diaz notas de clase de control

Cap tulo 4

Efectos de la realimentacin oLa caracter stica bsica para el control de cualquier proceso es la habilidad a de tomar decisiones con base en la respuesta real del sistema. Esta operacin, o que consiste en comparar la respuesta del proceso con la respuesta deseada, se conoce, en la jerga del control, como Realimentacin. Se trata de la traduccin o o de la palabra inglesa feedback.1 d Gd (s) r ym Figura 4.1: Control con realimentacin o La gura 4.1 ilustra el principio de la realimentacin. All r representa una o , se al de referencia; la respuesta del proceso ante una se al de entrada u (la n n cual denominamos Variable manipulada o algunas veces control ) es y (la cual llamaremos Variable controlada); d representa una perturbacin externa que o afecta la respuesta del proceso. La funcin de transferencia P (s) modela la o relacin entrada/salida (E/S) del proceso controlado, Gd representa el efecto o de la perturbacin sobre la salida. La variable controlada o salida y se mide o por medio de alg n aparato apropiado, Sin embargo la medicin ym no es u o perfecta sino que diere del valor real en una diferencia, la cual denominaremos Ruido de medicin. Este ruido puede deberse a muchos factores, ya sean o1 Esta palabra en el lenguaje normal se traduce como retroalimentacin. En la literatura o de control y automatizacin, por alguna razn (probablemente pura comodidad), no se usa o o mucho esta traduccin. o

e

K(s)

u

P (s)

y

n

1

2

CAP ITULO 4. EFECTOS DE LA REALIMENTACION

imperfecciones o descalibraciones en los instrumentos de medida, efectos de conversiones anlogo/digital o digital/anlogo o el efecto de ruido real en los a a equipos de transmisin o transduccin; todos estos efectos los reuniremos en o o una sola variable que hemos denominado ruido de medicin, n. o La variable medida ym se compara con el valor de referencia r, como se muestra en la gura. Con base en esta comparacin el Controlador, descrito o por la funcin de transferencia K(s) produce un valor de u que debe tratar de o reducir el error e. A este esquema de control se le conoce como Control de lazo cerrado. El objetivo de este cap tulo es analizar las propiedades de los sistemas de lazo cerrado. En este cap tulo nos limitaremos a sistemas como el de la gura 4.1, demoninado de Realimentacin unitaria. Posteriormente analizaremos estructuras ms o a complejas. Las conclusiones de nuestro anlisis son lo sucientemente generales a como para aplicarse en dichas conguraciones.

4.1.

Sistemas bien planteados

Una vez ms estudiemos el sistema con realimentacin, mostrado en la a o gura 4.2. Observando el diagrama se ve que P K(r y) = y (1 + P K)y = P Kr

Para que este sistema sea capaz de operar, se requiere que exista solucin y de o esta ecuacin para cualquier se al de entrada u. Esto se puede garantizar si o n 1 + P (s)K(s) no es idnticamente cero. En ese caso, se puede obtener, e y= PK u 1 + PK du r e u dy y

Si no se cumple la condicin, el sistema no puede operar. o

K(s)

P (s)

Figura 4.2: Sistema de ejemplo Decimos que el sistema est bien planteado (abreviado BP) si 1 + P (s)K(s) a no es idnticamente cero. Por lo tanto, es necesario encontrar las condiciones e que garanticen que es sistema es BP. El siguiente teorema presenta tales condiciones.Fundamentos de Control Hernando Diaz M.

4.1. SISTEMAS BIEN PLANTEADOS

3

Teorema 1 El sistema de lazo cerrado mostrado en la gura 4.2 es BP si y slo si, o 1 + P ()K() = 0 (4.1) Consideremos realizaciones en variables de estado para P y K: x = Ax(t) + Bu(t); xK = AK xK (t) + BK e(t); y(t) = Cx(t) + Du(t) u(t) = CK xK (t) + DK e(t)

El sistema de lazo cerrado es BP si y slo si este sistema tiene soluciones para o cualquier r, tales que e = r y. Combinando las dos ecuaciones de salida, u(t) = y(t) = 1 D DK 1 u(t) y(t) CK x(t)K DK y(t) + DK r(t) Cx(t) + Du(t) 0 C CK 0 x(t) xK (t) DK 0 (4.2) (4.3)

las cuales se pueden combinar como: = + r(t) (4.4)

Esta ecuacin muestra que es posible encontrar valores unicos de u(t) e y(t) o para cualesquiera x(t), xK (t) y r(t) si y slo si o 1 + P ()K() = 1 + DDK = 0 puesto que P () = D y K() = DK .

4.1.1.

Funciones de transferencia propias

N Denicin 1 Una funcin de transferencia F = DF (s) es propia si se cumple o o F (s) l s F (s) = a < . Es fcil ver que esto es equivalente a2 : m a

N (s) D(s) F es estrctamente propia si l s F (s) = 0, lo cual es equivalente a m N (s) < D(s) F es impropia si l s F (s) = , lo cual es equivalente a m N (s) > D(s) Las funciones de transferencia impropias no pueden realizarse f sicamente (no existe una realizacin en variables de estado). Por esta razn exigiremos que o o todas las funciones de transferencia en nuestro desarrollo sean propias. Si fuera posible realizar una funcin de transferencia impropia, sta tendr o e a caracter sticas de diferenciador, puesto que si N = n y D = m, entonces F (s) = smn + + Fp (s) donde Fp (s) es propia. Por lo tanto, amplicar las se ales de alta frecuencia a n con ganancia proporcional a su frecuencia. Afortunadamente, todos los sistemas f sicos tienen caracter sticas tipo pasa-bajos.2 Usaremos

el s mbolo N (s) para denotar el grado del polinomio N (s).Hernando Diaz M. Fundamentos de Control

4

CAP ITULO 4. EFECTOS DE LA REALIMENTACION

4.1.2.

Sistemas propios y bien planteados

Veamos qu relacin existe entre los sistemas BP y las funciones de transfere o encia propias. Ntese que si las funciones de transferencia de P y K son propias, o entonces, sus productos tambin lo son. Adems, si 1 + P ()K() = 0, ene a tonces, PK l m 0

n1

an an1 bn2 cn3

an2 an3 bn4 cn5

an4 an5 bn6

a2 a0 a1 0 Si n par

a3 a1 a2 a0 Si n impar

del lenguaje, diremos que el sistema es estable. las abreviaturas SPI: Semiplano izquierdo y SPD: Semiplano Derecho.

Fundamentos de Control Hernando Diaz M.

5.2. CRITERIO DE ROUTH-HURWITZ

3

donde la primera la contiene los coecientes de sn2k en orden descendente, la segunda la contiene los de sn2k1 y las las siguientes se calculan a partir de bn2 = cn3 1 an an2 an1 an1 an3 1 an1 an3 = bn2 bn2 bn4 bni = bnj 1 an ani an1 an1 ani1 1 an1 anj = bn2 bn2 anj1

Los dems elementos de la la se calculan manteniendo la primera columna. a Las otras las se calculan en forma anloga. a Teorema 3 El sistema G(s) es estable si y slo si todos los elementos de la o primera columna son mayores que cero Adems, el nmero de races en SPD a u es igual al nmero de cambios de signo en la primera columna u La demostracin del teorema se puede hallar en [9] o [18, 17]. o Ejemplo 1 Consideremos el sistema dado por T (s) = 1 s3 + 2s2 s + 1

Usando el criterio de Routh se puede ver que este sistema es inestable, por el coeciente negativo en D(s). Para vericar esto, formamos la tabla R-H: s3 s2 s1 s0 1 2 1 (1 + 2) 2 1 1,5 (0 + 1,5) 1 s3 1 s2 = 1 0 s 0 s0 1 2 1,5 1 1 1 0 0

puesto que hay un cambio de signo en la primera columna, hay un polo en SPD. En efecto, factorizando el polinomio, s3 + 2s2 s + 1 = (s 1) (s + 1) (s + 2} Ejemplo 2 Veamos las condiciones de estabilidad del sistema de segundo orden con D(s) = s2 + a1 s + a0 La tabla de R-H para este caso es: s2 s1 s0 1 a1 1 a1 (0 a1 a0 ) a0 0 = 0 1 a1 a0 a0 0 0

lo cual muestra que el sistema de segundo orden es estable si y slo si a1 > 0 o y a0 > 0 El criterio de Routh-Hurwitz se puede aplicar para estudiar el efecto de los parmetros del controlador sobre la estabilidad del sistema de lazo cerrado. aHernando Diaz M. Fundamentos de Control

4 du r e u

CAP ITULO 5. ESTABILIDAD dy y

k

1 s(s+1)(s+2)

Figura 5.2: Sistema de ejemplo

Ejemplo 3 Consideremos el sistema mostrado en la siguiente gura: Para evaluar la estabilidad del sistema de lazo cerrado, hallemos la funcin de transo ferencia k T (s) = 3 2 + 2s + k s + 3s de donde se encuentra la tabla R-H s3 s2 s1 s0 1 2k6 3

k

2 k 0 0

El sistema es estable si la primera columna es positiva, lo cual se cumple si k > 0 y k < 6. Ejemplo 4 Generalizando el ejemplo anterior, si D(s) = k + (1 + sT1 ) (1 + sT2 ) (1 + sT3 ) a partir del criterio R-H, este sistema es estable si (T1 T2 + T2 T3 + T1 T3 ) (T1 + T2 + T3 ) > (k + 1) T1 T2 T3 lo cual se puede simplicar, deniendo 2 = T2 /T1 y 3 = T3 /T1 como: k < (1 + 2 + 3 ) 1 + 1 1 + 2 3 1

5.3.

Criterio de Nyquist

El criterio de Nyquist fue desarrollado por H. Nyquist en 1932. Se basa en la respuesta de frecuencia de lazo abierto. Tiene la ventaja de que se puede usar con datos experimentales sin necesidad de obtener un modelo matemtico a de la planta.Fundamentos de Control Hernando Diaz M.

5.3. CRITERIO DE NYQUIST

5

r

e

K(s)

u

P (s)

y

Figura 5.3: Sistema de control elemental

5.3.1.

Principio del argumento

El criterio de Nyquist se basa en un corolario del Teorema de CauchyGoursat en anlisis complejo: el llamado principio del argumento, el cual se a puede expresar de la forma siguiente: Principio del argumento Sea G(s) una funcin meromorfa (anal o tica, excepto en un n mero nito de polos) en una regin R encerrada por una curva u o cerrada, simple, . G no tiene ceros ni polos en . Si G tiene n polos y m ceros en el interior de R, entonces, 2j(n m) =

G (z) dz = j G(z)

d arg (G(z))

Lo cual signica que por cada vuelta que se da alrededor de el argumento de G cambia en 2(n m). Eso signica que la imagen de bajo la funcin G da o n m vueltas alrededor del origen, en la misma direccin de . o La demostracin del teorema se puede ver en [12] o [1]. o

5.3.2.

