magnitudes escalares y vectoriales 2015 magnitudes escalares y vectoriales

Magnitudes Escalares y Vectoriales

2015

Magnitudes Escalares y Vectoriales

Objetivos: Después de completar este módulo, deberá:

• Demostrar que cumple las expectativas matemáticas: análisis de unidades, álgebra, notación científica y trigonometría de triángulo recto.

• Definir y dar ejemplos de cantidades escalares y vectoriales.

• Determinar los componentes de un vector dado.• Encontrar la resultante de dos o más vectores.

• Demostrar que cumple las expectativas matemáticas: análisis de unidades, álgebra, notación científica y trigonometría de triángulo recto.

• Definir y dar ejemplos de cantidades escalares y vectoriales.

• Determinar los componentes de un vector dado.• Encontrar la resultante de dos o más vectores.

Expectativas

• Debe ser capaz de convertir unidades de medición para cantidades físicas.

Convierta 40 m/s en kilómetros por hora.

40--- x ---------- x -------- = 144 km/h

m

s

1 km

1000 m

3600 s

1 h

Expectativas (cont.):

• Se supone manejo de álgebra universitaria y fórmulas simples.

Ejemplo: 0

2fv v

x t

Resuelva para vo

0

2fv t xv

t

Expectativas (cont.)

• Debe ser capaz de trabajar en notación científica.

Evalúe lo siguiente:

(6.67 x 10-11)(4 x 10-3)(2)

(8.77 x 10-3)2 F = -------- = ------------

Gmm’

r2

F = 6.94 x 10-9 N = 6.94 nNF = 6.94 x 10-9 N = 6.94 nN

Expectativas (cont.)

• Debe estar familiarizado con prefijos del SI

metro (m) 1 m = 1 x 100 m

1 Gm = 1 x 109 m 1 nm = 1 x 10-9 m

1 Mm = 1 x 106 m 1 mm = 1 x 10-6 m

1 km = 1 x 103 m 1 mm = 1 x 10-

3 m

Expectativas (cont.)• Debe dominar la trigonometría del

triángulo recto.

y

x

R

q

y = R sen q y = R sen q

x = R cos qx = R cos q

cosx

R

tany

x R2 = x2 +

y2

R2 = x2 + y2

seny

Rq=

La física es la ciencia de la medición

Comience con la medición de longitud: su magnitud y su dirección.

Comience con la medición de longitud: su magnitud y su dirección.

Longitud

Peso Tiempo

• Existen cantidades físicas que quedan totalmente determinadas por su magnitud o tamaño, indicada en alguna unidad conveniente.

• Dichas cantidades se llaman: ESCALARES• Son ejemplos de cantidades escalares; el

tiempo, la masa, la energía, la carga eléctrica, la rapidez (no velocidad), entre otras.

• Otras cantidades físicas requieren para su completa determinación, que se añada una dirección y sentido a su magnitud.

• Dichas cantidades se llaman VECTORES.• Dentro de las cantidades vectoriales tenemos; el

desplazamiento, la velocidad, aceleración, fuerza, el peso, entre otras.

EJEMPLOS

• MAGNITUDES ESCALARES

• 20 (m)• 50 (km/hr)• 3 (kg)

• MAGNITUDES VECTORIALES

• 20 (m) al sur-este• 50 (km/hr) al sur• 3 (kg) hacia abajo

• Gráficamente, un vector es representado por una flecha. La magnitud o módulo del vector es proporcional a la longitud de la flecha. • El vector de la

figura sería . La magnitud o módulo del vector se indica por , o simplemente A.

A

A

A

• Un vector se acostumbra a denotar por una

letra con una flecha sobre ella.

A

||A|| ES LA MAGNITUD , MÓDULO O

NORMA

EL ANGULO DA LA

DIRECCIÓNLA CABEZA DE FLECHA DA EL SENTIDO Y LA

COLA , EL PUNTO DE

APLICACIÓN

REPRESENTACIÓN DE UN VECTOR

Distancia: cantidad escalar

Una cantidad escalar:

Sólo contiene magnitud y consiste de un número y una unidad.

