despacho con perdidas
DESCRIPTION
Despacho con PerdidasTRANSCRIPT
Universidad Nacional de San Agustín ¨Ingeniería Eléctrica¨
1
Contenido DESPACHO ECONOMICO CONSIDERANDO LAS PÉRDIDAS ............................... 2
INTRODUCCION: ........................................................................................................ 3
DESPACHO ECONOMICO .......................................................................................... 4
CARACTERISTICAS DE LAS UNIDADES GENERADORAS ................................... 4
EFECTO DE LA PÉRDIDAS DE TRANSMISIÓN: ...................................................... 5
CÁLCULO DEL HEAT RATE ...................................................................................... 8
CÁLCULO DE LA FUNCIÓN COSTO DE COMBUSTIBLE .................................... 10
DESPACHO UNINODAL DE UNIDADES TÉRMICAS ............................................ 10
MÉTODO DEL GRADIENTE ..................................................................................... 14
DIAGRAMA DE FLUJO – METODO DEL GRADIENTE............................................ 18
DESPACHO ECONÓMICO MULTINODAL DE UNIDADES TÉRMICAS .............. 18
CALCULO DE LAS PERDIDAS POR EL MÉTODO DE LA MATRIZ B ................. 21
MÉTODO ITERATIVO............................................................................................... 23
SOLUCIÓN DEL DESPACHO ECONÓMICO SI CONSIDERAR LOS LÍMITES DEL
GENERADOR NI LA PÉRDIDAS DE LÍNEA. .......................................................... 24
EFECTO DE LAS RESTRICCIONES DE DESIGUALDAD: ..................................... 26
CONCLUCIONES: ...................................................................................................... 26
BIBLIOGRAFIA/ SITIOS WEB: ................................................................................. 26
Universidad Nacional de San Agustín ¨Ingeniería Eléctrica¨
2
DESPACHO ECONOMICO CONSIDERANDO LAS PÉRDIDAS
Universidad Nacional de San Agustín ¨Ingeniería Eléctrica¨
3
INTRODUCCION:
Introducción En este capítulo se realiza una introducción al problema de la programación de generación de las
centrales eléctricas. Con ese propósito, se revisan conceptos básicos asociados a los costos de
generación y las perdidas en las líneas de transmisión en la cual debemos saber Qué unidades
generadoras van a estar en servicio en cada momento, Cuánto debe generar cada unidad para
minimizar los costos.
Este problema, fundamental para el correcto funcionamiento de un sistema eléctrico teniendo en
cuenta que en cada momento se debe atender la demanda más las perdidas en el sistema, es objeto
de distintos planteamientos dependiendo del horizonte temporal y del objetivo concreto perseguido:
Universidad Nacional de San Agustín ¨Ingeniería Eléctrica¨
4
DESPACHO ECONOMICO El problema del “despacho económico” consiste en determinar la potencia que debe suministrar
cada unidad generadora en servicio para una demanda determinada PD, con el objetivo de minimizar el costo total de generación. Para ello, es necesario conocer los costos variables de los
combustibles, los rendimientos térmicos de las unidades, la red de transmisión, etc.
CARACTERISTICAS DE LAS UNIDADES GENERADORAS La descripción de una unidad térmica -generadora comienza con la especificación de la cantidad
de calor de entrada requerida para producir una cantidad de energía eléctrica como salida.
Así, la característica Entrada – Salida de la unidad-generadora, tiene forma cuadrática - convexa,
como en la figura 2.1. En el eje de ordenadas esta la entrada de calor H [Btu/h] y en el eje de abscisas, la potencia de salida P [kW].
Así, la función cantidad de calor H es igual a la siguiente expresión:
H = a + b P + c P
2 [Btu/h]
Multiplicando la cantidad de calor H por el costo de combustible se obtiene la función costo de combustible F [$US/h]. El costo total de producción incluye el costo de combustible, el consumo
propio y el costo de operación - mantenimiento. Se asume que esos costos son un valor o porcentaje
fijo del costo de combustible y generalmente se incluyen en la curva costo de combustible.
Fig. 2.1 Característica Entrada - Salida
Esta información se obtiene, a partir de pruebas que se realizan al grupo turbina-generador, para varios niveles de potencia de salida (100%, 75% y 50%). La tasa de calor o Heat Rate (HR), se
define como la relación entre la entrada de calor en Btu/h dividido por la potencia de salida en kW.
