algebra 6° i
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7/25/2019 Algebra 6 I
1/92
1MATEMTICA
EDUCAR-PERU
Teora de exponentes
El exponente: Cantidad que
indica el nmero de veces que
se repite como factor la base.
El proceso de elevar la base a
un exponente es una operacinllamada potenciacin.
As:
Ejemplo:
322222225 ==
La potencia es el resultado de la
operacin potenciacin.
Ejemplo:
81333334 ==
Propiedades de la
Potenciacin
1) Multiplicacin de
Bases Iguales.
Ejemplos:
322222 52323 === +
51222222 9)324(324 === ++
6)42(42 xxxx == +
24333333 512222 === ++
ojo 33 222 =+ nn porque 322 n = 32 +n
44555 =+ aa por que 455 a = 45 +a
! "ivisin de #ases $%uales.&
Paaaaan
== ........
'otencia
Exponente
#ase
(n)veces
'otencia
Exponente
#ase
(*)veces
Exponente
'otenci#ase
(+)veces
nmnm +=
nm
n
mnm a
a
aaa ==:
SITUACIONESALGEBRAICAS
-
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2MATEMTICA
EDUCAR-PERU
Ejemplos:
4222
2 2353
5
===
27333
3 3474
7
===
25555
555 279
7
979 ====
4812
8
12
xxx
x
==
ojo4
4
3
33
aa = ,a que 4
4 3
3
3 = aa
b
b
2
22
77 =
-! 'otencia de 'otencia.
Ejemplos:
6422)2( 62323
=== x
8133)3( 42222 ===
25622])2[( 8222222 ===
mmxx 44 )( =
Casos:
a! Exponente cero.
a /
0 =
indeterminado
Ejemplo:
1= 2
b! Exponente uno.
Ejemplo:
232= 23
2! 4e5ala la base6 exponente
, potenciacin de cada una
de las si%uientes
expresiones.
0 =
=1
mxnnm aa =)(
YO LO PUEDO HACERYO LO PUEDO HACER
-
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3MATEMTICA
EDUCAR-PERU
a! -+ = 32/
#=77777E=77777'=7777
b! *-= 2*/ #=77777E=77777'=7777
c! - = 2+/
#=7777E=77777'=777
! 8esolver aplicando casos
especiales , propiedades :
a! **=7777777777777777777777
b! =0)632( 7777777777777777777
c! = 43 22 777777777777777777
d! = 232 444 77777777777777
e! 1 =777777777777777777777
f! +3 = 777777777777777777777
%! = 65 aa 777777777777777777
9! -2= 7777777777777777777777
i! = 224 77777777777777777777
j! =24 9:9 7777777777777777777
! =35 :bb 7777777777777777777
l! =35 8:8 7777777777777777777
m! =25 )12(:)12( 77777777777777
n! =59 5:5 7777777777777777777
5! =32 )3( 7777777777777777777
o! =23 )5( 7777777777777777777
p! =223 ])2[( 77777777777777777
-! Aplica propiedades ,
encuentra una expresin
equivalente.
a! =
633
354
222
2222
b! =
2104
567
535
353
+! 4impli;ca la expresin
utili
-
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4MATEMTICA
EDUCAR-PERU
e! 8educir:
E = x-m*. xm&>. x*&*m
f! 4impli;car:
? = +x*. -x & @. + & >x
%! Efectuar:
= x . x
. x-
. x+
. x*
. x1
....x2
9! 8educir:
B = x . x-. x*. x>. x@.... x>@
i! Efectuar:8 = x. x+. x1. x3. x2 .... x*
j! 4impli;car:
3628
7354
...
...
xxxx
xxxx
! 8educir:
2333
2452
3.3
3.3++
++
xx
xx
l! Efectuar:
8532
54135
2.2
4.2.2++
+++
mm
mmm
m! 8educir:
19753
208642
........
.......
xxxxx
xxxxx
n! 4impli;car:
82116
1047223
5.5
5.5.5++
+++
xx
xxx
5! x!-. x-!. x+!*. x1!-
-
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5MATEMTICA
EDUCAR-PERU
o! x!+. x-!. x*!
p!( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )132334
343523
..
..
xxx
xxx
q! ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )232453
253334
..
..
xxx
xxx
r!( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) 282353
442454
..
..
xxx
xxx
POTENCIA E UN PROUCTO
El exponente afecta a todos
los factores.