Teorema de Nyquist

Consideremos el sistema representado en la gura 5.3. Para este sistema, T (s) = K(s)P (S) 1 + K(s)P (S)

y la ecuacin caracter o stica se obtiene igualando el denominador a cero: F (s) := 1 + K(s)P (s) = 1 + L(s) = 0 Los polos de lazo cerrado son los ceros de la funcin F denida arriba. Los polos o de F son, como se puede vericar fcilmente, los polos de L(s) = K(s)P (s); es a decir, los polos de lazo abierto. Observemos que la funcin F permite analizar la estabilidad del sistema de o lazo cerrado. Queremos determinar cuntos ceros tiene F en el SPD. Aqu es a donde entra en juego el principio del argumento.Hernando Diaz M. Fundamentos de Control

6

CAP ITULO 5. ESTABILIDAD

Para emplear el principio del argumento al anlisis de estabilidad de un sisa tema de control, debemos recordar que estamos interesados en saber si existen polos de lazo cerrado, es decir, ceros de F (s) en el SPD. Por lo tanto, debemos encontrar una curva que encierre todos esos puntos. Nyquist ide la curva de la o gura 5.4: El semic rculo, de radio R se puede hacer tan grande como se desee Ims

R

Res

Figura 5.4: Curva de Nyquist si dejamos que R crezca sin l mite. Por lo tanto, usando esta curva como contorno de integracin, podemos hallar la variacin total del argumento en o o esa curva. De acuerdo con el principio del argumento, esa variacin, para F , o est dada por a 2(n m) =

d arg (F (z))

El n mero de vueltas que la imagen de F (s) da alrededor del origen se puede u determinar construyendo la curva imagen de N = {F (z)|z } Esta curva se denomina diagrama de Nyquist de F . Puesto que el n mero de vueltas se puede determinar grcamente, entonces u a se puede hallar n m. Por otra parte, el n mero de polos m de F en el SPD es u conocido, porque stos son los polos de lazo abierto. Por lo tanto, si el n mero e u de vueltas es V , el n mero de polos de lazo cerrado en SPD es u n=V +m Y, para que el sistema de lazo cerrado sea estable (n = 0), se requiere entonces que V = m es decir, que el n mero de vueltas alrededor del origen debe ser igual al n mero u u de polos inestables de lazo abierto, pero las vueltas deben darse en sentidoFundamentos de Control Hernando Diaz M.


7

contrario a la curva . Es decir, en sentido antihorario si la curva se recorre como se muestra en la gura. Para simplicar a n ms el proceso se puede observar que F (s) = 1 + L(s) u a da k vueltas alrededor de 0, si y slo si, L(s) da las mismas k vueltas pero o alrededor de 1. Teorema de Nyquist Entonces, el resultado anterior se puede expresar en forma equivalente: Teorema 4 Si la funcin de transferencia de lazo abierto L(s) = K(s)P (s) o tiene m polos en SPD y el diagrama de Nyquist de L(s) da V vueltas alrededor del punto 1, entonces, el sistema de lazo cerrado tiene V + m polos en SPD. Criterio de Nyquist Si el sistema de lazo cerrado es estable, el n mero de u polos en SPD tiene que ser cero, por lo tanto, tenemos el siguiente criterio de estabilidad: Teorema 5 Si la funcin de transferencia de lazo abierto L(s) = K(s)P (s) o tiene m polos en SPD, entonces el sistema de lazo cerrado es estable si slo si o el diagrama de Nyquist de L(s) da m vueltas alrededor del punto 1 en sentido antihorario. Teorema 6 Si la funcin de transferencia de lazo abierto L(s) = K(s)P (s) es o estable (no tiene polos en SPD), entonces el sistema de lazo cerrado es estable si slo si el diagrama de Nyquist de L(s) no encierra el punto 1, ni pasa por o l. e Diagrama de Nyquist Usando el resultado anterior es fcil estudiar la estaa bilidad del sistema de lazo cerrado. Sin embargo, a n queda pendiente el probu lema de construir el diagrama de Nyquist. Para ello, es importante analizar la curva . est compuesta por dos partes: el eje imaginario; es decir, puntos de la a forma s = j y los puntos sobre el semic rculo de radio innito. Luego, tenemos que analizar el comportamiento de la funcin de transferencia L en estas dos o regiones. Veamos en primer lugar qu sucede con el semic e rculo: Debemos estudiar el comportamiento de L cuando s . Pero si L es una funcin propia, entonces os

l L(s) = constante m

y la constante no depende de la direccin en la cual s crece. Adems, si L es o a estrictamente propia, la constante es cero. Lo que esto signica, desde el punto de vista del diagrama de Nyquist, es que esta parte del diagrama se reduce a un solo punto, que puede ser cero. Ahora slo resta analizar los puntos en el eje imaginario. Es decir, queremos o hallar los puntos {L(j)| }Hernando Diaz M. Fundamentos de Control

8


lo cual no es otra cosa que la Respuesta de frecuencia de L. El proceso se puede simplicar aun ms usando la propiedad de las funciones a racionales con coecientes reales de que L(j) = L(j) o, en forma equivalente, |L(j)| = |L(j)| {L(j)} = {L(j)}

Lo cual muestra que el diagrama es simtrico con respecto al eje real y, por lo e tanto, basta calcularlo para 0.

5.3.3.

Diagramas de Nyquist en Matlab

La construccin del diagrama de Nyquist se reduce a calcular la respuesta o de frecuencia de L y gracar ReL(j) vs. ImL(j). Matlab tiene el comando nyquist el cual calcula y graca el diagrama de Nyquist. Ejemplo 5 Analicemos la estabilidad del sistema de control con K(s) = 1 y 2 P (s) = (s+1)(s+2) . Los polos de lazo abierto son 1 y 2. Los comandos Matlab para obtener el diagrama de Nyquist son % Definicion de la funcin L o L = zpk([],[-1 -2],2) % Calculo del diagrama nyquist(L) El resultado es la grca mostrada en la gura 5.5. Se puede observar que a el diagrama no encierra al punto 1. Y, como no hay polos de lazo abierto en SPD, el sistema de lazo cerrado es estable. Polos en eje imaginario La existencia de polos en el eje imaginario presenta un problema para la aplicacin del teorema de Nyquist, puesto que en ese caso o la curva pasa por polos de L y, entonces, el principio del argumento no es vlido. Para remediar esto, se usa una modicacin simple de la curva . Vamos a o a ilustrar este fenmeno con un ejemplo: o Ejemplo 6 Consideremos el sistema del ejemplo 3, con P = 1 s(s + 1)(s + 2

Puesto que hay un polo en el origen, debemos modicar la curva de modo que no pase por all. La solucin es modicar la curva como se muestra en la o gura 5.6. El semicrculo tiene un radio muy pequeo, de manera que excluya n solamente al punto s = 0. Usando Matlab para dibujar el diagrama de Nyquist, mediante los comandosFundamentos de Control Hernando Diaz M.


9Nyquist Diagram

1

0.8

0.6

0.4

0.2 Imaginary Axis

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1 1

0.8

0.6

0.4

0.2

0 Real Axis

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Figura 5.5: Diagrama de Nyquist de

2 (s+1)(s+2)

Ims

Res

Figura 5.6: Modicacin de la curva de Nyquist cuando hay polos imaginarios o

L=zpk([],[0 -1 -2],1) nyquist(L) El resultado se muestra en la gura 5.7. Como era de esperar. el diagrama crece cuando la frecuencia tiende a cero (ganancia d.c. innita) debido al efecto del polo en el origen (accin integral). Pero se puede ver tambin que el diagrama o e no encierra al punto 1. De hecho, el cruce del eje real se produce en el puntoHernando Diaz M. Fundamentos de Control

10Nyquist Diagram 2


1.5

1

0.5 Imaginary Axis

0

0.5

1

1.5

2 1

0.9

0.8

0.7

0.6

0.5 Real Axis

0.4

0.3

0.2

0.1

0


1 s(s+1)(s+2)

0,166. Margen de estabilidad El criterio de Nyquist se puede usar para obtener estimaciones de los rangos de valores de la ganancia del control proporcional que mantienen la estabilidad del sistema. Para ello, basta con observar que el efecto de una ganancia k sobre el diagrama de Nyquist es el de amplicar todo el diagrama por el factor k. En efecto, |kL(j)| = |k||L(j)| Cuando el sistema de lazo cerrado es estable con una ganancia dada, como en el ejemplo anterior, es posible encontrar un rango de ganancias para las cuales el sistema sigue siendo estable. Denicin 2 (Margen de ganancia) El mximo valor de la ganancia para o a la cual el sistema sigue siendo estable se denomina Margen de ganancia del sistema y se denota como M G. Si el diagrama de Nyquist cruza el eje imaginario en el punto a, con 0 < a < 1, entonces M G = 1/a. La frecuencia a la cual se produce esto se conoce como frecuencia de cruce de fase y se denota 180 . Entonces, M G = 1/|L(j180 )| Si el diagrama no cruza el eje o lo cruza a la derecha del origen se dice que el margen de ganancia es innito. Ejemplo 7 En el ejemplo anterior, el diagrama de Nyquist de k = 1 cruza el eje real en el punto 0,166. Por lo tanto, M G = 1/0,166 = 6 resultado que coincide con el del ejemplo 3.Fundamentos de Control Hernando Diaz M. 1 s(s+1)(s+2)

con


11

La gura 5.8 muestra que, en efecto, si dibujamos el diagrama de Nyquist 6 de s(s+1)(s2 ) , se puede observar que cruza el eje real exactamente en el punto 1.Nyquist Diagram 2

1.5

1

0.5 Imaginary Axis

0

0.5

1

1.5

2 3

2.5

2

1.5 Real Axis

1

0.5

0


1 s(s+1)(s+2)

En la prctica, existe incertidumbre acerca de los valores de los parmetros a a tanto del proceso como del controlador. Por lo tanto, el margen de ganancia representa una especie de seguro contra la incertidumbre en la ganancia, ya sea del proceso o del controlador. Entonces, un sistema con margen de ganancia grande sigue siendo estable aunque la ganancia no sea exactamente la que se ha modelado. Por esta razn, el margen de ganancia se considera como una de o las formas de cuanticar la robustez del sistema de lazo cerrado.

5.3.4.

Estabilidad de sistemas con retardo

Hemos aprendido que muchos sistemas pueden modelarse por medio de la combinacin de un sistema lineal junto con un retardo en el tiempo o tiempo o muerto. Adems, aunque son menos frecuentes en la prctica, existen muchos a a sistemas que tienen tiempos muertos reales, debido a las condiciones f sicas del proceso. Por estas razones, es muy importante evaluar la estabilidad de sistemas con retardo. Consideremos un sistema de lazo cerrado con un retardo de segundos. Un modelo para la funcin de transferencia del lazo se puede obtener en la forma, o L(s) = G(s)es Queremos analizar la estabilidad del sistema de lazo cerrado. Para ello, vamos a construir el diagrama de Nyquist. Supongamos que el diagrama de Nyquist de G(s) ha sido construido. Entonces, cul es su relacin con el diaa o grama de Nyquist de L(s)? Veamos el efecto del retardo sobre la respuesta de frecuencia L(j) = G(j)ejHernando Diaz M. Fundamentos de Control

12


Usando las propiedades de la funcin exponencial, o |ej | = 1, se halla que |L(j) = |G(j)|, {L(j)} = {G(j)} . ej =

Esto quiere decir que el retardo no modica la respuesta de magnitud, pero en cambio el angulo de fase gira un angulo . Veamos qu signica esto para el diagrama de Nyquist. Supongamos que e el diagrama de Nyquist de G tiene la forma de la curva I en la gura 5.9. Entonces, el correspondiente diagrama para L se puede obtener girando cada punto un angulo en sentido horario. El resultado es la curva II de la gura.

=

II I

=0

Figura 5.9: Diagrama de Nyquist de sistema con retardo

Se puede ver que, aunque la magnitud de la respuesta no cambia, las condiciones de estabilidad si pueden modicarse y el sistema con retardo puede ser inestable aunque el sistema original no lo sea. Eso se debe a que el diagrama de Nyquist del sistema con retardo puede encerrar al punto 1. Supongamos que tenemos un sistema estable cuyo diagrama de Nyquist es como el de la gura Para cuanticar el efecto de un posible retardo se desarroll el concepto de Margen de fase. La gura 5.10 ilustra el concepto. o El angulo de fase en la frecuencia para la cual la magnitud es uno determina Fundamentos de Control Hernando Diaz M.


