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CENTRO DE ESTUDIOS TECNOLOGICOS Y DE SERVICIOS Nº 4

PROFA. MARÍA DE LOURDES TRIANA PRADO

PROPIEDADES DE EXPONENTES, RADICALES

Y LOGARITMOS

Exponentes

Caso general(n es cualquier entero positivo)

Casos especiales

Si n es un entero positivo, la notación exponencial a2 que se define en la tabla, representa el producto del número real a multiplicado n veces por si mismo. La expresión a2 se lee a a la enésima potencia o simplemente a a la n. El entero positivo se llama exponente y el numero real a, base.

Notación exponencial                                   

es importante observar que si n es un entero positivo, entonces una expresión como 3an significa 3(an) pero no (3a)n. El número real 3 se llama coeficiente de an en la expresión 3an.

Ejemplo                                  

Ejemplos:

Ahora ampliamos la definición de an a exponentes no positivos.

Definición (a diferente de 0)

Ejemplo

Exponente cero y negativo                              

Si m y n son enteros positivos, entonces

En vista de que el número total de factores de a a la derecha es m+n, esta expresión es igual a am+n ; es decir,

De esta forma se puede llegar a las leyes de exponentes que muestran a continuación:

Ley Ejemplo

Simplificar una expresión donde hay potencias de números reales, significa cambiarla a otra en que cada numero real aparece solo una vez y todos los exponentes son positivos. Teniendo presente que los denominadores representan números reales diferentes de cero.

Simplificar:

a)                       b)

a) 

Solución

b) 

Simplificación de expresiones con exponentes negativos.

Simplifica: 

Solución:

RADICALES

A continuación definiremos la principal raíz enésima de un numero real.

Definición de    

Sean n un numero entero positivo mayor de 1 y a , un numero real

1) Si       , entonces            2) Si        , entonces     es el número real positivo b tal que        .    3)  a)  Si       y n es non, entonces    es el numero real negativo b tal que       .          b)   Si       y n es par, entonces     no es un número real.

Propiedades de     (n es un entero positivo).

Propiedad Ejemplo

De esta ultima propiedad vemos que:

para todo numero real x. En particular, si

entonces

sin embargo si entonces

          ,

que es positiva

Las tres leyes siguientes son verdaderas para los enteros positivos m y n, siempre que existan las raíces indicadas; es decir, siempre que las raíces sean números reales.

Ley Ejemplo

Advertencias respecto a errores comunes:

Simplificar un radical quiere decir eliminar factores del radical hasta que el radicando contenga sólo exponente igual o mayor que el índice del radical y el índice sea tan pequeño como sea posible.

Eliminación de factores de radicales.Simplifica el radical (todas las letras denotan números reales positivos):

a)              b)                   c)                    

Solución

a) 

b)

c)

DEFINICIÓN 

Logaritmo de un número es el exponente al que hay que elevar la base para que nos de

dicho número.  

Logaritmo de un número (P) es el exponente (x) al que hay que elevar la base

(a) para que nos de dicho número (P). 

La base tiene que ser positiva y distinta de 1  

 se lee logaritmo en base a de P

  (logaritmo en base 2 de 8 es igual a 3) pues 3 es el

exponente al que hay que elevar 2 para que nos de 8 à  

 (logaritmo en base 2 de  es igual a -3) pues -3 es el exponente al que hay que elevar 2 para que nos de  à

  (logaritmo en base 10 de 10000 es igual a 4) pues 4 es el exponente al que hay que elevar 10 para que

nos de 10000 à  

 (logaritmo en base 10 de 0.0001 es igual a -4) pues -4 es el exponente al que hay que elevar 10 para que

nos de 0.0001

EJEMPLOS:

PROPIEDADES DE LOS LOGARITMOS

 Dos números distintos tienen logaritmos

distintos.  

Si  

El logaritmo de la base es 1  

El logaritmo de 1 es 0, cualquiera que sea la base.

 El logaritmo de un producto es igual a

la suma de los logaritmos de los factores.

El logaritmo de un cociente es igual al logaritmo del numerador menos el

logaritmo del denominador.   

El logaritmo de una potencia es igual al exponente por el logaritmo de la base de la potencia.  El logaritmo de una raíz es igual al logaritmo del radicando dividido por el índice.  Cambio de base: El logaritmo en base a de un número se puede obtener a partir de logaritmos en otra base.