cinemática de los manipuladores

Cinemática de los manipuladores

Introducción

• Cinemática: Estudio del movimiento sin considerar las fuerzas que lo producenPropiedades geométricas y temporales Posición, velocidad, aceleración

• Cinemática de los manipuladores: Propiedades geométricas y temporales del movimiento de brazos articulados

Aspecto a resolver

• Problema: A partir de los parámetros geométricos del manipuladorEspecificar: Posición y orientacióndel manipulador

• Solución: Definir sistemas de referenciaen el manipulador y objetos del entorno siguiendo lanotación de Denavit-Hartenberg (1955)

Los términos enlace/articulación

• Articulación: Conexión de dos

cuerpos rígidos caracterizados

por el movimiento de un sólido

sobre otroGrado de libertad: Circular o prismático

• Enlace o eslabón: Cuerpo rígido que une dos ejes articulares adyacentes del manipulador Posee muchos atributos: Peso, material, inercia, etc.

Parámetros de un enlace

• Eje articular: Línea en el espacio alrededor de la cual el enlace i rota referido al enlace i-1

• Longitud del enlace (ai-1): Distancia entre los ejes articulares i e i-1Número de líneas que definen la longitud:Ejes paralelos: Ejes no paralelos: 1Signo: positivo

• Ángulo del enlace ( i-1): Ángulo medido entre los ejes articulares i e i-1. Proyección sobre planoSigno: Regla de la mano derecha

perpendicular común

Ejemplo de parámetros

1.- Se colocan los ejes articulares

2.- Longitud del enlace: 7”

3.- Ángulo del enlace: 450

Plano

Longitud del enlace

Variables articulares• Desplazamiento del enlace (di):

Distancia medida a lo largo del ejede la articulación i desde el punto donde ai-1 intersecta el eje hasta elpunto donde ai intersecta el eje di es variable si la articulación es

prismática di posee signo

• Ángulo de la articulación (i): Ángulo entre las perpendiculares comunes ai-1 y ai medido sobre el eje del enlace i i es variable si la articulación es

de rotación i posee signo definido por la regla de la mano

derecha

Definición de Sistemas de Referencia: Enlaces primero y último

• Sistema de referencia {0}: Sistema que se adjunta a la base del robot. No se mueve

• El Sistema de referencia {1} coincide con la base cuando la variable articular es cero

Enlace(i) a0 y an 0 y n di i

1 y n 0 0

Prismática (di) 0

Rotacional (0) n

• Origen del sistema de referencia { i }: Se ubica en el punto creado por la perpendicular de ai y el eje articular i

• Eje Z: El eje del sistema de referencia { i } se hará coincidir con el eje articular i

• Eje X: El eje se hace coincidir con la distancia ai desde la articulación i hacia i+1

• Eje Y: Se define a partir del eje , aplicando como referencia la regla de la mano derecha

Definición de Sistemas de Referencia: Enlaces intermedios

iZ

iX

iX

iX

iZ

1iY

1. Identificar los ejes articulares: De los pasos 2 a 5 utilice dos ejes consecutivos i e i+1

2. Identifique la perpendicular común: Identifique la línea que intersecta, perpendicularmente, al eje articular i e i+1. Defina el sistema de referencia sobre el punto de intersección en i

3. Asigne el eje al eje articular i

4. Asigne el eje a la perpendicular común que definió el origen del sistema de referencia i

5. Termine de asignar el sistema de referencia, definiendo el eje según la ley de la mano derecha

6. Haga coincidir los sistemas de referencia {0} y {1} cuando la primera variable articular sea cero

Procedimiento general para la definición de sistemas de referencia

iZ

iX

iY

Significado de los parámetros de Denavit-Hartenberg

Los parámetros de DH tienen el siguiente significado:

El parámetro es la distancia entre y medida a lo largo de

El parámetro es el ángulo entre y referido a

El parámetro es la distancia de a medida a lo

largo de El parámetro es el ángulo entre y referido a

Nota: es la única magnitud positiva, las demás tienen signo

ia iZ

1iZ

iX

i iZ

1iZ

iX

id ix

1iX

iZ

i 1iX

iX

iZ

ia

Transformación homogénea de un enlace

Es el resultado de

Al definir tres sistemas de referencia Intermedios {R}, {Q} y {P}, se tiene:

