capítulo 5 distribución de esfuerzos en el suelo debido a cargas

Parte II: Introducción al cálculo y diseño de cimentaciones Capítulo 5 - Distribución de esfuerzos en el suelo debido a cargas

Introducción a la ingeniería de cimentaciones (Diseño geométrico y estructural) – Cruz, L.

Capítulo 5 Distribución de esfuerzos en el suelo debido a cargas

5.1 INTRODUCCIÓN Como ya se ha explicado anteriormente una cimentación tiene el trabajo de transferir las cargas de la estructura al suelo, cuando esto sucede la presión o el esfuerzo que la fundación entrega al terreno se distribuye en el medio considerado (el suelo) y a su vez se disipa. Este capítulo estudia como ocurre este fenómeno en el terreno para diferentes tipos de cimentación. 5.2 DISTRIBUCIÓN DE ESFUERZOS EN EL TERRENO DEBIDO A UNA CARGA PUNTUAL

Figura 5.1 – Modelo de Boussinesq, de carga puntual (P) sobre un medio elástico semi-infinito, y sistema de ejes utilizado.

Boussinesq (1885), idealizando un modelo donde se coloca una carga puntual sobre un medio elástico semi-infinito, encontró que la solución para encontrar el valor del incremento del esfuerzo vertical (∆σz) en un punto cualquiera (a) con coordenadas cartesianas de localización (x = xa, y = ya, z = za, ver Figura 5.1) , debido a la carga (P) impuesta, de forma general será:

θπ

σ 52 cos2

3zP

z =∆ (ec. 5.1)



donde:

22cos

zrz+

=θ (ec. 5.2)

22 yxr += (ec. 5.3)

Utilizando las definiciones antes vistas, y realizando las simplificaciones respectivas, se puede expresar el incremento de esfuerzo vertical en el suelo (∆σz), de dos maneras:

2/522 12

3

+

=∆

zrz

Pz

π

σ (ec. 5.4)

ó

( ) 2/522

3

.23

zrzP

z+

=∆π

σ (ec. 5.5)

Si tomamos cualquiera de las dos ecuaciones y realizamos un análisis y un diagrama del incremento del esfuerzo vertical del plano x-z (y=0), obtendremos un esquema como el mostrado en la Figura 5.2, para el caso de una carga puntual unitaria, que podrá ser utilizado para cualquier valor de carga fundamentados en los principios de la elasticidad, aclarando que la unidad de ∆σz/P=[1/m2].



Figura 5.2 – Distribución de esfuerzos en el terreno debido a una carga puntual.

Del esquema de la Figura 5.2 podemos observar y obtener varias cosas, uno como es la distribución de esfuerzos en el terreno debido a una carga puntual, y dos introduciremos un concepto que es el bulbo de presiones. Definición: El bulbo de presiones es la zona del suelo donde se producen incrementos de carga vertical considerables por efecto de una carga aplicada del tipo que sea. Esta zona forma un bulbo llamado de presiones, y esta conformada por isóbaras que son curvas que unen puntos de un mismo valor de presión o de esfuerzo. Las isobaras de la Figura 5.2 están representadas desde la del 10% hasta la del 90% del valor de la carga puntual, cada 10%.



En el caso que estamos analizando, el bulbo de presiones debido a una carga puntual, estará limitado por la isobara que toma el valor del 10% del valor de la fuerza puntual aplicada, ∆σz ≤ 0.10P (ver Figura 5.2). Como una aclaración adicional el valor del esfuerzo cerca de la carga puntual toma valores muy grandes, y en el punto de contacto (x=0, z=0) el valor del esfuerzo en el suelo tenderá a infinito (∆σz = ∞), ya que idealizando el problema planteado el área de contacto tendería a cero. Ejemplo 5.1 5.3 DISTRIBUCIÓN DE ESFUERZOS EN EL TERRENO DEBIDO A UNA CARGA CIRCULAR

Figura 5.3 – Modelo de carga circular (q) sobre un medio elástico semi-infinito,

y sistema de ejes utilizado. Partiendo de la solución dada por Boussinesq para una carga puntual (ec. 5.4), y dividiendo un área cargada circular en diferenciales de área, como muestra la Figura 5.3, donde una carga puntual (dP) sobre este diferencial se puede aproximar a dP = q.r.dθ.dr, obtenemos que:

2/522 12

)...(3)(

+

=∆

zrz

drdrqd z

π

θσ (ec. 5.6)

Integrando en toda la superficie del área circular, tendríamos que:



∫ ∫=

=

=

=

+

=∆πθ

θπ

θσ2

0

2/

02/52

2 12

)...(3Br

rz

zrz

drdrq (ec. 5.7)

Al solucionar la anterior integral, encontraríamos que el incremento de el esfuerzo vertical (∆σz) para un punto cualquiera (a) debajo del centro de una cimentación circular, de radio R, cargada con un valor de esfuerzo de contacto (q) uniformemente distribuido, en una profundidad dada (z) cualquiera, será:

+

−=∆

23

2

1

11

zR

qzσ (ec. 5.8)

donde: R : Es el radio de la cimentación, y será igual a R=B/2. Para conocer el incremento de esfuerzo vertical en lugares diferentes a puntos localizados debajo del centro de la cimentación circular, se deberá solucionar la integral de la ecuación 5.7, con los adecuados limites de integración, variándolos de acuerdo a la distancia (r) desde el centro de la cimentación hasta punto investigado y a la profundidad (z). Para efectos prácticos podemos utilizar ábacos como el que muestra la Figura 5.4, obteniendo el valor de la función, de tal manera que el incremento de carga se puede expresar como:

=∆

Rz

Rxfqz ,.σ (ec. 5.9)

Abaco area circular Figura 5.4 – Ábaco carga circular.

En este caso que estamos analizando el bulbo de presiones debido a una carga circular, éste estará limitado por la isobara que toma el valor de ∆σz=0.10q, y como se puede apreciar en el ábaco de la Figura 5.4, la máxima profundidad (Db) que toma el bulbo de presiones es el centro aproximadamente a dos veces el ancho (B) o dos veces el diámetro (D) de la fundación, luego podemos aproximar:

RDBDb 422 ≈≈≈ (ec. 5.10) Ejemplo 5.2



5.3 DISTRIBUCIÓN DE ESFUERZOS EN EL TERRENO DEBIDO A UNA CARGA RECTANGULAR 5.3.1 Método basado en la teoría de Boussinesq

Figura 5.5 – Modelo de carga rectangular (q) sobre un medio elástico semi-infinito, y sistema de ejes utilizado.

Partiendo de la solución dada por Boussinesq para una carga puntual (ec. 5.4) y la definición de r (ec. 5.3), y dividiendo un área cargada rectangular en diferenciales de área, como la mostrada en la Figura 5.5, donde una carga puntual (dP) sobre un diferencial se puede aproximar a, dP = q.dx.dy, obtenemos que:

( ) 2/5222

3

2/5222

22

)..(3

12

)..(3)(zyxzdydxq

zyx

z

dydxqd z++

=

++

=∆π

π

σ (ec. 5.11)

Integrando en toda la superficie del área rectangular, tendríamos que:

( )∫ ∫=

=

=

= ++=∆

Ly

y

Bx

xz

zyxzdydxq

0 02/5222

3

2)..(3

πσ (ec. 5.12)

Al solucionar la anterior integral (Newmark) 1935, encontraríamos que el incremento de el esfuerzo vertical (∆σz) para un punto cualquiera (a) debajo de la esquina de una cimentación rectangular, de ancho B y largo L, cargada con un valor de esfuerzo de contacto (q) uniformemente distribuido, en una profundidad dada (z) cualquiera, será:



),( nmqIz =∆σ (ec. 5.13)

donde:

zBm = (ec. 5.14)

zLn = (ec. 5.16)

−++++

+++++

+++++

= −2222

221

22

22

2222

22

112tan

12

112

41),(

nmnmnmmn

nmnm

nmnmnmmnnmI

π (ec. 5.17)

En el caso que el valor de (m2n2) sea más grande que el valor de (m2+n2+1), el termino de la ecuación 5.17 que utiliza tangente inversa se vuelve negativo, luego será necesario modificar la ecuación, sumando al anterior resultado el valor de π, de la siguiente manera:

+

−++++

+++++

+++++

= − ππ 2222

221

22

22

2222

22

112tan

12

112

41),(

nmnmnmmn

nmnm

nmnmnmmnnmI (ec. 5.18)

El valor del factor de influencia I(m,n), siempre deberá estar entre:

25.0),(0 ≤≤ nmI (ec. 5.19) Los valores del factor de influencia I(m,n), a partir de las ecuaciones 5.17 y 5.18, se pueden obtener del gráfico de la Figura 5.6 para diferentes valores de m y n ó de la Tabla 5.1.



