptima de las Matrices en su Imple-mentación Computacional

Una parte fundamental de la implementación computacional de los métodosnuméricos de resolución de sistemas algebraicos, es utilizar una forma óptimade almacenar, recuperar y operar las matrices, tal que, facilite los cálculosque involucra la resolución de grandes sistemas de ecuaciones lineales cuyaimplementación puede ser secuencial o paralela (véase [25]).El sistema lineal puede ser expresado en la forma matricial Au = f ,

donde la matriz A � que puede ser real o virtual� es de tamaño n� n conbanda b, pero el número total de datos almacenados en ella es a los másn � b números de doble precisión, en el caso de ser simétrica la matriz, elnúmero de datos almacenados es menor a (n � b)=2. Además si el problemaque la originó es de coe�cientes constantes el número de valores almacenadosse reduce drásticamente a sólo el tamaño de la banda b.En el caso de que el método para la resolución del sistema lineal a usar

sea del tipo Factorización LU o Cholesky, la estructura de la matriz cambia,ampliándose el tamaño de la banda de b a 2 � b+ 1 en la factorización, en el



caso de usar métodos iterativos tipo CGM o GMRES la matriz se mantieneintacta con una banda b.Para la resolución del sistema lineal virtual asociada a los métodos de

des-composición de dominio, la operación básica que se realiza de manerareiterada, es la multiplicación de una matriz por un vector v = Cu; la cuales necesario realizar de la forma más e�ciente posible.Un factor determinante en la implementación computacional, para que

esta resulte e�ciente, es la forma de almacenar, recuperar y realizar las opera-ciones que involucren matrices y vectores, de tal forma que la multiplicaciónse realice en la menor cantidad de operaciones y que los valores necesariospara realizar dichas operaciones queden en la medida de lo posible contiguospara ser almacenados en el Cache4 del procesador.Dado que la multiplicación de una matriz C por un vector u; dejando el

resultado en v se realiza mediante el algoritmo

for (i=0; i<ren; i++){

s = 0.0;for (j=0; j < col; j++){

s += C[i][j]*u[j];}v[i] = s;

}

Para lograr una e�ciente implementación del algoritmo anterior, es nece-sario que el gran volumen de datos desplazados de la memoria al Cachey viceversa sea mínimo. Por ello, los datos se deben agrupar para que laoperación más usada � en este caso multiplicación matriz por vector� se

4Nótese que la velocidad de acceso a la memoria principal (RAM) es relativamentelenta con respecto al Cache, este generalmente está dividido en sub-Caches L1 � de menortamaño y el más rápido� , L2 y hasta L3 � el más lento y de mayor tamaño� los cualesson de tamaño muy reducido con respecto a la RAM.Por ello, cada vez que las unidades funcionales de la Unidad de Aritmética y Lógica

requieren un conjunto de datos para implementar una determinada operación en los reg-istros, solicitan los datos primeramente a los Caches, estos consumen diversa cantidad deciclos de reloj para entregar el dato si lo tienen � pero siempre el tiempo es menor quesolicitarle el dato a la memoria principal� ; en caso de no tenerlo, se solicitan a la RAMpara ser cargados a los caches y poder implementar la operación solicitada.



realice con la menor solicitud de datos a la memoria principal, si los datosusados � renglón de la matriz� se ponen contiguos minimizará los accesosa la memoria principal, pues es más probable que estos estarán contiguos enel Cache al momento de realizar la multiplicación.Por ejemplo, en el caso de matrices bandadas de tamaño de banda b, el

algoritmo anterior se simpli�ca a


s= 0.0;for (k=0; k < ban; k++){

if ((Ind[k] + i) >= 0 && (Ind[k]+i) < ren)s += Dat[i][k]*u[Ind[k]+i];

}v[i]=s;

}

Si, la solicitud de memoria para Dat[i] se hace de tal forma que los datosdel renglón estén continuos � son b números de punto �otante� , esto min-imizará los accesos a la memoria principal en cada una de las operacionesinvolucradas en el producto, como se explica en las siguientes secciones.