(20 m, 40 mi/h, 10 gal)

A

B

Distancia es la longitud de la ruta tomada por un objeto.

Distancia es la longitud de la ruta tomada por un objeto.

s = 20 m

Desplazamiento-Cantidad vectorial

Una cantidad vectorial:

Contiene magnitud Y dirección, un número, unidad y ángulo.

(12 m, 300; 8 km/h, N)

A

BD = 12 m, 20o

• Desplazamiento es la separación en línea recta de dos puntos en una dirección especificada.

• Desplazamiento es la separación en línea recta de dos puntos en una dirección especificada.

q

Distancia y desplazamiento

Desplazamiento neto:4 m, E

6 m, W

D

¿Cuál es la distancia recorrida?¡¡ 10

m !!

D = 2 m, W

• Desplazamiento es la coordenada x o y de la posición. Considere un auto que viaja 4 m E, luego 6 m W.

• Desplazamiento es la coordenada x o y de la posición. Considere un auto que viaja 4 m E, luego 6 m W.

x = +4x = -2

Coordenadas geográficas

Una forma común de identificar la dirección es con referencia al este, norte, oeste y sur. (Ubique los puntos abajo.)

Una forma común de identificar la dirección es con referencia al este, norte, oeste y sur. (Ubique los puntos abajo.)

40 m, 50o N del E

EW

S

N

40 m, 60o N del W40 m, 60o W del S40 m, 60o S del E

Longitud = 40 m

50o60o

60o60o

Coordenadas geográficasEscriba los ángulos que se muestran a continuación con referencias al este, sur, oeste, norte.Escriba los ángulos que se muestran a continuación con referencias al este, sur, oeste, norte.

EW

S

N45o

EW

N

50o

S

Clic para ver las respuestas...Clic para ver las respuestas...

500 S del E500 S del E

450 W del N450 W del N

Coordenadas Polares

• En coordenadas polares el ángulo siempre debe ser medido desde la parte positiva del eje x.

• En coordenadas polares el ángulo siempre debe ser medido desde la parte positiva del eje x.

y

x

V

Coordenadas polaresLas coordenadas polares (R, q) son una excelente forma de expresar vectores. Considere, por ejemplo, al vector 40 m, 500

N del E.

Las coordenadas polares (R, q) son una excelente forma de expresar vectores. Considere, por ejemplo, al vector 40 m, 500

N del E.

0o

180o

270o

90o

q

0o

180o

270o

90o

R

R es la magnitud y q la dirección.

40 m

50o

Coordenadas polares

(R, q) = 40 m, 50o

(R, q) = 40 m, 120o (R, q) = 40 m, 210o

(R, q) = 40 m, 300o

50o60o

60o60o

0o180o

270o

90o

120o

Se dan coordenadas polares (R, q) para cada uno de los cuatro posibles cuadrantes:

Se dan coordenadas polares (R, q) para cada uno de los cuatro posibles cuadrantes:

210o

3000

Coordenadas rectangulares de un Vector

El vector de la figura está representado en su forma rectangular, o sea por un par de coordenadas que corresponden a sus componentes en x y y respectivamente. (R, q).

y

x

(Vx,Vy)

Coordenadas rectangulares de un Vector

El vector de la figura está representado en su forma rectangular, o sea por un par de coordenadas que corresponden a sus componentes en x y y respectivamente. (R, q).

x

yR

q

x = R .cos q

y = R .sen q

Coordenadas rectangulares de un VectorPara convertir de coordenadas polares a

rectangulares o viceversa pueden usarse las fórmulas que se presentan en el cuadro a

continuación.

Coordenadas rectangulares de un Vector

¿Cuáles son las coordenadas rectangulares de un vector de magnitud 10 y de dirección

125°?

Coordenadas rectangulares de un Vector

 ¿Cuáles son las coordenadas polares de un vector cuya proyección en x es 15 y cuya

proyección en y es -20?

Ejemplo: Una persona camina 400 m en una dirección 30o N del E.

