esfuerzos y cargas axiales

7/26/2019 Esfuerzos y Cargas Axiales

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Capitulo 1: Esfuerzos y cargas axiales

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Resistencia de Materiales Dr. Gerardo Mendoza Delgadillo 5

ESFUERZOS Y CARGAS AXIALESESFUERZOS Y CARGAS AXIALES

CAPTULO


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RECIPIENTES DE PARED DE PRESIN DE PARED DELGADA

Los recipientes cilndricos o esfricos que sirven como calderas o tanques son deuso comn en la industria.En general, pared delgada se reere a un recipiente con una relacin de radio

interior a espesor de pared de 10 o ms r / t 10 ! "uando la pared es delgada.

La distri#ucin del esfuer$o a travs de su espesor t no variar de manera

signicativa, % por tanto se supondr que es uniforme % constante. "on estasuposicin, se anali$ar a&ora el estado de esfuer$o en recipientes de presincilndricos % esfricos de pared delgada.

RECIPIENTES CILNDRICOS:

"onsidere que el recipiente cilndricotiene un espesor de pared t % un radiointerior r como se muestra en la gura.

'entro del recipiente a causa de un gas o(uido de peso insignicante, se desarrollauna presin manomtrica p. 'e#ido a launiformidad de esta carga, un elementodel recipiente sucientemente ale)ado dele*tremo % orientado como se muestra,est sometido a los esfuer$o normales

1 en la direccin anular o

circunferencial % 2 en la direccin longitudinal o a*ial. Estas dos

componentes de esfuer$o e)ercen tensin so#re el material.

+ara el esfuer$o anular, considere que el recipiente es seccionado por los planosa, # % c. En la gura - 1 # se muestra un diagrama de cuerpo li#re delsegmento posterior )unto con el gas (uido que contiene. En estas cargas se

desarrollan por el esfuer$o circunferencial uniforme 1 , que acta so#re la

cara vertical del gas o (uido seccionado. +ara el equili#rio en la direccin * serequiere.

Fx=02[1( t dy )]p(2 r dy )=01=p r / t

1= Esfuer$o normal en las direcciones

circunferenciales, se supone que es constante a

travs de la pared del cilindro % que someten el

material a tensin.

P= +resin manomtrica interna desarrollada

por el gas o (uido contenido



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r= adio interior del cilindro

t= Espesor de la pared

+ara o#tener el esfuer$o longitudinal /, consideramos la porcin i$quierdade la seccin # del cilindro, figura a. "omo se muestra en la figura c. / actauniformemente a travs de la pared % p acta so#re la seccin de gas o (uido."omo el radio medio es apro*imadamente igual al radio interior delrecipiente, el equili#rio en la direccin % requiere

Fy=0 2(2 r t) p ( r 2)=0

2=p r /2 t

En las ecuaciones anteriores.

2= esfuer$o normal en la direccin longitudinal, respectivamente. 2e

supone que es constante a travs de la pared del cilindro % que someten elmaterial a tensin.

P= presin manomtrica interna desarrollada por el gas o (uido

contenido r= radio interior del cilindro

t= espesor de la pared

"omparando am#as ecuaciones se ve que el esfuer$o circunferencial oanular es dos veces ms grande que el esfuer$o longitudinal o a*ial. Enconsecuencia, cuando se fa#rican recipientes de presin con placaslaminadas, las )untas longitudinales de#en dise3arse para soportar dosveces ms esfuer$o que las )untas circunferenciales.

Recipientes esfricos

+odemos anali$ar un recipiente esfrico a presin de manera similar. +or e)emplo,considere que el recipiente tiene un espesor de pared t, un radio interno r % queva a estar sometido a una presin manomtrica interna, gura a. 2i el recipientese divide en dos usando la seccin a, el diagrama de cuerpo li#re resultante semuestra en la gura #. 4l igual que el cilindro, el equili#rio en la direccin %requiere

Fy=0 2(2 r t) p ( r 2)=0

2=p r /2 t

En las ecuaciones anteriores.Resistencia de Materiales Dr. Gerardo Mendoza Delgadillo 7


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1,2= esfuer$o normal en la direccin % longitudinal,

respectivamente. 2e supone que es constante a travs de la pared delcilindro % que someten el material a tensin.

+ 5 presin manomtrica interna desarrollada por el gas o (uido contenido r 5 radio interior del cilindro t 5 espesor de la pared

+or comparacin, ste es el mismo resultado que el o#tenido para elesfuer$o longitudinal en el recipiente cilndrico. 4dems, de acuerdo con elanlisis, este esfuer$o ser el mismo sea cul sea la orientacin del diagramade cuerpo li#re &emisfrico. En consecuencia, un elemento de material estsometido al estado de esfuer$o mostrado en la gura a.

6inalmente, tngase en cuenta que las frmulas anteriores son vlidas slopara recipientes sometidos a una presin e*terna, sta puede ocasionar quese vuelva inesta#le % pueda fallar a causa del pandeo.

ESFUERZOS EN RECIPIENTES DE PRESION DE

PARED DELGADA

Los recipientes de pared delgada constituyen una

aplicacin importante del anlisis de esfuerzo plano.Como sus paredes oponen poca resistencia a la flexin,

puede suponerse que las fuerzas internas ejercidas sobreuna parte de la pared son tangentes a la superficie delrecipiente. El anlisis de esfuerzos en recipientes de pareddelgada se limitar a los dos tipos que se encuentran conmayor frecuencia recipientes cil!ndricos y esf"ricos.

Considerando recipiente cil!ndrico de radio interior ry espesor de pared t, que contiene unfluido a presin #e $an a determinar los esfuerzos ejercidos sobre un peque%o elemento de

pared con lados respecti$amente paralelos y perpendiculares al eje del cilindro. &ebido a lasimetr!a axial del recipiente y de su contenido, no se ejercen esfuerzos cortantes sobre elelemento.

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Los esfuerzos '(y ')mostrados en la figura son por tanto esfuerzos principales. El esfuerzo'(se conoce como esfuerzo de costilla y se presenta en los aros de los barriles de madera. Elesfuerzo ')es el esfuerzo longitudinal.

*ara determinar los esfuerzos de costillase retira una porcin del recipiente y su

contenido limitado por el plano xyy por dosplanos paralelos al plano yz con una distancia

X de separacin entre ellos. #e aclara que p

es la presin manom"trica del fluido.

La resultante de las fuerzas internas es igual al producto de y del rea trans$ersal 2tx .

Con la ecuacin de sumatoria de fuerza en z se concluye que para el esfuerzo de costilla

Con el propsito de determinar el esfuerzo longitudinal 2 , +aremos un corte

perpendicular al eje x y se considerar el cuerpo libre que consta de la parte del recipiente yde su contenido a la izquierda de la seccin. omando en cuenta las frmulas del rea y

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longitud del cilindro y la sumatoria de fuerzas en z, finalmente se concluir!a que

2=pr /2 t

El esfuerzo en la costilla es el doble del esfuerzo longitudinal. Luego se dibuja el C!rculo de-o+r y se llega a qu"

max (enel plano)= 2=pr /4 t

Este esfuerzo corresponde a los puntos & y E y se ejerce sobre un elemento obtenidomediante la rotacin de /0 del elemento original de dic+a figura, dentro del plano tangente ala superficie del recipiente. EL esfuerzo cortante mximo en la pared del recipiente es mayor.Es igual al radio del c!rculo de dimetro 12 y corresponde a una rotacin de /0 alrededor deun eje longitudinal y fuera del plano del esfuerzo.

max=2=Pr2t

Considerando a+ora un recipiente esf"rico, de radio interior r y espesor de pared t , que

contiene un fluido bajo presin manom"trica p. 3aciendo un corte por el centro del recipientedeterminamos el $alor del esfuerzo.

Concluye que, para un recipiente

1=2=pr /2 t

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4a que los esfuerzos principales ' (y ')son iguales, el circulo de -o+r para la transformacinde esfuerzos, dentro del plano tangente a la superficie del recipiente, se reduce a un punto. Elesfuerzo normal en el plano es constante y que el esfuerzo mximo en el plano es cero.*odemos concluir

max =1=pr /4 t

TRANSFORMACION DE DEFORMACION PLANA

En este tema se +a de analizar las transformaciones de la deformacin cuando los ejescoordenados giran. Este anlisis se limitar a estados de deformacin plana, es decir, asituaciones en donde las deformaciones del material tienen lugar dentro de planos paralelos y

son las mismas en cada uno de estos planos. #i se escoge el eje z 5$er figura 67 perpendicular alos planos en los cuales la deformacin tiene lugar, tenemos Ez 8 94zx8 94zy8 :, las ;nicascomponentes de deformacin que restan son Ex, Eyy 94xy. al situacin ocurre en una placaResistencia de Materiales Dr. Gerardo Mendoza Delgadillo 11


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sometida a cargas uniformemente distribuidas a lo largo de sus bordes y que este impedidapara expandirse o contraerse lateralmente mediante soportes fijos, r!gidos y lisos 5$er figura67. ambi"n se encontraran en una barra de longitud infinita sometida, en sus lados, a cargasuniformemente distribuidas ya que, por razones de simetr!a, los elementos situados en un

plano trans$ersal no pueden salirse de el. Este modelo idealizado muestra que en el caso realde una barra larga sometida a cargas trans$ersales uniformemente distribuidas 5$er figura 667,

existe un estado de esfuerzo plano en cualquier seccin trans$ersal que no est" localizadademasiado cerca de uno de los extremos de la barra.

