capitulo 1 cinemática de la partícula pucp
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Cap. 1 Cinemtica de la Partcula Pg. 1-1
Pontificia Universidad Catlica del Per Seccin de Ingeniera Mecnica - rea de Diseo
Por: Jorge Rodrguez Hernndez, Dipl.-Ing. Profesor del rea de Diseo
Seccin de Ingeniera Mecnica
Cap. 1 Cinemtica de la partcula 1.1 Definiciones Cinemtica: es el estudio de la geometra del movimiento sin importar las causas que
lo producen. Movimiento: cambio de posicin respecto a un sistema de referencia (fijo o mvil). Partcula: elemento con masa pero sin dimensiones. 1.2 Posicin, velocidad y aceleracin en coordenadas cartesianas En la figura 1-1 se muestra una partcula P que se mueve a lo largo de la curva trayectoria C. Su posicin quedar determinada para cada instante del movimiento si conocemos el vector posicin de tal manera que sus tres componentes estn representadas como funciones del tiempo: ( ))(,)(,)()( tztytxtr = (1.1) Es decir, las componentes cartesianas del vector posicin estn determinadas por las ecuaciones:
===
)()()(
tzztyytxx
(1.2)
las cuales se denominan ecuaciones paramtricas del movimiento. Como veremos ms adelante, conociendo las ecuaciones paramtricas del movimiento de una partcula, ser relativamente fcil encontrar las expresiones de su velocidad y aceleracin como funciones del tiempo.
PTrayectoria
Fig. 1-1
r
Ox
y
z
C
-
Cap. 1 Cinemtica de la Partcula Pg. 1-2
Pontificia Universidad Catlica del Per Seccin de Ingeniera Mecnica - rea de Diseo
Ejemplo 1.1: Una partcula se mueve a lo largo de una hlice cilndrica de tal manera que su movimiento est definido por el vector posicin:
),,cos()( 00 tktsenatatr =
donde a [m], 0 [rad/s] y k [m/s] son constantes
Es decir:
=
=
=
tktztsenatytatx
)()(
cos)(
0
0
Observar que la trayectoria helicoidal tiene radio a y la partcula da una vuelta completa en el tiempo 0/2 =T . Al dar una vuelta completa la partcula ascender una distancia p que se denomina paso de la hlice ( 0/2 kp = ). Tomemos un movimiento con las siguientes caractersticas:
)2,0;5,15,0;5,1cos5,0()( ttsenttr =
, t en [s], x, y y z en [m]. Si deseamos saber la posicin de la partcula en el instante 2=t s, entonces: 495,0)25,1(cos5,0 ==x [m] 071,0)25,1(5,0 == seny [m] 4,022,0 ==z [m] Velocidad: es el cambio del vector posicin por unidad de tiempo. En la siguiente figura se muestran dos posiciones muy cercanas para la partcula P durante su movimiento. Entre ambas posiciones ha transcurrido un tiempo t . El cambio de posicin est representado por el vector r
. Entonces, la velocidad instantnea de la
partcula ser:
trtv
t
=
0lim)(
t
trttrtvt
+=
)()(lim)(0
)()()( trtrdtdtv
== (1.3)
Se ve claramente que la velocidad es un vector tangente a la trayectoria. As el vector velocidad tendr siempre la forma:
tetvtv )()( =
donde te es el vector unitario tangencial a la trayectoria.
Ecuaciones paramtricas del movimiento O
x
y
z
p
a
Fig. 1-2
Fig. 1-3O
Trayectoria
)()( trttrr
+=
)(tr
)( ttr +
P
C
-
Cap. 1 Cinemtica de la Partcula Pg. 1-3
Pontificia Universidad Catlica del Per Seccin de Ingeniera Mecnica - rea de Diseo
En coordenadas cartesianas: ( ))(),(),()( tztytxtv = (1.4) Siendo su mdulo: 222 zyxv ++= (1.5)
Ejemplo 1.2: Calcular la velocidad para la partcula del ejemplo 1.1 en el instante 2=t s. Tenemos que: )2,0;5,15,0;5,1cos5,0()( ttsenttr =
.
La velocidad ser: )2,0;5,15,0;5,1cos5,0()()( ttsentdtdtr
dtdtv ==
)2,0;5,1cos75,0;5,175,0()( ttsentv =
Para 2=t s: )2,0;743,0;106,0()( =tv
m/s
Su mdulo ser: 222 zyxv ++= = 0,777 m/s
Aceleracin: es el cambio del vector velocidad por unidad de tiempo.
t
tvttvtvta
tt +
=
=
)()(limlim)(00
==dt
trddtdtv
dtd )()(
)()()( 22
trtrdtdta
== (1.6)
En coordenadas cartesianas: ( ))(),(),()( tztytxta = (1.7)
siendo su mdulo: 222 zyxa ++= (1.8)
Ejemplo 1.3: Calcular la aceleracin de la partcula del ejemplo 1.2 en el instante 2=t s.
)2,0;5,1cos75,0;5,175,0()()( ttsendtdtv
dtdta ==
)0;5,1125,1;5,1cos125,1()( tsentta =
Para 2=t s: )0;159,0;114,1()( =ta
m/s2
Su mdulo ser: 125,1222 =++= zyxa m/s2
-
Cap. 1 Cinemtica de la Partcula Pg. 1-4
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ley horaria del movimiento
1.3 Ley horaria y trayectoria de la partcula Ahora plantearemos una forma alternativa de definir la posicin de una partcula para cualquier instante del movimiento. Ella consiste bsicamente en conocer la ecuacin cartesiana de la curva trayectoria y una ecuacin que nos describa, en funcin del tiempo, la longitud de curva recorrida a partir de un cierto punto P0. Dicha ecuacin recibe el nombre de ley horaria. A continuacin veremos cmo obtener la ecuacin de la ley horaria a partir de las ecuaciones paramtricas del movimiento. Si eliminamos el parmetro t de las ecuaciones paramtricas obtenemos dos ecuaciones de la forma:
0),,(
0),,(
2
1
=
=
zyxf
zyxf
las cuales definen la curva trayectoria C de la partcula en forma cartesiana. Sabemos del clculo diferencial que un diferencial de longitud de curva est determinado por: 222 )()()( dzdydxds ++= Multiplicando y dividiendo el lado derecho de la ecuacin por dt obtenemos:
dtdtdz
dtdy
dtdxds
222
+
+
=
integrando:
+
+
=
ts
s
dtdtdz
dtdy
dtdxds
0
222
0
de donde:
+
+
=
t
dtdtdz
dtdy
dtdxss
0
222
0
es decir:
+
+
+=
t
dtdtdz
dtdy
dtdxss
0
222
0
la cual es de la forma: s = s (t) (1.9)
Po
P
s=s(t)
so , to
s, t
Fig. 1-4
O Trayectoria
C
-
Cap. 1 Cinemtica de la Partcula Pg. 1-5
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Notar que de todas maneras se necesita conocer las coordenadas el punto ),,( 0000 zyxP a partir del cual es vlida la ley horaria. Ejemplo 1.4: Una partcula se mueve en el plano segn las ecuaciones paramtricas:
ttx 0cos3)( = tty 0sen3)( = ; donde 0 constante.
Se pide deducir la ecuacin de la trayectoria, la ley horaria y las coordenadas del punto P0. Solucin: de las dos ecuaciones paramtricas podemos, convenientemente, hacer
desaparecer el parmetro t: tx 0
22 cos9 = tseny 0
22 9 = (t en segundos, x e y en metros)
Sumando ambas expresiones: 922 =+ yx , la cual corresponde a la ecuacin de una circunferencia.
Sabemos que: dtdtdy
dtdxdydxds
2222
+
=+=
Derivando las ecuaciones paramtricas: tsendtdx
003 =
tdtdy
00 cos3 =
entonces: dtttsends )cos9()9( 20
220
20
220 +=
integrando: dtdsts
=0
00
3 ts 03=
Si t = 0 x = 3 m y = 0 P0 = (3, 0) [m] Nota: En la figura 1.5 se muestran grficamente algunas caractersticas de este
movimiento circular.
Fig. 1-5
P
Po = 0 t
s = 3 0 t3
x
y
O
-
Cap. 1 Cinemtica de la Partcula Pg. 1-6
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Ahora nos plantearemos el proceso inverso. A partir de las ecuaciones:
de la trayectoria: 0),,(1 =zyxf
0),,(2 =zyxf de la ley horaria: s = s (t)
posicin inicial de la partcula: ),,( 0000 zyxP ser posible deducir las ecuaciones paramtricas del movimiento? A continuacin analizaremos el problema. De las expresiones de f1 y f2 despejamos dos de las variables cartesianas en funcin de la tercera. En este caso elegiremos, arbitrariamente, la variable x: Obtenemos: )(xfy =
)(xgz = como: 222 dzdydxds ++=
multiplicando y dividiendo por dx: dxdxdz
dxdyds
22
1
+
+=
integrando:
+
+=
x
x
s
s dxdz
dxdyds
00
22
1 dx
)(10 xfss =
)(10 xfss += de donde obtenemos una expresin de la forma: )(1 xss =
Igualndola con la ecuacin de la ley horaria: )()( 1 xsts = Expresin que podremos poner en la forma: )(txx = la cual ya es una de las ecuaciones paramtricas buscadas. Finalmente la reemplazamos en las expresiones )(xfy = y )(xgz = para obtener: )(tyy =
)(tzz =
-
Cap. 1 Cinemtica de la Partcula Pg. 1-7
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Ejemplo 1.5: Una partcula se desplaza por la trayectoria determinada por la interseccin de las superficies:
8222 =++ zyx 0= yx ; [x, y, z en metros] segn la ley horaria ts 3= [s en metros, t en segundos] a partir del punto m)0,2,2(0 =P . Se pide determinar las ecuaciones paramtricas del movimiento. Solucin: 0= yx xy = (1)
8222 =++ zyx )4(2 2xz = (2)
Sabemos que: 22
222 1
+
+=++=
dxdz
dxdydzdydxds dx (3)
derivando (1): 1=dxdy
derivando (2): 24
2xx
dxdz
=
en (3): dxx
xds 22
4211
++=
integrando: 2
20 422
xdxds
xs
=
es decir: x
xarcsens22
22=
=
2222 xarcsens
y como s = 3 t:
=
22223 xarcsent
despejando:
+=
2223
sen2 tx
o lo que es lo mismo: tx22
3cos2=
en (1): ty22
3cos2=
y finalmente en (2): tsenz22
322=
Ecuaciones paramtricas del movimiento.
