clase 18 matematica cpech - relacion & funciones (oliverclases)
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7/28/2019 Clase 18 Matematica Cpech - Relacion & Funciones (OliverClases)
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lgebra 2010
Clase 18: Relaciones y funciones
Propiedad Intelectual CpechPPTCANMTALA04018V1
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APRENDIZAJES ESPERADOS
Definir relacin y funcin, estableciendo lasdiferencias entre un concepto y otro.
Determinar si una relacin es funcin.
Determinar el Dominio y Recorrido de una funcin.
Determinar si una funcin es inyectiva, epiyectivao biyectiva.
Representar informacin cuantitativa a travs degrficos y esquemas.
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Contenidos
1.Nociones de teora de conjuntos
2. Relaciones
3. Funciones3.1 Definicin
3.2 Evaluacin de funciones
3.4 Clasificacin:
_ Funcin Biyectiva
2.1 Definicin2.2 Dominio y Recorrido
_ Funcin Inyectiva
_ Funcin Epiyectiva
1.1 Definiciones1.2 Producto Cartesiano
3.3 Dominio y recorrido de una funcin
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1. Nociones de Conjuntos 1.1. Definiciones
Conjunto: Es una coleccin de objetos bien definidos,considerados como una sola unidad.
Pertenencia ( ) : Si un objeto p es elemento de unconjunto C, entonces p pertenece a C y su notacin es: p C.Si p no pertenece a C, se denota: p C
Conjunto vaco (): Es aquel conjunto que no poseeelementos. Tambin se denota como: { }
Subconjunto ( ): Un conjunto A es subconjunto de otroconjunto B si todos los elementos que pertenecen a A, sontambin elementos de B.
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1.2. Producto CartesianoDados los conjuntos A y B , su producto cartesiano ( A B )
est formado por cada uno de los pares ordenados donde elprimer elemento pertenece a A y el segundo a B :
A x B = { (a,b) / a A y b B }
Ejemplo:
Si A = { a, b, c } y B = { 1, 2 } , entonces:
A x B = { (a,1), (a,2), (b,1), (b,2), (c,1), (c,2)}
(Puedes encontrar mayor informacin sobre conjuntos en tu libro, pginas: 114 a 117)
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2. Relaciones 2.1. Definicin:
Ejemplo:Si A = {2, 3, 7} y B = {4, 5, 6} y R una relacin de A en B tal que:
R = { (a,b) A x B / b es mltiplo de a}
A x B = {(2,4); (2,5); (2,6); (3,4); (3,5); (3,6); (7,4); (7,5); (7,6)}
R = {(2,4); (2,6); (3,6)} A x B
entonces:
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Una relacin R de un conjunto A a un conjunto B(R: A B) , es un subconjunto del producto cartesiano entreA y B ( A x B ), determinado por una, o ms condiciones.
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El par (2,4) pertenece a la relacin R , ya que 4 es mltiplo de 2.Los pares (2,6) y (3,6), tambin estn relacionados, ya que6 es mltiplo de 2 y de 3.
(2,4) R 2 R 4
Notacin:
R (2) = 4
(2,6) R 2 R 6 R (2) = 6
(3,6) R 3 R 6 R (3) = 6
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Utilizaremos el ejemplo anterior para explicar algunos conceptos.
R = {(2,4); (2,6); (3,6)} A x B
2
3
7
4
5
6
A BR
Conj. de partida. Conj. de llegada(Codominio)Pre-imgenes {2,3} Imgenes {4,6}
De acuerdo al diagrama, se puede afirmar que:
2 es pre - imagen de 4 y de 6, y 4 es imagen de 2
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3. Funciones
Una funcin f es una relacin, tal que todo elemento delconjunto de partida tiene imagen, y sta es nica .
3.1. Definicin
Ejemplos:1 . Determine si la siguiente relacin R es funcin:
ab
c
de
f
A BR
La relacin R NO es funcin, porque c tiene dos imgenes.
R (c) = e
R (c) = f
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Dom f = A Ningn elemento del dominio tiene ms de una imagen.
