algebra 6

CONCEPTO:Es una multiplicación repetitiva de un mismo número, una cantidad limitada de

veces.

DEFINICIÓN:a = a . a . a . . . am

"m " factores; m 1; m N

El resultado: am = se denomina potencia

De donde:

onenteexpmbasea

* Ejemplos:

a. 35 = 3 . 3 . 3 . 3 . 3 = 243 d. 24 = 2 . 2 . 2 . 2 = 16

b. 43 = 4 . 4 . 4 = 64 e. 63 = 6 . 6 . 6 = 216

c. 52 = 5 . 5 = 25 f. 25 = 2 . 2 . 2 . 2 . 2 = 32

A) Expresa lo siguiente:

* Seis elevado al cuadrado : ___________* Ocho elevado al cuadrado : ___________* "x" elevado al cuadrado : ___________* Cuatro elevado al cubo : ___________* Cinco elevado al cubo : ___________* Nueve elevado al cubo : ___________* Tres elevado a la cinco : ___________* Cinco elevado a la seis : ___________* "x" elevado a la cuatro : ___________

ALGEBRA

EXPONENTE NULO (Definición):a = 10 ; a 0

* 30 = 1 *17

5 0

*2 3 = 20

¿por qué?

* 1)22( 0 * (1001)0 = 1

B) Completar, desarrollando las potencias.Recuerda :

Las siguientes po tencias son las m á s u tilizadasen el curso. P or lo que reciben e l nom bre

de "notables".

20 = ____ 21 = ____ 22 = ____ 23 = ____ 24 = ____

25 = ____ 26 = ____ 27 = ____ 28 = ____ 29 = ____

210 = ____ 30 = ____ 31 = ____ 32 = ____ 33 = ____

34 = ____ 35 = ____ 40 = ____ 41 = ____ 42 = ____

43 = ____ 44 = ____ 50 = ____ 51 = ____ 52 = ____

53 = ____ 54 = ____ 60 = ____ 61 = ____ 62 = ____

63 = ____ 70 = ____ 71 = ____ 72 = ____ 73 = ____

COLEGIO TRILCE Página 2

ALGEBRA

C) Reduce cada ejercicio según el ejemplo:

1. A = 34 + 23 + 40 + 5 2. B = 22 + 32 + 42

= 81 + 8 + 1 + 5

= 95

3. C = 500 + 30 + 20 + 1 4. D = 63 - 27 + 32

PROPIEDADES:

1. Producto de potencias de igual base:a . a = am n m + n "Resu lta la m ism a base y el exponente

final es la de los exponentes in icia les".

sum a

*243 = 3 = 3 . 3 . 3 . 3 . 35

= 3 = 3 . 3 = 35 3 2 3 + 2 3 . 3 = 33 2 5

Completa:

* 43 . 42 = 45 * 73 . 72 = 75

* 29 . 212 = ______ * 78 . 78 = ______

* 32 . 37 = ______ * 113 . 116 = ______

COLEGIO TRILCE Página 3

ALGEBRA

* 39 . 310 . 312= ______ * 25 . 23 . 24= ______

2. División de potencias de igual base:

aa

m

n"Resu lta la m ism a base y e l exponente

final es la de los exponentesin icia les".

diferencia= am - n ; a 0

*325

25

5555

*4

6

99

*3

7

44

*1

3

88

Observa el siguiente ejemplo:

16444

44

4.44.4.4D 2

1315

762310

762310

Ahora reduce lo siguiente:

991234

5.55.5.5G

PARTE PRÁCTICA

1. Expresar como potencia cada caso:

a.

veces306.......6.6.6

b.

factores18m......m.m.m

c.

factores204........4.4.4

d.

veces132............2.2.2

2. Efectúa adecuadamente en tu cuaderno cada caso:

COLEGIO TRILCE Página 4

ALGEBRA

a. 3]4457123[E 0 b. F = 40 + 30 + 20 + 10

c. G = 32 + 3 + 30 d. A = 20 + 21 + 22 + 23

e. B = 15 + 32 + 23 f. B = 15 + 32 + 23

f. C = 43 + 42 - 4 + 1 g. X = 53 + 43 - 33 - 23

H. W = 63 - 72 + 32 - 52

3. Expresar como potencia indicada cada caso:

a. A = 43 . 42 . 45

b. B = (13)3 (13)6 (13)0

c. C = (3)0 (3)1 (3)2 (3)3 . . . . . (3)10

4. Reducir cada caso:

a. 157905020

44.4.4X

b. 16886424

2.22.2.2.2.2Y

c.610792

6.66.6.6Z

COLEGIO TRILCE Página 5

ALGEBRA

1. Potencia de un producto:(ab) = a . bn n n

a. 83 = [4(2)]3 = 43 . 23

b. 63 . 73 = {6(7)}3 = 423

c. x5 . y5 = (xy)5

2. Resolución de ecuaciones exponenciales:Usaremos el criterio de "igualdad por comparación".

COLEGIO TRILCE Página 6

ALGEBRA

Ejemplos:

a. Hallar "x" en: b. Hallar "x" en:

3x = 34 . 32 . 35 1551010x

5.55.52

3x = 34 + 2 + 5 1551010x

552

3x = 311 x = 11 2020x

552

2x = 50 2x = 1 x = 0

c. Indicar el valor de "x" en:

513 = 33 . 17x

(3 . 17)3 = 33 . 17x

33 . 173 = 33 . 17x x = 3

PARTE PRÁCTICA

1. Hallar "x" en cada caso:

a. 10235

x4

4.4.48

b. 91032

22.2.2x

c. (24)2 = (12)2.2x

d. 543210

x5

5.5.5.5.55

e. 8x = 43

f. 2x = 102 + 102 - 142

COLEGIO TRILCE Página 7

"S i las bases so n igualeslo s exponentes tam bién

son iguales".

