apuntes de flujo uniforme

A P U N T E S D E C A N A L E S

INGENIERIA DE LOS RECURSOS HIDRAULICOS ING. RICARDO A. CAVAZOS GZZ

ecibe el nombre de canal abierto, el conducto que nos permite conducir agua de un lugar a otro, impulsada únicamente por la fuerza de la gravedad y con una superficie libre, o sea que el agua está en contacto con el aire. Los canales abiertos pueden ser naturales y artificiales, los canales naturales son

irregulares en cuanto a sección, trazo y carácter de la rugosidad del fondo y las paredes, por ejemplo: los ríos, arroyos, cañadas, etc. Los canales artificiales pueden tener alguno de los siguientes propósitos: para irrigación de terrenos, conducción del agua a lugares donde se pueda aprovechar en forma de “caídas”, para la producción de fuerza eléctrica, conducir agua potable de las fuentes de abastecimiento a los tanques de almacenamiento de una población, como canales subterráneos en los sistemas de drenaje sanitario y pluvial de las ciudades, para drenar terrenos para el control de inundaciones, para controlar la salinidad y para la navegación comercial. Los canales pueden construirse abriendo tajos dentro del mismo terreno o encima de un terraplén formado sobre el terreno. Las pérdidas de gasto en los canales que pueden representar un 40%, son debidas a la evaporación y a la filtración siendo ésta última la más importante. Para reducirla a un mínimo, se recurre a revestir los canales con materiales impermeables. Cuando un terreno es muy permeable, ó cuando conviene reducir las filtraciones por escasa o cara el agua, se recurre a revestir las paredes, y piso del canal con algún material impermeable, por ejemplo: concreto, mampostería, enladrillados, etc. existiendo máquinas bastante buenas para revestir de concreto piso y taludes.

R

ING. RICARDO A. CAVAZOS GZZ 2

En un canal abierto se acostumbra llamar: a Sección transversal en m2. e Altura del bordo libre v Velocidad media en m/s T Ancho de la lámina de agua vf Velocidad en el fondo en m/s P Perímetro mojado en m. vs Velocidad superficial en m/s R Radio hidráulico en m. so Pendiente del fondo del canal R=A/P sa Pendiente de la sup. del agua Q Gasto en m3/s d Tirante normal en m. q Gasto en m3 /s por metro y Profundidad vertical del agua lineal. b Ancho de la plantilla en m. m Relación de la proyección c Ancho de la corona del bordo horizontal a la vertical de la sf Pendiente de la línea de energía pared ó talud, se da el nombre de talud

a la pared W como ésta relación. En una sección cerrada se distinguen tres partes: La clave, ó sea el punto más alto del perímetro interior de la sección El eje, ó sea la línea horizontal de mayor amplitud, La Plantilla, ó sea el punto más bajo del perímetro interior.

SECCION TRANSVERSAL.- La expresión aquí usada, se refiere a la sección transversal de un canal, normal a la dirección del flujo. La sección transversal de corrientes naturales es por lo general muy irregular, variando aproximadamente de una parábola a un trapecio. Las secciones de canales artificiales, que son las más utilizadas por el Ingeniero Civil pueden tener una gran variedad de formas, según sea su función y características; generalmente se emplean secciones geométricas regulares, entre las más usadas para canales abiertos tenemos: Triangular.- Para zanjas pequeñas, cunetas y trabajos de laboratorio. Triangular redondeada.- Parecida a la parabólica, es generalmente producida por la excavación con maquinaria.


Rectangular.- Para canales de madera y pequeños canales revestidos interiormente.

Trapecial.- La más empleada para canales excavados en tierra, dependiendo la inclinación de las paredes ó taludes de la consistencia del terreno. Semi-circular.- Para canales revestidos de ladrillo, mampostería ó concreto, pudiendo ser también de metal ó lámina corrugada. Parabólica.- Utilizada algunas veces con revestimiento interior, ofreciendo la ventaja de tener la forma aproximada de muchas de las corrientes naturales. Circular, Elíptica, Oval, Rectangular y en Herradura.- Utilizadas referentemente para tramos de túneles y en conductos para la evacuación de aguas negras y pluviales. Comúnmente estas formas geométricas se adoptan en conductos cerrados, cuyas dimensiones permiten el acceso al interior de los trabajadores encargados del mantenimiento. Se acostumbra construir una sección estrecha en la parte inferior para cuando el gasto sea pequeño, el agua adquiera un tirante apreciable y pueda arrastrar las materia sólidas en suspensión. VELOCIDADES LIMITES: La velocidad media V ó sea aquella que suponiéndola constante en todos los puntos de la sección, nos da el gasto real en la fórmula Q=VA, debe estar comprendida dentro de ciertos límites para evitar que se erosionen las paredes ó se provoque el asentamiento de las materias en suspensión que lleva el agua. Para tener una idea de la velocidad media permisible se puede hacer uso de la siguiente tabla:

TABLA 6.1 Velocidades medias en m7s para distintos materiales

1.- Arcilla fina .........................0.08 11.- Guijarros pequeños .....................0.90 2.- Tierra humedecida.......... 0.12 12.- Grava gruesa .............................. 1.20 3.- Tierra .............................. 0.15 13.- Piedras chicas ............................. 1.20 4.- Arena fina .............0.30 a 0.60 14.- Grava con cantos rodados ...... 1.50 5.- Arena de Río....... 0.50 a 0.60 15.- Arcilla con grava 6.- Arcilla pura....................... 0.60 compactada ................. 1.50 a 2.11 7.- Arena gruesa .................. 0.60 16.- Arcilla compactada, 8.- Arcilla común ...................0.70 jaboncillo .....................................1.80 9.- Suelo arenoso ..................0.70 17.- Piedras gruesas ............................. 1.80 10.- Tierra vegetal 18.- Rocas compactas ........................ 4.00 compactada ......0.75 a 1.10 19.- Concreto, mampostería. ...4.50 a 6.00 En general se puede usar de 10 a 80 cm/s para tierra, hasta 1.20 m/s en tepetate 6 tobas y en roca compacta hasta 2.00 m/s. DISTRIBUCIÓN DE VELOCIDADES: Debido a la presencia de una superficie libre y a la fricción a lo largo del fondo y paredes de un canal, las velocidades no se distribuyen uniformemente en la sección transversal.