-
Cap. 1 Cinemtica de la Partcula Pg. 1-8
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1.4 Aplicacin al movimiento rectilneo En este caso necesitaremos una sola coordenada para describir el movimiento. Es decir, como el vector posicin r
estar siempre en la direccin del eje coordenado, que hemos
denominado x para esta explicacin, entonces dicho vector, al tener una sola coordenada diferente de cero, estar perfectamente representado por dicha coordenada, teniendo en cuenta el sentido asignado como positivo.
As tendremos: Posicin: )(txx =
Velocidad: )()()( txtxdtdtv ==
Aceleracin: )()()()( 22
txtxdtdtv
dtdta ===
tambin: dxdvv
dtdx
dxdv
dtdva ===
Notar que en este caso particular se cumple que s = x (s es el camino recorrido). Ejemplo 1.6: Para hallar las propiedades de un cierto material viscoelstico, un proyectil es disparado verticalmente hacia abajo desde O con velocidad inicial de 60 m/s. Si el proyectil sufre una desaceleracin 34,0 va = [m/s2], donde v en m/s, se pide determinar la velocidad y posicin del proyectil en el instante 4=t s. Solucin: Clculo de la velocidad:
Sabemos que: 34,0 vdtdva ==
dtv
dv=
34,0
integrando: =
=
v
v
t
dtv
dv
60 03
04,0
2/1)8,03600
1( += tv m/s (1)
Si 4=t s: 559,0=v m/s ()
x
x
s PO
Fig. 1-6
x
s
v
O
Fig. 1-7
-
Cap. 1 Cinemtica de la Partcula Pg. 1-9
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Clculo de la posicin:
Sabemos que: 2/1)8,03600
1( +== tdtdsv
despejando: dttds 2/1)8,03600
1( +=
integrando: +=ts
dttds0
2/1
0
)8,03600
1(
601)8,0
1201(5,2 2/1 += ts
Si 4=t s: 43,4=s m Caso particular: Movimiento rectilneo uniformemente acelerado.
a constante ==dtdva constante
dtadvv
v
t
=0 0
=t
dtavv0
0 tavv += 0
Como dtdxv = dtvdx =
+=x
x
t
dttavdx0 0
0 )(
200 21 tatvxx +=
200 21 tatvxx ++=
y tambin: dxdvva = dxadvv =
=v
v
x
x
dxadvv0 0
)()(21
02
02 xxavv =
)(2 02
02 xxavv +=
Ecuacin paramtrica del movimiento
-
Cap. 1 Cinemtica de la Partcula Pg. 1-10
Pontificia Universidad Catlica del Per Seccin de Ingeniera Mecnica - rea de Diseo
Ejemplo 1.7: La pelota se lanza verticalmente hacia arriba con velocidad inicial 100 =v m/s desde una altura 20=h m. Se pide determinar:
a) La velocidad v y la elevacin y para cualquier tiempo t. b) La mxima altura alcanzada por la pelota y el instante
en que ello ocurre.
c) El tiempo en que la pelota choca el piso y su velocidad en ese instante.
Solucin: a) El movimiento se realiza con aceleracin constante 81,9=a m/s2 que corresponde
a la aceleracin de la gravedad.
dtdva =
dtdv
= 81,9 ==
tv
v
dtdv010
81,90
tv 81,910 = 1081,9 += tv (1)
Como dtdyv = dtvdy =
)1( dttdy )1081,9( +=
Integrando: =
+=y
y
t
dttdy20 00
)1081,9(
2905,41020 tty =
2010905,4 2 ++= tty (2)
b) Mxima altura alcanzada: cuando 0=v
de (1): 01081,9!=+ t 02,1=t s
en (2): 1,25=y m c) Instante del choque con el piso: 0=y
en (2): 02010905,4 2 =++ tt 28,3=t s
en (1): 2,22=v m/s
y
y0 = 20 m
v
a = 9,81 m/s2
t = 0
O
Fig. 1-8
-
Cap. 1 Cinemtica de la Partcula Pg. 1-11
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1.5 Aplicacin al movimiento parablico En general, para el movimiento plano de una partcula necesitaremos solamente dos coordenadas. As, los vectores posicin, velocidad y aceleracin quedarn definidos de la siguiente manera: Posicin: ( ))(,)( tytxr = Velocidad: ( ))(,)( tytxv = Aceleracin: ( ))(,)( tytxa = En el caso particular del movimiento de un proyectil tendremos que la nica fuerza que acta sobre la partcula durante su vuelo libre es la fuerza de la gravedad (peso propio), lo cual significa, segn la segunda ley de Newton, que estudiaremos en el siguiente captulo, que slo habr aceleracin en el sentido vertical, la cual es constante, dirigida hacia abajo e igual a 8,9=g m/s2. Tenemos como condiciones iniciales del problema que para t = 0: 0xx = 0yy = 000 cosvvx x == 000 senvvy y == Anlisis del movimiento en x: En esta direccin la aceleracin es nula 0== xax (1)
entonces: 0==dtxdx
Integrando: =x constante
para t = 0, 000 cosvvx x == xx vxv 0== (2)
Como xvdtdx
0= dtvdx x0=
x
y
O
0 v0x
v0y 0v
P (x, y)
x0
y0 P0
Fig. 1-9
C
x
y
-
Cap. 1 Cinemtica de la Partcula Pg. 1-12
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Integrando: 10 ctvx x +=
para t = 0, 0xx = 01 xc =
entonces: tvxx x00 += tvxtx 000 cos)( += (3) Anlisis del movimiento en y: Anlogamente a lo realizado para x podemos escribir: En esta direccin la aceleracin es g () gyay == (4)
integrando: gtvyv yy == 0 (5)
integrando una vez ms: 200 21 tgtvyy y +=
es decir: 2000 21sen)( tgtvyty += (6)
As tendremos para el movimiento parablico:
Posicin: 2000000 21sen,cos( tgtvytvxr ++= )
Velocidad: )sen,cos( 0000 tgvvv =
Aceleracin: ),0( ga = La trayectoria de la partcula se puede determinar muy fcilmente si utilizamos las ecuaciones (3) y (6) para eliminar el parmetro t. As obtenemos una ecuacin cuadrtica que evidentemente corresponde a la de una parbola con eje principal vertical y abierta hacia abajo. Ejemplo 1.8: La rampa mostrada est diseada para un parque de recreacin. A travs de ella se logra el salto de diversos tipos de vehculos a partir del punto A. Si uno de ellos salta desde dicho punto con velocidad inicial Av y se sabe que demora t = 1,5 s en llegar a B, se pide:
a) Determinar la velocidad inicial Av . b) La distancia horizontal L. c) La altura mxima H que alcanza. d) La ecuacin cartesiana de la trayectoria.
x
y
Av
A 30
B
h
1 m
L
Fig. 1-10
-
Cap. 1 Cinemtica de la Partcula Pg. 1-13
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Solucin: Tomemos un sistema cartesiano plano con origen en A. a) Hemos visto en el anterior ejemplo que la ecuacin paramtrica del movimiento
parablico en la direccin vertical y es de la forma:
200 21 tgtvyy y += (1)
si st 5,1= :
2)5,1()81,9(21)5,1(30sen01 += Av m/s38,13=Av
en (1): 29,469,6 tty = [t en s, y en m] (2) b) La ecuacin paramtrica del movimiento parablico en la direccin horizontal x es:
tvxx x00 += (3)
es decir: tvx A 30cos0 += tx 59,11= (4)
para el punto B: )5,1(59,11=L 38,17=L m
c) Sabemos que tgvy y = 0
tsenvy A 81,930 = ty 81,969,6 = Para calcular el instante en que se alcanza la altura mxima hacemos :0=y
081,969,6 = t 68,0=t s y finalmente, reemplazando hy = para 68,0=t s en la ecuacin paramtrica (2):
2)68,0(9,4)68,0(69,6 =h
28,2=h m 1+= hH m3,28=H d) Ecuacin de la trayectoria: utilizaremos las ecuaciones paramtricas del movimiento.
de (4): 59,11xt =
en (2): 2
59,119,4
59,1169,6
=
xxy
es decir: 231048,36577,0 xxy =
ecuacin cartesiana que corresponde, y de all el ttulo de este subcaptulo, a una parbola.
-
Cap. 1 Cinemtica de la Partcula Pg. 1-14
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1.6 Aplicacin al movimiento general A continuacin presentaremos a travs de ejemplos, aplicaciones de lo visto hasta ahora para casos de movimiento plano y tridimensional. Ejemplo 1.10: El pasador A es obligado a moverse a lo largo de la ranura parablica xy 42 = tallada sobre la placa fija mostrada. Dicho pasador es guiado por el elemento ranurado que se mueve con velocidad constante de 10 cm/s hacia la derecha. Se pide:
a) Si la barra ranurada es vertical, hallar la velocidad y aceleracin de A para x = 10 cm.
b) Si la barra es inclinada, hallar la velocidad y aceleracin de A para x = 10 cm.
