MATEMÁTICAMATEMÁTICA

Clase 1Propiedades de las potencias

APRENDIZAJES ESPERADOS

• Interpretar la potencia de 10 y la notación científica

en situaciones cotidianas.

• Aplicar propiedades y operatoria de potencias (multiplicación,

división, potencia de potencia) en la resolución de problemas.

• Transformar números decimales y enteros múltiplos de 10 a potencias de 10.

• Comprender la definición de potencias

de base racional y exponente entero

Contenidos

1. Definición de potencias• Base entera y exponente entero• Base racional y exponente entero

2. Signos de una potencia• Exponente par• Exponente impar

3. Propiedades• Operaciones• Exponentes de una potencia

4. Potencia de 10• Definición• Notación científica

1. Definición de potencias

Una potencia es una multiplicación reiterada de términos o números iguales. El término o número que se va multiplicando, se llama base; la cantidad de veces que se multiplica dicha base se llama exponente.

an =

a ∙

a ∙

a ∙

a ∙ … a ∙

∙ a

n veces

44 =

4 ∙

4 ∙

4 ∙4 =

(– 5)2 = (– 5)∙ (– 5) = 25

256

Ejemplo:

Nota: – 52 ≠ (– 5)2, ya que: – 52 = (–1)·(5 ∙ 5) = – 25 y

(– 5)2 = (– 5) · (– 5) = 25

.00≠natal que,

1.1 Base entera y exponente entero

1.1 Base racional y exponente entero

1. Definición de potencias

En las potencias de base racional, el exponente entero eleva tanto aldenominador como al numerador.

2) 2

5

4

= 16

625=

2

5

2

52

52

5∙ ∙ ∙– – – – –

Ejemplos:

1) 8

3

2

=64

9=8 8

3 3

∙

3=8

2

2∙

2.1 Exponente par

2. Signos de una potencia

Las potencias con exponente par, son siempre positivas.

(– 13) ∙ (– 13) = 1691) (– 13)2 =

2) 3

7

4

=3

7∙ ∙– –

Ejemplos:

7– 3

7∙–

7– 3 3

2.401 81 =

En las potencias con exponente impar, la potencia conserva el signo de la base.

Ejemplos:

1) (– 9)3 = (– 9) ∙ (– 9) ∙ (– 9) = – 729

2) 2

3

5

= = 32243

2

32

32

32

32

3∙ ∙ ∙ ∙

2.2 Exponente impar

2. Signos de una potencia

3.1 Operatoria

3. Propiedades de potencias

1) De igual baseSe conserva la base y se suman los exponentes.

an+man ∙ am =

62 + 362 ∙ 63 = = 65

2) De igual exponente:

Ejemplos:

Se multiplican las bases, conservando el exponente.

(a ∙ b)nan ∙ bn =

67 ∙

24 ∙

34 =

67 ∙

(2 ∙ 3)4 = 67 ∙

64 = 611

• Multiplicación

1) De igual baseSe conserva la base y se restan los exponentes.

an – m an : am =

2) De igual exponente:

Ejemplos:

Se dividen las bases, conservando el exponente.

(a : b)nan : bn =

532

54= = 528532 – 4

(Con a distinto de cero)

(Con b distinto de cero)

87 : 24

164

= 87 : (16 : 2)4 = 87 : 84 = 83

3.1 Operatoria

3. Propiedades de potencias

• División

Se multiplican los exponentes.

(an )m = an ∙ m

(1112)3 = 1112 ∙ 3 = 11 36

Ejemplo

3. Propiedades de potencias

3.1 Operatoria

• Potencia de una potencia

Propongan un ejemplo para el caso de base racional

= 23

3 23

3ya que:

y = 23

3= 2∙2∙2

3 83

23

3= = 8

27 23

23

23

∙ ∙

Nota: No existe una regla para sumar o restar potencias, sin embargo cuando se tiene suma o resta de potencias exactamente iguales, se pueden reducir como términos semejantes.

2 3

2

32

32

32

3+ + + + =

m m m m m5 ·

2

3

mEjemplo

3. Propiedades de potencias

3.1 Operatoria

• Operaciones entre potencias

FACTORIZAR!

a0 = 1 (Para todo a distinto de cero)

Ejemplo

1

5– 3,8

9 – (16 – 7)

=1

5– 3,8

0

= 1

00 : indefinido

3. Propiedades de potencias

3.2 Exponentes de una potencia

• Exponente 0

Ejemplo

Se invierte la base y se eleva al exponente positivo.

1) Potencia de exponente negativo y base entera:

(Con a distinto de cero)

1 a– n =

a

n

= 1 an

3–3 ∙ 12

4

3

= ∙ (3)3

3

3 1

= 3 1

∙ 3 3= 1

3

= 1

3. Propiedades de potencias

3.2 Exponentes de una potencia

• Exponente negativo

Ejemplo

2) Potencia de exponente negativo y base fraccionaria:

a

b

– n

= b

a

n

(Con a distinto de cero

y b distinto de cero)

23=

3 32

3

– 3

=

33

2=

27

8__

3. Propiedades de potencias

3.2 Exponentes de una potencia

• Exponente negativo

4. Potencia de 10

1) Con exponente positivo:101 = 10

102 = 100

103 = 1.000

32.000.000 = 32 ∙ 1.000.000

= 32 ∙ 106

.

.

.

Ejemplo

4.1 Definición

Si la base de una potencia es 10, el exponente indicará la cantidad de ceros que acompañarán al 1 inicial.

Si el exponente tiene valor 1, entonces solo un cero acompaña a uno, si es 2 entonces dos ceros lo acompañan, y así sucesivamente.

2) Con exponente negativo:

Ejemplo

0,1

100= 1 0,01

10–3 = 11.000

= 0,001

10–1 =

10–2 =

.

.

.

10= 1

51072100.000

720,00072 −⋅==

4. Potencia de 10

4.1 Definición

Exponentes negativos indican el número de

decimales después de la coma.

4. Potencia de 10

4.2 Notación científica

Existen situaciones que suelen ser descritas a través de números muy grandes o muy pequeños. ¿Qué hacer en tal caso?

Expresar el número en notación científica

La notación científica corresponde a la escritura de cualquier número como una potencia de 10 multiplicada por un número entre 1 y 10, sin incluir a este último.

Ejemplo

51040002,3000.10040002,3002.340 ⋅=⋅=

Síntesis de la clase

Signos de una potencia

Potenciasan = a ∙ a ∙ a ∙ …a ∙ ∙ a

n veces

Propiedades Potencias de 10

Exponente par

Exponente impar

(– 2)2 = −2∙ −2 = 4

(– 2)3 = −2∙ −2 ∙ −2 =−8

an+man ∙ am =

(a ∙ b)nan ∙ bn =

Multiplicación

Divisiónan – m an : am =

(a : b)nan : bn =

(an )m = an ∙ m

Potencia de una potencia

101 = 10102 = 100

Exponente positivo

10-1 = 0,110-2 = 0,01

Exponente negativo

Notación científica

0,41=4,1* 10-1

ESTE MATERIAL SE ENCUENTRA PROTEGIDO POR EL

REGISTRO DE PROPIEDAD INTELECTUAL.

Equipo Editorial Matemática