La velocidad media V tiene lugar a una profundidad de 0.6d, ó en forma más exacta V = 0.2d + 0.8d 2 La velocidad máxima ocurre a una profundidad de 0.05d a 0.25d de la superficie libre. La V media = 0.7 a 0.8 de la V superficial. La velocidad en el fondo, en canales ordinarios, es aproximadamente vf= 0.75 V.

Curvas de igual velocidad en varias secciones.- PENDIENTE: La pendiente hidráulica está dada por la inclinación de la línea de energía, ésta se designa por Sf mientras que la pendiente geométrica está definida por el descenso del fondo del canal a lo largo de su curso, se designa con So ó sea la tangente del ángulo. Generalmente se procura que la pendiente del canal no sea menor de 0.00015, ni mayor de 0.005. En los canales pequeños se usa comúnmente una pendiente entre 0.001 y 0.004 según la naturaleza del terreno. En los grandes canales de tierra de más de 18.00 m. de ancho no conviene tener una pendiente superior de 0.0003. PERÍMETRO MOJADO P. Es la longitud en metros, del contorno de la sección transversal en contacto con el agua. RADIO HIDRÁULICO O MEDIO R. Es la relación entre el área de la sección transversal de la corriente y el perímetro mojado: R = A/P. En canales muy anchos se toma R = d. TALUD:

La inclinación del talud ó pared de un canal no debe ser mayor que el ángulo de reposo del material, con el objeto de que sean estables y evitar su destrucción por la humedad, la erosión y el tiempo. La siguiente tabla puede dar una idea de los taludes para canales excavados en diferentes materiales:


TABLA 1.2

TALUDES ANGULO

NATURALEZA DE LAS PAREDES Z : 1 Cotg a HOR : VERT a z Roca firme (canales pequeños) Casi vertical 90° 0 Roca firme 0.25:1 75°58´ 0.25 Roca compacta, canal revestido 0.5:1 63°26´ 0.5 De Cemento ó mampostería 0.5:1 63°26´ 0.5 Tierra firme con revestimiento 1:1 45°00´ 1.0 Tierra firme sin revestimiento 1.5:1 33°41´ 1.5 Suelos arenosos 2:1 26°34´ 2.0 Arena fina suelta 3:1 18°26´ 3.0 BORDO LIBRE: Es la parte de los taludes no llenada por el agua durante el escurrimiento normal del canal, que permite aumentar la capacidad normal sin que se derrame el agua. Este es muy variable, pero se recomienda que sea 0.60 m. para anchos de plantilla hasta 3 m. y de 1.00 m. para anchos de plantilla de 3 a 20 m. Para canales más anchos se debe consultar a la dependencia oficial correspondiente. En general puede tomarse del 5 al 30% del tirante. CORONA: Los bordos en su parte superior terminan en lo que se llama corona, se recomienda un ancho de corona de 1 a 3 ,- según la carga del agua de acuerdo con la naturaleza del suelo cuando el canal está en terraplén. En los grandes canales, una de las dos coronas generalmente se acondiciona para utilizarla como camino de inspección y operación. FORMULAS PARA REGIMEN UNIFORME: En el movimiento uniforme las secciones transversales, la velocidad media y la pendiente hidráulica permanecen constantes. En tal caso la pendiente del fondo So es igual a la pendiente de la superficie del agua Sa y también a la pendiente de la línea de energía Sf ó sea So = Sa = Sf = S. Las fórmulas para flujo uniforme se pueden expresar en la forma general de:

V = C Ra SB

donde, V es la velocidad media en m/s, R es el radio hidráulico en m, S es la pendiente hidráulica, a y ß, exponentes y C, un factor de fricción. En las fórmulas antiguas no se hacía intervenir la rugosidad de las paredes, no dando resultados satisfactorios por ser el valor de C constante.


FORMULA DE CHEZY (1775): Probablemente fue la primera fórmula de flujo uniforme que se conoció, su expresión es:

RSCV = Muchas fórmulas empíricas han sido propuestas para expresar el coeficiento C de Chezy en función del radio hidráulico R, adquiriendo la expresión de Chezy el nombre del investigador que propuso el valor de C. Citaremos las tres más comunes. Fórmula de Ganguillet y Kutter: 23 + 0.00155 + 1 C = S n

1 +( 23 + 0.00155 ) n S R n, es un coeficiente de rugosidad, ver tabla abajo. Fórmula de Bazin: C = 87 1 + y

R y es un coeficiente de fricción con los siguientes valores: y = 0.06 para paredes de cemento ó madera cepillada; y = 0.16 para superficies unidas, ladrillo, cemento pulido, barro vitrificado; y = 0.46 para paredes de mampostería; y = 0.85 para canales en tierra protegidos con zampeado; y = 1.30 para canales en tierra en condiciones normales; y = 1.75 para canales en tierra con gran resistencia cubiertos con vegetación y cantos rodados. (para ríos torrenciales). FORMULA DE MANNING: Roberto Manning propuso C = R 1/6 quedando una expresión en la forma de:

N V = 1 R2/3 S1/2 ó Q = A R2 /3 S 1 / 2

n n Siendo “n” el mismo coeficiente de rugosidad de Ganguillet y Kutter. Actualmente, la fórmula más usada es la de Manning, debido a su forma simple y a la coincidencia de su coeficiente de rugosidad n con el de Kutter. Además el coeficiente n de Manning representa mejor la rugosidad de una superficie que el y de Bazin. Por estas razones en los problemas aquí consignados se usará la fórmula de Manning.


ALGUNOS VALORES DE “ n “ Materiales sin revestir Revestidos Tepetate,Tobas, pizarras,

etc. Tierra Roca Mampostería Concreto

Hasta 10 m3/seg. 0.027 0.030 0.033 0.020 0.015 Mayor de 10 m3/seg 0.027 0.027 0.030 0.020 0.015 TIRANTE NORMAL:

El tirante normal es el que se obtiene por medio de la fórmula de Manning para un canal dado en régimen uniforme está a 90° con el fondo.