Figura 5.6 – Valor del factor de influencia para diferentes valores de m y n.

Tabla 5.1 – Valor del factor de influencia para diferentes valores de m y n.

m ó n 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0 2.0 ∞0.1 0.0047 0.0092 0.0132 0.0168 0.0198 0.0222 0.0242 0.0258 0.0270 0.0279 0.0311 0.03160.2 0.0092 0.0179 0.0259 0.0328 0.0387 0.0435 0.0473 0.0504 0.0528 0.0547 0.0610 0.06200.3 0.0132 0.0259 0.0374 0.0474 0.0559 0.0629 0.0686 0.0731 0.0766 0.0794 0.0887 0.09020.4 0.0168 0.0328 0.0474 0.0602 0.0711 0.0801 0.0873 0.0931 0.0977 0.1013 0.1134 0.11540.5 0.0198 0.0387 0.0559 0.0711 0.0840 0.0947 0.1034 0.1103 0.1158 0.1202 0.1350 0.13750.6 0.0222 0.0435 0.0629 0.0801 0.0947 0.1069 0.1168 0.1247 0.1311 0.1360 0.1533 0.15620.7 0.0242 0.0473 0.0686 0.0873 0.1034 0.1168 0.1277 0.1365 0.1436 0.1491 0.1686 0.17200.8 0.0258 0.0504 0.0731 0.0931 0.1103 0.1247 0.1365 0.1461 0.1537 0.1598 0.1812 0.18500.9 0.0270 0.0528 0.0766 0.0977 0.1158 0.1311 0.1436 0.1537 0.1618 0.1684 0.1915 0.19581.0 0.0279 0.0547 0.0794 0.1013 0.1202 0.1360 0.1491 0.1598 0.1684 0.1752 0.1999 0.20461.5 0.0304 0.0595 0.0864 0.1105 0.1314 0.1490 0.1637 0.1758 0.1857 0.1936 0.2236 0.22992.0 0.0311 0.0610 0.0887 0.1134 0.1350 0.1533 0.1686 0.1812 0.1915 0.1999 0.2325 0.23993.0 0.0315 0.0618 0.0898 0.1150 0.1368 0.1555 0.1711 0.1841 0.1947 0.2034 0.2378 0.24654.0 0.0316 0.0619 0.0901 0.1153 0.1372 0.1560 0.1717 0.1847 0.1954 0.2042 0.2391 0.24855.0 0.0316 0.0620 0.0901 0.1154 0.1374 0.1561 0.1718 0.1849 0.1956 0.2044 0.2395 0.2492

10.0 0.0316 0.0620 0.0902 0.1154 0.1374 0.1562 0.1720 0.1850 0.1958 0.2046 0.2398 0.2499∞ 0.0316 0.0620 0.0902 0.1154 0.1375 0.1562 0.1720 0.1850 0.1958 0.2046 0.2399 0.2500

n ó m

La profundidad del bulbo de presiones (Db) de un área rectangular es difícil de determinar de forma general, más aun cuando es una distribución de carga compuesta. Se puede deducir que esta variará entre dos veces su ancho (B) (en el caso de una zapata cuadrada) y tres veces su ancho (B) (ver numeral



5.4), pero de manera aproximada Db es asumida, para el caso de una zapata rectangular como:

BDb 2≈ (ec. 5.24) Ejemplo 5.3 5.3.2 Método aproximado 2:1 (V:H) Uno de los primeros métodos para encontrar el incremento de esfuerzo vertical (∆σz) en el suelo, a una profundidad (z) cualquiera, debido a una carga uniformemente distribuida (q) colocada en una superficie rectangular de ancho (B) y largo (L), fue el método de la pendiente 2:1 (V:H), método que es aproximado pero tiene la ventaja de que es muy sencillo y simple. Este método supone que la zona o área donde la carga (q) actúa, se va distribuyendo en el medio (suelo), ampliándose, desde la de contacto (B x L), hasta una zona más grande que va a ser función de la profundidad, y que va a ir creciendo con una pendiente 2:1 (V:H), tal y como muestra la Figura 5.7, para el caso de la dimensión del ancho (B) y análogamente para la dimensión del largo (L).