7.4.1 Matrices Bandadas

En el caso de las matrices bandadas de banda b � sin pérdida de generalidady para propósitos de ejempli�cación se supone pentadiagonal� típicamentetiene la siguiente forma

A =

26666666666664

a1 b1 c1d2 a2 b2 c2

d3 a3 b3 c3d4 a4 b4 c4

e5 d5 a5 b5 c5e6 d6 a6 b6

e7 d7 a7 b7e8 d8 a8 b8

e9 d9 a9

37777777777775(7.48)



la cual puede ser almacenada usando el algoritmo (véase [25]) CompressedDiagonal Storage (CDS), optimizado para ser usado en C++, para su al-macenamiento y posterior recuperación. Para este ejemplo en particular, sehará uso de un vector de índices

Ind = [�5;�1; 0;+1;+5] (7.49)

y los datos serán almacenados usando la estructura

Dat =

26666666666664

0 0 a1 b1 c10 d2 a2 b2 c20 d3 a3 b3 c30 d4 a4 b4 c4e5 d5 a5 b5 c5e6 d6 a6 b6 0e7 d7 a7 b7 0e8 d8 a8 b8 0e9 d9 a9 0 0

37777777777775(7.50)

de tal forma que la matriz A puede ser reconstruida de forma e�ciente. Paraobtener el valor Ai;j; calculo ind = j � i; si el valor ind esta en la lista deíndices Ind � supóngase en la columna k� , entonces Ai;j = Datik; en otrocaso Ai;j = 0:

Casos Particulares de la Matriz Bandada A Básicamente dos casosparticulares surgen en el tratamiento de ecuaciones diferenciales parciales: Elprimer caso es cuando el operador diferencial parcial es simétrico y el otro,en el que los coe�cientes del operador sean constantes.Para el primer caso, al ser la matriz simétrica, sólo es necesario almacenar

la parte con índices mayores o iguales a cero, de tal forma que se buscara elíndice que satisfaga ind = jj � ij ; reduciendo el tamaño de la banda a b=2en la matriz A:Para el segundo caso, al tener coe�cientes constantes el operador difer-

encial, los valores de los renglones dentro de cada columna de la matriz soniguales, y sólo es necesario almacenarlos una sola vez, reduciendo drástica-mente el tamaño de la matriz de datos.

Implementación de Matrices Bandadas Orientada a Objetos enC++ Una forma de implementar la matriz bandada A de banda b en C++es mediante:



// Creaciondouble **Dat;Dat = new double*[ren];for (i = 0; i < ren; i++) Dat[i] = new double[b];int *Ind;Ind = new int[b];// Inicializacionfor (i = 0; i < ren; i++)

for (j = 0; j < b; j++) Dat[i][j] = 0.0;for (i = 0; i < b; i++) Ind[i] = 0;

7.4.2 Matrices Dispersas

Las matrices dispersas de a lo más b valores distintos por renglón � sin pér-dida de generalidad y para propósitos de ejempli�cación se supone b = 3�que surgen en métodos de descomposición de dominio para almacenar algu-nas matrices, típicamente tienen la siguiente forma

A =

26666666666664

a1 b1 c1a2 b2 c2

a3 b3 c3a4 b4

a5 b5 c5a6 b6 c6

a7 b7 c7a8 b8 c8

a9 b9

37777777777775(7.51)

la cual puede ser almacenada usando el algoritmo (véase [25]) Jagged Diag-onal Storage (JDC), optimizado para ser usado en C++. Para este ejemplo



en particular, se hará uso de una matriz de índices

Ind =

26666666666664

1 6 92 5 85 8 91 4 03 6 91 2 37 8 94 7 87 8 0

37777777777775(7.52)

y los datos serán almacenados usando la estructura

Dat =

26666666666664

a1 b1 c1a2 b2 c2a3 b3 c3a4 b4 0a5 b5 c5a6 b6 c6a7 b7 c7a8 b8 c8a9 b9 0

37777777777775(7.53)

de tal forma que la matriz A puede ser reconstruida de forma e�ciente.Para obtener el obtener el valor Ai;j; busco el valor j en la lista de índicesInd dentro del renglón i; si lo encuentro en la posición k; entonces Ai;j =Datik; en otro caso Ai;j = 0:

Casos Particulares de la Matriz Dispersa A Si la matriz A, que alser almacenada, se observa que existen a lo más r diferentes renglones convalores distintos de los n con que cuenta la matriz y si r << n, entonces esposible sólo guardar los r renglones distintos y llevar un arreglo que contengala referencia al renglón almacenado.