SECCIONES DE CANALES SECCIÓN DE MÁXIMA EFICIENCIA:

Desde el punto de vista hidráulico, la sección más eficiente de un canal es la que tiene el menor perímetro mojado para un área determinada. En este sentido la mejor forma es la semicircular pero es impráctica ó sea muy costosa, después de ésta es la rectangular cuya plantilla es igual a dos veces el tirante (b = 2 d), pero prácticamente solo se puede usar en canales pequeños de mampostería o en los abiertos en roca dura, después sigue la trapecial en forma de semiexágono, entre las trapeciales de taludes dados, la de mayor área es la que puede circunscribirse en un semicírculo de radio R = d y por último entre los triángulos, es el semicuadrado.


α

A excepción del triángulo, en las demás secciones más eficientes se tiene:

Área A = d2 ( 2 - cot a) ó A 0 d2 c´(ver tabla 6.3) sen a

Plantilla b = 2 d tg a/2 ó 2dc” (ver tabla 6.3) Radio hidráulico R = d/2 y para ancho de lámina de agua T = 2 w = b + 2zd. Desde el punto de vista práctico no es muy recomendable la sección de máxima eficiencia, pues aunque da la mínima área para un gasto dado, no da la mínima excavación y por lo tanto, puede ser más costosa, además si fuese grande el tirante, la presión del agua haría aumentar la filtración sobre el fondo de las paredes, lo cual exigiría el aumento de espesor de los mismos. En caso de usarse conviene que sea solamente para canales revestidos, debido a que en los canales sin revestir no se pueden aceptar formas semicirculares, rectangulares ó cualquier otra que tenga el talud lateral mauro que el natural del terreno, además puede ser que la velocidad sea mayor que la permitida. En los canales excavados en tierra la forma más empleada es la trapecial, en la cual la inclinación de sus lados depende de la naturaleza del terreno en que está excavando, es muy común el talud 1.5:1, a continuación se dan algunas indicaciones prácticas para proporcionar la sección de canales. SECCIONES TRANSVERALES USADAS EN CANALES

Para gastos pequeños se usa la sección rectangular y para gastos medianos y grandes es muy común la sección trapecial con una z = 1.5 y z = 2. En las alcantarillas se utiliza generalmente la sección circular, sin importar el gasto.


TABLA 7.3

Características de la Sección Trapecial

Talud Área Perímetro Sección máxima eficiencia Angulo z : 1

a hor:vert. bd + zd2 b + 2d 21 z+ c´= A c” = b d2 2d

11°18´ 5 : 1 bd * 5 d2 b + 10.199 d 5.199 0.100 14°01´ 4 : 1 bd * 4 d2 b * 8.248 d 4.247 0.124 18°25´ 3 : 1 bd * 3 d2 b * 6.325 d 3.325 0.163 26°34´ 2 : 1 bd * 2 d2 b * 4.471 d 2.472 0.236 33°41´ 1.5 : 1 bd * 1.5 d2 b * 3.605 d 2.105 0.303 45° 1 : 1 bd * d2 b + 2.828 d 1.828 0.414 53° 0.75 : 1 bd * 0.75d2 b + 2.500 d 1.750 0.500 63°26´ 0.50 : 1 bd * 0.50 d2 b * 2.536 d 1.736 0.618 75°58´ 0.25 : 1 bd * 025d2 b * 2.062 d 1.812 0.781 90° Vertical bd b * 2d 2.000 1.000


CÁLCULO DE CANALES CON MOVIMIENTO UNIFORME:

Las conducciones en canales y tuberías tienen muchos aspectos semejantes como se ve en las siguientes figuras:

Pero es mucho más difícil la solución de problemas de canales ya que las condiciones del escurrimientos están sujetas a los siguientes hechos.

1.- La superficie libre del agua cambia con el tiempo y de una sección a otra. 2.- En los tubos la roma geométrica de la sección transversal está perfectamente definida,

mientras que en los canales puede ser cualquier forma, desde la circular hasta la forma irregular de las corrientes naturales.

3.- En un canal el coeficiente de rugosidad es mucho más impreciso que en una tubería, variando grandemente, incluso puede depender del tirante del agua en la sección.

4.- El gasto que se toma al proyectar un canal no es exactamente igual al máximo que realmente vaya a correr por éste, pues generalmente aumenta en un 20 ó 25% el gasto de


proyecto, por la reducción que pueda producirse en la sección con el tiempo debido a hierbas, plantas acuáticas o depósitos de tierra.

En los problemas de canales con flujo uniforme se pueden presentar dos casos: la revisión de proyectos y el diseño.

En la revisión de proyectos se conocen todas las características del canal, forma y dimensiones de la sección, pendiente longitudinal y naturaleza de las paredes.

El diseño de canales se presenta cuando deben proponerse las dimensiones de la sección transversal, conociendo el gasto Q, n y So.

Estos problemas se resuelven aplicando dos ecuaciones, la de continuidad Q = VA, y una de flujo uniforme, Manning, Bazin, etc. Sí se usa la fórmula de Manning se tiene las siguientes variables:

1).- El gasto normal Q en m3/s 2).- La velocidad media V en m/s 3).- El tirante normal d en m 4).- El coeficiente de rugosidad n 5).- La pendiente del canal So 6).- El ancho de la plantilla b en m.

En la siguiente tabla se encuentran las variables enumeradas anteriormente y los

principales problemas en que intervienen, pudiendo formarse otros tipos de problemas, variando la combinación de éstas.

En los problemas de régimen uniforme el gasto no cambia con el tiempo o sea que el régimen es permanente, por lo tanto es válida la aplicación de la ecuación de continuidad.

TABLA 7.4

ALGUNOS TIPOS DE PROBLEMAS DE FLUJO UNIFORME EN CANALES ABIERTOS

GASTO VELOCIDAD TIRANTE Rugosidad Pendiente Plantilla Prob. No. Q V d n S b + ? v v v v 7.1 v + v v ? v 7.2

+ v v v ? v 7.3 v ? ? v v v 7.4

v + v ? v v 7.5 v v v v ? + 7.6.7 v + ? v v

? 7.8 No

revestido

v ? ? v v v 7.9 Revestido

La variable conocida se indica por v, la desconocida por ? y la que puede determinarse de

las conocidas por +.


