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INDICE

MAPA DE KARNAUGH ....................................................................................................... 3

DEFINICION ......................................................................................................................... 3

EJEMPLO: ............................................................................................................................. 5

TABLA DE VERDAD ........................................................................................................... 6

SIMPLIFICACIÓN POR MAPA DE KARNAUGH ........................................................... 13

UTILIZACION DE SIMULADOR LOGICO PARA VERIFICAR CIRCUITOS ............... 17

BIBLIOGRAFIA .................................................................................................................. 20

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MAPA DE KARNAUGH

DEFINICION

Un mapa de Karnaugh es un diagrama utilizado para la simplificación de funciones

algebraicasBooleanas. El mapa de Karnaugh fue inventado en 1950 por Maurice

Karnaugh, un físico y matemático de loslaboratorios Bell.

Los mapas de Karnaugh reducen la necesidad de hacer cálculos extensos para la

simplificación de expresiones booleanas, aprovechando la capacidad del cerebro

humano para el reconocimiento de patrones y otras formas de expresión analítica,

permitiendo así identificar y eliminar condiciones muy inmensas.

El mapa de Karnaugh consiste en una representación bidimensional de la tabla de

verdad de la función a simplificar. Puesto que la tabla de verdad de una función de N

variables posee 2N filas, el mapa K correspondiente debe poseer también 2N cuadrados.

Las variables de la expresión son ordenadas en función de su peso y siguiendo el código

Gray, de manera que sólo una de las variables varía entre celdas adyacentes. La

transferencia de los términos de la tabla de verdad al mapa de Karnaugh se realiza de

forma directa, albergando un 0 ó un 1, dependiendo del valor que toma la función en

cada fila. Las tablas de Karnaugh se pueden utilizar para funciones de hasta 6 variables.

Los Mapas de Karnaugh son una herramienta muy utilizada para la simplificación

de circuitos lógicos.

Cuando se tiene una función lógica con su tabla de verdad y se desea implementar esa

función de la manera más económica posible se utiliza este método.

Ejemplo: Se tiene la siguientetabla de verdad para tres variables.

Se desarrolla la función lógica basada en ella. (primera forma canónica). Ver que en la

fórmula se incluyen solamente las variables (A, B, C) cuando F cuando es igual a "1".

Si A en la tabla de verdad es "0" se pone A, si B = "1" se pone B, Si C = "0" se pone C,

etc.

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F = A B C + A B C + A BC + A B C + A B C + A B C

Una vez obtenida la función lógica, se implementa el mapa de Karnaugh.

Este mapa tiene 8 casillas que corresponden a 2n, donde n = 3 (número de variables (A,

B, C))

La primera fila corresponde a A = 0

La segunda fila corresponde a A = 1

La primera columna corresponde a BC = 00 (B=0 y C=0)

La segunda columna corresponde a BC = 01 (B=0 y C=1)

La tercera columna corresponde a BC = 11 (B=1 y C=1)

La cuarta columna corresponde a BC = 10 (B=1 y C=0)

En el mapa de Karnaugh se han puesto "1" en las casillas que corresponden a los valores

de F = "1" en la tabla de verdad. Tomar en cuenta la numeración de las filas de la tabla

de verdad y la numeración de las casillas en el mapa de Karnaugh. Para proceder con la

simplificación, se crean grupos de "1"s que tengan 1, 2, 4, 8, 16, etc. (sólo potencias de

2). Los "1" deben estar adyacentes (no en diagonal) y mientras más "1"s tenga el grupo,

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mejor. La función mejor simplificada es aquella que tiene el menor número de grupos

con el mayor número de "1"s en cada grupo.

Se ve del gráfico que hay dos grupos cada uno de cuatro "1"s, (se permite compartir

casillas entre los grupos). La nueva expresión de la función boolena simplificada se

deduce del mapa de Karnaugh.

- Para el primer grupo (rojo): la simplificación da B (los "1"s de la tercera y cuarta

columna) corresponden a B sin negar)

- Para el segundo grupo (azul): la simplificación da A (los "1"s están en la fila inferior

que corresponde a A sin negar)

Entonces el resultado es F = B + A ó F = A + B

EJEMPLO:

Una tabla de verdad como la de la derecha da la siguiente

función booleana:

F = ABC + AB C + A B C + A B C

Se ve claramente que la función es un reflejo del contenido de la tabla de verdad cuando

F = "1"

Con esta ecuación se crea el mapa de Karnaugh y se escogen los grupos. Se lograron

hacer 3 grupos de dos "1"s cada uno.