{R} difiere de i-1 en la rotación

{Q} difiere de {R} por la traslación

{P} difiere de {Q} por la rotación

{i} difiere de {P} por la traslación

1i

1ia

i

id

Transformación homogénea de un enlace (II)

Un punto definido en el sistema de referencia {i} proyectado en elsistema de referencia {i-1}responde a

La transformación del sistema de referencia {i} en {i-1} responde a

Transformación homogénea de un enlace (III)

Matriz DH

• Definir el sistema de referencia de los enlaces• Definir los parámetros DH de cada enlace• Calcular la matriz de transformación de cada enlace• Relacionar el sistema {N} sobre el sistema {0}

• Después de determinar las transformaciones de los enlaces, se determina la posición del efector final referido a la base

Concatenar transformaciones homogéneas de enlaces

Transformación resultante de todos los enlaces

Ejemplo RRR (3R)

• Identificar el eje de las articulaciones

Ejemplo RRR (II)

• Identificar la perpendicular común entre los ejes de las articulaciones

• Asignar el eje

en los ejes articulares

iZ

10 ZZ

2Z

3Z

Ejemplo RRR (III)

• Asignar el eje

en la perpendicular común

iX

• Utilizando la regla de la mano derecha, asignar el eje iY

Ejemplo RRR (IV)

i i-1 ai-1 di i

1 0 0 0 1

2 0 L1 0 2

3 0 L2 0 3

Ejemplo RRR (V)

i i-1 ai-1 di i

1 0 0 0 1

2 0 L1 0 2

3 0 L2 0 3

Ejemplo RRR (Final)

PTP 303

0

Ejemplo RPR

1.- Identificar el eje de las articulaciones

2.- Identificar la perpendicular común al eje de las articulaciones: Ninguna

Ejemplo RPR (II)

• Asignar el eje

en los ejes articularesiZ

• Si los ejes se intersectan,

ubicar de forma que sea normal al plano que contenga los dos ejes, considere además que la variable articular {i} proyectada en {i-1} sea cero en el origen

iZ

iX

Ejemplo RPR (III)

iY• Completar el sistema de

referencia colocando aplicando la regla de la mano derecha

Ejemplo RPR (IV)

i i-1 ai-1 di i

1 0 0 0 1

2 900 0 d2 0

3 0 0 L2 3

Parámetros DH

Ejemplo RPR (Final)

i i-1 ai-1 di i

1 0 0 0 1

2 900 0 d2 0

3 0 0 L2 3

PTP 303

0

Puma 560-6R

Asignación del sistema de referencia 1

• Posición del robot cuando todas las variables articulares son cero. Hacer coincidir los sistemas de referencia {0} y {1}.

• Asignar el eje en el primer eje articular

• Asignar el eje a la perpendicular común al eje . Si los ejes se intersectan, asignar a la normal del plano conteniendo los dos ejes

• Completar el sistema de coordenadas asignando por la regla de la mano derecha

1Z

1X

1Z

1X

1Y

Asignación del sistemade referencia 2

• Asignar el eje en el segundo eje articular

• Asignar el eje a la perpendicular común a los ejes articulares 2 y 3

• Completar el sistema de coordenadas asignando por la regla de la mano derecha

2

3

2Z

2X

2Y


• Asignar el eje en el tercer eje articular

• Asignar el eje a la perpendicular común a los ejes articulares 3 y 4 o normal al plano

• Completar el sistema asignando por la regla de la mano derecha

3

4

3Z

3X

3Y

• Asignar el eje en el cuarto eje articular


• Completar el sistema

asignando por la

regla de la mano derecha

4Z

4X

4Y



• Asignar el eje en el quinto eje articular



asignando por la


5Y

5X

5Z

Asignación del sistemade referencia 6 {N}

• Asignar el eje en el sexto eje articular

• Seleccione libremente el eje

considerando que sean cero la mayor cantidad de parámetros DH


asignando por la


6Z

6X

6Y

Parámetros DH

Transformaciones de los enlaces

Simulador PUMA 560

>> puma560>> plot(560,qz)>> drivebot(p560)