Solucin: a) Barra ranurada vertical. Como la parbola es la trayectoria de A entonces se cumple
para cualquier instante que:
xy 42 = (1)
Para x = 10 cm 325,6=y cm
dtd / : xyy 2= (2)
para el instante en anlisis: 10=x cm/s
162,3325,6
)10(22===
yxy
cm/s
Entonces: )162,3;10(=Av
[cm/s] Derivando la expresin (2):
xyyy 22 =+ (3)
Para el instante en anlisis: 0=x 02 =+ yyy
es decir: 58,1325,6
)162,3( 22=
=
=
yyy cm/s2
Entonces: )5,1;0( =Aa
[cm/s2]
Fig. 1-11
Axy 42 =
x
10 cm/s
O
y
-
Cap. 1 Cinemtica de la Partcula Pg. 1-15
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b) Para el caso de la barra inclinada, la trayectoria no cambia y en consecuencia las ecuaciones (1), (2) y (3) siguen siendo vlidas.
xy 42 = (1)
dtd / : xyy 2= (2)
dtd / xyyy 22 =+ (3)
Adems, si tomamos como coordenadas para el punto C ),( CC yx , la ecuacin de la recta AC en cualquier instante ser:
)(34
CC xxyy = (4)
derivando (4): )(34
CC xxyy = (5)
Reemplazando x = 10 cm e 325,6=y cm en (2): xy 2325,6 = (6)
y adems 10=Cx cm/s e 0=Cy en (5): )10(34
= xy (7)
resolviendo (6) y (7): 11,13=x cm/s
15,4=y cm/s
entonces: )15,4;11,13(=Av [cm/s] ; cm/s75,13=Av
Reemplazando los valores obtenidos en (3): xy 2)15,4(325,6 2 =+ (8)
derivando (5): )(34
CC xxyy = (9)
reemplazando 0=Cx cm/s e 0=Cy en (9): xy 34
= (10)
resolviendo (8) y (10): 68,2=x m/s2
57,3=y m/s2
entonces: )57,3;68,2( =Aa [cm/s] ; 2cm/s46,4=Aa
34
A
xO
y
34
C
xy 42 =
10 cm/s
Fig. 1-12
-
Cap. 1 Cinemtica de la Partcula Pg. 1-16
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Ejemplo 1.11: El disco circular excntrico gira con velocidad angular constante de 1 rad/s. El extremo A del vstago est siempre en contacto con la rueda circular excntrica de radio 1=R m debido a la accin de un resorte. Se pide determinar la velocidad y aceleracin del pistn B para 1=t s si la posicin inicial es la mostrada.
Solucin: para una posicin genrica tendremos:
cos2
22
22
2 xRxRR +
=
2243cos RxRx = (1)
:/ dtd 0)cos(2 = senxxRxx (2)
:/ dtd 0)coscos()(2 22 =+ senxxsenxsenxxRxxx (3)
Como 1== rad/s (constante) 1=dtd dtd =
integrando: =t
dtd00
t=
Adems: 0=
Para t = 1 s: 1= rad
de (1): 177,1=x m
en (2): 546,0=x m/s 546,0=Bv m/s ()
en (3): 173,0=x m/s2 173,0=Ba m/s2 ()
x
y
O
R
R/2 L
Fig. 1.13
AB
x
y
O RR/2 A
x
Fig. 1.14
-
Cap. 1 Cinemtica de la Partcula Pg. 1-17
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Ejemplo 1.12: Un perrito P parte del punto )0,36(0 =P m y corre hacia su amo con velocidad constante 4 m/s. La direccin de la velocidad del perrito es tal que siempre est dirigida hacia su amo, quien parte en el mismo instante desde el origen y se mueve a lo largo de la direccin positiva del eje y con velocidad constante 2 m/s. Se pide hallar:
a) La ecuacin cartesiana de la trayectoria del perrito.
b) La posicin en que alcanza a su amo.
c) El tiempo necesario para ello. Solucin: Denominemos P al perrito y H a su amo. a) Posicin del perro: ),( yxP
Posicin del amo: ),0( hH
Pendiente en P: dxdy
xyh
=
=!
tan (1)
Adems, para el perrito: 222 )4(=+ yx 222
)4(=
+
dtdy
dtdx
41 22 =+ dydxdt
41)(2
=
+
dxdy
dtdx (2)
Para el hombre: 22 ==dtdhh (3)
(3) (2): dxdh
dxdy 21
2
=
+ (4)
de (1): dxdyxyh =
:/ dxd
+= 2
2
dxydx
dxdy
dxdy
dxdh
22
dxydx
dxdh
= (5)
Reemplazando (5) en (4): 2
2
2
12
+=
dxdy
dxydx
Ox
y
Tangente a la trayectoria del perro en P
P (x, y)
H
36
PO
h
Curva trayectoria del perro y = f(x)
Fig. 1.15
Elegimos el signo - dado que el perrito se mueve en todo instante hacia la izquierda y entonces su componente de velocidad x es negativa.
-
Cap. 1 Cinemtica de la Partcula Pg. 1-18
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Para resolver esta ecuacin diferencial hagamos el cambio de variable: dxdyu =
212 udxdux +=
==
=+
x
x
u
u xdx
udu
3602
0021
xu
xuu360
2 ln21)1(ln =++
2/12/1 36
362
=
xxu
y como dxdyu /=
=
y x
xdx
xdy0 36
66
2
246181 2/12/3 += xxy
b) El perrito encuentra a su amo cuando 0=x . Reemplazando este valor en la ecuacin
de la trayectoria del perrito obtenemos:
24=y m
c) Para calcular el tiempo necesario para que ello ocurra utilizamos el hecho de que el hombre camina con velocidad constante 2=h m/s, entonces:
2=dtdh (constante) dtdh 2=
integrando: =th
dtdh00
2
th 2= Para 24=h m 12=t s
Ecuacin de la trayectoria del perrito.
Ecuacin de la trayectoria del amo.
-
Cap. 1 Cinemtica de la Partcula Pg. 1-19
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1.7 Coordenadas intrnsecas o naturales A continuacin veremos otra manera de expresar tanto la velocidad como la aceleracin de una partcula. Aqu nos ser til recordar en primera instancia, del clculo diferencial, la existencia de los vectores unitarios tangencial te y normal principal ne (ver siguiente figura). Puesto que el vector velocidad es siempre tangente a la curva trayectoria, entonces podemos escribir:
tevv =
(1.10) Sabemos de (1.5) que el mdulo de la velocidad es:
222
+
+
=
dtdz
dtdy
dtdxv
entonces: dtdsdzdydx
dtv =++= 222 )()()(1 sv =
en (1.10): tesv
= (1.11)
La aceleracin ser:
ttt esesesdtdv
dtda )( +=== (1.12)
Ahora tendremos que evaluar el trmino te :
dseds
dtds
dsed
dtede tttt
=== (1.13)
donde el trmino dsed t es desconocido.
Forma intrnseca de la velocidad
C
Fig. 1-16
O
(Centro de
Curvatura)
)(tr
te
)(tsP
ne
PO
C
rr
+r
r
O
P
Fig. 1-17
C
-
Cap. 1 Cinemtica de la Partcula Pg. 1-20
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En la siguiente figura 1-18a se muestran dos posiciones muy prximas en el recorrido de una partcula a lo largo de su curva trayectoria. A dichas posiciones corresponden los vectores unitarios tangenciales )( set y )( sset + . Como se puede ver en la figura b la variacin sufrida por )( set est representada por el vector te , cuyo mdulo se muestra en la figura c. A partir de ello podemos escribir:
se
ssesse
dsed t
s
tt
s
t
=
+=
00lim)(
)(lim
Por otro lado tenemos que 1 = tt ee ,
:dsd 0 =+ tttt eds
deeedsd
es decir: 0 = tt eedsd
lo cual significa que el vector
tedsd es perpendicular a te .
Se define el vector normal principal como:
t
t
n
edsd
edsd
e
= (1.14)
dsd
sssen
dsed
ss
t =
=
= 00
lim)2/(2lim
(1.15)
Del clculo diferencial (ver figura 1.19) sabemos que:
dds =
1=
dsd (1.16)
donde es el radio de curvatura de la trayectoria en el punto correspondiente a (s). Fig. 1-19
ds
C
d
d
(s)
(s+s)
PO
C
-
Cap. 1 Cinemtica de la Partcula Pg. 1-21
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de (1.15) y (1.16) concluimos que: 1
=dsed t (1.17)
en (1.14) y despejando: nt edsed 1
= (1.18)
Ahora, reemplazando este resultado en (1.13) obtenemos:
nt ese = (1.19)
y finalmente en (1.12): nt esesa
2
+= (1.20)
o tambin: nt aaa
+= (1.21)
donde: tt esa
= se denomina aceleracin tangencial o tambin componente
tangencial de la aceleracin, cuyo mdulo es sat = . Ella es la que indica el cambio de la magnitud de la velocidad.
y nn esa
2
= se denomina aceleracin normal o tambin componente normal
de la aceleracin, cuyo mdulo es
22 vsan ==
. Ella es la que
indica el cambio de direccin del vector velocidad.
El mdulo de la aceleracin ser: ( )22
222
+=+=
ssaaa nt
(1.22)
Los vectores unitarios nt ee , y be (donde ntb eee = es el denominado vector unitario binormal) constituyen el triedro intrnseco de Frenet (1)
.
Notar que la aceleracin tiene componentes solamente a lo largo de las direcciones tangencial te y normal
ne (ver figura 1-9). (1) Jean Frdric Frnet (1816, Prigueux 1900, Prigueux). Clebre matemtico francs. Ingres en
Lcole Normale Superieure en 1840 y luego estudi en Toulouse, donde en 1847 redact su tesis doctoral en la que fundament su teora de curvas. Llev a cabo numerosos trabajos sobre geometra diferencial e introdujo el llamado triedro de Frnet, formado por los vectores unitarios tangente, normal y binormal a una curva en un punto, que constituyen una base ortonormal.
forma intrnseca de la aceleracin
Fig. 1-20o
(Centro de Curvatura)
ne
be
te
PO
P
C
s C
-
Cap. 1 Cinemtica de la Partcula Pg. 1-22
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Nota 1: Si tenemos la expresin cartesiana de la aceleracin y deseamos calcular las componentes tangencial y normal, podemos usar la expresin (1.21) de la siguiente manera:
nntt eaeaa +=
:te tt aea =
teas =
:ne nn aea =
neas
2
=
(debe ser > 0 !)
