Cinemtica de los Mecanismos

Modulo 1

Definicin:

Cinemtica: Es el estudio de movimiento en mecanismos e incluye el anlisis de desplazamiento, velocidades, aceleraciones y sntesis de mecanismos.

Maquina: Es un dispositivo para transformar movimiento y fuerza ( Potencia ) desde una fuente a una carga.

El tipo de transformacin y transferencia, ser definido por las necesidades y naturaleza del tipo de movimiento suministrado a la entrada que est disponible y tambin por el tipo de movimiento requerido a la salida.

Normalmente en las maquinas la mayora de sus componentes sufren una deformacin imperceptible, por lo cual en la mayora de los casos los componentes de las maquinas se van a tomar como cuerpos rgidos

Durante nuestro estudio de la cinemtica se manejaran los cuerpos rgidos bajo el paradigma de que no existe deformacin causada por las fuerzas; por lo que el Movimiento relativo entre ellos se podr estudiar sin considerar las fuerzas que lo provocan.

Por lo que podremos definir:

Cinemtica.- Como la materia, la cual maneja solamente los aspectos geomtricos (Restricciones) del movimiento, sin considerar las fuerzas que los provocan.

Para el estudio de la cinemtica, una maquina puede referirse a un mecanismo y que cuya combinacin de partes rgidas interconectadas tienen movimiento relativo entre ellas.

La clave de los movimientos de un mecanismo, recae en los tipos de interconexiones de sus partes y estas interconexiones , tcnicamente se llaman PARES CINEMATICOS.

PARES CINEMATICOS

Para el estudio de la cinemtica es necesario el entendimiento de los pares cinemticos y la clase de movimiento relativo que estos pares cinemticos permiten realizar al mecanismo.

Antes de estudiar los pares cinemticos tendremos que explicarnos algunos aspectos tcnicos.

a).- A el numero mnimo de coordenadas independientes que se requieren para describir el movimiento relativo de un par cinemtico se le llama

Grado de Libertad

Y a estas coordenadas que su utilizaron para describir ese movimiento relativo en ese par cinemtico se les llama Variables del Par Cinemtico.

Un cuerpo no conectado a ningn otro, completamente libre tiene 6 Grados de libertad.

PARES CINEMATICOS

Los pares Cinemticos se pueden clasificar de tres maneras:

a).- Pares inferiores

b),- Pares Superiores

c).- Pares Envolventes

a).- Pares Cinemticos Inferiores Son los que tienen contacto por medio de una Superficie ( Ejem. Un cojinete ; un perno en un barreno..Etc.)

b).- Pares Cinemticos Superiores Son los que tienen contacto entre elementos por medio de una lnea o un punto (Ejem. Una leva con seguidor de rodillo etc.)

c).- Pares Cinemticos Envolventes Son los que cubren completamente al otro elemento ( Ejem. Una Banda, Una Cadena y esprocket, ..etc.)

Tambin existe una clasificacin de los pares cinemticos que se hace tomando en cuenta la forma en que el contacto entre sus elementos e mantenido.

Si el Par esta mantenido por la forma geomtrica de alguno de su elementos o si esta mantenido por una fuerza externa.

Ejemplos:

Un cojinete - el contacto es mantenido por su forma

Un seguidor de una leva con su resorte el contacto es mantenido por Fuerza

Ejemplos de Pares Cinemticos:

PARES CINEMATICOS SUPERIORES ( CONTACTO EN UNA LINEA O EN UN PUNTO )

TIPOS DE MECANISMOS

a).- Planares

b).- Esfericos

c).- Espaciales

a).- Mecanismos Planares. Todos los puntos de sus cuerpos ( Partes ) se mueven paralelamente y se encuentran en planos paralelos y todos esos planos se pueden representar en un solo plano que es llamado plano de movimiento,

Se tiene un solo punto de vista que es perpendicular al plano de movimiento y bajo este punto de vista se revela el movimiento relativo verdadero de todos los puntos del mecanismo.

En Cinemtica existen dos tipos de problemas:

a).- Anlisis Cinemtico

Una ves que un mecanismo se ha dado; la tarea es determinar los movimientos relativos que se pueden llevar a cabo en ese mecanismo.

b).- Sntesis Cinemtica

En la Sntesis, uno tiene que disear un mecanismo para generar el movimiento relativo que se requiere y que se ha descrito con anterioridad.

PARA PROSEGUIR CON EL ESTUDIO DE LA CINEMTICA DELOS MECANISMOS.

Se requiere recordar un poco algunos conceptos.

Se haba hablado de que un cuerpo libre y suelto tena 6 (seis) Grados de Libertad.

En el movimiento Planar (Plano)

En un movimiento plano un cuerpo libre y suelto solamente tiene 3 GRADOS DE LIBERTAD.

Tan pronto como se conecte a otro eslabn en este mecanismo plano, uno o dos grados de libertad sern restringidos y se perderan.

Veamos cuales de los pares cinemticos sern aceptados en este mecanismo Planar.

R 1 GDL P 1 GDL

H 1 GDL C 2 GDL

h 2 GDL

Los pares CinematicosH y C no se pueden aceptar en un mecanismo Planar

Clases de Eslabones Eslabon.- Cada cuerpo rigido que forma parte de un par cinematico es referido como ESLABON.

Cadena Cinematica.- Es una serie de eslabones conectados en pares cinemticos.

Cadena Cinemtica Cerrada.- Es cuando cada eslabn de esa cadena, esta conectado al menos a otros dos eslabones.

Si alguno de los eslabones est conectado a solo un eslabn entonces se le llamara cadena cinemtica abierta

Tambin se pueden clasificar los eslabones de la siguiente manera

En una cadena cinemtica cerrada no puede existir un eslabn singular.

Podemos definir un mecanismo con un de sus eslabones fijo, a este eslabn le llamaremos marco de referencia.

En algunos casos, ese eslabn que nosotros tomamos como fijo podr estar en movimiento relativo con respecto a otro marco de referencia.

Ejem. En el mecanismo de los limpiaparabrisas de un automvil el cuerpo del automvil al cual est instalado puede estar en movimiento o no con respecto a la tierra.

En algunos libros, el eslabonamiento es definido como un mecanismo consistente de solamente pares cinemticos inferiores, si tuviera pares superiores; entonces, no sera eslabonamiento, sera un mecanismo.

El Grado de Libertad de un mecanismo Esta dado por el mnimo de Variables de Par Cinemtico independientes entre s, que se necesitan para definir completamente los movimientos relativos entre todos sus eslabones.

Se puede decir que un mecanismo est restringido si su grado de libertad iguala (es igual) al nmero de entradas de movimiento independientes.

Cuando el numero de grados de liberad, no es igual al nmero de entradas de movimiento, no ser un mecanismo restringido.

Ejem. El Diferencial Tiene una sola entrada de movimiento y tiene dos salidas (dos Velocidades) en las ruedas.

Para el estudio de la cinemtica tenemos que saber solamente el tipo de pares cinemticos , la posicin relativa , el orden secuencial y eso es todo; las dems caractersticas geomtricas no nos conciernen los parmetros inerciales son completamente irrelevantes para el estudio cinemtico.

Para el estudio de la cinemtica siempre haremos diagramas grficos, en los cuales quitaremos todos los parmetros que sean irrelevantes y solo se expondrn los datos geomtricos que son esenciales para definir los movimientos relativos, o en otras palabras, los que gobiernan los movimientos relativos.

Estos diagramas son llamados DIAGRAMAS CINEMATICOS,

Para dibujar estos diagramas seguiremos ciertas convenciones, las cuales discutiremos a continuacin:

- Como hemos visto, todo mecanismo tiene un eslabn fijo, y este eslabn es llamado eslabn numero 1 (uno). Y es indicado con el sombreado.

Todos los nmeros de eslabones son dados secuencialmente empezando por el nmero 1 (uno).

El siguiente diagrama muestra que aunque el eslabn tiene una dimensin de ancho altura, es completamente irrelevante para lo que es cinemticamente concerniente, por lo que el diagrama se escribir como se muestra en la figura adjunta.

Representacin de un Eslabn

La Siguiente figura representa a dos eslabones unidos por un par cinemtico de revolucin.

El eje del par de revolucin est representado por el centro del circulo

Pares Prismticos:

Eslabn Cuaternario:

El sombreado es para no confundir con cuatro eslabones binarios

3R-1P (Mecanismo Pistn, Biela. Manivela)

3R-1P (Mecanismo Piston, Biela. Manivela)

Por lo que se puede ver el par cinemtico prismatico no es mas que el caso limite de un par de revolucin cuando su radio de formado por la longitud de su eslabn

tiende a infinito() INVERSION CINEMATICA Lo siguiente a discutir es la inversin cinemtica.

La inversin cinemtica es muy til particularmente en el proceso de Sintesis cinemtica.

Hemos definido a un mecanismo como una cadena cinemtica cerrada, donde uno de sus eslabones esta fijo.

La inversin Cinemtica: Es el proceso de fijar diferentes eslabones de una cadena cinemtica para producir deferentes mecanismos; Es decir, se va cambiando cada vez, cual es el eslabn que esta fijo , y se analiza como funciona el mecanismo resultante cada ves que se hace.

Cada vez que esto se hace se obtiene un mecanismo diferente.

Y lo mas importante de la inversin Cinemtica es que El movimiento relativo entre varios eslabones es independiente de la inversin Cinemtica; Esto es, El movimiento relativo entre varios eslabones se mantiene sin cambios bajo la inversin Cinemtica.

Es decir el movimiento relativo entre eslabones no cambia, independientemente de cual sea el eslabn sea el que esta fijo.

r = a infinito

Inversin Cinemtica de un mecanismo

Todos estos mecanismos se han obtenido de la misma cadena cinemtica por el proceso de inversin cinemtica, el movimiento relativo entre varios de sus eslabones permanecer siendo el mismo.

Por ejemplo:

=

=

La relacin de velocidades entre el eslabn 2 y el eslabn 4 en el primer mecanismo es igual a la relacin de velocidades del eslabn 1 entre el eslabn 4 en el segundo mecanismo donde el eslabn 2 esta fijo y su velocidad es cero.

El Mecanismo de Cuatro Barras En esta ocasin seguiremos estudiando El Mecanismo de Cuatro Barras, podemos decir que en gran parte de este curso estudiaremos el mecanismo de cuatro barras, ya que es un mecanismo con una gran diversidad de aplicaciones.

Mecanismo plano de cuatro barras.-

Recordando:

Un mecanismo es una cadena cinemtica cerrada; y para estar cerrada, por lo menos debe de contar con tres eslabones.

En esta cadena de eslabones, donde el eslabn 1 esta fijo, es obvio que no puede haber movimiento relativo entre sus tres cuerpos rgidos(eslabones), de hecho podra resistir una carga externa, por lo cual lo podemos considerar como una estructura.

Debido a esto , podemos considerar que el mecanismo mas simple que existe es el mecanismo de cuatro barras.

Para empezar consideremos un mecanismo plano de cuatro barras con cuatro pares cinemticos de revolucin.

