Teoría de Colas

• M/M/1: Un servidor con llegadas de Poisson y tiempos de servicio exponenciales

• M/G/1: Un servidor con tiempos entre llegadas exponenciales y una distribución general de tiempos de servicio

• M/D/1: Un servidor con tiempos entre llegadas exponenciales y una distribución degenerada de tiempos de servicio

• M/Ek/1: Un servidor con tiempos entre llegadas exponenciales y una distribución Erlang de tiempos de servicio

Modelos de una cola y un servidor

1,0

)()(

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1

)(

)1()1(

1

2

t

etWPetWP

nLPP

WW

LL

tq

ts

ns

nn

qs

qs

Modelo M/M/1

Modelo M/M/1: ejemplo• Un lavacar puede atender un auto cada 5

minutos y la tasa media de llegadas es de 9 autos por hora

• Obtenga las medidas de desempeño de acuerdo con el modelo M/M/1

• Además la probabilidad de tener 0 clientes en el sistema, la probabilidad de tener una cola de más de 3 clientes y la probabilidad de esperar más de 30 min. en la cola y en el sistema

17.0)60/30(

22.0)60/30(

32.0)3(25.0)1(

min1525.0)(

min2033.01

25.2)(

3

75.012

9,12,9

)1(

)1(

1300

2

tq

ts

s

q

s

qs

eWP

eWP

LPP

hrsW

hrsW

clientesLclientesL

Modelo M/M/1: ejemplo

http://www.auladeeconomia.com

Modelo M/M/1: ejercicio

• A un supermercado llegan en promedio 80 clientes por hora que son atendidos entre sus 5 cajas.

• Cada caja puede atender en promedio a un cliente cada 3 minutos

• Obtenga las medidas de desempeño de acuerdo con el modelo M/M/1

• Además la probabilidad de tener 2 clientes en el sistema, la probabilidad de tener una cola de más de 4 clientes y la probabilidad de esperar más de 10 min. en la cola

Modelo M/G/1

1

1

1

)1(2

0

222

w

qqqs

qqs

PP

LWWW

LLL

• Un lavacar puede atender un auto cada 5 min. y la tasa media de llegadas es de 9 autos/hora, = 2 min.

• Obtenga las medidas de desempeño de acuerdo con el modelo M/G/1

• Además la probabilidad de tener 0 clientes en el sistema y la probabilidad de que un cliente tenga que esperar por el servicio

Modelo M/G/1: ejemplo

75.025.01

min7.8145.0

min7.13228.01

31.1)1(2

06.275.31.1

0

222

w

qq

qs

q

qs

PP

hrsL

W

hrsWW

clientesL

clientesLL

Modelo M/G/1: ejemplo

• A un supermercado llegan en promedio 80 clientes por hora que son atendidos entre sus 5 cajas.

• Cada caja puede atender en promedio a un cliente cada 3 minutos. Suponga = 5 min

• Obtenga las medidas de desempeño de acuerdo con el modelo M/G/1

• Además la probabilidad de tener 0 clientes en el sistema y la probabilidad de que un cliente tenga que esperar por el servicio

Modelo M/G/1: ejercicio

Modelo M/D/1

1

1

)1(2

2

qqqs

qss

LWWW

LWL

Modelo M/D/1: ejemplo• Un lavacar puede atender un auto

cada 5 min.

• La tasa media de llegadas es de 9 autos/hora.

• Obtenga las medidas de desempeño de acuerdo con el modelo M/D/1

Modelo M/D/1: ejemplo

min5.7125.0

min5.1221.01

125.1)1(2

875.12

hrsL

W

hrsWW

clientesL

clientesWL

qq

qs

q

ss

Modelo M/D/1: ejercicio• A un supermercado llegan en promedio

80 clientes por hora que son atendidos entre sus 5 cajas.

• Cada caja puede atender en promedio a un cliente cada 3 minutos.

• Obtenga las medidas de desempeño de acuerdo con el modelo M/D/1

Modelo M/Ek/1

1

1

)1(2

)1(2

qqqs

qss

LWWW

k

kLWL

Modelo M/Ek/1: ejemplo

• Un lavacar puede atender un auto cada 5 min.

• La tasa media de llegadas es de 9 autos/hora. Suponga = 3.5 min (aprox.)

• Obtenga las medidas de desempeño de acuerdo con el modelo M/Ek/1

Modelo M/Ek/1: ejemplo

min25.111875.0

min25.162708.01

6875.1)1(2

)1(

437.22

hrsL

W

hrsWW

clientesk

kL

clientesWL

qq

qs

q

ss

Modelo M/Ek/1: ejercicio

• A un supermercado llegan en promedio 80 clientes por hora que son atendidos entre sus 5 cajas.

• Cada caja puede atender en promedio a un cliente cada 3 minutos. Suponga k= 4

• Obtenga las medidas de desempeño de acuerdo con el modelo M/Ek/1

Modelo Ls Ws Lq Wq

M/M/1

M/G/1

M/D/1

M/Ek/1

Modelos de un servidor: Ejercicio: complete el cuadro ejemplo lavacar

Modelos de varios servidores

• M/M/s: s servidores con llegadas de Poisson y tiempos de servicio exponenciales

• M/D/s: s servidores con tiempos entre llegadas exponenciales y una distribución degenerada de tiempos de servicio

• M/Ek/s: s servidores con tiempos entre llegadas exponenciales y una distribución Erlang de tiempos de servicio

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02

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M/M/s, una línea de espera

M/M/s, una línea de espera

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3

4

2

2

4

2

3

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L

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