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Introduccin 1

Lista de cotejo .... 2

Teora: 4 pasos de Polya . 3

Desarrollo de problemas:

Ensayo y error 5

Empleando diagrama o figura .... 27

Geometra 30

Problemas extra

Ensayo y error 47

Diagrama o figura .. 52Empleando una ecuacin .. 57

Buscando un patrn . 61

Glosario 65

Recopilacin de hojas de trabajo y parciales 67

Nmero de

pgina:

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1

Toda persona humana tiene la capacidad innata del pensamiento. A lo largo de la vida todo individuo se veafrontando toda clase de situaciones que le ayudan a ir desarrollando, fortaleciendo y cuestionando dicha capacidad. Se

encuentra que interrelacionado con la capacidad de pensamiento se manifiestan los procesos de razonamiento mental,

habilidad que implica el anlisis de varios procesos de pensamiento simultneos, llamados juicio.

En el presente trabajo se presentan una serie de problemas que fomentan el desarrollo de los procesos de

razonamiento de la mente del ser humano. Se logra evidenciar el grado de dificultad, necesario para poner a prueba las

habilidades del individuo, y as poder desarrollar y aumentar la capacidad de pensamiento.

El desarrollo de la habilidad de razonamiento ante un problema lleva a concluir que la mente ha adquirido la

destreza de encontrar la razn verdadera, respectiva, ante la diversidad de circunstancias a las que se puede llegar a

enfrentar una persona.

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3

1. Comprender el problema: consiste en entender lo que se pide encontrar en un problema. Implica leer el problema

y analizarlo. Intentar responder a las siguientes preguntas:

- Entiende lo que se dice?

- Distingue cules son los datos?

- Qu condicin debe cumplir?

- Puede plantearse el problema en sus palabras?

- Sabe a qu quiere llegar?

- Hay suficiente informacin?

- Es este problema similar a algn otro que se haya resuelto?

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2. Definir la estrategia: consiste en definir la o las estrategias que ayuden a solucionar el problema. Algunas

estrategias son:

- Ensayo y error

- Buscar un patrn

- Hacer una lista

- Emplear un diagrama o figura

- Buscar una frmula

- Buscar un modelo

- De atrs hacia adelante

3. Desarrollar la estrategia: una vez que se sepa cmo enfocar el problema se debe llevar a cabo ejecucin de la

estrategia seleccionada, es decir, desarrollar el problema. Debe tomarse el tiempo necesario, y si no se tiene

xito, se debe buscar otra forma. Si es necesario considerar la opcin de volver a iniciar.

4. Verificar la solucin: comprobar la respuesta para verificar que sta sea razonable, que cumpla con lascondiciones iniciales del problema

4

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1 LOS ROMBOS:Separa 8 de los 12 palillos que componen los tres rombos de la figura y construye 7 rombos.

PASO 1:Qu debo lograr?Formar 7 rombos movilizando8 de los 12 palillos que forman

los 3 rombos de la figura.

PASO 2:EstrategiaEmplear la estrategia deensayo y error.

PASO 3:Ejecutar el problema

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2 DE UNO A CINCO:Este tringulo equiltero est formado por 9 palillos. Cambie la posicin de 5 de ellos, a manera de obtener 5 tringulosequilteros.

PASO 1:Qu debo lograr?Formar 5 tringulosequilteros. Movilizando laposicin de 5 de los 9 palillosque forman un tringuloequiltero.



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3 EL PEZ:He aqu un pez que nada hacia la derecha. Cmo podra hacer que nadase hacia la izquierda cambiando la posicin de solo 4 palillos?

PASO 1:Qu debo lograr?Cambiar la direccin de nado

del pez de derecha aizquierda, movilizando solo 4de los 9 palillos queconforman el pez.



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4 LOS CUADRADOS:Mueva 4 palillos y forme 3 cuadrados iguales y alineados.

PASO 1:Qu debo lograr?Formar 3 cuadrados iguales,que estn alineados.

Movilizando nicamente 4 delos 12 palillos que forman lafigura.



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5 CUATRO POR SEIS:Transformar los 5 rombos en 6 tringulos, cambiando la posicin de 4 palillos.

