métodos wavelets para el análisis estadístico de series funcionales fractales

8/18/2019 Métodos Wavelets Para El Análisis Estadístico de Series Funcionales Fractales

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Máster Oficial en EstadísticaAplicada

Métodos wavelets para el análisisestadístico de series funcionalesfractales

Esther Lubián Bermejo

Directora: María Dolores Ruiz MedinaDepartamento de Estadística e I.O.Universidad de Granada2011



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Índice general

Introducción

1. Modelos autosimilares de dependencia temporal fractal yespacial fractal

1.1. Introducción1.2. Movimiento Browniano Clásico1.3. Movimiento Browniano fraccionario

1.3.1 Propiedades del Movimiento Browniano fraccionario

1.4. Modelos de dependencia espacial fractal ( Brownianofraccionario espacial)

1.4.1. Algoritmo de desplazamiento del punto medio1.4.2. Hoja Browniana fraccionaria1.4.3. Aplicación a relieves y costas1.4.4. Mapas fractales

1.5. Métodos de análisis fractal estacionario de series temporales1.6. Conclusiones y comentarios generales sobre dichos modelos

2. Modelos autosimilares no homogéneos fractales 2.1. Introducción2.2. Movimiento Browniano multifraccional2.3. Análisis de Multifractalidad2.4. Conclusiones y comentarios finales sobre dichos modelos

3. Modelos no autosimilares

3.1. Introducción



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3.2. Elementos ,definiciones básicas y resultados fundamentales

3.2.1. Identificación de la irregularidad local y órdenes asintóticas en casos dedependencia fractal y de largo rango3.2.2. Caracterización de las familias asociadas de las funciones de covarianza conla separación de sus dos parámetros3.2.3. Resultados fundamentales

3.3. Comentarios y conclusiones finales de estos modelos

4. Apéndice

4.1. Teoría espectral4.2. Procesamiento de la fractalidad mediante la transformadawavelet

Bibliografía



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Introducción

Este trabajo se centra fundamentalmente en el estudio de las técnicasusuales empleadas en el tratamiento estadístico de secuencias de imágeneso superficies fractales (con variabilidad local, rugosidad) .Por ejemplo, sitratamos de medir el litoral se obtendrá un resultado distinto en función del

grado de detalle al que aspire: si se tiene en cuenta sólo el contorno de lasbahías o si se va midiendo cada roca, grano de arena,…En un fractal idealllegaría a hacerse infinito. Estas superficies no se encuentran dentro de lageometría Euclídea, sino fractal. No tienen una dimensión 1,2,…sinofraccionaria. La solución matemática de esta rareza pasa por dar a losfractales una dimensión mayor que uno y menor que dos, esto es, un númerofraccionario y cuánto más serpentee más próximo a dos sería. Además éstosson autosimilares, sus partes tienen la misma forma o estructura que el todo.

Este trabajo se centrará en estudiar los distintos procesos estocásticos paraestudiar estas superficies. El estudio de procesos estocásticos ha sidomotivado por la necesidad de modelar la evolución en el tiempo de ciertosfenómenos aleatorios. Por ejemplo, las crecientes del río Nilo fueronestudiadas y se observó un comportamiento cíclico consistente en quedurante siete años consecutivos el nivel de las crecientes era mayor que enlos siguientes siete años, lo cual creaba a su vez un ciclo de siete años deabundancia y siete años de escasez.

Hasta ese momento se pensaba que no había dependencia delcomportamiento de las crecientes entre un año y otro ,pero sí la había(comportamiento o dependencia de largo alcance).Esto se conoce comoefecto de Hurst, que tendrá mucha importancia en el siguiente trabajo.



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Entre los modelos o procesos que se estudiarán están en el Capítulo 1, losmodelos autosimilares globalmente (índice de Hurst constante) , en elCapítulo 2, los modelos autosimilares no homogéneos (cuyo comportamientono se puede describir mediante un único exponente de escala y el índice deHurst es variable en el tiempo o espacio) y en el Capítulo 3, los modelos noautosimilares (que separan entre parámetro de Hurst y la dimensión fractal).Y por último, en el Capítulo 4 hay un apéndice sobre teoría espectral ,análisis de Fourier y procesamiento de la fractalidad mediante latransformada wavelet [51],[52],[53].

Con referencia a los Modelos autosimilares se estudian , por una parte losmodelos de dependencia temporal fractal [1],[3] :una introducción delMovimiento Browniano clásico [2], para su posterior extensión al MovimientoBrowniano fraccionario [4], [5],[11].Y, como modelo de dependencia espacialfractal, para la generalización del movimiento browniano a dimensionesmayores, se estudiará la Hoja Browniana Fraccionaria , movimientobrowniano fraccional en dos parámetros, con sus características,propiedades, aplicaciones,… en [7], [8], [9] y [13]. También se verá laaplicación a relieves y costas y generación de mapas fractales en [10], queayudan a comprender el efecto de patrones estructurados del paisaje sobrela dinámica ecológica, y el algoritmo de desplazamiento del punto medio en[6], que se utiliza para la generalización del movimiento browniano. Después,con [12] se hace un estudio de los métodos de análisis fractal estacionario

de series temporales entre los que destacan el análisis de la función autocorrelación, análisis espectral, análisis del rango reescalado de Hurst yanálisis de fluctuación.

Con referencia a los Modelos Autosimilares no homogéneos por un lado, seestudia el Movimiento Browniano Multifraccional [14],[16],[18] y por otro lado,se estudia el análisis multifractal [12],[17] con los tipos de multifractalidad,



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métodos para análisis de series de tiempo multifractales (infinito número deexponentes de escala o fractales diferentes) y los modelos simples paraseries temporales multifractales como son el modelo multifractal binomialextendido y el modelo bifractal.

Y por último, en el Capítulo 3, los Modelos No autosimilares ,se presentan loscampos aleatorios de Gauss (RFs) [19],[20],[22],[23],[24],[29],[31],[33],[34]caracterizados por familias de funciones de covarianza de dos parámetros(clase Dagum, función generalizada de Cauchy y clase Moak) .También seestablecen algunas propiedades de campos aleatorios a través del estudiode sus funciones de correlación, o densidades espectrales. Para obtener unasolución estable al problema de estimación funcional se analizan las familiasde tipo Dagum, Linnik y auxiliares.

Y también en el capítulo 3 se aplica la regresión funcional [35],[36],[37] y susimulación. También en dicha sección veremos las aplicaciones de dichosmodelos y distribuciones en diferentes campos y en los eventos extremos[21].



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Capítulo 1:

Modelos autosimilares de dependencia

temporal fractal y espacial fractal

1.1.Introducción

La autosimilaridad es la propiedad de un objeto en el que todo es exacta o

aproximadamente similar a una parte de sí mismo. Y ésta es una propiedadde los fractales (objeto con muchísima rugosidad, variabilidad). Muchosobjetos del mundo real son estadísticamente autosimilares, como las costasmarítimas. Muchas series de datos como geofísicas, médicas,… generadaspor sistemas complejos presentan estas características y para empezar sedefinirán los modelos o procesos utilizados para describir estas series dedatos , tanto en el tiempo como en el espacio, pero siempre manteniendo el

exponente de Hurst (parámetro de autosimilaridad) constante. El exponentede Hurst es una medida de la dependencia de la memoria a largo plazo ylleva consigo el decaimiento de las correlaciones de datos lejanos más lentos(cola pesada) y puede aplicarse a cualquier serie que se sospeche secomporte como fractal en cualquier otra área de estudio. Otra característicade estos modelos es que son estacionarios en el tiempo o en el espacio, esdecir, no cambian con ello.



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Entre los modelos que se estudiarán están por una parte los modelos dedependencia temporal fractal [1] ,[3] en estos trabajos se definen ycaracterizan los modelos auto afines para series temporales : MovimientoBrowniano clásico y Movimiento Browniano fraccionario y en [3] además seexplica su aplicación en la serie del Ibex35.

Entonces, se hará una introducción delmovimiento browniano clásico , en[2] se definen características sobre el mismo que serán de útil ayuda; para suposterior extensión almovimiento browniano fraccionario que veremos conmás detalle con [4] , [5] , [11] que estudian el movimiento brownianofraccional fractal y hacen un estudio detallado de algunas construccionessignificativas del mismo desarrolladas recientemente y sus aplicaciones; en[5] a las finanzas y además se verán sus propiedades en [11] (regularidad) ,características,…

En áreas como la estadística, la física y las comunicaciones se considera laevolución de ciertos fenómenos aleatorios tanto en el tiempo como en elespacio, dando origen al estudio de procesos estocásticos en dosparámetros.

Y, como modelo de dependencia espacial fractal, para la generalización delmovimiento browniano a dimensiones mayores, se estudiará laHoja

Browniana Fraccionaria , movimiento browniano fraccional en dosparámetros, con sus características, propiedades, aplicaciones,… en [7], [8] ,[9] y [13]. También se verá la aplicación a relieves y costas y generación demapas fractales en [10], que ayudan a comprender el efecto de patronesestructurados del paisaje sobre la dinámica ecológica, y el algoritmo dedesplazamiento del punto medio en [6], que se utiliza para la generalizacióndel movimiento browniano. Después, con [12] se hace un estudio de los



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métodos de análisis fractal estacionario de series temporales entre los quedestacan el análisis de la función auto correlación, análisis espectral, análisisdel rango reescalado de Hurst y análisis de fluctuación.

Uno de los primeros modelos utilizados para describir la evolución de unaserie temporal como un proceso estocástico es elmovimiento browniano ,que surgió al observar este movimiento en pequeñas partículas suspendidasen un fluido. Tiene importantes aportaciones al crecimiento fractal.

El movimiento browniano fraccionario (mfB) es la generalización delmovimiento browniano clásico. Este tipo de proceso es usado para modelarfenómenos aleatorios con dependencia a gran distancia [4].

El reciente desarrollo en el cálculo estocástico en relación con el movimientobrowniano fraccional ha llevado al estudio de los problemas de estimación deparámetros para ecuaciones estocásticas impulsadas por este proceso. Unaextensión obvia es la de estudiar el caso de dos parámetros. Se hanestudiado elementos del cálculo estocástico con respecto a la HojaBrowniana Fraccionaria y han surgido ecuaciones estocásticas con lamisma.

1.2. Movimiento Browniano Clásico

Es un proceso estocástico ,que comienza en el origen casi seguro, cuyosincrementos son independientes y están idénticamente distribuidos segúnuna normal con media cero y varianza proporcional al incrementotemporal.Para el caso σ=1 diremos que es un movimiento browniano

estándar . [1] Como la distribución de los incrementos del proceso nodependen del tiempo, sólo depende del incremento temporal, los



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incrementos son estacionarios y, en particular, se tiene que la función B (t) escontinua [2].

El movimiento browniano es un proceso auto similar (proceso en el que alcambiar la escala temporal se obtiene un proceso cuyas distribuciones finitodimensionales sólo difieren de las del proceso original en la escala espacial)[3] con exponente de autosimilaridad ½ (B(at)≅ a1/2

B(t)).

La dimensión no entera de su grafo es otra característica del movimientobrowniano que permite incluirlo dentro de los procesos fractales (Falconer1990):

- Sea {B(t): t≥0} un movimiento browniano:

El grafo en el intervalo [0,1], casi seguro, tiene dimensión de recuento porcajas D=2-1/2=1.5 [2]

1.3 . Movimiento Browniano fraccionario

El movimiento browniano fraccionario es un proceso continuo estocásticoque comienza en el origen casi seguro, función de una variable t(generalmente el tiempo).Es obtenido cuando suprimimos la independenciade sus incrementos y mantenemos la normalidad de la distribución que

siguen estos incrementos (media cero), de forma que la varianza en vez deser proporcional al incremento temporal, lo es a una potencia suya(σ2 h2H) [1]donde el exponente H, 0<H<1, recibe el nombre de índice del proceso,índice

de Hurst o parámetro de Hurst asociado con el movimiento brownianofraccional. El comportamiento de diferentes escalas estará determinado porel parámetro H. Para una H pequeño tendremos un comportamiento muyvariante, en cambio para una H grande tendremos un comportamientosuave.Para σ=1 diremos que es un movimiento browniano fraccionario



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estándar [3].

Volviendo a sus incrementos, hay que decir que tienen una distribucióngaussiana y siendo X(t) el valor de la trayectoria browniana en un instante t ,van a ser estadísticamente equivalentes a H. La distribución de losincrementos del proceso, al igual que en el movimiento browniano clásico, nodepende de t y sólo depende del incremento temporal h, con lo que losincrementos del proceso son estacionarios.