13

el margen de fase. Claramente se ve que si el angulo es grande entonces el sistema mantiene su estabilidad aunque haya incertidumbre acerca de la magnitud del tiempo de retardo. La frecuencia a la cual la ganancia es uno, se denomina frecuencia de cruce (en ingls, crossover frequency, trmino muy e e usado).

1

1

1

M

F

=

Figura 5.10: Margen de fase

Denicin 3 El Margen de fase se dene como o M F = {L(jc )} + 180 donde c es la menor frecuencia donde |L(j)| = 1, decreciendo. Mrgenes a partir de la respuesta de frecuencia a El clculo de los mrgenes de estabilidad, tanto de fganancia como de fase a a se pueden obtener muy fcilmente a partir del Diagrama de Bode de L. Para a ello, es necesario determinar las frecuencias de cruce 180 donde el angulo de fase es 180 y c donde la ganancia es 1 (0dB). Usando las deniciones, los mrgenes se pueden estimar muy fcilmente. a a El margen de ganancia se obtiene como M G(dB) = |L(j180 |(dB)Hernando Diaz M. Fundamentos de Control

14


aprovechando las propiedades de la funcin logaritmo. El mrgen de fase se o a obtiene como M F = 180 + {L(jc )} . Matlab provee la funcin o margin la cual calcula los dos mrgenes y, adems, dibuja el diagrama de Bode. a a Ejemplo 8 Calculemos los mrgenes de ganancia y de fase del sistema dea scrito por 1 L(s) = s(s + 1)(s + 2) El diagrama muestra queBode Diagram Gm = 15.6 dB (at 1.41 rad/sec) , Pm = 53.4 deg (at 0.446 rad/sec) 50

c0 Magnitude (dB)

MG

50

100

150 90

135 Phase (deg)

MF180

180

225

270 102

10

1

10

0

10

1

10

2

Frequency (rad/sec)

Figura 5.11: Mrgenes de estabilidad de a

1 s(s+1)(s+2)

180 = 1,41 rad/s,

M G = 15,6dB = 6;

c = 0,446 rad/s,

M F = 53,4

5.4.

Estabilidad interna

La gura 5.12 ilustra un problema que puede presentarse con plantas inestables. El controlador de la gura usa Cancelacin de polos y ceros; es decir, o que el controlador tiene un cero igual al polo inestable de la planta. El sistema de lazo cerrado tiene T (s) = y(s) 1 1 s+2 s(s2) = = 2 = s2 1 r(s) s + 2s + 1 (s + 1)2 1 + s+2 s(s2)s2 1


5.4. ESTABILIDAD INTERNA

15

de manera que podr pensarse que el dise o es satisfactorio. Sin embargo, a n veremos que adolece de una falla fatal. dy du r e u1 s(s2)

s2 s+2

y

Figura 5.12: Cancelacin de polos y ceros o Consideremos la funcin de transferencia que relaciona las perturbaciones o en la entrada de la planta a su salida: y(s) = du (s) 1+1 s(s2) s2 1 s+2 s(s2)

=

s+2 (s + 1)(s 2)

Inestable! As cualquier perturbacin o ruido en la entrada de la planta pro, o ducir una respuesta que crece exponencialmente. Claramente, este dise o es a n inaceptable. En la prctica, es imposible obtener la funcin de transferencia que cancele a o exactamente el polo. Si, en vez del controlador dado, usramos a K(s) = se obtendr a, T (s) = s3 s 2,002 3s 2,002 1 s(s 2,002)

la cual tiene un polo inestable en s = 2,00022. Lo anterior muestra que ni siquiera la funcin T es estable en la prctica. o a Para tener en cuenta el problema de la cancelacin polo-cero, se dene el o siguiente concepto: Denicin 4 (Estabilidad Interna) Decimos que un sistema tiene Estabilo idad Interna (o que es internamente estable IE) si es BP (bien planteado) y para cualquier condicin inicial tanto de la planta (x(0)) como del controlador o (xK (0)), se cumple quet

l x(t) = 0, m

t

l xK (t) = 0 m

cuando todas las entradas externas son cero.Hernando Diaz M. Fundamentos de Control

16


La estabilidad interna es equivalente a que la funcin de transferencia de o cualquier posible punto de entrada a cualquier posible punto de salida es estable E/S [8]. Consideremos el sistema de la gura 5.13: Para que este sistema sea IE, e u u TODAS las funciones de transferencia r , de , dey , u , du , dy , y , dy y dy deben r r u u y ser estables. En realidad, debido a que las funciones de transferencia no son independientes, basta con que un subconjunto lo sea, como muestra el siguiente teorema:du dy

r

e K(s)

u P (s)

y

Figura 5.13: Estabilidad interna

Teorema 7 (Estabilidad interna) El sistema de la gura 5.13 es internay u u mente estable si y slo si, las funciones de transferencia du , dy , dy y dy son o u estables. La demostracin se puede ver en [8], seccin 5.1. o o La cancelacin de polos y ceros en SPD puede producir un sistema ino estable, como hemos podido observar. Sin embargo, cuando no se permiten dichas cancelaciones, es posible simplicar la prueba de estabilidad: Teorema 8 Si no hay cancelacin de polos y ceros en SPD, el sistema es o y u estable si y slo si una cualquiera de las cuatro funciones du , dy , dy o dy es o u u estable. Una consecuencia de los teoremas anteriores es que sea casi imposible tener un sistema IE cuando se permiten cancelaciones de polos y ceros en SPD. Adems, a en la prctica, dichas cancelaciones no se pueden realizar exactamente, lo cual a complica a n ms el problema. Por estas razones, vamos a usar el siguiente u a precepto de dise o: n Un dise o de sistema de control que utilice cann celacin de polos con ceros, localizados en el o SPD, es INACEPTABLE

5.5.

Teor de estabilidad de Lyapunov a

En esta seccin vamos a estudiar un mtodo de anlisis de estabilidad muy o e a general, aplicable tanto a sistemas lineales como no lineales. Este mtodo, deeFundamentos de Control Hernando Diaz M.

5.5. TEOR DE ESTABILIDAD DE LYAPUNOV IA

17

sarrollado en 1892 por el ruso A. Lyapunov suele ser la base de la mayor de a los desarrollos en la teor de estabilidad. a Consideremos un sistema descrito por ecuaciones de estado x(t) = f (x(t)) (5.1)

donde x Rn . Supongamos que este sistema tiene un punto de equilibrio x; es decir que se cumple f () = 0. Lyapunov deni: x o Denicin 5 (Estabilidad en el sentido de Lyapunov) Sea x un punto o de equilibrio del sistema 5.1. El punto se dice estable en el sentido de Lyapunov (LE) si dado , existe tal que ||x(t0 )|| < ||x(t)|| < , t > t0

Si el punto de equilibrio no es estable se llama inestable. Denicin 6 (Estabilidad asinttica) x es un punto de equilibrio asintticao o o mente estable (AE), si es estable (LE) y, adems, a x(t) x cuando t . Es decir, que el equilibrio es estable si todas las trayectorias que arrancan (en t0 ) cerca del punto, permanecen cerca de l todo el tiempo y es asintticamanete e o estable si es estable y, adems las soluciones tienden a x cuando t . a

5.5.1.

Mtodo directo e

El concepto bsico para el anlisis de estabilidad es el de funcin de Lyaa a o punov: Denicin 7 (Funcin de Lyapunov) Sea una funcin V : Rn R posio o o tiva denida (es decir que V (x) 0 para todo x = 0). V es una funcin de o Lyapunov para el sistema 5.1 si la funcin es no creciente a lo largo de las o soluciones x(t) de 5.1. Esto se puede vericar calculando la derivada a lo largo de las soluciones: dV V = = dtV x1

V xn

f 0

Los principales resultados de la teor de Lyapunov son los dos teoremas sigua ientes: Teorema 9 (Mtodo directo de Lyapunov) Sea x un punto de equilibrio e del sistema 5.1. Si existe una funcin de Lyapunov para el sistema, entonces x o es estable (LE). Teorema 10 Si V es funcin de Lyapunov para el sistema 5.1 y adems o a V =V x1

V xn

f 0. Si P es positiva denida todos sus valores propios son positivos. La derivada de V a lo largo de las soluciones de la ecuacin est dada por: o a V = xT P x + xT P x = (Ax)T P x + xT P Ax = xT AT P + P A x Si el sistema es AE entonces, la derivada debe ser negativa para todo x. Una forma de garantizar esto consiste en garantizar que exista una matriz Q > 0, de manera que V = xT AT P + P A x = xT Qx < 0 Factorizando, se ve que la condicin se cumple si o AT P + P A + Q = 0 (5.5)

Esta ecuacin matricial se conoce como ecuacin de Lyapunov. o o Es fcil ver, usando el desarrollo anterior que es posible obtener condiciones a para la estabilidad del sistema lineal. Teorema 12 (Estabilidad de sistema lineal) El sistema lineal 5.4 es asintticamente estable si y slo si, para cualquier matriz Q > 0, la ecuacin de o o o Lyapunov AT P + P A + Q = 0 tiene solucin unica P > 0 o Una demostracin de este teorema se puede hallar en [6]. o Ejemplo 12 El sistema lineal con A= 1 2 2 1

ya fue considerado. Veamos el anlisis de estabilidad utilizando la ecuacin de a o Lyapunov. Para ello, seleccionemos una matriz Q > 0, por ejemplo, Q= 1 0 0 1

La solucin de la ecuacin de Lyapunov puede obtenerse usando matlab con el o o comando P=lyap(A,Q) Se obtiene la solucin o P = 0,5 0 0 0,5

La cual, evidentemente, es positiva denida (los dos valores propios son 0,5). En realidad, para cualquier Q que seleccionemos, es posible encontrar una matriz P > 0.Fundamentos de Control Hernando Diaz M.

5.6. EJERCICIOS

21

5.5.4.

Desigualdades matriciales

La expresin P > 0 es un ejemplo de lo que se denomina una Desigualdad o Matricial. Signica, como hemos visto, que la matriz es positiva denida. En forma similar denimos que una matriz X es negativa denida,(lo cual se denota por X < 0) si X > 0. Consideremos el problema de determinar la estabilidad de un sistema lineal x = Ax. Debemos determinar si existe solucin de la ecuacin de Lyapunov o o 5.5 para cualquier matriz Q > 0. Esta condicin se puede resumir mediante la o desigualdad matricial AT P + P A < 0 (5.6) En este caso, el problema de estabilidad se reduce a deteminar si existe una matriz P tal que la desigualdad 5.6 queda satisfecha. A este problema se le conoce como el problema de factibilidad de la desigualdad. La desigualdad matricial 5.6 es factible si existe un P que satisface la desigualdad.

5.6.

Ejercicios

Hernando Diaz M. Fundamentos de Control

Cap tulo 6

EspecicacionesEl primer paso para dise ar un controlador consiste en saber qu se esn e pera de l. En otras palabras, cmo se espera que sea la respuesta del sistema e o controlado. No es frecuente que esto est determinado de forma unica. Por lo e general, cuando se requiere controlar un proceso determinado lo que se conoce son algunas gu generales sobre su operacin y el ingeniero de control debe as o elaborar, junto con los ingenieros de proceso un conjunto de especicaciones que sirvan para dise ar un controlador. n Por lo general, las especicaciones ms importantes son estticas: Se rea a quiere que el punto de operacin se mantenga dentro de ciertos rangos deo seables. Por ejemplo, en un control de temperatura normalmente son permisibles desviaciones de unos pocos grados. Otra caracter stica deseable es la velocidad de respuesta: generalmente, es mejor un sistema que responde rpidamente que uno lento. En muchos proa cesos no son aceptables los llamados sobrepicos: en un control de nivel, por ejemplo, si la altura del l quido sobrepasa, aunque sea temporalmente el valor deseado, puede ocasionar inconvenientes de operacin. Estos son ejemplos de o caracter sticas dinmicas deseables, las cuales dan origen a las especicaciones a para el dise o de controladores. n

6.1.