PASO 1:Qu debo lograr?Formar 6 tringulos a partir delos 5 rombos de la figura,

movilizando solo 4 palillos.



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C I L I V A C E G I A T E S A

I L N O I C A M A R G O R P I

V O N A C E D C I S I E C A GI C M P R I M E R O F N I U E

L I A O D E I T E F I O N T

A G T M E C A N I C A N T I A

P O E T A I L S N O C I O V R

R L M I F S I A E T I P R E T

I O A C O C U A G I A Q U R S

M N T I A A C I N A M U E S E

O C I F I T N E I C O I S I A

D E C I N D U S T R I A L D I

A T A Q U I C Q U I M I C A G

L C M U N T O U Z S I V A D A

L E I N V E S T I G A C I O N

A T A O I H C U O A T E G I A

6 SOPA DE LETRAS: Encontrar en la sopa de letras las palabras indicadas.

UNIVERSIDADDECANOTECNOLOGICOINGENIERIAESTRATEGIA

MATEMATICAPRIMEROCIENTIFICOFISICAQUIMICA

MECANICAPROGRAMACIONCIVILINDUSTRIALINVESTIGACION

PASO 1:Qu debo lograr?Encontrar en la sopa de letraslas 15 palabras indicadas.



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7. Colocar los dgitos en los siguientes crculos; de manera que la suma de los dos de debajo de cmo resultado el nmero de arriba.

PASO 1:Qu debo lograr?Colocar los nmeros del 1 9en los crculos cumpliendo conla condicin de que losnmeros de abajo al sumarlosden como resultado elnmero que tengan arriba encomn.



PASO 4: Verificar los resultados

Verificar las sumas.

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8. Se disponen de 16 palillos, formando cinco cuadrados, segn muestra la ilustracin. Moviendo slo 2 palillos debern quedar cuatro cuadrados

idnticos juntos.

PASO 1:Qu debo lograr?Formar 4 cuadrados idnticos

juntos, movilizando slo 2 delos 16 palillos que forman lafigura.



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9. Colocar los dgitos 1, 2, 3, 4, 5 6 en los cuadros de manera que ninguno consecutivo a otro est conectado por un segmento de lnea.

PASO 1:Qu debo lograr?Colocar nmeros del 1 al 6, enlos cuadrados.

- Condicin: ningn nmeroconsecutivo debe estarconectado a otro por unalnea.



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10. Colocar los dgitos 1, 2, 3, 4, 5 6, 7 y 8 en los cuadros de manera que ninguno consecutivo a otro est conectado por un segmento de lnea.


- Condicin: ningn nmeroconsecutivo debe estarconectado a otro por unalnea.



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11 CUBO MGICO:utilizando los nmeros del 1 al 9, colocarlos a manera que la suma: vertical, horizontal y diagonal sea siempre 15.


- Condicin: el resultado desumar los nmeros en lossentidos vertical, horizontal ydiagonal sea .



PASO 4:Verificar los resultadosVerificar los resultados de lassumas.

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12 CUBO MGICO:utilizando los nmeros 1 al 16 en un cuadrado de 4 x 4, colocarlos de modo que cada lnea horizontal y vertical, y las dos diagonalesprincipales sumen 34.

PASO 1:Qu debo lograr?Colocar nmeros del 1 al 16,en los cuadrados.

- Condicin: el resultado desumar los nmeros en lossentidos vertical, horizontal ydiagonal sea 34.




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13. Llenar el siguiente tringulo utilizando los primeros 6 mltiplos de 3, a manera que la suma de cada uno de sus lados sea la misma.

PASO 1:Qu debo lograr?Colocar principales mltiplos

de 3 en los crculos.- Condicin: el resultado desumar cada fila sea el mismo



PASO 4:Verificar los resultados

Verificar los resultados de lassumas.

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14. Colocar los nmeros del 1 al 9 en cada crculo a manera que la suma de cada uno de sus lados sea la misma.

PASO 1:Qu debo lograr?Colocar los nmeros del 1 al 9

en los crculos.- Condicin: el resultado de lasuma de cada fila sea elmismo.




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15. Colocar los nmeros del 1 al 15, de modo que la suma de cada una de las lneas sea 54.