Toolbox RobóticaPeter I. Corke

Cinemática directa

• Cinemática directa: Se conocen las variables articulares de una cadena de

enlaces de un brazo articulado Cálculo sencillo (multiplicación matricial) Una única solución: PTP N

N00

Cinemática inversa

• Cinemática inversa:Problema: Obtener los valores de las variables

articulares para que el órgano terminal tenga una determinada posición y orientación

Se deben resolver un conjunto de ecuaciones algebraicas no lineales simultáneas

Problemas fundamentales: Ecuaciones no lineales (sen, cos en matrices de rotación) Existen múltiples soluciones Es posible que no exista una solución Singularidades

Espacio alcanzable

Cartesiano Cilíndrico Esférico

Scara Antropomórfico

Espacio alcanzable: Volumen del espacio que el robot puede alcanzar con al menos unaorientación

Existencia de múltiple soluciones

Deben atenderse las múltiples soluciones:

Elección que minimice los movimientos desde la posiciónactualConcepto de solución másCercana Mover los eslabones de menor pesoConsiderar obstáculos (evitar colisiones)

Obstáculo

Método de resolución

• Manipulador resoluble: Existe un algoritmo que permite determinar todas las soluciones del modelo inverso (variables articulares) asociadas a una determinada posición y orientación

• Teóricamente es resoluble: todo sistema R y P con 6 grados de libertad

• Métodos numéricos iterativos: lentitud• Se prefieren expresiones analíticas (soluciones

cerradas):Métodos algebraicosMétodos geométricos

¿Porqué la cinemática inversa?

• Métodos de programación:Programación por guiado: Desplazamiento

del efector final para que se alcancen las configuraciones deseadas, registrándose los valores (digitalización de posiciones)

Programación textual: Programa de ordenador donde existen órdenes para especificar los movimientos del robot, acceder a información de sensores, etc.

• Cinemática directa Conocidos: Ángulos articulares y

geometría de los eslabones Determinar: Posición y orientación

del elemento terminal referido a la base

• Cinemática inversa Conocidos: Posición y orientación

del elemento terminal referido a la base Determinar: Ángulos articulares y

geometría de los eslabones para alcanzarla orientación y posición de la herramienta

Cinemática directa vs inversa

TTf NBH

0)(

)()( 011 TfTf NB

H

{Herramienta}

{Base}

• Se desea: Posicionar el elemento

terminal en un punto del plano

• Número de GDL del manipulador

= Número de GDL que requiere la tarea Dos soluciones

• Número de GDL del manipulador

> Número de GDL que requiere la tarea Infinitas soluciones

Número de soluciones

• Solución: Conjunto de variables articulares que permiten posicionar el elemento terminal en una determinada posición y orientación

• No existen algoritmos generales de solución al problema de cinemática inversa

• Tipos de solución: Soluciones cerradas:

Solución algebraica: Ecuaciones no lineales trigonométricas Solución geométrica: Conjunto de subproblemas geométricos en el

plano

Soluciones numéricas (iterativas): No aplicables en tiempo real

Tipos de solución

• Se conoce:Geometría del manipuladorPunto objetivo: Posición (x e y) y orientación del

elemento terminal en el espacio

• Problema: Determinar las variables

articulares ( )

Ejemplo de solución geométrica (I)

1 2 3

x

y

Algunas identidades trigonométricas

• Ley de los cosenos para un triángulo general

• Suma de ángulos:

• Identidades: )cos()cos(

)cos()cos( pipi

• La orientación del último eslabón es la suma de las variables articulares

Ejemplo de solución geométrica (II)

x

y

321

• Cálculo de :

• Aplicando la ley de los cosenos:

• Debido a que

• Resulta:

Ejemplo de solución geométrica (III)

2

• Se debe verificar la solución del algoritmo, el cual debe cumplir:

• Espacio alcanzable

• Intervalo de la solución

Ejemplo de solución geométrica (IV)

Espacio alcanzable

2

• Si se definen dos ángulos se cumple

El ángulo se calcula:

Y aplicando ley de los cosenos

Ejemplo de solución geométrica (V)

1

22)(

yx

ysen

• Finalmente

Ejemplo de solución geométrica (VI)

x

y

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