Lazo abierto o lazo cerrado?

La primera decisin que se debe tomar es cmo debe ser la estructura o o o arquitectura del sistema. En este punto tenemos dos opciones de dise o: se n puede usar un control con o sin realimentacin1. o La seleccin de la arquitectura del controlador depende fundamentalmente o de si existen perturbaciones y de si existen incertidumbres acerca del modelo del sistema.1 Posteriormente, en el cap tulo Chapter ?? consideraremos los llamados controladores de dos parmetros. Otros controladores ms complejos son posibles, pero generalmente son a a considerados unicamente en cursos de control multivariable

1

2

CAP ITULO 6. ESPECIFICACIONES

Un ejemplo puede ilustrar las diferencias: consideremos dos opciones para el control de nivel de un tanque: I. La primera consiste en una vlvula de alimentacin de agua, controlada a o por un reloj. Cuando se acciona la vlvula, permanece abierta por un a tiempo, determinado de antemano. El tiempo ha sido calculado de manera que cuando la presin de alimentacin de agua es la nominal, el nivel de o o agua obtenido es exactamente el deseado. II. La segunda opcin utiliza un sensor de presin para medir el nivel de o o agua y una vlvula. El nivel medido (h) se compara con el deseado (r) a y, se mantiene la vlvula abierta mientras el nivel est por debajo del a e deseado. En caso contrario se cierra la vlvula. a En condiciones normales, los dos sistemas funcionan igualmente bien. El tanque se llena hasta el nivel deseado y permanece as . Sin embargo supongamos, en primer lugar, que la presin temporalmente o se encuentra por debajo del valor nominal. En ese caso, el ujo en la vlvula se a reduce y, por lo tanto, el tiempo requerido para llenar el tanque aumenta2 . Por supuesto, el sistema I no podr lograr el objetivo de controlar el nivel, puesto a que no tiene forma de detectar que . El sistema II no tiene inconvenientes para lograrlo. Una situacin anloga se produce cuando el desgaste u obstruccin de o a o la vlvula y de las tuber a as. Algo ms frecuente puede ser la presencia de fugas que reducen el nivel del a tanque, despus de que est lleno. Obviamente, el esquema I, no tiene ninguna e a forma de contrarrestar esta perturbacin; el control tipo II no deber tener o a ning n inconveniente. u Este ejemplo ilustra las caracter sticas de los controles de lazo abierto como el esquema I y los de lazo cerrado como el II. La diferencia, por supuesto es la presencia de la realimentacin, la cual permite compensar tanto las incero tidumbres en el modelo del proceso y del controlador, como las perturbaciones externas, como las fugas del ejemplo. En resumen, un sistema de lazo cerrado se requiere cuando la respuesta del sistema debe mantenerse en su nivel deseado independientemente de las condiciones internas o externas. Los sistemas de lazo abierto no suelen usarse sino en sistemas que no tienen exigencias de exactitud o en donde existen mecanismos de realimentacin diferentes. En adelante, consideraremos que todos los siso temas de control usan realimentacin, a menos que se especique lo contrario. o Para especicar el desempe o deseable de un sistema de control por lo n general escogemos una respuesta deseable ante se ales estndar. Por ejemplo n a la respuesta del sistema ante cambios tipo escaln en la se al de referencia o o n en la perturbacin. o A partir de este momento vamos a suponer que el efecto de todas las perturbaciones se puede concentrar en una sola se al en la salida de la planta, n2 El caso de aumento de presin, aunque menos frecuente, puede ser potencialmente, o mucho ms grave. a


6.2. REQUISITOS DE ESTABILIDAD

3

como el diagrama de la gura 6.1. La funcin de transferencia Gd representa o el efecto de las perturbaciones sobre la salida de la planta. d Gd (s) r e u y

K(s)

P (s)

Figura 6.1: Control de lazo cerrado Usando el desarrollo del cap tulo Chapter ??, e = S(s) [r Gd d] donde a S(s) = 1 1 = 1 + P (s)K(s) 1 + L(s) (6.1)

(6.2)

la hemos llamado la funcin de sensibilidad del sistema de lazo cerrado y L(s) = o P (s)K(s) se le denomina la funcin de transferencia del lazo. o

6.2.

Requisitos de estabilidad

Usando nuestro Dogma de Estabilidad, enunciado en el cap tulo Chapter ??, el primer requisito de un dise o es que sea estable internamente. 3 n u u Entonces, se requiere que las cuatro funciones de transferencia du , dy , dy u y y dy sean estables. En el cp a tulo anterior, vimos que esto es equivalente a que T (s) sea estable y que no haya cancelacin de polos y ceros en el SPD. o

6.3.

Desempeo Especicaciones estticas n a

Aparte de la estabilidad, deseamos que el sistema de lazo cerrado cumpla con ciertos requisitos de respuesta. A estas especicaciones las denominamos Requisitos de desempeo. La caracter n stica de desempe o que los usuarios de n los sistemas de control consideran ms importante suele ser la capacidad de a mantener el punto de operacin, en presencia de cambios y perturbaciones o externas. Generalmente, lo que se busca es que el sistema controlado regrese al3 Podr aducirse que es ms fundamental el requisito de que sea BP. Sin embargo, si el a a sistema no es BP, no puede funcionar. Que sea estable signica que puede seguir funcionando sin quemarse o destruirse.


4


punto de operacin despus de algunas desviaciones transitorias. El desempe o o e n durante el per odo transitorio suele ser menos importante. Las especicaciones estticas se reeren a la respuesta del sistema de lazo a cerrado, en estado estacionario, ante entradas especicadas. Las entradas que se usan con frecuencia son escalones o rampas en la referencia y escalones en las perturbaciones. Aunque estas son las ms usadas, es posible especicar a comportamientos ms complejos. a Vamos a suponer que la funcin de sensibilidad es de la forma o S(s) = m sm + 1 s + 0 (s z1 ) (s zm ) = sn + 1 s + 0 (s p1 ) (s pn )

donde todos los polos pi SPI. Analizaremos en primer lugar la respuesta ante escalones.

6.3.1.

Error de posicin o

Consideremos de nuevo el sistema de la gura 6.1, inicialmente sin perturbacin (d = 0) y con una se al de referencia tipo escaln de amplitud A. o n o Supongamos que S(s) es estable. Entonces, del teorema del valor nal, el error de estado estacionario es: es := l e(t) = l se(s) = l sS(s) m m mt s0 s0

A 0 = S(0)A = . s 0

Queremos que el error sea peque o, ojal cero, en estado estacionario. Por lo n a tanto denimos el error relativo: Denicin 1 (Error de posicin) El error de posicin se dene como el o o o valor estacionario del error ante una referencia tipo escaln de amplitud A, en o por ciento (o por unidad) del valor de la referencia: p := |es | 100 = |S(0)| 100 A (6.3)

Para tener cero error de posicin, entonces, se requiere que: o S(0) = 0 =0 0 = 0 = 0

Asociado con el error de posicin vamos a analizar el efecto de las perturbao ciones. Ahora suponemos una perturbacin tipo escaln de amplitud B y cero o o referencia. Entonces, el error en estado estacionario es: ep := l e(t) = l sS(s)Gd (s) m mt s0

B = S(0)Gd (0)B. s

(6.4)

o, lo que es equivalente, T (0) = 1 S(0) = 1.Fundamentos de Control Hernando Diaz M.

6.3. DESEMPENO ESPECIFICACIONES ESTATICAS

5

Analizando las ecuaciones 6.3 y 6.4 se puede observar que para reducir los errores, tanto debidos a la referencia como a las perturbaciones, es necesario reducir el valor d.c. de S, S(0). Puesto que, S(s) = 1 1 = 1 + L(s) 1 + K(s)P (s)

esto signica que debemos tratar de que la ganancia d.c. del lazo sea lo ms a grande posible para obtener un error peque o. n Si se especica que el error de posicin debe ser menor que una cantidad o dada , por ejemplo, se debe cumplir, |S(0)| < o < lo cual se cumple si 1 L(0) < 1 , o L(0) > 1 1 1 0, o sea, k > 2. o 2 El error de posicin es p = S(O) = 2+k . Si queremos que < 0,05, se o requiere que 2 < 0,05, k > 38, o k < 22 2+k

Por lo tanto, para satisfacer las especicaciones (incluyendo, por supuesto, estabilidad), es necesario tener k > 38. Usando el valor k = 40, el error producido por una perturbacin escaln o o unitario es: |ep | = S(0)Gd (0) = 2 0,25 = 0,0119 = 1,2 % 2+kHernando Diaz M. Fundamentos de Control

6


6.3.2.

Error de velocidad

Otra se al usada frecuentemente como referencia4 es una rampa de pendin ente m. En este caso, u(t) = mt; para t 0 u(s) = m s2

Ante esta se al, el error se puede obtener como, n e(s) = S(s) m s2 (s z1 ) (s zm ) = m 2 s (s p1 ) (s pn ) (6.5)

Usando fracciones parciales, esto se puede escribir: e(s) = m B) A +m + m( trminos debidos a los polos de S(s)) e 2 s s (6.6)

Los coecientes A y B se pueden obtener, usando el teorema de los residuos [12] como: 0 A = S(0) = 0 0 1 1 0 B = S (0) = 2 0 Invirtiendo la transformada en 6.6, e(t) = 0 0 1 1 0 mt + m + trminos decrecientes exponencialmente e 0 2 0

Cuando crece el tiempo, los trminos exponenciales desaparecen, as que, e asintticamente, o 0 0 1 1 0 e(t) = mt + m (6.7) 0 2 0 Lo cual indica que la respuesta estacionaria del error est compuesta por a una constante ms una rampa. En realidad, este error crece con t, a menos que a o o S(0) = 0 = 0, la cual es la condicin para cero error de posicin. Por lo tanto, 0 para que el error ante una rampa sea nito, el sistema debe tener cero error de posicin. o Denicin 2 (Error de velocidad) El error de velocidad se dene como el o valor estacionario del error ante una referencia tipo rampa de pendiente m, en por ciento (o por unidad) del valor de m: v : = = |S(0)t + S (0)| 100 0 0 1 1 0 t+ 100 0 2 0 (6.8) (6.9)

4 Nunca se usan rampas como perturbaciones. En caso necesario, se puede incluir la dinmica en Gd (s) a


6.4. ESPECIFICACIONES EN TIEMPO Y FRECUENCIA

7

Para tener un error de velocidad nito, se requiere que 0 = 0 y esto simplica la expresin del error de velocidad: o v := 1 100 0 (6.10)

pero si lo que se requiere es que el error de velocidad sea cero, 1 debe ser cero. Accin integral o Cuando el controlador K(s) o la planta P (s) tienen un integrador libre, entonces la funcin de transferencia L(s) se puede escribir, o L(s) = 1 L1 (s) s

y, por lo tanto, L(0) , lo cual garantiza que el error de posicin es cero o siempre. El tipo de un sistema Consideremos un sistema de lazo cerrado con realimentacin unitaria como o se muestra en la gura 6.1. Hemos visto que la presencia de un integrador tiene un efecto dramtico sobre la respuesta esttica: Si la planta contiene a a un integrador, el error de posicin siempre ser cero, independientemente del o a controlador, Si tiene dos, el eror de velocidad es cero, etc. Este concepto conduce a la siguiente denicin: o Denicin 3 (Tipo de un sistema.) Un proceso descrito por la funcin de o o transferencia P (s) es de tipo k, si P (s) se puede escribir en la forma P (s) = P1 (s) sk

donde la funcin de transferencia P1 (s) no tiene polos (ni ceros) en s = 0. o1 Ejemplo 2 P (s) = s(s+1) es tipo 1 mientras que Q(s) = 1 3. B(s) = s5 no es de ningn tipo. u s+1 s3 (s1)(s2)

es tipo

Usando la denicin anterior, tenemos que un sistema tipo 1 siempre tiene o un error de posicin igual a cero y error de velocidad nito. Un sistema tipo 2 o tiene error de velocidad cero.