DIMENSIONES DE LAS SECCIONES TRANSVERSALES. CANALES REVESTIDOS. Para proporcionar las dimensiones “b” y “d” de un canal revestido, en el cual no interviene la velocidad máxima permitida, se pueden usar los siguientes métodos: 1.- El tirante “d” se proporciona por la fórmula empírica d=(½) G A , A está en metros cuadrados y “d” en metros. Haciendo A = bd + zd 2 se puede demostrar que esta expresión es igual a b/d = 4 – z. Esta fórmula da canales muy anchos. 2.- Sección más eficiente de taludes dados. Aunque no es la forma más conveniente para proyectar un canal. 3.- Por medio de las gráficas elaboradas para éste fin el USAR. En estas debe proponerse una planilla y determinamos el tirante por medio de la gráfica de tirantes normales, ó proponemos un tirante y se determina por tanteos la plantilla. No deben suponerse el tirante y la plantilla simultáneamente de la gráfica. CANALES NO REVESTIDOS. Para proyectar un canal no revestido, es necesario tener en cuenta la velocidad, que no debe sobrepasar el límite superior que produce erosión ni descender al inferior que produce azolves. Hay dos métodos: 1.- Método de la velocidad máxima permisible. 2.- Método de la fuerza tractiva. CONDUCTOS CERRADOS. Para que un conducto cerrado trabaje como canal abierto o libre, debe tener por lo menos un punto de su área sujeto a la presión atmosférica. En el siguiente análisis se le dará preferencia a la sección circular por ser la más empleada, debido a que tiene la mayor área con el menor perímetro mojado. En caso limite de un conducto libre es cuando funciona completamente lleno, fig. b, actuando en la clave una presión igual a la atmosférica. En la figura c se muestra un conducto a presión.

Fig. A Fig. B Fig. C


SECCIÓN CIRCULAR LLENA.- Cuando el agua ocupa toda la sección del tubo, una fórmula que permite obtener el gasto en función del diámetro y de la pendiente es la de Manning. Q = 0.3117 D8 9 S1 2

n En la práctica es conveniente disponer de tablas y nomogramas adecuados para resolver esta fórmula, como el de la página. SECCIÓN PARCIALMENTE LLENA. En la práctica en muchos problemas de diseño de conductos cerrados, se necesita conocer el gasto y la velocidad cuando están parcialmente llenos, debido a las características de la sección circular, el estudio de los tubos parcialmente llenos es más complicado porque varían las características hidráulicas para cada dimensión del tirante, dependiendo las relaciones entre el diámetro D del tubo, el tirante d, el área A, el gasto Q, y la velocidad V de la fórmula aplicada.

Area: A = D2 (p? - sen? ) 4 360 2 Perímetro mojado: P = pD? /360 Radio Hidráulico R = D (1- 360 sen? ) 4 2p?

En la fórmula de Manning la velocidad es proporcional a R ?

, similarmente el gasto es proporcional a AR? (para n y S constantes). Representando gráficamente la relación AR2/3 / AoRo2/3 y R2/3 / Ro2/3 (Q/Qo y V/Vo, el subíndice es para la sección llena), se muestra que los valores máximos para el gasto ocurren a d/D = 0.938 y para la velocidad a d/D = 0.81, además la gráfica Q/Qo muestra que cuando el tirante es mayor de 0.81D, es posible que haya dos tirantes normales para el mismo gasto, uno mayor y otro menor de 0.938D; para V/Vo se observa que para valores mayores de 0.5D hay dos tirantes diferentes para la misma velocidad, uno mayor y otro menor de 0.81D. En el nomograma de Manning para n=0.013 se encuentran estas relaciones en forma de escalas.


Aunque teóricamente el gasto máximo puede ser mayor que el del tubo lleno, en la

práctica no es posible obtenerlo, sin embargo algunos proyectistas usan el Q máximo para diseñar las secciones de los tubos en los proyectos de alcantarillado lo cual no es recomendable, pues las secciones pueden quedar deficientes en capacidad. SECCIONES COMPUESTAS:

Cuando la sección tiene en el fondo una rugosidad diferente a la de las paredes, para

poder aplicar la fórmula de Manning es necesario determinar un valor equivalente de “n”, que sea representativo de todo el perímetro mojado de la sección. Una manera de obtener la rugosidad equivalente de una sección compuesta es dividirla en varias partes de las que se conocen los perímetros mojados P1, P2, etc. y los valores de los coeficientes de fricción n1, n2, etc. y aplicar cualquiera de las siguientes ecuaciones, donde p es el perímetro mojado total.

Según Horton y Einstein n = (P1 n1

1.5 + P2n21.5+ P3n3

1.5)2/3

P2/3 Según Pavioski, Milhofer y Banks. n = (P1 n1

2 + P2n22+ P3n3

2)1/2

P1/2

Según Lotter n = ( P R 5/3 ) P1R1

5/3 + P2R25/3 + P3R3

5/3 + etc.

n1 n2 n3 Cuando la sección se compone de varias partes A1, A2, A3, etc. de distinta profundidad y quizá diferente rugosidad, como por ejemplo el cauce de un río cuando lleva una avenida, se considera cada parte separadamente. Para el gasto total, tendremos:

En los cálculos de los radios hidráulicos las líneas de separación supuestas no forman parte del perímetro mojado. OTRAS SECCIONES.- Aunque en nuestro País no es muy común el uso de secciones no circulares en algunos casos puede ser conveniente por razones estructurales, económicas, de simplificación en la limpieza ó para mejorar el funcionamiento del escurrimiento, etc. En los problemas referentes a este tipo de secciones, es necesario conocer los elementos geométricos e hidráulicos. Sin embargo, para facilitar el cálculo, puede usarse la “sección circular equivalente” y utilizar los diagramas de tubos, obteniéndose bastante aproximación.


