teoría de mecanismos 3.- cinemática de mecanismos - ocw

Universidad Carlos III de MadridDepartamento de Ingeniería Mecánica 1

TEORÍA DE MECANISMOS

3.- CINEMÁTICA DE MECANISMOS


Cinemáticade máquinas

� Estudio cinemático: determinación de� Trayectorias� Velocidades� Aceleraciones

� Métodos analíticos y gráficos� Pares elementales

� Rotación� Traslación


Rotaciones (Vectores deslizantes)

� Vectores deslizantes FUERZA� Vectores deslizantes ROTACIÓN

� (Resultante de las fuerzas, Momento de las fuerzas)� (Rotación, Momento de la rotación)

Velocidad

Reducción del sistema de vectores deslizantes en un punto dado.

NOTA: los vectoresdeslizantes se aplicansobre un sólido rígido


Fuerzas (Vectores deslizantes)

� Vectores deslizantes FUERZALa reducción del sistema de vectoresDeslizantes FUERZA en un punto cualquiera P,consiste en :

Posicionar el vector Resultante de las Fuerzas,en dicho punto P.Posicionar el vector Suma de los Momentos delas fuerzas respecto a dicho punto P.


Reducción sistema de fuerzas en un punto

En el punto de contacto PEl sólido rígido superiorActúa mediante un sistemaEquivalente de vectores, Consistente en:- una resultante de las fuerzasActuantes.- un momento suma de los momentos de cada una de lasfuerzas en el punto P.


� Vectores deslizantes ROTACIÓNLa reducción del sistema de vectores deslizantesROTACIÓN en un punto cualquiera P, consiste en :

Posicionar el vector Resultante de las Rotaciones, en dicho punto P.

Y

Posicionar el vector Suma de los Momentos de las rotaciones respecto a dicho punto P. (VELOCIDAD DE P)



� El sólido rígido afectado por un sistema de rotaciones, puede representarse por el esquema de la figura.

� Cada bastidor está bajo el efecto de una rotación.

� Estando todos los ejes de rotación decada bastidor apoyados en el siguiente.

� Cualquier punto P del sólido rígido estáafectado por una rotación suma de lasde cada bastidor.

� Cualquier punto P del sólido rígido estáafectado por el momento suma de todaslas rotaciones, es decir su velocidad. w4

SÓLIDO RÍGIDOw1

w3

w2



Movimiento general de un sólido rígido

� El sistema de referencia (SF) es fijo

P 0V V OPω= + ∧JJJGG G G


Movimiento general en el plano

P 0V V OPω= + ∧JJJGG G G

IV 0=GG

P IV V I P= + ∧JJGG G G

ω

Sólido rígido


Cinemática

� Ecuaciones Mecánica(dado un SF, SM)

� Relaciones vectoriales(A, B Є a un sólido rígido SR)

(Dado un SF, y un SM asociado al SR)

ABS ARR REL

ABS ARR REL

ABS ARR REL COR IOLIS

r =r +r

v =v +v

a a a a= + +

JJG JJJG JJJGJJJG JJJJG JJJGJJJG JJJJG JJJG JJJJJJJJG

REL

REL COR IOLIS

REL REL COR IOLIS

A AB B

A AB B

A AB B

r =r +r

v =v +v +

+

v

+

0 0

+

v 0, ,

a a

a

a aa

a =

=

= =

JJJGJJJG JJJJJJJJG

JJJG G J

G JJG JGJJG JJJG JJGJJ

JJG G JJJJJJJJG

G JJG JJG

G


� Ecuaciones Mecánica(dado un SF, SM)

� Relaciones vectoriales(A, B Є a un sólido rígido SR)

(Dado un SF, y un SM asociado a un punto del SR y // al SF)

ABS ARR REL

ABS ARR REL

ABS ARR REL COR IOLIS

r =r +r

v =v +v

a a a a= + +

JJG JJJG JJJGJJJG JJJJG JJJGJJJG JJJJG JJJG JJJJJJJJG

COR IOLIS

COR IOLI

A AB B

A B AB

A

AB

S

B

r =r +r

v =v + +

+

0 2

v

+

+ +

( )

, v 0

AB

AB AB

rel

a

a a

a

a

rdr rdt

ω

ω ω

ω ω

ω

=

=

×

× × ×

= × =

JG JJG

JG JG JJG JJG

G JJG JGJJG

JJJJJJJJGJG G JJJ

JJG JJJG

JJG JJG

JJJJJJG JG JJJG

JG

Cinemática


Cinemática de un eslabónPegados al eslabón en estudio en el punto

C y paralelos al sistema fijo en todo momento

31M(absoluto)