Ejemplos:
2. x ,!-= 3x-,-
. - x,-!= @ x+,1
-. + x+,!-= 1+ x2,1
+. 34323
3422322
).()(
).().().(
yxyx
yxyxyx
*.23264
3252234
).()3(
)3.().(
zxyzyx
zyxzyx
1. 345234
22343225
).().(
).().()(
baba
bababa
>. Efectuar:
35243235
52324327
).().().()(
).().().()(
xxxx
xxxx
a " # n% an" #n
YO LO PUEDO HACERYO LO PUEDO HACER
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6MATEMTICA
EDUCAR-PERU
3. 8educir:
27232253
43253432
).().().()(
).().().()(
xxxx
xxxx
@. 4impli;car:
376347
3225434523
).()().().().()(
yxyxyxxyyxyx
2. 42532526
4322232354
).().(
).().()(
cbacba
bcacbacba
-
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7/92
7MATEMTICA
EDUCAR-PERU
NI&EL I2! Coloca D o se%n
corresponda:
a! * = 2 !
b! 3= 2 !
c! 2>= > !
d! += !
de lo anterior es correcto :
a! DD
b! DD
c! DDD
d! DD
! 8esuelve aplicando
propiedades de teora de
exponentes:
$! 023222
a! 21
b! -
c! 1+
d! 3
$$! 36 2:2
a!
b! +
c! 3
d! 21
$$$! 22 ]3[
a! @
b! >
c! 32
d! 2
$D! -2 : -3
a! -
b! @
c! >
d! 32
D! 2->: 2->
a! 2-
b!
c! 2
d! n.a
D$! 0243 }])15{[(
a!
b! 2
c! +
d! 2*31-
D$$! 3352 )6(:)6(
a! 1b! 2
c!
d! 23
D$$$! 4impli;ca:
-
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8MATEMTICA
EDUCAR-PERU
485698zyxzyx
a! 23 yzx
b! 222 zyx
c! zyx 23
d!x,
d! 2+
F$$! 4impli;ca la expresin
53265
243463
)2()5(2
)2()5()2(
a!
b! 21c! -
d! 1+
NI&EL II
El producto es:
2. x-! x!x+! es:
a! x* b! x3 c! x@
d! x1 e! x-
. ax! ax!a-! es:
-
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9MATEMTICA
EDUCAR-PERU
a! a1x- b! a1 c! a1x
d! a*x- e! x-
-. >m! +m!*x! es:
a! 2+m-x b! 2+ mx- c!
.A.d! 2+ m- e! 2+ x
+. x,! -x,!x-! es:
a! -x*,- b! *x-,- c! -x1,-
d! -x-,* d! +x1,-
*. a!
aa4
3
2
1 3es:
a! -a1 b! 43
a 1 c!
3
1a1
d!4
1a1 e! +a1
1. amx! -mx! a-x! es:
a! 1a-mx- b! 1a-m-x+
c! 1a+m-x d! 1a+m-x-
e! 1a+m-x+
>. x-!
4
3x! es:
a! *x- b! 2x * c!
-x*
d! -x e! +x*
3. xm2
83
zx378 >mx,< d! 6* e! 6* x
-
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10MATEMTICA
EDUCAR-PERU
Teora de exponentes
!Contin'acin$
+! nmnm aa )(
Ejemplo:
2323 )2(2
Entonces : @1
Rec'erda:
& 4i tenemos expresiones
como
aplicamos potencia de
potencia.
- 4i tenemos expresionescomo efectuamos potencia
de (arriba 9acia abajo).
Ejemplo :
1322
1322 =
322 = =82
x x x x x x x x=*18pta.
Ejemplo :
0523 =
123 = 23 =@ 8pta.
2! 126 =
8pta.
!0
83
2=
8pta.
-!1
22
4=
8pta.
+!0
53
22
8pta.
E(PONENTE NEGATI&O
A)' elexponente *slo a+ecta al ,
A)' elexponente *a+ecta al *,
D !""#$! %!! !$!'
*
-
A #
YO LO PUEDO HACERYO LO PUEDO HACER
a./% ma1
-
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11MATEMTICA
EDUCAR-PERU
La base se (invierte)
Ejemplos:
&2=
* &2=
+ &2=
- &=
&-=
> &=
1
2
1
=
2
3
2
=
2
5
1
=
12
3
1
2
1
+
=
21
5
1
4
1
+
=
32
2
1
3
1
+
=
31
3
1
4
1
+
=
22
3
1
7
1
+
=
Exponente 0raccionario
n mn
m
aa =
El exponente fraccionario se
convierte en una ra
-
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12MATEMTICA
EDUCAR-PERU
2. 8educir:2
2
1
-&2
1
2
3
. 8educir:1
9
1
1
3
2
&2
-. Efectuar:212
2
1
5
9
2
3
+
+
+. 8educir:1
1
1
2
12
3
2
+
*. 4impli;car:
A = *H +@H & -1H >2G-
1. 8educir:
# = 212G+ & 32G- +H @2G I
-2G*
>. Efectuar:C = 2*2G- >2G- I 212G+
-12G
3. 4impli;car:
Ra1 de 'na di2isin
n
n
n
b
a
b
a=
31212121
8
1
49
1
36
1
9
1
+
+
-
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13MATEMTICA
EDUCAR-PERU
La ra< a cada tJrmino.
Ejemplos:
2.2
2
9
16
x
m
.2
4
4
25
m
x
-.64
25
100
9+
+. 3125
8
25
4+
*. 3427
8
16
81+
Ra1 de 'na ra1
nmm n aa .=
Los ndices se multiplican
2.24
3
x
.240
3 4 5
x
-. 8educir:120
3 4 5 2
+. [ ] [ ]4123 4 xx +
*. Efectuar:
" = 3 1216 xx +
2! 4impli;ca la expresin:
675
10487
563
563
a
a
a! 2- 4a
b! 23* 4a
c! 1>* 4a
d! n.a.