ALGUNAS SECCIONES NO CIRCULARES V y Q .- Velocidad media y gasto de la sección llena. V1 y Q1 .- Velocidad media y gasto de una sección circular llena, de diámetro D .- Igual al ancho de la sección A = Area, P = Perímetro mojado, R = Radio hidráulico, H = Altura, h = tirante.


PROBLEMAS DE CANALES

REGIMEN UNIFORME 1.1.- Hallar la velocidad media y el gasto que conduce un canal rectangular de concreto, poco pulido, con un ancho de plantilla b = 3.20 m., un tirante de agua d = 0.80 m. y una pendiente de 1.6 m/km.

Area: 3.20 x 0.80 = 2.56 m2. Perímetro mojado: P = 3.20 + 2 (0.80) = 4.80 m. Radio hidráulico ó medio: R =A= 2.56 = 0.534 m. P 4.80

La velocidad media la calculamos por medio de las siguientes expresiones: a).- Fórmula de Manning.- En esta fórmula el coeficiente de rugosidad que le corresponde al

concreto poco pulido es n = .015, siendo la velocidad media V=1 R2/3 S1/2 = 0.658 x 0.04 =1.75 m/s. N .015 El gasto valdrá: Q = VA 0 1.75 x 2.56 = 4.48 m3 /s. También se obtiene el mismo valor de la velocidad usando el nomograma de la fórmula de Manning. b).- Fórmula de Bazin.- Según esta fórmula el coeficiente de rugosidad establecido para este

material es y = 0.30, para este valor y un radio de 0.534 obtenemos C = 61.7 dando para velocidad.

V = C RS =61.7 00165340 .. X = 1.80m/s. El valor del gasto es. Q =VA = 1.80 X 2.56 = 4.60 m3/s.


1.2.- Determinar la velocidad media del agua y la pendiente de un canal de tierra n = 0.025, con talud 1 hor. A 1 vert., ancho de plantilla b = 1.00 m. y tirante d = 1.20, para conducir un gasto de 1.48 m3/s. Area = bd + zd2 = 1.00 x 1.202 = 2.64 m2.

Velocidad media : V = Q = 1.48 = 0.56 m/s. A 2.64 Perímetro mojado: P = b + 2d z+1 2

= 1.00 + 2 x 1.20 11 + 2 = 4.40 m. Radio hidráulico: R = A = 2.64 = 0.60 m.

P 4.40 El valor de la pendiente lo determinamos por las expresiones siguientes: a).- Fórmula de Manning.- Despejando la pendiente de esta fórmula tenemos:

S =( Vn )2 = (0.56 x 0.0025)2 = 0.0004. R2/3 0.711 Este valor también se puede obtener por medio del nomograma de la fórmula de Manning. b).- Fórmula de Bazin.- Para esta expres ión tomamos un coeficiente de rugosidad y = 1.30, con

esta cantidad y un radio hidráulico de 0.60 se obtiene un valor de C = 32.5, por lo tanto la pendiente de acuerdo con ésta fórmula es:

S = V2 = 0.314 = 0.0005. C2R 1056 X 0.60

1.3.- Encontrar el gasto y la pendiente de un canal de tierra que tiene un talud 1 hor. A 1 vert., ancho de plantilla b = 1.20 m., un tirante de agua d= 1.00 m. y velocidad media del agua V = 0.60 m/s.

Area = bd + ad2 = 1.20 x 1.00 + 1 x 1.002 = 2.20 m2.

Gasto : Q = VA = 2.20 x .60 = 1.32 m3/s.


Perímetro mojado: P = b * 2d z+1 2 = 1.20 + 2 x 1.00 z+1 2 = 4.03 m.

Radio hidráulico ó medio : R = A = 2.20 = 0.546 m. P 4.03

Pendiente: Se determinará por la fórmula de Manning:

S =( Vn )2 = (0.60 x .025)2 = 0.0005. R2/3 0.669 El mismo valor se obtiene con el nomograma de la fórmula de Manning.

1.4.- Calcular el tirante y la velocidad del agua en un canal rectangular de concreto, por el que circula un gasto de 2.00 m3 /s con una pendiente de 0.0004 y un ancho de plantilla de 3.00 m. Este problema equivale a calcular el tirante normal de un canal en régimen uniforme. a).- Solución por tanteos. La fórmula de Manning Q = A R2/3 S1/2

n La reordenamos, poniendo en el lado izquierdo los términos independientes de la geometría del canal, que son conocidos y del lado derecho los desconocidos Q n/S½= A R 2/3 (factor de sección) donde se conocen Q, n y S. Esta igualdad se puede resolver por tanteos dándose primeramente un tirante que determine una sección, un perímetro mojado y un radio hidráulico, con los cuales se calcula el factor de sección A R 2/3 que debe verificar la relación Q n/S½ en caso contrario se hace otro ú otros tanteos hasta que se cumpla la igualdad anterior. Para hacer el primer tanteo con un valor de “d” cerca de la solución final, conviene utilizar la siguiente expresión empírica: A3 = K Q2

S Con los siguientes valores de K, de acuerdo con la n de Manning.


n K n K .013 0.001 .025 0.005 .015 0.0015 .030 0.006 .017 0.002

Para este caso, con n = 0.015 que es el correspondiente al concreto, tenemos un valor de K = 0.0015, por lo que el área aproximada es: A3 = 0.0015 x 4 = 15: A = 2.46 m2. 0.0004 y el tirante “d” para primer tanteo será:

A = bd: 2.46 = 3.00 x d; d = 0.82 m.

En el cuadro siguiente van los tanteos hechos para este ejemplo. A R2/3 = Q n = 2 x 0.015 = 1.50 S1/2 0.02

d A P R R2/3 A R 2/3 1er. tanteo 0.82 2.46 4.64 0.53 0.655 1.61 > 1.50 2º. tanteo 0.80 2.40 4.60 0.522 0.649 1.56 > 1.50 3er. tanteo 0.78 2.34 4.56 0.513 0.641 1.50 = 1.50

Por lo tanto el tirante normal es d = 0.78 m. b).- Solución por gráfica.- El argumento horizontal en la gráfica No. 7 es:

Qn = 2 x 0.015 = 2 x 0.015 = 0.08

S1/2b8/3 0.00041/2 38/3 0.02 x 18.7 Levantando una vertical por este punto (0.08) hasta encontrar la curva correspondiente a la sección rectangular y continuando hacia la derecha con una línea horizontal hasta interceptar el eje vertical,, se obtiene la relación d/b = 0.26, despejando se tiene d = 0.26 b, d = 0.26 x 3 = 0.78 m. coincidiendo este valor con el encontrado en el inciso anterior.

