EJERCICIOS SERIES FUNCIONALES.

A. DESARROLLAR EN SERIE DE POTENCIAS DE Y HALLAR SU INTERVALODE CONVERGENCIA.

1) ( ) =Utilizando la identidad trigonométrica: 2 = 2Despejando: =Entonces el desarrollo de será:

senxcosx = 2x2 − (2x)2 ∗ 3! + (2x)2 ∗ 5! − (2x)2 ∗ 7!+. . +(−1) 2 ∗ xn!Aplicando D’Alembert para hallar el intervalo de convergencia:

lim→ (−1) ∗ 2 ∗ x(n + 1)n! ∗ n!(−1) ∗ 2 ∗ x < 12 ∗ |x| ∗ lim→ 1n + 1 < 1 ; |x| < ∞ ; −∞ < < ∞

2) ( ) = ( )cos2x = 2cos x − 1 ; cos x = 1 + cos2x2

1 + cos2x2 = 12 1 − (2x)2! + (2x)4! − (2x)6! + ⋯+ (−1) (2x)(2n)!f(x) = 12 1 + (−1) (2x)(2n)!

Aplicando D’Alembert para hallar el intervalo de convergencia:

lim→ (−1) ∗ (2x)(2n + 2)(2n + 1)(2n)! ∗ (2n)!(−1) ∗ (2x) < 1|2x| ∗ lim→ 1(2n + 2)(2n + 1) < 1

|x| < ∞ ; −∞ < < ∞3) ( ) = √ +

8 1 + x 8 = 2 1 + x 8 ; x = x8 y m = 13= 1 + + − ! + − − ! +− − − ! + ...

= 1 + 13 x8 + (−1) 2 ∗ 5 ∗ 8 ∗ 11 ∗ … (3n − 4) x 83 ∗ n!

f(x) = √8 + x= ∑ (−1) ∗ ∗ ∗ ∗…( )∗ !lim→ (−1) ∗ 2 ∗ 5 ∗ 8 ∗ 11 ∗ … (3n − 4)(3n − 1) x 83 ∗ (n + 1)n!

∗ 3 ∗ n!(−1) 2 ∗ 5 ∗ 8 ∗ 11 ∗ … (3n − 4) x 8 < 1∗ ∗ lim→ < 1 ; < 1 ; −1 < < 1

−8 < < 84) ( ) =

senh = −2Los desarrollos a utilizar serían:

= 1 + ! + ! + ! +⋯+ != 1 − ! + ! − ! +⋯+ (−1) ∗ !

senh = 1 + 1! + 2! + 3! +. . − 1 − 1! + 2! − 3! +⋯2senh = 2 + 23! + 25! +⋯+ 2(2 + 1)!2

senh x = ∑ ( )!lim→ x2n+3(2n + 3)(2n + 2)(2n + 1)! ∗ (2n + 1)!x < 1

|x| ∗ lim→ 1(2n + 3)(2n + 2) < 1|x| < ∞ ; −∞ < < ∞

B. CALCULAR LOS SIGUIENTES LÍMITES UTILIZANDO SERIES DEPOTENCIAS.

1) →Se sustituye, en el límite, el desarrollo de arcsenx y sen x;tomando una cantidad finita de términos. En este caso tomaremoscuatro términos.

arcsenx = x + x2 ∗ 3 + 3x2 ∗ 5 ∗ 2! + 3 ∗ 5x2 ∗ 7 ∗ 3!arcsenx = x + x6 + 3x40 + 5x112

Para sen x aplicamos la siguiente identidad trigonométrica:

sen x = 3senx − sen3x4= 3x − 3x3! + 3x5! − 3x7! − 3x − (3x)3! + (3x)5! − (3x)7!4

sen x = 24x4 ∗ 3! − 240x4 ∗ 5! + 2184x4 ∗ 7! = x − x2 + 13x120lim→ x − x + x6 + 3x40 + 5x112x − x2 + 13x120 = lim→ − x6 − 3x40 − 5x112x − x2 + 13x120

Se divide cada término por la menor potencia de x:

lim→ − 16 − 3x40 − 5x1121 − x2 + 13x120 = − 162) →

lim→ 1 + 1! + 2! + 3! − 1 − 1! + 2! − 3! − 2xx − − 3 + 5 − 7lim→ 23! x3 − 5 + 7

Se divide cada término por la menor potencia de x:

lim→ 1313 − 5 + 7 = 13) →

2x + 8 = 8 1 + x 4 = 2 1 + x 4= 2 1 + 13 x4 + 13 − 23 12! x4 = 2 1 + x12 − x144

lim→ x + x6 + 3x40 − x2 + 6 − 72 − 2 = lim→ x6 + 3x406 − 72Se divide cada término por la menor potencia de x:

lim→ x6 + 3x4016 − 72 = 0

4) → ( )

lim→ − 3! 2 + 1 − 2! − 3x + x (1 + x )

lim→ 2x + x − x2 − x3 − x6 + x3! ∗ 2! − 3x + x + x

lim→ x + x12xSe divide cada término por la menor potencia de x, en este caso

entre x :

lim→ 1 + x121 = 15) →

lim→ x + x3 − 11 − x2x = lim→ x + x3 − 21 − xx

lim→ x(12)(1 − x ) + x (1 − x ) − 24(12)(1 − x )xlim→ 12x − 11x − x − 24(12)(x − x ) = lim→ 12 − 11x − x − 24x12(x − x ) = +∞

C. RESOLVER LOS SIGUIENTES INTEGRALES.

1. ∫ ( )= tt − t2t + t3t − t4t +⋯ dt= 1 − t2 + t3 − t4 +⋯ dt

= t − t2 ∗ 2 + t3 ∗ 3 − t4 ∗ 4 + … ]x0= x − x2 + x3 − x4 +⋯+ (−1) xn

2. ∫= [1 + (− )] = − ; = − 1 2

1 + − 12 (−t ) + − 12 − 32 (−t )2! + − 12 − 32 − 52 (−t )3! +. .1 + t2 + 1 ∗ 3 ∗ t2 ∗ 2! + 1 ∗ 3 ∗ 5 ∗ t2 ∗ 3! +⋯

= t + t5 ∗ 2 + 1 ∗ 3 ∗. . t9 ∗ 2 ∗ 2! + 1 ∗ 3 ∗ 5 ∗ … t13 ∗ 2 ∗ 3! + … ]0= x + x5 ∗ 2 + 1 ∗ 3 ∗. . x9 ∗ 2 ∗ 2! + 1 ∗ 3 ∗ 5 ∗ … x13 ∗ 2 ∗ 3! +⋯

1 ∗ 3 ∗ 5 ∗ … (2n + 1)x(4n + 1) ∗ 2 ∗ n!