PASO 1:Qu debo lograr?Colocar los nmeros del 1 al15 en los crculos.- Condicin: el resultado de la

suma de cada fila sea 54.





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16. Cul es el mtodo ms rpido para cronometrar 9 minutos, disponiendo de un reloj de arena de 4 minutos y otro de 7 minutos?

PASO 1:Qu debo lograr?Cronometrar 9 minutos.- Condicin: emplear dos

relojes de arena. Uno de 4minutos y otro de 7 minutos.



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17 SUDOKU: Llenar los espacios vacios con nmeros del 1 al 9, sin que estos se repitan al leer las lneas en ninguno de los sentidos, vertical u horizontal,ni tampoco en cada caja de 3x3.

3 7 4

6 2 4 1

5 3 9 6 7

4 3 6

8 7 3 5

9 7 2

7 1 8 2 4

1 6 8 9

4 5 3

PASO 1:Qu debo lograr?Colocar los nmeros del 1 al 9en los cuadrados.

- Condicin: los nmeros no sepueden repetir en sentidovertical, horizontal ni en cadacaja de 3x3.



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8 5 2 1

9 4 1 2 3

3 7 4

5 3 4 9

4 2 6 3

1 3 9 7

6 8 5

1 8 4 3 6

2 7 8 9

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19 KAKURO:rellenar las casillas con nmeros del 1 al 9 de forma que en ninguna serie de nmeros, en horizontal o vertical, se repitan y que su suma decomo resultado el nmero que se indica.

3 32 29 19

11 3

310

17

25

2410

18

10

3 15

4 4

PASO 1:Qu debo lograr?Colocar los nmeros del 1 al15 en los espacios en blanco.- Condicin: ninguna serie denmeros (horizontal overtical) se puede repetir ycada serie debe sumar elnmero indicado.




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20. En la siguiente multiplicacin por 2, cada letra representa un nmero, descbralos.

X P M* 2

M A A P

PASO 1:Qu debo lograr?Asignar a cada letra unnmero, de manera que alrealizar la operacin secumpla con el modelo.





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21. Colocar los nmeros del 1 al 8, en los espacios en blanco donde:

La suma de los vecinos del 4 sea 9




PASO 1:Qu debo lograr?Colocar en los espacios enblanco los nmeros del 1 al 9,cumpliendo con lascondiciones dadas.




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22. nase los 16 puntos de la figura, por medio de seis trazos rectilneos continuos. Que el lpiz finalice su recorrido exactamente en el punto donde

comenz. Un mismo trazo no puede ser recorrido dos veces.

PASO 1:Qu debo lograr?Unir los 16 puntos con seis

trazos.- Condicines: los trazosdeben ser rectos, continuos.Se debe finalizar donde seempez. No se puede realizarun trazo dos veces.



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23. Tres viviendas que forman un conjunto, se reparten la posicin de un patio comn, slidamente vallado. En dicho patio hay 3 pozos de agua. A la

casa A, le corresponde el pozo 3. A la casa B, el pozo 2. A la casa C, el pozo 1. Unir cada casa con su respectivo pozo por caminos rectos o curvos,

con la condicin de que no se crucen entre s.

PASO 1:Qu debo lograr?Unir cada casa con su pozocorrespondiente.- Condicin: las lneas paraunir las casas con sus pozos,no se pueden cruzar entre si.

PASO 2:EstrategiaUtilizar dibujo para resolver elprolema.


1 3

2

CBA

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24. Tenemos 5 casas cada una de un color.

Cada casa tiene un dueo de nacionalidad diferente.

Los 5 dueos toman una bebida diferente, fuman marcas

diferentes y tienen mascotas diferentes.

Ningn dueo tiene la misma mascota, fuma la misma

marca o bebe el mismo tipo de bebida que otro.

El noruego vive en la primera casa, junto a la casa azul.

El que vive en la casa del centro toma leche.

El ingls vive en la casa roja.

La mascota del sueco es un perro.

El dans bebe t.

La casa verde es la inmediata a la izquierda de la casa

blanca.

El de la casa verde toma caf.

El que fuma PALL MALL cra pjaros.

El de la casa amarilla fuma Dunnhill.

El que fuma Blend vive junto al que tiene gatos.