Dimensiones relevantes del mecanismo

O2 y O4 son eslabonamientos fijos y A y B son eslabonamientos mviles,

Los eslabones 2 y 4 que estn conectados al eslabn fijo, normalmente son utilizados respectivamente como entrada y salida del movimiento, y el eslabn 3 conectado al los eslabonamientos mviles A y B sera entonces el eslabn conector; Tambin como se puede observar, este mecanismo tiene cuatro dimensiones principales L1, L2 , L3 y L4.

Cuando uno de sus eslabones da una vuelta completa, es como si tuviera un motor acoplado, a este eslabn se referir como MANIVELA, al eslabn de salida entonces le llamaremos SEGUIDOR, y al eslabn que los interconecta le llamaremos ACOPLADOR.

Ahora consideremos un mecanismo de cuatro barras donde uno de sus pares cinemticos fijos O4 esta en el infinito perpendicularmente localizado a la trayectoria de movimiento del par cinemtico B

Sus dimensiones principales son O2-A que es L2 (Longitud de la Manivela), A-B

Este mecanismo es comnmente utilizado para convertir movimiento rotacional uniforme a movimiento rectilneo oscilante y es nombrado como mecanismo biela manivela corredera.

Ahora consideremos diferentes inversiones cinamticas del mismo mecanismo 3R-P

Tambin es un mecanismo de cuatro eslabones y tiene tambin tres pares cinematicos de revolucin y un par cinemtico prismatico. Pero esta configurado en forma diferente; mientras que en anterior mecanismo los pares estaban dispuestos R-R-R-P , en este estn dispuestos de la forma R-R-P-R

Considerando otra Inversin Cinemtica,

Tambin otra inversin cinemtica sera :

Hemos considerad Mecanismos con cadenas 3R-1P, ahora consideremos un mecanismo con dos pares de revolucin y dos pares prismticos, es decir que uno de sus pares de revolucin se convierta en un par cinemtico prismtico y forme una cadena con 2R-2P

Cadenas Cinemticas 2R-2P

Sin embargo podemos tener dos variantes en funcin del orden de cmo se acomoden los pares cinematicos. R R P P R P R P

Se puede enfatizar que en una cadena de 3R-1P ; si se empezara por un par cinemtico P , sera seguido forzosamente por tres pares R , esa sera la nica posibilidad.

Eslabn Eslabn Eslabn

Eslabn

Eslabn Eslabn Eslabn

Eslabn

Consideremos algunas inversiones de esta cadena 2R-2P:

Tenemos una cadena RR-PP la cual el eslabn 1 corre en sobre un par prismtico horizontal sobre el eslabn 4, el eslabn 2 est conectado con el eslabn 1 por medio de un par de revolucin en O2 , as mismo, el eslabn 2 est conectado con el eslabn 3 por medio de un par de revolucin en O3 y el eslabn 3 corre sobre un par prismtico vertical sobre el eslabn 4; Siendo que las dos correderas estn a 90 una con respecto a la otra.

Luego consideremos una inversin cinemtica con la sujecin del eslabn 1 (uno); y veremos que el eslabn 2 tendr un movimiento rotativo con respecto al eslabn fijo numero 1, y el eslabn 4 tendr un movimiento horizontal alternativo con respecto al eslabn fijo numero 1,

Este Mecanismo , El Yugo Escocs convierte el movimiento rotativo uniforme del eslabn 2 en un movimiento armnico simple alternativo en la direccin horizontal del eslabn 4.

Cuando T = 0 entoces = 0 y se puede decir que = t ;La posicin del eslabn 4, se puede definir con X y es fcil darse cuenta que X= L2 Cos por lo que X= L2

Cost. Por lo que estaramos produciendo un movimiento armnico simple por medio de un movimiento rotativo uniforme.

Consideremos otra inversin cinemtica de la misma cadena cinematica (Mecanismo) RR-PP.

En este mecanismo que tambin es RR-PP , se tiene al eslabn 1 como eslabn fijo, el eslabn 2 esta conectado el 1 por medio de un par de revolucin a su ves este eslabn 2 esta conectado por medio de un par prismtico al eslabn 3 que tiene una corredera horizontal y tambin tiene una corredera vertical que conecta a su ves por medio de un par prismtico con el eslabn 4.

Al girar el eslabn 2 con una velocidad angular le trasmitir el movimiento al eslabn 3 y este mover al eslabn 4 con la misma velocidad angular.

Este mecanismo es conocido como cple de Oldham y es utilizado para trasmitir movimiento rotatorio a ejes con des alineamiento paralelo.

Ahora consideremos otro mecanismo formado con la misma cadena de eslabones y pares cinamticos RR-PP

En este mecanismo consideraremos que el eslabn fijo es el que tiene los dos pares cinemticos en sus extremos; Por ejemplo, el eslabn 1 tiene par prismtico con el eslabn 4 y tambin con el eslabn 3 en ngulo recto un con respecto del otro.

A este mecanismo se le conoce como la Traba elptica de Arquimides. Y se utiliza para generar elipses.

Su representacin fsica sera:

Notas sobre la Traba elptica

La Traba elptica (tambin conocido como el traba de Arqumedes) es un mecanismo sencillo que puede trazar una trayectoria elptica exacta.

La Figura 1 muestra la geometra de este mecanismo, que consta de dos pares prismticos (o corredera) y dos pares de revolucin (o de rotacin) en sus articulaciones.

Estas juntas guian el movimiento de un cuerpo rgido central.

Figura 1: Diagrama de la traba elptica, que muestra la geometra de la trayectoria elptica, as como las centroides fijos y mviles (crculos de trazos).

Sean A y B los puntos en el cuerpo rgido en movimiento que coincide con el eje de revolucindela articulacin.

Sea C el punto en el cuerpo en movimiento que traza un camino.

Definiendo las siguientes distancias:

Por conveniencia, se asignar un marco de referencia con el origen en la interseccin de los dos ejes de los pares prismticos de la articulacin, y con vectores de la base colineal con los ejes de articulacin (ver Figura 1).

Donde denota el ngulo entre la lnea de CA ~ y el eje x. En este sistema de coordenadas, las coordenadas X y Y del punto C se dan a travs de:

Consecuentemente:

que es la ecuacin de una elipse con ejes mayor y menor que tiene dimensiones a y b.

En cada instante, el cuerpo central se mueve como si se gira alrededor de un polo (tambin conocido como centro instantneo de rotacin, o CIR). En cada ubicacin del mecanismo, cada bloque deslizante se mueve en las articulaciones prismticas con una velocidad que es equivalente a una rotacin sobre cualquierpunto de la lnea que pasa por el centro del bloque y que es perpendicular al eje de deslizamiento. Ambas lneas se cruzan en un punto nico (P denotado en la figura.

Por lo tanto, en cada instante, el cuerpo central se mueve como si estuviera girando sobre el ICR situado en el centro de estas dos lneas.

Recordemos que el centro fijo est formado por el conjunto de posiciones instantneas en el marco de referencia fijo, mientras que el centroide movimiento consiste en el conjunto de ubicaciones como se describe en el sistema de referencia mvil del cuerpo central. El mecanismo se mueve como si el movimiento centro de rueda sin deslizarse en el centro fijo. La geometra del centro fijo se puede encontrar como sigue. Para cada orientacin posible del cuerpo central (denotado por ),

Las coordenadas x y de la CIR P es:

En consecuencia, el centro de movimiento traza un crculo.

Cambiemos un poco el tema de discusin y veamos algunos mecanismos que tengan tambin pares cinemticos superiores.

Veremos como un mecanismo que tiene pares cinemticos superiores puede ser remplazado por un mecanismo equivalente que contenga pares cinemticos inferiores (pares de revolucin y pares prismticos), claro que este remplazo es por un equivalente en forma instantnea y contiene la informacin de velocidad y aceleracin par una configuracin particular.

Como se observa en la figura, aprovechando la ubicacin de los centros de curvatura de las superficies en contacto podemos ubicar los centros de los pares cinemticos inferiores que se requeriran para remplazarlos con eslabones rigidos unidos por esos pares cinematicos inferiores.

Esta equivalencia es instantnea y solamente se mantendr siempre y cuando la ubicacin de los centros de curvatura de la superficies en contacto no cambie.

Entonces el mecanismo con el par cinemtico superior ha sido remplazado por el mecanismo de cuatro barras con pares cinemticos inferiores.

Otro Ejemplo:

Esto quiere decir que podemos analizar un mecanismo con pares cinemticos superiores por medio del anlisis de su mecanismo equivalente construido con pares inferiores, Recordando siempre que esta equivalencia es solamente de forma instantnea y correspondiente a la posicin y del centro instantneo de las curvaturas de las superficies que estn en contacto.

Modulo 2

ANALISIS DE MOVILIDAD Por medio del anlisis de movilidad podemos obtener los grados de libertad de un mecanismo.

Esto se lleva a cabo contando el nmero de eslabones y el nmero de pares cinemticos.

Para mecanismos planos, cada eslabn tiene 3 ( tres ) grados de libertad; Dos de Traslacin (correspondientes a las coordenada X y Y), y una de rotacin (sobre su eje Z)

Entonces podemos decir:

N = Nmero Total de Eslabones (incluyendo el eslabn fijo al marco de referencia)

Luego entonces:

El nmero de eslabones Mviles ser = ( N 1 )

Cuando ninguno de estos eslabones est conectado a algn par cinemtico el grado de libertad ser entonces:

GDL = 3( N 1 )

Dejemos que estos eslabones se conecten por medio de J pares cinemticos.

J = Numero de pares cinemticos inferiores (Pares R y Pares P)

Cada uno de ellos conectados a dos eslabones

Y hay que recordar que cada uno de estos pares cinemticos, restringir dos grados de libertad y solo permitir un solo grado de libertad.

As que si tenemos J Numero de pares cinemticos, el nmero de Grados de Libertad restringidos ser igual a:

2J GRADOS DE LIBERTAD RESTRINGIDOS

Por lo que nuestra formula quedara

GDL = 3( N 1 ) 2J

Supongamos que tenemos un mecanismo con un solo grado de libertad

GDL = 1 2J 3N + 4 = 0 CRITERIO DE GLUBLER

Que es la ecuacin de criterio de Grubler para un mecanismo de un solo grado de libertad, manejando esta ecuacin de Grubler, podemos asumir que cada eslabn est conectado a otro eslabn; pero haciendo una consideracin prctica, podemos pensar que mas de un eslabn puede estar conectado a otro eslabn en particular.

Ejemplo

Entonces un eslabonamiento que conecta a tres eslabones es equivalente a dos eslabonamientos simples, y tambin en un eslabonamiento (bisagra) compuesto que conecta a cuatro eslabones, equivaldra a tres eslabonamientos simples.

Esto nos modifica nuestra ecuacin cuando existen eslabonamientos SUPERIORES , por lo cual el nmero de pares cinemticos quedara:

J = J1 + 2J2 + 3J3 + 4J4 + ..+ iJi

Donde:

Ji = Numero de bisagras (eslabonamientos) compuestos , cada uno de ellos conecta a (i +1) Numero de eslabones

En el caso de que en un mecanismo tambin se tuviera un par cinemtico superior, entonces este solo restringira un solo grado de libertad, permitiendo con ello dos de los tres grados de libertad que puede tener un eslabn en un mecanismo plano.