Se puede ver que no es posible hacer grupos de 3, porque 3 no es potencia de 2. Se

observa que hay una casilla que es compartida por los tres grupos.

La función simplificada es:

F = AB + A C + B C

Grupo en azul: AB, grupo marrón:AC, grupo verde:BC

Ejemplo

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Dada la siguiente función algebraica Booleana representada como el sumatorio de

sus minitérminos, y con las variables Booleanas , , , , la función se puede

representar con dos notaciones distintas:

•

•

TABLA DE VERDAD

Utilizando los minitérminos definidos, se elabora la tabla de verdad:

#

0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 2 0 0 1 0 0 3 0 0 1 1 0 4 0 1 0 0 0 5 0 1 0 1 0 6 0 1 1 0 1 7 0 1 1 1 0 8 1 0 0 0 1 9 1 0 0 1 1 10 1 0 1 0 1 11 1 0 1 1 1 12 1 1 0 0 1 13 1 1 0 1 1 14 1 1 1 0 1 15 1 1 1 1 0

Mapa de Karnaugh

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Las variables de entrada pueden combinarse de 16 formas diferentes, por lo que el mapa

de Karnaugh tendrá 16 celdas, distribuidas en una cuadricula de 4 × 4.

La combinación de dígitos binarios en el mapa representa el resultado de la función por

cada combinación de entradas. Por ejemplo, la celda en la esquina superior izquierda del

mapa es 0, porque el resultado de la función es ƒ = 0 cuando A = 0, B = 0, C = 0, D = 0.

De igual manera, la esquina inferior derecha es 1 porque el resultado de la función

es ƒ = 1 cuando A = 1, B = 0, C = 1, D = 0.

Una vez construido el mapa de Karnaugh, la siguiente tarea es la de seleccionar

conjuntos de términos de manera que se obtenga el menor número de términos

posible. Estos términos se seleccionan formando grupos de rectángulos cuyas areas

sean potencia de 2 (ej. 1, 2, 4, 8, ...) tratando de agrupar el mayor número de términos

posible.

Qué términos seleccionar va dependiendo de cómo se quiera realizar la simplificación,

puesto que esta puede realizarse por minitérminos o por maxitérminos.

El mapa de Karnaugh es un método gráfico que se utiliza para simplificar una ecuación

lógica para convertir una tabla de verdad a su circuito lógico correspondiente en un

proceso simple y ordenado. Aunque un mapa de Karnaugh (que de aquí en adelante se

abreviará como mapa K) se puede utilizar para resolver problemas con cualquier

numero de variables de entrada, su utilidad practica se limita a seis variables. El

siguiente análisis se limitara a problemas de hasta cuatro entradas , ya que los

problemas con cinco y seis entradas son demasiado complicados y se resuelven mejor

con un programa de computadora.

Formato del mapa de Kamaugh El mapa K, al igual que una tabla de verdad, es un

medio para demostrar la relaci6n entre las entradas l6gicas y la salida que se busca. La

figura +-11 da tres ejemplos de mapas K para dos, tres y cuatro variables, junto con las

tablas de verdad correspondientes. Estos ejemplos ilustran varios puntos importantes:

1. La tabla de verdad da el valor de la salida X para cada combinaci6n de valores de

entrada. El mapa K proporciona la misma informaci6n en un formato diferente. Cada

caso en la tabla de verdad corresponde a un cuadrado en el mapa. Por ejemplo, en la

figura 4-11 (a),

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La condición A = 0, B = 0 en la tabla de verdad corresponde al cuadrado A' B' en el

mapa K. Ya que la tabla de verdad muestra X = 1 para este caso, se coloca un 1 en el

cuadrado A'B' en el mapa K. En forma similar, la condición A = 1, B = 1 en la tabla de

verdad corresponde al cuadrado AB del mapa K, ya que X = 1 para este caso, se coloca

un 1 en el cuadrado AS. Los demás cuadrados se llenan con ceros. Esta misma idea se

utiliza en los mapas de tres y cuatro variables que se muestran en la figura.