El que fuma Blue Master bebe cerveza.

El alemn fuma Prince. El que fuma Blend tiene un vecino que bebe agua.

El de la segunda casa tiene caballos por mascota.

Quin tiene peces por mascota?

PASO 1:Qu debo lograr?Saber quien tiene peces pormascota.

PASO 2:EstrategiaEmplear tabla para resolver elproblema.


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Nacionalidad

Fuma

Bebe

Mascota

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PASO 1:Qu debo lograr?Determinar el valor de unavariable dada, en este caso, de

la medida deseada.

PASO 2:EstrategiaEmplear una ecuacin.


PASO 4:Verificar los resultadosVerificar que el resultado hagavaledera la ecuacin.

En todos los problemas resueltos

con esta estrategia los 4 pasos dePolya se aplican de la misma

manera

Llene los espacios en blanco con la respuesta correcta.

25. El permetro de un tringulo equiltero cuya longitud de lado es igual a _______ pulgadas, es el mismo que el permetro de un rectngulo cuyo

largo sea de 10 pulgadas y su ancho de 8.

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26. Un cuadrado cuya rea sea 16 centmetros cuadrados tiene un permetro de _______ centmetros.

27. Si el rea de cierto tringulo es 24 pulgadas cuadradas, y la base mide 8 pulgadas, entonces la altura debe medir _______ pulgadas.

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28. Si el radio de un crculo se ducplica, entonces su rea se multiplica con un factor de _______.

29. El rea de un tringulo equiltero cuyo lado mida 6 pulgadas, es _______ pulgadas cuadradas.

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Utilice las frmulas de esta seccin para calcular el rea de cada figura. En los ejercicios. Emplee 3.14 como valor

aproximado de pi.

30.

31.

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32.

33.

34.

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35.

37.

36.

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38.

40.

39.

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41.

42.

43.

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44.

45.

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46 Longitudes del lado de una ventana: Una ventana con vitrales de colores de una Iglesia tiene forma cuadrada. El permetro, en metros, del cuadrado es7 veces la longitud de un lado menos 12. Encuentre la longitud del lado de la ventana.

47 Dimensiones de un rectngulo: Un establecimiento de renta de videos, coloc un aviso de cartn rectangular para la pelcula Sweet Home Alabama sulargo era de 20 pulgadas ms que el ancho, y el permetro era de 176 pulgadas Cules eran las dimensiones del rectngulo?

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48 Dimensiones de un lote: Un lote tiene forma triangular. Un lado es 100 pies ms largo que el lado ms corto, mientras que el tercer lado es 200 piesms largo que el lado ms corto. El permetro del lote es de 1200 pies. Encuentre las longitudes de los lados del lote.

49 Longitudes de lado en gallardete: Una pared en gallardete tiene forma de triangulo issceles. Cada uno de los dos lados iguales mide 18 pulgadas msque el tercer lado, y el permetro del tringulo es de 54 pulgadas. Cules son las longitudes de los lados del gallardete?

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50 rea de dos lotes: El plano topogrfico de la figura muestra dos lotes que forman un trapecio. Las medidas de los lados paralelos son 115.80 pies y 171pies. La altura del trapecio es 165.97 pies. Encuentre el rea combinada de los dos lotes. Redondee la respuesta al centsimo ms cercano de un pie

cuadrado.

51. Un techo que mide 9 pies por 15 pies puede pintarse por Q60. Cunto costara pintar un techo de 18 pies por 30 pies?

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52. Suponga que un recubrimiento de 10 pies por 12 pies cuesta Q200. Calcule el costo de recubrir una habitacin de 20 pies por 24 pies.

53. Un limpiador de pisos cobra Q80 por asear un rea de 31 pies por 31 pies. Cunto cobrara por otra de 93 pies por 93 pies?

l l d d l l l d d d bl

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rea total como la suma de reas: Si se considera al rea total como la suma de reas de todas su partes, entonces es posible

determinar el rea de una figura.

54.

56.

55.

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57.

58.

rea de una porcin sombreada de una figura plana: Las reas sombradas de las figuras se obtienen si se resta el rea no sombrada

del rea total de la figura.

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59.

60.

61.