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#upngase que existe un estado de esfuerzo plano en el punto < 5z 8 94zx 8 94z8 :7, definidopor las Componentes de deformacin Ez, Eyy 94xyasociadas Con los ejes x y y. Esto significaque un elemento cuadrado de centro Ex7 y =s 5(

>Ey7, formando ngulos de =?) @94xyy f > 94xyentre si5$ea figura 6677.Como resultado de lasdeformaciones de los otros elementos localizados en el plano xy, el elemento consideradotambi"n puede experimentar un mo$imiento de cuerpo r!gido, pero tal mo$imiento esinsignificante en lo referente a la determinacin de las deformaciones en el punto < y no setendr en cuenta en este anlisis.

El propsito es determinar en t"rminos de Ex,Ey, 94xyy : las Componentes de deformacinEx, Ey. y94x9y9 asociadas con el marco de referencia x9 y 9 obtenido mediante la rotacin de losejes xyy u n ngulo. Como se muestra en la figura 6A, estas nue$as componentes de la

deformacin definen el paralelogramo en que se transforma un cuadrado con ladosrespecti$amente paralelos a los ejes x9yy9.

PROBLEMA N1 :

Calcular el descenso $ertical del punto B.

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#1LC6D

(7 &iagrama del cuerpo libre

Fy=0

CB sen4=0

CB sen=4

CB= 4

sen=

4

3

5

CB=6.66 Tn(Traccion )

Fx=0

AB+ CB cos=0

AB=CB cos

AB=6.66(45 ) AB=5.328 Tn (Compresi n )

)7 2nlisis del descenso $ertical en FBG.

B= B B2+ B1 B!" " # ($)

%en= &CB

B B2

B B2=

&CB

%en Tan=

&ABB1

B! B

1B

!= &AB

Tan

Heemplazando en 567

B= &CB

%en+

&AB

Tan

B=6660 Kg x 500 cm2x10

6Kg /cm2 x 4 cm2 x0.6

+5328 Kg x 400 cm2x10

6Kg /cm2 X 4 cm2 x0.75

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B=0.6937+0.7104

B=1.4041 cm

PROBLEMA N2:

Calcular el descenso $ertical del punto B

#1LC6D

(7 &iagrama del cuerpo libre 5 2@B7

Fx=0

AB+sen37 ' CB=0

AB=sen37 ' CB

Fy=0

4+ CB cos37'=0

CB= 4

cos37' CB=

4

3

5

AB=6.66(

4

5

)

AB=5.328 Tn (Compresi n )



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Fx=0

AB+ CB cos53'=0

CBcos 53(= AB AB=(5 )(35 ) AB=3Tn(Tracci n)

Fy=0

4+ CB sen53'=0 CB=4

4

5

CB=5Tn(Compresi n)

)7 2nalisis de las deformaciones

B= BB1+ B2 B!" "# ($)

= &CB

BB1 BB1=

&CB

%en

)Tan= &AB

B2 B! B2 B

!= &AB

Tansen

B= &CB

%en+

&AB

Tan%i =53 '

B= 5000*+ x 500 cm

2x 106*+ /cm2x 4 cm2x 0.79

+ 3000*+ x 300 cm

2x 106*+/cm2x 2 cm2x 1.327

B=0.39556+0.1695



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B=0.5651cm

PROBLEMA N 3:

Calcular el descenso $ertical de B.

#1LC61

(7 &iagrama del cuerpo libre 5B7

FX=0

AB cos60'+ CB cos30 '=0

CB= ABcos60 '

cos30 ' CB= AB

5.196

63

5.196

6

CB=(33) AB "($)

Fy=0



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Capitulo 1: Esfuerzos y cargas axialesAB %en 60'+ CB %en30 '=4

AB %en60' + AB(33)%en30 '=4

AB [ 963

+ 33]=4 AB=2.772Tn(tracci n)

CB=2.772(33) CB=1.6 Tn(compresi n)

)7 2nalisis de las deformaciones

B= B B1+ B2 B

%en60 '=B B1

&AB B B1=%en60 ' &AB

cos60'= B2 B&CB B

2B=cos60' &CB

B=%en60 ' &AB+cos60 ' &CB

B=( 963 )(2.772,+ - 63- 100cm

1.1 -105

,+ /cm2 -3 cm2 )+(3

6 )[ 1.600 ,+ - 200 cm1 -106 ,+ /cm2 -2 cm2+ 1.600 -100cm

1- 106

,+ /cm2 - 4 cm2 ]

B=0.756+0.5 (0.2772+0.16 )

B=0.9746 cm

PROBLEMA N 4:



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El bastidor que se muestra cuyos miembros 2CE y BC& estn conectados por un perno FCG y por elmiembro &E, con la carga que se muestra determine la fuerza en el miembro &E y las componentes dela fuerza ejercida en FCG sobre el miembro BC&.

ota todas las medidas estn dadas en mm.

#1LC6D

(7 B2#6&1H C1-*LE1 &iagrama del cuerpo libre de todo sistema por solo in$olucrar Iincgnitas.

Fy=0

Ay480.(/ )=0

Ay=480.(/)

+0A=0

480 (100 )Bx (160)=0

480 (100)=Bx (160)

Bx=300.

Fx=0

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Ax+Bx=0

Ax+300=0Ax=300.

&esarticulando los miembros y +aciendo &.C.L.

)7 &iagrama del cuerpo libre. 5BC&7

tan= 80

150

Fx=0

CxF12 cos+300=0

Cx(561cos 28.072 )=300

Cx+ (561cos28.072)=300

Cx=300495

Cx=795.00.

Fy=0

+0C=0

(F12 %en)(250)+300 (60 )+480 (100)=0

F12 %en28.072 (250)+F12(0.47058) (250 )=

F12=66.00117.645

F12=561.00.

=28.072

Fy=0

Resistencia de Materiales Dr. Gerardo Mendoza Delgadillo #"


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Cy480F12 %en=0

Cy480(561 %en28.072 )=0

Cy480+(561 %en28.072 )=0

Cy=480263.995

Cy=216.00.

+0A=0

Cx (220 )F12 %en(100 )F12 cos(300)=0

(795 ) (220 )3561 %en28.072 (100 )(561cos28.072) (300 )=0

174900+26399.57932+148500.6731=0

00

ota la comprobacin se +ace con cantidades anteriores con sus signos.

PROBLEMA N :

&eterm!nese las componentes de las fuerzas que act;an sobre cada miembro del bastidor que semuestra.

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#1LC6D

(7 &.C.L. de todo el bastidor por que tiene solo tres incgnitas.

+02=0

2400 (4.8 )Fy(4.8 )=0

Fy=2400.

+02=0

2400 (3.6)Fy ( 4.8 )=0

Fy=

2400 (3.6 )4.8

Fy=1800.

)7

Fy=0

2y+Fy2400=0

2y+18002400=02y=600.

Resistencia de Materiales Dr. Gerardo Mendoza Delgadillo ##


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Fx=0

2x=0

5.4

4.8

=2.7

x

x=2.40 m

C1=3.602.40=1.20 m

I7 &.C.L. 5BC&7

+0B=0

Cy(2.4)+2400 (3.6)=0Cy=3600.

+0C=0

2400 (1.2 )By (2.4 )=0By=1200.

Fx=0

Bx+Cx=0"($)

4.82.4=2.4

7 &.C.L. 52BE7

+0A=0

Bx (2.9 )=0Bx=0" ($$)

Fx=0

Ax+Bx=0Ax+0=0

Ax=0

Fy=0

Ay+By+600=0

Resistencia de Materiales Dr. Gerardo Mendoza Delgadillo #$


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Ay+1200+600=0Ay=1800.

($$) en($)

0+Cx=0Cx=0

/7 &.C.L. 52CJ7

Comprobacin para que en miembro este en equilibrio

+0C=0

Ax (2.2 )+Ay(2.4)1800 (2.40 )=0

0+1800 (2.4 )1800 (2.40 )=0

0=0

PROBLEMA N!:

na fuerza +orizontal de K:: lb se aplica al nodo 2 del bastidor que se muestra. &etermine las fuerzasque act;an en los dos miembros $erticales del mismo.