6.4.

Especicaciones en tiempo y frecuencia

Las especicaciones estticas garantizan que la respuesta del proceso ala cance un valor deseado, con error tolerable. Sin embargo, eso slo se logra o despus de un per e odo transitorio que puede tardar mucho tiempo e incluirHernando Diaz M. Fundamentos de Control

8


desviaciones intolerables para el proceso. Por esta razn, es necesario consido erar tambin especicaciones relativas a la respuesta transitoria. Las especie caciones, por lo general, se reeren a la respuesta ante un escaln; esto se usa, o aun en casos en los cuales el sistema va a estar sometido a entradas diferentes a escalones.

6.4.1.

Cambios en la referencia

Consideremos, en primer lugar un sistema sin perturbaciones, como se muestra en la gura 6.2 Una respuesta t pica de un sistema ante un escaln tiene o u(s) T (s) y(s)

Figura 6.2: Sistema con entrada y salida

la forma mostrada en la gura 6.3, la cual servir para denir las principales a caracter;isticas que pueden ser especicadas. Los siguientes indicadores caracterizan la respuesta a un escaln de altura o a: ys : El valor estacionario de y(t). ts : El tiempo de asentamiento es el tiempo que tarda la respuesta en quedar dentro de una franja ys (1 0,05)5 .5 O,

puede ser 0.01 o 0.02, segn las necesidades. u

SP B

ys

tr

ts

Figura 6.3: Respuesta al escaln t o pica


6.4. ESPECIFICACIONES EN TIEMPO Y FRECUENCIA e(t)

9

es ts Figura 6.4: Respuesta a perturbacin tipo escaln o o

SP : El sobrepico (mximo) es el valor pico de exceso de la respuesta con rea specto a ys . Por lo general se especica en por ciento o por unidad de ys : |ymax ys | SP ( %) = 100 ( %) ys tr : El tiempo de subida se dene como el tiempo que tarda la respuesta en llegar a 0,9ys por primera vez6 . tr es una buena medida de la rapidez con que responde el sistema. B: El segundo sobrepico. Generalmente se usa para denir la llamada Relacin o de decaimiento SP RD = B Para ilustrar estos conceptos supongamos un usuario que oprime el botn o marcado 7 en un ascensor. En este contexto, el ascensor se comporta como un control de posicin. El valor estacionario (ys ) determina el nivel a donde o nalmente se llega. Por supuesto, el usuario espera que sea exactamente el sptimo piso. Pero seguramente un error de 1 cm es tolerable. ts es el tiempo e que tarda el ascensor en estabilizarse en la altura nal; seguramente el usuario desea que sea corto. El sobrepico implica que el ascensor se pasa un poco de la altura deseada; no es muy agradable un sobrepico muy pronunciado, por razones de comodidad. En este sistema probablemente no sea necesario ni deseable que tr sea muy corto (por qu?), pero hay muchos ejemplos de e procesos donde esto es muy importante.

6.4.2.

Perturbaciones

Una respuesta t pica del error debido a una perturbacin es la de la gura o 6.4. Por lo general, las especicaciones en este caso se reeren al error esttico, a al error mximo permisible y al tiempo de asentamiento. a6 Algunos

denen tr como el tiempo que tarda y(t) en pasar de 0,1ys a 0,9ys .Hernando Diaz M. Fundamentos de Control

emx a

10


6.4.3.

Mrgenes de estabilidad a

Una alternativa de especicacin, muy usada en la industria elctrica y o e aeroespacial, consiste en expresar los requisitos del dise o en trminos de la n e respuesta de frecuencia. Esto tiene la ventaja de que no se limita a un tipo de entrada sino que describe la respuesta ante muchos est mulos. Es posible garantizar algunas caracter sticas de la respuesta dinmica mediante la especia cacin de mrgenes de ganancia y de fase de L(s). Sin embargo, el uso de o a estas especicaciones se justica ms por sus caracter a sticas de robustez ante incertidumbres, tal como se discutin en el cap o tulo de estabilidad. El margen de ganancia constituye una garant ante posibles errores o cama bios en la ganancia de estado estacionaria del sistema. La especicacin se da o en la forma MG > m La cual implica que la ganancia d.c. se puede multiplicar por m sin perder estabilidad. Un valor t pico de esta especicacin es M G > 2, ( 6dB). o El margen de ganancia garantiza que el sistema es unmune ante retardos y tiempos muertos. 7 La especicacin se enuncia en la forma: o MF > f Lo cual garantiza que el sistema puede soportar un retardo no modelado mxia mo de f /c, donde c es la frecuencia de cruce de ganancia (crossover). Un valor t pico especicado es M F > 60 .

6.4.4.

Mxima ganancia pico a

Es posible establecer especicaciones en el dominio de frecuencia con base en las funciones de transferencia de lazo cerrado. Este tipo de especicacin o se puede relacionar ms fcilmente con las especicaciones en el dominio del a a tiempo. Adems, como veremos, estas especicaciones estn a a ntimamente relacionadas con los mrgenes de fase y de ganancia. a Denicin 4 (Ganancia pico) La ganancia pico de una funcin de transo o ferencia F (s) se dene como8 MF := mx |F (j)| a

Entonces, tenemos que MS = mx |S(j)| , a

MT = mx |T (j)| a

Valores t picos especicados son MS < 2 y MT < 1,25.7 probablemente asociados con aproximaciones obtenidas en punto de operacin diferentes o al usado actualmente. 8 Conocido en matemticas como la norma H . Por lo tanto, M = F a F .


6.4. ESPECIFICACIONES EN TIEMPO Y FRECUENCIA

11

Los valores de MS y MT no son independientes. En efecto, usando la desigualdad triangular, ||S| |T || |S + T | = 1 lo cual implica que la diferencia entre los dos no puede ser mayor que 1. As que, por lo general, basta especicar uno solo de MS o MT . MS caracteriza el desempe o del sistema de lazo cerrado, desde el punto n de vista del error9 En efecto, puesto que e = S(r Gd d), podemos analizar el efecto del controlador comparando este error con el que se presenta cuando se elimina el controlador (u = 0), el cual es e0 = r Gd d. Notamos que si |S(j)| < 1, el efecto del controlador es benco, comparado con el sise tema sin controlador. Pero si |S(j)| > 1, el controlador, de hecho, empeora el desempe o. Las especicaciones estticas siempre requieren que |S| < 1 a n a baja frecuencia. Adems, hemos visto en el cap a tulo Chapter ?? que todos los sistemas f sicos reales son estr ctamente propios (todos dejan de responder a medida que la frecuencia aumenta son pasa-bajos). Eso signica que para altas frecuencias, |L| 0. Por lo tanto, l |S(j)| = 1. m En realidad, como muestra [19], para todos los sistemas reales, |S(j)| > 1 para alguna frecuencia. En efecto, para = 180 , (j) es real y negativo. Por lo tanto, 1 S(j180 ) = 1 > 1 1 MG Por lo tanto, todo sistema para el cual exista 180 (que resulta ser cualquier sistema dinmico), MS > 1. a Existe una ntima relacin entre MS y M F o M G. Es posible probar 10 lo o siguiente: Teorema 1 Si el sistema de lazo cerrado tiene una ganancia pico MS , entonces, MS 1 MG , M F 2 sin1 MS 1 2MS Adems, si el M F est dado en radianes, a a MF 1 MS

Ejemplo 3 La especicacin tpica de MS < 2 implica que M G 2 y M F o 0,5 rad = 28,6 Para nalizar esta seccin, hay que anotar que un mayor valor de MS implica, o normalmente, un mayor sobrepico en la respuesta al escaln. o9 Este 10 Ver

desarrollo est basado en [19], seccin 2.4.3. a o el apndice de este cap e tuloHernando Diaz M. Fundamentos de Control

12


6.4.5.

Ancho de banda

El ancho de banda de un sistema de lazo cerrado caracteriza las frecuencias ms altas que producen una respuesta del sistema. Teniendo en cuenta que una a respuesta ms rpida implica siempre mayor contenido de alta frecuencia, es a a claro que el ancho de banda tiene relacin directa con la velocidad de respuesta. o Sin embargo, a n queda la pregunta de cmo caracterizar el ancho de banda. u o Para propsitos de control, la denicin ms adecuada se basa en la funcin de o o a o sensibilidad: Denicin 5 (Ancho de banda) El Ancho de banda del sistema de lazo cero 1 rado (B ) se dene como la menor frecuencia a la cual |S(j)| 2 Es posible dar una especicacin del ancho de banda con base en la funcin de o o transferencia de lazo L. Se puede probar que si M F < 90 entonces, c > B .

6.4.6.

Ganancia de alta frecuencia

La ultima especicacin, en el dominio de frecuencia, se requiere para aten o uar el ruido de medicin, el cual suele ser de alta frecuencia. Para limitar el o efecto de este ruido sobre la respuesta del sistema, se suele agregar una especicacin acerca de la mxima ganancia a una cierta frecuencia, digamos n , por o a encima de la cual el ruido puede ser signicativo. La especicacin se da en la o forma redefinida |T (jn )| < m

6.5.

Especicaciones sobre la seal de control n

Para evitar la saturacin de los actuadores y sus consecuencias desagrado ables sobre el eistema, es necesario incluir en los dise os una restriccin sobre la n o magnitud de la se al que se le aplica al actuador. Por lo general, esta restriccin n o se da en la forma de una desigualdad Um u(t) Umx , t 0 n a donde Um y Umx son los valores m nimo y mximo permisibles para u. a n a Teniendo en cuenta que la se al u normalmente representa desviaciones n con respecto al valor nominal de la salida del actuador, esta restriccin se suele o escribir como |u(t)| UM

6.6.

Ejerciciosm s m + 1 s + 0 sn + 1 s + 0

1. Demuestre que en un sistema de lazo cerrado con T (s) =

el error de posicin es cero si y slo si 0 = 0 y el error de velocidad es o o cero si y slo si el error de posicin es cero y 1 = 1 . o oFundamentos de Control Hernando Diaz M.

6.6. EJERCICIOS

13

Apndice e

1

MF

/2

L(

j

c)

Figura 6.5: Margen de Fase Notemos que L(j180 ) = 1/M G. Por lo tanto, T (j180 ) S(j180 ) Entonces, MG La gura 6.5 muestra que |S(jc )| Recordando que |L(jc )| = 1, MS |S(jc )| = |T (jc )| = Luego, sen (M F/2) y, entonces, M F 2 arc sen cuando el M F est dado en radianes. aHernando Diaz M. Fundamentos de Control

1

= 1/ |1 + L(jc )| = 1/ |1 L(jc )|

L( ) j c

1

= =

1 MG 1 1 1 1/M G MS MS 1

(6.11) (6.12)

1 2 sen (M F/2)

1 2MS 1 MS

1 2MS

Cap tulo 7

Dise o de controladores nEn este cap tulo vamos a estudiar algunos de los controladores ms simples. a Sin embargo, no se los puede menospreciar: algunos estudios indican que los tipos de controladores que consideraremos aqu constituyen por lo menos el 90 % de todos los controladores usados en la industria y la mayor de los a ingenieros de control se ganan la vida dise ando e instalando controladores n simples. Empezaremos por desarrollar el concepto de un control perfecto, el cual es slo una idealizacin de lo que queremos que haga el controlador. No obstante o o su carcter ideal, esta idea es muy poderosa y con frecuencia se usa en control a para evaluar las posibilidades y limitaciones de control. A continuacin, se considerar el control PID, tal vez el ms usado de too a a dos. Veremos sus propiedades y algunos mtodos de dise o, de carcter emp e n a rico. Tambin consideraremos el problema de saturacin de los actuadores y su e o efecto sobre el control PID. Para terminar, estudiaremos el control on-o, considerndolo como un caso particular del anterior. a

7.1.