Los gráficos de ejemplos obtenidos mediante movimiento brownianofraccionario tendrán una dimensión fractal de2-H para 0 < H < 1 .

La característica fractal de invarianza de la distribución bajo un cambioadecuado de escala en el tiempo y el espacio hace que el movimientobrowniano fraccionario seaun proceso autosimilar cuyo exponente de

autosimilaridad coincide con el índice del proceso:

-Sean {BH(t) t = 0} un movimiento browniano fraccionario de índice H y a>0:

BH(at)≅ a

HB

H(t).

y la función de covarianza sería:

Cov [BH(t)-B

H(0), B

H(t+h)-B

H(t)] = ½ [(t+h)

2H- t

2H – h

2H] σ

2.

Estas covarianzas sólo valen cero cuando H es igual a ½ y, por tanto,el

movimiento browniano clásico es el único movimiento brownianofraccionario donde los incrementos son independientes, no va a existirninguna relación entre ambos (proceso sin persistencia ). En el resto de loscasos, H≠ ½, los incrementos son dependientes y el tipo de dependencia que

presentan se puede clasificar según el signo de estas covarianzas en



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persistencia cuando son positivas, H > ½, y enanti-persistencia cuando sonnegativas, H < ½. Así, paraH > ½ va a existir una correlación positiva entresus incrementos. Para H < ½ , va a existir una correlación negativa entre losincrementos, por lo que las curvas parecen oscilar de forma más irregular. Enun movimiento browniano fraccionario persistente , ½ <H<1, losincrementos correspondientes a los intervalos [0,t] y [t,t+h] tienden a ser delmismo signo, con lo que si B

H(t) ha crecido en el intervalo [0,t] tiende a

aumentar en el intervalo [t,t+h], o a disminuir si ha decrecido en el otro. En unmovimiento browniano fraccionario anti-persistente 0<H<½, los

incrementos correspondientes a los intervalos [0,t] y [t,t+h] tienden a ser dedistinto signo y si B

H(t) ha crecido en el intervalo [0,t] tiende a disminuir en el

intervalo [t,t+h], o a aumentar si ha decrecido en el otro.

El proceso de incremento,X (t) = B H (t +1) -B H (t), es conocido comoruido

Gaussiano fraccional.

La dimensión no entera de su grafo es otra característica fractal que elmovimiento browniano fraccionario comparte con el clásico (Falconer 1990):

-Sea {BH(t): t≥ 0} un movimiento browniano fraccionario de índice H:

El grafo en el intervalo [0,1], casi seguro, tiene dimensión de recuento porcajas D=2-H (1<D<2) [3].

Desde el punto de vista teórico el mfB es interesante, pues no es proceso deMarkov ni una semimartingala.

1.3.1 Propiedades del Movimiento Browniano fraccionario

Las propiedades más características del mfB serían :



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1. BH (0) = 0 con probabilidad 1.

2. Es gaussiano , centrado con var (BH (1)) =σ2.

3. El proceso es auto-similar , ya que en términos de distribuciones deprobabilidad:

B H ( T ) ~ | a | H B H ( t ).

4. Sus incrementos sonestacionarios :

BH(t)-BH(s)∼BH(t-s)

5. Para H> ½ el proceso exhibedependencia a largo plazo :

∑∞

=∞=−+

1))]()1()(1([

n H H H n Bn B B E

6. La regularidad :

Los caminos son casi en ninguna parte diferenciable .Sin embargo, casitodas las trayectorias son Hölder continuas de cualquier orden estrictamentemenor queH, para cada trayectoria tal que existe una constantec tal que :

para cada ε > 0 [11].



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1.4. Modelos de dependencia espacial fractal ( Browniano

fraccionario espacial)

La generalización del Movimiento Browniano Fraccional se va hacerampliando lo visto anteriormente a dimensiones mayores.

Un proceso multidimensional X(t1,t2,....,tn) tendría las siguientes propiedades:

- Los incrementos X(t1,t2,....,tn) - X(s1,s2,....,sn) son Gaussianos con mediacero.- La varianza de los incrementos X(t1,t2,....,tn) - X(s1,s2,....,sn) dependenúnicamente de la distancia .- La varianza va a ser proporcional a la distancia elevada a 2H-th, donde Hva a satisfacer otra vez 0 < H < 1. De esta manera :

E( |X(t1,t2,....,tn) - X(s1,s2,....,sn)|2) α (Σ (ti – si)2)H

- X va a tener otra vez incrementos estacionarios, así todos los puntos(t1,t2,....,tn) y todas las direcciones van a ser estadísticamente equivalentes.

- La dimensión fractal de un gráfico de un ejemplo dado X(t1,t2,....,tn) viene

dada por la siguiente fórmula:

D = n + 1 -H

1.4.1. Algoritmo de desplazamiento del punto medio

La generalización del movimiento browniano a dimensiones mayores se

puede hacer con facilidad a partir del algoritmo de desplazamiento del punto



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medio. Esto permite generar paisajes. El algoritmo consiste en aplicar elalgoritmo de desplazamiento del punto medio en cada uno de los lados de larejilla triangular [6].Podemos generar un paisaje más o menos escarpadodependiendo del exponente de Hurst, que en el algoritmo se traduce en elfactor de escala del número aleatorio que se va generando.

- Aplicación del algoritmo

Se empieza con un triángulo, a cada lado del triángulo se le desplaza elpunto medio aplicando un elemento aleatorio gaussiano. Despuésconectamos cada punto medio desplazado a los dos vértices más cercanos yluego cada punto medio desplazado con los otros y se eliminan los lados deltriángulo original. El resultado de esto es que hemos reemplazado el triángulopor 4 nuevos triángulos. Se repite el proceso para cada triángulo hasta elnivel deseado. Cuando tenemos dos triángulos con la misma arista, sepueden guardar las coordenadas de cada nueva arista por lo que al calcularel desplazamiento para una arista de un triángulo, ya se tiene para otrotriángulo con la arista común.

Otra posible solución es usar las coordenadas del punto medio nodesplazado de una arista para crear un número único que será usado comosemilla del generador de números aleatorios. Cuando tengamos la mismaarista en otro triángulo, se generará el mismo número aleatorio, por lo que eldesplazamiento del punto medio será el mismo. Otra técnica de dibujado de

paisajes fractales consiste en generar un plano de ruido gaussiano y asociarun valor de altura a cada punto del ruido .Con estos valores y usandotécnicas de extrusión y trazado de rayos (ray-tracing) se puede obtener unpaisaje.

De manera parecida se puede usar un fractal iterativo como el conjunto deMandelbrot como plano generador, y asignar a cada color una altura.



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Después mediante extrusión y ray-tracing se obtiene la imagen.

1.4.2. Hoja Browniana fraccionaria

El modelo Browniano fraccionario espacial o hoja browniana fraccionaria esla generalización a dos parámetros del Movimiento Browniano Fraccional.Dado(N, d) campo aleatorio de Gauss BH definido por :

BH (t) = (BH1 (t),. . . , BH

d (t)) (t∈ RN+),

donde BH1,. . . , BH

d son copias independientes de { } N H H Rt t B B +∈= ),(00 con elíndice de Hurst H = (H1, . . . , HN)∈ (0, 1)N [7].

Si N = 1, BH es un movimiento browniano fraccional en Rd con índice deHurst H1 ∈ (0, 1), si N> 1 y H1 = … = HN = 1 / 2, entonces BH es la (N, d)-

Hoja Browniana. Por lo tanto, BH

puede ser considerado como unageneralización natural de un parámetro del movimiento browniano fraccionalen Rd a (N, d) campos aleatorios de Gauss , así como una generalizaciónde la Hoja Browniana.

De un vector dado H = (H1,..., HN) (0 <H j <1 para j= 1,..., N), una hoja

Browniana fraccionaria unidimensional N H H Rt t B B +∈= ),(00 con índice de

Hurst H es un valor real , centrado en el campo gaussiano aleatorio confunción de covarianza dada por :



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Siendo H B0 un campo aleatorio de anisotropía de Gauss y

H B0 (t) = 0 paracada t ∈ RN con al menos una coordenada cero.

Por invariancia de escala se entiende cuando no hay cambios si la escala detamaño es multiplicada por un factor común. Laspropiedades de la

invariancia de H B0 serían:

1. H B0 es auto-similar en el sentido de que para todas las constantes c> 0,

{ } ∈

∑=∈

= N H H d

N H Rt t Bc Rt ct B

N

j j

),(),( 001

2. Sea { } N H H Rt t W W ∈= ),( el campo aleatorio Gaussiano definido por:

≠= ∏ =

−− N

j

j N H H

j H

casootroen

jtodo parat sit t Bt t W

j

1

1110

2

0

0),...,()(

Entonces, H

d H BW 0= [8].

En lo anterior,d

= significa la igualdad en la distribución de dimensiones

finitas.

Por lo tanto, la Hoja Browniana Fraccionaria es un proceso auto similar, conestacionariedad de incrementos y de dependencia a gran distancia. Losincrementos de la hoja Browniana fraccionaria determinan un procesoestocástico gaussiano centrado [13].

La Hoja Browniana fraccionaria tiene la siguiente representación integral



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estocástica:

∫ ∫∞− ∞−

−=1

)(),(...)( 1

t t

H H o

N

dsW st gt B κ

Donde N RssW W ∈= ),( es el estándar de valor real de la Hoja Browniana y

]))(())[((),(2 / 12 / 1

1

−+

−+

=

−−−= ∏ j j H j

H N

j j j sst st g

Con s+ =max {s,0} y dondeκH es la constante de normalización dada por:

dssg N

j H

21 1

1

22 ),1(...∫ ∫ ∏∞− ∞− =

=κ

.)1,...,1,1(1.]))([(,2

1

20

N N H N

j j

H R Aquí Rt todo parat t B E Entonces j

∈>=<∈= ∏=

Propiedades geométricas de Hojas Brownianas Fraccionarias:

La anisotropía es la propiedad según la cual se presentan distintascaracterís-ticas dependiendo de la dirección en que son examinadas . La BH tiene naturaleza anisotrópica y esto se demuestra ya que:

- BH es sectorialmente a nivel local no determinista .

- Cuando α B es una (N, d)- hoja Browniana fraccionaria, con un índice

)10(),...,( <<= α α α α , se prueba que la siguiente dimensión uniformeHausdorff resulta de su imagen fija, así si N≤ αd, entonces con probabilidad

uno, E E B H H dim

1)(dim

α α =

para todos los conjuntos de Borel E⊂ (0, ∞) N



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- La imagen BH(E) es un conjunto Salem o tiene puntos de interior.

En primer lugar, a diferencia de los casos bien conocidos del movimientobrowniano fraccional y hoja Browniana, la dimensión Hausdorff de BH (E) nose puede determinar por dimHE y el índice H, sólo es debido a la naturalezaanisotrópica de la BH. Y este problema se resuelve mediante la introducciónde un nuevo concepto de Dimensión Hausdorff, “Dimensión contorno parafinitas medidas Boreal y conjuntos Borel“ . Se demuestra que lasdimensiones de Hausdorff y Fourier de BH(E) se pueden representar entérminos del contorno de dimensión Hausdorff de E y el índice Hurst H. Secree que el concepto de dimensión Hausdorff de contorno es de interésindependiente, ya que aporta más información acerca de las propiedadesgeométricas de las medidas Borel y establece que dimensiones de Hausdorffhace. Se trata de una noción apropiada para el estudio de los conjuntos deimágenes y los tiempos locales de hojas Brownianas fraccionarias y otroscampos anisotrópicos aleatorios. Puede demostrarse que, para todos losconjuntos E⊂ RN, el contorno de la dimensión Hausdorff E se relaciona conla dimensión de Hausdorff E con respecto a un “anisotrópico métrico ".

En segundo lugar, la estructura de dependencia de BH es significativamentediferente de la del movimiento browniano fraccional y hoja Browniana, esdecir, BH no es a nivel local no determinista y no tiene la propiedad de losindependientes incrementos [9].

1.4.3. Aplicación a relieves y costas

Superficies fractales elegidas convenientemente y regidas por una especiede azar browniano permiten hacer modelos útiles de montañas, asíobtendremos un modelo razonable de las formas naturales. Se destaca queestas superficies fractales no tienen una dimensión de la geometría Euclídea



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(1,2,…), sino tienen una dimensión fraccionaria.