Implementación de Matrices Dispersas Orientada a Objetos enC++ Una forma de implementar la matriz bandada A de banda b en C++es mediante:



// Creacióndouble **Dat;Dat = new double*[ren];for (i = 0; i < ren; i++) Dat[i] = new double[b];int **Ind;Ind = new int*[ren];for (i = 0; i < ren; i++) Ind[i] = new int[b];// Inicializaciónfor (i = 0; i < ren; i++)

for (j = 0; j < b; j++) Dat[i][j] = 0.0, Ind[i][j] = -1;

7.4.3 Multiplicación Matriz-Vector

Los métodos de descomposición de dominio requieren por un lado la res-olución de al menos un sistema lineal y por el otro lado requieren realizarla operación de multiplicación de matriz por vector, i.e. Cu de la formamás e�ciente posible, por ello los datos se almacenan de tal forma que lamultiplicación se realice en la menor cantidad de operaciones.Dado que la multiplicación de una matriz C por un vector u; dejando el

resultado en v se realiza mediante el algoritmo:


s = 0.0;for (j=0; j < col; j++){

s += C[i][j]*u[j];}v[i] = s;

}

En el caso de matrices bandadas, se simpli�ca a:


s= 0.0;for (k=0; k < ban; k++){



if ((Ind[k] + i) >= 0 && (Ind[k]+i) < ren)s += Dat[i][k]*u[Ind[k]+i];

}v[i]=s;

}

De forma similar, en el caso de matrices dispersas, se simpli�ca a:


s = 0.0, k = 0while (Ind[i][k] != -1){

s += Dat[i][k]*u[Ind[i][k]];k++;if (k >= b) break;

}v[i] = s;

}

De esta forma, al tomar en cuenta la operación de multiplicación de unamatriz por un vector, donde el renglón de la matriz involucrado en la mul-tiplicación queda generalmente en una región contigua del Cache, se haceóptima la operación de multiplicación de matriz por vector.



8 Apéndice C: Integración Numérica

En análisis numérico, la integración numérica constituye una amplia gamade algoritmos para calcular el valor numérico de una integral de�nida y, porextensión, el término se usa a veces para describir algoritmos numéricos pararesolver ecuaciones diferenciales. El término cuadratura numérica (a menudoabreviado a cuadratura) es más o menos sinónimo de integración numérica,especialmente si se aplica a integrales de una dimensión a pesar de que parael caso de dos o más dimensiones (integral múltiple) también se utiliza.El problema básico considerado por la integración numérica es calcular

una solución aproximada a la integral de�nida:

bZa

f(x)dx

Este problema también puede ser enunciado como un problema de valorinicial para una ecuación diferencial ordinaria, como sigue:

y0(x) = f(x); y(a) = 0

Encontrar y(b) es equivalente a calcular la integral. Los métodos desar-rollados para ecuaciones diferenciales ordinarias, como el método de Runge-Kutta, pueden ser aplicados al problema reformulado.

Razones para la integración numérica Hay varias razones para llevara cabo la integración numérica. La principal puede ser la imposibilidad derealizar la integración de forma analítica. Es decir, integrales que requeriríande un gran conocimiento y manejo de matemática avanzada pueden ser re-sueltas de una manera más sencilla mediante métodos numéricos. Inclusoexisten funciones integrables pero cuya primitiva no puede ser calculada,siendo la integración numérica de vital importancia. La solución analíticade una integral nos arrojaría una solución exacta, mientras que la soluciónnumérica nos daría una solución aproximada. El error de la aproximación,que depende del método que se utilice y de qué tan �no sea, puede llegar aser tan pequeño que es posible obtener un resultado idéntico a la soluciónanalítica en las primeras cifras decimales.