HR = H/P [Btu/kWh]
El Heat Rate es el reciproco de la eficiencia o rendimiento. Se observa en la figura 2.2, que la
máxima eficiencia de la unidad se obtiene en el mínimo de la función HR, que se da para valores próximos a la potencia máxima.
P (KW)SALIDA
F [$us/h]H [Btu/h]
PmaxPmin
PF
Universidad Nacional de San Agustín ¨Ingeniería Eléctrica¨
5
Fig. 2.2 Tasa de calor o Heat Rate
El Costo Incremental de Combustible (IC) es igual a la derivada de la función costo.
IC = dF/dP = b + 2c P [$US/kWh]
El Costo Medio de Producción es igual a la división de la función costo total de producción por la
potencia máxima de salida. Es decir:
Costo Medio = F/P [$US/kWh]
EFECTO DE LA PÉRDIDAS DE TRANSMISIÓN: Aunque una unidad podría ser eficiente bajo un costo bajo de operación incremental también
podría localizarse lejos del centro de carga. Las pérdidas de transmisión asociadas a esta unidad
podría ser tan altas que la solución del despacho económico requiere que esa unidad disminuya su salida, mientras que otras unidades con mayores costos incrementales de operación pero con
menos pérdidas de transmisión aumenta sus salidas. Cuando se incluyan las pérdidas de
transmisión en el despacho económico la ecuación (6.2) se convierte en:
Pt=P1+P2+…+Pn-Pl (6.9)
Usualmente Pl no es constante sino que depende de las salidas de las unidades P1,P2,…,Pn
0...)...( 2
2
1
1
21
n
n
LLLn dP
P
PdP
P
PdP
P
PdPdPdP
Multiplicando por
0...... 2
2
1
1
21
n
n
LLLn dP
P
PdP
P
PdP
P
PdPdPdP
(6.10) (6.10) restamos (6.5) y obtenemos:
0...2
22
21
11
1
n
n
L
n
nLL dPP
P
P
CdP
P
P
P
CdP
P
P
P
C
(6.11) La ecuación (6.11) se cumple su cada término es igual a cero; es decir
Pmin.
HR
[Btu/Kwh]
P (KW)Pmax.
HR min
P ef.
Universidad Nacional de San Agustín ¨Ingeniería Eléctrica¨
6 )12.6(
,...,2,1
1
1
0
1
1
i
i
Li
i
L
i
i
dP
dCLi
nP
P
PdP
dC
P
P
dP
dC
Donde Li= factor de penalización.
La ecuación (6.12) es el criterio es despacho económico incluyendo las pérdidas.
Considerando las pérdidas del generador, otra solución del despacho económico (acápite 6.5.1)
sería:
P1 P2 Pn
PT
El problema es encontrar la potencia generada por cada planta, entonces nuestra función costo
objetivo es determinar el costo total de operación que debe ser mínima.
n
i
CiCt1
n
i
iPiiPiiCt1
2 (A)
Esta ecuación está sometida a la siguiente restricción de igualdad.
n
i
PDPi1 (B)
De la primera condición:
011
n
i
k
i
PiPDCtL
(C) Entonces:
0idP
dL
1º condición
0d
dL
2º condición El mínimo de la función no restringida se aumenta en el punto de las demandas
Universidad Nacional de San Agustín ¨Ingeniería Eléctrica¨
7
Pi
Ci
Pi
Ct
CCCCt
Pi
Ct
Pi
Ct
dP
dL
t
i
....
0)10(
21
De la segunda condición:
iPii
ni
Pi
Ci
2
,...3,2,1
(D)
n
i
PDPi1 (B)
Entonces cuando se desprecian las pérdidas y límites de operación, todas las plantas deben operar al mismo costo incremental mientras sea satisfecha la expresión (B), de la expresión (D), tenemos:
i
iPi
2
(E)
i
i
dP
dC
para maxmin PiPiPi
i
i
dP
dC
para maxPiPi
i
i
dP
dC
para minPiPi
Sustituyendo (E) en (D)
n
i
PDi
i
1 2
(F)
n
i
n
i
i
i
iPD
1
1
2
1
2
(G)
Y de la expresión (F) despejamos (λ)
El valor de λ obtenido en (G) se reemplaza en (E), de esta forma se obtiene la potencia óptima despachada en el generado i, de esta forma se encontró el despacho óptimo analíticamente.