#1LC61

(7 &.C.L. de todo el bastidor

+02=0

600 (10 )Fy (6 )=0Fy =1000l4

Fy=0

Resistencia de Materiales Dr. Gerardo Mendoza Delgadillo #%


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2y+Fy=02y=1000 l4

)7

&.CL. 52CE7

Fy=0

513

FAB+5

13FC11000=0"($)

+02=0

600 (10)(1213 FAB) (10 )(12

13FC1) (2.5 )=0 "($$)

Hesol$iendo 567 en 5667

FAB=1040 l4)FC1=1560 l4

Fx=0



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600+12

13(1040 )+

12

13(1560 )+2x =0

2x=1080 l4

&el &.C.L. del bastidor completo

Fx=0

600+2x+Fx=0

6001080+Fx=0

Fx=480 l4

I7 &.C.L. 5B&J7 Comprobacin para que este en equilibrio

+0B=0

1213

FC1 (2.5)+Fx(7.5 )=0

12

13

(1560 ) (2.5)+ (480 ) (7.5 )=0

0=0

PROBLEMA N":

#e quiere punzonar una placa, tal como se indica en la fig. que tiene un esfuerzo cortante que tiene unesfuerzo ;ltimo de gm*a. 5a7 si el esfuerzo de compresin admisible en el punzn es (m*a, determineel mximo espesor de la placa para poder punzonar un orificio de (:: mm de dimetro. 5b7 #i la placatiene un espesor de (: mm, calcule el mximo dimetro que puede punzonarse.



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#i 8 (m*o el)

.)

)ba = dt

m

Nd

m

NM

.L.

..(

)

)

L =

A

P=

d 8 .

)

) .( =

M

m

NM mmtmmt (,((

L

(::==

a7 #i 8 (: mm ,Calcular el mximo dimetro

Llegamos a la ecuacin

d 8 t

d 8 (: mm

d 8 : mm0AX 8 : mm

PROBLEMA N#:

La figura muestra la unin de un tirante y la base de una armadura de madera. &espreciando elrozamiento, 5a7 determine la distancia b si el esfuerzo cortante admisible es de :: M*a 5b7 Calculetambi"n la dimensin c si el esfuerzo de contacto no debe de exceder de N -*a.


7 5 8m+o

4cordado

dtTd

=)

.)

7.L 5 7


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S$%&'()*:

La fuerza que desplace el tirante

* 8 /: cos I:O P

* 8 I.I P

5a7 #6 el esfuerzo cortante es

promedio 8 *?2 armadura

2 armadura 8 *? promedio

2 armadura 8 I.I P ? :: P?m)

2 armadura 8 :.:Q m)

2 armadura 8 (/: x (:@Im x b 8 :.:/ m)

b 8 I): mm

5b7 #i el esfuerzo de contacto es

8 *?2 contacto

2 contacto 8 *?

2 contacto 8 I.I x (:I?N mm)

2 contacto 8 K(Q/.N mm)

2 contacto 8 K(Q/.N mm)8 (/: mm x c

c 8 (.)I mm

PROBLEMA N+:

En el dispositi$o del tren de aterrizaje descrito, los pernos 2 y B trabajan a cortante simple y el pernoen C a cortante doble. &etermine los dimetros necesarios si el esfuerzo cortante admisible es de /:-?m).

Resistencia de Materiales Dr. Gerardo Mendoza Delgadillo #


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2+ora

0oP=092n x (0.65)=By(0.45)9x 0.65x *.=By By=13 ,n

B x % e n(53.1)=13 B=13 / %en(50.1)=16.25*n

Entonces

Fy=0913 Cy=0 Cy=4

Fx=0Bx=Cx5 peroBx=16,25*n x cos (53.1)=9.75*n=Cx

2+ora calculando para B2

P/A=50x 106=16.25*. a=16.25x 103=16.25 m2=3.25x 104 m 2

mmdmdd

IN.)::):IN.:

(:)/.I)

===

Entonces )N?QG

2+ora para C

C2=Cx2+Cy 2C=10,54 ,.

Resistencia de Materiales Dr. Gerardo Mendoza Delgadillo #!


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8 /: x (:K

)

) (:/.(:/.(:/,(: === mKnaKn

m

N

)) (:: x (:Q?m)

(.:/ x (:@8

)d

d 8 (.(/Q x (:@)m

d 8 ((./Q mm

(((?IQG

PROBLEMA N1,:

na palea de N/: mm sometido a la reaccin de las fuerzas que indica la figura est montada medianteuna cu%a en un eje de /: mm de dimetro. Calcule el anc+o b de la cu%a si tiene N/ mm de longitud y

el esfuerzo cortante admisible es de m*a.

&atos

Lp 8 /: mm

3allar FbG

8 mB

EntoncesT

ht=

*ero el rea cortada 8 N/ mm.b

Resistencia de Materiales Dr. Gerardo Mendoza Delgadillo $"


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omando momento

0o=6

(: M.IN/ mm R KPn .IN/ R p.)/ mm

I/: Mn R ))/: Mn 8 )/ *

(/:: Mm 8 )/:

8 K: Mn

Entonces

)L

K:

h

NM

kNA=

8S *ero 2 8 N/ mmL

b 8 K:.(II.m)

g.(:KN/.(:@Im

b 8 :.:QQ m

b 8 QQ.Q mm

PROBLEMA N11:

La palanca acodada que representa la figura est en equilibrio 5a7 &etermine dimetro de la barra 2Bsi el esfuerzo normal est imitado a (:: -?m ), 5b7 &etermine el esfuerzo cortante en el pasador

situado en &, de ): mm de dimetro.

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#olucin

Ecuacin de equilibrio en &

-28 :

200mm(P)30sen60 7(240)=0

* 8 I(.(Q P

Fy=0

1y 30 sen607=0

1y=15*.

Fx=031.18*.+1x 30cos60 7=0

1x=46.18*.

1=48.56*.

Resistencia de Materiales Dr. Gerardo Mendoza Delgadillo $#


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5a7 %i=1000./m2=31.18x 10./A

A=311.8mm2=d 2/4

1=19.92 mm

5b7 Como es un corte doble

d /2/A=24.28x 103./(20)2 mm2/4

762.780Pa

PROBLEMA N12:

La masa de la barra +omog"nea 2B mostrada en al figura es ::: Mg la barra est apoyada medianteun perno en B y mediante una superficie $ertical lisa en 2. &etermine dimetro del perno ms peque%oque pueda usarse en B. #i el esfuerzo cortante est limitado a K:-*b. El detalle del apoyo en B es unpasador.

0=9000*a

8=88,29*9

Fy=0:y=88,29 ,9

Resistencia de Materiales Dr. Gerardo Mendoza Delgadillo $$


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Fx=0:x :eac=0:=:eac #

%iendo :

>:senx=:y :sen=88,29*n

KwKnKn

R )L.LQ

NI)L.QQ

NI?Q

)L.QQ: =

=

Entonces analizando

8Sa

a

m

N

)

(:)L.L(:K:

I

)

K =

)(:Q/N.N(:K:)

)L,Lma =

=

mdd

:I(KIK.:(:

Q/N.N )

==

d 8 I(.KI mm

PROBLEMA N13:

Las piezas de madera de /: mm de anc+o y ): mm de espesor, estn pegados como indica la figura.5a7 &eterminar la fuerza cortante y el esfuerzo cortante en la unin si * 8 ::: 5b7 Teneralice el

procedimiento para demostrar que el esfuerzo cortante en una sesin inclinada un ngulo respecto a

una seccin trans$ersal del rea 2, tiene un $alor dado por 8 5*?)275#en)7

Entonces analizando el grfico para las fuerzas

2nlisis del rea en el grfico.

Resistencia de Materiales Dr. Gerardo Mendoza Delgadillo $%


31/84


Entonces reemplazando para

T=Pc/Ac Tomando 607 como

T=P #cos 607/ entonces

T= >Para el caso 4

omando para el caso FaG

Heemplazando Entonces

P=9000. T=7.79106Pa

60 7 T=7.794.2*Po

;=50mm#20mm


4nlisis del rea en el grcoEntonces el rea donde recaen 6 cortante % 6

traccin es 49

49 2en:0; 5 4

OK:9 Sen

A

A=


32/84


O():.(::

):::) Sen

mm

NT=

PROBLEMA N14:

n cuerpo rectangular de madera trans$ersal de /: mm x (:: mm, se usa como elemento decomprensin, seg;n se muestra en la figura. &etermine la fuerza axial mxima * que pueda aplicarsecon confianza al cuerpo si el esfuerzo de comprensin en la madera est limitado a ): -?m )y elesfuerzo cortante paralelo a las $etas o est a / -?m ). Las $entas forman ngulos de ):O con la+orizontal, seg;n se muestra.