Nota 2: Recordar que el radio de curvatura para una curva plana contenida en el plano xy
se calcula mediante la expresin:
232
2
2
1
1
+
=
dxdy
dxyd
Nota 3: En el caso en que se tengan las ecuaciones paramtricas del movimiento plano, puede resultar conveniente utilizar otra expresin para el radio de curvatura, la cual deduciremos a continuacin:
bntt esesesesav )()(
32
=+= donde ntb eee =
es decir:
3sav
= 31
vav
=
y como xyyxjyixjyixav
=++= )()( 2322 )(1
yxxyyx
+
=
Caso particular: movimiento circular
Posicin: )(cos jseniRr +=
Velocidad: tevv =
donde: jisenet cos +=
Aceleracin: nt eRveva
2
+=
donde: jsenien cos = Muy en particular, si la partcula se mueve de tal manera que el mdulo de su velocidad es constante, entonces la aceleracin tendr solamente componente normal:
neRva
2
=
Fig. 1-21
Rne
te
s
O PO
P
-
Cap. 1 Cinemtica de la Partcula Pg. 1-23
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Ejemplo 1.13: Una partcula recorre la curva 2)3( + yx = x 2 (x e y en metros) partiendo del punto P0 de coordenadas (2, 1). Las componentes de la velocidad son tales que cumplen en todo momento la relacin 1=+ yx .
Para el instante en que el mdulo de la velocidad es mnimo se pide:
La posicin del mvil
Longitud de curva recorrida hasta ese instante
Las componentes cartesianas de la velocidad y aceleracin
Las componentes intrnsecas de la velocidad y aceleracin
El radio de curvatura de la trayectoria sin utilizar la ecuacin de la geometra analtica
Solucin: De la ecuacin de la trayectoria: 23 =+ xyx (1)
derivando implcitamente: 22
=+xxyx
(2)
de la hodgrafa: 1=+ yx (3)
De (2) y (3): 22 == xdtdxx
22
=xdxdt
integrando: =xt
xdxdt
20 22
x
xt2
2= 2= x
ordenando: 22 += tx (4)
d/dt: tx 2= (5)
d/dt: 2=x (6)
en (3): ty 21=
dttdyty
=01
)21(
21 tty =
ordenando: 12 ++= tty (7)
d/dt: 12 += ty (8)
ecuacin paramtrica en x
ecuacin paramtrica en y
-
Cap. 1 Cinemtica de la Partcula Pg. 1-24
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d/dt: 2=y (9)
Ahora calcularemos el instante en que ocurre la velocidad mnima. Sabemos que: 22 yxv +=
de (5) y (8): 22 )12()2( ++= ttv
148 2 += ttv (10)
v ser mnima si 0=dtdv , entonces: 0
)148()14(2 !
2/12 =+
=tt
tdtdv
obtenemos: 25,0=t s Para comprobar si es un valor mnimo o mximo examinaremos el signo de la segunda derivada evaluada para el instante encontrado:
031,11)148(
8)148(
)14(
25,02/122/32
25,02
2
>=
+
++
=
== tt ttttt
dtvd
entonces efectivamente se trata de un mnimo.
Longitud de curva recorrida hasta el instante 25,0=t s: Como sv = dtvds =
de (10): dtttds 148 2 +=
integrando: +=25,0
0
2
0
148 dtttdss
de donde: =s 0,167 m
Posicin para el instante t = 0,25 s: de (4): x = 2,063 m de (7): y = 1,188 m
)188,1;063,2(=r
m/s
Velocidad para el instante t = 0,25 s:
de (5): 5,0=x m/s
de (8): 5,0=y m/s
)5,0;5,0(=v
m/s
-
Cap. 1 Cinemtica de la Partcula Pg. 1-25
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y su mdulo: 707,022 =+= yxv m/s
Aceleracin para el instante t = 0,25 s:
de (6) y (9): )2,2( =a
m/s2
y su mdulo: 83,2=a m/s2
Aceleracin en forma intrnseca: nt esesa
2
+=
Como vs = vs = Para el instante en anlisis sabemos que 0=v (condicin de mnimo utilizada), entonces
0=s . Ello significa que en este ejemplo y para el instante en estudio la aceleracin solamente tiene componente normal pues la componente tangencial es nula.
As:
220 saesa n
=+=
de donde: 177,083,2
)707,0( 22===
av m
Adems: )707,0;707,0(707,0
)5,0;5,0( ===vvet
entonces:
=
)707,0;707,0(
)707,0;707,0(ne
que son dos posibilidades, pero slo una es fsicamente posible. Recordando que nn aea =
es siempre > 0, entonces descartamos la primera y elegimos
la segunda por cuanto es fcil observar que:
083,2)707,0;707,0()2,2(!>=
El mismo resultado hubiera sido obtenido si utilizamos el hecho de que, en este instante y caso particular, la aceleracin total tiene solamente componente normal.
Es decir: )707,0,707,0( ===aa
aae
n
nn
Finalmente, la forma intrnseca de la aceleracin ser: nea 83,2=
[m/s2]
pues at = 0
-
Cap. 1 Cinemtica de la Partcula Pg. 1-26
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Ejemplo 1.14: La partcula mostrada recorre una trayectoria parablica definida por la ecuacin 25,0 xy = . La componente de la velocidad a lo largo del eje y es
22 tvy = m/s, donde t esta dado en segundos. Sabiendo que cuando t = 0, x = 0, y = 0, se pide determinar para el instante 1=t s:
a) La distancia de la partcula desde el origen O. b) La velocidad, la magnitud de la aceleracin
tangencial y normal.
c) La longitud de curva recorrida.
Solucin: 22 ty = =ty
dttdy0
2
0
2
332 ty = (1)
adems: ty 4=
como: 2/12 25,0 yxxy ==
de (1): 2/32/1
3
32
322 txtx =
= (2)
(1) y (2) son las ecuaciones paramtricas del movimiento.
De (2): 2/13
3 tx =
2/132
3 = tx
para 1=t s: 155,13
2==x m
667,0=y m
adems: 732,13
3==x m/s
2=y m/s )2;732,1(=v m/s
y tambin: 866,0=x m/s2
4=y m/s2 )4;866,0(=a
m/s2
Para 1=t s:
a) 856,1)667,0()732,1( 22 =+=d m
Ox
y
25,0 xy =
Fig. 1-22
-
Cap. 1 Cinemtica de la Partcula Pg. 1-27
Pontificia Universidad Catlica del Per Seccin de Ingeniera Mecnica - rea de Diseo
b) )2;732,1(=v m/s 65,2=v m/s
pendiente de la tangente: 155,1tan155,1155,1
===== xx
xdxdy
vector unitario tangencial: )756,0;655,0(),(cos == senet
vector unitario normal: )655,0;756,0( =ne
La aceleracin es: ntnntt eseseaeaa
2
+=+= (donde vs = )
comp. tangencial: tt eaa = 59,3)756,0;655,0()4;866,0( ==ta m/s
2
comp. normal: nn eaa = 965,1)655,0;756,0()4;866,0( ==na m/s
2
radio de curvatura:
2
vea n =
2)31,2()655,0;756,0()4;866,0( =
715,2= m
c) Longitud de curva recorrida desde )0,0(0 =P
22 )()( dydxds +=
dxdxdyds
2
1
+=
como xdxdyxy == /5,0 2
reemplazando: dxxds 21+=
integrando: dxxs +=155,1
0
21 376,1=s m
Ejemplo 1.15: El esquiador se mueve a lo largo de la trayectoria mostrada con rapidez (mdulo de velocidad) constante 6=v m/s. Se pide determinar la velocidad v
y la aceleracin
a
en el instante en que est en el punto A, el cual es el punto de tangencia entre el tramo recto y el parablico. Solucin: Velocidad:
v
es tangente a la trayectoria tevv =
-
Cap. 1 Cinemtica de la Partcula Pg. 1-28
Pontificia Universidad Catlica del Per Seccin de Ingeniera Mecnica - rea de Diseo
Pendiente de la tangente a la trayectoria en A:
11,0tan1010
===== xx
xdxdy = 45
)2/2,2/2( =te
)2/2,2/2(6 =v )23,23( =v m/s
Aceleracin: nt esesa
2
+=
donde: 222/32
/])/(1[
dxyddxdy+
= = 10
2/3
1,0)1,0(1[
=
+
x
x 3,28= m
6== vs
0=s
)2/2,2/2( =ne
nn eea 27,13,28)6( 2
==
m/s2
2da. solucin: empleando coordenadas cartesianas
Ecuacin de la trayectoria: 205,0 xy =
dtd / : xxy 1,0= (1)
El mdulo de la velocidad es constante: 222 )6(=+ yx (2) En el instante analizado 10=x m e 5=y m. Reemplazando estos valores en (1) y (2) y resolviendo obtenemos:
23== yx m/s observando que el esquiador desciende: 23== yx m/s
)23,23( =v
m/s Para calcular la aceleracin derivamos las expresiones (1) y (2):
de (1): xxxy 2,01,0 2 += (3)
de (2): 022 =+ yyxx (4)
Resolviendo (3) y (4) para el instante analizado: 9,0=x m/s2 9,0=y m/s2
)9,0;9,0(=a
m/s2
-
Cap. 1 Cinemtica de la Partcula Pg. 1-29
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Si se quiere utilizar este resultado para calcular el radio de curvatura sin necesidad de reducir a la geometra analtica:
Sabemos que: nt eveva
2
+=
(5)
ne
2 vea n =
neav
2
=
Reemplazando los resultados obtenidos y observando que siendo 0=v (pues
=v constante) entonces a
esta ntegramente contenida en la direccin de ne
:
27,1
)9,0;9,0( =ne
27,1)9,0;9,0()9,0;9,0(
)6( 2
= 28,28= m
Ejemplo 1.16: En el instante mostrado la posicin del collarn P est dada por yP = 100 mm y su velocidad por 200=Pv mm/s constante. Calcular para ese instante la velocidad y la aceleracin de P en trminos de las componentes normal y tangencial. Solucin:
Py = 100 mm
200=Py mm/s
0=Py El punto (300 ; 0) pertenece a la parbola 2)300(4000 k=
32 10444,4300400 ==k
Entonces, la ecuacin de la parbola ser: 2400 xky = (1) Para 100=y tenemos: 8,259=x mm derivando (1): xxky 2= (2)
reemplazando valores: x)8,259()0044,0(2200 = 6,86=x m/s
derivando (2): )(2 2 xxxky += (3)
reemplazando valores: xxx =2 x)8,259()6,86( 2 =
87,28=x mm/s2
A
y
B
300 mm
P
xO
yP
y = 400 k x2
Fig. 1-24
-
Cap. 1 Cinemtica de la Partcula Pg. 1-30
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Luego: )100;8,259(=r
mm )200;6,86(=v
mm/s
)0;87,28(=a
mm/s2
)918,0;397,0()200()6,86(
)200;6,86(),(22
=+
==
vvv
e yxt
)397,0;918,0( =ne 22 )200()6,86( +=v 94,217=v mm/s
)918,0;397,0()0;87,28( == tt eaa
46,11=ta mm/s2
)397,0;918,0()0;87,28( == nn eaa
5,26=na mm/s2
As: )918,0;397,0(46,11 == ttt eaa
)52,10;55,4(=ta
[mm/s2]
)397,0;918,0(5,26 == nnn eaa
)52,10;33,24( =na
[mm/s2] Ejemplo 1.17: La varilla rgida AB de longitud L se mueve de tal manera que A y B estn
sobre la parbola 875,1=y 2x . Si la velocidad de B es tal que 6,3=Bv m/s constante y en el instante mostrado 4,0=Bx m, se pide calcular la velocidad de A, as como aceleraciones de A y B.