Cuadratura de Gauss En análisis numérico un método de cuadraturaes una aproximación de una integral de�nida de una función. Una cuadraturade Gauss n, es una cuadratura que selecciona los puntos de la evaluación demanera óptima y no en una forma igualmente espaciada, construida paradar el resultado de un polinomio de grado 2n� 1 o menos, elegibles para lospuntos xi y los coe�cientes wi para i = 1; :::; n. El dominio de tal cuadraturapor regla es de [�1; 1] dada por:

1Z�1

f(x)dx �nXi=1

wif(xi)

al cuadratura dará resultados precisos solo si f(x) es aproximado porun polinomio dentro del rango [�1; 1]. Si la función puede ser escrita comof(x) = W (x)g(x), donde g(x) es un polinomio aproximado y W (x) es cono-cido.

1Z�1

f(x)dx =

1Z�1

W (x)g(x)dx �nXi=1

wig(xi)

Formula para calcular wi también conocida como el método de Gauss-Legendre, los coe�cientes están dados por

wi =2

(1� x2i ) [P0n(xi)]

2

donde Pn son los polinomios de Legendre en el intervalo [�1; 1]:

Polinomios de Legendre las funciones de Legendre son las solucionesde las ecuaciones diferenciales de Legendre:

d

dx

��1� x2

� d

dxPn (x)

�+ n (n+ 1)Pn (x) = 0

la ecuación diferencial de Legendre puede resolverse usando el método de se-ries de potencias. En general la serie de potencias obtenida converge cuandojxj < 1 y en el caso particular cuando n sea un entero no negativo las solu-ciones forman una familia de polinomios ortogonales llamados polinomios de



Legendre. Cada polinomio de Legendre Pn (x) es un polinomio de grado n.Este se puede ser expresado usando la fórmula:

Pn (x) =1

2nn!

dn

dxn��x2 � 1

�n�desarrollando esta fórmula, se obtiene la siguiente expresión para los poli-nomios de Legendre

Pn (x) =1

2n

nXk=0

�n

k

�2(x+ 1)n�k (x� 1)k

esta última expresión es útil en caso de querer elaborar un programa quegra�que los polinomios de Legendre.Los primeros polinomios de Legendre se muestran en la siguinete tabla:

n Pn (x)0 11 x2 1

2(3x2 � 1)

3 12(5x3 � 3x)

4 18(35x4 � 30x2 + 3)

Así, la lista de coe�cientes de wi y puntos xi para n = 1; :::; 5 esta dadaen la tabla siguiente:

Número de puntos Puntos xi Pesos wi1 0 2

2 �q

13

1

30

�q

35

8959

4�r�

3� 2�q

65

��=7

�r�

3 + 2�q

65

��=7

18+p30

3618�

p30

36

5

0

�r5� 2

�q107

��r5 + 2

�q107

�128225

322+13p70

900322�13

p70

900



Cambio de IntervalosLos cambios de intervalos van de [�1; 1] después de aplicar la cuadratura

de Gauss:bZ

a

f(x)dx =b� a

2

1Z�1

f

�b� a

2x+

a+ b

2

�dx

Después de aplicar la cuadratura la aproximación es:

bZa

f(x)dx � b� a

2

nXi=1

wif

�b� a

2xi +

a+ b

2

�

Ejemplo de Uso La integral

5Z1

(x3 + 2x2)dx = 238:66667

si se resuelve por cuadratura usando n = 2; entonces tenemos

b� a

2

1Z�1

f

�b� a

2x+

a+ b

2

�dx =

5� 12

1Z�1

f

�5� 12

x+5 + 1

2

�dx =

2

1Z�1

f (2x+ 3) dx � 22Xi=1

wif (2x+ 3) =

2 (w1f (2x1 + 3) + w2f (2x2 + 3)) = 238:6667

Integrando en Dos o Más Dimensiones es posible hacer integracionesen dos o más dimensiones y sin perdida de generalidad, para dos dimensionestenemos:Los cambios de intervalos van de [�1; 1]� [�1; 1] después de aplicar la

cuadratura de Gauss:

bZa

dZc

f(x; y)dxdy =b� a

2

d� c

2

1Z�1

1Z�1

f

�b� a

2x+

a+ b

2;d� c

2x+

c+ d

2

�dxdy



Después de aplicar la cuadratura la aproximación es:

bZa

dZc

f(x; y)dxdy � b� a

2

d� c

2

nXi=1

nXj=1

wiwjf

�b� a

2xi +

a+ b

2;d� c

2yj +

c+ d

2

�

De esta forma se puede extender la integración por cuadratura Gaussianapara cualquier dimensión que se necesite, esto queda plasmado en el siguienteprograma en C:

#include<stdio.h>#include<math.h>// Arreglo para las Xistatic double PUNTOS[][10] = {{0.577350269189625764509148780502,-0.577350269189625764509148780502,0.0,0.0,0.0,0.0,0.0,0.0,0.0,0.0},{0.774596669241483377035853079956,0.0,-0.774596669241483377035853079956,0.0,0.0,0.0,0.0,0.0,0.0,0.0},{0.861136311594052575223946488893,0.339981043584856264802665759103,-0.339981043584856264802665759103,-0.861136311594052575223946488893,0.0,0.0,0.0,0.0,0.0,0.0},{0.906179845938663992797626878299,0.538469310105683091036314420700,0.0,-0.538469310105683091036314420700,-0.906179845938663992797626878299,0.0,0.0,0.0,0.0,0.0},{0.932469514203152027812301554494,0.661209386466264513661399595020,0.238619186083196908630501721681,-0.238619186083196908630501721681,-0.661209386466264513661399595020,-0.932469514203152027812301554494,0.0,0.0,0.0,0.0},{0.949107912342758524526189684048,0.741531185599394439863864773281,0.405845151377397166906606412077,0.0,-0.405845151377397166906606412077,-0.741531185599394439863864773281,-0.949107912342758524526189684048,0.0,0.0,0.0},{0.960289856497536231683560868569,0.796666477413626739591553936476,0.525532409916328985817739049189,0.183434642495649804939476142360,-0.183434642495649804939476142360,-0.525532409916328985817739049189,-0.796666477413626739591553936476,-0.960289856497536231683560868569,0.0,0.0},{0.968160239507626089835576202904,0.836031107326635794299429788070,



0.613371432700590397308702039341,0.324253423403808929038538014643,0.0,-0.324253423403808929038538014643,-0.613371432700590397308702039341,-0.836031107326635794299429788070,-0.968160239507626089835576202904,0.0},{0.973906528517171720077964012084,0.865063366688984510732096688423,0.679409568299024406234327365115,0.433395394129247190799265943166,0.148874338981631210884626001130,-0.148874338981631210884626001130,-0.433395394129247190799265943166,-0.679409568299024406234327365115,-0.865063366688984510732096688423,-0.973906528517171720077964012084}};// Arreglo para los pesosstatic double PESOS[][10] = {{1.0,1.0,0.0,0.0,0.0,0.0,0.0,0.0,0.0,0.0},{0.555555555555555555555555555556,0.888888888888888888888888888889,0.555555555555555555555555555556,0.0,0.0,0.0,0.0,0.0,0.0,0.0},{0.347854845137453857373063949222,0.652145154862546142626936050778,0.652145154862546142626936050778,0.347854845137453857373063949222,0.0,0.0,0.0,0.0,0.0,0.0},{0.236926885056189087514264040720,0.478628670499366468041291514836,0.568888888888888888888888888889,0.478628670499366468041291514836,0.236926885056189087514264040720,0.0,0.0,0.0,0.0,0.0},{0.171324492379170345040296142173,0.360761573048138607569833513838,0.467913934572691047389870343990,0.467913934572691047389870343990,0.360761573048138607569833513838,0.171324492379170345040296142173,0.0,0.0,0.0,0.0},{0.129484966168869693270611432679,0.279705391489276667901467771424,0.381830050505118944950369775489,0.417959183673469387755102040816,0.381830050505118944950369775489,0.279705391489276667901467771424,0.129484966168869693270611432679,0.0,0.0,0.0},{0.101228536290376259152531354310,0.222381034453374470544355994426,0.313706645877887287337962201987,0.36268378337836198297,0.362683783378361982965150449277,0.313706645877887287337962201987,0.222381034453374470544355994426,0.101228536290376259152531354310,0.0,0.0},{0.0812743883615744119718921581105,0.180648160694857404058472031243,0.260610696402935462318742869419,0.312347077040002840068630406584,0.330239355001259763164525069287,0.312347077040002840068630406584,0.260610696402935462318742869419,0.180648160694857404058472031243,0.0812743883615744119718921581105,0.0},