Movimiento absoluto del eslabón 3

respecto a los ejes fijos ligados al

eslabón 1

3CM(relativos)

Rotación alrededor

de C

Movimiento absoluto del eslabón 3

respecto a los ejes fijos ligados al

eslabón 3C1M Movimiento del punto C del

eslabón 3 respecto a los ejes fijos ligados al eslabón 1(arrastre)

31 3C C1v v v= +JJG JJJG JJJG

Rotación de 3 sobre C

Velocidad de un punto genérico del eslabón 3

“Cinemática y dinámica de Máquinas” A. de Lamadrid, A. de Corral, UPM, Madrid 1992


31 3C C1a a a 0= + +JJG JJJG JJJG G

TIERRA

≡eslabón

Aceleración en un eslabón (1)

� Si localizamos los ejes móviles pegados a un punto C del propio eslabón, y mantenemos el SM paralelo al SF

31 3 1 COR IOLISa a a aC C= + +JJG JJJG JJJG JJJJJJJJJG

9 Interpretación:

31

CORIOLIS SM 3C

a ROT TRAS

a 2 V 0

= +

= ⋅ ∧ ≡

JJGJJJJJJJJJG JJJJG JJJG G

ω

0



Aceleración en un eslabón (2)

≡eslabón

31 32 21 COR IOLISa a a a= + +JJG JJG JJG JJJJJJJJJG

ABS ARR REL COR IOLISa a a a= + +JJJJG JJJJG JJJJG JJJJJJJJJG

ABS ARR RELv v v= +JJJJG JJJJJG JJJJG



Técnicas de determinación de velocidades

1. Método de proyección o componente axial

2. Método de las velocidades giradas

3. Cinema de velocidades

4. Método de las velocidades relativas


1. Método de proyección

AB

A, B

AB v 0cte= ⇒ =JJJG G

SF

A BAB AB

v v=JJJJJG JJJJJG

Dado y la dirección de conocemosAvJJG

Bv ⇒JJG

BvJJG


2. Método de las velocidades giradas (I)

� Técnica gráfica de cálculo de velocidades� Datos: Incógnita:CC, v y A

JJGAv

JJG

1. Giramos 90º sentido obtenemos C’2. Obtenemos A’, siendo3. Giramos 90º en sentido contrario a el segmento

obteniendo

ESLABON CvωJJJJJJJJJG JJG

CA || C'A'ESLABONω

JJJJJJJJJGA A'

AvJJG

BA

VA

VB

AB

Is

A'B'

S

ωs

C

C'

VC

ISC

Cinema de velocidades de

ABC (abc)

Eslabón

o

c

a

b


A

N

v A'

N' N'' v NN''

→

→ → ≡

JJGJJG JJJJGCálculo de A

M

v A'

M ' M '' v MM''

→

→ → ≡

JJGJJJG JJJJJGCálculo de

NvJJG

MvJJJG

Cínema de velocidades de los

eslabones:2

4

O A oa

O B ob

AB ab

→

→

→

2. Método de las velocidades giradas (II)



3. Cínema de velocidades (I)

� Sea un eslabón y su CIR en un instante dado.

� Luego el vector velocidad se obtiene girando el vector posición 90º en el sentido de la rotación del eslabón y haciendo una expansión o contracción de factor ω.

� Si lo realizamos para todos los puntos eslabón se obtendrá, posicionando los vectores velocidad en el CIR, el cinema de velocidades (puntos homólogos de los del eslabón).

PprJG

CIR ωJG

P ∈ eslabón: P P

P P

v r

1

v r

si

k

ω

ω

= ∧

=

= ∧

JJG JG JGJG

JJG G JGVector unitario ⊥ al planokG

Peslabón PcínemaHOMOLOGÍA

90º ω


3. Cinema de velocidades (II)

� Ejemplo de trazado del cinema de velocidades del mecanismo articulado plano para cada eslabón



4. Método de velocidades relativas

Sean EslabónA AB B

A, B

v v v

∈

= +JJG JJJG JJG

Rotación de B sobre A

Traslación de B

A

B

AvJJG

BvJJG

AvJJG

BvJJG

ABvJJJG

AB



Eslabón (4)

(1)(2)

Cinema del punto

auxiliar x

Cinema de velocidades del eslabón BCD

� Datos:� Técnica del punto auxiliar:

obtención de la , a partir del esquema de velocidades del eslabón (4)