¿Cuán lejos está el desplazamiento al este y cuánto al norte?

x

yR

qx = ?

y = ?400 m

30o

E

N

El componente y (N) es OP:

El componente x (E) es ADY:

x = R cos qy = R sen q

E

N

Ejemplo 2 (cont.): Una caminata de 400 m en una dirección a 30o N del E. ¿Cuán lejos está el desplazamiento del este y

cuánto del norte?

x = R cos q

x = (400 m) cos 30o

= +346 m, E

x = ?

y = ?400 m

30o

E

N Nota: x es el lado adyacente al ángulo de

300

ADY = HIP x cos 300

El componente x es:Rx = +346 m

Ejemplo 2 (cont.): Una caminata de 400 m en una dirección a 30o N del E. ¿Cuán lejos está el desplazamiento del este y

cuánto del norte?

y = R sen q

y = (400 m) sen 30o

= + 200 m, N

x = ?

y = ?400 m

30o

E

N

OP = HIP x sen 300

El componente y es:Ry = +200 m

Nota: y es el lado opuesto al ángulo de

300

Ejemplo 2 (cont.): Una caminata de 400 m en una dirección a 30o N del E. ¿Cuán lejos está el desplazamiento del este y

cuánto del norte?

Rx = +346 m

Ry = +200 m

400 m

30o

E

NLos

componentes x y y son cada uno + en el

primer cuadrante

Solución: La persona se desplaza 346 m al este y 200 m al norte de la posición

original.

Signos para coordenadas rectangulares

Primer cuadrante:

R es positivo (+)

0o > q < 90o

x = +; y = +x = R cos qy = R sen q

+

+

0o

90o

Rq

Signos para coordenadas rectangulares

Segundo cuadrante:

R es positivo (+)

90o > q < 180o

x = - ; y = +

x = R cos qy = R sen q

+R

q180o

90o

Tercer cuadrante:

R es positivo (+)

180o > q < 270o

x = - y = - x = R cos q y = R sen q

-R

q180o

270o

Signos para coordenadas rectangulares

Cuarto cuadrante:

R es positivo (+)

270o > q < 360o

x = + y = -

x = R cos qy = R sen q

360o+

R

q

270o

Signos para coordenadas rectangulares

Resultante de vectores perpendiculares

Encontrar la resultante de dos vectores perpendiculares es como cambiar de coordenadas rectangulares a polares.

R siempre es positivo; q es desde el eje +x

2 2R x y

tany

x x

yR

q

Ejemplo 3: Una fuerza de 30 lb hacia el sur y una de 40 lb hacia el este actúan sobre un burro al mismo tiempo. ¿Cuál

es la fuerza NETA o resultante sobre el burro?

30 lb

40 lb

Dibuje un esquema Elija una escala

Ej: 1 cm = 10 lb

4 cm = 40 lb

3 cm = 30 lb

40 lb

30 lb

Nota: La fuerza tiene dirección tal como la longitud. Los vectores fuerza se pueden tratar como si se tuvieran vectores longitud para encontrar la fuerza resultante. ¡El procedimiento es el mismo!

Nota: La fuerza tiene dirección tal como la longitud. Los vectores fuerza se pueden tratar como si se tuvieran vectores longitud para encontrar la fuerza resultante. ¡El procedimiento es el mismo!

Cómo encontrar la resultante (cont.)

40 lb

30 lb

40 lb

30 lb

Encontrar (R, q) a partir de (x, y) dados = (+40, -30)

R

fq

Ry

Rx

R = x2 + y2 R = (40)2 + (30)2 = 50 lb

tan f = -30

40 f = -36.9o

q = 323.1o

q = 323.1o

Cuatro cuadrantes (cont.)

40 lb

30 lbR

fq

Ry

Rx40 lb

30 lb R

f

q

Ry

Rx

40 lb

30 lbR

q Ry

Rx

f

40 lb

30 lb

R q

Ry

Rx

f = 36.9o; q = 36.9o; 143.1o; 216.9o; 323.1o

f = 36.9o; q = 36.9o; 143.1o; 216.9o; 323.1o

R = 50 lb

R = 50 lb