Control perfecto

El objetivo de un sistema de control es el de lograr que la respuesta de la planta sea como la deseamos, aunque existan perturbaciones. Si el modelo del proceso se puede representar como en la gura 7.1, por medio de, y(s) = P (s)u(s) + Gd (s)d(s) Vamos a suponer que es posible, de alguna forma, hallar una funcin de o transferencia que es la inversa de P (s)1 ; es decir, supondremos que existe una P 1 (s), tal que P 1 (s)P (s) = 1. En ese caso, es posible lograr lo que se conoce como Control perfecto: Podemos hallar una u tal que y(t) = r(t), t. Diremos que este controlador logra Seguimiento perfecto porque la salida es igual a la referencia todo el tiempo, y tambin logra Rechazo de perturbaciones perfecto e1 Despus e

consideraremos el problema de hallar la inversa.

1

2

CAP ITULO 7. DISENO DE CONTROLADORES

puesto que el efecto de las perturbaciones es eliminado exactamente. En efecto, si usamos u(s) = P 1 (s) [r(s) Gd (s)d(s)] entonces, d Gd (s) u y

P (s)

Figura 7.1: Proceso con perturbacin o y(s) = P (s) P 1 (s) [r(s) Gd (s)d(s)] + Gd (s)d(s) = r(s) Gd (s)d(s) + Gd (s)d(s) = r(s) Lo cual prueba que si podemos hallar la Inversa de la planta P 1 (s), se puede lograr control perfecto2 . Prcticamente todos los mtodos de dise o de a e n controladores buscan aproximar de una forma u otra esta inversa. Usando este control, el sistema controlado tiene la estructura mostrada en la gura 7.2 d

Gd (s) r P 1 (s) Controlador Figura 7.2: Control perfecto u

Gd (s) y

P (s)

Sin embargo, rpidamente vemos que el problema de hallar la inversa no es a fcil: Si P (s) es estrictamente propia, entonces 1/P (s) es impropia; adems, si a a P es inestable, el producto P (s)P 1 (s) incluye una cancelacin polo-cero en o SPD, las cuales hemos excluido terminantemente. Aun as la idea de inversin , o sigue siendo vlida, aunque sea slo una inversa aproximada. a o2 Claro,

tambin suponemos que la peturbacin d se puede medir. e o


7.2. REALIMENTACION DE ALTA GANANCIA

3

7.2.

Realimentacin de alta ganancia o

La forma ms usada de aproximar la inversin consiste en usar realimentacin. a o o Hemos visto en el cap tulo ??, seccin ?? que un sistema de control con reo alimentacin con alta ganancia produce una se al u que es aproximadamente o n igual a P 1 (s)r(s). Por lo tanto, podemos aproximar la conguracin del cono trolador por medio de la conguracin de lazo cerrado, mostrada en la gura o 7.3. 7.2 d

Gd (s) r K(s) Controlador u

Gd (s) y

P (s)

Figura 7.3: Inversin aproximada por realimentacin o o En la prctica, no es posible usar ganancias demasiado grandes por varias a razones: En primer lugar, una ganancia muy alta suele producir una se al n u(t) grande, lo cual produce saturacin de los actuadores; ya hemos visto en o el cap tulo ?? que esto tiene efectos indeseables. En segundo lugar, tambin e hemos aprendido que una ganancia alta produce una sensibilidad baja, pero tambin produce amplicacin del ruido de medicin. Sin embargo, es posible e o o dise ar la funcin K(s) de tal forma que tenga una ganancia sucientemente n o alta a las frecuencias donde las se ales r(j) y d(j) son signicativas. n

7.3.

Control PID

El tipo de controlador ms usado en la industria es, sin lugar a dudas, a el llamado Proporcional Integral Diferencial o PID (por sus iniciales). Este consiste (idealmente) en una funcin de transferencia de la forma: o K(s) = kp + La cual se preere escribir en la forma, K(s) = kp 1 + 1 + Td s Tr s de(t) . dt (7.1) ki + kd s s

Esto corresponde a una relacin en el dominio del tiempo de la forma: o u(t) = kp e(t) + 1 Trt

e( ) d + Td0


4


Es decir, una parte Proporcional al error, otra proporcional a la Integral del error y una a la Derivada del error con respecto al tiempo. Los coecientes de la expresin del error se conocen con los siguiente nomo bres: kp : Ganancia (proporcional) ki : Ganancia integral kd : Ganancia diferencial Tr : Tiempo de reposicin (reset) o Td : Tiempo diferencial. La ecuacin 7.1 muestra que la expresin del controlador no es propia, o o por lo cual no se puede realizar f sicamente. El trmino diferencial3 (D) no se e puede implementar en forma exacta. Por eso en la prctica se remplaza por a una funcin propia de la forma, o Td s 1 + d s donde d es un parmetro jado por el fabricante, el cual determina la ganancia a de alta frecuencia; esta ganancia es la que determina la atenuacin del ruido a o alta frecuencia. d por lo general se escoge como d = N Td con N [5, 20]. El controlador PID real est dado por: a K(s) = kp 1 + Td s 1 + Tr s 1 + d s (7.2)

el cual se puede escribir como una funcin de segundo orden con un integrador o (polo en s = 0): K(s) = kp Tr (Td + d ) s2 + (Tr + d ) s + 1 Tr s (1 + d s)

El polo en s = 0 (o lo que es equivalente, el integrador) produce una ganancia innita a baja frecuencia, con lo cual se logra el efecto de inversin para las o se ales de baja frecuencia. n

7.3.1.

Sintonizacin de controladores PID o

La sintonizacin de controladores PID se lleva a cabo mediante procedimieno tos emp ricos. Las tcnicas ms utilizadas fueron publicadas por J.G. Ziegler y e a N.B. Nichols, en 1942. Ziegler y Nichols crearon dos mtodos. Uno de ellos se e basa en la respuesta del proceso ante un escaln; se le conoce como el mtodo o e de lazo abierto o de Curva de reaccin. El otro mtodo se basa en encontrar o e3 Algunos

lo llaman derivativo.


7.3. CONTROL PID

5

el margen de ganancia del sistema de lazo cerrado; se conoce como mtodo de e oscilacin. o En realidad no existe ninguna garant de que los mtodos emp a e ricos produzcan un ajuste adecuado. Por lo general, los valores recomendados sirven como ajuste inicial, a partir del cual se debe anar el ajuste, de acuerdo con la respuesta obtenida. Para lograr un buen ajuste, vale la pena considerar el efecto que tiene variar cada uno de los parmetros. Para facilitar el anlisis, hemos a a resumido en la siguiente tabla 7.1 el efecto de aumentar kp , Ti y Td , sobre la velocidad de respuesta y sobre la estabilidad del sistema de lazo cerrado. Parmetro a kp Ti Td Estabilidad Desestabilizador Estabilizador Estabilizador Velocidad Aumenta Disminuye Aumenta

Cuadro 7.1: Efecto de aumentar parmetros del controlador PID a

Mtodo de lazo abierto e En este mtodo el proceso se lleva a su punto de operacin con el controlador e o desconectado y, en ese punto, se somete a un cambio en la entrada tipo escaln, o con lo cual la entrada pasa de un valor inicial u0 a un valor uf . Por lo general, se recomienda que el escaln sea de 10 a 20 % del valor nominal. o La respuesta del proceso se debe registrar. Una respuesta t pica se muestra en la curva gruesa de la gura 7.44 . La respuesta al escaln se conoce como o curva de reaccin en la industria de procesos. oyf

y0 yI

L

tmx a

t1 Figura 7.4: Curva de reaccin t o pica

Tiempo (seg)

4 Si

la respuesta al escaln no es de esta forma, el mtodo no es aplicable. o eHernando Diaz M. Fundamentos de Control

6


A partir de la curva de reaccin se obtienen los valores inicial y0 y nal o yf de la respuesta y, adems, el punto de inexin; es decir el punto donde a o la pendiente de la curva es mxima, la cual ocurre en el tiempo tmx . En ese a a punto se traza la tangente y se encuentra su cruce con las rectas de y = y0 y y = yf . Los cruces se producen en L y t1 , respectivamente, tal como se muestra en la gura 7.4. Tambin se requiere el punto de interseccin con t = 0, yI . e o Ahora denimos los siguientes parmetros a T = t1 L; K= ys y0 ; uf u0 a = y0 yI

Usando estos parmetros se puede aproximar la respuesta de lazo abierto por a medio de un sistema de primer orden con retardo, en la forma: P (s) = K eLs Ts + 1

Los valores recomendados por Ziegler y Nichols son los siguientes (tabla 7.2), dependiendo de si se va a instalar slo un control Proporcional (P), Proo porcional Integral (PI) o un Proporcional Integral Diferencial (PID) completo. Tipo P PI PID kp 1/a 0,9/a 1,2/a Ti 3L 2L Td

0,5L

Cuadro 7.2: Valores recomendados para el controlador PID

Mtodo de lazo cerrado e Ziegler y Nichols desarrollaron otro mtodo utilizable en plantas que son e estables en lazo abierto. El procedimiento consiste en lo siguiente: 1. Usar un ganancia kp muy baja y desactivar la accin integral I (hacer o Ti = ) y la diferencial D (haciendo Td = 0). 2. Incrementar la ganancia kp lentamente hasta cuando el sistema de lazo cerrado oscile. 3. Registrar la ganancia kcr a la cual se produce la escilacin y el per o odo Tcr , tal como se ilustra en la gura 7.5. 4. Los valores recomendados para los parmetros del controlador estn daa a dos en trminos de kcr y Tcr , seg n la tabla 7.3 e uFundamentos de Control Hernando Diaz M.

7.3. CONTROL PID Tipo P PI PID kp 0,5kcr 0,45kcr 0,6kcr Ti 0,83Tcr 0,5Tcr Td

7

0,125Tcr

Cuadro 7.3: Valores recomendados para el controlador PID Tcr

Tiempo (seg)

Figura 7.5: Sistema con ganancia cr tica

Cuando se dispone de un modelo para el proceso, es fcil encontrar la ganana cia y el per odo cr ticos usando simulacin o la tabla de RH5 . o Ejemplo 1 Consideremos un proceso descrito por la funcin de transferencia o P (s) = 1 (s + 1) (1,25s + 1) (4s + 1)

Para este proceso se obtuvo la respuesta al escaln (curva de reaccin), la cual o o se muestra en la gura 7.6. Usando la gura, se obtiene, L = 1,303; K = 1; t1 = 8,89; a = 0,172

de donde, T = t1 L = 7,59. Usando estos datos se obtienen los parmetros a para un controlador PID: kp = 1,2/a = 6,98; Ti = 2L = 2,6; Td = 0,5L = 0,65

Con estos valores se obtuvieron las respuesta del sistema de lazo cerrado ante cambios tipo escaln en la referencia y el la perturbacin, usando controladores o o tipo P, PI y PID. Estos resultados se pueden observar en la gura 7.75 Tambin e

se puede usar la tcnica de root-locus, descrita en el cap e tulo ??.Hernando Diaz M. Fundamentos de Control

8


1,0

0,5

0

0 L

tmx 5 t1 10 a 15 Figura 7.6: Curva de reaccin o

(seg)

1 0 P PI PID

Figura 7.7: Dise o Z-N, curva de reaccin. Respuesta al escaln n o o

Usando un control proporcional, e incrementando la ganancia se halla la ganancia crtica kcr = 11,91 y el perodo de oscilacin Tcr = 5,51. Usando o estos valores se puede disear el controlador PID: n kp = o,5kcr = 7,14; Ti = 0,5Tcr = 2,76; Td = 0,125Tcr = 0,69

Con estos parmetros, se obtuvo la respuesta al escaln, la cual se muestra en a o la gura 7.8, junto con las respuestas del sistema bajo controles P y PI.