Solucin:
0=Ax
0=Ay
4,0=Bx m
3,0)4,0(875,1 2 ==By m Velocidad de B: ),( BBB yxv
=
6,322 =+= BBB yxv [m/s] 1322 =+ BB yx (1)
Como xxyxy )2(875,1875,1 2 == BBB xxy )(75,3= Como BBBB xxyx 5,1)4,0(75,34,0 === (2)
de (1) y (2): 2=Bx m/s e 3=By m/s
entonces: )3,2(=Bv
m/s
A
B
L
0,4 m
x
y
Fig. 1-25
-
Cap. 1 Cinemtica de la Partcula Pg. 1-31
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Velocidad de A: ),( AAA yxv
=
Como A es vrtice )0,(0 AAA xvy ==
Tenemos: 222 )()( Lxxyy ABAB =+
:dtd 0)()(2)()(2 =+ ABABABAB xxxxyyyy
de donde: 25,4=Ax m/s
Entonces: )0;25,4(=Av
m/s
Aceleracin de B:
Bv constante no implica que 0=Ba pues nBtBB eveva
2
+=
Tenemos: 01322 =+=+ BBBBBB yyxxyx (3)
adems: BBBBBBB xxxyxxy 75,375,375,32 +== (4)
Tenemos para B que: 4,0=Bx m e 3,0=By m
en (3) y (4): 92,6=Bx m/s2 e 62,4=By m/s
2
Entonces: )62,4;92,6(=Ba
m/s Aceleracin de A:
Puesto que: 2875,1 AA xy =
d/dt: AAA xxy 75,3=
d/dt: AAAA xxxy 75,375,32 += 73,67=Ay m/s
2 Adems: 222 )()( Lyyxx ABAB =+
d/dt: 0)()()()( =+ ABABABAB yyyyxxxx
d/dt: 0)()()()()()( 22 =+++ ABABABABABAB yyyyyyxxxxxx 09,19=Ax m/s
2
Entonces: )73,67;09,19(=Aa
m/s
Nota: si se requiere calcular B sin usar la expresin correspondiente de la geometra analtica podemos hacer lo siguiente:
Calculamos: 13
)3,2( ==B
Bt v
ve
-
Cap. 1 Cinemtica de la Partcula Pg. 1-32
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Entonces:
=
=
=
!17,108)2,3(131
!17,108)2,3(131
noea
OKeae
n
n
n
y como:
2 BnB
vea =
B
2)13()2,3(131)62,4;92,6( =
de donde: 56,1=B m Ejemplo 1.18: Las ranuras mviles rectas AB y CD mostradas en la figura determinan el movimiento del pasador P que desliza entre ellas. En el instante representado, la corredera C tiene una velocidad de 10 cm/s hacia abajo disminuyendo a razn de 5 cm/s2, mientras que la corredera A se desplaza con una velocidad de 5 cm/s en el sentido indicado decreciendo a razn de 8 cm/s2. Se pide calcular para ese instante:
a) La velocidad y aceleracin del pasador P. b) El vector posicin del centro de curvatura
de la trayectoria absoluta de P. Solucin: a) De datos: 10=Cy cm/s 5=Cy cm/s
2
=Av 5 cm/s )8,0;6,0(5 =Av
)4,3(),( == AAA yxv
cm/s
=Aa 8 cm/s2 )8,0;6,0(8 =Aa
)4,6;8,4(),( == AAA yxa
cm/s2
Ecuacin de la recta AB: )(43
AA xxyy =
reescribiendo: AA yxyx = 75,075,0 (1)
derivando: AA yxyx = 75,075,0 (2)
derivando otra vez: AA yxyx = 75,075,0 (3)
Ecuacin de la recta CD: )()3/1( CC xxyy =
reescribiendo: CC yxyx =+ )3/1()3/1( (4)
O
O30
cm
C
PB
D
AvA
x
y
30
34
34
Fig. 1-26
-
Cap. 1 Cinemtica de la Partcula Pg. 1-33
Pontificia Universidad Catlica del Per Seccin de Ingeniera Mecnica - rea de Diseo
derivando: CC yxyx = )3/1()3/1( (5)
derivando otra vez: CC yxyx = )3/1()3/1( (6) Reemplazando: 30;0;0 ==== CCAA yxyx cm en (1) y (4):
cm16,951ycm601,22
30)3/1(
075,0==
=+
= xyx
yx
Reemplazando: cm/s10;0cm/s;4cm/s;3 ==== CCAA yxyx en (2) y (5):
cm/s8,369cm/s825,2
10)3/1(
25,675,0==
=+
=
yx
yx
yx
Reemplazando: 222 cm/s5;0;cm/s4,6;cm/s8,4 ==== CCAA yxyx en (3) y (6):
22
cm/s175,7cm/s767,3
5)3/1(
1075,0
==
=+
=
yx
yx
yx
Entonces: )95,16;6,22(=Pr
cm
)369,8;825,2( =Pv
cm/s 883,8=Pv cm/s
)( 175,7;767,3=Pa cm/s2 104,8=Pa cm/s
2
b) 833,8
406,49 ===v
vaeaa tt
593,5=ta cm/s2
864,522 == tn aaa cm/s2
como
2van = 864,5)883,8( 22
==na
v 305,13= cm
n
t
n
t
n
nn a
vvaa
aaa
aae
=
== 864,5
833,8369,8;825,2)593,5()175,7;767,3(
=
( )3199,0;947,0 =ne cm Posicin del centro de curvatura C:
nPC err +=
)3199,0;947,0(305,13)951,16;601,22( +=Cr
)21,21;10(=Cr cm
C
ne
Pr
Cr
O x
y
P
Fig. 1-27
-
Cap. 1 Cinemtica de la Partcula Pg. 1-34
Pontificia Universidad Catlica del Per Seccin de Ingeniera Mecnica - rea de Diseo
1.8 Velocidad y aceleracin en coordenadas polares En muchos casos en que estemos analizando el movimiento plano de una partcula, ser conveniente definir la posicin de un punto P a travs de la distancia r a un punto fijo (origen polar) y a un ngulo que define el vector posicin a partir de un eje polar fijo.
Para la posicin genrica que ocupa la partcula P se definen los vectores unitarios: radial: ),(cos sener = (1.23) transversal: )cos,( sene = (1.24) As, el vector posicin se puede representar por: rertr )( =
(1.25)
Velocidad: )()()( rerdtdtr
dtdtv ==
dtedrer rr +=
dtd
dedrer rr
+= (1.26)
De la definicin del vector unitario radial (1.23) podemos deducir su derivada:
esen
ded r )cos,( !
== (1.27)
en (1.26): ererv r
+=
o tambin: vvv r
+= (1.28)
donde: rr erv
= se denomina velocidad radial o tambin componente radial de la
velocidad, cuyo mdulo es rvr = . y erv
= se denomina velocidad transversal o tambin componente
transversal de la velocidad, cuyo mdulo es rv = . El mdulo de la velocidad ser: ( ) 2222 )( rrvvv r +=+= (1.29)
Fig. 1-28
r(t)
x
y
ree
O
Eje polar
P
)(rr =
-
Cap. 1 Cinemtica de la Partcula Pg. 1-35
Pontificia Universidad Catlica del Per Seccin de Ingeniera Mecnica - rea de Diseo
Aceleracin: )()()( ererdtdtv
dtdta r
+==
)()( edtdrere
dtdrer rr +++=
++++=dtd
dederere
ddrer rr
(1.30)
de (1.24): resended ),cos(
== (1.31)
en (1.30): rr ererererera 2
+++=
errerra r )2()(2 ++=
o tambin: aaa r
+= (1.32)
donde: rr erra )(
2
= se denomina aceleracin radial o tambin componente radial de la aceleracin, cuyo mdulo es 2 rrar = .
y erra )2(
+= se denomina aceleracin transversal o tambin
componente transversal de la aceleracin, cuyo mdulo es rra += 2 .
El mdulo de la aceleracin es: 22222 )2()( rrrraaa r ++=+= (1.33) Nota: el cambio de )(t con respecto al tiempo )( dtd se denomina velocidad angular y
no debe ser confundida con el vector velocidad angular de un cuerpo rgido )( , concepto que estudiaremos en el captulo 6.