-
7/25/2019 Algebra 6 I
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14MATEMTICA
EDUCAR-PERU
!385
698
zyx
zyx
a! 323 zyx
b!33
zyx
c! 333 zyx
e! n.a.
-! 8esuelve:
038
+! Calcular:
073
2
*!32094
1! Aplica las propiedades de
radicacin , calcula:
3 45 xx
a! x
b! x
c! x-
d! x+
>! 6 525125
a! 2
b! *
c! *
d! 2*
3! 8 821632128
a! 3
b! 2
c! 21
d! -
@! 7 2078 yyy
a! ,
b! ,-
c! ,+
d! ,*
2! 6 28352 )()( aaa
a! a*
b! a1
c! a+
d! a-
22! 15 243 132 xxx
a! x>
b! x1
c! x*
d! x+
2! Calcular el valor de:
79
3279
24381
2793
=M
a!
b! 2
c!
d! -
a! 2b! c! 3
d! n.a.
a! b! 2c! +d! 3
a! 2
b! c! +d! 21
-
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15MATEMTICA
EDUCAR-PERU
AUTOE&ALUACI3N N4 5-
Instr'cciones: Res'el2e 6encierra en 'n crc'lo la
resp'esta correcta"2. Coloca verdadero D! o falso
! se%n corresponda.$. 2*K = !$$. 22= 2 !$$$. 2@= 2 !$D. = !
. alla el valor de A:4i A = 1!*: 1-!-
a! 1b! 2c! d! 23e! -
-. Aplica las propiedades ,encuentra una expresinequivalente:
81116
128510
333
33333
xx
xxxx
a! @
b! -c! d! 2e! 23
+. 8esuelve:4
209
4=E
a! 2b! c! +d! 21e! -
*. Aplica las propiedades deradicacin , calcula:6 25283 .).()( aaa
a! a+b! a-
c! a*
d! a1
e! a
1. 8educir: 21
2
1
5
1
41632
+a! H
b!3
1
c! 2G+
d! n.a.
>. Efectuar: ? = 3 1824 yy +
a! 2b! ,c! ,d! ,-
e! ,-
3. 8educir:
345234
22343225
).()(
).().()(
yxyxyxyxyx
a! x$) x
&) x-
*) x+
e! .A.
@. 8esuelve: 3427
8
16
81
100
25++
a! G-b! 2c! 3G-
-
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16MATEMTICA
EDUCAR-PERU
d! Me! .A.
2. 4impli;ca:I. x3,@
-
7/25/2019 Algebra 6 I
17/92
17MATEMTICA
EDUCAR-PERU
5 1524 tt
6 247 28 mm
34177 28 mm +
8
x
60
3 5
a
7 3 84
a
16
3 4 3
m
3
2
6
9
.x
x
y
x
12
6
60
.
y
m
y
m
( )22
3
412
8
.ba
c
c
ab
8
2
y
-
7/25/2019 Algebra 6 I
18/92
18MATEMTICA
EDUCAR-PERU
1
43
3
66
6
.
cb
a
cb
a
2222 xxx
8
8 3 12
x
16
2
xx
6
3 2
3
3 4
xxx
Efectuar: E =054165
a! 2 b! * c! -* d! +2
4impli;car: ? =5)5(
551
3
xn
nn
+ +
8pta: 21
8educir:[ ]
66
3322
yx
yxyxxy
a! b! 2 c! *d! x-,- e! x
Efectuar:
E =[ ] [ ]
)000000001+0)(0108.0(
003+002+0 32
a! 2 b! c! &2d! 2 e!
7777777 17171717171717 xxxxxx
-
7/25/2019 Algebra 6 I
19/92
19MATEMTICA
EDUCAR-PERU
Efectuar:5
07
32
2
a! *1 b! - c!23d! 1+ e!
