UNIVERSIDAD NACIONAL DE SAN AGUSTN

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CONTENIDO

1.Introduccin32.Despacho econmico sin considerar las prdidas de la red32.1.Formulacin del problema32.2.Solucin sin considerar lmites de generacin42.3 Solucin considerando los lmites en las potencias generadas83.Despacho econmico considerando las prdidas en la red103.1.Formulacin del problema113.2.Solucin sin considerar lmites de generacin113.3.Solucin considerando los lmites de generacin133.4.Clculo de las prdidas en la red154.Despacho econmico ambiental en sistemas trmicos184.1.Despacho econmico184.1.1.Funcin objetivo en sistema trmico184.1.2.Restricciones194.2.Despacho econmico ambiental194.3.Mtodo propuesto204.3.1.Algoritmo de solucin21

1. Introduccin La operacin econmica de los Sistemas de Potencia es muy importante para recuperar y obtener beneficios del capital que se invierte. Las tarifas que fijan las instituciones reguladoras y la importancia de conservar el combustible presionan a las compaas generadoras a alcanzar la mxima eficiencia posible, lo que minimiza el costo del kWh a los consumidores y tambin el costo que representa a la compaa esta energa. La operacin econmica que involucra la generacin de potencia y el suministro, se puede subdividir en dos partes: una, llamada despacho econmico, que se relaciona con el costo mnimo de produccin de potencia y otra, la de suministro con prdidas mnimas de la potencia generada a las cargas. Para cualquier condicin de carga, el despacho econmico determina la salida de potencia de cada central generadora que minimizar el costo de combustible necesario. En este Captulo, slo se considerar la aproximacin clsica al despacho econmico. 2. Despacho econmico sin considerar las prdidas de la red Se trata de una formulacin simplificada del problema general que proporciona una visin fsica de la solucin. Es directamente aplicable al reparto de potencias entre generadores de una misma central.

2.1. Formulacin del problema Dado un sistema con n nudos y m generadores y dadas todas las potencias demandadas por las cargas SDi, con i=1,2,...,n; determinar la potencia activa que debe generar cada generador Pi, cuyo costo de operacin es Ci(Pi), con i=1,2,......,m, para minimizar el costo total CT. Es decir:

Se observa que en la ecuacin (4.2) la restriccin de igualdad entre la potencia activa demandada por las cargas PD y la potencia total generada es simplemente el enunciado del principio de conservacin de la potencia activa en el caso de un sistema sin prdidas en las lneas de transmisin. Desempea el mismo papel que las ecuaciones de los flujos de potencias en la formulacin general. 2.2. Solucin sin considerar lmites de generacin

La Figura 4.1 muestra la caracterstica de entrada tpica del grupo turbina-generador i en funcin de la potencia de salida Pi, donde Hi corresponde a la entrada de combustible por cada hora de funcionamiento y Ci al costo del combustible necesario, que se puede obtener multiplicando los valores de la curva de Hi, por el costo del combustible. En la curva de costo Ci, es posible definir el denominado costo incremental CIi de la unidad generadora i como la derivada de la funcin de costo respecto de la potencia activa generada, esto es:

Unidades de H: Se mide habitualmente en Mbtu/h o en kcal/h, donde: 1 Btu (British thermal unit) se define como la cantidad de calor necesario para elevar en 1 F la temperatura de una lb de agua a la presin atmosfrica normal. 1 kcal es la cantidad de calor necesario para elevar en 1 C la temperatura de un kg de agua a la presin atmosfrica normal. El costo incremental (Costo Marginal) CIi representa la pendiente de la curva de costo Ci y se puede interpretar como el costo adicional por hora que tiene aumentar la salida de la mquina i en un MW. Si las unidades de Ci(Pi) son UM/h (UM=Unidades Monetarias), las unidades de CIi, son UM/h/MW UM/MWh. En este caso especial, el problema se reduce a resolver solamente las ecuaciones (4.1) y (4.2), lo que se puede plantear de la siguiente forma: El valor mnimo de CT se da cuando el diferencial de la funcin de costos dCT es cero, es decir: Como el costo de operacin de cada mquina Ci depende slo de la potencia generada por ella misma Pi y no de las potencias generadas por las otras, el diferencial anterior queda:

Por otro lado, suponiendo que la potencia demandada por las cargas PD es constante (debido a los cambios relativamente lentos en la demanda, que puede considerarse constante en perodos de 2 a 10 minutos), su diferencial ser:

Multiplicando la expresin (4.7) por un nmero real (multiplicador de Lagrange) y restando el resultado al de (4.6), se obtiene:

La ecuacin anterior se satisface cuando cada uno de los trminos entre parntesis es igual a cero. Esto es, cuando:

Por lo tanto, el costo mnimo de operacin se tendr cuando todas las unidades generadoras funcionan con el mismo costo incremental y se cumple el balance de potencia dado por la ecuacin (4.2). El sistema de m+1 ecuaciones permite calcular las m potencias a generar y el costo incremental del sistema.

Ejemplo 4.1: Las curvas de costo de funcionamiento de dos generadores son: C1(P1)=900+45P1+0.01P12 y C2(P2)=2500+43P2+0.003P22. La carga total PD que debe ser suministrada es de 700 MW. Determine la potencia que debe entregar cada mquina, el costo incremental y el costo total. Resolucin: En este caso sencillo se puede obtener la solucin en forma analtica (forma directa). En efecto, se debe cumplir que: =CI1=CI2 y que la suma de las potencias entregadas por los generadores sea de 700 MW; es decir, se tiene el siguiente sistema de ecuaciones:

Cuya solucin es: P1=84,6 MW; P2=615,4 MW; CI1=CI2== 46,69 UM/MWh La Figura 4.2 muestra grficamente que el generador 2 (que tiene un costo incremental menor) toma la mayor parte de la potencia demandada.

El costo total de operacin (mnimo) del sistema se determina usando la expresin (4.1); es decir: CT = C1 + C2 = 900 + 45P1 + 0.01P12 + 2500 + 43P2 + 0.003P22 = 34876.92 UM/hEn general, el problema se puede resolver mediante un proceso iterativo, denominado Mtodo de Iteracin en , cuyo procedimiento es el siguiente: Paso 1: Elegir un valor inicial de Paso 2: Hallar las correspondientes potencias de los generadores, P1, P2, ....,Pm Paso 3:

El valor de es un valor positivo que corresponde a la tolerancia aceptable para la solucin.

2.3 Solucin considerando los lmites en las potencias generadas

Para la obtencin de las ecuaciones de despacho econmico se ha supuesto que las potencias generadas estaban dentro de sus lmites prcticos; o lo que es lo mismo, se ha supuesto que se respetan las restricciones expresadas por la ecuacin (4.3). Considrese ahora un sistema ejemplo con tres generadores, con las curvas de costos incrementales mostradas en la Figura 4.3, donde se sealan los lmites mximos y mnimos de funcionamiento. Supngase que para una potencia demandada PD el sistema funciona en la condicin de igualdad de costos incrementales con un valor =1 para todas las mquinas. A partir de esa situacin, a medida que aumenta la demanda, aumenta el valor de comn, hasta que se alcanza la potencia mxima en alguna de las unidades de generacin. En el ejemplo se aprecia cmo se alcanza primero el lmite de la unidad 3, para =2. Un incremento adicional en la potencia demandada tendr que ser satisfecho por un incremento en la generacin de las unidades 1 y 2, funcionando con la condicin de igualdad de costos incrementales; esta situacin corresponde por ejemplo al valor 3 de la figura. Este razonamiento, aunque sin una demostracin matemtica rigurosa, conduce a la siguiente solucin expresada en palabras: si en el proceso de bsqueda de la solucin uno o varios generadores alcanzan alguno de sus lmites, sus correspondientes potencias quedan fijadas en los lmites alcanzados; los generadores restantes deben funcionar con igual costo incremental. El costo incremental del sistema es igual al costo incremental comn de estos ltimos generadores.