Cuando se consideran las pérdidas, las ecuaciones son no lineales, por lo que se resuelven iterativamente una solución iterativa rápida se obtiene por el método del gradiente que es como
sigue:
1º Escribimos la expresión (F) como función
PDf )(
Expandiendo en la serie de Taylor alrededor de un punto de operación λ(k) y despreciando los
términos de orden superior tenemos:
Universidad Nacional de San Agustín ¨Ingeniería Eléctrica¨
8
)(
)(
)()(
)(
)(
)(
)(
)(
)()(
K
k
kk
k
k
k
PD
d
df
fPD
PDd
dff
(I)
)(
1
)()(
kn
i
kk
d
dPi
P
(J)
n
i
kk
i
P
1
)()(
2
1
(K) )()()1( kkk
n
i
kkk PiPDPDPDP1
)()()(
La potencia generada por cada generador no debe exceder su límite, ni tampoco debe estar por
debajo de su límite inferior, el problema es entonces encontrar la potencia real generada por cada
planta, de tal forma que la función objetivo sea mínima y sujeta a la ecuación de restricción (B) y a las restricciones de desigualdad dadas por
Pimin ≤ P1 ≤ Pimax , i= 1,2,…n
Las condiciones de Kuhn-Tucker completan las restricciones de Lagrangiano para indicar las restricciones de desigualdad como términos adicionales.
Entonces las condiciones necesarias para el despacho óptimo incluyen las condiciones del generador resultan:
i
i
dP
dC
para maxmin PiPiPi
i
i
dP
dC
para maxPiPi
i
i
dP
dC
para minPiPi
CÁLCULO DEL HEAT RATE Una información importante, para el cálculo de las funciones costo es el dato del Heat Rate de la
turbina, determinada en sitio, a partir de pruebas efectuadas al grupo turbinas a gas-generador.
En la figura 2.3, se observa, que los datos a ser tomados durante las pruebas son las siguientes: temperatura del aire de entrada al filtro de aire de la turbina (temperatura ambiente), presión
atmosférica en el sitio, volumen de gas que ingresa a la cámara de combustión, potencia y energía
activa de salida del generador, medida en bornes, etc.
Universidad Nacional de San Agustín ¨Ingeniería Eléctrica¨
9
Fig. 2.3 Esquema de medición de la prueba
Ejemplo
Calcule los Heat Rate de la unidad VH1 de la central Valle Hermoso, a partir de los siguientes
datos medidos en las pruebas.
Descripción VHE Temperatura ambiente [°C] 16
Presión atmosférica [mbar] 745 Volumen del gas [pc] 125513
Poder calorífico inferior [Btu/pc] 920
Potencia eléctrica [kW] 18830
Energía activa [kWh] 9428
Consumo específico [Ce] Ce = V / E
Ce = 125513 pc/9428 kWh = 13.31 pc/kWh
Heat Rate en sitio HR = Ce * PCI
HR = 13.31 [pc/kWh] * 920 [Btu/pc] = 12245 [Btu/kWh]
Siendo, PCI el poder calorífico inferior del gas
Heat Rate en condiciones ISO
Ta = 16 °C = 60.8 °F HRISO = HRSITIO / FTH
HRISO = 12245 [Btu/kWh]/1.01 = 12208 [Btu/kWh]
G
Ta,
Pa
Filtro de aire V
P, E
Universidad Nacional de San Agustín ¨Ingeniería Eléctrica¨
10
Nota: El factor de corrección del heat rate por temperatura se obtiene a partir de las curvas
entregadas por el fabricante de la turbina para ese efecto.
PISO = PSITIO / (fT * fP)
Los factores de corrección de la potencia por temperatura y presión atmosférica son respectivamente fT y fP,.
fP = P [mbar] / 1.013 [mbar]
Remplazando se obtiene la potencia eléctrica de salida de la maquina en condiciones ISO
PISO = 18830 kW / (0.995 * 0.7354 )
PISO = 25733 [kW]
CÁLCULO DE LA FUNCIÓN COSTO DE COMBUSTIBLE La función costo de combustible (F), se determina a partir de las pruebas antes mencionadas, con
la siguiente información:
o Temperatura ambiente en [ºC]
o Presión atmosférica del sitio en [mbar]
o Poder calorífico inferior del gas [Btu/PC]
o Costo del combustible en [$US/Btu] o Potencia de salida del generador en [kWh]
o Heat Rate en [Btu/kWh] para tres estados de operación de la maquina, que son 100%, 75%
y 50% de carga.