ALGEBRA

g. x5 = (18)5 . (6)5

h. x20 = 54 . 56 . 510

i. 72x = 73 . 710 . 77

j.

120

2.5.3.5.225.1.8.5.311 037826

2037103x

2. Reducir en cada caso:

a. 15710

14105

1820

33.3

44.4

77E

b. F = (17)2 - (13)2 + 83 - 52 + 150

c. G = (20027 - 19805)0 + ()0 + 1; ( = 3,14159.....)

d.8

)11(15105)531(H

7

2232

Raíz enésima de un númeroDados un número real "a" y un número natural "n", se llama raíz enésima del número "a", al número "x" tal que elevado a la potencia enésima dé por resultado "a".

a = xn si: x = an ; n 2

de donde:

radicaloperador)realnúmero(raízx

índicenradicandoobasea

COLEGIO TRILCE Página 8

ALGEBRA

81 = 34raíz

radicando

índice

operador m atem áticoradical

La raíz cuarta de 81 es 3, ya que: 34 = 81.

Ejemplos:

* 51253 53 = 125

* 3273 debido a que: 33 = 27

* 2164 debido a que: 24 = 16

* 2325 debido a que: 25 = 32

* 2102410 debido a que: 210 = 1024

* 14196 debido a que: 142 = 196

"La rad icación es la o peración inversaa la potenciación".

"Si en el índice del operador radical no aparece ningún número, se sobre entiende que es el dos (2). Es decir: raíz cuadrada".

9 raíz cuadrada de 9 = ______

3 512 raíz cúbica de 512 = ______

5 3125 raíz quinta de 3125 = ______

COLEGIO TRILCE Página 9

ALGEBRA

PROPIEDADES

1. Raíz de un producto: 2. Raíz de un cociente:

n n n n BAn

BA

• 63.2

27.8)27)(8( 333

• 224

16256

16256

4

44

¡AHORA, HAZLO TÚ!

A. Hallar cada una de las raíces:

COLEGIO TRILCE Página 10

ALGEBRA

B. En tu cuaderno reduce adecuadamente cada expresión:

COLEGIO TRILCE Página 11

ALGEBRA

• Exponente fraccionario:x

mn = x mn ; m n ; n 2N

* 4 343

xx

* 2888 33 131

* 4161621

COLEGIO TRILCE Página 12

ALGEBRA

* 9333 250100

50 100

* 444 2020

20 20 nn x = x x > 0

¡AHORA, HAZLO TÚ!

A. Representa cada raíz usando exponente fraccionario:

a. 3 54

b. 72

c. 4 3x

B. Representa cada expresión mediante radicales:

a. 71

2

b. 52

3

c. 112

x

C. Considerando la definición del exponente fraccionario y lo estudiado en Radicación I, desarrolla en tu cuaderno los siguientes ejercicios:

1. 16919636100A

2.3 362366B

3.7 73 32 235C 4. 50 10040 12030 60 432D

5. 33

3

812544927E

6. 2519636F

7. 36563G 8.53

33

326427125H

COLEGIO TRILCE Página 13

ALGEBRA

9. 97100

4647

3032

33

66

55I

10.3

4 441625121225J

D. Efectuar los siguientes ejercicios:

1. Si: 61

51By5

431

21A

indicar el valor de "x", si: BAx

2. Si: 33 512y;729x

indicar el valor de: 022 )xy(yxE

E. Hallar "x" en:

1486395x

2.82.8.2.864

POTENCIACIÓN - RADICACIÓN

Para poder realizar en forma correcta los ejercicios de este capítulo, debemos tener muy en cuenta las reglas de las operaciones combinadas. Recordando que la potenciación es una multiplicación y la radicación es su operación inversa; por lo tanto poseen la misma jerarquía.

Hay que respetar las siguientes reglas:

1º Se desarrollan las multiplicaciones, divisiones, radicales y potencias si estos son directos para su aplicación.

COLEGIO TRILCE Página 14

ALGEBRA

2º Recuerda, los radicales se aplican sobre un número. Por lo que "primero" hay que reducir el radicando.

3º Luego se reducen las sumas y restas, respetando los signos.

4º Si existiesen paréntesis y/o corchetes, se reducen desde los más internos hacia los más externos.

5º Si no existiesen signos de agrupación se desarrolla de izquierda a derecha.

Ejemplo:

27753

2421481

1213E

44791127E

5

8181616E 5

5

3981E

¡AHORA, HAZLO TÚ!

A. Reduce en tu cuaderno cada caso:

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ALGEBRA

11. 648043K 3

222

12. 23223

31000542L

13. 1662006125121M 003

14. 51

41

51

41

N

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ALGEBRA

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