El procedimiento iterativo para hallar ser, en este caso, el siguiente: Elegir un valor inicial de tal que todos los generadores operen con el mismo costo incremental y dentro de sus lmites. Si la eleccin de no es coherente con satisfacer la demanda, ajustarlo igual que en los casos en los que no se consideran lmites. Si en este proceso una unidad de generacin alcanza uno de sus lmites, fijar la potencia a generar por la unidad en ese lmite (mximo o mnimo) y continuar el proceso de ajuste de con el resto de las unidades. Ejemplo 4.2: Considere un rango de valores posibles para PD de 100 a 800 MW para las unidades de generacin del Ejemplo 4.1, sujetas a los lmites: 50 MW P1 200 MW; 50 MW P2 600 MW. Represente P1 y P2 en funcin de la potencia demandada para el despacho econmico. En la Figura 4.4 se representan las curvas de costos incrementales de los generadores. En la Tabla 4.1 se aprecia que para valores de hasta 46, P1=50 MW (lmite inferior), mientras que el generador 2 con P2=PD-50 MW suministra el resto de la carga. Cuando 1=2=46, la mquina 2 suministra 500 MW, por lo que la carga total a servir en estas condiciones es de 550 MW. Para valores de comprendidos entre 46 y 46,6 (46 46,6), ninguna de las unidades alcanza sus lmites y se puede hallar P1 y P2 haciendo uso de las frmulas de Costo Incremental del Ejemplo 4.1. Para 1=2=46,6; la mquina 2 suministra su potencia mxima, 600 MW y la mquina 1 entrega 80 MW, por lo que la carga total a servir en estas condiciones es de 680 MW. Para valores de mayores que 46,6; P2=600 MW (su lmite superior) y P1=PD-600 MW. Si 1=49; ambas mquinas entregan su potencia mxima (200 MW y 600 MW respectivamente), con lo que se alcanza a servir la carga total de 800 MW. Los resultados se muestran grficamente en la Figura 4.5.

3. Despacho econmico considerando las prdidas en la red Si todos los generadores estn situados en una misma central o estn prximos geogrficamente, es razonable despreciar las prdidas en las lneas para calcular el despacho econmico. En cambio, si las centrales estn separadas geogrficamente, se deben considerar las prdidas en las lneas de transmisin, con lo que el reparto econmico determinado en el apartado anterior cambia. En un caso sencillo supngase que todas las unidades de generacin del sistema son idnticas. Entonces, al considerar prdidas en las lneas, es de esperar que sea ms barato suministrar ms potencia desde los generadores ms prximos a las cargas. La forma ms generalizada de abordar el problema del despacho econmico considerando prdidas en las lneas parte del supuesto de que se tiene una expresin para esas prdidas Pp, en funcin de las potencias de salida de los generadores, de la forma:

3.1. Formulacin del problema

Se trata de encontrar las potencias Pi para minimizar el costo total CT:

sujeto a:

La restriccin en forma de igualdad es simplemente una manifestacin del principio de conservacin de la potencia (activa).

Del mismo modo que en el caso de red sin prdidas, considrese primero la situacin en la que no existen lmites de generacin. El valor mnimo de CT se da cuando el diferencial de la funcin de costos dCT es cero, es decir:

3.2. Solucin sin considerar lmites de generacin

Como el costo de operacin de cada mquina Ci depende slo de la potencia generada por ella misma Pi y no de las potencias generadas por las otras, el diferencial anterior queda:

Por otro lado, el diferencial del balance de potencias activas suponiendo que la potencia demandada por las cargas PD es constante ser: Multiplicando la expresin (4.18) por un nmero real (multiplicador de Lagrange) y restando el resultado al de (4.17), se obtiene:

La ecuacin (4.19) se satisface cuando cada uno de los trminos entre parntesis es igual a cero. Esto es, cuando:

El coeficiente Pp/Pi corresponde a las prdidas incrementales de transmisin de la mquina i. Designando al Factor de penalizacin Li para el i-simo generador como:

Se tiene que como dCi/dPi representa el costo incremental del i-simo generador, el sistema operar a costo mnimo, cuando el producto del costo incremental de cada unidad generadora por su Factor de Penalizacin Li sea el mismo para todas ellas. Por lo tanto, la solucin del problema queda determinada por las m+1 ecuaciones siguientes, que permiten calcular las potencias a generar y el costo incremental del sistema:

Se observa que ya no es condicin de ptimo que cada generador funcione con el mismo costo incremental. Los CI estn ahora ponderados por los factores de penalizacin Li. Un factor de penalizacin elevado hace a la correspondiente unidad generadora menos atractiva. Es de esperar que las centrales alejadas de los centros de consumo tengan factores de penalizacin mayores que las ms prximas a dichas cargas.

