Figura 1. Viga simplemente apoyada, solicitada a flexión por sobrecarga uniformemente distribuida.

Conociendo sobre Estructuras No. 03

Ing. Andrea Franjul Sánchez

Calculo de desplazamientos en vigas sometidas a flexión simple mediante uso de series de Fourier.

Podemos utilizar para el cálculo del desplazamiento de secciones de vigas sometidas a flexión simple el basado en la utilización de series de Fourier.

Consideremos una viga simplemente apoyada de longitud l y rigidez 퐸퐼 constante sometida a una distribución de carga definida por la ecuación:

푝 = 푝 푠푒푛 Ec. 1, siendo n un número entero y 푝 una constante, que es el valor máximo de la carga aplicada a la viga. Tomaremos el semieje positivo de ordenadas: el vertical ascendente. La ecuación diferencial de la curva elástica es:

퐸퐼 = 푀 Ec. 2 Sabemos que la carga es la derivada segunda del momento

flector, 푝 = , la ec. 2 la podemos poner en la

siguiente forma:

퐸퐼 = = 푝 푠푒푛 Ec. 3 Integrando la ec. 3:

퐸퐼 푑푑 푦푑푥 = 푝 푠푒푛

푛휋푙 푥푑푥

퐸퐼 = − 푐표푠 + 퐶 Ec. 4

Integrando la ec. 4:

퐸퐼 푑푑 푦푑푥 = −

푝 푙푛휋 푐표푠

푛휋푙 푥푑푥 + 퐶 푑푥

퐸퐼 = −푝 푠푒푛 + 퐶 푥 + 퐶 Ec. 5

Siendo 퐶 y 퐶 constantes de integración que podemos determinar imponiendo las condiciones de contorno de ser nula la curva elástica en los extremos de la viga.

Imponiendo = 0 para 푥 = 0

퐸퐼 (0) = −푝 푠푒푛 ( ) + 퐶 (0) + 퐶 → 퐶 = 0

Haciendo = 0 para 푥 = 푙

퐸퐼 (0) = −푝 푠푒푛(푛휋) + 퐶 (푙) + (0) → 퐶 = 0

De la ecuación resultante

퐸퐼 = −푝 푠푒푛 Ec. 6

Comparándola con la ec, 2, se deduce que la ley de momentos flectores en la viga sometida a una carga senoidal es también senoidal.

Integrando una y otra vez la ecuación diferencial anterior, tenemos

퐸퐼 푑푑푦푑푥 = −푝

푙푛휋 푠푒푛

푛휋푙 푥푑푥

퐸퐼 = 푝 푐표푠 + 퐶 Ec. 7

퐸퐼 푑(푦) = 푝푙푛휋 푐표푠

푛휋푙 푥푑푥 + 퐶 푑푥

퐸퐼 푦 = 푝 푠푒푛 + 퐶 푥 + 퐶 Ec. 8

Imponiendo la condición de contorno de ser nulos los desplazamientos en los extremos se deduce la nulidad de las dos constantes de integración

Haciendo 푦 = 0 para 푥 = 0

퐸퐼 (0) = 푝 푠푒푛 ( ) + 퐶 (0) + 퐶 → 퐶 = 0

Haciendo 푦 = 0 para 푥 = 푙

퐸퐼 (0) = 푝 푠푒푛 ( ) + 퐶 (푙) + (0) → 퐶 = 0

La ec.8 se reduce a

퐸퐼 푦 = 푝 푠푒푛 Ec. 9

Si la carga que actúa sobre la viga tiene la forma más general de un desarrollo en serie de Fourier

푝 = 푝 푠푒푛 + 푝 푠푒푛 + 푝 푠푒푛 + ⋯ = ∑ 푝 푠푒푛∝ Ec. 10

Se puede aplicar el principio de superposición para obtener la ecuación de la elástica

퐸퐼 푦 = ∑ 푝 푠푒푛∝ Ec. 11

Siendo 푝 (푛 = 1,2, … ) los coeficientes de Fourier, cuyos valores se obtienen multiplicando los dos

miembros de ec.10 por 푠푒푛 푑푥 e integrando a lo largo de la viga

∫ 푝 푠푒푛 푑푥 = 푝 ∫ 푠푒푛 푠푒푛 푑푥 + ⋯+ 푝 ∫ 푠푒푛 푠푒푛 푑푥 + ⋯ Ec. 12

Resolviendo A:

푝 푠푒푛휋푥푙푠푒푛

푛휋푥푙푑푥 = 푝 −

푠푒푛 휋푙 푥 + 푛 휋푙 푥

2 휋푙 + 푛 휋푙

+푠푒푛 휋

푙 푥 − 푛 휋푙 푥

2 휋푙 − 푛 휋푙

푝 푠푒푛휋푥푙푠푒푛

푛휋푥푙푑푥 = 푝 −

푠푒푛 휋푙 (1 + 푛)푥

2휋푙 (1 + 푛)+푠푒푛 휋푙 (1 − 푛)푥

2 휋푙 (1 − 푛)

푝 푠푒푛휋푥푙푠푒푛

푛휋푥푙푑푥 = 푝 −

푠푒푛(1 + 푛)휋2(1 + 푛) +

푠푒푛(1 − 푛)휋2(1 − 푛)

= 푝 −푠푒푛휋 ∙ 푐표푠푛휋 + 푐표푠휋 ∙ 푠푒푛푛휋

2휋(1 + 푛) +푠푒푛휋 ∙ 푐표푠푛휋 − 푐표푠휋 ∙ 푠푒푛푛휋

2휋(1 − 푛)

=푝2휋

−푠푒푛휋 ∙ 푐표푠푛휋 − 푐표푠휋 ∙ 푠푒푛푛휋 + 푛푠푒푛휋 ∙ 푐표푠푛휋+ 푛푐표푠휋 ∙ 푠푒푛푛휋+ 푠푒푛휋 ∙ 푐표푠푛휋 − 푐표푠휋 ∙ 푠푒푛푛휋+ 푛푠푒푛휋 ∙ 푐표푠푛휋 − 푛푐표푠휋 ∙ 푠푒푛푛휋1− 푛

=푝2휋

2푛푠푒푛휋 ∙ 푐표푠푛휋 − 2푛푐표푠휋 ∙ 푠푒푛푛휋1 − 푛

= 0

Resolviendo B:

푝 푠푒푛푛휋푥푙푠푒푛

푛휋푥푙푑푥 =

푝 푙푛휋

푛휋푥2푙

−14푠푒푛

2푛휋푥푙

푝 푠푒푛푛휋푥푙푠푒푛

푛휋푥푙푑푥 =

푝 푙푛휋

푛휋2

=푝 푙2

Las integrales del segundo miembro se anulan todas salvo la correspondiente a 푝 que vale , por lo que los coeficientes de Fourier serán

푝 = ∫ 푝푠푒푛 푑푥 Ec. 13

Veamos a que resultado nos conduce la aplicación de este método para obtener las flechas en dos casos conocidos.

El primer caso a que nos referimos es al de una viga con carga uniforme 푝 por unidad de longitud (figura 1).

Los coeficientes de Fourier para este caso, según la ec. 13, serán

푝 = ∫ 푠푒푛 푑푥 = − − 푐표푠 = − (1 − 푐표푠푛휋)

Cuyo valor depende de que n sea par o impar

Para n par: cos푛휋 = 1 → 푝푛 = 0

Para n impar: cos푛휋 = −1 → 푝푛 = − 4푝푛휋

Al sustituir 푝 en la ec. 11, tenemos

퐸퐼 푦 = ∑ − 푠푒푛∝

퐸퐼 푦 = − ∑ 푠푒푛∝

La ecuación 11 tomara la forma

퐸퐼 푦 = − 푠푒푛 + 푠푒푛 + 푠푒푛 + ⋯ Ec. 14

Por tanto, la ecuación de la fecha se obtendrá particularizando esta ecuación para 푥 =

푦 = − 1 − + − … Ec. 15

Despreciando los términos de la serie a partir del segundo, se obtiene como valor aproximado de la fecha

푓 ≅ − = − = − . = − ( . ) Ec. 16

Si comparamos esta expresión con la flecha obtenida por un método de cálculo de deformaciones cuya

expresión es 푓 = − Ec. 17

Podemos observar que el error por exceso cometido al tomar el primer término de la expresión de la Ec. 15, obtenida al aplicar el método que utiliza series de Fourier es del orden del 0.3 por 100.

Referencias Bibliográficas

Ortiz Berrocal, Luis. “Resistencia de materiales” (2007). Tercera Edición. Editorial Mc Graw-Hill. España.

McCormac, Jack. “Análisis Estructural” (2010). Cuarta Edición. Editorial Alfaomega. México. Arfken- Weber, Métodos Matemáticos para Físicos. Quinta Edición.