La función consumo de combustible generalmente se representa como una función convexa
cuadrática, de la forma,
Hi = ai + bi PGi +ci PGi2
El consumo de calor o rendimiento térmico (Heat Rate), fue antes definido de la siguiente manera. HRi = Hi / PGi
Luego, igualando con la expresión del consumo de combustible se obtiene,
Hi = HRi x PGi = ai + bi PGi + ci PGi2
En esta ecuación cuadrática, son conocidos los rendimientos térmicos para los tres estados de carga mencionados y las potencias de salida respectivas, siendo solo incógnitas los coeficientes de
la función (ai, bi, ci).
Normalmente estos valores se presentan en una tabla expresada para diferentes temperaturas
ambiente y potencias de salida. Pero lo más conveniente es conocer estos valores para condiciones
ISO de operación, cuya conveniencia se verá en un ejemplo.
DESPACHO UNINODAL DE UNIDADES TÉRMICAS Dado un sistema uninodal de N unidades térmicas de generación, conectadas a una barra simple y
suministrando energía eléctrica a una carga PC.
Universidad Nacional de San Agustín ¨Ingeniería Eléctrica¨
11
En este análisis se considera un sistema eléctrico sin pérdidas de transmisión y en la figura 2.4,
se observa el sistema uninodal, siendo F1 la función costo y PG1 la potencia eléctrica de salida del generador.
Figura 2.4 Despacho económico uninodal
El costo total de operación del sistema uninodal es igual a la suma de los costos de operación de
cada unidad de generación en [$US/h].
N
i
iT FF1
La restricción principal del sistema a ser cumplida es que la generación sea igual a la demanda
C
N
1i
Gi PP
Entonces el despacho económico consistirá en encontrar el costo mínimo de operación del sistema,
resolviendo un problema de optimización planteado de la siguiente manera:
N
i
t FiF1
min Función objetivo
s.a.
N
i
ic PP1
Restricción de igualdad
Este es un problema de optimización con restricciones que para su mejor comprensión será
resuelto por el “Método de los operadores de Lagrange”. Definimos la función de Lagrange:
TFL
Siendo, el operador de Lagrange y conocido también como el costo incremental de las unidades de generación, y la función puede ser definido de la siguiente manera
Carga
G
F1 TG1
G
F2 TG2
G
F3 TG3
PG1
PG2
PG3
Universidad Nacional de San Agustín ¨Ingeniería Eléctrica¨
12
N
i
ci PP1
0
La condición para el mínimo de la función es que
0idP
dL 0
idP
dFi
Luego se obtiene la “Ecuación de Coordinación” y es:
idP
dFi
Esta es la condición necesaria para la existencia de un punto de operación a mínimo costo para el
sistema térmico de generación, es decir, que los costos incrementales de todas las unidades sean
iguales.
Condiciones de Kuhn Tucker
Al problema de optimización debe agregarse los límites operativos de las unidades de generación.
Es decir la potencia de salida de cada unidad debe ser mayor o igual que la potencia mínima permitida (por ejemplo el limite técnico) y menor o igual que la potencia máxima permitida en la
unidad de generación. Luego el problema de optimización del despacho económico, se plantea de
la siguiente manera.
N
i
t FiF1
min Función objetivo
s.a.
N
i
ic PP1
Restricción de igualdad
max
ii
min
i PPP Restricción de desigualdad
Las condiciones de Kuhn Tucker complementan las condiciones del Lagrangiano para incluir las
restricciones de desigualdad como términos adicionales. Así, las condiciones necesarias para el despacho económico sin pérdidas son:
i
i
Pd
Fd para
max
ii
min
i PPP
i
i
Pd
Fd para
max
ii PP
i
i
Pd
Fd para
min
ii PP
Universidad Nacional de San Agustín ¨Ingeniería Eléctrica¨
13
Ejemplo 1
Dado un sistema uninodal de 3 unidades alimentando a una demanda de 52MW, determine a) la potencia de salida de cada unidad para obtener el despacho económico, b) el costo de operación de
cada unidad, c) el costo de operación total del sistema y d) el Costo Incremental del sistema.