Figura 5.7 – Método aproximado 2:1 (V:H). De acuerdo a esto, el incremento de esfuerzo vertical (∆σz) en el suelo, se podría aproximar a:

))(( zLzBqBL

z ++=∆σ (ec. 5.19)



Para el caso de una cimentación cuadrada, basándonos en este mismo método:

2

2

)( zBqB

z +=∆σ (ec. 5.20)

5.4 DISTRIBUCIÓN DE ESFUERZOS EN EL TERRENO DEBIDO A UNA CARGA RECTANGULAR UNIFORMEMENTE DISTRIBUIDA DE LONGITUD INFINITA (ZAPATA CORRIDA)

Figura 5.8 – Carga rectangular uniformemente distribuida de longitud infinita.

A partir de la solución para los esfuerzos causados en el suelo por una fuerza lineal de longitud infinita (P/m, no tratada en este capítulo), y al integrarla para darle solución a la distribución de esfuerzos causada en el suelo por una carga rectangular uniformemente distribuida de longitud infinita (ver Figura 5.8), obtenemos que el incremento de el esfuerzo vertical (∆σz) en un punto cualquiera (a) dado, de coordenadas (xa, za), será :

+−+−−

−+

−−

=∆ −−222222

22211

4)()(2tantan1zbbzx

bzxbzbxz

bxzqz π

σ (ec. 5.21)

donde: q : Sobrecarga de forma rectangular uniformemente distribuida de longitud

infinita. x,z : Coordenadas cartesianas del punto analizado. b : Igual a la mitad del valor del ancho de la cimentación rectangular de

longitud infinita con carga uniformemente distribuida. (b=B/2)



ó de una manera simplificada:

( ))2cos(1 δαααπ

σ ++=∆ senqz (ec. 5.22)


infinita. α : Ángulo definido en la Figura 5.8, conformado entre los limites de la

carga y el punto a. δ : Ángulo definido en la Figura 5.8, medido con respecto a la vertical.

Por facilidad podemos graficar la ecuación 5.21 o la 5.22, de tal forma que podamos encontrar el valor de la función f(x/B, z/B), y al multiplicarla por la carga (q) uniformemente distribuida obtendremos el valor del incremento de esfuerzo vertical (∆σz) en el punto considerado, así:

=∆

Bz

Bxqfz ,σ (ec. 5.23)

El valor de la función f(x/B, z/B), aparece graficado en la Figura 5.9 de manera general hasta la isobara ∆σz/q = 0.10 y en la Figura 5.10 de manera mas detallada hasta la isobara ∆σz/q = 0.20, que en el caso de una zapata rectangular de longitud infinita será hasta donde se considerara la profundidad del bulbo de presiones (Db), o lo mismo hasta que haya una disipación de esfuerzo de tal forma que el incremento de esfuerzo en el suelo no supere el 20% de la carga impuesta originalmente. De acuerdo a lo anterior y a lo que se puede apreciar en la Figura 5.9 y 5.10 podemos aproximar para este caso de zapata rectangular de longitud infinita y carga uniformemente distribuida, que la profundidad del bulbo de presiones (Db) es:

BDb 3≈ (ec. 5.24)



Figura 5.9 – Valor de la función f(x/B, z/B), general.



Figura 5.10 – Valor de la función f(x/B, z/B), detallada. Ejemplo 5.3 5.5 DISTRIBUCIÓN DE ESFUERZOS EN EL TERRENO DEBIDO A UNA CARGA TRIANGULAR DE LONGITUD INFINITA. De una manera análoga como para una carga rectangular uniformemente distribuida de longitud infinita, a partir de la solución para los esfuerzos causados en el suelo por una fuerza lineal de longitud infinita (P/m, no tratada en este capítulo), y al integrarla para darle solución a la distribución de esfuerzos causada en el suelo por una carga triangular de longitud infinita, variando desde cero (0) hasta q (ver Figura 5.11), obtenemos que el incremento de el esfuerzo vertical (∆σz) en un punto cualquiera (a) dado, de coordenadas (xa, za), será :



−=∆ δα

πσ 2

21 sen

bxqz (ec. 5.25)


infinita. x : Coordenada cartesiana x del punto analizado. b : Igual a la mitad del valor del ancho de la cimentación de longitud

infinita con carga uniformemente distribuida. (b=B/2) α : Ángulo definido en la Figura 5.11, conformado entre los limites de la

carga y el punto a. δ : Ángulo definido en la Figura 5.11, medido con respecto a la vertical.