Efectuar:2
5072
23
a! *2 b! > c! 2d! 23 e! 32
allar el equivalente:[ ],),75(7 ,655 + x
a! 2 b! &2 c!indeterminadod! e! N
Efectuar:
33
10
5
8
)2(4
2
3
3
+
a! 2* b! 2 c! &*d! * e! >
4impli;car:21
32
33
)3(33++
+
++
aa
aa
a! - b! 1 c! 2d! @ e! 2
4i: -O = b6 9allar el valor de
2
53
2
23+
++ +b
ba
a! >G+ b! *@G+ c! @G+d! -@ e! *2G+
4impli;car:( )( )
323
3232
8:2
88
a! 2 b! c! &2Gd! 2G+ e! H
-
7/25/2019 Algebra 6 I
20/92
20MATEMTICA
EDUCAR-PERU
Efectuar: 413113946
5310
651215
xx
xxx
a! b! - c! 2d! * e! +
Calcular el valor de (m) en lasi%uiente i%ualdad:
32 xxx mm =+
a! 2 b! > c! *d! + e! -
8educir:120
3 5 5+0
x
a! x b! 2 c! x+
d! x- e! x
allar la ra< cuadrada positivade:*2G -16* 212G+ 326*
a! 2 b! 21 c! *1d! e! +
Efectuar: ' =7
072256
a! 21 b! 23 c! 2d! 2 e! 2-
Efectuar:072
49125
a! * b! * c! 2*d! 2* e! 2
Efectuar: [ ]
2082
401+0
a! 2 b! 2 c! *d! e! 2
8educir: =)7(7
)7(771
2
+ n
nn
a! 2 b! * c! *d! + e! 2
-
7/25/2019 Algebra 6 I
21/92
21MATEMTICA
EDUCAR-PERU
8educir: 10453
29
612
x
x
a! + b! c! *
d! 2G e! M
4impli;car: [ ]221
39
33
++ +x
xx
a! 2* b! @ c! -d! 2 e! 23
Efectuar:1
216
a! b! 2 c! +d! 1 e! 21
Efectuar:138
a! 2 b! c! -
d! + e! *
Calcular: *6*
a! 2 b! c! 3
d! 2 e! *
allar la sJptima de:072
49
a! > b! c! 2d! - e! *
Calcular la mitad de:
052
361
a! 1 b! - c! 2d! 26* e! 3
4i la expresin:
013
8
1
le
aumentamos 6 obtenemos:
a! & b! c! &2d! + e! 1
-
7/25/2019 Algebra 6 I
22/92
22MATEMTICA
EDUCAR-PERU
Efectuar:
0
5786
7
1
a! 1 b! * c! &2
d! e! 2
PCuQnto debemos aumentar a la
expresin
2063
64
1
para que el
resultado sea ceroR
a! 2 b! c! -d! + e! *
Efectuar:
6054
16
a! 2 b! c! +d! 1 e! 3
Calcular: ( )0
529
a! 2 b! &2 c! d! - e! o existe en
P'or cuanto debe multiplicar a Epara obtener 1R
E =
38083
27
1
a! b! &2 c! 2d! & e! -
Efectuar:111
7
1
2
1
3
1
+
+
a! > b! 2 c! 2d! 2* e! 2
Efectuar:111
4
1
8
1
2
1
+
a! b! 2 c! >d! 1 e! >
-
7/25/2019 Algebra 6 I
23/92
23MATEMTICA
EDUCAR-PERU
4impli;car: n*: n
a! 21 b! c! 3
d! 2 e! -
8educir: mm 5:52+
a! 2 b! * c! 2d! * e! 2
"ar la mitad de: nn x 3:23 1+
a! - b! 2 c! 1d! e! @
allar la ra< cuadrada de m si:
? = [ ] nn x1010 12
a! 2 b! 2 c! 3d! 2 e! *
8educir: [ ] ( ) 113 22 aa x
a! 2 b! 1 c! 3d! e! 2+
4impli;car: [ ] 67
832:8 aa
a! 3 b! + c! d! 2 e!
El cuadruplo de E6 sabiendo que:E = [ ][ ] 11 44 ++ nmnm es i%ual a:
-
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24MATEMTICA
EDUCAR-PERU
a! 2G+ b! 2G c! 2d! e! +
Calcular '2sabiendo que:
' = ( )[ ] 29326 )25(5 x
a! b! c! &2d! 2 e! *
8educir:n
nn
5
55 3 +
a! + b! +3 c! 2+
d! 2 e!
PCuQnto debemos aumentar a(x) para que se anuleR
x = 8 72.2
a! &2 b! & c! d! o se puede
Efectuar: 343 16:16
a! 2G b! c! &2d! 2 e!
Efectuar: 60 595 6 33 x
-
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25MATEMTICA
EDUCAR-PERU
a! b! 2 c! &2d! - e! *
8educir: nnnn
x 23
66 2 ++
a! -* b! -1 c! ->d! 1 e! 2
8educir: 25
24
,242
+ +a
a
x
x
a! - b! + c! 3d! -1 e! 23
8educir: 1
1
24
8287+
+ mm
mm
x
xx
a! - b! 23 c! 3d! *1 e! >
Efectuar: ' =
0621616
81
1
a! @ b! c! -d! 2 e! 32
8educir:E = [- I -63I -61I -6+]6*
a! 21 b! - c! d! 3 e! 2
4impli;car:
-
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26MATEMTICA
EDUCAR-PERU
3
39
3132
9
8
3
2
5
48
a! b! 2 c! &+d! 1 e! 3
&" CONTENIOS B7SICOS
&alor N'/8rico !2"n$: 4i le
asi%namos valores a las variables
de una expresin al%ebraica ,
efectuamos las operaciones que
se indican6 el nmero que se
obtiene se llama Dalor umJrico
v.n!