- Relieve Browniano sobre una tierra plana

Se trata de la función browniana real definida en el plano. El paisaje fractalimaginario tiene una dimensión D = 5/2, y es claramente más rugoso que lamayor parte del relieve terrestre.

Éste va a tener como característica que todas sus secciones verticales sonfunciones brownianas ordinarias de una variable real. Un relieve brownianoes un mal modelo de Tierra, pues es demasiado irregular en los detalles. Lamala calidad del modelo se cuantifica por el hecho de que tanto la dimensiónde su superficie , D = 5/2, como la de sus costas ,D = 3/2, son demasiadograndes.

- Relieve Browniano Fraccionario sobre una tierra plana

El problema de los modelos brownianos anteriores del relieve terrestre esque D=3/2 es demasiado grande para las costas. Entonces, se debedisminuir D por debajo de 3/2. Para conseguir costas menos sinuosasnecesitamos un relieve menos escarpado y unas secciones verticales menossinuosas. Existen funciones estocásticas VH(P) reales y de dos variables. LaD de sus superficies es 3-H y la de sus curvas de nivel y secciones verticales

es 2-H. Por tanto, modelizar y simular cualquier dimensión indicada por losdatos empíricos no va a representar ninguna dificultad.

Para la determinación de D, se puede esperar, que las dimensiones típicasde las costas estén alrededor de 1,2, y las del relieve alrededor de 2,2. Sepuede recorrer un largo trecho con H=0,8. Sin embargo, determinadas zonasconcretas de la Tierra pueden requerir de otros valores. Valores de D≈2,05



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servirían para explicar relieves dominados por componentes de variaciónmuy lenta. Si esta componente es una gran pendiente, el relieve es unameseta inclinada y accidentada, y la costa sólo difiere de una recta por lapresencia de pequeñas irregularidades. Cerca de una cumbre el relieve es uncono accidentado y la costa un óvalo moderadamente irregular. Los relievescon una D próxima a 3 son también potencialmente útiles, aunquedifícilmente ilustrables.

1.4.4. Mapas fractales

La generación de mapas fractales es un método para representar la variacióncontinua y autocorrelacionada de los patrones espaciales [10]. Presentan unadependencia espacial intermedia entre estructuras completamente aleatoriasy completamente determinísticas. El algoritmofieldsim crea camposbrownianos fraccionarios (CBF), los cuales son una generalización delproceso de movimiento Browniano. El CBF es un proceso estocásticodependiente del parámetroH (índice de Hurst) que mide la rugosidad delpaisaje, donde a menores valores de H mayor rugosidad del fenómeno. Elíndice de Hurst es rápidamente convertible a un índice de fractalidad: D + H =n + 1, donde D corresponde a la dimensión fractal para una superficie n-dimensional . Este proceso es autosimilar y en el caso H>1/2 los incrementosmuestran dependencia de largo rango. Estas dos propiedades hacen que elCBF juegue un papel muy importante en la modelización. El algoritmo de

construcción fieldsim es rápido y efectivo, válido no sólo para CBF sinotambién para cualquier campo Gaussiano(restricción que presenta elalgoritmo de punto medio para la generación de mapas fractales).



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- Método de generación del mapa fractal

El algoritmofieldsim produce la discretización de una trayectoria de uncampo gaussiano siguiendo el paso exacto y paso refinado.

Siendo d un número entero positivo y X (.) ={X(M),M }d R∈ un campo noestacionario con valores reales, media cero y momentos de segundo orden,se utilizará una aproximación geométrica considerando el espacio de HilbertM de producto interno <U,V>=E{UV}=Cov{U,V}. Los elementos deM son

combinaciones lineales, con coeficientes reales, de los elementos de {X(M),M}d R∈ y sus límites para la convergencia de la media cuadrática. Por tanto ,la

función de covarianza R(.,.)está definida por:

Esta función es definida no negativa, es decir, para todo n≥ 1, para todos los

escalares reales nλ λ ,...,1 y para todo M1,…,Mn ∈Rd :

0),(1,

≥∑=

ji j

n

jii M M Rλ λ

De manera inversa, para cualquier función definida no negativa R (.,.),existeun campo gaussiano centrado único de estructura de segundo orden dada

por R(.,.).

Para generar un mapa fractal se sigue el paso exacto y refinado desimulación:

Con respecto al paso exacto de simulación dada una discretización del

espacio (regular) { Mi ,i I ∈ } de tamaño nI, el problema consiste en obtener



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una trayectoria del vector gaussiano centrado de tamaño nI: (X(Mi)) i I ∈ de

matriz de covarianza R dada por Rij =R(Mi,M j) i,j I ∈ .

Y, con respecto al ,paso refinado de simulación sea XXI (M) la proyección

ortogonal de X(M) en el subespacio lineal cerrado }),({ I i M X sp i I ∈= χ ( el

predictor lineal de X(M) dado X(Mi), I i∈ , la innovación parcial X(M) - XX I (M)

se denota por )( M I χ ε ). Dado que )( M

I χ ε no está correlacionado con ninguna

variable del espacio I χ , se obtienen simulaciones “exactas” de X(M)

mediante:U M Var M X

I I ))(()( χ χ ε + donde U es una variable gaussiana centrada

independiente de X(Mi), I i∈ .Para evitar numerosos cálculos se reemplazaen el procedimiento previo el conjunto de índices I por un conjunto de índicesdel vecindario de M : NM .

)( M X M N χ es la mejor combinación lineal de variables de M N χ que se

aproximan a X(M) (la varianza de )()( M X M X M N χ − es mínima). Si sólo

utilizamos algunas variables del conjunto M N χ para obtener simulaciones deXM mejor manera de realizarlo es con:

U M Var M X M N M N

))(()( χ χ ε + .

1.5. Métodos de análisis fractal estacionario de series

temporales

Para analizar modelos fractales estacionarios de series temporales noscentramos en la determinación de los exponentes de escala H oγ [12]. Y sepuede hacer mediante diferentes métodos: Análisis de la función de auto

correlación, análisis espectral , análisis de rango reescalado de Hurst y



26

Análisis de fluctuación (FA) .

Mediante elanálisis de la función de autocorrelación se determinan lascorrelaciones en escalas de tiempo s diferentes, así se definen la función decovarianza C(s) o función de correlación. Los datos son correlados a cortoplazo si C(s) disminuye exponencialmente ,y correlados a largo plazo si C(s)disminuye como una ley de potencia con un exponente de correlación 0<γ <1.Un cálculo directo de C (s) no suele ser adecuado debido al ruidosuperpuesto en los datos y no estacionariedad subyacente de origendesconocido. Además, C (s) fluctúa fuertemente alrededor de cero engrandes escalas s, haciendo imposible encontrar el correcto exponente decorrelaciónγ . Así, se tiene que determinar el valor deγ de forma indirecta.

Mediante el análisis espectral estándar ( transformada de Fourier) secalcula el espectro de potencia S(f) de las series temporales con datosestacionarios como una función de la frecuencia f para determinar elcomportamiento de escala auto-afín . Para datos correlacionados a largoplazo caracterizados por el exponente de correlaciónγ :

con:

El exponente espectralβ y el exponente de correlaciónγ se pueden obtenerpor el ajuste de una ley de potencia a un gráfico doble logarítmico delespectro de potencia S (f).

Mediante el análisis del rango reescalado de Hurst se analiza lapersistencia a largo plazo en series temporales basado en la teoría del

paseo aleatorio. Mediante una serie de pasos se calcula la función de



27

fluctuación F(s) mediante un promedio de rangos , donde H es el exponentede Hurst . H está relacionado conβ y γ por 2H≈ 1+ β= 2-γ .Los valores de H,

que se pueden obtener mediante este análisis, se limitan a 0 <H <2, coninexactitudes significativas cerca de los límites. Dado que H puede seraumentado o disminuido en 1 si los datos son integrados o diferenciados,respectivamente, siempre se puede encontrar una forma de calcular Hmediante este análisis proporcionando a los datos estacionariedad. Mientrasque valores de H <1 /2 indican comportamiento anti-correlado a largo plazode los datos , H> 1/2 indica comportamiento positivamente correlado a largoplazo. Para las correlaciones de ley de potencia decayendo más rápido que1/ s, se tiene H = 1 /2 para los valores de s grandes, como para los datos nocorrelacionados.

Mediante el Análisis de fluctuación (FA) , también basado en la teoría delpaseo aleatorio, Para una serie temporal con media 0, se considera el perfilglobal, es decir, la suma acumulativa y se ve cómo las fluctuaciones delperfil, en una dada ventana de tiempo de tamaño s, aumentan con s ymediante una serie de pasos se obtiene la fluctuación media F2 (s) , quepuede ser vista como el desplazamiento de la raíz cuadrada media delcaminante al azar en la cadena, después de s pasos. Para el caso relevantede las correlaciones de largo plazo, donde C (s) sigue el comportamiento deley de potencia, F2 (s) se incrementa por una ley de potencia, donde elexponente de fluctuaciónα es idéntico al exponente de Hurst H para datosmonofractales y relacionados conγ y β por:

2 α=1+β=2-

El rango de los valores α se limita a 0 < α <1, con imprecisionessignificativas cerca de los límites. En cuanto a la integración o diferenciaciónde los datos, se aplican las mismas reglas que para H. Los resultados de FAllegan a ser estadísticamente poco fiables para las escalas s mayores que un



28

décimo de la longitud de los datos, es decir, el análisis debería ser limitadopor s <N /10.

1.6. Conclusiones y comentarios generales sobre dichos

modelos.

En este capítulo se han estudiado tanto los modelos fractales que dependende la variable tiempo como su extensión espacial, desde los primerosmodelos estudiados para describir el comportamiento de una serie temporal

como un proceso estocástico y caracterizado fundamentalmente por laindependencia y la normalidad en su distribución,el movimiento browniano

clásico . Aunque, también se resalta que se trata de un proceso auto similar.Después, se estudia la extensión de dicho modelo , el movimiento

browniano fraccionario, obtenida cuando suprimimos la independencia desus incrementos y mantenemos la normalidad de la distribución. También, seintroduce el índice del proceso, índice de Hurst; además del movimiento

Browniano persistente y antipersistente, dependiendo de dicho índice. Aligual que el anterior, se señala que se trata de un proceso auto similar. Y,además, se trata de un proceso continuo estocástico Gaussiano , conincrementos estacionarios, dependencia a largo plazo y regularidad.

Con respecto a los modelos de dependencia espacial fractal, se estudiaprimeramente el algoritmo de desplazamiento del punto medio. A partir del

mismo se puede hacer la generalización del movimiento browniano adimensiones mayores. Esto permite generar paisajes. El algoritmo consisteen aplicar el algoritmo de desplazamiento del punto medio en cada uno delos lados de la rejilla triangular [6].Podemos generar un paisaje más o menosescarpado dependiendo del exponente de Hurst, que en el algoritmo setraduce en el factor de escala del número aleatorio que se va generando.También, se estudia el modelo deHoja Browniana Fraccionaria , que

puede ser considerado como una generalización natural de un parámetro del



29

movimiento browniano fraccional en Rd a (N, d) campos aleatorios deGauss , destacando su autosimilaridad y sus propiedades geométricas,probando su naturaleza anisotrópica. Además, se estudia la aplicación asuperficies y costas, ya que las superficies fractales elegidasconvenientemente y regidas por una especie de azar browniano permitenhacer modelos útiles de montañas, así se obtendrá un modelo razonable delas formas naturales, sabiendo que estas superficies tienen una dimensiónfractal, que a diferencia de la Euclídea es fraccionaria. Se explica el relieveBrowniano sobre una tierra plana, la generación de un relieve Browniano y elRelieve Browniano fraccionario sobre una tierra plana. Y por último, hemosvisto los mapas fractales, cuya generación es un método para representar lavariación continua y autocorrelacionada de los patrones espaciales [10] y sugeneración mediante el algoritmo de fieldsim, siguiendo el procedimiento delpaso exacto y el paso refinado.

Después, se hace un estudio de los métodos de análisis fractal estacionariode series temporales entre los que destacan el análisis de la función autocorrelación, análisis espectral, análisis del rango reescalado de Hurst yanálisis de fluctuación

Con respecto a las aplicaciones de estos modelos se puede decir losiguiente:

El movimiento browniano clásico tiene importantes aportaciones al

crecimiento fractal. Existe un proceso denominadoDLA (Agregación pordifusión limitada), que permite reproducir el crecimiento de algunas entidadesvegetales como musgos, algas o líquenes y de procesos químicos comoelectrolisis o cristalización de ciertos compuestos.