Figura 5.11 – Carga triangular de longitud infinita. Esta solución es aplicada a casos como el de los muros de contención con carga excéntrica, combinado con principios de superposición de acuerdo a las teorías elásticas. 5.6 DISTRIBUCIÓN DE ESFUERZOS EN EL TERRENO DEBIDO A UNA CARGA TRAPEZOIDAL (TRIANGULO RECTÁNGULO) DE LONGITUD INFINITA, TERRAPLÉN.



Figura 5.12 – Carga de terraplén de longitud infinita. A partir de la solución para una carga triangular de longitud infinita (ver Numeral 5.5) y utilizando los principios de superposición, podemos obtener que el incremento de el esfuerzo vertical (∆σz) en un punto cualquiera (a) dado, de coordenadas (xa, za), será :

−+

+=∆ )()(1

22

121

2

21 αααπ

σBB

BBBqz (ec. 5.26)


infinita, actuando en el ancho B2, que en el caso de un terraplén uniforme de altura H y peso unitario γ, será q = γH.

B1 : Ancho donde se desarrolla la pendiente del terraplén, y donde varia la carga desde la carga q hasta cero.

B2 : Ancho donde se considera que actúa la carga rectangular de longitud infinita uniformemente distribuida (q).

α1 : Definido como:

−

+

= −−

zB

zBB 11211

1 tantanα (ec. 5.27)

α2 : Definido como:

= −

zB11

2 tanα (ec. 5.28)

Por facilidad se puede construir o graficar un diagrama en función de B1/z y B2/z, a partir de la ecuación 5.26, con el objeto de expresar el incremento de el esfuerzo vertical (∆σz) como:



=∆

zB

zBqfz

21 ,σ (ec. 5.29)

donde el valor de la función

zB

zBf 21 , aparece graficado en la Figura 5.13.

Figura 5.13 – Ábaco para carga de terraplén de longitud infinita, valor de la función f(B1/z, B2/z).

Ejemplo 5.3 5.7 DISTRIBUCIÓN DE ESFUERZOS EN EL TERRENO DEBIDO A UNA CARGA UNIFORMEMENTE DISTRIBUIDA DE CUALQUIER FORMA, CARTA DE NEWMARK (1942). 5.7.1 Manejo de la Carta de Newmark Nathan M. Newmark (1942) en la Universidad de Illinois, se ideo un sistema de solución grafica para encontrar de manera aproximada el incremento de esfuerzo vertical debajo de cualquier punto de una fundación, con cualquier tipo y forma de carga, basado en la solución para un punto bajo el centro de una fundación con carga uniformemente repartida de forma circular (numeral 5.3, de este capítulo). A esta solución gráfica se le llama solución con Carta de



Newmark, y es basada en gráficos o esquemas como el que muestra la Figura 5.14:

Figura 5.14 – Carta de Newmark. La forma de encontrar el incremento de esfuerzo vertical (∆σz) bajo cualquier punto de la fundación o por fuera de ella, a una profundidad cualquiera (z) dada, es:

a. Caracterizar la carta de Newmark con la que se va a trabajar, que consiste en identificar el valor de influencia (cada carta tendrá uno, en el caso de la Figura 5.14 Vi=0.003125), y en identificar la referencia de



escala (├────┤) que es la línea que representa la profundidad (z) a la cual se va a encontrar el incremento de esfuerzo.

b. Adoptada la profundidad (z) a la cual se va a encontrar el incremento de esfuerzo vertical (∆σz), la línea de referencia de escala (├────┤) se volverá igual a la profundidad (z) tomada, de acuerdo a esto quedará definida la escala del procedimiento.

c. Se deberá dibujar la fundación en planta de acuerdo a la escala definida en el paso anterior, para luego colocar este esquema a escala sobre la Carta de Newmark, haciendo coincidir el punto bajo el cual se desea encontrar el incremento de esfuerzo con el centro de la Carta de Newmark, tal y como muestra la Figura 5.15 (a) para el caso del incremento de esfuerzo en el centro de la fundación o la Figura 5.15 (b) para el caso del incremento de esfuerzo en la esquina de la cimentación.