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62.

63.

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1. Cambia un palillo de posicin y haz que la casa mire al este en vez de al oeste.

PASO 1:Qu debo lograr?Que la casa mire hacia eloeste.



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2. Cambie tres palillos de posicin, de manera que la figura triangular mire hacia abajo en vez de hacia arriba.

PASO 1:Qu debo lograr?

Que el tringulo mire haciaabajo.



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4 8 5 6 2 7

6 8

3 5

8 1 7 3

2 4

6 2 5 3 7 8 9

4

5 7 3 6

4 3 5 7 2

4 Un hombre debe llevar a un leon una oveja y una flor a travs del ro El solo puede llevar una cosa con el a la vez El problema es que el len no

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4. Un hombre debe llevar a un leon, una oveja y una flor a travs del ro. El solo puede llevar una cosa con el a la vez. El problema es que el len no

puede quedarse solo con la oveja, ya que de ser as, se la comer. As mismo, la oveja se comer la flor si el hombre las deja solas. El hombre debe

estar cerca para impedir que estos dos se coman su platillo favorito. Cmo lograr que todos estn del otro lado del ro?

PASO 1:Qu debo lograr?Que todos pasen al otro ladodel ro.- Condicin: no dejar solos a laoveja y flor; no dejar solos a laoveja y len; pasar solo conuno a la vez.

PASO 2:Estrategia

Emplear la estrategia deensayo y error.


l l d f l d d d d b l l d l

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5. Cul es el nmero de cuatro cifras, cuya primera es el nmero de jugadores de un equipo de baloncesto, la segunda y tercera son la primera

multiplicada por tres y la ltima la suma de la segunda y tercera?

PASO 1:Qu debo lograr?Determinar el nmero




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1 Juego para tres: Tres personas deciden jugar a tirar monedas a ver si coinciden en cara o cruz. Cada uno arroja unamoneda, y el que no coincide con los otros dos pierde. El perdedor debe doblar la cantidad de dinero que cada componente

tenga en ese momento. Despus de tres jugadas, cada jugador ha perdido una vez y tiene 240 pts. Cunto tena cada uno al principio?

PASO 1:Qu debo lograr?Cunto tena cada persona aliniciar.

PASO 2:Estrategia

De atrs hacia adelante.



J i i l d l i i S d l h h h l

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2 Jaimito generoso:Jaimito sale con un montn de cromos y vuelve sin ninguno. Su madre le pregunta que ha hecho con loscromos. Con cuntos cromos sali Jaimito?

- A cada amigo que me encontr le di la mitad de los cromos que llevaba ms uno.

- Con cuntos amigos te encontraste?

- Con seis

PASO 1:Qu debo lograr?Determinar con cuntoscromos sale Jaimito, tomandoen cuenta las condiciones.

PASO 2:Estrategia

De atrs hacia adelante.



E j d j d L j d li t t t 1 10 l

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3 Llegar a 100: Es un juego para dos jugadores. Los jugadores eligen por turnos un nmero entero entre 1 y 10, y lo suman alos nmeros elegidos anteriormente. El primer jugador que consigue sumar exactamente 100 es el ganador. Puedes hallar

alguna estrategia ganadora?

PASO 1:Qu debo lograr?Hallar estrategia indicada.

PASO 2:EstrategiaDe atrs hacia adelante.


PASO 4:Verificar los resultadosVerificar que responda a los

requerimientos.

S ti t i l f d di d

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4 Un tringulo con monedas: Se tiene un tringulo formado por diez monedas.Cul es el mnimo nmero de monedas que hay que cambiar de sitio para que el

tringulo quede en posicin invertida?

PASO 1:Qu debo lograr?Cul es el nmero de

monedas a cambiar de sitio?

PASO 2:EstrategiaDe atrs hacia adelante.


PASO 4:Verificar los resultadosVerificar que el tringulo quedeen posicin invertida.

U d i t dit b l f d d d 300 t D d i t t l t d li

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5 El gur: Un da, mientras meditaba, un gur cay al fondo de un pozo de 300 metros. Despus de intentarlo todo para salir,el gur decidi escalar cada da 30 metros y cada noche se resbalaba 20m. Hacia abajo. Cunto tard el gur en salir del

pozo?