Consecuentemente en cada par cinemtico superior solo se restringir un solo grado de libertad, y la ecuacin se modificara de la siguiente manera:

GDL = 3 (N 1) 2J h

Donde h = Numero de pares cinemticos SUPERIORES.

Algunas veces, se tienen GRADOS DE LIBERTAD REDUNTANTES

Que queremos decir con grado de libertad redundante?

En algn mecanismo particular, vamos a encontrar algn eslabn que tiene movimiento, pero que no transmite ningn movimiento a ningn otro eslabn eslabones. Este Grado de libertad ser referido como GRADO DE LIBERTAD REDUNDANTE

Ejemplo 1:

Los eslabones 2 y 4 no se pueden mover

Ejemplo 2:

La rotacin de los eslabones 2 y 4 deber ser idntica para que pueda suceder y se puede observar que no puede existir rotacin relativa entre los eslabones 2 y 3, y tambin en los eslabones 3 y 4.

Ejemplo 3:

Existe un grado de libertad redundante

Esto es porque el rodillo del seguidor puede girar sobre su eje sin transmitir ningn movimiento a los eslabones 2 y 4 (por esto se le llama REDUNDANTE).

Debido a que podemos encontrar Grados de libertad Redundantes, deberemos modificar nuestra formula de la forma siguiente:

= 3( 1) 2 Donde

Fr = Nmero total de Pares Cinemticos Redundantes.

Algunas veces se tendr que tener cuidado y se tendr que tener algunas consideraciones.

Segn la formula, este mecanismo acta como una estructura y no podra transmitir movimiento relativo; sin embargo, tiene un grado de libertad.

Qu es lo que falla?

Lo que pasa es que los pares (6 -1), (4 1) y (4 5) tienen la misma direccin y uno de estos pares prismticos acta como redundante, J entonces sera = 7

GDL = 15 14 = 1

Se puede ver que esto falla por que los tres pares cinemticos prismticos estn en la misma direccin, entonces J que fue contado como 8 es realmente 7 por que uno de los pares cinemticos prismticos es un par redundante.

GDL = 15 14 = 1

Por lo que deberemos modificar nuestra formula de la siguiente manera:

GDLefect= 3(N 1) 2(J Jr) h Fr

Dnde:

N = Nmero total de eslabones

J = Nmero total de pares cinemticos inferiores

Jr = Nmero total de pares inferiores redundantes

h = Nmero total de pares cinemticos superiores

Fr = Nmero total de Grados de Libertad Redundantes

Ahora es muy importante hacer algunas observaciones sobre la diferencia entre los pares cinemticos de revolucin y los pares cinemticos Prismticos y que consecuencias presentan esas diferencias en nuestra formula de anlisis de movilidad.

a).- Ambos restringen 2 grados de libertad en un mecanismo plano.

b).- Tambin ambos permiten 1 solo grado de libertad.

A la luz de esta diferencia entre pares cinemticos de revolucin y pares cinemticos prismticos modificaremos nuestra formula de anlisis de movilidad una vez mas, quedando de la siguiente manera:

. = 3( 1) 2( ) + Donde Pl = Numero de circuitos Cerrados formados por tres eslabones que tienen tres pares cinemticos Prismticos en diferentes direcciones.

Hay que tener cuidado porque existen casos especiales y que tendremos que analizar.

Ejemplo:

Si al mecanismo de cuatro barras que segn nuestra formula tiene un solo grado de libertad, le colocamos un eslabn ms paralelo al eslabn 3 y conectado con dos pares cinemticos de revolucin, veremos que segn nuestra formula de anlisis de movilidad este mecanismo actuara como una estructura, pero es evidente que si tiene un grado de libertad y esto es porque los eslabones 2 y 4 son paralelos como tambin los eslabones 3 , 5 y 1 son paralelos (Formando un paralelogramo); teniendo un solo grado de libertad.

En el caso que el eslabn se desviara de su posicin paralela, como lo indica la lnea punteada en la figura, entonces si actuara como una estructura y no podra transmitir movimiento relativo entre sus eslabones.

Esto es: Si existiera una diferencia de ngulo en alguno de sus miembros actuaria como una estructura.

De Hecho este eslabn adicional se utiliza comnmente para asegurar que se mantenga la funcin de paralelogramo y no se voltee y sea un anti paralelogramo.

Este sistema se utiliza para asegurar el movimiento en paralelogramo y que el mecanismo no entre en anti paralelogramo.

Como hemos visto, para mecanismos con dimensiones especiales, la frmula para el clculo de grados de libertad va a fallar, De hecho algunas veces cuando la formula muestra 0 (cero) grados de libertad, en realidad se tiene 1 (un) solo grado de libertad.

Para mecanismos con dimensiones especiales, cuando la frmula para calcular el grado de libertad falla, a esos eslabonamientos se les llama eslabonamientos sobre cerrados.

Como ejemplo de ese tipo de eslabonamientos sobre cerrados mostraremos el mecanismo representado con la figura a continuacin:

Al calcular los grados de libertad de este mecanismo con nuestra frmula para el anlisis de movilidad nos indica que acta como una estructura, pe al tener dimensiones especiales ya que como podemos observar sus eslabones forman tres (3) paralelogramos, estos son los formados por O2-3-1 A C G ; O6-7-1 FCE y O10-9-1 BCD podemos observar que nuestro mecanismo tiene un solo grado de libertad.

Este es otro ejemplo de un mecanismo con eslabonamientos sobre cerrados

SINTESIS DE NMERO

El siguiente tema se llama sntesis de nmero , durante esta etapa que llamamos sntesis de nmero podremos determinar el tipo y nmero de los diferentes tipos de eslabones y el nmero de pares cinemticos simples como pares de revolucin y pares prismticos que se necesitan para producir un eslabonamiento planar con un solo grado de libertad, es innecesario decir que todos los mecanismos con un solo grado de libertad van a satisfacer el criterio de Grubler el cual se discuti anteriormente; sin embargo, antes de adentrarnos en los detalles del tema de la sntesis de nmero, tendremos que probar ciertos resultados bsicos los cuales son de vital importancia para la sntesis de nmero,

La primera de estas dos preguntas es Cul es el mnimo nmero de eslabones binarios que el mecanismo debera tener?

As que determinaremos cual es el mnimo nmero de eslabones binarios que un mecanismo plano de un solo grado de libertad debe de tener.

Entonces:

N = Nmero total de eslabones en el mecanismo

N2 = Nmero Total de Eslabones binarios

N3 = Nmero Total de eslabones Ternarios

N4 = Nmero Total de eslabones Cuaternarios

.. Y as en adelante.

Por lo que tendremos

= 2 + 3 + 4 + . + Donde i denota el ms alto nmero de orden de eslabn que pueda estar presente en este mecanismo.

O sea, nuestra primera tarea es determinar el mnimo valor de N2

Para alcanzar este objetivo tendremos que analizarlo con la siguiente figura

En esta figura tenemos un eslabn que est conectado a otros dos eslabones a

travs de dos pares de revolucin los cuales son el par 1 y el par 2 los cuales

estn fomados por dos elementos cada uno ( el par 1 est formado por el perno

1- y el agujero 1+ ; el par 2 est formado por el perno 2- y el agujero 2+)

Entonces cada par de revolucin est formado por dos elementos.

Por lo que podemos contar el nmero total de ELEMENTOS, el cual ser igual a

= 2 Tambin bajo el punto de vista de los eslabones como en este caso, tenemos un

eslabn binario con dos elementos podemos contar entonces:

= 22 + 33 + 44 + + Entonces podemos contar el nmero total de elementos bajo dos diferentes

puntos de vista.

Si lo contamos bajo el punto de vista de los pares cinemticos el nmero total de

elementos ser = 2

y si lo contamos bajo el punto de vista de los eslabones, entonces ser:

= 22 + 33 + 44 + + Podemos igualar estas dos ecuaciones 2 = 22 + 33 + 44 + + y adems de que este mecanismo para ser de un solo grado de libertad debe

satisfacer el criterio de Glubler

GDL = 1 2J 3N + 4 = 0 CRITERIO DE GLUBLER

Donde J denota el nmero de pares cinemticos y N denota el nmero de eslabones.

Sustituyendo: (22 + 33 + 44 + . . +) 3(2 + 3 + 4 + . . +) + 4 = 0

Simplificando

Entonces el mnimo nmero de eslabones es:

2 = 4

Donde P denota el nmero de eslabones de orden mayor que puede ir desde 4 a i

Y cuando el nmero de eslabones de orden superior es cero, esto nos indica que el mecanismo ms simple con eslabones binarios es el de cuatro barras es decir con cuatro eslabones.

La siguiente pregunta que nos vamos a hacer es:

Cul es el eslabn de mayor orden que puede haber en un mecanismo con N nmero de eslabones

= 2 Esto quiere decir que

= /2 Si nosotros fijamos un eslabn, entonces se producir un mecanismo con un solo grado de libertad, y este mecanismo deber satisfacer el criterio de Glubler

Contando los eslabones

= + 2 + 2( 3) = 3 4 Debido a esto

= 2 = 3 2

Y sustituyendo en la formula del criterio de Glubler

2 3 + 4 = 2(3 2) 3(2) + 4 = 0

CRITERIO DE GLUBLER 2J 3N + 4 = 0 3 = 2 + 4 Con esta equacin nos damos cuenta que un mecanismo plano con un solo grado de liberad deber tener un numero N de eslabones numero PAR.

Por lo que el mecanismo mas simple es el de Cuatro barras , y el mecanismo siguiente tiene que tener 6 (seis) eslabones.

Luego entonces tratemos con un mecanismo que tenga 6 eslabones

= 6 Imax = N/2 = 3

El mas alto orden de eslabn entonces es un eslabn terciario

N = N2 + N3 = 6 Ecuacin (1)

Para N = 6 y satisfaciendo el criterio de Glubler

2J = 3N 4 = 3(6) - 4 = 14 Esto es: J = 7

Consigamos otra ecuacin por medio de contar el nmero de elementos

Numero de elementos e = 2J = 2N2 + 3N3 2N2 + 3N3 = 14 Ecuacin (2)

Resolviendo estas dos ecuaciones lineales tenernos que

N2 = 4 y N3 = 2

Mecanismo de watt

Podemos ver que en este mecanismo tanto los dos eslabones terciarios son equivalentes puesto que los dos estn conectados a dos eslabones binarios y tambin los dos estn conectados a un eslabn terciario y tambin los cuatro eslabones binarios son equivalentes puesto que por un lado los cuatro estn conectados a un eslabn terciario y por el otro a un eslabn binario.

Por medio de la inversin cinemtica podemos obtener dos tipos de mecanismo

Uno , fijando uno de los eslabones terciarios y el otro fijando uno de los eslabones binarios.