Figura 5.15 – Carta de Newmark.

d. Finalmente se contarán cuantos cuadros quedan dentro del esquema de

la fundación, sumándose los cuadros completos y las fracciones de recuadros con el cuidado de una buena apreciación.

De acuerdo al anterior procedimiento descrito, el valor del incremento de esfuerzo vertical (∆σz) en un punto cualquiera bajo la fundación, a una profundidad (z) dada, se definirá como:

qNViz =∆σ (ec. 5.30) donde: Vi : Valor de influencia de la carta de Newmark de referencia, cada carta

tendrá uno. q : Sobrecarga uniformemente distribuida producida por la cimentación.



N : Numero de divisiones de la carta de Newmark de referencia, que estén dentro de la planta de la cimentación.

5.7.2 Construcción de la Carta de Newmark A partir de la solución para una carga uniformemente distribuida de forma circular, ecuación 5.8, podemos obtener que la relación R/z, es igual a:

21

32

11

−

∆−=

−

qzR zσ (ec. 5.31)

Si ahora le damos valores a la relación (∆σz/q), desde cero (0) hasta uno (1) (debido a que la relación no podrá ser mayor que uno), obtenemos los valores de la relación R/z , los cuales son tabulados en la tabla 5.2:

Tabla 5.2 – Valores de R/z.

∆σz/q R/z 0.0 0.000 0.1 0.270 0.2 0.400 0.3 0.518 0.4 0.637 0.5 0.766 0.6 0.918 0.7 1.110 0.8 1.387 0.9 1.908 1.0 ∞

Luego si se asume una escala cualquiera para la unidad, se deberá graficar como radios de círculos concéntricos todos los valores de R/z obtenidos, de acuerdo a la escala seleccionada, tal y como muestra la Figura 5.16:



Figura 5.16 – Círculos concéntricos para la construcción de la carta de

Newmark. Se coloca una línea de longitud de una unidad, según la escala escogida, que representara la profundidad (z) con la cual se este trabajando con la carta de Newmark. Finalmente se divide la carta en cuantos cuadros se desee (de forma simétrica), y se le coloca un recuadro que delimitará la carta, tal y como muestra la Figura 5.17:

Figura 5.17 – Construcción de la carta de Newmark.



El numero de cuadros en los cuales se dividió la carta de Newmark, definirá el valor del factor de influencia (Vi) para la carta de Newmark construida (cada carta deberá especificar cuanto es este valor), según la siguiente ecuación:

NDVi

1= (ec. 5.32)

donde: ND: Numero total de divisiones o cuadros que posee la Carta de Newmark construida. 5.8 REFERENCIAS Bowles, J.E. (1996). Foundation analysis and design, 5th ed., McGraw-Hill, New York. Cruz, L. (2006). Conferencias de clase curso de Fundaciones, Facultad de Ingeniería Civil Universidad del Cauca, Popayán. Cruz, L. (2006). Conferencias de clase curso de Mecánica de Suelos I, Facultad de Ingeniería Civil Universidad del Cauca, Popayán. Cruz, L. (2006). Conferencias de clase curso de Mecánica de Suelos II, Facultad de Ingeniería Civil Universidad del Cauca, Popayán. Das, B.M. (2001). Principios de ingeniería de cimentaciones, 4ta ed., International Thomson Editores, México. Das, B.M. (1997). Advanced soils mechanics, 2nd ed., Taylor and Francis, Washington, D.C. Newmark, N.M. (1942), Influence Charts for Computation of Stresses in Elastic Foundations, University of Illinois Bulletin No. 338. Osterberg, J. O. (1957). “Influence values for vertical stresses in semi-infinite mass due to embankment loading”, Proceedings, Fourth International conference on soil mechanics an foundation engineering, London, vol. 1, pp. 393-396. Rico, A. y H. Del Castillo (2003). La ingeniería de suelos en las vías terrestres (carreteras, ferrocarriles y aeropistas), Vol. 1 y Vol. 2, 19na reimpresión, Limusa, México.

capítulo 5 distribución de esfuerzos en el suelo debido a cargas

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