&ibujando

La fuerza que desliza es de *sen):O

#i el esfuerzo comprensin limitado a ): -?m)

c 8 *Cos):O *cos):O



33/84


2 comp.. (:: x /: mm) U

)):mn

N

Cos):

* (:: P

2+ora el esfuerzo cortante est limitado a /-?m)

Psen20 75./mm2

)/:

):

(::mm

Cos

Psen40 75.

)(:: x /:

* NN.NQ , es el * mximo

PROBLEMA N1:

En la figura (@(( se supone que el remac+e tiene ): mm de dimetro y une placas de (::mm de

anc+o. 5a7 #i los esfuerzos admisibles son de : -?m)para el aplastamiento y /: -n?m)para el

esfuerzo cortante, determinar el m!nimo espesor de cada placa. 5b7 #eg;n las condiciones

especificadas en la parte a, VCul ser el mximo esfuerzo medio de tensin en las placasW



34/84


&atos

2 8 ): mm *ara b

*ara FaG Esfuerzo mximo de tensin

b8 : -?m) en las placas.

&eterminar 3allando t 8 d. -?m)

Xrea de aplastamiento dit. * 8 ): mmQ.)KK.Q:-?m)

Xrea de corte

Wd

Xrea de tensin N.(::

*b 8 2b. b 8 (/N:/.QK

*b 8 .2c Q.N)KK.(:I mm)

8 (Q -?m)

d : -?m)8 /: -?m

Wed

8 /:): mm

.Q:

8 Q.N)KK mm

PROBLEMA N1!:

&emuestre que el esfuerzo en un cascarn esf"rico de pared delgada, de dimetro & y espesor t, sujeto

a una presin interna *, est dado por t 8 p x &?t

Resistencia de Materiales Dr. Gerardo Mendoza Delgadillo $


35/84


ApFA

Fp ==

, 2 8 & x L #i & 8 )H

2+ora J 8 )*

))

LDpPPLDp

==

* por unida de consumo

)

DpP

=

8S Esfuerzo unitariot

Dp

A

PT

)

==

Esfuerzo longitudinal

J(8 p x 2 8 px x

)D

J(8 JY

(8AF(

J(8 (x 2 8 (x x & x t (8t

Dp

PROBLEMA N1":

3allar la $elocidad perif"rica l!mite de un anillo giratorio de acero si el esfuerzo normal admisible esde (: -?m)y la densidad del acero, NQ/: Mg?mI. #i el radio medio es de )/: mm. V2 qu" $elocidadangular se alcanzar un esfuerzo de ):: -?m)WResistencia de Materiales Dr. Gerardo Mendoza Delgadillo $!


36/84


#e tiene J 8 )p.2.$)

2dems 8 $).p

#i el esfuerzo es admisible entonces

p$)(: -?m)

))

K)

I .

.(:(:NQ/:

m

mkgv

m

kg

$ (II.K m?s

*or lo tanto La $elocidad perif"rica (I m?s

2dems t 8 p$)

)

I)

K .(Q/:(:):: vm

kg

m

N=

)

)

)K .(Q/

.(:):: vkg

mkg=

mV

J

m)//(:)/.: I ==

A 8 re.Z

wmxm

.(:)/:)// I=

Z 8 (:I@(

PROBLEMA N1#:

&emuestre que el esfuerzo en un cascarn esf"rico de pared delgada, de dimetro & y espesor t, sujeto

a una presin interna *, est dado por t 8 p x &?t

ApFA

Fp ==

, 2 8 & x L #i & 8 )H

2+ora J 8 )*

Resistencia de Materiales Dr. Gerardo Mendoza Delgadillo %"


37/84


))

LDpPPLDp

==

* por unidad de longitud

)

DpP

=

8S Esfuerzo unitariot

Dp

A

PT

)

==

Esfuerzo longitudinal

J(8 p x 2 8 p x x

)D

J(8 JY

(8A

F(

J(8 (x 2 8 (x & x

x t

tDTD

p = ()

t

DpT

(

=

PROBLEMA N1+:

n depsito cil!ndrico de agua de eje $ertical tiene Q de dimetro y () m de altura. #i +a de $enderse+asta el total determinado el m!nimo respecto de las blancas que le corresponde si el esfuerzo estlimitado a : -*a.

#olucin

Resistencia de Materiales Dr. Gerardo Mendoza Delgadillo %1

2a#emos que

tDpTT

)=

Esfuer$o transversal!

t

DpTT

=

Esfuer$o longitudinal!

4&ora

p 5 p. g. &

t espesor del tanque.


38/84


Entonces

t

Dhgp

t

DpMPaTt

)

..

):

=

==

*or lo tanto

t

x

m )

Q()Q(.L(::

I =

mtt

:((NN),:(::

QQ,N:QL.N:(::

)

) =

==

t 8 :,:((NN) m pero tm8 (:Imm

t 8 ((,NN) mm

PROBLEMA N2,:

Calcule el m!nimo espesor de la placa que forma el depsito del producto anterior, si el esfuerzoadmisible es de : -?m) y la presin interior $ale (./ -?m)

#olucin

*iden tmin

)

K

)

K (::(:/.(m

NT

m

Np r ==

2+ora calculando

t

drpV

)

7)5 +=

Resistencia de Materiales Dr. Gerardo Mendoza Delgadillo %#


39/84


t

mmm

m

N

)

7K::::5((

(:/.(

(::)

K

)

K

+=

si (::: mm 8 ( m

)t 8 (./ ? : R t 8 5(./ x Q:7m

t 8 :,:(N/ m tmin8 (Q,N/ m

PROBLEMA N21:

Las barras r!gidas 2B y C& mostradas en la figura estn apoyadas mediante pernos en & y C mediante

las ranllas mostradas. &etermine la mxima pieza * que pueda aplicarse como se muestra si el

mo$imiento $ertical de las barras est limitadas a / mm. &esprecie los pesos de todos los miembros.

Resistencia de Materiales Dr. Gerardo Mendoza Delgadillo %$

4cero

L 5 m

4 5 00mm

E 5 10=+a


40/84


&e la barra B&

-B8 :

@I* > H&5K7 8 :

H&8 :./ *

&e la barra 2C

-&8 :

5I7 R H&5K7 8 :

8 )H&8 *

#i el desplazamiento de las deformaciones es

#al > Ka / mm

mm

mm

Nmm

mmP

mmmm

N

mmPT a /

(:)::I::

(:).

/::(:N:

(:).

)

I)

I

)

)

I

I

+

NPP

/

I::::

/.:

(N/::

+

Resistencia de Materiales Dr. Gerardo Mendoza Delgadillo %%


41/84


* :.N x (:/

* N: P

PROBLEMA N22:

&os $arillas de aluminio 2B y BC articuladas en 2 y C a soportes r!gidos, como dice en la figura,estn unidas en B mediante un pasador y soportan la carga * 8 . #i las $arillas tiene una seccin de:: mm)y E 8 N: x (:I?mm), determine las deformaciones totales de cada una y el desplazamiento

+orizontal y $ertical del punto B.

&el conjunto


6* 5 0 -?@" cos


42/84


Clculo de las deformaciones

mm

mmNmm

mmNSA

I

)I)

I

(:K.L

(:N:::

(:II.QQ =

=

5se alarga7

mm

mm

Nmm

mmSC

I

)

I)

)

(:I(.K

(:N:::

(:)I.:Q =

=

5se acorta7

Clculo de los desplazamientos

PROBLEMA N23:

n pilar de concreto de poca altura se refleja axialmente con seis barras de K:: mm ) de seccincolocada sim"tricamente en c!rculo alrededor del eje del pilar. #e aplica una carga de P.&eterminar los esfuerzos en el concreto y en el acero teniendo en cuenta los mdulos elsticos

2 a=200.109./m 2#


8.C: * 10-! B 40.8!

:..FF * 10- * 10-


43/84


*a x *c 8 Pn tipo a 8 K5K::7mm)

!"A"

P"L

!aAa

PaL=

)L

I

?(:.(

?)::(:

K

K:

mN

mn

"=

)Q/N,(K

K:=

"

Entonces utilizando en la ecuacin 5(7

(.)Q/N x K.K:: mc > QK::(:

@K

m8 Pc 8 K/.) M*a

a 8 (.)Q/N c

a 8 I).I() M*a

Entonces

Hpta concreto8 K/.)Q M*a



44/84


2cero8 I).I M*a

PROBLEMA N24:

En el problema anterior y suponiendo que las esferas admisibles son (): -?m ) en el acero yK-?m)en el +ormign. &eterminar la mxima carga axial * que se puede aplicar.