Fijando uno de los dos eslabones terciarios tendremos:

Nuestro siguiente caso de mecanismo ms complicado sera entonces un mecanismo de 8 eslabones ya que como lo hemos visto para cumplir con el CRITERIO DE GLUBLER tienen que tener un nmero par de eslabones.

En este mecanismo de 8 eslabones, el eslabn de orden ms alto sera entonces

N = 8 i max = N/2 = 4 Luego entonces

N = N2 + N3 + N4 = 8 ..ecuacin (1)

Tambin sabemos que el nmero de elementos e va a ser igual a: e = 2J = 3N 4 = 3(8) 4 = 20 satisfaciendo el criterio de Glubler

Contando el nmero de elementos desde el punto de vista de los eslabones, podemos escribir que

2N2 + 3N3 + 4N4 = 20 porque esto tambin es igual al numero de elementos

e = 2N2 + 3N3 + 4N4 = 20ecuacin(2) ahora podemos ver que tenemos tres incgnitas N2, N3, y N4, pero solo tenemos dos ecuaciones, por lo que tendramos un nmero infinito de soluciones, pensndolo un poco vemos que tenemos el mnimo nmero de eslabones binarios sigue siendo 4 y despus podra ser 5 y as seguir.

(N2)min = 4, 5, 6, .

y siempre sera un numero positivo y no hay ninguna posibilidad de que sea un numero negativo.

Por lo que nuestras ecuaciones

N2 + N3 + N4 = 8

2N2 + 3N3 + 4N4 = 20

N2 = 4

N3 + N4 = 8 N2 = 8 4 = 4

3N3 + 4N4 = 20 2N2 = 20 2(4) = 12

Esto nos da que si el valor de N4 es cero entonces N3 =4 y la primera combinacin de nuestro mecanismo seria

N2 = 4 y N3 = 4 N4 = 0

Esto es tenemos un mecanismo consistente en 4 eslabones binarios, cuatro eslabones terciarios y cero eslabones cuaternarios

Pero sigamos ahora con la combinacin de cinco eslabones binarios

N2 = 5 N3 + N4 = 8 5 = 3

3N3 + 4N4 = 20 2N2 = 20 2(5) = 10

Resolviendo estas ecuaciones tenemos

N2 = 5 N3 = 2 N4 = 1

Y nos podemos dar cuenta que haciendo inversiones cinemticas tendremos un gran nmero de diferentes mecanismos.

Rango de Movimiento y Rota habilidad En esta seccin estudiaremos el rango de movimiento que un eslabn puede efectuar en un particular mecanismo y que depende de las lneas de eslabonamientos, ms especficamente importante es la completa rota habilidad de un eslabn en particular, y porque esto es importante, porque en este eslabn podr ser conectado a un motor elctrico. Y este eje del motor electrico tendr un movimiento circular unidireccional.

O sea que el eslabn que est conectado a este motor, tendr que ser capaz de girar completamente y la presencia de los otros eslabones no debern de interferir en su rotacin.

Este aspecto de la completa rota habilidad y rango de movimiento de un eslabn esta ms estudiada en el mecanismo de cuatro barras y en esta condicin de rota habilidad la nocin ms importante es conocida como

EL CRITERIO DE GRASHOF

Comencemos con un mecanismo de cuatro barras que tiene cuatro pares cinemticos de revolucin.

Criterio de Grashof ( 4R 4 eslabones )

En este mecanismo de cuatro eslabones hay cuatro dimensiones principales que seran la longitud de los eslabones y que son las distancias entre los pares cinemticos

Digamos ahora L min. es el eslabn ms corto; L max. es el eslabn mas largo,

L y L son los eslabones restantes

El Criterio de GRASHOF

Dice:

L min. + L max. < L + L

La longitud de la suma del eslabn mas corto mas la longitud del eslabn mas largo es menor que la suma de las longitudes de los eslabones restantes.

Si la cadena satisface el Criterio de GRASHOF le podemos llamar un cadena GRASHOF

En Cadena Cinemtica GRASHOF el Eslabn ms pequeo Siempre podr dar una rotacin completa con respecto a todos los dems eslabones, mientras que los otros tres eslabones solo podrn oscilar con respecto al otro y la cantidad de esta oscilacin ser siempre menor a 180 y el seguidor nunca podr cruzar la lnea formada por el eslabn que sea el marco (eslabn fijo).

En un eslabonamiento GRASHOF se obtendrn dos mecanismos de manivela seguidor si el eslabn ms corto (que es la manivela) es el eslabn adyacente al eslabn que constituye el marco o eslabn fijo.

1.-Esto significa que el eslabn ms corto tiene dos eslabones adyacentes y si hacemos alguno de estos el eslabn fijo ( el marco del mecanismo ) entonces este eslabn ms corto podr dar revoluciones completas con respecto a los dems eslabones, esto significa tambin con respecto al marco del mecanismo.

Por lo que los otros sern seguidores y solo podrn oscilar con respecto al marco del mecanismo.

2.-Si hacemos una inversin cinemtica de una cadena Grashof obtendremos un mecanismo doble seguidor, esto es, hacemos que el eslabn ms corto sea el eslabn acoplador , el acoplador se somete a una rotacin completa, pero los eslabones conectados directamente al marco (eslabn fijo) solo podrn oscilar y por ello se obtienen dos seguidores.

3.- Con otra inversin Cinemtica y si hacemos el eslabn ms corto el eslabn fijo ( es decir lo hacemos el marco ) obtenemos un mecanismo de doble manivela por que los otros tres eslabones podrn rotar completamente respecto al eslabn ms corto porque si el eslabn ms corto puede dar una rotacin completa con respecto a los otros tres, entonces los otros tres eslabones podrn rotar completamente con respecto al eslabn ms corto; incluso el acoplador podr rotar completamente con respecto al eslabn fijo.

Debido a lo anterior la posicin del eslabn ms corto definir las caractersticas de la cadena cinemtica y podremos obtener un mecanismo manivela seguidor, doble manivela doble seguidor.

En una cadena que nos satisfaga el criterio de GRASHOF

Ser lo siguiente: CADENA CINEMATICA NO GRASHOF

L min. + L max. > L + L

Donde L min. es el eslabn ms corto; L max. es el eslabn ms largo, y L y L son los eslabones restantes

En esta tipo de cadena, sin importar la inversin cinemtica que se haga, todos los eslabones solo podrn oscilar con respecto algn otro.

En un mecanismo de cuatro barras NO GRASHOF:

1.- Las cuatro inversiones sern mecanismos doble seguidor.

2.- Sin embargo las oscilaciones podrn ser mayores a 180

3.- Los seguidores podrn cruzar la lnea formada por el eslabn fijo (el marco)

4.-Existe un modo de ensamble, y En una cadena que sea NO GRASHOF se podr conducir el mecanismo a su imagen espejo.

Esto es:

En un mecanismo no Grashof, no puede existir una manivela por lo que no se podr conectar un motor y la posicin del eslabn ms largo con respecto al marco (eslabn fijo) decidir las caractersticas del movimiento de los seguidores , ambos hacia dentro, ambos hacia afuera o uno hacia adentro y el otro hacia afuera.

Anteriormente se haba mencionado que existen dos tipos de problemas en Cinemtica de los mecanismos, estos son de Anlisis Cinemtico y los de Sntesis Cinemtico

En esta seccin vamos a estudiar el tpico de anlisis cinemtico el cual lo podemos dividir en:

a).- Anlisis de Desplazamiento

b).- Anlisis de Velocidad

c).- Anlisis de Aceleracin

Y para efectuar estos diferentes anlisis podremos utilizar tanto un mtodo Analtico como tambin se pueden efectuar con un mtodo Grfico.

Comenzaremos Discutiendo el mtodo Grfico y empezaremos tratando el tema de Anlisis de Desplazamiento.

Tratemos de definir que queremos decir con anlisis de Desplazamiento.

DADAS LAS DIMENSIONES CINEMTICAS DE UN MECANISMO Y LA POSICIN O MOVIMIENTO DEL ESLABN DE ENTRADA, ENTONCES DEBEREMOS SER CAPACES DE DETERMINAR LA POSICION O MOVIMIENTO DE LOS ESLABONES RESTANTES.

En el mtodo grfico, primero dibujaremos el diagrama cinemtico a una escala razonable y las cantidades o dimensiones desconocidas que se desean saber son determinadas a travs de una construccin geomtrica adecuada y sus clculos.

Demostraremos este mtodo grafico a travs de una serie de ejemplos.

Pero antes de comenzar tendremos que establecer algunos puntos importantes que deberemos de recordar y tener en cuenta para llevar a cabo este mtodo Grfico de anlisis de desplazamiento:

Primero.- La configuracin del movimiento plano de un cuerpo rgido puede ser definido completamente por la localizacin de dos de sus puntos, cualesquiera que sean estos; esto quiere decir que conociendo la localizacin de dos puntos arbitrariamente (cualesquiera que sean estos) entonces conoceremos la localizacin de todos los dems puntos de ese cuerpo rgido.

Segundo.- Como veremos al resolver los ejemplos, Se utilizara el dibujar un par de crculos que se intersectan o una lnea que se intersecta con un circulo, y estos puntos nos sern tiles para nuestro propsito de anlisis cinemtico.

Tercero.- Se utilizara un papel de trazado como superposicin que puede ser utilizado eficientemente para el anlisis de posicin, especialmente para mecanismos con eslabones de orden superior.

Cuarto.- Debemos de saber que el mtodo grfico de desplazamiento no podremos utilizarlo a menos que existan el nmero adecuado de circuitos cerrados de cuatro eslabones en el mecanismo en particular.

Empecemos con el primer ejemplo, que es un mecanismo de palanca con ranura, de regreso rpido que es comnmente utilizado en los cepillos de maquinado.

Grficamente podemos encontrar la longitud de la carrera y tambin podemos saber la relacin de retorno rpido del mecanismo, el cual estar determinado por el Angulo de avance en el eslabn con movimiento circular uniforme (w) con respecto al Angulo de retorno en el movimiento de ese mismo eslabn.

ANALISIS DE DESPLAZAMIENTO

Posicin La posicin de un punto en el plano puede definirse por medio de un vector de posicin, como se muestra en la figura. La eleccin de ejes de referencia es arbitraria y se elige de conformidad con el observador. La figura a muestra un punto en el plano definido en un sistema global de coordenadas y la figura b muestra el mismo punto definido en un sistema local de coordenadas, con su origen coincidente con el sistema global. Un vector bidimensional tiene dos atributos, los cuales pueden expresarse en coordenadas polares o cartesianas.