El movimiento browniano fraccionario ( mfB) ha sido uno de los más útilesmodelos para los fractales aleatorios (tales como montañas y nubes) ,



30

también llamado movimiento browniano fractal . Casi todas lassimulaciones gráficas de fractales por computador están basadas en dichomovimiento aplicado a dimensiones superiores (por ejemplo la generación desuperficies). Su auge se debe a sus múltiples aplicaciones en diferentescampos, tales como la biología, finanzas (Ibex, mercados financieros,Derivados: ecuación Black-Scholes, la estimación de curvas de tasas deinterés…) y telecomunicaciones [4],[5].

Se pueden simular muestras de caminos de un mfB, o bien como cualquierproceso gaussiano de covarianza conocida (el objetivo es tener los valoressimulados en t1,…,tn), o bien, sabiendo:

donde B es un movimiento Browniano estándar y

Donde 2 F 1 es la integral de Euler hipergeométrica.

Se simula un mfB en los puntos T t t t n =<<<= ...0 10 .

Las Hojas Brownianas fraccionarias surgen de forma natural en muchasáreas, incluyendo en ecuaciones estocásticas de derivadas parciales y enlos estudios de los emplazamientos más visitados de los procesos simétricosde Markov. Recientemente, muchos autores han estudiado diversaspropiedades de las Hojas Brownianas Fraccionarias. Por ejemplo, Mason yShi han calculado la dimensión de Hausdorff de algunos conjuntosexcepcionales relacionados con la oscilación de sus caminos de muestra.



31

En resumen, una función fraccional browniana estadísticamente auto-similar,nos proporciona un buen modelo para escalar muchos procesos y formas dela naturaleza. De esta forma una función de una variable es un buen modelopara ruidos, procesos aleatorios y música. Para dos variables nosproporciona superficies fractales. Para tres variables nos da nubes fractales.En cualquier caso la propiedad de escala vendrá caracterizada por la variableH de dicha dimensión fractal D.



32

Capítulo 2:

Modelos autosimilares no homogéneos

fractales

2.1. Introducción

Existe una clase de procesos de escala generalizados cuyo comportamientono se puede describir mediante un único exponente de escala (movimientobrowniano multifraccional, procesos multifractales, cascadas multiplicativas,etc.). Estos modelos permiten unas estructuras de escala mucho más ricasque los anteriores. Por ejemplo, el movimiento browniano multifraccionalrelaja la condición de estacionariedad del movimiento browniano fraccional ycontrola la irregularidad local del mismo , lo cual limitaba a éste. Para todosestos fenómenos, los modelos wavelet multifractales (MWM) handemostrado ser de gran utilidad [15].

En este capítulo se introducen generalizaciones a los modelos anteriores,estudiados en el Capítulo 1 , con modelos utilizados cuando el índice de



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Hurst no es constante , sino variable en el tiempo o en el espacio. Por unlado, se estudia el Movimiento Browniano Multifraccional [14],[16],[18] consus propiedades , diferencias frente al modelo fraccional, la dimensión deHausdorff , simulación del modelo y estimación de la función H. Y por otrolado, se estudia el análisis multifractal [12],[17] con los tipos demultifractalidad, métodos para análisis de series de tiempo multifractales

(infinito número de exponentes de escala o fractales diferentes ) como lafunción estructura y espectros de singularidad, introducción del método de latransformada wavelet de módulo máximo , análisis de fluctuación multifractalde eliminación de tendencia (MF-DFA) y comparación entre ambas anterioresy los modelos simples para series temporales multifractales como son elmodelo multifractal binomial extendido y el modelo bifractal.

2.2. Movimiento Browniano multifraccional

El Movimiento Browniano multifraccional (mBm) generaliza el Movimiento

Browniano Fraccional (fBm) con t ),0[ ∞∈ por sustitución del parámetro Hpor una función de Hölder H(t), tal que 0 < H(t) < 1. En este caso H no esconstante.

La principal diferencia entre los procesos mBm y fBm es que en el mBm se lepermite al exponente de Hölder variar a lo largo de la trayectoria, unacaracterística muy útil cuando se necesita modelizar procesos cuyaregularidad no se mantiene en el espacio, como en el caso de la mayoría delas imágenes reales [16].

El mBm proporciona un modelo útil para una multitud de continuas y noestacionarias señales naturales. Sin embargo, Los fBm , aunque sonprocesos autosimilares que permiten describir señales irregulares que sepresentan en muchas situaciones, su pointwise de irregularidad es el mismo



34

a lo largo de su camino , y esta propiedad limita el campo de aplicación.

Por ejemplo, fBm ha sido usado para sintetizar montañas artificiales y asumeque la irregularidad de una montaña es en todos los lugares igual. Estasuposición es demasiado fuerte porque no se tiene en cuenta el fenómenode la erosión. Por ello, debería ser conveniente relajar la restricción deestacionariedad y en lugar poder controlar la irregularidad local. El mBm esla generalización más simple del fBm que cumple este requerimiento [14].

Primero se define lafunción Hölder de exponente β dhe dicho modelo:

-Siendo (X,dx) y (Y, dy) dos espacios métricos. Una función f: X→ Y es una

función Hölder de exponenteβ >0 , si para cada x, y X ∈ tal que dx(x,y) <1 setiene:

β ),(.))(),(( y xd c y f x f d x y ≤

Sea H: [0,∞ ) (0,1) una función Hölder de exponenteβ>0 .Para t ≥0 lasiguiente función aleatoria, denotada por WH(t) o WHt (t) ,se llamamovimiento multifraccional Browniano reducido con parámetro funcional H:

( )[ ] −+−−−+Γ

= ∫ ∫∞−

−−−0

0

2 / 12 / 12 / 1 )()()()()2 / 1(

1)(

t H H H

t H sdW st sdW sst

H t W t t t

t

Donde W denota el movimiento Browniano originario y la integración estomada en el sentido de media cuadrática.

Esta extensión de fBm produce una “pérdida” de propiedades: losincrementos de mBm en realidad son no estacionarios y el proceso no esmás auto similar. Sin embargo, la suposición de que H es una función Holdersupone la continuidad del mBm.



35

- Movimiento Browniano multifraccional estándar.

Sea (Yt)(t≥0) un movimiento multifraccional Browniano y sea tHt suparámetro Hölder funcional de exponenteβ>0 , tal que para algún t≥0,

0< H(t)<min(1,β).Entonces, existe una única positiva continua funciónt t t σ

tal que el proceso (Zt)(t≥0) definido por Zt= t t Y σ / es continuo y verifica lasiguiente propiedad:

10→

+ →

−

h H t ht

t h z z

Var

El proceso (Zt)(t≥0) se llama Movimiento Browniano multifraccional estándar .

- Propiedades locales Hölder de mBm.

Considerando un mBm con función Hölder H:

0<H(t)<min (1,β) para cada t ≥ 0.

Al ser mBm un proceso no estacionario (ni la media, ni varianza, nicorrelaciones, dependen del tiempo, cambian con él) interesa obtener

propiedades locales, en vez de globales, especialmente relativas alexponente Hölder para cada t≥ 0. (Yt) es el reducido mBm (WH(t))= (WHt(t))para t ≥0.

- Existe una positiva función continua definida por t≥ 0, t t σ , tal que paraalgún t≥0:



36

),0( 2

0 t

h Ht t ht N

h

Y Y σ

l

→

+ →−

- Dada una función poligonal Xn, fijamos para cada n≥2,

∑−

=+ −=

1

1,,1

n

ininin L χ χ

X:[0,1] R sea una función continua con dimensión D y sea (Xn)(n≥1) una

secuencia de funciones poligonales que converge uniformemente a X en[0,1].

Entonces:

- Si X es constante, entonces la dimensión es 1;- si X no es constante, entonces:

)1log(log

lim1−

+=∞→ n

L D n

n

- La dimensión de Hausdorff

La dimensión de Hausdorff es una generalización métrica del concepto dedimensión de un espacio topológico, que permite definir la dimensión de una

dimensión fraccionaria (no-entera) para un objeto fractal.

Se define como:



37

Propiedades de la dimensión Hausdorff , denotada por dimH:

1- Si F1, F2,…es una (contable) secuencia de conjuntos, entonces:

{ }∞<≤

∞

=

=i

i H i

H F

11

dimsupdim U

Para algún grupo F⊂Rn(n≥1), se tiene que:

}{dim}{dim}{dim F F F B B H ≤≤

Donde }{dim F B (respectivamente }{dim F B ), denota la más baja(respectivamente la más alta) dimensión caja de F. Para cada to ≥0 y η>0,poridoneidad:

},{)(max)(,min)(0

η η η η η η

≤−===≤−≤−

ot t t t

t t t t

t t t t Y GrafoF y H M H mo

oo

o

2- Con probabilidad uno, el grafo del mBm (Yt) t≥0 verifica la siguientepropiedad:

Para algún to≥0 y η>0:

{ } { } { } )(2)(dim)(dim)(dim)(200

η η η η η t t Bt Bt H t mF F F M ooo

−≤≤≤≤−

3 -Con probabilidad 1, para cada intervalo [a,b]⊂ R+, el grafo de, mBm (Yt)

t∈[a,b] verifica la siguiente propiedad:

{ } { } { }],[,min2],[,dim],[,dim bat H bat Y bat Y t t Bt H ∈−=∈=∈



38

4 - Una función real f se dice que tiene un exponente Hölder 0 < Hto <1 en elpunto to si y sólo si:

1. Para cada real γ tal que γ < Hto:

0)()(

lim 00

0=

−+→ γ

h

t f ht f h

2. Para cada real γ > Hto:

∞=−+

→γ

h

t f ht f

h

)()(suplim 00

0

5- Con probabilidad uno, el exponente Hölder en el punto to≥0 de unmovimiento Browniano multifraccional es Hto.

- Estimación de la función H

Está basada en el estimador presentado en Peltier-Lévy Véhel (1994):

(XH(t))t∈[0,1] es un movimiento browniano fraccional estándar y{ }nini X X H ni ≤≤= 0), / (, es un proceso de muestreo:

∑−

=+ −−=

1

1,,11

1 n

ininin X X nS

Y

)1log(2 / log

−−=

n

S H n

n

π

Entonces,



39

..lim sa H H nn=

∞→

La continuidad de H (t) junto con otro teorema dicen que para cada to∈[0,1]existe una vecindadV de to en la cual podremos estimar la función H(t) comosi fuera una constante Hto en V.

Siendo n el número de datos de una muestra mBm y 1<k<n la longitud de lavecindad usada para estimar el parámetro funcional , estimaremos H(t) sólopara t en [k/n,1-k/n] .Se asume que m=n/k para ser un entero.

Entonces, nuestro estimador de H(i/(n-1)) es el siguiente:

)1log(

)(2 / log ,)1 /(

−−=−

∧

n

iS H nk

niπ

Donde

∑+−∈

+ −−

=]2 / ,2 / [

,,1, 1)(

k ik i jn jn jnk X X

nm

iS

2.3. Análisis de Multifractalidad

Muchos de los registros no muestran un comportamiento de escala con unúnico exponente de escala (monofractal), sino que se necesitan diferentesexponentes de escala para diferentes partes de las series y para unadescripción completa del comportamiento de escala en el mismo rango deescalas de tiempo, y se debe aplicarAnálisis multifractal.

Se pueden distinguir dos tipos generales de multifractalidad en series de



40

tiempo:

1. Multifractalidad debido a la amplia distribución de probabilidad (función dedensidad) para los valores de las series de tiempo, por ejemplo, unadistribución de Levy. En este caso, la multifractalidad no se puede quitar porla reestructuración de la serie.

2. Multifractalidad debido a las diferentes correlaciones de largo plazo de laspequeñas y grandes fluctuaciones. En este caso la función de densidad deprobabilidad de los valores puede ser una distribución regular de momentosfinitos, por ejemplo, una distribución de Gauss. La correspondientereestructuración de series mostrará una escala no multifractal, ya que todaslas correlaciones de largo plazo son destruidas por el procedimiento dereestructuración. Reestructurar al azar el orden de los valores de las seriesde tiempo es la forma más sencilla de generar datos sustitutos, pero hayalternativas más avanzadas.

Si hay los dos tipos de multifractalidad, las series reestructuradas mostraránmultifractalidad más débil que las series originales [12].

