analisis de esfuerzos bajo cargas combinadas

5/11/2018 analisis de esfuerzos bajo cargas combinadas

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~,Z -1J-J1-----j----t-IJ_"x-1J


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Teoria de la membrana 61

(a ) Tension pura. Dos de los circulos han degenerado en un puntaTIl = (Tz =0). EI esfuerzo cortante maximo es la mitad del csfuerzo de ten-si6n y ocurre en los planes x/y y xlz (a 45). Par simetria, este misrno valordel esfuerzo cortante maximo ocurrira en cualquier plano que tcnga un angu-10 de 45 can el ejc de tensi6n.(b) Compresion pura. Este es idcntico al de tension pura, can la f'xcep-cion de que son de signos contraries.(c) Tension biaxial igual. Los esfuerzos de tension (T" y (Til son iguales, y


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(2.18)

62 Esfuerzos de estado

donde ds representa una langitud infinitamente pequefia de una linea sobrela que se distribuye la fuerza. Una fuerza lineal se pucdc pensar como unaabstracci6n bidimensional en la que la fuerza se distribuye sobre una mem-brana de espesor "cero",Para una placa de espesor t, bajo esfuerzo unifonne, la relacion entrela fuerza lineal y el esfuerzo es

q = at (2.17)En la obtenci6n de las Ecs, (2.9) y (2.10), las ecuaciones de equilibria

para un e1emento fueron escritas en una forma que contiene terrninos talescomoes, t dy co s (J. De la Ec. (2.17) es evidente que la cantidad u""" t re-presenta la fuerza lineal g , cuando el elemento se reduce a una membranabidimensional. Par tanto, la ecuaci6n de equilibria para ' i . E " " = 0 se puedeescribir, para la membrana, como

q:.ds - q.z dy cos Ii - qvv dx sen Ii - q~ dy sen fJ - qv. dx cos fJ = 0Dividiendo todo entre ds, y hacienda las sustituciones dx/ds =sen 0,q " " = Q " 1 } , asi como de, dy / ds =cos e , obtenemos

Esta ecuaci6n es identica a la Ec, (2.7), excepto que todos los esfuerzosestan reernplazados por las correspondientes fuerzas lineales. Puede demos-trarse, en forma similar, que la correspondencia lleva a cabo el analisis com-pleto de esfuerzo plano, incluyendo el Circulo de Mohr. En realidad, hem osdemostrado que la fuerza lineal es una cantidad tcnsorial y que estado defuerza lineal en un punto, se puede expresar mediante los tensores.General:

T.= (2.19a)Referida a los ejes principales:

[ql 0 ]Toon = 0 q 2 (2.19b)en donde q. y q" son las fuerzas lineales prineipales.EJEMPLO 2.3. EI recipiente cilindrico a presion de la Fig. E2.3 sc anali-zara usando la teoria de la membrana. Un modele conceptual se desarrollaal representar las paredes de espesor real t por una membrana de cspesor"cere". Puesto que la Ec. (2.17) esta basada en la suposici6n de que elesfuerzo esta uniformemente distribuido sobre eI cspesor, la membrana debeestar localizada a medio espesor ; esto es, el valor promedio de los diametrosinterior y exterior se debe usar para el modelo conceptual como se ilustra enFig. E2.3b. Los valores de 'l y g" se encuentran como sigue, para una pre-sion neta p.[2:P. = 0] pD av dy - 2q. dy =0

pD.. Rq. =2= p


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Teoria de la membrana

(a)

(b) Membrana (e) Elemanto (q'y no se ilustra:tampocc se ilustra la presi6n)

y

IT"U --Y 2

(dl Fuer:zaslongitudinales(la presion no se ilustral

rT "lei Estado de esfuerzo(no seilustra la presionl

Fig. E2.3De la Ec. (2.17), el esfuerzo circunferencial (Ilarnado "tension anular") cs(vea cI diagrama c)

q. pRu.=t=-1-

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(a)


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r~p.= J -q.21rR.v + p1rR.v2 = 0Q. = !pR.v

q. 1 pR.vIT. = = t=2 -t- (2.20)


Para un cilindro ccrrado, eI esfuerzo longitudinal se encuentra al escribirla ecuacion de equilibria para el "cuerpo libre" ilustrado en el diaprama d.La fuerza intcrna en la direccion y no se muestra, pero es igual a la presionneta multiplicada par eJ Area proyectada del extreme cerrado.

EI estado de csfuerzo para un clcrnento del cascaron cilindrico se ilustra en eldiagrama e.

La formula para IT!1 sc aplica tam bien a un cascaron eo/hica, C01110 scpuede probar facilmente al "aislar" 0 "cortar" el cascaron par la rnitad, yescribir la ecuacion de equilibria como se hizo arriba.

Las formulas antes mencionadas son usadas bastante en ingenieria. Sonuna aproximaci6n en comparacion can las obtenidas poria Teoria de laElasticidad (formulas de Lame). El error se incrementa can cl aumento de1a relaci6n tIRpt'om'

La formula para la tension anular, Ec. (a), frecuentemente se obtienc,crroneamente, al usar el radio interior para escribir la ecuacion 'i ,P" =O. Estoes incorrecto, porque involucra una mezcla de diferentes niveles de abstrac-ci6n. No se puede suponer que cl csluerzo esta distribuido uniformemcntc sabrecl espcsor, dando una resultante a medio espesor, y al mismo tiempo repre-sentar el cascaron pOl' una membrana situada en el radio interior. Tal modeloconceptual crcaria un momenta en la seccion cortada, la cual es inadmisiblcen la teoria de la membrana.