La forma polar proporciona la magnitud y el ngulo del vector. La forma cartesiana proporciona las componentes X y Y del vector. Cada forma es directamente convertible en la otra mediante el teorema de Pitgoras:

= + Y trigonometra:

= (

) Estas ecuaciones estn expresadas en coordenadas globales, pero podran estar expresadas en coordenadas locales. Transformacin de coordenadas Con frecuencia se requiere transformar las coordenadas de un punto definido en un sistema en coordenadas de otro punto. Si los orgenes de los sistemas coinciden como se muestra en la figura b y la transformacin requerida es una rotacin, se puede expresar en funcin de las coordenadas originales y el ngulo d entre los sistemas de coordenadas. Si la posicin del punto A en la figura b se expresa en el sistema local xy como Rx, Ry y se desea transformar sus coordenadas a RX, RY en el sistema global XY, las ecuaciones son:

= = +

Teoremas Teorema de Euler: El desplazamiento general de un cuerpo rgido con un punto fijo es rotacin alrededor del mismo eje. Esto se aplica a rotacin pura Chasles (1793-1880) proporcion un corolario al teorema de Euler ahora conocido como: Teorema de Chasles: Cualquier desplazamiento de un cuerpo rgido equivale a la suma de una traslacin de cualquier punto situado en l ms una rotacin alrededor de un eje que pasa por ese punto. Esto describe el movimiento complejo ANLISIS GRFICO DE LA POSICIN DE MECANISMOS ARTICULADOS Para cualquier mecanismo con un GDL, tal como uno de cuatro barras, se requiere slo un parmetro para definir por completo las posiciones de todos los eslabones. El parmetro usualmente elegido es el ngulo de eslabn de entrada. ste se muestra como 2 en la figura. Se quieren hallar 3 y 4, y se conocen las longitudes de los eslabones. Observe que en estos ejemplos siempre se numera el eslabn de bancada como 1 y el motriz como 2. El anlisis grfico de este problema es trivial y puede realizarse slo con geometra de alta escuela. Si se dibuja el mecanismo de manera cuidadosa a escala, con una regla, comps y transportador en una posicin particular (dado 2), entonces slo es necesario medir los ngulos de los eslabones 3 y 4 con el transportador. Obsrvese que todos los ngulos de los eslabones se miden con respecto a un eje X positivo. En la fi gura 4-4, se cre una sistema de ejes xy local, paralelo al sistema XY global, en el punto A para medir 3. La precisin de esta solucin grfica se ver limitada por el cuidado y habilidad para dibujar y por las limitaciones del transportador. No obstante, se puede hallar una solucin aproximada muy rpida para cualquier posicin.

Esta figura muestra la construccin de la solucin grfica de posicin. Se dan las cuatro longitudes de los eslabones a, b, c, d y el ngulo 2 del eslabn de entrada. Primero, se dibuja la bancada (1) y el eslabn de entrada (2) a una escala conveniente, de modo que se corten en el origen O2 del sistema de coordenadas XY global con el eslabn 2 colocado en el ngulo de entrada 2. Por conveniencia, el eslabn 1 se dibuja a lo largo del eje X. El comps se abre a la longitud a escala del eslabn 3 y se traza un arco de ese radio en torno al extremo del eslabn 2 (punto A). Luego se abre el comps a la longitud a escala del eslabn 4 y se traza un segundo arco en torno al extremo del eslabn 1 (punto O4). Estos dos arcos tendrn dos intersecciones en B y B que definen las dos soluciones al problema de posicin de un mecanismo de cuatro barras, el cual puede ensamblarse en dos configuraciones llamadas circuitos, designados como abierto y cruzado en la figura. Los circuitos en mecanismos sern analizados en una seccin posterior. Los ngulos de los eslabones 3 y 4 se miden con un transportador. Un circuito tiene los ngulos 3 y 4, el otro 3' y 4'. Una solucin grfica slo es vlida para el valor particular del ngulo de entrada utilizado. Para cada anlisis de posicin adicional habr que volver a dibujar por completo.

Esto puede llegar a ser tedioso si se requiere un anlisis completo con cada incremento de 1 o 2 grados de 2. En ese caso convendr derivar una solucin analtica para 3 y 4, la cual puede resolverse por computadora. ANLISIS ALGEBRAICO DE POSICIN DE MECANISMOS El mismo procedimiento utilizado en la fi gura 4-5 para resolver geomtricamente las intersecciones B y B y los ngulos de los eslabones 3 y 4 puede codificarse en un algoritmo algebraico. Las coordenadas del punto A se encuentran con:

= 2

= 2 Las coordenadas del punto B se encuentran con las ecuaciones de los crculos en torno a A y O4.

= ( ) + ( )..(i)

= ( ) + ..(ii) las cuales constituyen un par de ecuaciones simultneas en Bx y By. Si se resta la ecuacin (ii) de la (i) se obtiene una expresin para Bx.

= () ()() = ()() (iii)

Note que:

= + 2( ) Si se sustituye la ecuacin (iii) en la (ii), se obtiene una ecuacin cuadrtica en By, la cual tiene dos soluciones correspondientes a las de la figura inmediata anterior.

+ (

) = 0 sta se resuelve con la expresin conocida para las races de una expresin cuadrtica.

= 42 Donde:

= () + 1 ; = ()

= ( ) ; = ()

Observe que las soluciones de esta ecuacin pueden ser reales o imaginarias. Si resultan imaginarias, ello indica que los eslabones no se pueden conectar con el ngulo de entrada dado o con todos los dems. Una vez que se encuentran los dos valores de By (si son reales), pueden sustituirse en la ecuacin (iii) para encontrar su componentes x correspondientes. Los ngulos de los eslabones para esta posicin se determinan entonces con

= ( )

= ( ) Se debe utilizar una funcin de arco tangente de dos argumentos para resolver las ecuaciones puesto que los ngulos pueden estar en cualquier cuadrante. Estas ecuaciones antes mostradas se pueden codificar en cualquier lenguaje de computadora o solucionador de ecuaciones y el valor de q2 puede variar dentro del rango utilizable del mecanismo para encontrar todos los valores correspondientes de los otros dos ngulos de eslabn. Mtodo de Lazos cerrados para el anlisis de posicin Analtico

En esta seccin se discutir el Mtodo Analtico para el anlisis de desplazamiento llamado de cadenas cerradas o mtodo de lazos cerrados.

Cundo utilizar el mtodo Grfico y cuando utilizar el mtodo analtico?

Es evidente que el mtodo grafico tiene limitaciones de precisin principalmente aunque con las nuevas herramientas computarizadas como el AutoCad , el SolidWorks, el NX Unigrafics y el Catia se tiene una precisin muy buena; por lo que utilizaremos el mtodo analtico cuando se requiera mayor exactitud cuando por el nmero muy grande de configuraciones, el uso de los diagramas y dibujos se haga demasiado incmodo; y otra ventaja de este mtodo analtico, es que es compatible con mtodos por computadora.

Antes de entrar de lleno del mtodo analtico del anlisis de desplazamiento y resolver algunos ejemplos, mostrando los alcances del mtodo analtico, vayamos a travs de la metodologa que es seguida en el mtodo analtico.

Como todos conocemos, los mecanismos consisten en cadenas cinemticas cerradas de eslabones (Loops); As que, lo primero en realizar es identificar todos

estos circuitos cinemticos cerrados independientes, que existen en el mecanismo.

Despus se expresaran todas las dimensiones cinemticas como longitud de eslabones, offsets y desplazamientos en correderas como vectores en el plano.

El tercer paso es expresar para cada encadenamiento cerrado lo que llamamos ecuacin cerrada en trminos de los vectores antes mencionados.

Cada uno de esos vectores en el plano ( 2D ) que es una vinculacin planar, y es equivalente a dos ecuaciones escalares; esto significa, que si hay una ecuacin vectorial, que es equivalente a dos ecuaciones escalares y dos cantidades desconocidas se pueden resolver.

Una vez que se han generado todas las ecuaciones utilizando todos los encadenamientos cerrados y tambin una ves que sea hayan resuelto estas ecuaciones para determinar las cantidades desconocidas que son relevantes para el problema en particular, uno tiene que recordar que en general, estas ecuaciones no son ecuaciones lineales algebraicas y podrn ser resueltas numricamente, sin embargo en algunos casos simples como los mecanismos de cuatro barras y si hay un encadenamiento cerrado, podremos mostrar que estas ecuaciones algebraicas no lineales, se pueden reducir a ecuaciones cuadrticas que podrn ser resueltas analticamente.

Metodologa Bsica

1- Identificar todos los circuitos cinemticos cerrados independientes que existen en el mecanismo.

2- Expresar las dimensiones cinemticas ( como longitud de eslabones y offsets) y desplazamiento en correderas por vectores planres.

3- Expresar para cada encadenamiento cerrado las ecuaciones con estos vectores

4- Establecer las ecuaciones vectoriales para determinar cada uno de los encadenamientos cerrados

5- Cada una de estas ecuaciones vectoriales sern equivalentes a dos ecuaciones escalares con sus dos cantidades desconocidas

6- Reducir el sistema de ecuaciones algebraicas no lineales a ecuaciones cuadrticas y resolverlas.

Ejemplo 1 Dadas las dimensiones de los eslabones de un mecanismo de 4 barras 4R, determine las orientaciones del eslabn acoplador y del eslabn de salida (Seguidor), cuando la orientacin del eslabn de entrada (manivela) es prescrita.

Este es un problema de Anlisis de desplazamiento.

Se darn primero todas las dimensiones cinemticas relevantes y tambin la posicin del eslabn de entrada (Manivela) y la tarea es determinar la posicin de todos los otros eslabones mviles para la configuracin en particular.

El siguiente diagrama muestra un mecanismo de cuatro barras (4R) O2ABO4,

La posicin del eslabn 2 esta determinada por el ngulo 2 y nuestro objetivo es determinar la posicin del eslabn acoplador y del cuarto eslabn (que es el eslabn O4B que es el eslabn seguidor).

Para hacer esto primero tenemos que establecer un sistema de ejes cartesianos x-y con su origen en el punto O2; la primera tarea, como se mencion, es identificar el encadenamiento cerrado nombrado O2ABO4O2, entonces las longitudes L1,L2, L3, L4 son representadas por cuatro vectores llamados L1, L2, L3, L4, y estos estn representados por las flechas en la figura

L1 L2 L3 L4

Ahora los ngulos que forman estos vectores con nuestro eje X, que utilizamos como sistema de referencia para determinar la orientacin de estos vectores, que

seran 2, 3 y 4 ; el ngulo 1 que es el ngulo formado por O2O4 que es el vector L1 con el eje X es = 0

Podemos expresar esta ecuacin de encadenamiento cerrado simplemente como:

L1 + L2 + L3 - L4 = 0

Para analizar esta ecuacin, escribiremos el vector L2 en trminos de notacin exponencial compleja

2 = 2 3 = 3 4 = 4 Como 1 es Cero entonces 1 = 1 lo que quedara 1 = 1 1 As que sustituyendo en la ecuacin nos quedara:

1 + 2 +3 -4 = 0 Sabemos que es igual a + Sen = + Sen Entonces sustituiremos todos estos en trminos de + Sen Igualando a CERO las partes real e imaginaria de esta ecuacin compleja, pero de forma por separado.

Esto no es ms que igualar las componentes X a CERO y las componentes Y a CERO puesto que es un encadenamiento cinemtico cerrado.

