clase 12 matematica cpech - inecuaciones lineales (oliverclases)

7/28/2019 Clase 12 Matematica Cpech - Inecuaciones Lineales (OliverClases)

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lgebra2010

Clase N 12Inecuaciones linealesPropiedad Intelectual Cpech

PPTCANMTALA04012V1


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APRENDIZAJES ESPERADOS

Aplicar las propiedades de las desigualdades en lasresolucin de ejercicios.

Representar soluciones de una inecuacin a travsde intervalos, conjuntos y representacin grfica.

Resolver sistemas de inecuaciones lineales con unaincgnita.

Propiedad IntelectualCpech


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Contenidos1. Desigualdades

1.1 Definicin

1.2 Propiedades

2. Intervalos

2.1Intervalo abierto

2.2Intervalo cerrado

2.3Intervalo semi-abierto o semi-cerrado

2.4Intervalos indeterminados

3. Inecuaciones lineales

4. Sistemas de Inecuaciones



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1. Desigualdades

Una desigualdad es una comparacin entre "a" y "b"tal que:

1.1. Definicin:

a > b Se lee "a" mayor que "b", cuando la diferenciaa - b es positiva

a < b Se lee "a" menor que "b", cuando la diferenciaa - b es negativa.

La simbologa utilizada es: < Menor que

> Mayor que

Menor o igual que

Mayor o igual que



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1.2. Propiedades

Una desigualdad mantiene su sentido cuando se suma o se

resta un mismo nmero a cada miembro de la desigualdad.

Ejemplos:

Si sumamos m a ambos miembros de la desigualdad,

a b

resulta: a + m b + m

(Sumando 2 a cada lado de la desigualdad)5 < 8

5 + 2 < 8 + 2

b)

7 < 10

(Restando 3 a cada lado de la desigualdad)12 > 8c)

12 - 3 >8 - 3

9 >5

a)



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Una desigualdad mantiene su sentido cuando se multiplicansus dos miembros por un mismo factor positivo, o se dividenpor un mismo divisor, tambin positivo.

Ejemplos:

a) < (Multiplicando por 2 cada lado de la desigualdad)

24 (Dividiendo por 8 cada lado de la desigualdad)

24

8

160

8>

20 >3



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Una desigualdad cambia de sentido cuando se multiplicansus dos miembros por un mismo factor negativo, o sedividen por un mismo divisor, tambin negativo.

Ejemplos:

a) < (Multiplicando por -2 cada lado de la desigualdad)

> -2 -2

6

5

6

5

3

7

-6

7

-12

5>

3

7

b) 160 > 24 (Dividiendo por -8 cada lado de la desigualdad)

24

-8

160

-8 -6 -8 < -4

Ejemplos:

(-3)3 > (-6)3

-27 > -216

(-8)2 > (-4)2

64 > 16

a) b)/( )3 /( )2



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-1

Si ambos miembros de una desigualdad son positivos onegativos, y se invierten, es decir, se elevan a -1, la

desigualdad cambia de sentido.

Ejemplos:

-5 < -2

(-5)-1 > (-2)-1

-1

5

-1

2>

< 6

5

3

7

> 56

73

>3

7

6

5

-1

/( )-1 /( )-1



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2. IntervalosLos intervalos son subconjuntos de los nmeros reales que se

pueden representar grficamente en la recta numrica.

2.1. Intervalo abierto

Incluye a todos los reales comprendidos entre a yb,sin incluir aa, nib.

] a,b [= {x IR / a < x < b }

a b- +

Grficamente:

Observacin: ] a,b [ = (a,b)



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2.2. Intervalo cerrado

Incluye a todos los reales comprendidos entre a yb,incluyendo aayb.

[ a,b ]= {x IR/ a x b }

a b- +

Grficamente:



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2.3. Intervalo semi-abierto o semi-cerrado

Incluye a todos los reales comprendidos entre a yb,incluyendo a apero no ab.

Grficamente:

I. [ a,b [= {x IR/ a x < b }

ba

- +

Incluye a todos los reales comprendidos entre a yb,no incluyendo a a, pero s ab.

Grficamente:

II. ] a,b ]= {x IR/ a < x b }

ba- +



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2.4. Intervalos indeterminados

Incluye a todos los reales mayores o iguales que a

I. [ a,+ [= {x IR/ x a }

a- +

Incluye a todos los reales mayores que a

II. ] a,+ [= {x IR / x > a }

a- +



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Incluye a todos los reales menores o iguales que b

III. ]-, b ]= {x IR/ x b }

b- +

IV. ]-, b [= {x IR / x < b }

Incluye a todos los reales menores que b

b- +



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V. ]-, + [= IR

+-

IR

El infinito nunca se incluye dentro deun intervalo y adems nunca seescribe en la desigualdad.



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3. Inecuacin linealCorresponde a una desigualdad condicionada, es decir, se

busca el conjunto de valores que al reemplazarlos en lavariable, cumpla con la desigualdad.

Ejemplos:

a) 7

5-x

La expresin representa un nmero real si:

5 - x > 0

5 > x

x es un nmero real menor que 5,

5- +

o bien, x ] -, 5 [

Grficamente:



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x

2

6x -2

5 1- (Multiplicando por 10)

b)

6x -2

5 x

2-10 1010

2(6x 2) 5x - 10

12x 4 5x - 10

(Simplificando)

(Desarrollando)

12x 5x 4 - 10

7

x -6

7x -6



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,+o bien, x

7

-6

- +

7

-6

Grficamente:

Se cumple para todo x mayor o igual que

7

-6 ,



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c) 7x 8 4x 16 + 3x + 4

7x 8 7x - 12

8 - 12

En este caso, la incgnita se ha eliminado. Sin embargo,la desigualdad resultante es verdadera. Esto significaque la inecuacin se cumple para cualquier x en los

reales.

+-

IR

Grficamente:



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d) 6x + 11

2< 3x / 2

6x + 11 < 6x

11 < 0

En este caso, la incgnita tambin se ha eliminado; perola desigualdad resultante es FALSA.

Esto significa que la desigualdad no se cumple, ya que NOexiste un x real que satisfaga la inecuacin.

El conjunto solucin de la inecuacin es el conjunto vaco:



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4. Sistemas de Inecuaciones

Cada inecuacin del sistema se resuelve por separado,obtenindose como solucin un subconjunto de la recta real.

La solucin del sistema es la interseccin de estossubconjuntos.

Ejemplo:

a) 2x + 3 5-x - 2 -4

Resolviendo cada inecuacin enforma independiente:

2x + 3 5

2x 5 - 3x 1

-x - 2 -4

x + 2 4x 2

o bien, x ] -, 1 ] o bien, x ] -, 2]

/ (-1 )



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La solucin del sistema ser la interseccin de los subconjuntos:

S1 = ] -, 1 ] y S2 = ] -, 2]

-

2+

1

S = S1S2

S = ] -, 1 ] o bien, x 1



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Los contenidos revisados anteriormente los puedesencontrar en tu libro, desde la pgina 101 a la 107.



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Equipo Editorial: Patricia Valds

Olga Orchard

Pablo Espinosa

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