1.5.- En un canal rectangular b = 0.60 m. y d = 0.35 m. se midió un gasto de 0.269 m3/s. Si la pendiente del fondo del canal era de 0.0025, ¿cual es el factor de rugosidad n del canal? Usando LA fórmula de Manning obtenemos:

n = A R2/3 S1/2 = (0.60 x 0.35) (0.16)2/3(0.0025)1/2 = 0.0115.

Q 0.269

1.6.- Por un canal rectangular de concreto debe circular un gasto de 2.00 m3/s, si hay pendiente

suficiente determinar:


1.- Las dimensiones de la sección transversal y la pendiente del fondo del canal, sabiendo que el tirante del agua debe ser d = 0.45 m.

2.- La sección más eficiente conservando la misma velocidad y la pendiente anterior. a).- Se elige una velocidad de acuerdo con la naturaleza de las paredes del canal para evitar la

erosión, desde luego debe partirse de la mayor velocidad permisible para la clase de material del canal, a fin de que la sección sea lo menor posible. Para este caso tomaremos una velocidad media igual a 2.50 m/s.

Area: A = Q = 2.00 = 0.80 m2. V 2.50

A = 0.80 = bd = b x 0.45 ; b = 1.78 m. Perímetro mojado: P = b + 2d = 1.78 + 0.90 = 2.68 m. Radio hidráulico ó medio: R = A = 0.80 = 0.30 m. P 2.68 Pendiente: Aplicamos la fórmula de Manning con n = 0.015.

S = (Vn)2 = (2.5 X 0.015)2 = 0.007 R2/3 .448 El nomograma de la fórmula de Manning dá resultados análogos. b).- Sección más eficiente conservando la velocidad de 2.50 m/s. Área: A = 2.00 = 0.80 m2.

2.50 La sección rectangular de más eficiencia es la que tiene un ancho de plantilla igual a dos veces el tirante, b = 2d, ó sea que el área será A = 2d2, de donde se puede despejar el valor de b y de d. 2d2 = 0.80; d2 = 0.40; d = 0.63 m y b = 1.26 m. Perímetro mojado: P = 0.63 x 2 + 1.26 = 2.52 m. Radio hidráulico : R = 0.80 = 0.318 2.52 La pendiente la podemos obtener aplicando la fórmula de Manning ó la de Bazin, ó por medio de un nomograma. a).- Fórmula de Manning.- En esta expresión el coeficiente de rugosidad para esta clase de

canal tiene un valor de n = 0.015, siendo el valor de las pendientes:

S = (Vn)2 = (2.5 X 0.015)2 = 0.006 R2/3 .466


b).- Fórmula de Bazin.- Para canales de concreto el coeficiente de rugosidad es y = 0.30, para y = 0.30 y R = .466 corresponde un C 0 67.8, reemplazando valores la pendiente será: S = V2 = 6.15 = 0.005 C2R 3648 x .32

1.7.- Se va a conducir un gasto de 28 m3/s con una velocidad de 1.75 m/s,, por un canal de concreto común de sección trapecial, taludes 0.5:1 si hay pendiente suficiente: determinar lo siguiente: 1º..- Las dimensiones de la sección y la pendiente. 2º.- La sección más eficiente y la pendiente del fondo del canal, conservando la misma

velocidad. 1º.- Para este caso el área es: A = Q = 28 = 16 m2. V 1.75 conociendo la forma de la sección y su área, las dimensiones que la satisfacen son numerosas, por ello, no existiendo ninguna condición para el proporcionamiento de b y d, para este problema se procede a escoger un tirante, por medio de la expresión: d = 1 A ,ó sea d = 1 16 = 2.00 m. 2 2 ya con el tirante establecido, el ancho de la base se deduce de: A = bd + z d2; 16 = b x 2 + 0.5 x 22, de donde b= 7 m. Calcularemos la pendiente con: b = 7 y d = 2 m que dan A = 16 m2. El perímetro mojado es: P = b + 2w = 7 + 2 x 2.24 = 11.48 m. El radio hidráulico es: R = 16 = 1.393 11.48 Despejando de la fórmula de Manning:

S = (Vn)2 = (1.75 X 0.015)2 = 0.00044 R2/3 1.245 De acuerdo con la fórmula de Bazin la pendiente será: S = V2

C2R Para y = 0.030 y R = 1.391, C = 69.35 y sustituyendo S = 3.05 = .00046 4809.41 X 1.39 2º.- Para la sección de máxima eficiencia se tiene que T = 2w donde: w = d z+1 2 y T = b + 2 z d ó también así: b = 2d tg a/2 = 2d ( z+1 2 –z)


Sustituyendo datos en T = 2w

2d z+1 2 = b + 2zd 2d 501 .+ 2 = b + 2(0.5)(d) b = 1.24 d

ó con b = 2d ( z+1 2 –z) = 2d 501 .+ 2 – 0.5 = 1.24, igual al valor anterior Expresando el área A = bd + zd2 en función de d Donde A = 16, z = 0.5 y b = 1.24 d Resulta A = 1.24 d x d + 0.5 d2 = 1.74 d2y d2 = 16/1.74 = 9.22 Finalmente d = 3.03 m. A la plantilla le corresponde un valor b = 1.24 x d = 1.24 x 3.03 = 3.75 m. Utilizando la tabla N° 6.3, tenemos: c´= 1.736 = A/d2, de donde d2 = A/c´= 16/1.736 = 9.22, d = 3.03 m. y b = 2d c” = 6.06 x 0.618 = 3.75 m. Ó sea los mismos valores anterio res. Como comprobación del radio hidráulico: R = A = 16 = 1.52 m. = d/2 P 10.56 Condición que debe cumplirse en la sección de máxima eficiencia. La velocidad media correspondiente es V = 28 = 1.75 m/s 16 Según formula de Manning la pendiente es:

S =(1.75 X 0.015)2 = 0.00039 1.322

1.8.- Se desea transportar un gasto de 1.2 m3/s por un canal trapecial de tierra n = 0.030 talud 1.5:1 y una pendiente disponible S = 0.002. a).- Proporcionar la sección transversal b).- Las dimensiones de la sección de máxima eficiencia y su velocidad. Solución:


a).- El punto de partida es suponer una velocidad de acuerdo con la naturaleza de las paredes y fondo del canal, para evitar la erosión, desde luego debe partirse de la mayor velocidad permisible para la clase de material del canal, con el fin de que la sección sea menor.