&I" OBSER&A 9C/o se
res'el2e
Ejemplo:
2! alla el valor numJrico de la
expresin:
cbaA 32 2 +=
4abiendo que :
a=6 b=-6 c= +
8esolucin:
!+C-!-C!C +=A
A= + @ & 2
A= 2- I 2
A= 2
! 4i: 'x!= 232 + xx
alla: '!
8esolucin:
F =
'!= 2)2(3)2( 2 +
'!=+ 1 I
'!=3
-! 4$: ?x!=x2! 132 x !
alla ?+!
8esolucin:
?+!=+ 2! 134 2 !
?+!=*!21&2-!
?+!=*!-!
?+!=2*
+! "ada la expresin:
' x I 2 ! = x2!x-!
Calcular '!
8esolucin:
Como : F I 2 =6 entonces x = -
'!=-2!--!
'!=+!1!
'!= +
*! "ada la expresinB,!= 52 + yy
-
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27MATEMTICA
EDUCAR-PERU
Calcular B+!
8esolucin:
Como ,=+ 6 entonces ,=
B+!= 52)2( 2 +
B+!=+&*
B+!=*
B+!=>
4abiendo que a=-6 b=+6 c=26
x=2G6 ,=. 9alla el v.n. de las
expresiones si%uientes:
2! E= a b I*c
8pta.&
! = bcay +
8pta.&
-! =ca
ybx
++ 3
8pta.&
+! 4$: 'x!= 252 3 + xx
alla:'!
8pta.&
"ados m = 26 n = 6 a =3
2, b =
2
36 9allar el valor numJrico de:
2. a bSol'cin:
. b I a m
Sol'cin:
YO LO PUEDO HACERYO LO PUEDO HACER
-
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-
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29MATEMTICA
EDUCAR-PERU
c! 1
d! >
e! 3
-! S= 1x I -, 2x,a! 2
b!
c! -
d! +
e! *
+!43
4 42 abbcddaH b +=
a! -*
b! -+
c! --
d! -
e! -2
*! ' = 332 )2(9278 abdyx +
a! -
b! +
c! *
d! 1
e!
1! 4i 'x!= 3234 +++ xxxx
Calcular '!
a! +
b!
c! *
d! 1
e! 3
>! 4i 'x!= -x&26 calcular
=+
)3(
)5()1(
P
PP
a! 2
b!
c! -
d! +
e! *
3! 4$ 'x!= 12 +x
Calcular el valor de E=
)2(
)3()1(
P
PP +
a!12
5
b!6
5
c! 2
d!6
5
e!5
12
@! 4i : x!=1
22
+
x
x6 allar:-!!
a! 3
1
b!3
10
c!3
2
d! -
e! +
2! 4ea: 'x!= 1234 23 +++ xxx
-
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30MATEMTICA
EDUCAR-PERU
allar '! '2!
a!
b! 2c! 22
d! 2
e! @
22! 4i : Bx/ ,!= x -,
allar : B -/ +!
a! *+
b! **
c! *1
d! *>
e! *3
2! 4i : 'x/ ,!= 326 3 + xyx
allar '/ !
a! +2
b! +
c! +-d! ++
e! +*
NI&EL II
"ados c = +6 d = 6 , =4
16 T =
6*6 el valor numJrico de:
2. c d I T6 es:a! 16*b! *6*c! +6*d! *e! .A.
. c I d +,6 es:a! b! 2
c! d! +e! -
-. , T I 26 es:a! b! 2c! d! -e! +
+. -c I +d I +T6 es:a! b! +c! 1d! 22e!
*. c I d. es:a! 2b!
c! +d!
-
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31MATEMTICA
EDUCAR-PERU
e!
1. +,I , T6 es:
a!4
3
b!2
1
c! -
d!4
1
e!
>.d
c T,6 es:
a!8
17
b! 8
15
c!8
9
d!17
8
e!
3. c, I dT 26 es:a! -b!
c! d! +e! .A.
@. +x, x
d & x6 si >x I - = 226
es:a! b! 2c! d! -e! *
2. -x I cd T,6 si - I x = 6
es:
a!5
4
b! 2
c!45
d!
e!2
3
NI&EL III
2. allar el D.. de -x, -x,
para x = 1/ , = &
. allar el D.. de E si se sabeque:x = &2/ , = & < = 2
E = 3 52 ++ zxy
-. Calcule el D.. de la expresinB6 sabiendo que: a = 26 + /b = 2 / c = &>
B = [ ]2572 cba +
+. PCuQl es el valor numJrico de
888cba
ba
++
+6 si se sabe que:
a = 23 6 b = 32 ,c = >3
-
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32MATEMTICA
EDUCAR-PERU
*. El D.. de x xm, ,para:x = 18 / , = 2 es *Calcula el valor que se ledebi dar a (m)
1. Calcular el valor numJrico deE para a = 26 , b =
62E = a b! +>
>. allar el D.. de ? = x x,
,para x =3
1 / , =&
3
1
3. Calcular el D.. de: E = x I*x, ,sabiendo que x = &, = &2
@. Calcular el D.. de:'x6,! = x- -x, -x, ,-
para x = H/ , = &2G-
2. 4i 'x! = x+ xI 2 2!
allar: ' 4 2 !