3.3. Solucin considerando los lmites de generacin Si se consideran los lmites de generacin, se tiene una solucin anloga a la del caso sin prdidas; es decir, hacer funcionar a todos los generadores que estn dentro de sus lmites de tal forma que se cumpla que LiCIi=. Si en este proceso una unidad de generacin alcanza uno de sus lmites, fijar la potencia a generar por la unidad en ese lmite (mximo o mnimo) y continuar el proceso de ajuste de con el resto de las unidades.Ejemplo 4.3: Considere las caractersticas de costo de los generadores del Ejemplo 4.1; es decir, C1(P1) = 900 + 45P1+0.01P12 y C2(P2) = 2500+43P2+0.003P22. La carga total PD que debe ser suministrada es de 700 MW. La expresin simplificada de las prdidas es de la forma: Pp= (0,00003P12 + 0,00009P22) MW. Determine, utilizando el mtodo de iteracin en , la potencia que debe entregar cada mquina, las prdidas en el sistema, el costo incremental y el costo total. Resolucin: Las ecuaciones a considerar son:

Para comenzar el proceso iterativo se puede considerar como valor de partida para , el determinado en el Ejemplo 4.1, es decir; =46,69. La Tabla 4.2 muestra el desarrollo del proceso y los resultados obtenidos.

Al comparar estos resultados con los del Ejemplo 4.1, se aprecia que: Los costos incremental y total son ahora mayores, por que se han considerado las prdidas. La potencia entregada por la mquina 1 aument y la entregada por la mquina 2 disminuy, a pesar de que el costo incremental de esta ltima es menor. Ello se debe a que su Factor de Penalizacin es mayor. Iteracin en la potencia de los generadores: Una manera diferente de resolver este problema es la siguiente: 1. Elegir valores de Pi tales que ,es decir, en este paso, no se consideran las prdidas. 2. Con los valores de Pi, calcular Li y Pp 3. Resolver el sistema de ecuaciones (4.26), para determinar y nuevos valores para Pi:

4. Comparar los nuevos valores de Pi con los anteriores. Si hay una diferencia importante, volver al paso 2. En caso contrario, terminar el proceso Otros Mtodos de bsqueda de la solucin son: Gradiente de Primer Orden y Gradiente de Segundo Orden.3.4. Clculo de las prdidas en la red El mtodo expuesto para optimizar la reparticin de carga entre los generadores de un sistema, requiere desarrollar una expresin que permita determinar las prdidas totales de transmisin en funcin de la potencia generada por ellos. Se aborda esta cuestin indicando uno de los mtodos ms importantes, aproximado pero sencillo. Segn este mtodo, para unas condiciones dadas de funcionamiento del sistema (o caso base) las prdidas de transmisin son funcin cuadrtica de las potencias de los generadores, lo que se puede escribir segn las ecuaciones (4.27) o (4.28):

Donde los trminos Bij son los llamados Coeficientes B o Coeficientes de prdidas y [B] es la matriz de coeficientes de prdida. Los coeficientes Bij no son verdaderamente constantes sino que varan segn el estado de carga del sistema y se obtienen a partir de los resultados de un Clculo de Flujos de Potencia (caso base). Una vez determinados los coeficientes se tendr una expresin para las prdidas del sistema en funcin de las potencias generadas que, en rigor, slo es vlida para las condiciones correspondientes a esos valores concretos de las potencias de los generadores Pi. En la prctica, estos coeficientes pueden considerarse constantes, siempre que las condiciones del sistema no difieran drsticamente de las del caso base, respecto del cual han sido calculados. En un sistema real, dada la variacin en la potencia demandada a lo largo de un da, la diferencia entre las condiciones de funcionamiento del sistema llegan a ser tan grandes que se hace necesario utilizar ms de un conjunto de coeficientes B durante el ciclo de carga diario. A partir de una frmula de prdidas explcita, el clculo de Pp/Pi es simple, suponiendo que Bij=Bji.