Para este caso se adoptará una velocidad de 0.80 m/s. Con esta velocidad el área tiene un valor de: A = Q = 1.2 = 1.50 m2.

V 0.8 El radio hidráulico se puede obtener de la fórmula de Manning: R2/3 = Vn = 0.80 x 0.03 = 0.533, R = 0.5333/2 = 0.39 S1/2 0.045 Perímetro mojado: P = 1.50 = 3.84 = 3.6 d + b 0.39 Siendo el valor del área conocido, A = 1.50 = bd + 1.5 d2

de la expresión del perímetro mojado se despeja b = 3.84 – 3.6 d y se substituye en la ecuación del área:

A = 3.84 d – 3.6 d2 + 1.5 d2 = 1.5

Haciendo operaciones resulta: d= 0.57 m y b = 1.80 m Suponiendo otras velocidades pueden encontrarse varios pares de valores de b y d, por ejemplo: para V = 0.78 m/s se tiene d = 0.50 m y b = 2.29 m, para V = 0.75 m/s, d = 0.45 m. y b = 2.89 m. escogiendo el que más convenga para las condiciones particulares de cada caso. Una solución puede ser un tirante dado por: d = ( ½ ) A = (½ ) 1.51 = 0.60 ó sea d = 0.57 y b = 1.80 b).- Para la sección de máxima eficiencia tenemos: b+2zd=2d z+1 2 (T=2w) b+ 2 (1.5) d =2d v1+1.5 2 = 3.605 d, de donde b=0.605 D A= bd + zd2 = 0.695 d x d + 1.50 d2 = 2.105 d2, además R = d/2

En la fórmula de Manning: Q = A R2/3 S1/2

N

Ponemos los elementos de la sección en función del tirante. 1.20 = 2.105d2 d2/3 x 0.045 ; d8/3 = 0.60 22/3 x 0.030 De donde ; d = 0.60 ? = 0.83 m. Entonces el valor del área es: A = bd + 1.5 d2 = 2.105 d2 = 1.45 m2.

Y el de la velocidad es: V = Q = 1.2 = 0.82 m/s. A 1.45 Como comprobación: R = A/P = 1.45/3.49 = 0.415 = d/2.


NOTA: Si se obtienen raíces imaginarias, se debe a que la pendiente es muy pequeña, no siendo problema la velocidad. Diseñándose como canal revestido.

1.9.- En un canal rectangular revestido de concreto n = 0.015 se va a conducir un gasto de 4 m3/s con una pendiente S = 0.0025, se pide:

a).- Proporcionar la sección transversal y calcular su velocidad.

b).- La Sección de máxima eficiencia y su velocidad.

c).- La sección según el criterio del USBR.

Solución: a).- La determinación de b y d en un canal revestido puede simplificar el uso de la

gráfica No. 7 como se explica a continuación: Se suponen varios valores de b y se determina el valor de la siguiente expresión: Q

S1/2b8/3 que es el argumento horizontal de la gráfica, entrando a ella con este valor se obtienen las relaciones correspondientes a d/b y por lo tanto el tirante d.

Con los datos Q, n, s y la b indicada, formamos la siguiente tabla:

b Qn/S1/2b8/3 d/b d/b x b d A 1/2 A 2.00 m. 4.50 x .015 = 0.212

.50 x 6.35 0.52 0.52 x 2 = 1.04 m. 2.08 0.77

2.50 m. 4.50 x .015 = 0.118 .05 x 11.51

0.35 0.35 x 2.5 = 0.88 m. 2.19 0.74

3.00 m. 4.50 x .015 = 0.072 05 x 18.7

0.25 0.25 x 3 = 0.75 m. 2.25 0.75

3.50 m. 4.50 x .015 = 0.048 .05 x 28.2

0.18 0.18 x 3.5 = 0.63 m. 2.21 0.74

4.00 m. 4.50 x .015 = 0.033 .05 x 40.3

0.14 0.14 x 4 = 0.56 m. 2.24 0.75

Aceptándose para el tirante económico el criterio d = ½ A , (APROX.), para este caso se puede escoger d = 0.75 m y b = 3.00 m ó d = 0.88 m. y b = 2.50 m. por si los más aproximados a d =(A½) A . También puede adoptarse una planilla de 2 a 3 veces el tirante, b =2 a 3d. Por último se agrega un bordo libre apropiado y se modifica la sección para que sea práctica. Solución: b).- La sección máxima eficiencia rectangular es aquella en que b = 2d y además R = d/2. Usando la fórmula de Manning, se tiene: V = R2/3 S1/2 = 1 d 2/3 0.00251/2

n .015 La ecuación de continuidad: Q = VA, dá; V = Q = 4 A 2d2


Substituyendo V en la ecuación anterior. 4 = d2/3 x 0.05 y despejando d 2d2 .015 x 1.59 d8/3 = 4 x 0.015 x 1.59 = 0.95 ; d = 0.98 m. 2 x 0.05 Con d = 0.98, b= 2d = 2 x 0.98 = 1.96 m. Y la velocidad es V = Q/A = 4/1.96 = 2 m/s. Solución: c).- Criterio del USBR (United States Beresu of Reclamation) De la figura de abajo, el ancho recomendable es b = 1.79 m., con ésta b Calculamos Q n = 4 x 0.015 = 0.29 y entramos a la grafica 7 S1 2b8 3 0.05 x 1.708 3 de donde obtenemos la relación y/b = 0.67, por lo tanto el tirante tiene un valor y = 0.67 x 1.70 = 1.14 m. Para determinar un bordo libre (B.L.) y la altura de recubrimiento (hr) utilizamos la siguiente gráfica que da un bordo libre de 63 cm. Y una altura de recubrimiento de 18 cm. Quedando el tirante final de 1.14 + 0.63 = 1.77 m. para la solución c), para las otras habrá que agruparse el B.L. a sus respectivos tirantes.