22. 4i:
x! =6
7
3
1
2
1 2 ++ xx
Calcular 2!
2. allar el valornumJrico de:4 = x&2! ,&2! < &2!
'ara x = & , = &2 < = &-
a! 3 b! 32 c!3
-
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33MATEMTICA
EDUCAR-PERU
d! 3- e! 11
2-. 8educe los tJrminossemejantes , 9alla el valornumJrico de -m I *m I
@m 2n para m = &3
1/
n =5
2.
a! b! - c! +d! * e! .A.
2+. 4i se sabe que:'x!= -x+I x- xI x I allar '&!
a! 1* b! 11 c!
1>d! 13 e! .A.
2. El volumen de un cilindro deradio (r) , la altura (9) secalcula usando la si%uienteformula: D = r9
Palla el volumen de uncilindro cu,o radio mide -m ,cu,a altura mide +m.R
. alla el valor numJrico de lassi%uientes expresionesal%ebraicas para a = b = 2
a! *ab I -ab- b+
b! 1ab- *a-bI b
c! a ab b
d! a-I -ab -abI b-
-. 8educe los tJrminos
semejantes , encuentra elvalor numJrico de:
-
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34MATEMTICA
EDUCAR-PERU
&*xI -, * 1xI 1 ,/para x = & , = *
+. alla el valor numJrico de:
z
yx
2
6433 63/ para x = / , = -/
< = H
*. alla el valor numJrico de:-ac ab2 para a = 6 b = @6c= 2G-
2. 4i a = &26 b = 6 c = -6 d=&2G. Calcula el D.. de lassi%uientes expresiones:a! E = a b cb! = d I aI a-
c! A = aI b I a
d! S = abd I ac-
. Efectuar los si%uientescQlculos de D..
a! 4i 'x!= x x 2alla '2!
b! 4i 'x!= x& x alla '!
c! 4i 'x!= x x 2alla '&!
d! 4i 'x! = >x-& x I >allar '&-!
-. allar el D.. de la expresinsi%uiente:
2
2
n
m/ para m = H/ n = 2G-
+. allar el D.. de: mn 438 abpara a = 2/ b = / m = H6 n =2
*. 4ea a = 6 b = 2G-/ x = 2G1.
allar el D.. de:ax
b
x
aba++
5
4
3 2
1. El protn tiene una masa de261> x 2&+%. , un diQmetrode 2&2 cm. Calcular su
densidad asumiendo que tiene
-
7/25/2019 Algebra 6 I
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35MATEMTICA
EDUCAR-PERU
forma esfJrica si se sabe que:
' =6
- =p
p
VV
md-!
' = densidadD = volumenm = masa
d = diQmetro= -22+
>. La lon%itud de onda ! de unalu< roja es 1 x 2&*cm6 si sesabe que c velocidad de lalu
"ato: D =
c
v = frecuenciac = velocidad de la lu
1x * = +>
1x = +> I *
1x = +
x=6
42
x= >
Comprobacin :
+>!>!*=+>
3 2+ * = +>
+> =+>
! @x I *x >1 = -1
+x >1 = -1
+x = -1 I >1
+x = -
x =4
230
x = *>6*
Una ecuacin es una i%ualdad
donde 9a, una o varias
cantidades desconocidas
llamadas inc%nitas.
Partes de 'na Ec'acin: 'rimer ?iembro.& Vodo lo
escrito a la i
-
7/25/2019 Algebra 6 I
37/92
37MATEMTICA
EDUCAR-PERU
la ecuacin en una
i%ualdad verdadera de
nmeros.
Con>'nto Sol'cin .&
Conjunto solucin de una
ecuacin es el conjunto
que tiene como nico
elemento a la ra< de la
ecuacin.
Resol2er 'na ec'acin.&
Es 9allar el conjunto
solucin de la ecuacin.
Propiedades de las
i?'aldades:
2! 4i a los dos miembros de una
i%ualdad se les suma6 resta o
multiplica por un mismo
nmero6 la i%ualdad se
mantiene.
! Lo mismo sucede si se divide
la i%ualdad entre un nmero
diferente de cero.
4i a= b / Entonces:
a c = b c
a I c = b I c
a x c = b x c
a : c = b : c c 0 !
ECUACIONES E@UI&ALENTES
O#>eti2o: Compara e identi;ca
ecuaciones equivalentes con
precisin.
PROPIEAES E LAS
IGUALAES
4i ambos miembros de una
i%ualdad se les suma6 resta o
multiplica un mismo nmero6 la
i%ualdad se mantiene. Los mismoocurre si se divide la i%ualdad
entre un nmero diferente de
cero.
PRINCIPIO E E@UI&ALENCIA
Ecuacin equivalente
3x = 212 x = -
x I - = &2
"os ecuaciones son equivalentes
si tienen la misma solucin:
Las ecuaciones 3x = 216 2 x =
-6 x I - = &2/ son equivalentesporque tienen la misma solucin
x =
E>e/plo de aplicacin
$ndicar si los si%uientes pares de
ecuaciones son equivalentes.