2. Los cuadrados del mapa K se marcan de modo que los cuadrados horizontalmente

adyacentes so1o difieran en una variable. Por ejemplo, el cuadrado superior de la

izquierda del mapa de cuatro variables es A'B'C'D' en tanto que el cuadrado que se

encuentra a la derecha es A'B'C'D (solo la variable D es diferente). De la misma manera,

los cuadrados verticalmente adyacentes difieren so1o en una variable. Por ejemplo, el

cuadrado superior izquierdo es A'B'C'D' en tanto que el que se encuentra a la derecha

es A'BC'D' (solo la variable B es diferente).

Note que cada cuadrado del renglon superior se considera adyacente al correspondiente

cuadrado del renglon inferior .Por ejemplo, el cuadrado A'B'CD del renglon superior es

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adyacente al cuadrado AB'CD del rengl6n inferior porque so1o difieren en la

variable A. Haga de cuenta que la parte superior del mapa se dobla hasta tocar la parte

inferior. Asimismo, los cuadrados del extremo izquierdo de la columna son adyacentes

a los del extremo derecho de la columna.

3. A fin de que los cuadrados que son adyacentes tanto vertical como horizontalmente

difieran en una sola variable, el marcado de arriba hacia abajo debe hacerse en el orden

indicado, -A'B', A' B, AB, AB'. Lo anterior también es válido para el marcado de

izquierda a derecha:

4. Una vez que el mapa K se ha llenado con ceros y unos, la expresi6n de suma de

productos para la salida X se puede obtener operando con OR aquellos que contienen un

1. En el mapa con tres variables de la figura 4-11(b), los cuadrados A'B'C', A'BC', A

BC' y ABC contienen un 1, de modo que X = A'B'C' + A'B'C + A'BC' + ABC'.

Agrupamiento La expresión de salida X se puede simplificar adecuadamente

combinando los cuadros en el mapa K que contengan 1. El proceso para combinar estos

unos se denomina agrupamiento.

Agrupamiento de grupos de dos (pares) La figura 4-12(a) es el mapa K de una tabla

de verdad con tres variables. Este mapa contiene un par de unos que son verticalmente

adyacentes entre si; el primero representa A'BC' y, el segundo ABC'. Note que en estos

dos términos sólo la variable A aparece en forma normal y complementada (B y C'

permanecen sin cambio). Estos dos términos se pueden agrupar (combinar) para dar un

resultante que elimine la variable A, ya que ésta aparece en forma normal y

complementada. Esto se demuestra fácilmente como sigue:

Este mismo principio es válido para cualquier par de unos vertical u horizontalmente

adyacentes. La figura 4-12(b) muestra un ejemplo de dos unos horizontalmente

adyacentes. Estos se pueden agrupar y luego eliminar la variable C, ya que aparecen en

forma no complementada y complementada para dar una resultante de X = A' B.

Otro ejemplo se da en la figura 4-12{c). En un mapa K los cuadrados de los renglones

superior e inferior se consideran adyacentes. Asi, los dos unos en este mapa se pueden

repetir para dar una resultante de A'B'C' + AB'C' + B'C'.

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La figura 4-12(d) muestra un mapa K que tiene dos pares de unos que se pueden

agrupar. Los dos unos en el renglón superior son horizontalmente adyacentes. Los dos

unos en el renglón inferior son, asimismo, adyacentes puesto que en un mapa K los

cuadrados de las columnas de los extremos izquierdo y derecho se consideran

adyacentes. Cuando se agrupa el par superior de unos, la variable D se elimina (ya que

aparece como D y D') para dar el término A'B'C. El agrupamiento del par inferior

elimina la variable C para dar el término AB'C'. Estos dos términos se operan con OR a

fin de obtener el resultado final para X.

Para resumir lo anterior:

El agrupamiento de un par de unos adyacentes en un mapa K elimina la variable que

aparece en forma complementada y no complementada.

Agrupamiento de grupos de cuatro (cuádruples) Un mapa K puede contener Un

grupo de cuatro unos que sean adyacentes entre sí. Este grupo se

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denomina cuádruple. La figura 4-13 muestra varios ejemplos de cuádruples. En la parte

(a) los cuatro unos son verticalmente adyacentes y en la parte (b) son horizontalmente

adyacentes. El mapa K de la figura 4 - 13(c) contiene cuatro unos en un cuadrado y se

consideran adyacentes entre sí. Los cuatro unos en la figura 4-13(d) también son

adyacentes igual que los de la figura 4 - 13(e) ya que, como mencionamos

anteriormente. los renglones superior e inferior y las columnas de los extremos

izquierdo y derecho se consideran adyacentes entre sí.