Datos
Unidad H [Mbtu/h] Pmin [MW] Pmax [MW]
1 H1 = 0.234 P12 +2.112 P1 +112.8 12.63 21.05
2 H2 = 0.0022 P22 +8.71 P2 +69.91 11.29 19.50
3 H3 = 0.1032 P32 +6.119 P3 +79.61 12.16 20.23
Donde H es la entrada de calor a la turbina y el costo del combustible es la potencia de salida de
cada máquina es )MMBtu/US($76,1
Solución Multiplicando la entrada de calor por el costo del combustible obtenemos las funciones de costo de
las unidades en $US/h.
F1 = 0.412 P1
2 + 3.72 P1 +198.5
F2 = 0.0039 P22 + 15.33 P2 +122
F3 = 0.182 P32 + 10.77 P3 +140.11
Derivando respecto a la potencia obtenemos el costo incremental de combustible, aplicando la
ecuación de coordinación y la ecuación de balance de potencia, resolvemos el sistema de
ecuaciones siguiente.
dF1/dP1 = 0.824 P1 + 3.72 =
dF2/dP2 = 0.0078 P2 + 15.33 =
dF3/dP3 = 0.364 P3 + 10.77 = P1 + P2 + P3 = 52 [MW]
La solución del sistema es
a) La potencia de salida para el despacho económico de unidades
MW92.15P1
MW39.19P2
MW98.16P3
Se observa que todas las soluciones están dentro los rangos de operación establecidos para cada
unidad en la tabla de datos.
b) El costo de operación de cada unidad
F1 = 362.14 [$US/h] F2 = 434.91 [$US/h]
Universidad Nacional de San Agustín ¨Ingeniería Eléctrica¨
14
F3 = 370.38 [$US/h]
c) El costo total de operación del sistema
[$US/h]43.1167321 FFFFT
d) El costo incremental de combustible
= 16.84 [$US/MWh]
Solución grafica del problema
Figura 2.5 Costos incrementales iguales
MÉTODO DEL GRADIENTE
El método del gradiente es un método iterativo de búsqueda de la solución, se inicia con dos
valores de , un mejor valor de es obtenido por extrapolación, y el proceso continua hasta que
ΔPi esté dentro de exactitud especificada.
La ecuación de costo incremental, se puede escribir de la siguiente manera
iii
i
i bPcPd
Fd 2
se despeja Pi,
i
i
ic
bP
2
15.00
15.40
15.80
16.20
16.60
17.00
17.40
17.80
11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21
[$
US
/MW
h]
P [MW]
dF1/dP1 dF2/dP2 dF3/dP3
Universidad Nacional de San Agustín ¨Ingeniería Eléctrica¨
15
La ecuación de balance de potencia en función de lo anterior
C
N
1i i
i
1
P2c
b)(
g
gN
i
iPf
Expandiendo el primer miembro de la ecuación en serie de Taylor de primer orden, alrededor del
punto de operación (k) y despreciado los términos de orden mayor, resulta
C
k
(k)
(k)PΔ
dλ
dff
O
gn
1i i
kk
2c
1
ΔPΔ
De esta manera kk1k Δ
Donde
gN
1i
(k)
iC
k PPΔP
Este proceso continua hasta que kΔP sea menor que una exactitud especificada.
Ejemplo Las funciones costo de combustible para tres unidades térmicas son informadas
F1 = 0.07020 P1 2 + 0.6336 P1+33.84 [12.63,21.05]
F2 = 0.00387 P2 2 + 15.33 P2+122 [11.29,19.50]
F3 = 0.18200 P3 2 + 10.77 P3+140.11 [12.16,20.03]
g
k(k)k
(k) kn
i
i 1
ΔP ΔPΔ
dPdf
ddλ
Universidad Nacional de San Agustín ¨Ingeniería Eléctrica¨
16
Donde P1, P2 y P3 están en MW. La demanda total es Pc = 52 MW. Despreciando las pérdidas y los límites de los generadores, encontrar el despacho económico y el costo total en $/h usando el
método del gradiente
Costos incrementales
10.770.364PdP
dF
15.330.007744PdP
dF
0.63360.1404PdP
dF
3
3
3
2
2
2
1
1
1
Se comienza la solución del problema con un valor inicial para l(1)
14.360.364
10.7716P
86.560.1404
15.3316P
109.450.1404
0.633616P
P2c
bP
16
(1)
3
(1)
2
(1)
1
C
i
iNg
1i
i
(1)
158.37ΔP
210.3752PPΔP
(1)
Ng
1i
(k)
iC
(k)
Universidad Nacional de San Agustín ¨Ingeniería Eléctrica¨
17