Las deformaciones son iguales

Aar 8 $-

Aac 8#

#

AC !

L

!

L=

#V!

!V M

#

AC

AC (

(::==

2C8 (): -?m)-8 Q. -?m)

38 K -?m)2C8 Q./-?m)


Resistencia de Materiales Dr. Gerardo Mendoza Delgadillo %

44l5:00mm


45/84


K *2C> *-8 *

K2. 2C > 2 3 8 *

K.K:: mm)x Q/.

Pmm

N

mm

N=+

)) K77.K::5KI::I::5

* 8 Q)N)Q:

* 8 Q)N.I P

PROBLEMA N2:

na barra +orizontal de peso despreciable y que se supone absolutamente r!gido, est articulado en 2

como indica la figura y cuelga de una $arilla de bronce de ) m y otra de acero de ( m de longitud. #i

los mdulos elsticos son de QI y )::.K ?m)para el bronce y el acero respecti$amente y los l!mites

de proporcionalidad son de ): -n?m)para el acero y (: -n?m)para el bronce, determinar los

esfuerzos en cada $arilla.

Resistencia de Materiales Dr. Gerardo Mendoza Delgadillo %!


46/84


7(...5N.:K.:

a

=que en (./ m 8 *2:.K > *B8 :.N

N.:K,: !A

LP

!R

PL =

N.:?QIQ

)

?)::K

(.))

mN

m

mN

m A =

LN.QI

)LK.):: =

A

$

$

I.=

A

$

$

(I./ 8 5.(I B7 5K::mm)

7:.K @ B.I::mm)

5:.N7

(I./P8 (QK.Q(:@Km B> I::,N(:@KmNB



47/84


(I./P 8 (NQN./(:@Km)B

N.//-?m)B

*ara

2 8 .(I x N.// -?m)

2 8 I( -n?m)

PROBLEMA N2!:

na barra de acero de /: mm de dimetro y ) m de longitud se en$uel$e con un cascarn de +ierrofundido de / mm de espesor. Calcular la pieza de comprensin que es preciso aplicar para producir unacotamiento de ( mm en la longitud de ) m de la barra compuesta. *ara el acero, E 8 ):: x (: ?m)ypara el +ierro fundido. E 8 (:: x (:?m).

Como el +ierro fundido est en$uelto en la barra

) *re > *2C8 *

2fe 8 5)./7)8 K)/ mm)



48/84


2al 8 5I:7)@ 5)/7)

8 ::@ K)/8 )N/

2dems Afe8 Aal 8 ( mm

Afe8 ( mm 8 *re x ( 8 *fe x )::: mm

E x 2 (:: x (:I?mm)x K)/mm)

K)/::: 8 *Je

Aal8 ( mm 8 *22x L *2Cx )::: mm

E x 2 ):: x (:I x )N/ mm)

)N/::: 8 *2l

*or lo tanto )*Jex *2B8 *

PROBLEMA N2":

na columna de madera de seccin ):: 8 ):: min se refuerza mediante placas de acero de )/: mm deanc+o y espesor > en sus cuatro caras laterales. &eterminar el espesor de las placas de manera que enconjunto pueda soportar una carga axial de ():: P si que excedan los esfuerzos admisibles de Q-?m)en la madera y de (: -?m)en el acero. Los mdulos elsticos son Em8 (:.(:I-?m)y Ea8 )::.(:I-?m).

*m > *a 8 ()::P -Q-?m)

2-8 K./.(:@Im) -(:-?m)

2a8 N.)/: mm



49/84


Entonces

-8 a

!aAa

PaL

A!

LP

MM

M =

omando es - Q-?m)

*-8 /:: P

*a 8 N:: P

I)II (:.)::/(:.K)(:.(:

/:: am

CN =

(K: -?m) 8

#obrepasa

Enlace acero 8 (: m?m)

I

I)

(:.)::

(:.(:.?(: mMNM=

)?N mMNM =dentro del rango

Entonces a 8 ( -?m)

-8 N-?m)

*-8 N-?m).K)./.(:@Im)

*-8 I.N./ P

*-8 K)./ P

Entonces

)?(:

/.NK)

mMN

KNA=



50/84


2 8 /,K (:@Im)

N.)/:(:@Im 8 /.K(:@Im)

8 /. mm

Hpta 8 /. mm

PROBLEMA N2#:

n bloque completamente r!gido de masa - se apoya en tres $arillas situadas en un mismo plano,como indca la figura. Las $arillas de acero tiene una seccin de ::mm ), E 8 (): T*a, y esfuerzoadmisible de ):3*a. La $arilla de acero tiene seccin de ():: mm ), E 8 (:: T*a y el esfuerzoadmisible es (: -*a. Calcular el mximo $alor de -.

Como el bloque es r!gido, significa que est en equilibrio, por lo tanto

en 8 2C

!

L

!

LACC% .. =

$Pa

mm

$Pa

mmACC%

)::

(:.

():

(K:. =

C8 :. 2C

#i C8 N: -*a 2C8NN.Q -*a

2C8 (: -*a C8()K -*a

&iagrama de cuerpo libre del conjunto



51/84


*ero

kgMm

NmM& I

)

) (:.))

Q.L

)(LIK:Q.L ===

PROBLEMA N2+:

Los extremos inferiores de las partes de la figura estn en el mismo ni$el antes de colgar de ellos unbloque r!gido de masa (Q -g. Los bonos de acero tienen una seccin e K:: mm).


+"GA +"GA +4"5 H

+HA +4"5 H

4"G5 4"5 H

&mm

Nmmmm

Nmm =+ )

)

)

)

Q.NN()::N:L::)

18


52/84


2cero Bronce

2 8 K::.(:@Km) 2 8 ::(:@Km)

E 8 ):: K?m) E 8 QIK ?m)

L 8 (: m E 8 (.K m

Entonces asumimos entonces +allando los esfuerzos

acero8 bronce a8

)K(:.K::

L.NI

m

KN

N(N

K,(

K::.)::

(. mPmPa =

a8 ()I,( -?m)

N(N(L):

PPa =

b8

)K(:.L::

N.)Q

m

KN

*a8 (): B8 I(.Q -?m)

*B8 )Q,N P

PROBLEMA N3,:

La plataforma r!gida de la figura tiene masa despreciable y descansa sobre ) barras de aluminio, cadauna de )/:.:: mm de longitud. La barra central es de acero y tiene una longitud de ).: mm.Calcule el esfuerzo en la barra de acero una $ez que la carga central * se +aya aplicado. Cada barra dealuminio tiene un rea de (): mm)y un mdulo E de N:: x (:)-*a. La barra de acero tiene un reade ):: mm)y un mdulo E de ):: T*a.



53/84


Cuando se descarga, ocurre el equilibrio.

En las deformaciones

*a 8 )N. mm

):: mm)8 ):: x (:I?mm)

*al x )/: mm

():: mm)x (: x (:I ?mm)> :.( mm

/.)( x (:@N*a? 8 ).Q x (:@K*or? > :.(

K.Q x (:@)R (:.Q x (:@N8 *or? 8 ).Q x(:@K *a? > :.(

)

I

)::

(:N(K

mm

Na

=

8 )Q.I -*a

PROBLEMA N31:


+or A +a 5 8G 5 0

+or B +a 5 800 I?

+a 5 -800 I? A +ar.

Da 5 Da A #

+a. La 5 +ar .La A 0.1 mm

E. 4a 5 E. 4a


54/84


El conjunto de la figura consiste de una barra r!gida 2B, de masa despreciable articulada en 1mediante un perro y fija a las $arillas de aluminio y de acero. E la configuracin mostrada, la barra 2Eest en posicin +orizontal y +ay en claro 28 mm entre la punta inferior de la $arilla de aluminio y suarticulacin en &. calcule el esfuerzo en la $arilla de acero cuando la punta inferior de la $arilla dealuminio se articula en el apoyo 2.

*ara la articulacin en 2, la de formacin de aluminio es de traccin

&iagrama de cuerpo libre de la barra

Entonces

2C8 *2C (./ x (:Imm 8 :.)/ x

(:@2C

I:: mm) > ):: x (:I

?mm)

2C8 *2L (.K x (:Imm 8 :.:/ x (:@I*2L

:: mm)x (: x (:I?mm)

)2C> 2C8 :.: mm

:./ x (:@*2C > :.:/ x (:@I*2L 8 :: mm


).(K.:

ACAC =

ACAC /.:=

'JK5 0

-+4"5 0.: * 10< mm! A +@'1. * 10


55/84


:./ x (:@*2C > :.) x (:@*2C8 :: mm

:.N/ x (:@*2C 8 :.:

*2C 8 :.:/I x (:

)

I::

(::(I.:

mm

NAC

=

8 (.NN *a

PROBLEMA N32:

na barra +omog"nea se empotra, determinar el esfuerzo en el segmento BC.