1 0 P PI PID

Figura 7.8: Dise o Z-N, lazo cerrado. Respuesta al escaln n o Para este ejemplo los dos mtodos dan valores muy similares de los parmete a ros y, por lo tanto las respuestas son parecidas. Sin embargo, esto no siempreFundamentos de Control Hernando Diaz M.

7.4. SATURACION DEL ACTUADOR

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sucede. Las respuestas de lazo cerrado muestran el efecto de la accin integral o para eliminar el error esttico, pero tambin su efecto desestabilizador. La aca e cin diferencial tiene un efecto estabilizador puesto que introduce el equivalente o de amortiguamiento. Las respuestas mostradas muestran sobrepicos pronunciados. Esta es una caracterstica frecuente en los diseos realizados mediante el ajuste de Ziegler n Nichols. Se han desarrollado muchos mtodos alternativos para ajustar controladores e PID. Algunos de los ms utilizados son los de Cohen-Coon, el cual usa curva de a reaccin y el de Astrom, el cual utiliza un rel para hallar los valores de kcr y Tcr o e en forma ms simple y segura. La referencia [2] contiene muchas indicaciones a sobre el uso y ajuste as como variantes y renamientos del controlador PID.

7.4.

Saturacin del actuador o

La saturacin del actuador deteriora el desempe o del sistema de lazo cero n rado. La razn bsica es que mientras el actuador est saturado, el sistema o a a act a prcticamente como si estuviera en lazo abierto y la respuesta no afecta u a a la se al de entrada. n En el caso de un controlador con accin integral como los PID, este fenmeno o o se hace ms pronunciado, debido a que el integrador suma todos los errores , sin a tomar en cuenta que la se al que afecta al proceso no es la que el controlador n produce sino la que el actuador puede producir. As mientras haya saturacin, o por ejemplo en el l mite superior, la integral aumenta sin que esto afecte realmente al proceso. Sin embargo, cuando se requiera que la seal de control baje, n el controlador est dominado por el trmino integral y se demorar en producir a e a el efecto necesario. Este fenmeno se conoce como Saturacin integral o reset o o windup. Para ver el efecto de la saturacin sobre la respuesta del sistema, considero emos de nuevo el ejemplo anterior. Vamos a suponer que el actuador tiene un l mite de variacin tal que o |u(t)| 2 En ese caso la respuesta es mucho ms lenta para responder y tarda mucho a ms tiempo en llevar el error a cero por primera vez. Esto se puede apreciar en a la gura 7.9, en donde la l nea punteada muestra la respuesta obtenida con un actuador sin limitaciones y la l nea continua es la respuesta del sistema real, con actuador limitado. Anti reset-windup Para evitar los efectos molestos e inconvenientes de la saturacin sobre el sistema de lazo cerrado es necesario que el controlador PID o utilice alguna forma de compensar estos efectos siempre que se pueda detectar la saturacin. o La forma ms simple de compensacin consiste en suspender la integracin a o o cuando el actuador est saturado. A esta alternativa se le conoce como inteaHernando Diaz M. Fundamentos de Control

10


1 0 P Figura 7.9: Efecto de la saturacin integral o PI

gracin condicional y el controlador resultante se conoce como control antio windup 6 o control de la saturacin integral. o

1 0 P PI

Figura 7.10: Efecto de la saturacin integral y del control antiwindup o En la gura 7.10 se observa el resultado de un control PID con CAW. La l nea de rayas es la respuesta del sistema sin anti-windup y la l nea continua es el resultado del control CAW. Para referencia se ha incluido tambin la e respuesta del sistema con actuador no saturado (l nea punteada). Vemos que el CAW reduce drsticamente el sobrepico y, en general, produce una respuesta a mucho mejor. La velocidad de respuesta, representada por el tiempo de subida, sigue siendo mayor que el caso sin saturacin, pero esto es inevitable, a menos o que se pueda remplazar el actuador.

7.5.

Control on-o

Supongamos un sistema de control proporcional. Esto signica que un error peque o producir un valor alto de u(t) = kp e(t). Si la ganancia es muy grande, n a entonces, el actuador se saturar muy fcilmente. Si el actuador tiene un rango a a de operacin dado por o um u(t) um n n entonces, la salida del actuador consistir en una se al que salta de umx a a n a um y viceversa, cada vez que e(t) cambia de signo. n6 El

cual abreviaremos como CAW


7.5. CONTROL ON-OFF

11

La aplicacin t o pica de este tipo de controlador es en la regulacin de temo peratura de un horno elctrico (tambin se usan frecuentemente para regular e e presiones). Prcticamente todos los hornos peque os funcionan de esta forma. a n Veamos cmo funciona este sistema: Supongamos que um = 0. En primer o n lugar, cuando se aplica un escaln positivo r, por ejemplo cuando se enciende o el horno la se al de control toma su valor mximo (u(t) = um ), lo cual n a n hace aumentar la variable controlada (temperatura) hasta cuando se logra que e(t) = 0, es decir, cuando y(t) = r (la temperatura alcanz el nivel deseado). o En este punto, e(t) cambia de signo, lo cual provoca el cambio a u(t) = 0 (la corriente en la resistencia del horno se interrumpe). La resistencia empieza a enfriarse, pero a n es capaz de calentar un poco el interior del horno. Poco u tiempo despus, el horno empieza a enfriarse. Cuando la temperatura desciende e por debajo del valor r, el error nuevamente se vuelve positivo y la resistencia se enciende. Este proceso mantiene la temperatura en el valor deseado. Sin embargo, Hay un problema con este controlador. Cuando la temperatura se encuentra muy cerca del valor deseado, la resistencia de calefaccin o prende y apaga permanentemente7 , lo cual con seguridad da ar el interrupn a tor o contactor usado para abrir y cerrar el circuito. Aunque mantendr la a temperatura en el valor deseado. Cmo se puede evitar esta situacin? o o Una solucin ideada para evitar este problema consiste en apagar y prender o el actuador en valores diferentes: Se apaga cuando e(t) = E1 y vuelve a prender cuando e(t) = E2 , donde E1 > E2 . Esta relacin se puede representar en o forma grca como muestra la gura 7.11. Este tipo de relacin se conoce como a o histresis. Ntese que el valor de u(t) no depende en este caso unicamente del e o valor del error u(t), sino tambin de su derivada. Cuando 0 e(t) E1 , e u(t) = umx si e(t) es decreciente y u(t) = umx en caso contrario. a a u(t)

umx a E2 um n E1 e(t)

Figura 7.11: Control on-o7A

esta condicin se le conoce como modo de chirrido (shattering mode). oHernando Diaz M. Fundamentos de Control

12


La diferencia = E1 E2 se conoce como Magnitud de Ajuste. Este valor caracteriza la operacin del sistema de lazo cerrado, puesto que el error oso cilar entre E2 y E1 en un comportamiento peridico, conocido como Ciclo a o lmite. La amplitud de la oscilacin es . La gura 7.12 muestra la respuesta de o un sistema con control On-O ante un cambio en la referencia y ante una perturbacin. La gura tambin ilustra el comportamiento del actuador. Ntese o e o la aparicin del ciclo l o mite en la respuesta.

y(t)

u(t)

Figura 7.12: Respuesta sistema con control On-O La especicacin de los controladores se suele dar en trminos del ajuste o e y de uno de los valores E1 o E2 . Las dos opciones se conocen con los siguientes nombres: Ajuste aditivo: Se especica E2 . E1 est dado por E1 = E2 + . a Ajuste diferencial: Se especica E1 . En ese caso, E2 = E1 . La amplitud del ciclo l mite es y su frecuencia depende de la dinmica a del proceso. Esta frecuencia es la que determina el deterioro del interruptor. Para el controlador On-O, al igual que para el PID, la velocidad de respuesta depende fundamentalmente del valor umx del actuador. a Puesto que el controlador On-O es, bsicamente, un controlador de alta a ganancia, produce una aproximacin aceptable a la inversa P 1 (s). Es capaz o de rechazar perturbaciones y seguir la referencia. Sin embargo, la presencia del ciclo l mite crea algunos inconvenientes. Dependiendo de la aplicacin, stos o e pueden ser inaceptables; por ejemplo en sistemas electromecnicos, las vibraa ciones resultantes pueden ser muy da inas y producir fatiga de los materiales. n


Cap tulo 7

Dise o de controladores nEn este cap tulo vamos a estudiar algunos de los controladores ms simples. a Sin embargo, no se los puede menospreciar: algunos estudios indican que los tipos de controladores que consideraremos aqu constituyen por lo menos el 90 % de todos los controladores usados en la industria y la mayor de los a ingenieros de control se ganan la vida dise ando e instalando controladores n simples. Empezaremos por desarrollar el concepto de un control perfecto, el cual es slo una idealizacin de lo que queremos que haga el controlador. No obstante o o su carcter ideal, esta idea es muy poderosa y con frecuencia se usa en control a para evaluar las posibilidades y limitaciones de control. A continuacin, se considerar el control PID, tal vez el ms usado de too a a dos. Veremos sus propiedades y algunos mtodos de dise o, de carcter emp e n a rico. Tambin consideraremos el problema de saturacin de los actuadores y su e o efecto sobre el control PID. Para terminar, estudiaremos el control on-o, considerndolo como un caso particular del anterior. a

7.1.

Control perfecto

El objetivo de un sistema de control es el de lograr que la respuesta de la planta sea como la deseamos, aunque existan perturbaciones. Si el modelo del proceso se puede representar como en la gura 7.1, por medio de, y(s) = P (s)u(s) + Gd (s)d(s) Vamos a suponer que es posible, de alguna forma, hallar una funcin de o transferencia que es la inversa de P (s)1 ; es decir, supondremos que existe una P 1 (s), tal que P 1 (s)P (s) = 1. En ese caso, es posible lograr lo que se conoce como Control perfecto: Podemos hallar una u tal que y(t) = r(t), t. Diremos que este controlador logra Seguimiento perfecto porque la salida es igual a la referencia todo el tiempo, y tambin logra Rechazo de perturbaciones perfecto e1 Despus e

consideraremos el problema de hallar la inversa.