Un análisis multifractal de series de tiempo también revelará un mayor ordende correlaciones. Además, el escalado multifractal se observa si el comporta-miento de escala de las fluctuaciones pequeñas y grandes es diferente.

- Métodos para Análisis de Series de Tiempo multifractales.

El tipo más simple de análisis multifractal se basa en el formalismomultifractal de la función de partición estándar, para la caracterizaciónmultifractal de las medidas normalizadas, estacionarias.Desafortunadamente, éste no da resultados correctos para las series detiempo no estacionarias afectadas por las tendencias o que no se pueden



41

normalizar. Por ello, se desarrolla un formalismo multifractal mejorado ,método de la transformada wavelet de módulo máximo, que se basa en elanálisis wavelet y consiste en el seguimiento de las líneas máximas en latransformada continua wavelet en todas las escalas. Una alternativaimportante es el algoritmo multifractal DFA (MF-DFA), que no requiere elprocedimiento de módulo máximo, y entonces implica un poco más deesfuerzo en la programación que la convencional DFA.

• Enfoque de la función estructura y espectros de singularidad.

En el formalismo general multifractal, se considera una medida normalizadaµ(t) . El enfoque multifractal se introduce por lafunción de partición :

Donde τ(q) es el exponente de escala Renyi , a veces definido con signoopuesto, y q es un parámetro real que puede tomar momentos tanto positivoscomo negativos. Un registro es llamado monofractal (o autoafín), cuando elexponente de escala Renyi τ(q) depende linealmente de q; sino esmultifractal. Las dimensiones generalizadas multifractales D(q) estánrelacionadas con τ(q) por D(q)= (τ(q) /q) -1 y así , la dimensión fractal delsoporte es D (0) = -τ (0) y la dimensión de correlación es D (2) =τ (2).

En series temporales, se tiene que usar una versión discreta de lo anterior.Se puede ver que este enfoque multifractal puede ser considerado como unaversión generalizada del método del Análisis de Fluctuación (FA).

Se define un exponente generalizado (multifractal) de Hurst h(q) para elcomportamiento de escala de los q momentos de las fluctuaciones:



42

qq

qh)(1

)( τ +

=

Con h(2)=α ≈ H. Entonces, h (2) será el exponente de fluctuación estándar(α anteriormente), yα será el exponente HÖlder.

Otra manera para caracterizar una serie multifractal es elespectro de

singularidad f(α), que está relacionado con τ(q) a través de latransformada de Legendre :

α es la fuerza de singularidad o exponente de HÖlder, mientras f(α) denotala dimensión del subconjunto de la serie que se caracteriza porα. Se puedenrelacionar directamenteα y f (α) con h (q),

α = h(q)+ q h’(q) y f(α)= q [α-h(q)]+1.

• Método de la transformada de Wavelet de módulo máximo (WTMM).

Es un buen conocido método para investigar las propiedades de escalamultifractal de objetos fractales y auto-afínes en presencia de no

estacionariedad. Está basado en la transformada de wavelet (que luego seestudiará con más detalle y es una herramienta matemática que permite elanálisis de señales de manera muy similar a la Transformada de Fourier) confunciones de manera continua. Las series se analizan directamente en lugardel perfil Y (j). Utilizando wavelets ortogonales con polinomios de orden m, seeliminan las tendencias correspondientes.



43

En lugar de hacer un promedio sobre todos los coeficientes wavelet, unopromedia, dentro del método de modulo-máximo, sólo los máximos locales.

En primer lugar, se determina para una escala dada s, las posiciones de losmáximos locales como función deτ y se resume el poder q del máximo.

La razón para el procedimiento de máximos es que los coeficientes waveletabsolutos pueden llegar a ser arbitrariamente pequeños. El análisis dewavelet debe siempre tener valores positivos para algunos x y valoresnegativos para otros x, ya que tiene que ser ortogonal a las posiblestendencias constantes. Por lo tanto, siempre hay términos positivos ynegativos en la suma, y estos términos podría cancelar. Si eso sucede loscoeficientes de wavelet absolutos, puede llegar a ser cercano a cero. Dadoque tales términos pequeños echarían a perder el cálculo de los momentosnegativos, tienen que ser eliminados por el procedimiento de máximos.

En el análisis de fluctuación , por el contrario, el cálculo de las varianzasimplica únicamente a los términos positivos en la suma y las varianzas nopueden ser arbitrariamente pequeñas y el procedimiento de máximos no esnecesario. Además, las varianzas siempre serán mayores si la longitud delsegmento s es mayor, porque el ajuste siempre va a ser peor para unsegmento más largo. En el WTMM, por el contrario, los coeficientesabsolutos wavelet no necesitan aumentar con el aumento de la escala s,aunque se consideren sólo los máximos locales. Los valores de los

coeficientes de wavelet absolutos podrían llegar a ser más pequeños poraumento de s. Por lo tanto, se introduce un procedimiento adicional supremocon el fin de mantener la dependencia.



44

• Análisis de fluctuación multifractal de eliminación de tendencia

(MF-DFA).

Es un importante método para seguramente detectar (auto-) correlaciones delargo plazo en series temporales no estacionarias. El método está basado enla teoría del paseo aleatorio y básicamente representa una versión lineal deeliminación de tendencia de FA.

El procedimiento de la multifractal DFA (MF-DFA) consta de cinco pasos. Losprimeros tres pasos son esencialmente idénticos al convencionalprocedimiento de DFA. Se parte de una serie de longitud N y de soportecompacto. El soporte se puede definir como el conjunto de los índices j, convalores distintos de cero, y es compacto si la serie es cero para una fraccióninsignificante de la única serie y esto se interpreta como que no tiene valor eneste j.

A través de estos pasos se calcula el perfil el perfil Y por integración de laserie, se divide el perfil Y(j) en segmentos no solapados de igual longitud, secalcula la tendencia para esos segmentos por ajuste de mínimos cuadrados(en ( MF-) DFAm (orden m) tendencias de orden mp se eliminan), sepromedian todos los segmentos para obtener la función de fluctuación ordenq (se incrementará con el aumento de s y depende del orden m) y sedetermina el comportamiento de escala de las funciones de fluctuación por

análisis de gráficos logarítmicos.

Si las series son correlacionadas de largo plazo y una ley de potencia, lafunción de fluctuación aumenta, para grandes valores de s, como una ley depotencia, para escalas muy grandes, s > N /4, la función de fluctuación llegaa ser estadísticamente poco fiable porque el número de segmentos para elprocedimiento de promedio llega a ser muy pequeño. Por lo tanto, las



45

escalas s > N/ 4 deberían ser excluidas del procedimiento de ajustedeterminando h (q).

El valor de h (0), que corresponde al límite h(q) para q0 se determina conun procedimiento de promedio logarítmico. h (0) no se puede definir para lasseries temporales con soporte fractal, donde h (q) diverge para q 0.

Normalmente, las grandes fluctuaciones se caracterizan por un exponente demenor escala h (q) ,para las series multifractales, que las pequeñas fluctua-ciones. Para la máxima escala s = N la función de la fluctuación esindependiente de q. Para las escalas más pequeñas s<< N el procedimientode promedio se ejecuta para varios segmentos, y el valor medio de lafunción de fluctuación estará dominado por la F2 (v ; s) de los segmentos conpequeñas (grandes) fluctuaciones si q <0 (q> 0). Así, para s <<N, la funciónde fluctuación con q <0 será menor que la función de fluctuación con q> 0,mientras que ambos llegan a ser iguales para s = N. Por lo tanto, si se asumeun comportamiento de escala homogéneo de la función de fluctuación, lapendiente h (q) en un gráfico log-log de la función de fluctuación con q <0contra s debe ser mayor que la pendiente correspondiente para la función defluctuación con q> 0. Por lo tanto, h(q) para q <0 por lo general será másgrande que h (q) para q> 0.

Sin embargo, el método MF-DFA sólo puede determinar generalizados expo-nentes de Hurst positivos h(q), y se convierte en inexacto para las señales

fuertemente anticorrelacionados cuando h (q) es cercana a cero y se utilizauna técnica modificada (MF-) DFA . La forma más sencilla de analizar estosdatos es la integración de las series de tiempo antes del procedimiento MF-DFA.

La precisión de h (q) determinada por MF-DFA ciertamente depende de lalongitud N de los datos.



46

La manera más fácil de distinguir entre los dos tipos de multifractalidad esanalizar también la correspondiente serie aleatoria barajada . En elprocedimiento de barajado los valores se ponen en orden aleatorio, y todaslas correlaciones son destruidas.

• Comparación de WTMM Y MF-DFA.

Los resultados de la MF-DFA llegan a ser un poco más fiables que losresultados de WTMM. En particular, la MF-DFA tiene ligeras ventajas paralos valores q negativos y series cortas. En los demás casos los resultados delos dos métodos son bastante equivalentes. Además de eso, la principalventaja del método MF-DFA en comparación con el método WTMM radica enla simplicidad del método MF-DFA. Sin embargo, contrariamente a WTMM,MF-DFA se limita a los estudios de datos con soporte completo de una soladimensión, mientras que WTMM no. Ambos WTMM, y MF-DFA, han sidogeneralizados para datos de mayor dimensión .

- Modelos simples para series temporales multifractales

El modelo multifractal binomial extendido.

El modelo de cascada multifractal es un modelo estándar para datosmultifractales, que se aplica a menudo, por ejemplo, en la hidrología. En elmodelo, un registro xi de longitud N = 2nmax se construye recursivamente :

- Generación n = 0: Los elementos de registro son constantes , iguales a 1 entoda la serie.

1.- Generación n = 1: la primera mitad de la serie se multiplica por un factor ay la segunda mitad de la serie se multiplica por un factor b. Los parámetros a



47

y b están entre 0 y 1.No se necesita restringir el modelo de b = 1- a .

2.- Generación n = 2: Se aplica el proceso anterior a las dos subseries,dando xi = a2 para i = 1,…, N/4, xi = ab para i =N/4+1,…, N/2, xi= ba = abpara i = N/2 +1,…, 3N/4, y xi = b2 para i =3N/4+1,…,N.

3.-En elpaso n +1 , cada subserie de paso n se divide en dos subseries de lamisma longitud, y la primera mitad de xi se multiplica por a, mientras que lasegunda mitad se multiplica por b.

4.- Después de nmax pasos, la generación final se ha alcanzado, donde todaslas subseries tienen longitud 1 y más división no es posible.

El registro final se puede escribir como xi = an max-n(i-1)b n(i-1), donde n (i) es elnúmero de dígitos 1 en una representación binaria del índice i.

Para este modelo de cascada multiplicativo,

τ(q)=[-ln(aq + bq) + qln(a+b)]/ln2 o

El modelo se limita a los casos en que h (1) (exponente definido por Hurst enel método R/ S) es igual a 1.

Con el fin de generalizar este proceso en cascada multifractal para quecualquier valor de h (1) sea posible, se puede restar el desplazamiento de h(q). El desplazamiento constante corresponde a las correlaciones de largoplazo adicionales, del modelo de cascada multiplicativa. Para la creación deregistros sin este desplazamiento, se reescala el espectro de potencia.



48

Modelo bifractal.

En algunos casos un modelo simple bifractal es suficiente para el modeladode datos aparentemente multifractales .Para los registros bi-fractales losexponentes Renyiτ (q) se caracterizan por dos pendientes distintasα1 y α2,

o

Si este comportamiento se traslada en la h(q) se traduce en la imagen h (q)obtenemos que h (q) presenta una meseta desde q = -∞ hasta un cierto qx

y decae hiperbólicamente para q> qx,

o viceversa,

Ambas versiones de este modelo bifractal requieren tres parámetros. Elespectro multifractal es degenerado a dos puntos únicos, por lo que su ancho



49

se puede definir como∆α=α1- α2.

2.4 Conclusiones y comentarios finales sobre dichos

modelos.

En este capítulo se han estudiado los modelos no homogéneos fractales, queson aquellos en los que el exponente de Hurst no es constante , sino variableen el tiempo y en el espacio y además se definen con multitud de exponentesde escala.

Para lograr modelos más realistas se deben considerar procesos máscomplejos que tienen incrementos no estacionarios de cualquier orden. Unode los modelos más simples que pertenecen a esta categoría es elmovimiento browniano multifraccionario (mBm), que es una generalizacióndel fraccionario sustituyendo del parámetro H por una función de Hölder.Éste se ha estudiado en primer lugar y proporciona un modelo útil para unamultitud de continuas y no estacionarias señales naturales. Se ha definido elproceso junto con la función Hölder y el movimiento Brownianomultifraccionario estándar, las propiedades locales Hölder y la dimensión deHausdorff que es una generalización métrica del concepto de dimensión deun espacio topológico, que permite definir la dimensión de una dimensiónfraccionaria (no-entera) para un objeto fractal.