{0.0666713443086881375935688098933,0.149451349150580593145776339658,0.219086362515982043995534934228,0.269266719309996355091226921569,0.295524224714752870173892994651,0.295524224714752870173892994651,0.269266719309996355091226921569,0.219086362515982043995534934228,0.149451349150580593145776339658,0.0666713443086881375935688098933}};// Funcion Principal ....int main(void){int k, P_I = 8;int j, i;double x = 0.0;

// Integral en una dimension f(x)= x*x - 3x + 7for (k = 0; k < P_I; k++){x += PESOS[P_I-2][k] * (PUNTOS[P_I-2][k] *PUNTOS[P_I-2][k] + 3.0 * PUNTOS[P_I-2][k] + 7.0);}printf("El resultado es %2.18lf, debe de ser 14.666667nn",x);

// Integral en una dimension f(x)= sin(x)x = 0.0;for (k = 0; k < P_I; k++){x += PESOS[P_I-2][k] * (sinl(PUNTOS[P_I-2][k] ));}printf("El resultado es %2.18lf, debe de ser 0.0nn",x);

// Integral en dos dimensiones f(x,y)= (x*x*x - 1)(y - 1)(y - 1)x = 0.0;for (i = 0; i < P_I; i++){for (j = 0; j < P_I; j++){x += PESOS[P_I-2][i]*PESOS[P_I-2][j]*( (PUNTOS[P_I-2][j]*PUNTOS[P_I-2][j]*PUNTOS[P_I-2][j]-1.0)*((PUNTOS[P_I-2][i]-1.0)*(PUNTOS[P_I-2][i]-1.0)) );



}}printf("El resultado es %2.18lf, debe de ser -5.333333nn",x);

// Integral en tres dimensiones f(x,y,z)=(x*x)(y*y - 1)(z*z*z*z - 2)x = 0.0;for (i = 0; i < P_I; i++){for (j = 0; j < P_I; j++){for (k = 0; k < P_I; k++){x += PESOS[P_I-2][i]*PESOS[P_I-2][j]*PESOS[P_I-2][k]*((PUNTOS[P_I-2][k]*PUNTOS[P_I-2][k])*(PUNTOS[P_I-2][j]*PUNTOS[P_I-2][j]-1.0)*(PUNTOS[P_I-2][i]*PUNTOS[P_I-2][i]*PUNTOS[P_I-2][i]*PUNTOS[P_I-2][i]-2.0) );}}}

printf("El resultado es %2.18lf, debe de ser 3.2nn",x);getchar();}



9 Bibliografía

Este texto es una recopilación demúltiples fuentes, nues-tra aportación � si es que podemos llamarla así� esplasmarlo en este documento, en el que tratamos de darcoherencia a nuestra visión de los temas desarrollados.

En la realización de este texto se han revisado � enla mayoría de los casos indicamos la referencia, peropudimos omitir varias de ellas, por lo cual pedimos unadisculpa� múltiples páginas Web, artículos técnicos, li-bros, entre otros materiales bibliográ�cos, los más repre-sentativos y de libre acceso los ponemos a su disposiciónen la siguiente liga:

http://mmc.geo�sica.unam.mx/acl/Herramientas/

Referencias

[1] A. Quarteroni, A. Valli; Domain Decomposition Methods for Partial Dif-ferential Equations. Clarendon Press Oxford 1999.

[2] A. Toselli, O. Widlund; Domain Decomposition Methods - Algorithmsand Theory. Springer, 2005. 109

[3] B. D. Reddy; Introductory Functional Analysis - With Applications toBoundary Value Problems and Finite Elements. Springer 1991. 25, 39,50, 58, 85, 87, 88

[4] B. F. Smith, P. E. Bj;rstad, W. D. Gropp; Domain Decomposition,Parallel Multilevel Methods for Elliptic Partial Di¤erential Equations.Cambridge University Press, 1996.