(1)(1))2(
(1)
i
(k)(k)
Δ
1.14
0.364
1
0.007744
1
0.1404
1
158.37Δ
2c
1
ΔPΔ
14.861.1416)2(
24.110.463
77.0114.86P
69.60-0.007744
33.5114.86P
21.05MWPPPP 101.330.1404
0.633614.86P
(2)
1
(2)
2
max
1
(2)
1
max
1
(2)
1
(2)
1
15.470.609614.86
0.6096
0.364
1
0.007744
1
80.4Δ
80.411.2460.6921.0552ΔP
(3)
(2)
(2)
MW 12.910.364
10.7715.47P
MW 18.030.007744
15.3315.47P
(3)
3
(3)
2
0.01 91.2103.8121.0552ΔP(3)
Como ΔP(3)
es menor que la tolerancia de 0.1 MW, se alcanza la convergencia del problema y el costo total de operación del sistema es
h$us 787.42F
309.48399.6678.28F
T
T
Universidad Nacional de San Agustín ¨Ingeniería Eléctrica¨
18
DIAGRAMA DE FLUJO – METODO DEL GRADIENTE
INICIO
)()( k
iC
k PPp
)(kp
Tii FFP ,,,
SI
NO
FIN
1.0,
,
O
iC FP
LEER
i
i
k
ic
bP
2
)(
)()1()1(
)()(
2
1
kkk
i
kk
c
Pp
DESPACHO ECONÓMICO MULTINODAL DE UNIDADES TÉRMICAS En la figura 2.6 se muestra un sistema de N unidades térmicas de generación, suministrando potencia a una demanda, a través de una red de transmisión.
Universidad Nacional de San Agustín ¨Ingeniería Eléctrica¨
19
Figura 2.6 Despacho económico multinodal
A diferencia del despacho uninodal, en este caso se debe incluir las pérdidas de transmisión en el problema de optimización.
N
i
t FiF1
min Función objetivo
s.a.
N
1i
GiLc PPP Restricción de igualdad
max
ii
min
i PPP Restricción de desigualdad
Definimos la función de Lagrange
TFL ,
el mínimo de la función de Lagrange, hallamos, para:
01
ii
i
i P
L
P
F
P
L
Luego ordenando obtenemos la ecuación de coordinación para el despacho económico multinodal es:
Universidad Nacional de San Agustín ¨Ingeniería Eléctrica¨
20
i
i
i
i
L
i
i
P
FFP
P
P
P
F
1
1
Siendo:
i
L
P
P
= las perdidas increméntales de trasmisión
i
L
P
P1 = FNi es el factor de pérdidas o factor de nodo
i
L
P
P1
1 = FPi es el factor de penalización
El efecto de las pérdidas del sistema se toma en cuenta en la función objetivo, penalizando al costo
incremental de cada unidad generadora. Es decir, si las pérdidas aumentan para un incremento en
la inyección de la barra i, la perdida incremental es positiva y el factor de penalización es mayor que la unidad.
Un factor de penalización FPi > 1, significa que aumentar la generación, implica un aumento en las perdidas. Luego, el efecto del factor de penalización será aumentar el costo incremental de la
unidad haciendo que parezca más cara, tal como se observa en la figura 2.7. Sin embargo, Un
factor de penalización FPi < 1, significa que aumentar la generación, implica una disminución en las perdidas. Luego, el efecto del factor de penalización será disminuir el costo incremental de la
unidad haciendo que parezca más barata
2.7 Efecto del factor de penalización sobre el costo incremental
Es más complicado resolver el conjunto de ecuaciones que incluyen a las pérdidas de transmisión.
La solución puede plantearse por dos métodos: 1) Expresión matemática para el cálculo de las pérdidas de transmisión como función de la potencia de salida de cada generador, 2) Incorporar
las ecuaciones del flujo de potencia al problema del despacho económico como una restricción de
igualdad.
10121416182022
8 10 12 14 16 18 20 22
dFi
/dP
i
P [MW]
Fpi > 1
Fpi < 1
Universidad Nacional de San Agustín ¨Ingeniería Eléctrica¨
21
CALCULO DE LAS PERDIDAS POR EL MÉTODO DE LA MATRIZ B Se calcula las pérdidas de transmisión como una función de la potencia de salida de cada unidad
de generación.