Por último, con referencia a este modelo se ha obtenido un estimador para H.Con referencia a la estimación o simulación del mismo se basa en elteorema:

-Se asume que dada una función t H(t) y un entero N representado la talladeseada de la muestra. Para cada valor de H (i/N), 1≤i≤N, un fBm BH (i/N)de



50

exponente H (i/N) es generado. El mBm WH es entonces obtenido por ajuste:

N i N i B N iW N i H H <≤=

1) / () / ( /

En la práctica, cualquier método se puede utilizar para la generación decada fBm. Se usa el método del desplazamiento aleatorio de punto medio.Aunque este método no da resultados exactos, es usado por su simplicidad.

Con referencia alanálisis multifractal (multitud de exponentes de escala) sehan estudiado los dos tipos de multifractalidad: la debida a la ampliadistribución de probabilidad y la debida a las diferentes correlaciones de largoplazo de las pequeñas y grandes fluctuaciones .Luego se estudian losmétodos para su análisis .El tipo más simple de análisis multifractal se basaen el formalismo multifractal de la función de partición estándar, para lacaracterización multifractal de las medidas normalizadas, estacionarias. Pero,éste no da resultados correctos para las series de tiempo no estacionariasafectadas por las tendencias o que no se pueden normalizar. Por ello, sedesarrolla un formalismo multifractal mejorado , método de la transformadawavelet de módulo máximo, que se basa en el análisis wavelet y consiste enel seguimiento de las líneas máximas en la transformada continua wavelet entodas las escalas. Una alternativa importante es el algoritmo multifractal DFA(MF-DFA), que no requiere el procedimiento de módulo máximo, y entoncesimplica un poco más de esfuerzo en la programación que la convencionalDFA. Y luego se comparan ambos.

Y, por último, se explican los modelos simples para series temporalesmultifractales como son el modelo multifractal binomial extendido y elmodelo bifractal.



51

Capítulo 3:

Modelos no autosimilares

3.1 Introducción

El comportamiento fractal y la dependencia de largo rango se han observadoen multitud de sistemas biológicos, geológicos y socio-económicos. Existenseries de tiempo que se caracterizan por su dimensión fractal o de Hausdorff(medida de rugosidad de un perfil o superficie de Rn) y por el coeficiente deHurst (medida de dependencia fuerte o comportamiento asintótico o de colapesada de la función de covarianza).Cualquier fenómeno se ha modelado yexplicado por funciones aleatorias auto afines como el movimiento Brownianofraccional. El supuesto estadístico de autosimilaridad implica una relaciónlineal entre la dimensión fractal y el coeficiente de Hurst y por tanto, une a losdos fenómenos (D+H=n+1). Sin embargo ,los modelos que estudiamos eneste capítulo se caracterizan por carecer de autosimilaridad , es decir, lapropiedad de un objeto en la que el todo es exacta o aproximadamente



52

similar a una parte de sí mismo. Por lo tanto, son modelos de dos parámetrosque separan por un lado, la dimensión fractal y por otro, el efecto de Hurst.En principio, la dimensión fractal y el exponente de Hurst son independientesentre sí: la dimensión fractal es una propiedad local y la dependencia delargo rango una característica global o asintótica [20].

Para resolver este problema se presentan los campos aleatorios de Gauss(RFs) caracterizados por familias de funciones de covarianza de dosparámetros [23],[24],[19],[20],[22],[30],[31],[33],[34],[47],[48],[49] (claseDagum, función generalizada de Cauchy y clase Moak) que proporcionan lasclases más flexibles de modelos de estructura dependiente espacial en elanálisis estadístico de fenómenos físicos. Se puede establecer algunaspropiedades de campos aleatorios a través del estudio de sus funciones decorrelación, o densidades espectrales. Para obtener una solución estable alproblema de estimación funcional se analizan las familias de tipo Dagum (decola pesada), Linnik y auxiliares. La clase de Cauchy representa un punto deruptura con respecto al supuesto de autosimilitud, separa la dimensión fractaly el efecto Hurst, los trata independientemente.La homogeneización juega unpapel fundamental en este capítulo [25].

Para todo ello, se aplica la regresión funcional [35],[36],[37],[41-46] que seexplicará con más detalle en la sección final, también mediante su simulación[38]. La metodología de la superficie de respuesta se centra en elfuncionamiento de la estimación de los mínimos cuadrados de la información

de entrada, en el caso donde características fractales y de dependencia delargo rango afectan a la estabilidad de la inversión necesaria. El EspacioHilbert Kernel Reproducido (RKHS) [39] es la herramienta fundamental paracaracterizar RFs Gaussianos. El espacio adecuado para encontrar unasolución numérica (discriminar los parámetros) se basa en eliminar el ruido einvertir el filtro ,ver [43-46] (mediante geometría adecuada [21]).



53

También en dicha sección veremos las aplicaciones de dichos modelos[25],[26],[27],[28],[30] y distribuciones en diferentes campos y en los eventosextremos [21].

3.2. Elementos ,definiciones básicas y resultados

fundamentales

3.2.1. Identificación de la irregularidad local y órdenes asintóticas en

casos de dependencia fractal y de largo rango.

Como se ha visto, la dimensión fractal de una superficie en Rn nos da sumedida de rugosidad con un rango de [n,n+1).La memoria a largo en seriesde tiempo o los datos espaciales se asocian con correlaciones de ley depotencia y a menudo se conoce como el efecto de Hurst (efecto H).Ladependencia de la memoria a largo se caracteriza por el parámetro H.

En el caso débilmente estacionario, si, para algún :),0( n∈α

∞<<=− −

→ccc x 0,))(1(lim

0

α

ε ε ε

Entonces, con probabilidad 1, el campo aleatorio considerado X satisface:

d=dim(GrX)=min)2 / 1,

2 / ( α α

−+nn

[50]

Donde cx denota la función de covarianza de campo aleatorio X, GrX es el

grafo, índice fractal y β índice Gaussiano, 2 / α β = [49] .

Por otro lado, si para algún ),0( n∈ β :



54

1)(lim =+−

∞→

β

ε ε ε n

c

Se dice que el proceso muestra dependencia a largo rango, con coeficiente

de Hurst H= 2 / β .Para ),2 / ( nn H ∈ o )2 / ,0( n H ∈ la correlación espersistente o anti-persistente, respectivamente.

En el dominio espectral, el parámetro está asociado con el decaimiento de

la velocidad de la densidad espectral, mientras que el parámetro β estáasociado con el comportamiento local de la densidad espectral en lavecindad de frecuencias cero.

La escala de los espacios fraccionales de Sobolev proporcionan unadecuado marco de referencia para la caracterización local de las funcionesfractales.

La equivalencia entre la norma generada por la función de covarianza y lanorma de un espacio Sobolev fraccional de orden s ),2 / ( nn∈ es fundamentalen la definición de RFs fractales Gaussianos y funciones de covarianzafractales.

3.2.2. Caracterización de las familias asociadas de las funciones de

covarianza con la separación de sus dos parámetros.

Son modelos fractales fuertemente dependientes, débilmente estacionarios eisotrópicos (propiedades idénticas en todas direcciones) gaussianos.

Todas las clases serán tratadas de una manera unificada gracias a la Dagumy clases auxiliares. Una característica común de estas clases es que suespectro asociado no puede obtenerse en forma cerrada.



55

Generalizando ,la clase Dagum de funciones de covarianza asociadas con la

estacionariedad débil, Gaussiana e isotrópica RFs siendo γ β e númerosreales positivos, sería:

γ

β

β

γ β ε

ε ε

+−=

11)(,K

Donde ∈ε Rn, y ⋅ denota la norma euclídea. La función de Dagum espositiva, definida en cualquier espacio euclídeo n-dimensional por

]1,0(]2,0( ∈∈ γ β y .

Para esto, las condiciones suficientes de monotonicidad completa sonβ γ =1 y β < 1.

La estructura de covarianza específica es :

)()()( x X x EX C ε ε +=

Las funciones de covarianza son definidas positivas.

Algunas familias de funciones completamente monótonas son:

- La función generalizada Cauchy:

α γ α γ α ε ε /

, )1()( −+=C

Es completamente monótona para 2≥ y 0 < .

Casos especiales de esta clase :



56

- C2, , función característica de la distribución simétrica Bessel [30]

- α α ,C es la función característica de la distribución Linnik.- C1, es la función característica simétrica generalizada Linnik.

Para esos casos especiales, se usará la restricción ∈(0, n), siendo n ladimensión del espacio Euclídeo asociado con el argumento deε .

Un RF Gaussiano con función de covarianza Cauchy será un RF Cauchy

Gaussiano.

-Clase célebre Moak de funciones completamente monótonas:

0,)1(

12 ≥

+→ α

ε ε ε α

[48]

Esta clase difiere de la primera en el hecho de que presenta una singularidaden el origen. No puede ser la covarianza de un RF Gaussiano definida ensentido ordinario.

La relación entre la función Dagum y la familia auxiliar de funciones de

covarianza generalizadas, se denota como γ β α ,,C y la ecuación es:

β γ

β α γ β α ε ε

ε

/

,,)1(

1:)(

~

+=C

γ β γ γ βγ α +=+−= 1 / )1 /()( yn , por lo que γ β α ,,C es la primera derivada de la

familia Dagum γ β ,K con respecto a ε .Esto constituye el punto clave para



57

estudiar las propiedades del RF Dagum Gaussiano en relación con los RFsGaussianos cuya función de covarianza es un caso especial de las familiasauxiliares de arriba. La clase Cauchy generalizada y sus casos particularesrelacionados se obtienen como casos especiales de la familia auxiliar, ya que

γ α γ α ,,0,

~C C = .La clase Moak corresponde a 2,2,

~α C .

3.2.3. Resultados fundamentales.

Siendo γ β α γ β γ β γ α γ α ,,,,,,

~][],[ f yK F paragC F para f Las transformadas

generalizadas de Fourier de γ β α ,,~C se verán los comportamientos asintóticos

y locales para las anteriores familias:

- Para ),0( n∈γβ , los siguientes comportamientos locales y asintóticos secumplen:

- El comportamiento local de las funciones en la RKHS del RF Dagum

Gaussiano puede ser identificado con el comportamiento local de las

funciones en el espacio fraccional Sobolev )(2 / )( nn R H γβ +, de forma continua

integrado en el espacio Hölder–Zygmund de orden fraccional 2 / γβ .

- El orden de variación de media cuadrática del RF Gaussiano Dagum es:



58

n R X X E ∈∀→=−+ 02

00 ,0),()]()([ ε ε ε ϑ ε ε ε γβ

X es un índice -(γ β)/2 RF. El RF Dagum Gaussiano satisface una condiciónde Hölder estocástica de ordenα, para cada α con α < γ β .

- El comportamiento local de las funciones en el RKHS del RF CauchyGaussiano coincide con el comportamiento local de las funciones en elespacio fraccional Sobolev Hn+α / 2 (Rn).

- La RF Cauchy Gaussiana tiene orden de variación media cuadrática dadopor la identidad:

E[X(ξ + ξ0) - X(ξ0)]2 = O (|ξ |α) , |ξ | -→ 0, ∀ ξ0 ∈ Rn.

3.3. Comentarios y conclusiones finales de estos modelos

En este capítulo se han estudiado los modelos que separan los parámetrosde dimensión fractal y de dependencia a largo alcance. Primero, se hanexplicado ambas características para identificar la irregularidad local y elcomportamiento asintótico y después la caracterización de las familiasasociadas de las funciones de covarianza con la separación de sus dosparámetros (clase Dagum, función generalizada de Cauchy y clase Moak) ylos comportamientos locales y asintóticos para las anteriores familias. Éstosson modelos fractales fuertemente dependientes, débilmente estacionarios eisotrópicos gaussianos.