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PASO 1:Qu debo lograr?Determinar el valor de unavariable dada.

PASO 2:EstrategiaEmplear una ecuacin.


PASO 4:Verificar los resultadosVerificar que el resultado sea elvalor real de la variable, demanera que este valor hagavaledera la ecuacin.

En todos los problemas resueltos

con esta estrategia los 4 pasos de

Polya se aplican de la misma

manera

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1. Cuatro veces el cuadrado de un nmero es 21 ms que 8 veces el nmero. Cul es el nmero?

2. Cuatro veces el cuadrado de un nmero es 45 ms que 8 veces el mismo nmero. Cul es el nmero?

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3. La suma de un nmero con su cuadrado es 132. Cul es el nmero?

4. La suma de un nmero con su cuadrado es 156. Cul es el nmero?

l l d h d d d h C l l l l l h l d 8 2

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5. El largo de una hoja de madera es 5m ms grande que su ancho. Calcula el largo y el ancho si el rea es de 84 m2

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1. Descubre qu nmero sigue en esta secuencia: 24, 31, 34, 45, 51, 52, 55, ...

PASO 1:Qu debo lograr?Determinar el nmero quecontinua la secuencia,

respondiendo al patrnencontrado.

PASO 2:EstrategiaBsqueda de un patrn.


PASO 4:Verificar los resultadosVerificar que el elementocolocado corresponda alpatrn.

En todos los problemas resueltoscon esta estrategia los 4 pasos de

Polya se aplican de la misma

manera

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2. Averiguar la cifra que falta en el ltimo cuadrado.

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3. Qu ficha de domin sobra en la serie?

4. Completar la siguiente serie: A C E G ...

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5. Completar la siguiente serie: 2 3 5 8 13 21...

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ANLISIS: descomposicin de un todo en sus distintos elementos constituyentes, con el fin de estudiar stos de manera separada, para luego, en un

proceso, llegar a un conocimiento integral.

ARGUMENTO: razn que soporta una afirmacin expuesta.

CONCEPTO: pensamiento ya establecido, normalizado y que tiene un significado en comn.

CONJUNTO: coleccin de objetos bien definidos por medio de alguna o algunas propiedades en comn.

ESTRATEGIA: conjunto de acciones que se llevan a cabo para lograr un determinado fin.

JUICIO:crtica a un concepto, el cual puede ser verdadero o falso.

LGICA: ciencia que estudia las estructuras del pensamiento.

NOMENCLATURA: signo o nombre que se le asigna a un elemento.

PREMISA: cada una de las proposiciones de un razonamiento que dan lugar a la consecuencia o conclusin de dicho razonamiento. Las premisas son

expresiones lingsticas que afirman o niegan algo y pueden ser verdaderas o falsas.

PROBLEMA: toda situacin nueva que requiere la aplicacin de alguna estrategia para su solucin. Si ello no se cumple, deja de ser problema. Un

problema requiere de observar, planificar, experimentar, decidir, compartir, argumentar, disear, analizar, disfrutar, etc.

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PROPOSICIN: es un enunciado o expresin de la cual podemos determinar el grado de verdad o falsedad, pero, no ambos valores a la vez.

PROPOSICIN SIMPLE:enunciado que da solamente una informacin verdadera o falsa.

PROPOSICIN COMPUESTA:proposicin formada por dos o ms proposiciones simples unidad por medio de un conectivo lgico.

PROPOSICIN ABIERTA: aquel enunciado o expresin donde se desconoce el sujeto, por lo tanto no podemos afirmar su grado de veracidad o falsedad.

RAZONAMIENTO: relacin y anlisis entre juicios. No es ni verdadero ni falso, es catalogado como correcto o incorrecto.

RAZONAMIENTO ANALGICO: anlisis que puede partir desde pensamientos particulares que conducen a pensamientos particulares; o bien, de

pensamientos generales que conducen a pensamientos generales.

RAZONAMIENTO DEDUCTIVO: anlisis que parte de pensamientos generales que conducen a pensamientos particulares.

RAZONAMIENTO INDUCTIVO: anlisis que parte de pensamientos particulares que conducen a pensamientos generales.

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