PL = PT [B] P + P
T Bo +Boo
Donde: P = Es el vector de potencias de salida de cada generador en [MW]
[B] = Matriz cuadrada de pérdidas de la misma dimensión de P
Bo = Vector de la misma dimensión de P Boo = Constante
La expresión de perdidas puede también escribirse
ooi
j
iojij
j
i
i
L BPBPBPP
Los coeficientes Bij son llamados coeficientes de pérdidas o coeficientes B. Se asume que estos coeficientes son constantes y calculados a partir de las condiciones de operación.
La solución del problema del despacho económico consiste en minimizar el costo total de operación:
Ng
1i
2
iiiii
Ng
1i
iT PcPbaFFmin
s.a. LC
Ng
1i
i PPP
max
ii
min
i PPP
Usando el multiplicador de Lagrange y agregando términos adicionales para incluir las restricciones de desigualdad, obtenemos:
ggg N
1i
mini
Pi
Pmini
u
N
1i
maxi
Pi
Pmaxi
u
N
1ii
PL
PC
PλT
FL
Las restricciones deben ser entendidas como:
ui(max) = 0 cuando Pi < Pi(max)
ui(min) = 0 cuando Pi > Pi(min)
En otras palabras si la restricción no es violada, su variable u asociada es cero. La restricción
únicamente queda activa cuando hay violación.
El mínimo de la función se encuentra para las siguientes condiciones:
Universidad Nacional de San Agustín ¨Ingeniería Eléctrica¨
22
0P
L
i
0λ
L
0maxPP
maxu
Lii
i
0minPP
minu
Lii
i
Las ecuaciones implican que Pi no se debería permitir que vaya mas allá de sus límites, y cuando
Pi está dentro de sus límites ui(min) = ui(max) = 0 y las condiciones de Kuhn – Tucker quedan lo mismo que un Lagrangiano.
La primera condición queda:
g
i
L
i
T
i
L
i
T
N1,2,......i ; P
P-1λ
P
F
01P
P0λ
P
F
Las perdidas incrementales de transmisión son
ioj
j
ij
i
L BPBP
P
1
2
Remplazando los valores incrementales de costos y perdidas, se obtiene
λ
bB1
2
1PBPB
λ
c
o
λλBPB2λP2cb
i
oi
Ng
ij1j
jijiii
i
oi
Ng
1j
jijiii
Expresado matricialmente, se resuelve el sistema lineal de ecuaciones resultante
Universidad Nacional de San Agustín ¨Ingeniería Eléctrica¨
23
λ
bB1
.
.
.λ
bB1
λ
bB1
2
1
P
.
.
.
P
P
Bλ
c...BB
...
...
...
B...Bλ
cB
B...BBλ
c
Ng
gN0
202
101
Ng
2
1
NgNg
Ng
Ng2Ng1
2Ng222
21
1Ng12111
MÉTODO ITERATIVO El proceso iterativo se resuelve usando el método del gradiente, a partir de los valores iniciales de
P i (k)
siguientes:
)Bλ2(c
PB2λb)B(1λ
Pii
(k)
i
ij
(k)
jij
(k)
ioi
(k)
(k)
i
Sustituyendo
k
LC
k
(k)
LC
(k)
(k)
LC
Ng
1i ii
(k)
i
ij
(k)
jij
(k)
ioi
(k)
(k)
LC
Ng
1i
(k)
i
PPλf
PPλf
PP)Bλ2(c
PB2λb)B(1λ
PPP
Se expande el lado izquierdo en serie de Taylor alrededor del punto l(k):
k
i
k
k
kk
k
l
k
k
k
dλ
dP
ΔP
dλ
λdf
ΔPΔλ
PPCΔλdλ
λdfλf
Donde:
Ng
1i2
ii
k
i
ij
k
jijiiiioiiNg
1i
k
i
Bλc2
PB2cbBB1c
dλ
dP
Universidad Nacional de San Agustín ¨Ingeniería Eléctrica¨
24
y así: kk1k Δλλλ
Ng
1i
k
i
k
LC
k PPPΔP
El proceso continua hasta que P(k)
sea menor que la tolerancia especificada.
Si se emplea una formula simplificada de pérdidas, Boi = 0, Boo = 0 y la expresión de Pi se reduce
a:
ii
k
i
i
kk
iBλc2
bλP
Y así también
Ng
!i2
ii
k
i
iiiiNg
1i
k
i
Bλc2
bBc
λ
P
Ejercicio
Determinar el despacho económico de un sistema de tres unidades de generación que suministran
energía a una carga de 190 MW. a) Despacho uninodal sin pérdidas y b) despacho con pérdidas.