Cualquiera de las tres secciones calculadas cumplen con las condiciones del problema, las dimensiones finales se escogerán según la eficiencia hidráulica y la adaptabilidad para construirse.

1.10.- Una tubería de concreto común de 0.9144 m. (36”) de diámetro, tiene una pendiente de

0.0049. Determinar el gasto a tubo lleno y la velocidad del agua. Utilizando para el gasto la fórmula de Manning en función del diámetro con n = 0.013 que es el correspondiente al concreto común, tenemos: Qs = 0.3117 d8/3 S1/2

n y substituyendo valores: Qs = 0.3117 x 0.91448/3 x .07 = 1.323 m3/s. .013 Velocidad media: V = Q = 1.323 = 2.01 m/s.

A 0.6567 Los mismos resultados se obtienen utilizando el nomograma de Manning para n = 0.013, uniendo D = 36” con S = 4.9 milésimos (0.0049).

1.11.- Determinar el valor del coeficiente de rugosidad n para un tubo de 76 cm. (30”) de diámetro, colocado en una pendiente de 0.0036, sabiendo que cuando el tirante es de 46 cm. El gasto que lleva es Q = 500 l/s. Solución: Con la relación del tirante al diámetro d/D = 46/76 = 0.6, se encuentra en la escala de las relaciones de los elementos hidráulicos adjunta al nomograma n = 0.013, la correspondiente al gasto Q de tubo parcialmente lleno a tubo lleno Qo, Q/Qo = 0.665 de donde se obtiene: Qs = 500 = 750 l/s y V = Qs = 0.75 = 1.65 m/s. .665 A .456 ya con el valor del gasto a tubo lleno conocido podemos calcular el valor de n de la fórmula de Manning, n = 0.3117 x D8/3 S1/2 = 0.3117 X .481 X .06 = 0.12 Q 0.750 El mismo resultado se obtiene utilizando el nomograma de la fórmula de Manning para diferentes valores de n de la siguiente manera: uniendo el valor del radio hidráulico R = 0.19 (R = D/4 = 0.76/4) con el de la pendiente S = 0.0036, se marca la intersección con el eje auxiliar, después se une con el valor de la velocidad conocida y en la intersección de esta línea con la escala de los valores de n se encuentra el valor de este coeficiente.


1.12.- La sección de un acueducto de concreto común es circular y la pendiente 0.0036. Hallar el diámetro y la velocidad media cuando conduce un gasto de 325 l/s.

El diámetro se obtiene despejándolo de la fórmula de Manning: D8(3 = Qn = 0.325 x .013 = 0.225 0.3117 S ½ 0.3117 x 0.06 D = (0.225) 3/8 = 0.575 m. ó también con el monograma.

como esta medida de diámetro no se fabrica, es necesario utilizar el diámetro comercial inmediato superior que es de 0.61 m (24”), pero como este diámetro es mayor que el teórico calculado, el tubo va a fluir parcialmente lleno porque tiene una capacidad mayor que la requerida para el gasto

324 l/s., para hallar la velocidad media con este gasto, es necesario determinar los elementos hidráulicos de la sección parcialmente llena, lo que puede hacerse por medio de las escalas que se encuentran en el nomograma de Manning para tubos con n = 0.013, como se explica a continuación: Se calcula el gasto y la velocidad a tubo lleno con la fórmula de Manning, n =0.013, o con el nomograma. Qo = 0.3117 x 0.618/3 x .06 = 0.384 m3/s = 384 l/s. .013 Vo. Qo = .384 = 1.31 m/s. A .29 Se encuentra la relación de gastos de tubo parcialmente lleno a tubo lleno, que es: Q / Qo = 325 = 0.85 364 En la gráfica de los elementos hidráulicos del tubo se encuentra anexa al nomograma de Manning n = 0.013, la escala de velocidades dá V/Vo = 1.124 para Q/Qo = 0.85. Multiplicando la velocidad media a tubo lleno por esta relación se obtiene la velocidad media para la sección parcialmente llena o sea cuando fluyen 325 l/s. V = 1.31 x 1.124 = 1.47 m/s. Para conocer el tirante del agua para el gasto de 325 l/s., en la escala de gastos se traza una línea imaginaria de 90° hacia la izquierda a partir del punto Q/Qo = 0.85 y en la intersección con la escala de la relación de tirantes, obtenemos el valor d/D = 0.71 y como el diámetro de tubo es 0.61 m., el tirante será d = 0.71 x 0.61 = 0.43 m.

1.13.- Determinar el gasto y la velocidad media de una sección ovoide aplastada, Tipo III, H = 2.00 m., S = 0.003 y n = 0.013. El nomograma de Manning con D = 0.88 H = 1.76 m. y S = 0.003 dá Q1 = 5.80 m3/s y V1 = 2.4 m/s. Para sección circular, luego Q = 1.06 Q1 = 1.06 x 5.80 = 6.15 m3/s, con V = 0.99 V1 = 2.38 m/s.


1.14.- Determinar la altura H de un colector en forma de circulo aplastado, Tipo I, para llevar un gasto Q = 5 m3/s, con S = 0.004 y n = 0.013. Un colector circular equivalente, de diámetro igual al ancho de la sección D = 1.58 H, debe llevar un gasto Q1 = Q/0.5 = 2Q = 2 x 5 0 10m3/s., el nomograma de Manning con Q = 10 m3/s y S = 004 dá D = 2m y V = 3 m/s, por lo tanto, H = D/1.58 = 1/1.58 = 1.25 m. y V = 0.81 V1 = 0.81 x 3 = 2.40 m/s.

apuntes de flujo uniforme

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