Anlogamente: )()( tdtdt = )(t
dtd = )(t= es la aceleracin angular.
Caso particular: movimiento circular r = R (const.) 0== rr Velocidad: eRvererv r
=+= Aceleracin: errerra r )2()(
2 ++=
eReRa r 2 +=
Rre
e
s
Fig. 1-29
-
Cap. 1 Cinemtica de la Partcula Pg. 1-36
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Ejemplo 1.19: El bloque D se mueve con velocidad 0v (constante) y mediante el pin P soldado a l arrastra al brazo ranurado, el cual puede girar alrededor de O. Se pide: a) Calcular la velocidad y aceleracin angular del
brazo OA en funcin de h, 0v y .
b) Calcular la aceleracin de P. Solucin: Ser importante reconocer en este momento que la trayectoria de la partcula P
es rectilnea. a) Descomponiendo 0v
en sus componentes rv
y v
: De la figura: cos0vvr =
senvv 0= es decir: esenvevv rP cos 00 =
(1)
Como ererv rP
+= (2)
Comparando (1) y (2): cos0vr = (3)
senvr 0= (4)
como sen
hr = )4(en
h
senv
20= (5)
dtd : cos2 0 sen
hv
=
de (5): cos2 3220 sen
hv
= (6)
b) La aceleracin de P tendr la forma:
errerra
aar
r
P )2()(2
++= (7)
Si observamos los trminos que contiene esta ltima expresin, observamos que solamente nos falta evaluar r .
Derivando (3): senvr 0=
D
O
v0
h
C
r
Fig. 1-30
-
Cap. 1 Cinemtica de la Partcula Pg. 1-37
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de (5):
=
hsenvsenvr
20
0 hsenvr
320= (8)
Reemplazando (3), (5), (6) y (8) en (7) obtenemos:
22
032
0
=
hsenv
senh
hsenvar
0=ra
cos
2cos2 3220
20
0 senhv
senh
hsenvva +
= 0=a
lo cual indica que el pin P no est acelerado (lo cual era de esperar pues dicho pin se mueve solidario a D, el cual a su vez se mueve segn una trayectoria rectlilnea con velocidad constante). Ejemplo 1.20: La barra ranurada gira en sentido contrario a las agujas del reloj con una velocidad angular constante de 40 RPM y obliga al pin A a moverse siempre en contacto con la superficie de la leva en forma de cardioide cos5,710 =r [r en cm].
a) Si la leva es estacionaria, se pide calcular la velocidad y la aceleracin del pin A cuando la barra forma un ngulo = 30 con el eje de la cardioide.
b) Si la leva gira en sentido horario con una velocidad angular constante de 30 RPM, se pide determinar la velocidad y aceleracin del pin A cuando el brazo forma un ngulo de 30 con el eje de la cardioide (leva).
Solucin: a) Tomaremos el eje de la cardioide como eje polar y as el ngulo deviene en ngulo
polar. Entonces para una posicin genrica de la barra podemos escribir: Ecuacin polar de la trayectoria: cos5,710 =r (1)
De dato: 19,4)40(30
== rad/s (const.) (2)
y tambin: 0= (3) Velocidad en coordenadas polares: ererv r
+= (4)
derivando (1): senr 5,7= (5)
O
Ar
40 RPM
Fig. 1-32
-
Cap. 1 Cinemtica de la Partcula Pg. 1-38
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Para el instante analizado: = 30 , 19,4= rad/s y 0=
en (1): 5,3=r cm
en (5): 71,15=r cm/s Reemplazando valores en (4): eev r )67,14()71,15( +=
[cm/s] (6)
donde: )5,0;87,0(),(cos == sener
)87,0;5,0()cos,( == sene El mdulo de la velocidad ser: 49,21=v cm/s Si se desea la expresin vectorial de la velocidad en coordenadas cartesianas bastar con reemplazar las componentes de los vectores unitarios para el instante en anlisis en (6):
jijijiv 62,2033,6)87,05,0(67,14)5,087,0(71,15 +=+++=
La aceleracin est dada por: errerra r )2()(
2 ++= (7)
derivando (5): senr 5,7cos5,7 2 += (8)
Reemplazando valores en (8): 55,114)0()5,0(5,7)19,4()87,0(5,7 2 =+=r cm/s2
Finalmente en (7): eea r )65,131()10,53( +=
[cm/s2] (9) con mdulo: 96,141=a cm/s2
Si se desea la expresin vectorial de la aceleracin en coordenadas cartesianas bastar con reemplazar las componentes de los vectores unitarios para el instante en anlisis en (9):
jijijia 09,14163,19)87,05,0(65,131)5,087,0(10,53 +=+++=
b) Puesto que el eje polar debe ser estacionario, ya no podemos tomar como tal al eje de
la cardioide pues ella gira. Entonces, debemos redefinir la ecuacin polar de la cardioide:
cos5,710 =r
donde el ngulo es el ngulo formado por el eje (ahora mvil) de la cardioide y la barra. Adems se cumplir para todo instante que: +=
y en consecuencia: +=
y tambin: +=
De datos: 14,3)30(30
== rad/s (const.) 0=
-
Cap. 1 Cinemtica de la Partcula Pg. 1-39
Pontificia Universidad Catlica del Per Seccin de Ingeniera Mecnica - rea de Diseo
19,4)40(30
== rad/s (const.)
0= Como: cos5,710 =r
:/ dtd senr 5,7=
:/ dtd senr 5,7cos5,7 2 += Entonces:
2 rrar = 22 )cos5,710(cos5,7 =
rra += 2
)cos5,710()cos5,7(2 += Como = = 0== Para = 30 : 45,287=ra cm/s
2
35,230=a cm/s2
36,36822 =+= aaa r cm/s
2 Ejemplo 1.21: El pin P est fijo a la barra articulada AB. Dicho pin est obligado a moverse a lo largo de una corredera mvil en forma de parbola de eje vertical con vrtice C. La barra ranurada C es obligada a moverse verticalmente y en el instante mostrado tiene una velocidad de 6 cm/s hacia abajo decreciente a razn de 2 cm/s2. Calcular para ese instante:
a) La velocidad y aceleracin del pin P. b) La velocidad y aceleracin angulares de
la barra AB.
Solucin: a) La ecuacin de la parbola es de la forma:
2xkyy C = (1)
OAr
eje polar para el
movimiento del brazo
eje de la cardioide
40 RPM
30 RPM
Fig. 1-33
C
D
y
A
R 34
B
10 cm
10 c
m P
x
6,25
cm
Fig. 1-34
-
Cap. 1 Cinemtica de la Partcula Pg. 1-40
Pontificia Universidad Catlica del Per Seccin de Ingeniera Mecnica - rea de Diseo
El punto D de coordenadas 25,6;10 == Cyyx debe satisfacer dicha ecuacin, entonces:
0625,0=k
en (1): 20625,0 xyy C = (2)
:/ dtd xxyy C 125,0= (3)
:/ dtd )(125,0 2 xxxyy C += (4)
Adems, la trayectoria de P es una circunferencia:
222 Ryx =+ (5)
:/ dtd 0=+ yyxx (6)
:/ dtd 022 =+++ yyyxxx (7)
En el instante analizado tenemos que: 10=Cy cm
6=Cy cms
2=Cy cm/s2
En dicho instante las coordenadas de P deben satisfacer las ecuaciones de la parbola: 20625,010 xy = y de la recta xy )4/3(= .
Resolviendo el sistema obtenemos: 8=x cm e 6=y cm
en (5): R = 10 cm
en (3) y (6) y resolviendo: 18=x cm/s
24=y cm/s
en (4) y (7) y resolviendo: 5,334=x cm/s2
296=y cm/s2
b) Tenemos: 5/3sen = y 5/4cos =
0)5/3(24)5/4(18!
=== rvr (8)
30)5/4(24)5/3(18!
=== rv (9)
y como 10== Rr cm
3= rad/s
Notar que el resultado 0=r era de esperar pues el punto P sigue una trayectoria circular == Rr constante.
)24,18( =
Pv
cm/s
)296,5,334(=
Pa
cm/s2
A
ree
P 18 cm/s
24 cm/s
r
Fig. 1-35
-
Cap. 1 Cinemtica de la Partcula Pg. 1-41
Pontificia Universidad Catlica del Per Seccin de Ingeniera Mecnica - rea de Diseo
90)5/4(5,334)5/3(296!
2 === rrar (10)
5,437)5/3(5,334)5/4(2962!
=+=+= rra (11)
como Rr = (constante) 0== rr
de (11): 75,43= rad/s2
Nota 1: De otra manera para la parte b): xy
=tan (12)
:/ dtd 22 )(sec
xyxxy =
es decir: 22cos xyxxy
=
(13)
para el instante analizado: 22
)8(6)18(8)24(
45
=
rad/s3=
de (13): 22 cos)( yxxyx = (14)
d/dt: )(cos)()(cos2)2( 22 yxyxxyxyyxxysenxxx ++=+
y reemplazando valores y despejando: 2rad/s75,43= Nota 2: De otra manera para la parte b):
ererv r
+= rev =
reemplazando: r= )cos,sen()24,18(
)10()8,0;6,0()24,18( =
de donde: rad/s3=
errerra r )2()(2 ++=
rrea += 2
reemplazando: r= )cos,sen()296;5,334( (pues )0=r
)10()8,0;6,0()296;5,334( =
de donde: 2rad/s75,43=
A
ree
P334,5 cm/s2
r
296 cm/s2
Fig. 1-36
-
Cap. 1 Cinemtica de la Partcula Pg. 1-42
Pontificia Universidad Catlica del Per Seccin de Ingeniera Mecnica - rea de Diseo
Ejemplo 1.22: La varilla telescpica mostrada hace mover al pasador P a lo largo de la trayectoria fija
25,22 xy = [x e y en cm]. Si la coordenada x est dada por ttx 5,125,2 2 = [t en s, x en cm], se pide calcular: a) Las componentes cartesianas de la
velocidad y aceleracin de P cuando x = 15 cm.
b) La velocidad y aceleracin angulares de la varilla.