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2 . Determine si la siguiente relacin R es funcin:
3
5
4
6
7
9
A B
R
R es funcin, ya que cada elemento del conjunto de partidatiene imagen y sta es nica.
f (3) = 6
f (5) = 6
f (4) = 7
Adems: Dominio(f) = A Recorrido(f) = {6,7}
35
4
67
9
f A B
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Sea f una funcin, definida en los reales como:
3.2. Evaluacin de funciones
f(x) = 2x + 3.
a) f (1) =
Determinar:IR IR
f
b) f (3) =
c) f (7) =
d) f (12) =
= 24 + 3= 27
Ejemplo 1:
1
37
12
x5
917
27
f(x)21 + 3 = 5
23 + 3 = 9
27 + 3 = 17
212 + 3
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24 + 3 3(20 + 3)2(-1) + 3
f (4) - 3f (0)f (-1)
=
8 + 3 3(3)
1
2
11 9
=
=
=
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e) Para f(x) = 2x + 3 , determinar
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Representacin grfica de: f(x) = 2x + 3.
f(x) = 2x + 3 es funcin afn, Dom(f)= IR y Rec(f)= IR
3.3. Dominio y Recorrido
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Ejemplo 1:
Sea
Es siempre posible calcular este cuociente?
Como la divisin por 0 no est definida, x 1 debe ser distintode 0, es decir: x 1 .
Luego, Dom(f) = IR {1}
Respuesta:
IR IR
f
2
1-1
f(x)
2
3-1
x
1
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f(x)= 2 x 1
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Ejemplo 2:
Dom(f) = [ - 2, + [
Por qu?
Sea f(x) = x + 2
Como la divisin por 0 no est definida, x 3 debe ser distintode 0, es decir: x 3 .
Luego, Dom(f) = IR {3}
Para determinar el recorrido de f(x), se debe despejar x.
y(x 3)=x
yx 3y=xyx x=3y
x(y 1)=3y Luego, Rec(f) = IR {1}
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y= x x 3 x=3y
y 1
Ejemplo 3:
f(x)= x x 3
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Indicar si los siguientes grficos corresponden a funciones,determinando el dominio y recorrido de aquellos que
representen una funcin.
Ejemplo 4:
Dom(f) = [-2,5 , 5]
Rec(f) = [-1,8 , 3,2]
Dom(f) = IR
Rec(f) = {2}
y = 2
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Dom(f) = IR
Rec(f) = ]- , 4]
No es funcin
x = 3
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3.4. ClasificacinFuncin inyectiva (uno a uno):
Una funcin es inyectiva si cada f(x) en el recorrido, esimagen de exactamente un nico elemento del dominio.
2
3
7
4
5
6
Bf
A
1 . Determine si la siguiente funcin es inyectiva:
f NO es funcin inyectiva, porque 6 es imagen de 2 y de 3 .
Ejemplo:
Dom(f) = A
Rec(f) = {5,6}
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2
3
7
B
f
A
4
5
6
9
2 . Determine si la siguiente funcin es inyectiva:
f es funcin inyectiva, ya que cada elemento del recorrido esimagen de un nico elemento del dominio.
Dom(f) = A
Rec(f) = {4, 5, 6}
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Funcin epiyectiva (sobreyectiva):Una funcin es epiyectiva o sobreyectiva si todos loselementos del conjunto de llegada (codominio), son imagen dealgn elemento del conjunto de partida, es decir, el recorridoes igual al conjunto de llegada.
Ejemplos:f 1
67
A B
9
35
f 1 es funcin epiyectiva, ya que cada elemento de B (codominio),es imagen de un elemento de A. (f 1 no es inyectiva).
Dom( f 1) = A
Rec( f 1) = {6,7} = B
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64
16
A B
28
-2
f 2
f 2 NO es epiyectiva, ya que existe un elemento en B (6) que noes imagen de ningn elemento de A. (f 2 no es inyectiva).
Dom( f 2) = A
Rec( f 2) = {4, 16} B
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Funcin biyectiva:
Una funcin es biyectiva si es inyectiva y epiyectiva a la vez.
Ejemplos:
47
-4
A B
58
-3
f
f es biyectiva, ya que es inyectiva y epiyectiva a la vez.
Dom( f ) = ARec( f ) = {4, 7, -4} = B
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Los contenidos revisados anteriormente los puedesencontrar en tu libro, desde la pgina 113 a la 124 .
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Equipo Editorial: Patricia ValdsOlga OrchardPablo Espinosa