3allar *BC

N.)

.(.) (PmRA=

KNRA )/N.)

(.)=

KNRA .(L=

Healizando cortes en la barra

*BC8 *(R H2

*BC8 )/ P R (, P



56/84


*BC8 @/,// P

*or lo tanto

8 @/.// Mn

/::.(:@Km)

8 ((,( -*a

Hpta ((,( -*a

PROBLEMA N33:

La barra representada en la figura est firmemente empotrada en sus extremos. &eterminar los

esfuerzos en cada material se aplica la fuerza axial * 8 .

Clculo de los esfuerzos

@H2> * R HC8 :

* 8 H2> HC

H2> HC8


Como no se alarga no se acorta.

2L8 2C

)

)

I)

)

I ()::(:)::

I::7.L5

L::(:(:

)::.

mmmm

N

mmNRA

mmmm

N

mmRA

+=

(K:

7L5KI NRARA

+=

@H28 @:.I H2> I./



57/84


@:.K( H28 I./

H28 /.Q

Entonces

H2> * R HC8 :

/.Q 2 > 8 HC

(.Q 8 HC

PROBLEMA N34:

na $arilla est formada de tres partes distintos como indica la figura y soporta unas fuerzas axiales * (8 (): P y *)8 /: P. &eterminar los esfuerzos en cada material si los extremos estn firmementeempotrados en muros r!gidos e indeformables.

Entonces


"ompresin

+@5 4

"ompresin

+4l5 +1B 4

7raccin

+ac5 +1A +B 4


58/84


bronce@ alum> acer8 :

Aa!a

La"PPP

A!

RP

A!

LR

A'A'

A

A

++

=

+ 75

.

75

.

. )((

I::.)::.K::

(N:

()::.N:

::7():5

)::.QI

K::.: AR RRKNR =

+

I()::

7(N:5

().N:

7():5

QI)

K.: A RPkR =

+

&espejando :.:::N/ *B8 @:.(K

H28 @(/.(K

kPam

N I(.Q(

)::(:

(K.(L/)K ==

kPam

NAL KI.)K)

()::(/

(K.I(:)K ==

kPam

Na K.K:Q

K::(/

(K.IK/)K ==

PROBLEMA N3:

Hesol$er el problema anterior si los muros ceden, separndose :.K: mm al aplicar las fuerzas dadas * (

8 P(y *)8 (


H2R *(R *)> H2:

H2> H&8 (: P



59/84



2B> BC> C&8 :

:

K::(:)::

I::7.(:5

()::(:N:K

::7.L5

)::(:QI

K::.

)

)

I)

)

I)

)

I

=

+

+

mmmm

N

mmKNR

mmmm

N

mmKNR

mmmm

N

mmR AAA

:::

(:

)((Q

L

II)=

+

+

KNRKNRR AAA

I.:( x (:@IH2> :.N x (:@IH2R .)/ x (:@I>)./ x (:@IH2R:.:)/8:

/.Q x (:@IH28 :.:)/ P

H28 .(Q P

Entonces

H2> H28 (: P

H&8 (: P R .(Q P

H&8 /.Q) P

PROBLEMA N3! :

na $iga r!gida de masa despreciable est articulada en un extremo y sus p"rdidas de dos $arillas.Calcular el mo$imiento $ertical de * 8 (): P.

mm

a AL

KI

=

&e la relacin se obtiene

//

)( PP =

*(8 / M *) 8(:M

*(8 /: P *)8 N: P

mm$Pa

mKNa

K::.)::

/:

=


4cero 4luminio

4 5 :00 mm 4 5 800 mm

E 5 00 =+a E 5 F0.: +a

L 5 C m L 5


60/84


a8 (.KK mm

&el grfico

PROBLEMA N3"

na barra r!gida de masa despreciable est articulada en sus extremos y suspendida de una $arilla deacero y una de bronce, seg;n se muestra en la figura. Cunto $ale la mxima carga * que puedeaplicarse sin exceder un esfuerzo en el acero de (): -?m)ni uno de bronce de N:-?m).




Entonces

/I

ALa=

4L 5 .FC mm

2e movi una longitud de .CC mm

4 5 00 mm

E 5


61/84


/)

RAC =

!

L

!

LRAC .

/

) ==

QI

).

/

)

)::

IRAC ==

RAC K.:=

#i

(::(): == RAC

)N: == ACR

KNPmm

P

mm

NR

RR /K

Q::

.N:)) ===

KNPmm

C

mm

NAC(C IN

L::

(:)

)) ===

*or lo tanto )5IN P7 > /5/KP7 8 T*

* 8 / P

PROBLEMA N3#:

res $arillas situados en un piano, se forman conjuntamente una fuerza de (: P como se indica en la

figura, determinar las tensiones que aparecen en cada una.



62/84


*or estad!stica obtenemos

Entonces las tensiones

*a 8 :: M

*a 8 /K

*b 8 ()N,/ P

*b 8 (QN

PROBLEMA N3+:

res barras 2B, BC y 2& se articulan en 2 para soportar juntas una carga * 8 como se indica en lafigura. El desplazamiento +orizontal del punto 2 est impedido por una corta $arilla +orizontal 2E quese supone infinitamente r!gida. &eterminar los esfuerzos en cada barra y lo pesa total en 2E. *ara labarra de acero, 2 8 ):: mm)y E 8 ):: T*a y para cada una de las barras de aluminio, 2 8 :: mm)yE 8 N:T*a.


a. "os

6% 5 0

+a A +# . 2en:0 5 In

C00 0,< I 5 8 In

I 5 1C,C ?

Entonces

Las tensiones son

+a 5 >F8: ?

+# 5 1C,FC ?


63/84


&iagrama de cuerpo libre



6* 5 0 -?a2en; - ?de 5 0

?al2enC>; 5 ?'EB ?al2en B 8? 5 0

?a1A ?a1"os


64/84


ACAD

ACA PPPP

I/.:).)::)::

).).

N:::

)).=

=

:.) *2C> :.K( *2C> *2C8 *2C8 .QK , *2&8 (N, *2B8I.

Entonces

1E 8 (.N#en/ > I. #enI:O

8 (.) > (.N

1E 8 ). 57


)::

.I

mm

N

A

NAA ==

8 :.:Q/ *a

))::

QK.

mm

N

A

NACAC ==

8 :.:) *a

)::

N.(

mm

N

A

NADAD ==

8 :.:: *a

PROBLEMA N4,:

na $arilla de acerote )./ m de longitud est firmemente sujeta entre dos muros. #i el esfuerzo en la$arilla es nula a ):OC, determinar el esfuerzo que aparecer al descender la temperatura +asta @):OC, la

seccin es de ():: mm), 8 ((,N um 5mOC7 y E 8 ):: K?m). Hesol$er el problema en los casossiguientes



65/84


a7 -uros completamente r!gidos e indeformables. # 8 L527

Entonces

#p 8 #t 8 : * 8 2 . E2

#p 8 # # 8 2 . E

LAT

!A

PL=

# 8

)

K)::.O:.

O

N,((

m

NC

Cm

)m

# 8 IK::.P*a

b7 -uros que seden ligeramente, acordndose su distancia en :,/ mm al descender la temperature dela barra.

Entonces

Hpta a7 IK: P*a

b7 8 /I,K -?m

PROBLEMA N41:

n bloque que tiene una carga de -apendiente de tres $arillas sim"tricamente colocadas, como se indica en la figura. 2ntes de colgar elbloque, los extremos inferiores estaban al mismo ni$el. &eterminar la tensin en cada $arilla, despu"s


47 5 C0;"

4 5 100 mm

5 11,F umMm;"

275 2p A 0,> m

L47 -

/,:=tA

PL

$Pa

mmmCm

Cm

m

K::

/,).K/,:O:.)/.

ON(:.(( K

11F00.10-:m B 0.>.10-


66/84


de suspender el bloque y de una ele$acin detemperatura de :OC emplear lo siguiente

Entonces

#*2C> #2C8 #*B> #B


27 5 L47

47 5 C0;"

Aarilla 2cero Bronce

Xrea 5mm)7

E 5?m)7

5um?mOC7

/::

):: x (:

((.N

::

QI x (:

(Q.