Cuando se repite un cuádruple, el término resultante contiene sólo las variables que no

cambian de forma para todos los cuadrados del cuádruple. Por ejemplo, en la figura 4 -

13(a) los cuatro cuadrados que contienen un uno son A'B'C, A'BC, ABC y AB'C. El

análisis de estos términos revela que solamente la variable C permanece sin alterarse (A

y B aparecen en forma complementada y no complementada). De este modo, la

expresión resultante para X es simplemente X = C. Esto se puede demostrar de la

siguiente manera:

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Para poner otro ejemplo, consideramos las figura 4 - 13(d), donde los cuatro cuadrados

que contienen unos son ABC'D', A'B'C'D', ABCD', y AB'CD'. El análisis de estos

términos indica que sólo las variables A y D' permanecen sin cambios, así que la

expresión simplificada para X es

X = AD

Esto se puede probar de la misma manera anteriormente utilizada.

El lector debe verificar cada uno de los otros casos de la figura 4 -13 para comprobar

que sean las expresiones indicadas para X. Para resumir:

El agrupamiento cuádruple de unos elimina las dos variables que aparecen

en la forma complementada y no complementada.

Agrupamiento de grupos en ocho (octetos) Un grupo de ocho unos que son

adyacentes entre sí se denomina octeto. En la figura 4-14 se dan varios ejemplos de

octetos. Cuando

porque solo una de ellas permanece inalterada. Por ejemplo, el análisis de los ocho cuadrados agrupados en la figura 14 -14(a) muestra que so1o la variable B está en la misma forma para los ocho cuadrados; las otras variables aparecen en forma complementada y no complementada. Así, para este mapa, X = B. El lector puede verificar los resultados de los otros ejemplos en la figura 4 - 14.

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SIMPLIFICACIÓN POR MAPA DE KARNAUGH

1.- Remplazar en un mapa de karnaugh la siguiente función booleana y simplificar .Dar su diseño.

2.-Obtener la función simplificada correspondiente a la tabla de verdad siguiente empleando para ello lo0s mapas de karnaugh.

3.- Obtener la función simplificada correspondiente a la tabla de verdad siguiente empleando para ello lo0s mapas de karnaugh. Dar su diseño.

Simplificación Circuito

Simplificación

Circuito

Simplificación

Circuito

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4.- Representar en un mapa de karnaugh la siguiente función booleana y simplifique. Dar su diseño.

F=a'.b'.c'.d'+a.b'.c'.d'+a'.b'.c'.d+a'.b.c'.d+a.b.c'.d+a'.b'.c.d+a'.b'.c.d'+a.b'.c.d'

5.- Obtener la función simplificada correspondiente a la tabla de verdad siguiente empleando para ello lo0s mapas de karnaugh. Dar su diseño.

Simplificación

Circuito

Simplificación

Circuito

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EJERCICIOS

1.- Diseñe un semáforo que permita simular silos el tránsito de una avenida.

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2.- Diseñe un semisimulador.

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UTILIZACION DE SIMULADOR LOGICO PARA VERIFICAR CIRCUITOS

1- COMPUERTOS AND, NOR, NOT 2- SIMILITUD DE SEMISUMADORES

3- DE SUMADOR Y SEMISUMADORES

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4- SEMAFORO

5- Se desea controlar dos motores M1 y M2 por medio de 3 interruptores A,B,C que cumplan las siguientes condiciones.

1. Si A esta activo y los otros 2 no lo están se activa el M1. 2. Si C está activo y los otros 2 no lo están se activa M2. 3. Si los 3 interuptores están inactivos se activan M1 YM2.

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6- Visualizar con un displey o un led de 8 salidas hacer que funcionen los números del 1 al 8

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BIBLIOGRAFIA

http://www.slideshare.net/Frank049/mapas-de-karnaugh-sistemas-digitales#btnNext

http://html.rincondelvago.com/mapa-de-karnaugh.html

http://es.wikipedia.org/wiki/Mapa_de_Karnaugh

http://www.slideshare.net/Frank049/mapas-de-karnaugh-sistemas-digitales#btnNext