Las observaciones funcionales representan un problema importante paraproblemas de ingeniería y varios científicos han dedicado considerablesesfuerzos para abordar el problema de superficies de respuesta. El método



59

de superficie respuesta (RSM) se usa para aliviar el cómputo de carga delanálisis de ingeniería. Se enfatiza en el uso de los métodos de regresiónponderada con el propósito de aproximación funcional [41],[42]. El RSM esconsumidor de tiempo para aplicaciones de gran escala y, a veces, muestragrandes errores en el cálculo de la sensibilidad del índice de fiabilidad conrespecto a variables aleatorias. Para superar estos problemas, se proponenun eficiente RSM aplicando una aproximación de movimiento de mínimoscuadrados (MLS) en lugar de la tradicional aproximación de mínimoscuadrados generalmente usada en el RSM.

Se considera un modelo de observación funcional del tipo:

n R D N X K Y ⊂∈+= ε ε ε ε ),())(()(

Donde el proceso de interés X es definido como un RF Gaussiano conalguna ordinaria o generalizada función de covarianza. El operador integral Kestablece la dependencia funcional paramétrica lineal entre la superficie de

respuesta Y y las realizaciones de la muestra de X(·)∈HX, con HX el espaciode Hilbert separable donde las trayectorias de X se hallan. El término de errorfuncional N se modela como un valor Gaussiano de Hilbert (valor-HN) variable

aleatoria, con el operador de covarianza RNN=E [N⊗N] y varianza funcional

∞<2

N H N E con N H

⋅.

El modelo representado es un problema de regresión lineal típica convariables respuesta y explicativas funcionales. Se adopta una formulacióndiferente (formulación inversa) que tiene su origen en las propiedadesgeométricas de las variables funcionales involucradas en esta ecuación, esdecir, el espacio Hilbert (Sobolev) asociado con ellos. Las clases decovarianzas para el problema de estimación funcional permiten identificar ladimensión fractal y el efecto de Hurst de los procesos asociados.



60

La formulación anterior tiene un inmediato efecto en la ecuación de Wiener-Hopf [38], implícitamente definiendo el filtroL involucrado en la definición del

estimador de mínimos cuadráticos LY X =∧

de X. La formulación funcional dela ecuación en términos de operador basado en identidades funcionales es:

RXY=LR YY donde RXY=E [X⊗Y] construido a partir del producto tensorial delos valores funcionales de X e Y, denota el operador de la covarianza

cruzada entre X e Y y RYY= E [Y⊗Y]= RXX+ RNN representa el operador decovarianza de Y modelando la estructura de dependencia espacial de lasuperficie de respuesta.

Lo anterior puede ser equivalente a:

1−= YY XY R R L

Donde la definición estable del operadorL depende de la inversión limitadadel operador RYY.El siguiente resultado ofrece las condiciones que garanticen

una definición estable del filtroL definiendo el estimador funcional de

mínimos cuadrados X de LY X =∧

.

En el caso en el que el proceso de interés viene dado por un RF Gaussianocon una covarianza Dagum , el cálculo estable del operadorL se obtiene

cuando γβ >+ 2 / )(n .Para la estimación funcional estable de la clase

auxiliar Gaussiana RF teniendo su covarianza definida por la clase Moak ,consideramos 2 / )(γβ en lugar de 2 / )( γβ +n .Esto proporciona el escenariodel óptimo parámetro funcional para una estable definición del filtro(operador) que define el estimador funcional del RF Dagum de Gauss, con elmodelo de covarianza paramétrica dado en términos del vector deparámetros (β , γ).



61

Se puede llevar a cabo mediante simulación un diseño adecuado delespacio de parámetros funcionales [38].

Se considera un estudio de simulación en el que el RF Dagum Gaussianoestá afectado por un ruido fractal aditivo, dado por el RF de CauchyGaussiano con su función de covarianza paramétrica caracterizado por el

vector de parámetros (α ~ , θ). Se consideran los distintos valores de (~ , θ ,βy).Las estimaciones funcionales del proceso Dagum , los errores promediosfuncionales cuadráticos y las varianzas estimadas funcionales error se

calculan a partir de una muestra de N observaciones funcionales de lasuperficie respuesta , con K el operador identidad, donde la red inicial regularconsiderada por aproximación de los datos funcionales es de talla M x M .Loserrores cuadráticos funcionales medios (AFQEs) y las varianzas errorestimadas funcionales ( EFEVs) son:

Donde, para i =1,…,N, Xi denota la superficie de la muestra definiendo la i-

ésima realización del RF Dagum Gaussiano y∧

i X representa su estimaciónfuncional de mínimos cuadráticos. Del mismo modo, para j, k=1,…,M Xi (j,k)denota el valor de la i-ésima realización del RF Dagum de Gauss en la

localización espacial (j,k) y ),( k j X i

∧

representa el valor de su estimación

funcional en una ubicación. Al aumentar los valores del parámetroγ β en elmodelo Dagum, la norma del operador de covarianza del RF GaussianoDagum se hace más pequeño, ya que la singularidad local del espectro

disminuye. Por lo tanto, la estabilidad del filtro estimador funcional



62

incrementa mejorando la calidad de las estimaciones funcionales.α ~ = α - n,para α denotando el orden del espacio fraccional Sobolev identificado con el

RKHS del ruido Cauchy aditivo fractal.

Al aumentar los parámetros ~ y γ β hay un comportamiento de cola másligero de la función covarianza del proceso de Dagum, es decir, casosmenos redundantes. Este hecho también mejora la calidad de lasestimaciones funcionales (es decir, los valores estimados de las varianzaserror funcionales son más pequeños).

Con referencia alas aplicaciones en términos generales, la introducción denuevos modelos fractales y con dependencia fuerte , y en particular, lacaracterización de sus dependencias locales y globales, en términos de losparámetros adecuados de dependencia fractal y de largo rango tiene un clarointerés para problemas relacionados con disciplinas tan diversas comoingeniería mecánica, geología, geografía,…Podemos modelizar eventos

extremos (con baja probabilidad de ocurrir) usando la distribución Dagum,como es el caso de campos como la ciencia del medio ambiente (nivel delmar, velocidad del viento,..), oceanografía(corrientes marinas extremas),climatología (velocidades extremas de huracanes), finanzas(compañías deseguros en riesgo de quiebra ante grandes siniestros), en hidrología (nivelesde ríos o presas, ver [30]), en ingeniería [25],[26],[27],[28] (construcción deedificios resistentes a sismos), la ciencia del deporte,…Las estadísticas de

extremos son útiles sobre todo para variables que poseen una distribución decola pesada ( Dagum y familias de co varianza auxiliares) [21].



63

Capítulo 4:

Apéndice

4.1. Teoría espectral

La transformada de Fourier es básicamente el espectro de frecuencias deuna función. La transformada de Fourier de f es la función:

{ } ∫∞

∞−

−∧

=→ dxe x f f f F xπξ ξ ξ 2)(:)(:

- Procesos estacionarios:

Un proceso de valor complejo [53]:

x(t)= y(t) + iz(t)

es estrictamente estacionario si todas las distribuciones 2n-dimensionales de



64

)(),(),...,(),( 11 τ τ τ τ ++++ nn t zt yt zt y

son independientes de τ.

Se llama débilmente estacionario o estacionario de segundo orden si lamedia E(x(t))=m es constante, y

2)())(*)(( mt sr t xs x E +−=

sólo depende de la diferencia de tiempo s-t.La función de covarianza eshermitiana( igual a la traspuesta conjugada).

-Funciones definidas no negativas:

Sea cualquier conjunto finito de puntos de tiempo t1, …,tn y tomandoarbitrarios números complejos z1,…,zn .Entonces, asumiendo que la media esigual a 0,

Cada función definida no negativa es la función de covarianza para unproceso Gaussiano débilmente estacionario.

- Un proceso complejo normal con media cero esestrictamente estacionario

si y sólo si las dos funciones



65

sólo dependen de t-s.

-La distribución espectral:

Las funciones de covarianza son transformadas de Fourier de sus

distribuciones espectrales.

Teorema de Bochner:

Una función continua r(t) es definida no-negativa , y por lo tanto, una funciónde covarianza, si y sólo si existe una función real F(λ) no decreciente,continua y limitada tal que

La función F(λ) es la función de distribución espectral del proceso, y tienetodas las propiedades de una función de distribución estadística excepto queF(+∞) - F(-∞)=r(0) no necesita ser igual a 1.La función F(λ) es definida sólo

hasta una constante aditiva, y uno normalmente toma F(-∞)=0.

-El teorema de inversión:

Sabiendo que:



66

Media entre los límites izquierdos y derechos de F(λ).

Si λ1<λ2,

Esto define la distribución espectral para todas las funciones de co varianzacontinuas.

Y además si la función de covarianza r(t) es absolutamente integrableentonces el espectro es absolutamente continuo y la fórmula de la inversiónde Fourier:

(densidad espectral)

- Distribución espectral de un solo lado:

Un proceso estacionario real tiene una covarianza y espectro simétrico. En

aplicaciones prácticas a menudo usamos sólo el lado positivo del espectro.Una distribución espectral de un solo lado se denotará por G(λ) :



67

- Espectro para secuencias estacionarias :

Para una secuencia estacionaria la función de covarianza es sólo definidapor t∈ Z.

Lema de Herglotz:

Una función r(t), t∈ Z, definida en los enteros, es definida no negativa y porlo tanto, una función de covarianza para una secuencia estacionaria si y sólo

si existe una función real F(λ) no decreciente, continua y limitada en (-π,π] :

-Proceso y representación espectral :

Una representación espectral de un proceso estacionario :

Donde Z (λ) es un complejo proceso espectral con incrementos ortogonales y

la varianza de sus incrementos es igual a los incrementos de la distribuciónespectral.

-Teorema espectral:

Cada proceso continuo estacionario x(t) tiene una representación espectral(vista anteriormente) donde Z (λ) es un elemento en el espacio de Hilbert



68

(generalización del espacio euclídeo) que se extiende por límites decombinaciones lineales de valores x(t).Se puede definir:

-Si x(t) es es un proceso continuo estacionario de media 0, con distribuciónespectral F (λ) existe un proceso espectral de complejos valores Z (λ) conincrementos ortogonales, tal que:

Para λ1 < λ2 y

-Representación espectral de secuencias estacionarias:

Una secuencia estacionaria x(t) puede venir de un proceso estacionario quees observado sólo en tiempos enteros t. La representación espectral puedeser restringida a valoresλ sólo en (-π,π] para la distribución espectral. Así,

Con una explícita expresión para el proceso espectral:



69

-Filtro lineal por su respuesta de frecuencia:

Un filtro lineal invariante en el tiempo que transforma un proceso estacionariox(t) en un nuevo proceso estacionario y(t) que tiene unafunción detransferencia (función de frecuencia) g(λ) :

Si x(t) tiene una tiene una densidad espectral f(λ) entonces la densidadespectral de y(t) es :

)()(2 λ λ f g

-Filtro lineal por su respuesta de impulso:

Un filtro lineal también puede definirse por sufunción de respuesta de

impulso h(t):

Si h(u)=0 para u<0 el filtro se llamarealizable causal o físicamente .



70

-Proceso lineal:

Una secuencia estacionaria xt o proceso estacionario x(t) se llama lineal si esla salida de un filtro de tiempo lineal invariante actuando en una secuencia devariables aleatorias ortogonales.

- La transformada de Hilbert:

Tomando la mitad de la representación espectral, obtenemosla transformada

lineal de x(t):

Donde ∆Z(0) es el salto de Z(λ) en el origen.

El proceso )(t x∧

(estacionario y real) definido por:

es el resultado de un filtro lineal en x(t) con función de frecuencia:

Se llama transformada de Hilbert de x(t).



71

-El envoltorio:

El envoltorio R(t) de x(t) es el valor absoluto de x*(t),

Éste tiene una distribución Rayleigh y siempre existe .

-Teorema del muestreo :

La forma espectral expresa un proceso estacionario, como una integral , enmedia cuadrática, de funciones coseno elementales con amplitud y fasealeatoria. Un proceso es unabanda limitada de frecuenciaλ 0 si :

Es decir, su espectro está restringido al intervalo [-λ 0 ,λ 0 ].

-Si el proceso estacionario x(t) es banda limitado aλ 0 ,entonces estáperfectamente especificado por sus valores en puntos discretos de tiemposeparados t0=π / λ 0 .Es decir, con probabilidad 1:

∑∞

−∞= −−−−

+=k kt t

kt t kt xt x

)()(sin

*)()(00

000 α λ

α λ α

Donde α es una constante arbitraria.