-
7/25/2019 Algebra 6 I
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38MATEMTICA
EDUCAR-PERU
a! 1, *, I 32 = >, 2 1*
,
b! 1, I = &* *,
Sol'cin:a! 1, *, I 32 = >, 2 1*
,
22, I >, I 1* , = 2 32
& 12 , = 23-
, =61
183
= &-
b! 1, I = &* -,
1, I *, = &-
4on
equivalentes ,a que ambos se
satisfacen para , = &-
E>ercicios:
2. "espejar (x) en cada ecuacin
a! -x I r = *
-x = * r
x =3
5 r+
$) ax 2 = b
ax = bI 2
x =2
21
a
b
c! m n x b = c
m n x = c I b
x =mn
bc
2
d! 2x ab = c
2 x = c I ab
x =10
abc
e! *m x I 2 = -a
* m x = -a 2
x =mk
a
5
13 +
f! 1b x =
x = I 1b
2. 4i las si%uientes ecuaciones
son equivalentes6 escribe 4$ 6si no los son escribir W .
a! -x 2 = >
x I 2 = -
b! *x I = 2-
>x I > = 2+
c! *x = -
>x = +
*) +x = +&>x = >
&
&
-
7/25/2019 Algebra 6 I
39/92
39MATEMTICA
EDUCAR-PERU
e! >x I 2 = -+
-x 2* = 2
f! x I 2 = x I - = 22
. allar el conjunto solucin en
cada una de las si%uientes
ecuaciones:
a! -x I 2 = x 1
b! >x I 2 = -x +
c! >x I 2 = -x +!
d! -x * = 22
e! *x I 3 = 2
-. 4i las si%uientes ecuaciones
son equivalentes6 escribe 4$ 6
si no los son escribir W .
a! +x & 2 = >
-x I + =
b! x * =22
*x I + =22
c! x 2- =21
x 2= 2*
d! +x = 3
@x = 1-
e! 1x = +3
&@x = &>
f!3
x= 1
6
x= -
%! x+! = 2+
- x & *! = 1
+. "espejar (x):
4$
-
7/25/2019 Algebra 6 I
40/92
40MATEMTICA
EDUCAR-PERU
a! 1x I a = b
b! x n = 1
c! a x = b
d! m I 2 I x = 2
e! a x 2 = b
f! m x - b = 2
%!m
x b = a
1. ada la ec'acin: x* , %
" Co/pleta Es una ecuacin de 777777
%rado
Viene 77777 tJrminos
77777 es la inc%nita
2. Resol2er la ec'acin:
*x I + = x 2
," Resol2er la ec'acin
1x I * = >
" Resol2er la ec'acin
>x -2 = @ *x
D" Resol2er la ec'acin
-x I +! = x 1
-
7/25/2019 Algebra 6 I
41/92
41MATEMTICA
EDUCAR-PERU
2. alla el conjunto solucin de
cada ecuacin si%uiente:
a! +x I 2 = 22b! -x + = 2
c! x I - = 2
d! 3 = * x
e! x I = 1
f! * = 2 I x
%! x I - = - I x
9! I x = - I xi! +x I - = *x I 3
j! -x I * = x I
! 1 I -x = 3 I +x
l! -x = +x
m!> I x = -x
n! +x = 2-3 I x
o! >x 2- = @p! &1x 2> = +>
2. alla la ra< o solucin de lassi%uientes ecuaciones porsimple inspeccin:
ECUACION RAF
x = + x = 2>x = 3-x = 2*&x = &
2x = 2
ECUACION RAFx = >G
-x 2 = 22x I 2 = *
x > = &2x - = 2>
. $ndicar el %rado , el nmerode races a obtenerse en cadaecuacin: o es necesarioresolver la ecuacin6 sloreducir tJrminos semejantes6si los 9a,:
ECUACION GRAO N ERAICES
3x I x+I 2 = -xI x 2 =
-x I 2 = 1x- x = >
>x x&2! = xI >x & 2 = 1
x
x+I2 = x
-. 4i las dos ecuaciones dadasson equivalentes6 escribir 4$6 sino los son6 escribir W.