[5] B. I. Wohlmuth; Discretization Methods and Iterative Solvers Based onDomain Decomposition. Springer, 2003. 99


http://mmc.geofisica.unam.mx/acl/Herramientas/


[6] I. Foster; Designing and Building Parallel Programs. Addison-WesleyInc., Argonne National Laboratory, and the NSF, 2004.

[7] G. Herrera; Análisis de Alternativas al Método de Gradiente Conjugadopara Matrices no Simétricas. Tesis de Licenciatura, Facultad de Ciencias,UNAM, 1989. 106

[8] I. Herrera, M. Díaz;Modelación Matemática de Sistemas Terrestres (No-tas de Curso en Preparación). Instituto de Geofísica, (UNAM). 13, 17

[9] I. Herrera;Un Análisis del Método de Gradiente Conjugado. Comunica-ciones Técnicas del Instituto de Geofísica, UNAM; Serie Investigación,No. 7, 1988. 106

[10] I. Herrera; Método de Subestructuración (Notas de Curso enPreparación). Instituto de Geofísica, (UNAM).

[11] I. Herrera y R. Yates; Uni�eD Multipliers-Free Theory of Dual-PrimalDomain Decomposition Methods, ....

[12] J. II. Bramble, J. E. Pasciak and A. II Schatz. The Construction of Pre-conditioners for Elliptic Problems by Substructuring. I. Math. Comput.,47, 103-134,1986.

[13] J. L. Lions & E. Magenes; Non-Homogeneous Bonduary Value Prob-lems and Applications Vol. I, Springer-Verlag Berlin Heidelber New York1972. 25, 39, 50, 58, 87, 88

[14] K. Hutter & K. Jöhnk; Continuum Methods of Physical Modeling.Springer-Verlag Berlin Heidelber New York 2004. 17

[15] L. F. Pavarino, A. Toselli; Recent Developments in Domain Decomposi-tion Methods. Springer, 2003. 99

[16] M.B. Allen III, I. Herrera &G. F. Pinder; Numerical Modeling in ScienceAnd Engineering. John Wiley & Sons, Inc . 1988. 9, 17, 59, 93, 95, 98,99

[17] M. Diaz; Desarrollo del Método de Colocación Tre¤tz-Herrera Aplicacióna Problemas de Transporte en las Geociencias. Tesis Doctoral, Institutode Geofísica, UNAM, 2001.



[18] M. Diaz, I. Herrera; Desarrollo de Precondicionadores para los Proced-imientos de Descomposición de Dominio. Unidad Teórica C, Posgradode Ciencias de la Tierra, 22 pags, 1997. 109

[19] P.G. Ciarlet, J. L. Lions; Handbook of Numerical Analysis, Vol. II.North-Holland, 1991. 25, 87, 88

[20] R. L. Burden y J. D. Faires; Análisis Numérico. Math Learning, 7 ed.2004. 93

[21] S. Friedberg, A. Insel, and L. Spence; Linear Algebra, 4th Edition, Pren-tice Hall, Inc. 2003. 84, 93

[22] W. Gropp, E. Lusk, A. Skjellem, Using MPI, Portable Parallel Program-ming Whit the Message Passing Interface. Scienti�c and EngineeringComputation Series, 2ed, 1999.

[23] W. Rudin; Principles of Mathematical Analysis. McGraw-Hill Interna-tional Editions, 1976. 85

[24] X. O. Olivella, C. A. de Sacribar; Mecánica de Medios Continuos paraIngenieros. Ediciones UPC, 2000. 17

[25] Y. Saad; Iterative Methods for Sparse Linear Systems. SIAM, 2 ed. 2000.95, 98, 100, 117, 120, 121

[26] Y. Skiba; Métodos y Esquemas Numéricos, un Análisis Computacional.UNAM, 2005. 93, 99, 102

[27] C.T. Keller, Iterative Methods for Linear and Nonlinear Equations, So-ciete for Industrial and Applied Mathematics, 1995. 100, 102

[28] F. Brezzi y M. Fortin; Mixed and Hibrid Finite Element Methods,Springer, 1991.

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