Solucin: a) De la ecuacin de la trayectoria:
25,22 xy = (1)
:/ dtd xxy 25,22 = (2)
:/ dtd )(25,22 2 xxxy += (3) Adems, de ecuacin paramtrica en x:
ttx 5,125,2 2 = (4)
:/ dtd 5,125 = tx (5)
:/ dtd 5=x (6) de (4), para x = 15 cm t = 6 s
de (1), para x = 15 cm y = 10 cm Ahora podemos reemplazar estos datos en las ecuaciones que hemos deducido. As, las componentes cartesianas de la velocidad sern: de (5): 5,17=x cm/s
en (2): 33,23=y cm/s
y correspondientemente las componentes cartesianas de la aceleracin sern:
de (6): 5=x cm/s2
en (3): 89,33=y cm/s2
)33,23;5,17(=v
[cm/s]
)89,33;5(=a
[cm/s2]
A
25,22 xy =
P x
y
30 c
m
O
Fig. 1-37
-
Cap. 1 Cinemtica de la Partcula Pg. 1-43
Pontificia Universidad Catlica del Per Seccin de Ingeniera Mecnica - rea de Diseo
b) En el instante en estudio:
43
2015
==tan 5/3=sen
5/4cos =
==
54,
53)cos,( sener
==
53,
54),(cos sene
Sabemos que la velocidad tiene la forma polar:
ererv r
+=
o tambin: evevv rr +=
La componente radial se puede calcular de la siguiente manera:
164,854,
53)33,23;5,17( =
== rr evv
de donde: 164,8=r cm/s (7) Anlogamente, la componente transversal ser:
0,2853,
54)33,23;5,17( =
== evv
es decir: 0,28=r cm/s (8)
para el instante en anlisis r = 25 cm, entonces, de (8): 12,1= rad/s (9) Sabemos que:
errerraara
r )2()(2
++=
La componente radial de la aceleracin se puede calcular de la siguiente manera:
112,2454,
53)89,33;5( =
== rr eaa
cm/s2
es decir: 112,242 = rr (10) Anlogamente para la componente transversal de la aceleracin:
334,2453,
54)89,33;5( =
== eaa
cm/s2
es decir: 334,242 =+ rr (11)
Reemplazando los valores ya obtenidos para r y para el instante en anlisis obtenemos: de (10): 248,7=r cm/s2
y de (11): 70,1= rad/s2
A
25,22 xy =
P
x
y
30 c
m
re
e
r
eje polar
origen polar
15 cm
10 c
m
Fig. 1-38
-
Cap. 1 Cinemtica de la Partcula Pg. 1-44
Pontificia Universidad Catlica del Per Seccin de Ingeniera Mecnica - rea de Diseo
Nota: otra forma interesante de relacionar las coordenadas cartesianas, ya resueltas en la parte a), con las coordenadas polares es la siguiente:
y
x
=30
tan
:/ dtd 22
)30()()30()(sec
yyxyx
= (12)
de donde: 12,1= rad/s
de (12): )30(cos)30( 22 yxyxxy += derivando implcitamente:
++=+ )30()(cos2)()30()2()30( 2 yxyxxsenyyy
)30(cos2 yxyxyxyxx +++
reemplazando los valores obtenidos en a) despejando:
70,1= rad/s2 1.9 Coordenadas cilndricas
Elegiremos un plano de base (en la figura el plano xy) sobre el cual proyectaremos el movimiento de la partcula. De manera anloga a lo expresado en el acpite anterior, utilizaremos para dicho plano de base coordenadas similares a las polares empleadas para analizar el movimiento plano.
De acuerdo a lo dicho definiremos los vectores unitarios radial ( Re ) y transversal ( e ) contenidos en el plano de base y adems un tercer vector unitario perpendicular a ambos ( ze ), con lo cual el vector posicin quedar definido como: zR ezeRtr )( +=
(1.34)
Dicho de otra manera el vector posicin )(tr
quedar definido si conocemos:
=
==
)()()(
tzzttRR
Ecuaciones paramtricas en coordenadas cilndricas
Re
r
R
x
y
z
O
P
e
ze
Re
eze
z
C
Fig. 1-39
-
Cap. 1 Cinemtica de la Partcula Pg. 1-45
Pontificia Universidad Catlica del Per Seccin de Ingeniera Mecnica - rea de Diseo
En forma anloga a lo expresado para coordenadas polares podemos escribir:
eeR =
Ree =
0 =ze
Velocidad: zzR ezezeReRrdtdv +++==
zR ezeReRv
++= (1.35)
o tambin: zR vvvv
++= (1.36)
donde: RR eRv
= se denomina componente radial de la velocidad, cuyo mdulo es RvR = .
eRv
= se denomina componente transversal de la velocidad, cuyo
mdulo es Rv = .
y zz ezv
= se denomina componente de la velocidad en direccin z, cuyo mdulo es zvz = .
El mdulo de la velocidad ser: 222222 )()()( zRRvvvv zr ++=++= (1.37)
Aceleracin: zRR ezeeReReReRvdtda )(
+++++==
zRR ezeReReReR 2 ++++=
zR ezeRReRRa )2()(2
+++= (1.38)
o tambin: zR aaaa
++= (1.39)
donde: RR eRRa )(2
= se denomina aceleracin radial o tambin componente
radial de la aceleracin, cuyo mdulo es 2 RRaR = .
eRRa )2(
+= se denomina aceleracin transversal o tambin componente transversal de la aceleracin, cuyo mdulo es RRa += 2 .
ezaz
= se denomina componente de la aceleracin en direccin z, cuyo mdulo es zaz = .
El mdulo de la aceleracin ser:
2222222 )()2()( zRRRRaaaa zR +++=++= (1.40)
-
Cap. 1 Cinemtica de la Partcula Pg. 1-46
Pontificia Universidad Catlica del Per Seccin de Ingeniera Mecnica - rea de Diseo
Ejemplo 1.23: Una partcula inicia su movimiento en el punto O recorriendo el arco s sobre la placa segn la funcin s = 10 t [s en cm y t en segundos] sobre una ranura circular de radio 10 cm contenida en el plano Q, el cual a su vez gira alrededor del eje z con velocidad angular constante 1= rad/s. Si para t = 0, 0= , se pide determinar la velocidad y aceleracin de la partcula para t = 3 s. Solucin:
Tenemos de dato que 1= rad/s (const.) 1/ =dtd ct +=
para 0=t , 0= 0=c t=
adems: ttss ====10
1010
10
Determinacin de R y z (coordenadas cilndricas):
cos1010 =R tR cos1010 = derivando: tsenR 10= tR cos10=
senz 10= tsenz 10= derivando: tz cos10= tsenz 10= Reemplazando para el instante en anlisis: 33 == st rad
entonces: 89,193cos1010cos1010 === tR cm
41,131010 === sentsenR cm/s;
89,93cos10cos10 === tR cm/s2 89,93cos10cos10 === tz cm/s 41,131010 === sentsenz cm/s2
Velocidad: zR ezeReRv
++=
zR eee 89,989,1941,1 += [cm/s]
222 zR vvvv ++= 25,22=v cm/s
Aceleracin: zR ezeRReRRa )2()(2
+++=
zR eee 41,182,278,29 += [cm/s2]
222 zR aaaa ++= 95,29=a cm/s2
r
z
O
P
y
x
R
z
10 cm
Qs
C
Fig. 1-40
O
P
s
RC
Q
10 cmz
Fig. 1-41
-
Cap. 1 Cinemtica de la Partcula Pg. 1-47
Pontificia Universidad Catlica del Per Seccin de Ingeniera Mecnica - rea de Diseo
1.10 Velocidad areolar Se define el rea barrida por el vector posicin entre dos posiciones vecinas (ver figura) como:
rr
=21
El rea barrida por unidad de tiempo se denomina velocidad areolar:
tt
=
0lim =
trr
t
21lim
0
velocidad areolar (1.41) En coordenadas cartesianas tendremos:
zyxzyxkji
21
=
En particular este concepto ser til en el estudio del movimiento causado por una fuerza central, que como demostraremos en el siguiente captulo, es un movimiento plano. Particularizando la anterior expresin para este caso (z = 0):
kyxyxyxyx
kji)(
21
00
21
==
En coordenadas polares: rerr =
ererv r
+=
)(21
21 2
eervr r ==
kr
221
= (1.42)
vr
=21
r
z
y
x
rr
+
r
O
P
C
Fig. 1-42
-
Cap. 1 Cinemtica de la Partcula Pg. 1-48
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1.11 Movimiento relativo con respecto a ejes en traslacin
Sistema fijo x, y, z con origen O. Sistema mvil zyx con origen en A cuya posicin es Ar
con respecto a Oxyz. Condicin: el sistema mvil se traslada (no gira) No es necesario que Oxyz // zyxA .
APAp rrr /
+=
:/ dtd APAP vvv /
+= (1.43)
:/ dtd APAP aaa /
+= (1.44)
Ejemplo 1.24: Un labe tiene un ngulo de salida de 30 con respecto a la horizontal. Si la velocidad de una partcula de agua con respecto al labe es constante e igual a 1000 m/s y la velocidad real de dicha partcula respecto a tierra al momento de abandonar el labe es de 625 m/s, se pide calcular la velocidad de traslacin 0v del labe. Solucin: Sistema mvil yx unido al labe y slo se traslada. Sabemos que: AlabePAlabeP vvv
=/
Es decir: AlabePPAlabe vvv /
= (1) Velocidad absoluta de P: ),cos(625 senvP =
Velocidad relativa de P con respecto al labe: )30,30cos(1000/ = senv AlabeP
Velocidad absoluta del labe: )0,1(0vvAlabe =
en (1): )2/1,2/3(1000),cos(625)0,( 0 = senv
resolviendo: = 13,53 y 4910 =v m/s
z
y
x
O
Pr
P
z'
y'
x'A
Ar
APr /
C
Fig. 1-43
'x
'y30
smv AlabeP /1000/ =
AlabePv /
Ov
A
P
Fig. 1-44
-
Cap. 1 Cinemtica de la Partcula Pg. 1-49
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1.12 Cinemtica de partculas interconectadas A continuacin estudiaremos el movimiento de partculas cuando se hallan conectadas unas con otras por elementos flexibles (cuerdas), que se disponen conjuntamente con poleas, o elementos rgidos (barras).