Existen varios mtodos para la obtencin de los coeficientes B. Para entender la formulacin, se presenta, a manera de ejemplo, el caso de un sistema simple (Figura 4.6) formado por dos generadores, un sistema de transmisin y una carga.

Sean a, b y c las lneas de transmisin con resistencias Ra, Rb y Rc por las que circulan las corrientes cuyos mdulos son |i1|, |i2|e|i1+i2|, respectivamente. La potencia activa total perdida en el sistema de transmisin Pp se puede escribir como:

Escribiendo los mdulos de las corrientes simplemente como: I1, I2 e I3, respectivamente, se tiene que las prdidas se pueden escribir como:

Si P1 y P2 son las potencias trifsicas de salida de las mquinas, con factores de potencia fp1 y fp2 y V1 y V2 son los mdulos de los voltajes entre lneas en las barras de los generadores, las corrientes I1 e I2 son:

Si los voltajes se expresan en kV, las resistencias en /fase, las unidades de los coeficientes B son 1/MW y la potencia perdida Pp queda expresada en MW. Por supuesto que es posible hacer el clculo en por unidad. Para el sistema en el cual han sido deducidos y con la suposicin de que 1 2 I e I & & estn en fase, estos coeficientes entregan las prdidas en forma exacta, por medio de la ecuacin (4.35), solamente para los valores particulares de P1 y P2 que resultan de las tensiones y factores de potencia utilizados en las ecuaciones (4.36). Los coeficientes B son constantes al variar P1 y P2, slo mientras las tensiones en las barras de los generadores mantengan un valor constante y los factores de potencia sean tambin constantes.

4. Despacho econmico ambiental en sistemas trmicos

4.1. Despacho econmicoEl objetivo del despacho econmico clsico es asignar la generacin total entre unidades generadoras en servicio de modo de minimizar el costo de abastecer la carga total, incluyendo perdidas y respetando restricciones operativas de las unidades del sistema.Modela funciones de produccin de las unidades generadoras, perdidas de transmisin y limites operativos de las unidades. Tpicamente asume tensiones constantes en cada barra y factores de potencia constante y no se modelan las restricciones de transmisin.4.1.1. Funcin objetivo en sistema trmico La funcin objetivo FT es igual al costo total e abastecer la carga total, y est dada por:

Donde FT: costo total de generacin del sistemaFi: costo de generacin de la unidad iN: nmero de unidades generadoras del sistemaLos costos de operacin de las centrales trmicas se dividen en fijos y variables.Los costos variables son, bsicamente los costos de combustible y dependen del tipo de combustible y del rendimiento de la maquina. El consumo de combustible (Hi(Pi)) se mide en unidades de calor, [Kcal/h] o [BTU/h] y la curva de consumo de modela frecuentemente por una funcin de segundo grado P. El costo de generacin de cada unidad se obiene muktiplicando os cotos de operacin por el valor de combustible utilizando por la unidad, por lo que se tiene:

Donde i es el precio del combustible utilizando por la unidad i, y ai, bi y ci se determina en base a la informacin del funcionamiento de la unidad generadora, utilizando ternicas de identificacin de parmetros, con datos almacenados de potencia de salida versus combustible de entrada a la unidad.4.1.2. RestriccionesLa principal restriccin en la operacin del sistema es que la suma de las potencias generadas sea igual al consumo mas las perdidas, pero en caso, se simplificara obviando las perdidas. La ecuacin del balance de potencia resulta:

Donde PL: potencia demandada por la carga del sistemaPi: Potencia generada por la unidad iOtras restricciones que deben imponerse al sistema de generacin son los lmites mximos y mnimos de potencia generada por cada unidad, esto es:

Las restricciones de transmisin no se incluyen, asumiendo que el voltaje en las barras no variar en forma significativa y que los niveles de carga de las lneas de transmisin no sern violados.Con las ecuaciones y restricciones anteriores es posible definir el problema de despacho econmico.