Para dcmostrar los efectos practices de hacer tal error en d modelo con-ceptual, se cornpararan tres metodos para un recipiente que tiene un valor detIRp,'om = 0.2, que seria clasificado como de "pared gruesa",1. Teoria. de la membrana,.usando Rl"'"''':

R])r(}mlTx = jJ =5.00p0.2 Rprom

2. Teoria de Ja membrana, usando R ,, ( (erroneo) :t 0.2 RpromRiul = = R!t!(}!~1 ~ 2 ' : : : - . . : .RprolJl - 2 = = 0.9 R~}rom

Sea pRin t O.9RII l 'om- =p = 4.50prr,~ - 0.2 R"'om 0.2 Rprom3. Formula de Lame (exacta) (Ref. 2) :

Seak = Rexlori"r = 1.1 R p t ' O m

Ri.rrtcl'io, 0.9 Rprum1.222

k" + 1iI$, mnx = p -k-2----1 =5.06p


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Esfuerzos principales en el estado general de esfuerzo 65

La teoria correcta de la membrana (con Rprom) subestima el esfuerzomaximo en, aproximadamente, 1% para este cilindro. El uso del radio inte-rior origina una subestirnacion alrededor del 11 % .

Si el extremo cerrado de un recipiente cilindrico es un segmento de unaesfera de pared delgada, el radio promedio del extremo cerrado se puede usaren la ecuaci6n (2.20) anterior. Sin embargo la situacion de la uni6n del ex-tremo ccrrado y las paredes cilindricas involucra efectos localizados que no sepueden calcular por la teoria de la membrana.

2.10 Esjuerzos principales en el estado general de esjuerzo"El tipo de analisis usado en la Sec. 2.4 se puede extender a un estado tri-dimensional de estado de esfuerzo, pero el procedimiento es complicado.Un procedimiento similar mas simple consiste en diagonalizar el tensor deesfuerzo, siguiendo las reglas desarrolladas en el aIgebra matrieial (porsupuesto, este procedimiento tambien se puede usar para el caso bidimen-sional) .

El estado de esfuerzo esta representado por el tensor de la Ec, (2.4):

Una matriz diagonal que representa el misrno estado de esfucrzo se en-cuentra al girar e 1 sistema de ejes a una nueva orientaci6n x', y', z', tal que:

donde '0"1, 0"2 Y 0"3 son los esfuerzos principales,El procedimiento * es hacer el determinante siguiente igual a cero:

1"~ .1"yz = 0

( 0 - . . - X )( O "~ . - } . . ) 1"%11

1"y (O"yy - x)

EI desarrollo de este determinante da una ecuacion cubica en A , cuyasrakes son todas reales (esto es verdad para todos los tensores de esfucrzo).Las tres raices representan los esfuerzos principales.

+ Esta seccion debe ser omitida si los estudiantes no han recibido preparaci6n en elalgebra matricial elemental.* Vea cualquier texto que incluya algebra matricial ; por ejemplo, Ref. 12, pag. 88.


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EJEMPLO 2.4. Un tensor de esfuerzo particularsiguientes esfuerzos en kips /pulg.>

T.~ [ lesta representado pOf los

1 2 ]2 22 1Escribirnos la siguiente ecuaci6n:

1(2 - A)

2 ~ 1 = 0(1 - }..)Despues de desarrollar el determinante, tenemos la ecuacion caracteristica

; t. , . - 6A ' + 4A + 7 =0Las raices ** de esta ecuaci6n dan los esfuerzos principales, como sigue:


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Problemas

Como prueba, note que la suma de los elementos de la diagonal principalde un tensor (Hamada traza] es un invariante, Para la rnatriz original, latraza cs:

3,000 + 2,000 + 1,000 = 6,000 Ib/pulg.2Para la matriz diagonal,

4,890 + 1,875 - 760 = 6,005 Ib/pulg.>Las dirccciones de los esfucrzos principales se pueden calcular par me-todos desarrollados en el algebra matricial. Estos calculos se omiten porquerara vez se necesita este conocimiento para predccir el comportamiento decomponentes estructurales.

PROBLEMAS2.1. Una barra de seccion transversal rectangular uniforme, de 2 par3 pulgs., y 30 pulgs. de longitud, transmite una fuerza de tensi6n purade 30,000 libras en la direccion x (ver Fig. 2.1). Encuentre los valores delos esfuerzos normal y cortante en tres secciones difercntes que estan"cortadas" a (J =30, 45 Y 60, respectivamente (trabaje por analisisy compruebe las respuestas con el dibujo del Circulo de Mohr).2.2. Caleule los esfuerzos principale. y el esfuerzo cortante maximo parauna serie de valores elegidos de la siguiente tabla. Tambien dibuje aescala los circulos de Mohr (3). (Note que todos los estados representancsf uerzo plano.)

TABLA P2.2(VALORES TABULADOS EN MILES DE LBjPULG.2)

1 2 3 4 5 6 7--------------- ------(J . x , ksi 20 -8 9 -30 -6 13 -4(J .v, ksi 12 15, -7 -10 -18 7 0T , ksi 6 7 12 5 20 -10 16

2.3. (a ) Un recipiente esferico a preSlOn tiene un radio promedio R yun espesor t, Esta sujeto a una presion intern a (mcdida ) p a nivel delterrcno. Usando una serie de valores de la Tabla P2.3, calcule los esfuerzos normal y cortante maximos en el material. Dibuje, tambien, loscirculos de esfuerzo de Mohr, e indique en ellos los esfucrzos 0'1, 0'2,0"3 Y vmnx-(b) l Cuales seran los esfuerzos si esta esfera se transporta al espacioexterior? (no tome en cuenta ningun efecto de cambio de tamaiio delrecipiente, y suponga la presion intern a sin cambia).

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