Los datos para las unidades de generación son los siguientes:
Unidad H Costo combustible Pmin Pmax
1 0.005 P2 + 8.25 P + 312.5 1.050 50 250
2 0.005 P2 + 8.25 P + 112.5 1.217 5 150
3 0.005 P2 + 8.25 P + 50.0 1.183 15 100
La formula simplificada de perdidas es
PL = 0.000136 P1 + 0.000155 P2 + 0.001615 P3
SOLUCIÓN DEL DESPACHO ECONÓMICO SI CONSIDERAR LOS LÍMITES DEL GENERADOR NI LA PÉRDIDAS DE LÍNEA. Ejercicio: Un sistema interconectado tiene 2 unidades que operan con combustible fósil en despacho, los
costos de operación variables de estas unidades están dadas por:
2
2
3
22
2
1
3
11
10.87
10.108
PPC
PPC
Universidad Nacional de San Agustín ¨Ingeniería Eléctrica¨
25
Determinar la salida de potencia de cada unidad, el coso de operación incremental y el costo de
operación total, que minimiza el costo de operación total cuando la demanda de carga varía de
500ª 1500 MW no se consideran las restricciones de la s unidades generadoras, ni las pérdidas de transmisión.
Solución:
La condición para que el sistema interconectado opere en condiciones de mínimo costo podrá ser que los costos adicionales de operación mínima sean iguales:
Aplicando este criterio:
2
3
2
2
1
3
1
1
10.167
10.208
PdP
dC
PdP
dC
Costo total de operación:
)1(10.16710.208 2
3
1
3
2
2
1
1 PPdP
dC
dP
dC
La condición de restricción que tenemos es que la potencia demandada total es igual a las
potencias demandadas por generadora (hecho pre-conocido)
MWPtP
PPt
PPPt
PP
PPPt
28.279
4
4
51
10.16
1
10.16
10.201
10.16
10.201
)2(
1
13
3
1
3
1
3
1
3
2
21
)/($0089.044.7
28.279
410.208 3
2
2
1
1
hMWPtdP
dC
PtdP
dC
dP
dC
i
i
Costo de operación total:
2
2
3
2
2
1
3
1 10.8710.108 PPPPCt
Determinar el costo operación
Pt P1 P2 dCi/dPi Ct
500 194.4 305.6 11.89 4041
600 238.9 361.1 12.78 5197
700 283.3 416.7 13.67 7335
Universidad Nacional de San Agustín ¨Ingeniería Eléctrica¨
26
800 327.8 472.2 14.56 7775
900 372.2 527.8 15.45 9197
1000 416.6 583.4 16.34 11875
1100 461.1 638.0 17.23 12308
1200 505.6 694.4 18.12 13998
1300 550.0 750.0 19.01 15775
1400 594.4 805.6 19.90 17641
1500 638.9 861.1 20.79 19597
EFECTO DE LAS RESTRICCIONES DE DESIGUALDAD: Cada unidad generadora no debe operar por encima de su capacidad p por debajo de alguna
potencia mínimas, es decir:
ni
PiPiPi
,...,3,2,1
maxmin
En el problema de despacho económico se pude incluir otras restricciones d desigualdad se podría
restringir algunas salidas de las unidades para no sobrecargar ciertas líneas de transmisión u
otros equipos, por situaciones climáticas adversas se podría también limitar la generación de algunas unidades para reducir las emisiones.
Cuando se incluyen restricciones de desigualdad, la solución del flujo de potencia se modifica de la
siguiente manera.
Si una o más unidades alcanzan sus valores límites, entonces dichas unidades se mantienen constantes en sus límites y las demás operan al mismo costo incremental de operación “λ”, es decir
“λ” es común, inclusive para las unidades que no están en sus límites.
CONCLUCIONES: En este trabajo se muestra el despacho económico considerando las perdidas en las líneas
de transmisión en la cual aparece un factor de penalización según a ese factor se consigue la optimización del precio de la energía y un consumo de combustible mínimo, en la cual se
puede aplicar los métodos que se mostró en el tema.
BIBLIOGRAFIA/ SITIOS WEB: http://web.ing.puc.cl/~power/alumno06/CapacityCall/09.htm
http://www.imergia.es/eficiencia-energetica/que-son-las-penalizaciones-electricas
http://www.cne.cl/tarificacion/electricidad/precios-de-nudo-de-corto-plazo