CLASE  Nº2  Semana  6  Matemática    Octavo  Básico  

 Objetivo  de  esta  clase:  Conocer,  comprender  y  aplicar  las  propiedades  de  potencias  Definición: Una potencia es una forma abreviada de expresar una multiplicación en la que todos los factores son iguales: 𝑎! La base es el factor que se repite, y el exponente, el número de veces que se repite la base, multiplicándose a sí misma: 𝑎! = 𝑎 ∙ 𝑎 ∙ 𝑎 ∙ 𝑎 ∙… ∙ 𝑎 𝑏-veces Ejemplos: 2! = 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2 = 32 (−3)! = −3 ∙ −3 ∙ −3 ∙ −3 = 81

Ejercicios: Complete la siguiente tabla según corresponda:

Potencia Base Exponente Desarrollo Resultado

3! 3 3 ∙ 3 ∙ 3 ∙ 3

(−5) 3

8 ∙ 8

6 (−2) ∙ (−2) ∙ (−2) ∙ (−2) ∙ (−2) ∙ (−2)

Observaciones:

ü Si la base de la potencia es negativa y su exponente es un número par, el resultado será un número positivo. Ejemplo: (−2)! = −2 ∙ −2 ∙ −2 ∙ −2 = 16

ü Si la base de la potencia es negativa y su exponente es un número impar, el resultado será un número negativo. Ejemplo: (−2)! = −2 ∙ −2 ∙ −2 ∙ −2 ∙ −2 = −32

ü Si la base de la potencia es negativa y no tiene paréntesis, su resultado siempre será un número negativo, sin importar si su exponente es un número par. Ejemplo: −2! = − 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2 = −16

• Recordar siempre la regla de los signos.

Exponente    

Base  

Propiedades

Para las potencias, existen ciertas propiedades que son importantes entenderlas y aplicarlas, siempre que se cumplan ciertas condiciones (los nombres de las propiedades) podemos aplicarlas.

1. Potencia de exponente 0: Toda potencia de base distinta a cero y de exponente 0 será igual a 1, es decir:

𝑎! = 1 Ejemplos: 15! = 1 (−6)! = 1 Ejercicios:

a) 2! =

b) (−3)! =

c) 4! =

d) (−25000)! =

2. Multiplicación de potencias de igual base: Se conserva la base y se suman los exponentes, es

decir: 𝑎! ∙ 𝑎! = 𝑎!!!

Ejemplos: 4!" ∙ 4! = 4!"!! = 4!" (−2)! ∙ −2 ! = −2 !!! = (−2)! Ejercicios:

a) (−8)! ∙ −8 ! =

b) (−1)!" ∙ −1 !" =

c) 3! ∙ 3! =

d) (−5)! ∙ −5 ! =

3. División de potencias de igual base: Se conserva la base y se restan los exponentes, es decir:

𝑎!:𝑎! = 𝑎!!!

Ejemplos: 6!: 6! = 6!!! = 6! = 6 ∙ 6 ∙ 6 ∙ 6 ∙ 6 = 7776;   (−3)!: (−3)! = (−3)!!! = (−3)! = −3 ∙ −3 ∙ −3 ∙ −3 = 81 Ejercicios:

a) (−7)!": (−7)!" =

b) 5!": 5!" =

c) (−3)!: (−3)! =

d) −10 !: (−10)! =

4. Multiplicación de potencias de igual exponente: Se multiplican las bases y se conserva el exponente, es decir:

𝑎! ∙ 𝑏! = 𝑎 ∙ 𝑏 ! Ejemplos: 2! ∙ 3! = 2 ∙ 3 ! = 6! = 6 ∙ 6 ∙ 6 = 216 ;(−5)! ∙ −4 ! = −5 ∙ −4 ! = 20! = 20 ∙ 20 = 400 Ejercicios:

a) 2! ∙ 3! =

b) 5! ∙ 3! ∙ 2! =

c) (−6)! ∙ 5! =

d) (−4)! ∙ −7 ! =

5. División de potencias de igual exponente: Se dividen las bases y se conserva el exponente, es

decir: 𝑎!: 𝑏! = 𝑎 ∶ 𝑏 !

Ejemplos: 10!: 5! = 10 ∶ 5 ! = 2! = 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2 = 64 ; (−36)!: (−9)! = −36 ∶ −9 ! = 4! = 4 ∙ 4 ∙ 4 = 64 Ejercicios:

a) (−32)!: (−4)! =

b) 24!: 8! =

c) 72!: 9! =

d) 8!: 2! =

6. Potencia de una potencia: Se conserva la base y se multiplican los exponentes, es decir:

𝑎! ! = 𝑎!∙!

Ejemplos: 8! ! = 8!∙! = 8!" (−2)! ! = (−2)!∙! = (−2)! Ejercicios:

a) −1! ! =

b) 3! ! =

c) −2 ! ! =

d) −2 ! ! ! =

7. Potencia de exponente negativo: Su valor será igual al del inverso multiplicativo ( o a una fracción cuyo numerador será siempre un 1, y el denominador será la base de la potencia) de la potencia cuyo exponente es positivo, es decir:

𝑎!! =1𝑎!

Ejemplos: 5!! = !

!!=   !

!∙!∙!∙!=   !

!"# (−3)!! = !

(!!)!=   !

!! ∙(!!)=   !

!

Ejercicios: a) 8!! =

b) (−9)!! =

c) −7!! =

d) 10!! =

• El  inverso  multiplicativo  de  un  número  es  otro  número  (  siempre  una  fracción),  que  al  

multiplicarlos,  el  resultado  es  1,  es  decir:  • El  inverso  multiplicativo  de  un  número  se  escribe  como    𝑎!!  

 *Si  el  número  es  entero  y  calculamos  su  inverso  multiplicativo:  (El  inverso  multiplicativo  será  siempre  una  fracción  que  el  numerador  es  un  1  ,  y  el  denominador  será  el  número  al  cual  calculamos  su  inverso)    Número   Inverso  multiplicativo   Justificación  5   5!! =  

15   5 ∙

15 =  

51 ∙15 =  

55 = 1

(-­‐4)   (−4)!! =  −14  ó  

1−4    ó−  

14  

−4 ∙ −14=  

−41

∙ −14=  (−4)−4

= 1  

 *  Si  es  una  fracción  y  calculamos  su  inverso  multiplicativo:  (En  este  caso,  basta  con  invertir  la  fracción  para  encontrar  su  inverso  multiplicativo).