Examinemos un ejemplo sencillo. En la figura 1.31 se muestran dos partculas unidas por un cable flexible inextensible. Suponiendo que el bloque B desciende sobre el plano inclinado con velocidad conocida, se desea averiguar, en ese instante, cmo es la velocidad del bloque A. Para facilitar la solucin tomaremos dos coordenadas auxiliares As y Bs . Hay que llamar la atencin en el sentido que ellas nos proporcionarn informacin acerca del movimiento de los bloques A y B respectivamente
Lss BA =+ (constante) (1)
:/ dtd 0=+ BA ss es decir: BA ss = (2) de la figura se ve que: BB sv =
mientras que: AA sv =
en (2): BA vv =
Es decir, los mdulos de las velocidades de ambos bloques son iguales.
Anlogamente podemos hacer el anlisis de aceleraciones. Supongamos que el bloque B est acelerado en sentido descendente. Se desea averiguar, en ese instante, cmo es la aceleracin del bloque A. Derivando (2): BA ss = (3)
de la figura se ve que: BB sa =
mientras que: AA sa =
en (3): BA aa = expresin que nos indica que los mdulos de las aceleraciones de ambos bloques son iguales para cualquier instante del movimiento del sistema. Esta informacin resultar de singular importancia cuando estudiemos, en el captulo 5, la cintica de los sistemas de partculas. Es pertinente hacer notar que las relaciones encontradas para los mdulos de las velocidades y aceleraciones de cada bloque seguirn siendo vlidas si se invierte el sentido del movimiento del sistema.
A
B
sA
sB
aAvA
vBaB
Fig. 1-45
-
Cap. 1 Cinemtica de la Partcula Pg. 1-50
Pontificia Universidad Catlica del Per Seccin de Ingeniera Mecnica - rea de Diseo
Examinemos otro sistema a manera de ejemplo: supongamos que las velocidades de los bloques tienen los sentidos mostrados.
Lrhshs BA =++ )()( hrLss BA 2+=+ es decir: BA ss + = constante (1) derivando: BA ss = (2) de la figura se ve que: AA sv =
mientras que: BB sv =
en (2): BA vv =
Es decir, los mdulos de las velocidades de ambos bloques son iguales.
Anlogamente podemos hacer el anlisis de aceleraciones. Suponiendo que el bloque A est acelerado en sentido descendente se desea averiguar, en ese instante, cmo es la aceleracin del bloque B. Derivando (2): BA ss = (3)
de la figura se ve que: AA sa =
y adems: BB sa = en (3): BA aa = Se pudo haber tomado As y Bs a partir del centro de la polea: entonces: Lrss BA =++ (constante)
es decir: rLss BA =+ (constante) y derivando con respecto del tiempo:
0=+ BA ss y procediendo como antes arribamos a que: BA vv = y BA aa =
rh
sA
sB
A
B
aA vA
aBvB
Fig. 1-46
r
sA
sB
A
B
aA vA
aBvB
Fig. 1-47
-
Cap. 1 Cinemtica de la Partcula Pg. 1-51
Pontificia Universidad Catlica del Per Seccin de Ingeniera Mecnica - rea de Diseo
Ahora veremos el caso de dos partculas unidas por medio de una varilla rgida:
Para cualquier instante del movimiento se cumplir que: 222 Lss BA =+
:/ dtd 0=+ BBAA ssss (1) es decir: 0)( =+ BBAA vsvs (2) si derivamos (1) con respecto del tiempo:
:/ dtd 022 =+++ BBBAAA ssssss (3) de donde podemos escribir que: 0)( 22 =+++ BBBAAA vasvas (4) Notar que una vez establecidas las coordenadas auxiliares hay que tener en cuenta los signos correspondientes para las velocidades y aceleraciones. A continuacin examinaremos otro sistema con poleas. De manera anloga a los anteriores ejemplos de movimientos ligados se trata de establecer una relacin entre las velocidades de los bloques y otra entre sus aceleraciones. Tomando las coordenadas auxiliares mostradas en la figura 1-49 tendremos para la longitud de la cuerda: LshssH ABB =++++ )( (constante)
hHLss AB =+2 (constante) (1)
derivando: AB ss =2 (2)
sB
sA
L
B
A
aAvA
aBvB
Fig. 1-48
rH
sB
h
A
B
sA
vB vAaBaA
Fig. 1-49
sB
rH
h
A
B
sA
vAaA
aB vB
Fig. 1-50
-
Cap. 1 Cinemtica de la Partcula Pg. 1-52
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de la figura se ve que: AA sv =
mientras que: BB sv =
en (2): AB vv =2 Es decir, el mdulo de la velocidad de A es el doble del mdulo de la velocidad de B. Del mismo modo que en los ejemplos anteriores hacemos el anlisis para las aceleraciones: derivando (2): AB ss =2 (3)
de la figura se ve que: AA sa =
y adems: AB aa =2 Si hubiramos tomados las coordenadas auxiliares de la figura 1-50: LsshH AB =++ )(2 (constante)
hHLss AB 22 =+ (constante) (4)
derivando: AB ss =2 (5)
y como: AA sv = y BB sv =
entonces, en (5): AB vv =2
y luego AB aa =2 Por ltimo analizaremos el siguiente sistema: Para las coordenadas auxiliares mostradas en la figura 1-51: 1)( Lsss PPB =+ 0)( =+ PPB sss (1)
2Lss AP =+ 0=+ AP ss (2) Pero PP ss = . Entonces, de (1): 02 = PB ss (3)
B
sB/P
A
sA
sP
sBvB
aB
aAvAFig. 1-52
-
Cap. 1 Cinemtica de la Partcula Pg. 1-53
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(2) en (3): 02 =+ AB ss (4)
y como: AA sv = y BB sv =
en (4): AB vv 2= y AB aa 2= Evidentemente obtendremos el mismo resultado si usamos las coordenadas mostradas en la figura 1-52. Aqu vale la pena resaltar que utilizaremos la coordenada relativa PBs / , es decir, posicin de B relativa a la polea mvil P. 1// )( Lsss BPBPB =+ 02 / = BPB ss (5)
2Lss AP =+ 0=+ AP ss (6) pero PBPB sss =/ . Entonces, en (5): 02 = PB ss (7)
de (6) y (7): 02 =+ AB ss
de donde: AB vv 2= y AB aa 2= Ejemplo 1.25: El mecanismo mostrado consta de dos correderas unidas por una varilla rgida de longitud L = 200 cm. Si la velocidad del collarn A es 6=Av cm/s (constante), se pide calcular la velocidad y aceleracin del collarn B en ese instante. Solucin: Para el instante mostrado tenemos:
100=Ax cm 6=Ax cm/s 0=Ax 3100=By cm Anlisis de velocidades
En todo instante: 222 )200(=+ BA yx (1)
derivando (1): 022 =+ BBAA yyxx
0=+ BBAA yyxx (2)
En el instante analizado: 0)3100()6()100( =+ By
de donde: 32=By 46,3=Bv cm/s donde el signo menos indica que el sentido de la velocidad de B es hacia abajo (lo cual es, evidentemente, correcto).
L
60
30
x
y
B
A
vAxA
yB
Fig. 1-53
-
Cap. 1 Cinemtica de la Partcula Pg. 1-54
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Anlisis de aceleraciones Puesto que la expresin (2) se cumple para todo instante entonces podemos volverla a derivar con respecto al tiempo:
022 =+++ BBBAAA yyyxxx Para el instante analizado:
0)32()3100()6()0()100( 22 =+++ By
2cm/s277,0=By 277,0=Ba cm/s () El signo negativo indica que la aceleracin de B tiene sentido hacia abajo. Ejemplo 1.26: Al descender la corredera A con una rapidez constante 2=Av m/s sobre su gua, se levanta la caja C. En el instante inicial, la corredera se encuentra a la misma altura que la polea y la caja est en reposo en el suelo. Se pide calcular la velocidad y la aceleracin de la caja C en el instante en el que 2=As m. Ignore el tamao de la polea en el clculo.
Solucin: Tenemos que 2=Av m/s (constante!)
es decir: 2=As m/s
De la geometra tenemos las siguientes relaciones vlidas para cualquier instante:
222 )4( Asz += (1)
y adems: 8=+ Csz (2)
(2) en (1): 22 16)8( AC ss += (3) En el instante analizado: 2=As m
de (3): 53,3=Cs m
4 m
sC
C
sA
vA
aA
A
4 m
z
Fig. 1-55
4 m
C
vAA
4 m
sA
Fig. 1-54
-
Cap. 1 Cinemtica de la Partcula Pg. 1-55
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Anlisis de velocidades: derivando (3): AACC ssss 2)()8(2 =
AACC ssss = )8( (4) como 2=As (const.) 0=As
en (4): )2(2)853,3( =Cs
89,0=Cs m/s 89,0=Cv m/s Anlisis de aceleraciones: derivando (4): AAACCC ssssss +=+
22)8( (5) reemplazando los valores hallados en (5):
)0()2()2()89,0()853,3( 22 +=+Cs
72,0=Cs m/s2
72,0=Ca m/s
Cap. 1 Cinemtica de la partcula1.2 Posicin, velocidad y aceleracin en coordenadas cartesianas1.4 Aplicacin al movimiento rectilneo
1.9 Coordenadas cilndricas1.10 Velocidad areolar1.11 Movimiento relativo con respecto a ejes en traslacin Anlisis de velocidades
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