Y como resultado, nosotros obtenemos

1 + 22 + 33 44 = 0(I) Aadiendo la parte imaginaria o sea los componentes Seno, obtendremos:

22 + 33 44 = 0(II) Esto es, estamos obteniendo dos ecuaciones dimensionales por cada vector; estamos obteniendo dos ecuaciones escalares por cada vector, o sea que estamos obteniendo dos ecuaciones escalares por cada ecuacin vectorial.

UNA DE LAS ECUACIONES QUE IGUALAMOS A CERO ES LA SUMA DE LAS X QUE SON LA PARTE REAL DEL VECTOR Y LA OTRA ECUACION ES LA SUMA DE LAS Y QUE SON LA PARTE IMAGINARIA Y AMBAS SON IGUAL A CERO POR SER UN CIRCUITO CERRADO.

Si los vectores son dos dimensiones, de estas dos ecuaciones podemos eliminar

uno de los datos desconocidos; Digamos, 4 para resolver 3 o podemos eliminar 3 para resolver 4, si 1, 2, 3 4 son cantidades dadas y el ngulo del eslabn de entrada 2, es especificado. Llevemos a cabo las operaciones algebraicas para determinar; digamos, 4 Para determinar 4 nosotros escribimos 33 = 44 22 ..(III) Y de la primera ecuacin escribimos

33 = 44 (1 + 22) .(IV) De estas dos ecuaciones;

Si nosotros elevamos al cuadrado y sumamos; obviamente del lado izquierdo

obtenemos 3 al cuadrado 3 = 4 + 1 + 2 2(24)42

2(24)(1 + 22) 2(122) Llevando a cabo las operaciones algebraicas

3 = 1 + 2 + 4 + 2122 22442 2(1 + 22)44

Si dividimos ambos trminos de la ecuacin por 2( 24) Obtendremos una ecuacin simple:

4 + 4 = (V)

Donde a y b estand dados por:

= 2 ; = 12 + 2

= + + (2) +

Como se puede ver , Si 2 es una dimensin conocida y todas las dems dimensiones son dadas, estas cantidades a, b , y c son totalmente conocidas y la nica desconocida es 4 que tendr que resolverse; pero como podemos ver esta no es una ecuacin lineal en lo que a 4 se refiere, ya que involucra funciones Seno y Coseno.

Para resolver este ngulo 4 de una forma no ambigua porque ya que tendremos que juzgar despus de saber el valor del ngulo, en que cuadrante recae el ngulo, siempre es mejor remplazar Seno y Coseno por Tangente de los correspondientes medios ngulos, lo que significa que escribiremos:

4 = 2( )1 + 4

4 = 1 1 +

Sustituyendo esto en la ecuacin (V)

Obtenemos una ecuacin cuadrtica en Tan(

) como sigue: ( + ) 42 2Tan 42 + ( ) = 0

Finalmente obtuvimos una ecuacin cuadrtica en trminos de Tan donde

a, b, y c, son cantidades conocidas en trminos de las longitudes de los eslabones

y del ngulo de entrada dado 2 y aqu es donde la tangente de (42 ) nos es til, por que obtuvimos una ecuacin cuadrtica y dos races Tan 42 = + + o sea que obtenemos 2 races donde el lado derecho de la ecuacin podr ser negativo o positivo y por supuesto no podr ser un valor imaginario una ves que el diagrama del mecanismo este bien; esto es, que el mecanismo de cuatro barras y cuatro pares cinemticos de revolucin se haya hecho y una cadena cinemtica cerrada se haya obtenido.

Los valores de a, b, c van a ser aquellos en los que esta raz cuadrada nunca ser negativa , por lo que se obtendr o dos valores negativos, o dos valores positivos , o un valor positivo y el otro negativo.

Ahora sabemos que si 4 esta entre 0 y 180 entonces Tan esta entre 0 y

90 y la tangente ser positiva y si 4 es mayor a 180 entonces Tan

caera en ms de 90 por lo que la tangente de 4 ser negativa, as dependiendo del valor de la tangente del ngulo podremos determinar en forma nica el valor del ngulo 4 Supongamos que tambin estamos interesados en determinar el ngulo 3 del eslabn que llamamos ACOPLADOR, que en nuestro mecanismo de la figura esta determinado por la longitud L3

Si nos fijamos en las ecuaciones (III) y (IV) vemos que L3 y L4 aparecen de la misma manera pero en diferente lado; L3 est apareciendo en el lado Izquierdo y L4 aparece en el lado derecho.

Es mucho ms claro si observamos las ecuaciones (I) y (II) donde L3 y L4 aparecen exactamente en forma similar, lo nico es que una es Positiva la otra negativa; as que, cuando eliminamos 4 y deseamos obtener 3 siguiendo el mismo procedimiento podemos eliminar 4 y obtenemos 3 Tenemos que recordar que L4 ha sido sustituido por (-L3), El resto de la solucin se mantiene como es.

As que siguiendo exactamente el mismo mtodo para eliminar 4, podemos obtener 3 , una ecuacin muy similar que se obtendr:

Tan 32 = + + Observece que el valor de a y de b no involucran L3 ni L4 por lo que permanecern igual; sin embargo c si involucra L3 y L4, por lo que se tendr que remplazar c por c

En el caso de c se substituira por el valor c y su valor estar dado por:

= + + (2) +

Como se puede observar en esta solucin por el mtodo grafico los angulos 3 y 4 tendrn dos valores confirmando los dos valores de la solucin analtica.

Anlisis de Posicin - Ejemplo 2

Analicemos el siguiente Mecanismo, que es un mecanismo de pantgrafo, nos va a reproducir el movimiento del punto B en el punto D con diferente escala y diferente direccin.

Podemos ver que:

O2 A = BC AB = O2 C

Y que los dos tringulos ABD es similar al triangulo BCE porque sus ngulos interiores son iguales.

Los movimientos del punto D sern copiados por el punto E; los nicos cambios solamente sern el tamao y la orientacin de la figura.

Nuestra tarea ser :

Dado la longitud de los eslabones, deberemos encontrar la escala de la

reproducion

= ? y cul es el ngulo de la nueva orientacin.d

Podemos escribir:

= + Similarmente = +

Podemos ver que el vector = porque se trata de un paralelogramo Y podremos escribir

= +

=

+

Como son Triangulos similares es fcil ver que la reacin

=

Por lo que consecuentemente

=

( + )

Y ( + ) no es ms que nuestro vector X

=

() Vemos entonces que el vector Y y el Vector X cambian con respecto al tiempo, pero las longitudes AB y AD no cambian con respecto al tiempo; como tambin el angulo no cambia con respecto al tiempo

Por lo que

= .

=

() Donde dY representa el movimiento del Vector Y y dX representa el movimiento del vector X

El movimiento va a ser magnificado por el Factor

=

que es la

escala de reproduccin y el cambio de orientacin que es d=

Anlisis de Velocidad En la parte anterior de estos apuntes se discuti sobre el primer paso del anlisis cinemtico, con el nombre de anlisis de posicin; Ahora, estudiaremos el segundo paso para el anlisis cinemtico, el cual nombraremos como anlisis de Velocidad.

Por anlisis de velocidad queremos decir que para un mecanismo dado, con una determinada configuracin, si se han especificado la velocidad de entrada de alguno de sus eslabones, deberemos de ser capaces de determinar las caractersticas de velocidad de sus dems eslabones o componentes del mismo mecanismo.

Esto es, por anlisis de Velocidad determinaremos las caractersticas de Velocidad (Angular o Lineal), de todos los eslabones de un mecanismo, con una configuracin dada, cuando la velocidad de entrada se haya especificada.

Y estamos hablando de Anlisis de Velocidad de cuerpos rgidos interconectados en movimiento plano.

Pero antes de entrar de lleno en el anlisis de Velocidad de cuerpos rgidos interconectados, recapitulemos un poco sobre los conceptos bsicos de la cinemtica y movimiento de un solo cuerpo rgido que est en movimiento plano.

En movimiento Plano el movimiento angular de un cuerpo rgido es igual que el movimiento de una lnea en ese cuerpo rgido durante ese plano de movimiento.

Los vectores de la velocidad angular () y de la aceleracin angular () del cuerpo rgido, son siempre perpendiculares al plano de movimiento.

Porque en los cuerpos rgidos en movimiento plano, todas las cantidades angulares van a ser representadas por vectores los cuales son perpendiculares a ese plano de movimiento.

Tambin tenemos que recordar que un movimiento plano (en general), consiste en la traslacin del cuerpo rgido ms la rotacin del mismo cuerpo rgido.

En un mecanismo, un eslabn particular, podra ir en movimiento rotacional puro y otro podra moverse en movimiento de traslacin puro; pero podra haber otros que mantuvieran un movimiento rotacional y traslacional simultneamente.

Para definir Movimiento de traslacin podremos decir que si un cuerpo tiene traslacin pura, todas sus partculas o puntos que conforman ese cuerpo rgido tendrn movimiento idntico (Paralelo).

La diferencia entre el movimiento de dos partculas o dos puntos es enteramente debida a su rotacin.

Entonces traslacin significa movimiento idntico de los puntos de un cuerpo y diferencia en el movimiento de varios puntos significa movimiento rotacional.

Explicando estos puntos con la figura anterior, se tiene un cuerpo rgido en la

posicin No.1 a un tiempo t , despus de un intervalo de tiempo t en la posicin No. 2 , tendremos t + t, consideremos dos puntos en ese cuerpo rgido los cuales son B y C los cuales sern en la configuracin 1 sern B1 y C1 y en la configuracin 2, sern B1 y C2.

El plano de movimiento es el plano X y Y es movimiento esta representado por el plano de la hoja de papel ; X y Y es el plano de movimiento, as que todas las cantidades angulares como la velocidad angular y la aceleracin angular de este cuerpo rgido sern entonces perpendiculares al plano de movimiento X, Y. y ser denotado por el Eje Z. con el vector unitario K.

Como se dijo anteriormente el movimiento angular del cuerpo rgido ser igual al movimiento de una lnea en este cuerpo rgido; Ejemplo, la lnea B1 C1 y lo que

vemos es que la lnea B1 C1 llegara a la posicin B2 C2 , es decir el cuerpo rgido se trasladara y rotara a la posicin B2 C2.

Si dibujamos la lnea BC, esta se trasladara a B2 C y despus rotaria a B2 C2

despus de t + t As que podemos considerar este movimiento general en dos diferentes movimientos, uno de traslacin, donde todos los puntos del cuerpo rgido tienen movimiento idntico (de posicin 1 a posicin 1) y un segundo movimiento que es un movimiento rotacional , donde el cuerpo rgido se mueve de 1 a 2 donde B2 no se mueve y las dems partculas del cuerpo rgido se mueven en rotacin la

cantidad . As que el vector de velocidad angular del cuerpo rgido estar definido como

= lim

Y la direccin del vector ser a lo largo de la direccin del eje Z y se podr escribir como e Vector K

Asi que la velocidad angular ser que es la derivada de con respecto al tiempo

=

En la direccin de K

Similarmente la aceleracin angular puede ser descrita como que es la segunda derivada de con respecto al tiempo

= As es que queremos decir que este es el movimiento del cuerpo rgido con el

vector de velocidad angular y el vector de aceleracin , ambos perpendiculares al plano de movimiento X Y.