� Encontrar tal que

� Localizar un punto de 4, por ejemplo C con velocidad de dirección conocida, de modo que

esté localizado de manera que

AvJJG

xvJJG

X XB BB BA A

X XB BA A

v v vv v v

v v v v

⎧ = +⎪= + ⎨= + +⎪⎩

JJG JJJG JJGJJG JJJG JJGJJG JJJG JJJG JJG

X (4)∈XB BAv || v BAX≡

JJJG JJJG

X (4)∈

XC Cv || vJJJG JJG “Cinemática y dinámica de

Máquinas” A. de Lamadrid, A. de Corral, UPM, Madrid 1992


Velocidades relativas. Mecanismo de corredera

Eslabón (deslizadera) (4)

� Análisis del punto C

� Conocido el centro de curvatura de la guía por donde se desliza el eslabón (4), podemos sustituir el mecanismo por el cuadrilátero articulado:

en C se hace el cálculo de

3 3 2 2C C C Cv v v= +JJJG JJJJJG JJJG

3 2(C C )y

2 0 3O , C , C, O

0CvJJJG

3 3 0 0C C C Cv v v= +JJJG JJJJJG JJJG

Dir.

Dir. Dir. Tg. guía

Dato



3

O2O4

A B

I 13

2 4

11

Cf

Cm

VAVB

Polo de velocidades de un eslabón

CIR del eslabón (3). es un punto móvil

Eslabón biela

CIR permanentes

CIR del eslabón (2). Es un punto fijo

CIR del eslabón (4). Es un punto fijo

3P

Lugar geométrico de los puntos de la biela posicionados en el sistema fijo a tierra

Lugar geométrico de los puntos de la biela posicionados en el sistema móvil de la biela

fC

mC

describe la curva polar

La rodadura de la curva sobre la define el movimiento del eslabón

fC mC


3

B0A0

A B

I 13

Cf

Cm

VA

VB

uA

uB

ud

u'du

||AA 0

||BB 0

t t t

t

P Plimt+∆

→∞∆ ∆

Curvas polares

Velocidad de cambio de polotangente a la curva polar (PROPIEDAD)u⇒

G

t

3P

tCIRen

⎧≡⎨⎩ t t

3P

t tCIR

en+∆⎧

≡⎨ + ∆⎩

Detalle:

P mC

fC CIR del eslabón (3)

a d

b d

u u u

u u'

= + =

= +

G JJG JJGJJG JJG

Componentes de Euler-Savary


Fórmula de Euler-Savary (I)

� La componente de la velocidad de cambio de polo en la dirección paralela a la velocidad de un punto cualquiera del eslabón en estudio guarda relación con la velocidad del punto según las distancias del punto y del CIR al centro de curvatura de la trayectoria desarrollada por el punto.

� Sea A el punto perteneciente al eslabón

� Sea ρA el centro de curvatura de A

ρA

A

ACC

CIR

AvJJG

AuJJG

A

A

CA

CA

ACvICu

=JJGJJG


Fórmula de Euler-Savary (II)

Relaciona:u, , v, CIRρG

Velocidad de cambio de polo:

i i'

B B B A A AAB B A

d CIR CIRut

d S d d S dv vdt dt dt dt

ρ α ρ ατ τ

= ∆⋅ ⋅

= = ⋅ = = ⋅

G

JJJJG JJJJGJJG JJG JJG G

τG

Vector unitario tangentei B

i A

CIR ,B C B B

ACIR ,A C A

dS C d

dS C d

α τ

α τ

= ⋅ ⋅

= ⋅ ⋅

JJJJJJJJG JJGJJJJJJJJG GComponentes de

Vectores paralelos ai i'CIR CIR

A Bd S , d SJJJJG JJJJG

i A

i B

CIR ,A C iA A A

B

CIR ,B C iB B B

A

dS C CIRPROY. u dS u v

dt

dS C CIRPROY. u dS u v

dt

= = = ⋅ρ

= = = ⋅ρ

JJJJJJJJGG JJJJG JJG JJG

JJJJJJJJGG JJJJG JJG JJG


Velocidad del punto A de la

biela 3

Velocidad del punto B de la biela 3

I13

Velocidad de cambio de polo

Obtención gráfica. Aplicación a la biela 3 de un cuadrilátero articulado de la Fórmula de Euler-Savary

A A 3 A, v , CIR uρ ⇒JJG JJG

B B 3 B, v , CIR uρ ⇒JJG JJG

A du u (u )= + ⊥G JJG JJG

B du u ' (u ' )= + ⊥G JJG JJJG

Velocidad cambio de

polo“Cinemática y dinámica de Máquinas” A. de Lamadrid, A. de Corral, UPM, Madrid 1992


Teorema de Kennedy (I)

� CIR relativo es el punto en el que la velocidad relativa entre dos eslabones dados se anula

� Sea un mecanismo articulado plano:� Sean 3 los eslabones:

A, B, C.� Los 3 CIR relativos 2 a

2 ESTÁN ALINEADOS

A|B B|ACIR CIR=

AB BC CAI , I , I Alineados⇒

Teorema de los tres centros o teorema de

Kennedy

I13

I24 I21 I14

I23

I14



Teorema de Kennedy (II)

� Sean: A, B, C los eslabones� Sea ∆ el CIR relativo de A|B� Sea el CIR relativo de A|C� Sea O el CIR relativo de C|B

A AO |B O |Cv v rad= ≡ α = πJJJJJG JJJJJG

∆O

α

Al calcular las velocidades relativas respecto al eslabón B o C, se observa que son iguales, pues O es un punto CIR relativo

Para que sean iguales los tres CIR relativos ∆, , O deben estar alineados

A AO |B O |Cv , vJJJJJG JJJJJG


Cálculo de los CIR relativos usando el teorema de Kennedy

( )N N 1N eslabones (CIR relativos)

2⋅ −

⇒

1. Se calculan los CIR absolutos (N,1).

2. Se calculan los CIR relativos en las articulaciones (N,N-1).

3. Se calculan los CIR relativos en las deslizaderas

4. Se aplica el teorema de Kennedy

( )guia⊥ →∞



Escalas gráficas

� Escala de longitudes

� Escala de velocidades

� Escala de aceleraciones

cos⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦cm grafi

cm realα

coscm graficm seg realβ⎡ ⎤

⎢ ⎥⎣ ⎦2βγα

=


Cálculo de la aceleración en puntos pertenecientesa un mismo eslabón (mismo SM)

B A BA

B A BA

B A BA

r r r

v v v

a a a

= +

= +

= +

JG JJG JJGJJG JJG JJJGJJG JJG JJJG

ddt

ddt

Si A, B Є pieza sólido rígido

AB cte≡ B rota sobre A

BA

BA

BA

r

v

a

JJGJJJGJJJG

Posición de B respecto de A

velocidad de B respecto de A

aceleración de B respecto de A


Posición velocidad y aceleración de arrastre

� P, se mueve respecto al sistema móvil

� El sistema móvil está parametrizado por la posición del origen del sistema móvil (O) y el vector de rotación ( ω ) del triedro móvil respecto al triedro fijo.

M

M

M

r

v

a

JJGJJJGJJG

Posición relativa

velocidad relativa

aceleración relativa

SF

SMO

ω ( )

arr 0

arr 0 M

arr 0 M M

r r

v v r

a a r r

=

= + ω ∧

= + α ∧ + ω ∧ ω ∧

JJG JGJJJG JJG JG JJGJJJG JJG JG JJG JG JG JJG

Posición, velocidad y aceleración de arrastre


Estudio de la aceleración (I)

� Pto A Є eslabón i� Pto B Є eslabón i� Pto C Є eslabón i+1

� SM pegado al eslabón i que rota con ωirespecto al SF

SF

SMA B

Cii+1

C CA A

C CA rel A

C CA rel A CORIOLIS

C i 1, r r r

v v v v

a a a a a

∈ + = +

= + +

= + + +

JG JJJG JJGJJG JJJG JJJG JJGJJG JJJG JJJG JJG JJJJJJJJJG

B BA A

B BA A

B BA A

B i, r r r

v v v

a a a

∈ = +

= +

= +

JG JJG JJGJJG JJJG JJGJJG JJJG JJG

B rota sobre A con ωi

C rota sobre A con ωi

Rotación SM

C CA arr CORIOLISa a a a= + +JJG JJJG JJJG JJJJJJJJJG


� Caso de movimiento circular

� Aceleración de los puntos A y B Є pieza

Estudio de la aceleración (II)

2t na a= ρ ⋅ α = ω ⋅ρ

ddtω

cte

B A BAv v v= +JJG JJG JJJG

B A BAa a a= +JJG JJG JJJG

A

B

AvJJGBAω

JJJJGRotación sobre A

Rotaciónarrastre

CORIOLIS

arr

a 0

v 0

=

=

JJJJJJJJJG GJJJG G


Ejemplos: Manivela

A Oa a=JJG JJG

A A

AO

C AO t n

a

C O a a a

+

≡ ⇒ = +

JJJGJJJG JJJG JJJG

AO AOAO t na a a= +JJJG JJJG JJJJG

Coincide el CIR = OCoincide el polo = O de aceleraciones

En general, los puntos del sólido con velocidad nula (CIR) y aceleración nula (polo de aceleraciones) son distintos