67/84


Cm

mmm

N

mPCmC

mm

N

mP AC O:(.L(:.(Q

L::.(:.QI

(O:./.:.?ON(:.((

/::(:.(:.)::

/.:. K

)

)

L

K

)K

)

L

+=+

K

K

K

K (:.N/K

N(:.N

(:.)I

(:.)::

+=+

N

P

N

PAC

KK

KK (:.)I(:.N/K

N(:.N(:.)::

+N

P

N

P AC

7(.....5/))N.N)::

AC PP

N.N *2CR ):: *B 8 NNQ,KQ P

)*2C > *B 8 ,:/: P

Entonces

*ac 8 I,K P

*B8 @)/,(IQN P

a 8 I,:Q P 8 N,:-?m)5tensin7

b 8 @)/,(IQN P 8 )N,Q ?m)5compresin7

::.(:@Q

PROBLEMA N42:

. n bloque r!gido que tiene una carga de -g pende de I $arillas sim"tricamente colocadas, como se

indica en la figura. 2ntes de colgar el bloque, los extremos inferiores de las $arillas estaban al mismo

ni$el. &eterminar la tensin en cada $arilla despu"s de suspender el bloque y de una ele$acin de

temperatura de :OC. Emplear los datos de la tabla siguiente

-.r(%%. /0 .'0r$ .r(%%. /0 r$*'0

Xrea 5mm)7E 5?m)75um?mOC7

/::):: x (:

((.N

::QI x (:

(Q.



68/84


2nalizando

(Q. x (:Kx : x (:Imm >L::(:QI

(:I

I

N

mmP

)/ x (:@Imm > :.:I x (:@I *2L8 N/K x (:@Imm> :.:( x (:@I*E

:.:I *2LR :.:( *B8 /))


274LA 24@L5 27@A 2+@

.47.L A..

..

..

.

A!

LPLAT

A!

LP AL +=

11.F * 10-:M;" . 0.> * 10


69/84


I*2HR *B8 /)) x (:)

) *2C> *B8 I):

/*2C8 (: R *2C8 (Q)QQ *B8 )KK

PROBLEMA N43:

Con los mismos datos del problema )/ determinar la ele$acin de temperatura necesaria para que lacarga aplicada sea soportada ;nicamente por las $arillas de acero.

#i m 8 -g peso 8 x .Q( 7 QQ.) P

&atos

A'0r$ Br$*'0

Xrea 5mm)7

E 5?m)

75u?OC7

/::

):: x (:

((.N

::

QI x (:

(Q.

#olucin

#i (8 )

) )8 QQ.) P (8 ) 8 .(/ P

b 8 a > *a

Entonces

5. 2. Lo7b 8 5. 2. Lo7 ac >

A!

LP

.

..

7(:)::75(:/::5

7/.:5(:(/.

)

((:N.((7(5(:L.(Q LK

IKK

+=

ATAT

)(:):

(/.Q/./L.(Q

+= ATAT

(I.:/ 2 8 )):.N/

2 8 (K.(0C

PROBLEMA N44:



70/84


na $arilla de acero de (/: mm)de seccin est sujeto en ss extremos a dos puntos 5(/:7 estandoestirada con una fuerza total de /:: o ):0C, calcular el esfuerzo de la $arilla a @):0C V2 qu"temperatura se anular el esfuerzoW

Entonces

*8 (::.::: > /:::

*8 (::

8 (::

(/:.(/Km) # 8 ()N - ?m)

Entonces +allando en el caso 5b7 2

oda la deformacin producto ser igual a la deformacin producida por la .

> *8 requerida

AT!A

PLLAT =+.

)I.(:@K> (KK.(:@K8 ((.N(:.(:@K2

::.(:@K8 ((.N.(:@KL(

2 8 I.(Q

PROBLEMA N4:


4 5 1> mm E 5 00 * 108?Mm

0N" 5 7o

"alcular el esfuer$o

765 -0N"

47 5 C0N"

Entonces se deduce que

LAT!A

PL.=

+ 5 E4 . . 47

Cmmm

NP = :.(:.N.((.(/:.(:.):: K)

)

L

+ 5 1C0C0.000 ?


71/84


na $arilla de acero anclado cubre ) muros r!gidos queda sometida a una tensin de a ):0C. si elesfuerzo admisible es de (I: -?m), +allar el dimetro m!nimo de la $arilla para que no se sobrepaseaquel al descender la temperatura +asta ):0C suponga 8((.N um?m0C y E 8 )::K*a.

2nalizando

2C 8 *2C

.L.2 8..

..

!A

LP

.L.2 8.

..!

LAC

2C 8 .2.E

2C 8 ((.N x (:@K?0C 5:0C7.):: x (:I-?mm)

2C 8 I.K -?m)

)?K.LI mMNA

PACAC =

A

mm

N

N

)LIK

L

(.:

)) DAmm

)).: Dmm

:.IK mm U &

Es el dimetro m!nimo :.IK mm



72/84


PROBLEMA N4!:

Los rieles de una $!a f"rrea de (: m de longitud, se colocan a una temperatura de (/0C con una+olgura de I mm Va qu" temperatura quedarn al topeW Calcular el esfuerzo que adquirir!an unatemperatura si no existiera la +olgura se%alada 8 ((.N[?0C y E 8 )::T*a.

#olucin

Espacio 8 (./ x (:@Ipara cada riel

Entonces

(./ x (:@Im 8 . 2 x Lo

(./ x (:@Im 8

(:(:(:N.(((:/.((:(:

N.(( IIIK

=

ATmATC

CATAT ==

Q).()N.((

(:/.( )

J8 (/0C > ().Q/: 8 )N.Q):

*ara el segundo caso

8 )* 8 ((.N x (:@Kx ().Q) x ):: (:

* 8 ((.N x ().Q) x (:/

* 8 (. x (:K*a



73/84


* 8 (. -*a

PROBLEMA N4":

2 una temperatura de :0 se coloca una planc+a r!gida que tiene una masa de -g sobre dos $arillasde bronce y una de acero, como se indica en la figura V2 qu" temperatura quedar descargada de la$arilla de aceroW &atos 2 8 K::: mm), E 8 ):: x (:?m), 8 ((.N um?5m.0C7. Bronce 2 8 K:::

mm)

, E 8 QI x (:

?m)

, 8 (.: um?5m0C7.

2+ora

5acero78 5bronce7 @ *5bronce7

KILK

IK

(:(:)/:(/.(:)/:(:

(L(:I::(:

N.((

=

ATC

ATC

QI x (:Ix K x (:@I

((.N x 2 x I:: 8 ( x 2 x )/: R .(/ x )/: x (:Ix QI xK

I/( 12 8 N/: 2 R )(K(.(

(): 2 8 ))(K(.(0C

2 8 (N.QN0C

8 ):0C > (N.QN 8 IN.QN0C

PROBLEMA N4#:

2lta temperatura de ):OC +ay un claro 2 8 :.) mm entre el extremo inferior de la barra de bronce,determinar el esfuerzo en cada barra cuando la temperatura del conjunto se ele$a a (::OC.


705 0N"

+ 5 8 * 10- I?


74/84


8 L2

Helacionando

B@ b@ a@ a8 :.) mm

(Q..(:@KRNQm?nQ:OC@

mm

mmn

M

mmPaCmm

mmmN

mmPb).:

::.(:.)::

Q::.OQ:.Q::.N(:.((

::.?(:.QI

NLLQ

)L

L

)L =

():)N.K(:@KR (K.:K *b? R NQQ::.(:@KR (:*a? 8 :.Q

:.K: R (K.:K *b? R (:*a? 8 :.Q

(K.:K *b > (:*a 8 :.)K

@ *B> )*a 8 :

Entonces del siguiente sistema de ecuaciones. 1btenemos

*b 8 :.:()I

*a 8 :.::K)

PROBLEMA N4+:

n cilindro de aluminio y otro de bronce, perfectamente centrados se aseguran entre dos placas r!gidasque se aseguran entre dos placas r!gidas que se pueden apretar mediante dos tornillos de acero, comose obser$a en la figura. 2 (:OC no existen fuerzas axiales en conjunto del dispositi$o. &eterminar las

tensiones en cada material a :OC con los siguientes datos

2luminio, 2 8 ():: mm), E 8 N: x (:?m), 8 )I unm?mOC


47 5 0;"

@ronce 4 5 :00mm

t 5


75/84


Bronce, 2 8 (Q:: mm), E 8 QI x (:?m), 8 ( unm?mOC

Caja tornillo, 2 8 /:: mm), E 8 ):: x (:?m), 8 ((.N unm?mOC

Como el acerop comprime a los cilindros de 2l y Bronce, estos producen una carga

)*ac 8 *

*al 8 * *ac 8 *?)

*br 8 *

2dems

2t.L *2L.L > .2.L R *B.L 8 2.L > *2L.L


4LalB DalA 4L@rB D@r5 4LacA Dal

4dems 7i 5 10;"

7f 5 80;" 7f B 7i 5 0;"


76/84


E.2. E.2. E.2.