4.2. Despacho econmico ambientalEl problema de despacho econmico ambiental es una extensin del problema de despacho econmico expuesto anteriormente. Se agregan restricciones ambientales del contaminante que se quiere disminuir, tales como xidos de azufre, xidos de nitrgeno, dixido de carbono y material particulado.La neta es encontrar la potencia generada Pi por cada unidad que minimice el costo de operacin total mientras que los requerimientos de carga, la capacidad de generacin y las restricciones de emisiones de contaminantes se encuentren satisfechos.Para incluir las emisiones en el despacho de la generacin se han propuesto diferentes mtodos: Minimizar la emisiones total de contaminantes, utilizando como funcin objetivo una funcin de las emisiones del contaminante o contaminantes que desee disminuir. Incluir el control de emisiones en el despacho econmico convencional sumando funciones de emisiones a la funcin de costo de combustibles de las unidades. Resolver el problema de minimizacin clsico incorporando las funciones de emisiones como restricciones.El primer mtodo solo es til para efectos de estudio ya que no considera ls costos de combustibles. Su solucin entrega el valor mnimo de emisiones, que es la ideal, ambientalmente hablando, pero es la ms costosa econmicamente.En el segundo, las emisiones se incluyen ya que sea como ponderador para cada funcin o con el costo por polucin de cada tipo de contaminantes incluido. La dificultad, en este caso, se presenta en el clculo de los costos por emisiones de contaminantes, puesto que estos costos no siempre se pueden especificaren trminos monetarios, o no existen parmetros para cuantificar monetariamente los efectos de la contaminacin. El ltimo mtodos es mas adecuado cuando existen leyes que restringen las emisiones de algn contaminante, debido a que existe un problema similar al anterior, puesto que es difcil conocer cul es el mejor valor al cual restringir las emisiones.4.3. Mtodo propuestoLa formulacin matemtica del problema es:

En la formulacin anterior, el mtodo de ponderaciones se usa para definir la importancia relativa del costo y las emisiones, Debe notarse que los ponderadores Wc y Ws no son valores fijos, son herramientas para observar la relacin entre las dos funciones objetivo ya que no es posible minimizar las dos funciones a la vez.Las funciones de emisin de SO2 se modelan con ecuaciones cuadrticas dependiendo de la potencia generada por la central.4.3.1. Algoritmo de solucinEn el lazo inicial se calcula el despacho que minimice la funcin objetivo con ponderadores definidos. En el Lazo posterior se corrigen los ponderadores de acuerdo a la restriccin de emisiones de SO2. El esquema de algoritmo se muestra en la siguiente figura.

El algoritmo se puede resumir en dos pasos: a. Mtodo de iteraciones en El despacho se calcula, primero, ignorando la restriccin de emisiones de SO2. Los ponderadores inciales son Wc= 1 y Ws= , por lo que se minimiza la funcin de costos en la primera iteracin. El algoritmo iterativo utilizado es el mtodo de iteracin en , cuyo diagrama de flujo se muestra en la figura. Para la primera iteracin de este algoritmo, se debe entregar un valor inicial al modelo, y para la segunda se utiliza este valor ponderado por una constante. En las iteraciones restantes, el algoritmo calcula el nuevo valor de interpolando con sus dos valores anteriores y los errores correspondiente a estas iteraciones.

b. Revisin de emisiones de S02 y correccin de ponderadoresDurante el proceso, los ponderadores Wc y Ws (que deben sumar uno) se modifican en una pquela cantidad w, vairandolos desde 1 y 0 y entre 0 y 1, respectivamente, lo que entrega el despacho econmico ambiental para todo el universo de ponderadores. Esta operacin es equivaente a aumentar la influencia de las emisiones de SO2 en la funcin objetivo.Se define la tasa de disminucin de emisiones R como sigue:

El valor de R corresponde a la tasa marginal de costos respecto a las emisiones de SO2.

Inicialmente (wc=1, Ws=0), R es pequeo debido a que un pequeo aumento en los costos produce una gran disminucin en las emisiones, y a medida que Wc disminuye, R aumenta. Esto se puede observar claramente en la figura, donde se muestra una curva de equilibrio (trade off) tpica.

Tcnicas 23