CIR Polo aceleraciones≠


Aceleración del polo del cínema de velocidades

A

IPOLO VELOCIDAD

I I ' I ''

a a

0

→ →

≠

G GG

A I AIa a a= +JJG JJG JJJG

I no es un punto singular en cuanto a

aceleraciones

{ }A B BA Aa a a , , a= + ω αJJG JJG JJJG JJG


Polo de aceleraciones (I)

A I AI Ia a a (a 0 en general); A, I CIR= + ≠ ≡JJG JJG JJJG JJG GA B BAa a a ; A, B= +JJG JJG JJJG

P A Pa 0 a a∃ = → =JJG G JJG JJG

APa+JJJG

A APa a=JJG JJJG

Si conocemos P, el cuerpo se comporta como un sólido rígido en rotación pura en ese instante

Modelo de comportamiento del eslabón en el

instante t en cuanto a

aceleracionesXPaJJJG

P POLO DE ACELERACIONES≡


Polo de aceleraciones (II)

A

B

AaJJG

BaJJG

θ

θ

Polo aceleración ( )PP eslabon a 0∈ ≡ =

JJG G

A AP

B BP

a a

a a

=

=

JJG JJJGJJG JJJG

APaJJJG Aceleración relativa de A

alrededor de P, con ω y αdel eslabón

eslabón

(A, B, C) (a, b, c)→

Cinema de aceleraciones


Aceleración normal

Construcción gráfica del vector aceleración normal relacionado con una rotación (pura)

Centro de

rotación

Teorema del catetoTeorema de la altura

chm n

2h m n= ⋅( )2c m m n= ⋅ +



Obtención de la aceleración

Obtención de la aceleración de un punto cualquiera del eslabón a partir de la aceleración en A:

B B|A Aa a a= +JJG JJJJG JJG

donde se obtiene la aceleración a partir de la cinemática relativa de B respecto de A



ejemplo

Datos: es decir, conocemos la secuencia gráfica sería:

1. Obtención gráfica de2. Cinema del eslabón 23. Obtención gráfica de4. Obtención gráfica de a partir de

y 5. Obtención gráfica de

AA tv , aJJG JJJG

2 2,ω αJJG JJG

AnaJJJG

B|AnaJJJJG

AaJJG

AnaJJJG At

aJJJG

BnaJJJG



ejemplo

AA tdatos v , aJJG JJJG Cinema de

velocidades del eslabón 3

Cinema de velocidades del

eslabón 5

Obtenemos conjuntamente con y tenemos el cinema de

aceleraciones del eslabón 3 y obtenemos

BaJJG

AaJJG

CaJJG



Análisis de aceleraciones (I)

� Piezas en contacto deslizante� En piezas articuladas

� En piezas con contacto deslizante

P1 2

articulación

P 1 o 2∈ (1) ( 2 )

(1) ( 2 )

P P

P P

a a

v v

=

=

JJJG JJJJGJJJG JJJJG

1 2

3

SM P 1, 2∈Se conoce la dirección de la

velocidad relativa

(1) ( 2 )

(1) ( 2 )

P P

P P

v v

a a

≠

≠

JJJG JJJJGJJJG JJJJG


( 3)AvJJJJG

(1)AvJJJJG

(SM )AvJJJJJG

Análisis de aceleraciones (II)

� Considero y enclavo en él el A 1∈ ( )1 1SM ,ω αJJG JJG

( abs ) ( arr ) ( rel )SM

( 3) (1) (SM )

A A A

A A A

v v v

v v v

= +

= +

JJJJJG JJJJJG JJJJJJJGJJJJG JJJJG JJJJJG

113 2


dir arrn

dir arrt

SM

Cálculo de aceleraciones (III)

Cálculo deAaJJG

3 A AA O n ta a a a (1)= + +JJG JJJG JJJG JJJG

A A

2A

n t 33

va a dir O AO A

= ⊥JJJG JJJG

A arr rel cora a a a (2)= + +JJG JJJG JJJG JJJG

1arr Oa a=JJJG JJJG

arr arrn t

rel 1

cor 1 r 1 r

a a

como si A 1

a || O P

a 2 v ( O P y v )

+ +

∈

= ⋅ ω ∧ ⊥ ⊥

JJJG JJJG

JJJGJJJG JJG JJG JJG


Cálculo de aceleraciones (IV)

(1) (2) (3) (4) (5)→ → → →Secuencia de cálculo

o

(1)(2)

(3)

(4)

(5)arrna

JJJG

AnaJJJG

AtaJJJG

coraJJJGarrta

JJJG

rel 1dir a || O PJJJG

1|| O P

3|| O A

Atdir a

JJJG

teoría de mecanismos 3.- cinemática de mecanismos - ocw

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