72

-Teorema de Karhunen-Loéve:

Sea x(t) a≤ t ≤ b continuo en media cuadrática con media cero y función deco varianza r(s,t) , existen funciones propias ortonormalesφk(t), k=0,1,…,N≤∞ para a≤ t ≤ b con valores propiosλ k ≥ 0 para la ecuación :

Y las variables aleatorias:

Son incorreladas, y :

La suma es un límite en media cuadrática y

uniformemente para t∈ [a,b].

Las variables zk son llamadas observables y se pueden usar para hacerinferencia estadística sobre la distribución del proceso x(t).

-Un proceso estacionario de valores de vectores :

Es un vector de p procesos estacionarios,



73

x(t)=(x1(t),…,xp(t))

Con covarianzas cruzadas estacionarias, para la media igual a 0. La funciónde covarianza R(t) es una matriz de función de covarianzas donde cadafunción de autocovarianza tiene su representación espectral marginal.

- Para cada función continua de matriz de covarianza R(t) existe unadistribución espectral F(λ) tal que:

∫∞

∞−= )()( λ λ dF et R t i

Donde F(λ) es una función de tipo positivo y ))()(()( 12 λ λ λ jk jk F F F −=∆ esuna matriz definida no negativa hermitiana.

- Representación espectral de x (t):

Cada componente x j(t) en un proceso de vector estacionario tiene surepresentación espectral:

)()( λ λ j

t i j dZ et x ∫=

En términos de un proceso espectral )(λ j Z Con incrementos ortogonales.

Para procesos con discreto espectro, la representación espectral:

∑ +=n

j j j j t nnV t nnU nt x ))(sin)()(cos)()(()( λ λ σ

U j (n) y V j (n) son variables reales aleatorias con media 0 y varianza 1 ,incorreladas para diferentes n-valores.



74

-Campos aleatorios:

Un campo aleatorio es un proceso estocástico x(t) con parámetromultidimensional t=(t1,…,tp) .Su media es m(t) y función de covarianza r(t, u).

Campos homogéneos:

Es homogéneo si m(t) es constante m y r(t,u) depende sólo de la diferenciade t-u. Son campos homogéneos las superficies que se muevenaleatoriamente y las ondas de agua (especial relación entre las frecuenciasde espacio y tiempo(números de ondas)).

Campos isotrópicos:

Las propiedades de correlación son las mismas en todas direcciones(lafunción de covarianza sólo depende de la distancia).Para estos procesos nose puede identificar ninguna propiedad estocástica dependiente direccional,pero el campo mantiene sus distribuciones después de la rotación ytraslación .La distribución espectral necesita satisfacer la condición deinvarianza.

4.2 .Procesamiento de la fractalidad mediante la transformada

wavelet.

Las Transformadas de Wavelets son herramientas matemáticas quepermiten el análisis de señales de manera muy similar a la Transformada deFourier.

Esta Transformada es eficiente para el análisis local de señales noestacionarias y de rápida transitoriedad .Una forma de analizar una señal noestacionaria es realizar un análisis espectral dependiente del tiempo.



75

También la transformada discreta se utiliza para la codificación de señales,mientras la continua se utiliza en el análisis de señales.

La fractalidad es una altísima variabilidad, fácilmente caracterizablemediante varianzas infinitas, y una compleja estructura de correlación queimpide cualquier suposición de independencia, de manera que ni la ley de losgrandes números ni el teorema del límite central sean aplicables al análisisde las trazas muestrales de tráfico fractal. Esta dificultad ha conducido aldesarrollo y la adopción de técnicas de estimación basadas en wavelets, lascuales presentan muchas ventajas como robustez ante tendenciasdeterminísticas, eficiencia computacional, clasificación de diferentesregímenes de escala, etc. Esta transformada elimina las complejascorrelaciones al generar una serie original de procesos independientes eidénticamente distribuidos [52].

La Transformada Wavelet no es solamente local en tiempo, sino también enfrecuencia.

- Transformada de Wavelet :

La transformada de Wavelet de una señal x(t) es una convolución integral ,reemplazada por una suma en caso de series de tiempo discretas [12]:

ψ (t) es llamada madre wavelet, desde el cual todos sus wavelets hijas

ψ τ,s(t) =ψ (t-τ /s) se desarrollan por traslado y estiramiento del eje de tiempo.Los coeficientes wavelet dependen de la posición del tiempo y escala. Por lotanto, la descomposición de frecuencia local de la señal se describe con unaresolución de tiempo apropiado para la frecuencia considerada f=1/s (escala



76

de tiempo inversa).

Todas las wavelets deben tener media 0.A menudo, son ortogonales atendencias polinómicas , así el método de análisis llega a ser insensible aposibles tendencias en los datos.

- El método de la transformada Wavelet de Módulo Máximo (WTMM)

Es un método para investigar las propiedades de escala multifractal deobjetos fractales y auto-afínes en presencia de no estacionariedad. Estábasado en la transformada de wavelet con funciones de manera continua.Las series se analizan directamente. Utilizando wavelets ortogonales conpolinomios de orden m-ésimo, las tendencias correspondientes se eliminan.

En lugar de hacer un promedio sobre todos los coeficientes wavelet unopromedia sólo los máximos locales.



77

Bibliografía

[1] Muñoz San Miguel, Jesús. AUTOAFINIDAD EN SERIES TEMPORALES.Departamento de Economía Aplicada I .Universidad de Sevilla.

[2] Espinosa Navarro, Fernando. Modelización No Browniana de seriesTemporales financieras.[3] Muñoz San Miguel, Jesús. Movimiento Browniano y Geometría Fractal: El

Ibex35.Universidad de Sevilla.[4] Blanco Castañeda, Liliana. El movimiento browniano fraccional comolímite de ciertos tipos de procesos estocásticos. The Brownian FractionalMotion as a Limit of some Types of Stochastic Processes. Andrea CavanzoNisso.[5] Sierra Juárez, Guillermo. Procesos Hurst y Movimiento BrownianoFraccional en Mercados Fractales: Valuación y aplicaciones a los derivados yfinanzas. Instituto tecnológico de Estudios superiores de Monterrey ,campusCiudad de México.[6] Sastre, Mª Asunción. Geometría fractal. Universidad Politécnica deMadrid.[7] Xiao ,Yimin and Tusheng Zhang. Local times of fractional Browniansheets.

[8] Xiao ,Yimin and Antoine Ayache. Asymptotic Properties and HausdorffDimensions of Fractional Brownian Sheets.[9] Xiao,Yimin and Dongsheng Wu.Geometric Properties of FractionalBrownian Sheets.[10] Ferrero, Rosana. Efectos de la estructura del paisaje sobre la dinámicapoblacional. [11] Mandelbrot, B.; van Ness, J.W. (1968), "Fractional Brownian motions,fractional noises and applications"[12] Kantelhardt, Jan W. Fractal and Multifractal Time Series. Institute of



78

Physics, Martin-Luther-University Halle-Wittenberg, 06099 Halle, GermanyApril 4, 2008.[13] Blanco Castañeda, Liliana y Johanna Garzón Merchán. RevistaColombiana de Estadística. Hoja browniana fraccional. Fractional BrownianSheet.[14] Romain François Peltier, Jacques Levy Vehel. Multifractional BrownianMotion : Definition and preliminary results.[15] Marco Aurelio Alzate Monroy, Introducción al Tráfico Autosimilar enRedes de Comunicaciones, Universidad Distrital.[16] Passoni, Lucía Isabel. Modelos en Bioingeniería: Caracterización deimágenes estáticas y dinámicas. Universidad Nacional de Mar del Plata.[17] Riedi, Rudolf H., Multifractal processes.[18] Ayache, Antoine and Jacques Lévy Véhel. The GeneralizedMultifractional Brownian Motion.[19] Ruiz-Medina, Maria Dolores ;Emilio Porcu ;Rosaura Fernandez-Pascual.The Dagum and auxiliary covariance families: Towards reconciling two-parameter models that separate fractal dimension and the Hurst effect[20] Gneiting, Tilmann; Martin Schlather. Stochastic Models That SeparateFractal Dimension and Hurst Effect.[21] Sexto Monroy, Benjamin. Modelización de eventos extremos usando laDistribución Dagum. Campus Montecillo, México.[22] Gneiting T. Power-low correlations, related models for long-rangedependence and their simulation. Journal of Applied Probability 2000.[23] Lim SC, Teo LP. Gaussian fields and Gaussian sheets with generalized

Cauchy covariance structure. Stochastic Processes and their Applications2009.[24] Lim SC, Teo LP. Generalized Whittle–Matern random field as a model ofcorrelated fluctuations. Journal of Physics A: Mathematical and Theoretical2009.[25] Ostoja-Starzewski M. Microstructural randomness versus representativevolume element in thermomechanics. ASME Journal of Applied Mechanics



79

2002.[26] Ostoja-Starzewski M. Microstructural randomness and scaling inMechanics of materials. Chapman & Hall, CRC Press; 2008.[27] Rytov SM, Kravtsov YA, Tatarskii VI. Principles of statistical radiophysics,vol.4. Berlin: Springer-Verlag; 1989.[28] Ostoja-Starzewski M. Towards thermomechanics of fractal media.Journalof Applied Mathematics and Physics 2007.[29] Matheron G. The intrinsic random functions and their applications.Advances in Applied Probability 1973.[30] Christakos G. On the problem of permissible covariance and variogrammodels. Water Resources Research 1984.[31] Yaglom AM. An introduction to the theory of stationary random functions.Doever Phoenix Editions; 1987.[32] Christakos G, Hristopoulos DT. Spatiotemporal environmental healthmodeling:a tractatus stochasticus. Boston: Kluwer; 1998.[33] Porcu E, Mateu J, Nicolis O. A note on decoupling of local and globalbehaviours for the Dagum random field. Probabilistic Engineering Mechanics2007.[34] Berg C, Mateu J, Porcu E. The Dagum family of isotropic correlationfunctions.Bernoulli 2008.[35] Yao F, Müller H-G, Wang J-L. Functional linear regression analysis forlongitudinal data. The Annals of Statistics 2005.[36] Kaymaz I, McMahon CA. A response surface method based on weightedregression for structural reliability analysis. Probabilistic Engineering

Mechanics 2005.[37] Kang S-C, Koh H-M, Choo JF. An efficient response surface methodusing moving least squares approximation for structural reliability analysis.Probabilistic Engineering Mechanics.[38] Ruiz-Medina MD, Fernández-Pascual R. Spatiotemporal filtering fromFractal spatial functional data sequence. Stochastic Environmental Researchand Risk Assessment 2010.



80

[39] Ruiz-Medina MD, Angulo JM, Fernández-Pascual R. Wavelet-vaguelettedecomposition of spatiotemporal random fields. Stochastic EnvironmentalResearch and Risk Assessment 2007.[40] Kato T. Perturbation theory of linear operators. Berlin: Springer-Verlag;1995.[41] Ramsay JO, Silverman BW. Functional data analysis. Springer; 2005.[42] Ferraty F, Vieu P. Nonparameric functional data analysis. Springer; 2006.[43] Fernández-Pascual R, Ruiz-Medina MD, Angulo JM. Multiscaleestimation of processes related to the fractional Black–Scholes equation.Computational Statistics 2003.[44] Fernández-Pascual R, Ruiz-Medina MD, Angulo JM. Wavelet-basedfuncional reconstruction and extrapolation of fractional random fields. Test2004.[45] Fernández-Pascual R, Ruiz-Medina MD, Angulo JM. Estimation ofIntrinsic processes affected by additive fractal noise. Journal of MultivariateAnalysis 2006.[46] Ruiz-Medina MD, Angulo JM, Anh VV. Fractional-order regularization andwavelet approximation to the inverse estimation problem for random fields.Journal of Multivariate Analysis 2003.[47] Schoenberg IJ. Metric spaces and completely monotone functions. TheAnnals of Mathematics 1938.[48] Moak D. Completely monotonic functions of the form (1 + |x|)β |x|α. RockyMountain Journal of Mathematics 1987.[49] Adler RJ. The geometry of random fields. Chichester: Wiley; 1981.

[50] Hall P, Wood A. On the performance of box-counting estimators of fractaldimension. Biometrika 1993.[51] Introducción a la Transformada Wavelet .Descomposición de señales.[52] Marco Aurelio Alzate Monroy, Uso de la Transformada Wavelet para elEstudio de Tráfico Fractal en Redes de Comunicaciones. UniversidadDistrital.[53] Lindgren, Georg . Lectures on Stationary Stochastic Processes.



A course for PhD students in Mathematical Statistics and other fields.

métodos wavelets para el análisis estadístico de series funcionales fractales

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