Ahora como ya vimos, durante el movimiento de traslacin no hay diferencia en el movimiento de varios puntos del cuerpo rgido como los puntos B y C bajo un movimiento de traslacin pura , la diferencia del movimiento entre B y C, es debida enteramente al movimiento de rotacin por el vector de velocidad angular

El valor positivo del vector K denota un movimiento en contra de las manecillas del reloj.

La diferencia de velocidad entre los puntos B y C la podemos escribir como la diferencia de velocidades

= = Esta es una formula bsica que se estar utilizando constantemente en los anlisis de velocidad, esto es , si consideramos dos puntos de un mismo cuerpo rgido, la diferencia de velocidad entre esos dos puntos debida a una velocidad

angular estar dada por esta ecuacin Ahora consideremos la diferencia de aceleracin entre los puntos B y C, como ya lo notaron , con respecto a el punto B .C tiene una trayectoria circular y como la distancia BC nunca cambia C ira en un circulo teniendo como centro a B y

su velocidad angular ser y su aceleracin angular ser

Por lo que podremos escribir

= = ( ) aCB es la diferencia de las aceleraciones entre el punto B y el punto C del mismo cuerpo rgido. Y esta ser igual a aceleracin centrpeta

y si , Existe una aceleracin centrpeta dada por ( ) Hay una componente tangencial la cual va a lo largo del vector t1 y esta dada por

= + As que obtuvimos la diferencia entre dos puntos

= = En este momento debemos saber que si conocemos la velocidad de cualquier

punto , llammosle velocidad de B que es un vector de dos componentes y el vector que es la velocidad del cuerpo rgido, Entonces podemos determinar la velocidad de cualquier otro punto del cuerpo rgido (nombremos le C) utilizando estas ecuaciones.

= +

Se debe considerar que solo puede haber tres datos desconocidos

independientes, los cuales son los de las dos componentes del vector y el de , entonces las velocidades de todos los dems puntos del mismo cuerpo rgido podrn ser determinadas por esta ecuacin,

Similarmente si conocemos la aceleracin de un punto particular que tiene dos

componentes desconocidas y su velocidad angular , y tambin la aceleracin angular Entonces la aceleracin de cualquier punto C podr ser determinada utilizando las ecuaciones

= + ( ) Esta informacin es muy til para el anlisis de velocidad y aceleracin de los mecanismos.

Centros instantneos de Velocidad (CI) Para un cuerpo rgido con movimiento Plano, existe un punto en el cuerpo rgido y en el plano de movimiento que su velocidad instantnea es CERO.

Y este punto es llamado Centro instantneo de velocidad (CI)

Se debe mencionar que este centro instantneo de velocidad, puede quedar ubicado fuera de las fronteras de la forma fsica del cuerpo rgido en cuestin, pero siempre estar en el plano de movimiento del cuerpo rgido.

Si el cuerpo rgido est sometido solamente a movimiento puro de traslacin, entonces no habr puntos con VELOCIDAD CERO; en ese caso podremos decir

que el centro instantneo de velocidad se encuentra a una distancia Infinita () en direccin perpendicular a la direccin del movimiento de traslacin, igual como en un par cinemtico prismtico, consideraremos un par de revolucin a una

distancia infinita (), en direccin perpendicular a la corredera. Mostremos que ese punto, llamado Centro instantneo de Velocidad existe; para probar la existencia del centro instantneo de Velocidad, para un cuerpo rgido en movimiento plano, consideremos la siguiente figura.

Consideramos dos puntos A y B ; y cuyas velocidades estn dadas por VA y VB

Ya hemos visto anteriormente que si la velocidad lineal VA y la velocidad angular

son conocidas, entonces VB esta completamente determinada. Eso significa que ambas velocidades AV y VB teniendo sus cuatro Componentes no pueden ser independientes.

Ahora, dibujaremos una lnea perpendicular al Vector VA (que seria AI) y tambin otra lnea perpendicular al Vector VB (que seria BI) y estas dos lneas particuares se intersectan en el Punto I.

Mostraremos entonces que la velocidad del punto I del cuerpo rgido con esta configuracin debe ser CERO.

Y a este punto se le llama Centro instantneo de Velocidad

Para mostrar que VI = 0 , consideremos la componente de la velocidad VA sobre la direccin AB la cual es y la componente de la velocidad VB en la direccin AB

ser igual a Como la distancia AB nunca cambia (por ser un cuerpo rgido) esto significa que las velocidades de estas dos componentes sobre la lnea AB, deben de ser iguales; esto es, la componente de la velocidad sobre la lnea AB, debe ser igual a la componente de la velocidad sobre la misma lnea AB, porque la distancia AB nunca cambia.

Por lo que podemos escribir

= Ahora, si consideramos el Tringulo ABI y porque AI es perpendicular a y BI es perpendicular a , podemos ver que dos de sus ngulos interiores sern igual a

y a

Y considerando el Tringulo AIB, podemos utilizar la ley de los senos podemos escribir

=

;

=

=

De la ecuacin inicial

= Obtenemos:

=

y de la geometra podemos escribir

=

Y a partir de ello, podemos fcilmente escribir

=

= Y a esta relacin le podemos llamar que es la velocidad angular del cuerpo rgido y por lo tanto = y = y los vectores y por construccin son perpendiculares a IA y IB respectivamente; lo cual significa, que el punto I es el centro de rotacin.

En este instante el cuerpo rgido est girando sobre ese punto I con velocidad angular .

De hecho, se puede probar que la velocidad del punto I es Cero, considerando la Velocidad del punto I en dos diferentes direcciones, llamadas estas direcciones como IA y IB; para encontrar la velocidad del punto I a lo largo de IA, analizaremos desde el punto A, y la velocidad del punto A a lo largo de VA , ser igual a la componente de VA a lo largo de IA, esta componente de velocidad del punto A a lo largo de la lnea IA es CERO porque el ngulo formado entre el vector de velocidad y la lnea AI es de 90 y la componente ser igual al vector

multiplicado por el coseno de ese ngulo; como I y A son puntos del mismo cuerpo rgido; entonces , la velocidad del punto I a lo largo de IA tambin es CERO.

Y haciendo el mismo anlisis, pero ahora desde el punto B, en la direccin de la lnea IB nos podemos dar cuenta que la velocidad del punto I a lo largo de la direccin IB , tambin ser CERO.

Entonces estamos viendo que la velocidad del punto I, que es un vector que tendra dos componentes y que es Cero a lo largo de dos direcciones, esto nos

indica que la velocidad del Punto I ( ) es CERO.

Y es por eso que al punto I, lo llamaremos centro instantneo de Velocidad. Ahora que hemos explicado el concepto de Centro instantneo de velocidad, tratemos de extenderlo a dos cuerpos con movimiento plano.

Previamente mencionamos que en un cuerpo en movimiento plano tenamos un centro instantneo de velocidad, ahora consideremos a dos cuerpos en movimiento plano y llammosles 2 y 3.

Entonces podemos definir un centro instantneo relativo, que llamaremos , como un punto en el cuerpo 3, que tiene velocidad relativa CERO, (que es la misma velocidad absoluta) con respecto a un punto que coincide en el eslabn 2.

Con esto, llegaremos a la siguiente definicin:

Centro Instantneo Relativo:

Si dos cuerpos rgidos, llmense 2 y 3, estn en movimiento relativo, entonces

podemos definir un centro instantneo relativo de velocidad como un punto en el cuerpo 3 que tiene velocidad relativa igual a CERO (Ejem. La misma velocidad absoluta) con respecto a un punto coincidente en el cuerpo rgido 2.

De esa definicin es muy claro que

= A la luz de este centro relativo instantneo, podemos redefinir que el centro instantneo absoluto (que ya habamos discutido anteriormente), es el centro relativo de velocidad con respecto al eslabn fijo 1.

Como ya sabemos, en un mecanismo habr un nmero de eslabones rgidos, que son cuerpos rgidos interconectados en movimiento plano y habr un eslabn rgido fijo que siempre ser el llamado numero 1

En cualquier mecanismo de N eslabones, nosotros se tendrn un nmero de centros instantneos relativos y los centros instantneos relativos con respecto al

enlace fijo (1), no son ms que el centro instantneo de velocidad absoluta; sobre el cual, en ese instante ese cuerpo en particular, est rotando.

As que si tenemos un mecanismo con N nmero eslabones, entonces de acuerdo con esta clase de definicin de centros instantneos relativos, tomando dos eslabones a la ves Cuntas combinaciones diferentes podemos hacer.

Para un mecanismo de N Eslabones, hay un total de:

= ( 1)/2 Cetros Instantneos Relativos As que se tendrn tantos centros de velocidad relativos.

Observando las interconexiones de varios eslabones rgidos de un mecanismo veamos ahora como podemos determinar los centros instantneos de velocidad relativos; como se sabe, en un mecanismo plano, los cuerpos rgidos estarn conectados ya sea por pares cinemticos de revolucin, por pares prismticos o por alguna clase de par cinemtico de orden superior.

Si dos cuerpos estn conectados por un par cinemtico de revolucin, entonces los centros instantneos relativos de velocidad entre esos dos cuerpos estn obviamente en ese par cinemtico de revolucin, porque como el mecanismo se mueve, el centro de ese par cinemtico de revolucin se mover conjuntamente con los dos cuerpos simultneamente y no habr velocidad relativa entre esos dos puntos coincidentes de los dos cuerpos rgidos.

El centro de ese par cinemtico ser el centro relativo de velocidad

Si dos cuerpos rgidos estn conectados por un par cinemtico prismtico, entonces el centro instantneo relativo de velocidad estar a una distancia

infinita () en direccin perpendicular al eje de movimiento es par prismtico, porque si los dos cuerpos estn conectados por un par prismtico, entonces sabemos que el movimiento relativo es traslacin pura, en ese caso el centro instantneo relativo de velocidad quedara a una distancia infinita en la direccin perpendicular a la trayectoria de la

corredera, podemos recordar que un par prismtico no es mas que un par de revolucin a una distancia infinita en la direccin perpendicular a lnea de movimiento del par prismtico.

Supongamos que tenemos un par de orden superior con una constante cinemtica que un cuerpo que rueda sobre otro sin deslizamiento, esto significa que no es un par superior normal, es un par superior donde el punto de contacto no desliza, as que bajo esta condicin de no deslizamiento, sabemos que la velocidad de los dos puntos de contacto pertenecientes a dos diferentes cuerpos debe ser la misma, es la condicin de no deslizamiento, consecuentemente el punto contacto por si miso es el centro instantneo relativo de velocidad entre esos dos cuerpos los cuales estn conectados por ese par superior sin deslizamiento.

Pero para pares superiores de la forma general (con deslizamiento), donde el deslizamiento si ocurre, esto es:

Si un cuerpo, simultneamente rueda y se desliza sobre otro (lo que constituye un par superior normal) entonces el centro instantneo relativo de velocidad quedara en algn punto de la lnea normal comn, al punto de contacto.