=

+

)

)

I

K

)

)

I

K

(Q::(:QI

(::.(::.

O

(:(L

()::.(:N:

N/.N/.OQ:.

O

(:)I

mmmm

N

mmPmm

Cmm

mm

N

mmPmmC

C

)

)

I

K

/::(:)::

)(/.())(/.OQ:.

O

(:N.((

mmmm

N

mmPmmC

C

N

P

N

P

N

P K(K

(K

( (::Q.((::(.)(:KN.:

(:/).((:QL.:

(:IQ.(

=

+

:.Q x (:@ 8 :.Q x (:@K*

(.Q/ x (:/ 8 *

(Q/::: 8 *

*ara determinar las tensiones o esfuerzos

*al8 (Q/:::

*Br8 (Q/:::

*a8 )/::

MPamm

NA' ).(/

():

(Q/:::) ==

MPamm

Nr Q.(:)

(Q::

(Q/:::)==

MPamm

NAC (Q/

/::

L)/::)==

PROBLEMA N,:

n cilindro de acero est dentro de un mangilo de bronce, ambos de la misma longitud y los dos juntossoportan una fuerza $ertical de compresin de )/: P que se aplica por intermedio de una placa deapoyo +orizontal. &eterminar 5a7 la $ariacin de temperatura con lo que el acero queda totalmente

cargado. 5b7 La que descarga por completo el bronce.

Resistencia de Materiales Dr. Gerardo Mendoza Delgadillo "


77/84


2cero 2 8 N):: mm)

E 8 ):: T*a

8 ((.N um?m.OC

5b7 2nalizando para el caso FbG

B8 a@*a

2 8 2 @!A

PL

(Q.(:@K2 8 ((.N(:@K2 R )/: P

)::T*a N):: mm)

N.I 2 (:@K8 :.:::(NIK

2 8 )I.NQ).::

Entonces

Hpta a7 2 8 I.IQ b7 2 8 @)I.NQ)

PROBLEMA N1:

n manguito de bronc ese monta sobre un tornillo y se sujeta mediante una tuerca. Calcule el cambiode temperature que causara que el esfuerzo en el bronce sea de ): 3*a. *ara el tornillo de acero. 2 8/: mm), 2 8 /: mm), E 8 ):: T*a y 8 ((.N um?mOC para el manguito de bronce. 2 8 :: mm ), E8 QI T*a y 8 (.: um?mOC.


@ronce 4 5 1.10


78/84


LATLAT A ..,.. )( ==

!A

LP

!A

LP A

.

.,

.

.I ==

8 (@ I8 )> 5ecuacin de compatibilidad7

!A

LPLAT

!

LLAT AA

.

...... +=

*or ecuacin de equilibrio *b 8 *a

)I

)

)/

)K

?(:)::

?:.?OK(:N.((

?(:QI

?):.(:(L

mmN

mmNATC

mmN

mmNAT

+=

2b. 28 2a. a

:: mm)x ):

)

)

) :./:

mm

Nmm

mm

Naa ==

2. N.I x (:@I?OC 8

)K.:QI

):

(:

(=+

2 8 I/.KOC

PROBLEMA N2:

Resistencia de Materiales Dr. Gerardo Mendoza Delgadillo #


79/84


En el problema anterior Va que temperatura alcanzar el esfuerzo en el aluminio y el acero el mismo$alor num"ricoW

2luminio 2cero

E 8 N: x (:?m E 8 ):: x (:/?m

2 8 :: mm) 2 8 ():: mm)

8 )I: m?mOC 8 ((.N m?mOL

*or el m"todo de superposicin

tilizando las secciones

(8 >H(.L( 5acortamiento7

2(. E(

)8 5@H(>7.L) 5alargamiento7

2). E)

)

)

I

(

)

)

I

(

))

)(

((

((

()::(:)::

I::7.L5

L::(:N:

)::.

.

.L

.

.

mmmm

N

mmNR

mmmm

N

mmR

!A

LNR

!A

LR

+=

+=

Q:: H(8 (Q: 5@H( > 7 KK: H(8 (N:(:

H(8 )./

H)8 K.K

Resistencia de Materiales Dr. Gerardo Mendoza Delgadillo $

15 porque no se acorta ni se alarga!


80/84


&el sistema

2l 8 (.L(.2 > ).L).2

+

=+=

N

mmmmFATCmmATCL T II

KK

(:)::.()::

I::

(:N:.L::

)::?O(:N.(()::..?O(:)I

2.x(:@).Q(.(?OC 8 :.:I/ J

J 8 ).I/ 2 ?OC

PROBLEMA N3:

*ara el conjunto mostrado en la figura, determine el esfuerzo en cada una de las dos $arillas $erticalessi la temperatura se ele$a :OC despu"s que se aplica la carga * 8 /: P-. &esprecie la deformacin yla masa de la barra +orizontal.

&atos.

2luminio 2cero

2 8 :: mm) 2 8 K:: mm)

E 8 N::?m) E 8 )::x (:?m

8 )I um?mOC 8 ((.N um?mOC

2 8 :O

3allando la (era ecuacin

*or esttico momento

I*(> K*e 8 Q* 8 : ... 5(7Resistencia de Materiales Dr. Gerardo Mendoza Delgadillo %


81/84


Entonces por proporcionalidades

KI

( pTFT +=

+

((

)

((

( .)

..)A!

LPLAT

A!

LPATLA'A' +=+

m

Pm

N

Pm

K::.)::

:..(:.N.((

L::.N:

I)I.:.(:.)I.) )

K(K +=+

:./)I *(R :.III*)8 @IKQ

*(> )*)8 ).)/

*(8 @I.))N

*)8 (.N)K

2 8 *BR *2

((.N x (:)OC

2dems

*2R *B> *CR 8 :

*CR 8 *BR *2

2 8 *C R

((.N x (:

)

?OC

AT

NPC

C

N L

O(:N.(( )

=

HB8 H2

2)8 2(

)

(

( A

FR

A

FR' +=

@

=

()::

K.K FN

L::

FRJ*N+

(.IK R IJ 8 (:.(K > J



82/84


.) 8 NJ

(I( 8 J

Entonces

(.I( 8 H.I/ 2 (0 C

:./K0C 8 2

2dems

8 (: > &

8 ):0 C > :,/K0 C

8 ):./K0C

PROBLEMA N4:

La barra r!gida 2B est articulada mediante un perno en 1 y conectada a dos $arillas seg;n se muestraen la figura. #i la barra 2B se mantiene en posicin +orizontal a determinada temperatura, calcule larelacin de reas de las $arillas para la barra 2B se mantenga +orizontal a cualquier temperatura.&esprecie la masa de la barra 2B.

2luminio 2cero

E 8 N: T*a E 8 ):: T*a

8 )I mm 8 ((.N um?mOC

L 8 Q m L 8 Q m

Equilibrio de la barra.



83/84


En un aumento de temperatura, se dilata

1 318 :

@*2L5Im7> *2C5 m7 8 :

*2C8 :.N/ *2L

*ara que la barra permanezca r!gida

2l8 *al ac8 *ac

Aa'a'!

LPa'LaAT

..

... =

Aaa'!

LPa'LAT a"

..

... =

Aa'

mm

N

Pa'AT

C.

(:(:

.O

(:)I

)

I

K

=

Aa

mm

N

PaAT

C.

(:)::

.O

(:N.((

)

I

K

=

Pa'mm

NAa'AT == ...(:(K(

)

) PaCmm

NAaAT = ...(:.)I

)

(

6gualando

Cmm

NAa'AT

Cmm

NAaAT

O.

(::

N/.():

O.

(:

.)I))

=

.)I

:N/.()=

a')m

a"ero

A

A

8 :./)

PROBLEMA N:



84/84


n eje macizo de aluminio de Q: mm de dimetro se introduce concentradamente dentro de un tubo deacero. &eterminar el dimetro interior del tubo de manera que no exista presin alguna de contactoentre eje y tubo, aunque el aluminio soporta una fuerza axial de compresin de Mn. *ara el aluminio 8 (?I y Eq 8 N: x (:?m)

S$%&'()*:

8 Q: mm

Jaxial5:7 8 P \

)?(IN:/

(mx% ==

#i

7(:,K5

L:::

7:Q,:5

(:L

I)

I

===

+

NxTx

A

FTx

x 8 @(.N -?m)

2+ora

IL

K

)L

)K

(:)(:

NL.(

(:N:

(:NL.(

I

(

?(:N:

?(:NL.(

I

(

=

=

==mN

mN

!

Tx)!,

Ey8 Q./) x (:@K

Entonces

x E x L y 8 Q./) x (:@K5Q:7

8 K,:(K x (:@

8 :,:::K mm

esfuerzos y cargas axiales

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