1

2


puesto que el efecto de las perturbaciones es eliminado exactamente. En efecto, si usamos u(s) = P 1 (s) [r(s) Gd (s)d(s)] entonces, d Gd (s) u y

P (s)

Figura 7.1: Proceso con perturbacin o y(s) = P (s) P 1 (s) [r(s) Gd (s)d(s)] + Gd (s)d(s) = r(s) Gd (s)d(s) + Gd (s)d(s) = r(s) Lo cual prueba que si podemos hallar la Inversa de la planta P 1 (s), se puede lograr control perfecto2 . Prcticamente todos los mtodos de dise o de a e n controladores buscan aproximar de una forma u otra esta inversa. Usando este control, el sistema controlado tiene la estructura mostrada en la gura 7.2 d

Gd (s) r P 1 (s) Controlador Figura 7.2: Control perfecto u

Gd (s) y

P (s)

Sin embargo, rpidamente vemos que el problema de hallar la inversa no es a fcil: Si P (s) es estrictamente propia, entonces 1/P (s) es impropia; adems, si a a P es inestable, el producto P (s)P 1 (s) incluye una cancelacin polo-cero en o SPD, las cuales hemos excluido terminantemente. Aun as la idea de inversin , o sigue siendo vlida, aunque sea slo una inversa aproximada. a o2 Claro,

tambin suponemos que la peturbacin d se puede medir. e o


7.2. REALIMENTACION DE ALTA GANANCIA

3

7.2.

Realimentacin de alta ganancia o

La forma ms usada de aproximar la inversin consiste en usar realimentacin. a o o Hemos visto en el cap tulo ??, seccin ?? que un sistema de control con reo alimentacin con alta ganancia produce una se al u que es aproximadamente o n igual a P 1 (s)r(s). Por lo tanto, podemos aproximar la conguracin del cono trolador por medio de la conguracin de lazo cerrado, mostrada en la gura o 7.3. 7.2 d

Gd (s) r K(s) Controlador u

Gd (s) y

P (s)

Figura 7.3: Inversin aproximada por realimentacin o o En la prctica, no es posible usar ganancias demasiado grandes por varias a razones: En primer lugar, una ganancia muy alta suele producir una se al n u(t) grande, lo cual produce saturacin de los actuadores; ya hemos visto en o el cap tulo ?? que esto tiene efectos indeseables. En segundo lugar, tambin e hemos aprendido que una ganancia alta produce una sensibilidad baja, pero tambin produce amplicacin del ruido de medicin. Sin embargo, es posible e o o dise ar la funcin K(s) de tal forma que tenga una ganancia sucientemente n o alta a las frecuencias donde las se ales r(j) y d(j) son signicativas. n

7.3.

Control PID

El tipo de controlador ms usado en la industria es, sin lugar a dudas, a el llamado Proporcional Integral Diferencial o PID (por sus iniciales). Este consiste (idealmente) en una funcin de transferencia de la forma: o K(s) = kp + La cual se preere escribir en la forma, K(s) = kp 1 + 1 + Td s Tr s de(t) . dt (7.1) ki + kd s s

Esto corresponde a una relacin en el dominio del tiempo de la forma: o u(t) = kp e(t) + 1 Trt

e( ) d + Td0


4


Es decir, una parte Proporcional al error, otra proporcional a la Integral del error y una a la Derivada del error con respecto al tiempo. Los coecientes de la expresin del error se conocen con los siguiente nomo bres: kp : Ganancia (proporcional) ki : Ganancia integral kd : Ganancia diferencial Tr : Tiempo de reposicin (reset) o Td : Tiempo diferencial. La ecuacin 7.1 muestra que la expresin del controlador no es propia, o o por lo cual no se puede realizar f sicamente. El trmino diferencial3 (D) no se e puede implementar en forma exacta. Por eso en la prctica se remplaza por a una funcin propia de la forma, o Td s 1 + d s donde d es un parmetro jado por el fabricante, el cual determina la ganancia a de alta frecuencia; esta ganancia es la que determina la atenuacin del ruido a o alta frecuencia. d por lo general se escoge como d = Td /N con N [5, 20]. El controlador PID real est dado por: a K(s) = kp 1 + Td s 1 + Tr s 1 + d s (7.2)

el cual se puede escribir como una funcin de segundo orden con un integrador o (polo en s = 0): K(s) = kp Tr (Td + d ) s2 + (Tr + d ) s + 1 Tr s (1 + d s) (7.3)

El polo en s = 0 (o lo que es equivalente, el integrador) produce una ganancia innita a baja frecuencia, con lo cual se logra el efecto de inversin para las o se ales de baja frecuencia. n

7.3.1.

Sintonizacin de controladores PID o

La sintonizacin de controladores PID se lleva a cabo mediante procedimieno tos emp ricos. Las tcnicas ms utilizadas fueron publicadas por J.G. Ziegler y e a N.B. Nichols, en 1942. Ziegler y Nichols crearon dos mtodos. Uno de ellos se e basa en la respuesta del proceso ante un escaln; se le conoce como el mtodo o e de lazo abierto o de Curva de reaccin. El otro mtodo se basa en encontrar o e3 Algunos

lo llaman derivativo.


7.3. CONTROL PID

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el margen de ganancia del sistema de lazo cerrado; se conoce como mtodo de e oscilacin. o En realidad no existe ninguna garant de que los mtodos emp a e ricos produzcan un ajuste adecuado. Por lo general, los valores recomendados sirven como ajuste inicial, a partir del cual se debe anar el ajuste, de acuerdo con la respuesta obtenida. Para lograr un buen ajuste, vale la pena considerar el efecto que tiene variar cada uno de los parmetros. Para facilitar el anlisis, hemos a a resumido en la siguiente tabla 7.1 el efecto de aumentar kp , Ti y Td , sobre la velocidad de respuesta y sobre la estabilidad del sistema de lazo cerrado. Parmetro a kp Ti Td Estabilidad Desestabilizador Estabilizador Estabilizador Velocidad Aumenta Disminuye Aumenta

Cuadro 7.1: Efecto de aumentar parmetros del controlador PID a

Mtodo de lazo abierto e En este mtodo el proceso se lleva a su punto de operacin con el controlador e o desconectado y, en ese punto, se somete a un cambio en la entrada tipo escaln, o con lo cual la entrada pasa de un valor inicial u0 a un valor uf . Por lo general, se recomienda que el escaln sea de 10 a 20 % del valor nominal. o La respuesta del proceso se debe registrar. Una respuesta t pica se muestra en la curva gruesa de la gura 7.44 . La respuesta al escaln se conoce como o curva de reaccin en la industria de procesos. oyf

y0 yI

L

tmx a

t1 Figura 7.4: Curva de reaccin t o pica

Tiempo (seg)

4 Si

la respuesta al escaln no es de esta forma, el mtodo no es aplicable. o eHernando Diaz M. Fundamentos de Control

6


A partir de la curva de reaccin se obtienen los valores inicial y0 y nal o yf de la respuesta y, adems, el punto de inexin; es decir el punto donde a o la pendiente de la curva es mxima, la cual ocurre en el tiempo tmx . En ese a a punto se traza la tangente y se encuentra su cruce con las rectas de y = y0 y y = yf . Los cruces se producen en L y t1 , respectivamente, tal como se muestra en la gura 7.4. Tambin se requiere el punto de interseccin con t = 0, yI . e o Ahora denimos los siguientes parmetros a T = t1 L; K= ys y0 ; uf u0 a = y0 yI

Usando estos parmetros se puede aproximar la respuesta de lazo abierto por a medio de un sistema de primer orden con retardo, en la forma: P (s) = K eLs Ts + 1

Los valores recomendados por Ziegler y Nichols son los siguientes (tabla 7.2), dependiendo de si se va a instalar slo un control Proporcional (P), Proo porcional Integral (PI) o un Proporcional Integral Diferencial (PID) completo. Tipo P PI PID kp 1/a 0,9/a 1,2/a Ti 3L 2L Td

0,5L

Cuadro 7.2: Valores recomendados para el controlador PID

Mtodo de lazo cerrado e Ziegler y Nichols desarrollaron otro mtodo utilizable en plantas que son e estables en lazo abierto. El procedimiento consiste en lo siguiente: 1. Usar un ganancia kp muy baja y desactivar la accin integral I (hacer o Ti = ) y la diferencial D (haciendo Td = 0). 2. Incrementar la ganancia kp lentamente hasta cuando el sistema de lazo cerrado oscile. 3. Registrar la ganancia kcr a la cual se produce la escilacin y el per o odo Tcr , tal como se ilustra en la gura 7.5. 4. Los valores recomendados para los parmetros del controlador estn daa a dos en trminos de kcr y Tcr , seg n la tabla 7.3 e uFundamentos de Control Hernando Diaz M.

7.3. CONTROL PID Tipo P PI PID kp 0,5kcr 0,45kcr 0,6kcr Ti 0,83Tcr 0,5Tcr Td

7

0,125Tcr

Cuadro 7.3: Valores recomendados para el controlador PID Tcr

Tiempo (seg)

Figura 7.5: Sistema con ganancia cr tica

Cuando se dispone de un modelo para el proceso, es fcil encontrar la ganana cia y el per odo cr ticos usando simulacin o la tabla de RH5 . o Ejemplo 1 Consideremos un proceso descrito por la funcin de transferencia o P (s) = 1 (s + 1) (1,25s + 1) (4s + 1)

Para este proceso se obtuvo la respuesta al escaln (curva de reaccin), la cual o o se muestra en la gura 7.6. Usando la gura, se obtiene, L = 1,303; K = 1; t1 = 8,89; a = 0,172

de donde, T = t1 L = 7,59. Usando estos datos se obtienen los parmetros a para un controlador PID: kp = 1,2/a = 6,98; Ti = 2L = 2,6; Td = 0,5L = 0,65

Con estos valores se obtuvieron las respuesta del sistema de lazo cerrado ante cambios tipo escaln en la referencia y el la perturbacin, usando controladores o o tipo P, PI y PID. Estos resultados se pueden observar en la gura 7.75 Tambin e

se puede usar la tcnica de root-locus, descrita en el cap e tulo ??.Hernando Diaz M. Fundamentos de Control

8


1,0

0,5

0

0 L

tmx 5 t1 10 a 15 Figura 7.6: Curva de reaccin o

(seg)

1 0 P PI PID

Figura 7.7: Dise o Z-N, curva de reaccin. Respuesta al escaln n o o

Usando un control proporcional, e incrementando la ganancia se halla la ganancia crtica kcr = 11,91 y el perodo de oscilacin Tcr = 5,51. Usando o estos valores se puede disear el controlador PID: n kp = o,5kcr = 7,14; Ti = 0,5Tcr = 2,76; Td = 0,125Tcr = 0,69

Con estos parmetros, se obtuvo la respuesta al escaln, la cual se muestra en a o la gura 7.8, junto con las respuestas del sistema bajo controles P y PI.

1 0 P PI PID

Figura 7.8: Dise o Z-N, lazo cerrado. Respuesta al escaln n o Para este ejemplo los dos mtodos dan valores muy similares de los parmete a ros y, por lo tanto las respuestas son parecidas. Sin embargo, esto no siempreFundamentos de Control Hernando Diaz M.

7.4. SATURACION DEL ACTUADOR

9

sucede. Las respuestas de lazo cerrado muestran el efecto de la accin integral o para eliminar el error esttico, pero tambin su efecto desestabilizador. La aca e cin diferencial tiene un efecto estabilizador puesto que introduce el equivalente o de amortiguamiento. Las respuestas mostradas muestran sobrepicos pronunciados. Esta es una caracterstica frecuente en los diseos realizados mediante el ajuste de Ziegler n Nichols. Se han desarrollado muchos mtodos alternativos para ajustar controladores e PID. Algunos de los ms utilizados son los de Cohen-Coon, el cual usa curva de a reaccin y el de Astrom, el cual utiliza un rel para hallar los valores de kcr y Tcr o e en forma ms simple y segura. La referencia [2] contiene muchas indicaciones a sobre el uso y ajuste as como variantes y renamientos del controlador PID.

7.4.

Saturacin del actuador o

La saturacin del actuador deteriora el desempe o del sistema de lazo cero n rado. La razn bsica es que mientras el actuador est saturado, el sistema o a a act a prcticamente como si es

diaz notas de clase de control

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