No podemos determinar el punto exacto donde en esta lnea normal, el centro de instantneo relativo quedara, por lo que se requerir alguna otra informacin para determinarlo, pero sabemos que deber ubicarse en esa lnea normal.

Existe un muy importante teorema:

El Teorema ARNOLD KENNEDY

de los tres centros.

Este teorema nos ser muy til para determinar todos los centros instantneos relativos junto con la informacin que acabamos de estudiar, esto es que en un par de revolucin el centro instantneo estar en el centro de este par de revolucin, que en un par prismtico el centro instantneo estar a una distancia infinita sobre a lnea perpendicular a la trayectoria de ese par prismtico y que en un par superior sin deslizamiento estar en el punto de contacto de ese par superior y a su ves , si en el par de orden superior si hay deslizamiento, el centro instantneo se encontrara a lo largo de la lnea normal comn en el punto de contacto de los dos eslabones en ese par superior.

Con esa informacin ms la aplicacin del teorema Arnold Kennedy, deberemos poder determinar todos los centros instantneos relativos de velocidad de un mecanismo plano formado asta por seis eslabones.

El teorema de los tres centros Arnold-Kennedy se explica de la siguiente manera:

Si tres cuerpos rgidos en movimiento relativo, tendremos tres centros instantneos relativos de velocidad por que como la lo hemos visto

= ( 1)/2 = 3(3 1)2 = 3

El teorema de tres centros de Aronhold Kennedy dice que estos tres centros instantneos relativos debern caer en una lnea; esto es, debern ser colineales,

Deberemos probar que esta aseveracin es cierta y lo vamos a hacer por medio de contradiccin; esto es, vamos a asumir que los centros instantneos no son colineales y mostraremos que eso es imposible, lo que significara que tienen que ser colineales para que pueda existir el centro instantneo relativo de velocidad.

Para probar el teorema de los tres centros de Arnold-Kennedy consideraremos tres cuerpos rgidos , llmense 1, 2 y 3.

Tenemos tres cuerpos rgidos llamados 1 , 2 y 3 , los cuales estn en movimiento relativo plano, debido a que estn en movimiento relativo no se perder ninguna generalidad si se considera uno de los eslabones como fijo; entonces asumiremos que el eslabn 1 esta fijo, lo cual estar indicado por las lneas de sombreado.

Digamos que el punto es el centro instantneo relativo de velocidad entre el cuerpo rgido 1 y el cuerpo rgido 2; similarmente, el punto es el centro instantneo relativo de velocidad entre el cuerpo 1 y 3, todo esto significa que en ese instante, el cuerpo 2 est en rotacin pura con respecto al cuerpo 1 y el cuerpo 3, tambin est en rotacin pura con respecto al cuerpo 1.

Supongamos entonces que el teorema de tres centros de Arnold-Kennedy est

mal, y que el centro instantneo no se ubica en la lnea que une a los centros y y que esta en la ubicacin Y si ese punto fuera el centro instantneo relativo de velocidad entre los cuerpos 2 y 3 entonces debern tener en ambos cuerpos rgidos la misma velocidad los puntos coincidentes de ese centro instantneo, porque esa es la definicin de centro instantneo relativo.

Esto es si el centro es considerado un punto en el cuerpo 2 entonces deber tener ese punto la misma velocidad que si ese punto se considerara un punto que forma parte del cuerpo 3.

Como se puede observar que por ser un movimiento de rotacin pura la trayectoria del movimiento en cada cuerpo tiene una direccin diferente y por lo tanto es imposible que puedan tener una misma velocidad lineal y que la nica posibilidad que existe para que pudiera tener ese punto la misma velocidad como

punto coincidente en ambos cuerpos es que cayera en la lnea que une los puntos

y ; esto es , que fuera colineal a ellos. Por lo que el teorema de los tres centros de Aron Kennedy queda demostrado.

Hagamos un parntesis Para demostrar que la expresin

= ; es verdadera Y observemos la siguiente figura: y demostremos primero que =

Haciendo una relacin proporcional

=

=

=

Esto es:

=

Como = 1

= ; por lo que =

Nota: el ngulo esta expresado en radianes. Analizando la velocidad lineal

=

= ( )

=

=

Para proseguir viendo el tema de centros relativos instantneos de velocidad y ver como pueden ser tiles dentro del anlisis de velocidad de un mecanismo con movimiento plano, pongamos un ejemplo del mecanismo ms simple, que es el mecanismo de cuatro barras, que para nosotros ya es bien conocido.

Utilizando las definiciones de centros instantneos de velocidad que mencionamos anteriormente, vamos a ubicar primero los cuatro centros relativos instantneos de velocidad que se encuentran en cada uno de los pares de revolucin y despus de ello, utilizando el teorema de Arnold Kennedy ubicaremos los otros dos faltantes, puesto que segn ese teorema, habiendo tres cuerpos rgidos en movimiento plano habr tres centros instantneos y debern ser colineales entre ellos para estos puedan tener velocidad CERO con respecto a los eslabones que los forman.

Esto es Si tomamos los tres cuerpos rgidos 1, 2, 3 ; entonces tendremos los centros instantneos 1-2 , 2-3 y 1-3 los cuales debern ser colineales por lo que el centro instantneo deber estar sobre la lnea que une los centros 1-2 y 2-3

Ahora consideremos los cuerpos rgidos 1, 3, 4 ; consecuentemente tendremos los centros instantneos 1-3, 1-4, 3-4; los cuales tienen que ser colineales; como ya hemos determinado la ubicacin de 1-4 y de 3-4 el centro instantneo faltante 1-3 deber estar sobre la lnea que une a los dos centros instantneos anteriores ( el 1-4, y el 3-4 ).

De esta manera, teniendo estas dos lneas que hemos descrito, podemos ubicar el centro instantneo 1-3 en la interseccin de la extensin de estas dos lneas. (O2-A y O4-B).

Siguiendo el mismo procedimiento, localizaremos el ultimo centro instantneo, el 2-4; para ello consideraremos los cuerpos rgidos 1, 2, 4. Por lo que tendremos los tres centros instantneos de velocidad 1-2, 1-4, y 2-4; que debern ser colineales,

esto nos indica que el centro relativo instantneo de velocidad 2-4 estar ubicado sobre la lnea que une los otros dos centros instantneos (1-2 y 1-4).

Y finalmente considerando los cuerpos rgidos 2, 3, y 4, se tendrn los tres centros instantneos 2-3, 2-4, y 3-4 ; como ya hemos ubicado los centros instantneos que estn en los pares de revolucin 2-3 y 3-4 , el tercero, que es el 2-4 deber estar en una posicin colineal a estos dos , o sea sobre la lnea que une a los dos centros instantneos A-B y su posicin ser definida por la interseccin de las extensiones de las dos lneas A-B y O2-O4.

Una vez determinados todos los centros relativos instantneos de velocidad, podremos llevar a cabo el anlisis de velocidad.

Y para llevarlo a cabo sigamos con la misma figura

Siendo la velocidad del eslabn 2 como dato conocido, la tarea ser calcular las velocidades angulares de los eslabones 3 y 4, esto es y ; para ello, sabemos que = , por lo que podemos calcular la velocidad lineal del punto A.

El punto A es el mismo que el punto del centro instantneo de velocidad (2-3) que ser el mismo para el eslabn 2 que para el eslabn 3.

Luego entonces la velocidad lineal va a ser la misma para el eslabn 2 que para el eslabn 3, y por ello tambin podemos decir que:

= 3 3,1

Pudiendo calcular fcilmente la velocidad tangencial del eslabn 3 con la siguiente ecuacin

= (3,1) Teniendo esta velocidad lineal, podremos entonces calcular la velocidad angular

del eslabn 3, la cual es con respecto a su centro instantneo (1,3).

Para determinar la velocidad del eslabn de salida que es la velocidad angular del eslabn 4 (lnea ), consideraremos el Punto (2,4) que ya lo tenemos localizado, Ahora (2,4) es un punto cuya velocidad ser la misma que si lo considerramos como un punto del eslabn 2 o lo considerramos un punto del eslabn 4.

Si lo consideramos como un punto del eslabn 2 que esta rotando con respecto al

punto , as que la velocidad de este punto (2,4) ser:

(,) = (2,4) Ahora consideremos el mismo punto (2,4) como un punto del eslabn 4 y nosotros deberemos obtener la misma velocidad lineal en ese mismo punto, pero ahora con respecto a la velocidad angular del eslabn 4 que est girando con respecto al

punto y podremos escribir la misma ecuacin, pero con estos datos:

(,) = (2,4) Igualando ambas ecuaciones, podremos despejar , que es el dato por conocer

(2,4) = (2,4) De esta manera podremos conocer las velocidades angulares de todos los eslabones del mecanismo; as como tambin, las velocidades lineales de cualquier punto de alguno de eslabones.

Por ejemplo, ya sabiendo la velocidad angular ; si quisiramos saber cul es la velocidad lineal del punto P solo tendramos que formular la siguiente ecuacin:

= (3,1) Y esta velocidad lineal del punto P seria perpendicular al radio de rotacin (3,1)P , en ese instante con esa configuracin.

Ahora veamos un mecanismo un poco ms complicado; un mecanismo de seis eslabones

Nuestra primera tarea, ser el localizar todos los centros instantneos de velocidad y para ello tendremos primero que saber cuntos existen en esta

configuracin, en el preciso instante que muestra la figura; utilizando nuestra formula de centros instantneos:

= ( 1)/2 = 6(6 1)2 = 15

Despus de saber que son 15 los centros instantneos de velocidad procederemos a enumerarlos de la siguiente manera,

Despus escribiremos en su posicin dentro de la figura, los que podemos conocer por simple inspeccin

Habiendo encontrado los centros instantneos de velocidad que podemos encontrar por simple inspeccin, los restantes solo los podemos ubicar invocando

el teorema de Arnold Kennedy de los 3 centros; y para ello, utilizaremos el circulo de centros instantneos para hacerlo de forma ordenada y no correr el riesgo de equivocarnos, ya que al haber demasiados nmeros esto puede ser muy confuso.

Utilizaremos un circulo donde pondremos todos los eslabones espaciados entre si por longitudes de arco iguales.

Y vamos a trazar lneas entre ellos; cada una de esas lneas representa un centro relativo de velocidad instantnea.

Como se puede observar, estas lneas forman tringulos, donde sus aristas son los nmeros de los eslabones.

En cada triangulo representa las tercias de centros instantneos que debern estar alineados; esto es, Ejemplo:

En el tringulo formado por los eslabones 1, 2 y 3; tenemos los centros instantneos (1,2), (2,3) y (1,3) que son los lados del tringulo, esto querr decir que estos tres centros instantneos debern estar alineados; o sea, ser colineales.

Y as, subsecuentemente con todos los dems tringulos que se forman con las lneas que unen los nmeros de todos los eslabones.

Habiendo encontrado todos los centros instantneos de velocidad procederemos a cal