a! -x 2 = >
x I 2 = -
b! *x & = 2-
-
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42MATEMTICA
EDUCAR-PERU
>x I > = 2+
c! *x = -
>x = +
d! +x = +
&>x = &>
e! >x & 2 = -+
-x 2* = 2
f! x =2
x I - = 22
+. "espejar (x) en cadaecuacin:
a! x I 1 = 2
b! *x 2 = 2
c! mx - = t
d! *x b = a
e! ax I b = c
f! tx 2 = n
%! 1x I a = b
9! x n = 1
i! a x = b
j! m I 2 I x = 2
! ax 2 = b
l! mx -b = 2
m!m
x b = a
n! -x I r = s
o! ax 2 = b
p! mnx b = c
q! 2x ab = c
r! * m x I 2 = -a
-
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43/92
43MATEMTICA
EDUCAR-PERU
s! 1b x =
t! - m x 2 = 2
*. allar (a) si las ecuaciones:-x I 2 = x -/ +x I - = -x a son equivalentes
1. 4i las ecuacionesequivalentes:x a = x -6 -x b = x 1
Vienen como ra< +6 9allar: a b
>. 8esuelve las si%uientes
ecuaciones mostrando elprocedimiento
a! >x I > = 2 I x
Rpta: x % -
b! -x I = x 3
Rpta: x % D
c! *x I > = 22x I 2-
Rpta: x % -
d! x -x x = 2 -
Rpta: x %-
2! 4i: @x I +2 = 22
Entonces el v.n de 1x I es:
YO LO PUEDO HACERYO LO PUEDO HACER
-
7/25/2019 Algebra 6 I
44/92
44MATEMTICA
EDUCAR-PERU
! 1x >x I *1 =2
-! 1x +x 2 = 2 *x Ix
+! 21x I 3 I 2*x = I -x
*! x I 1 = x 2
1! -x 23 = x +
>! x I 1 = x 2
3! +x I @ x = x 3 I x -
@! x 2- I x I I -x = + x I 3 I x I
>
10) xx-x+x&1&>&3&@=2222&x&x&-x2
8esuelve las si%uientes
ecuaciones:
2! @x I -x I *= +-
a! 1
b! >
c! 3
d! @
! -x 3x = 2-+
-
7/25/2019 Algebra 6 I
45/92
45MATEMTICA
EDUCAR-PERU
a! 2
b! 2
c! 2-
d! 22
-! 3x x I * = -2
a! +
b! *
c! 1
d! >
+! @x I x + = 13
a! >b! 3
c! @
d! 2
*! +x x I *3 = >+
a! 2
b!
c! -
d! +
1! @x >x I 23 = 23
a! >@
b! >>
c! >*
d! >
>! 2x I x I 2* = > -x
a! 36
b! 36-
c! 36+
d! 36*
3! 2*x I >2 -x =*2-
a! 13
b! 1@
c! >
d! >2
@! 2x I +x = > I x
a! 16*
b! 161
c! 16>
d! 163
2! *-x I --x I 23 = 2-a! 1+
b! 1*
c! 11
d! 1>
22! 2x > I x = @2 I x
a! 36+
b! 36-
c! 36
d! 362
2! *x >x *1 = 2+23
a! >1
b! >>
c! >3
d! >@
2-! +a & 2* = * I a
-
7/25/2019 Algebra 6 I
46/92
46MATEMTICA
EDUCAR-PERU
a! 2
b!
c! -
d! +
2+! + a = 1a +
a! 1
b! >
c! 3
d! @
2*! *x > I = +x 1a!
b! 2
c!
d! -
21! x 1 3x = 22 +x x
a!
b! 2
c!
d! -
2>! +x @ x I * = 3x21 I *x
2
a! *
b! 1
c! >
d! 3
23! x 22 I + = +x I 2+
a! *
b! 1
c! >
d! 3
2@! +x x 3 I -x = 22 x I
2
a!
b! 2
c!
d! -
! x -2 I 23 = *x +x &
2
a!
b! 2
c!
d! -
Propiedad istri#'ti2a
OBSER&A CO;O SE
RESUEL&E:
Ejemplo:
2! 8esuelve la si%uiente
ecuacin:
! ($ &) / !.$ !.& ! $ - & /! . $ ! . &
ECUACIONES
-
7/25/2019 Algebra 6 I
47/92
47MATEMTICA
EDUCAR-PERU
1 x >! I x = > x
1x + I x = > x
1x I x & x = > I +
-x = -
x =3
30
x = 2
8pta :
El conjunto solucin de la
ecuacin es: C.4. = X1Y
! 8esuelve la si%uienteecuacin:
-x 3! - x & ! = x *
1x 21 -x I 1= x *
1x -x I x = * I 21 1
3x = +
x =8
40
x = *
8pta. EL conjunto solucin de la
ecuacin es:
C.4. = X*Y
alla el conjunto solucin de las
si%uientes ecuaciones:
2! > x & @! = -x 2
! 3 x & +! > = x +! I *x
-! * x & -! x = @ - x ! I
1x
+! 1x & 3! = -x & ! x
2+!
YO LO PUEDO HACERYO LO PUEDO HACER
-
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48MATEMTICA
EDUCAR-PERU
*! 1x&-!-+x1!+=+-x*!x
->
1!x & *! -x *! =
>!+x -! *-x & 1! = *
3!-+x & >! & x & @! = ->
@!+*x ! & >-x *! = x & -2
2!-x > & +! = 1x I 2!
22! *x+! & 1x&>! -x@! =
+x!2
alla el conjunto solucin de las
si%uientes ecuaciones:
2! 2- x I >! = 1x -*
a! 2*
b! 21
c! 2>
-
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49MATEMTICA
EDUCAR-PERU
d! 23
e! 2@
! >x 3! -x = 2 x& 2!
a! 1b! >
c! 3
d! @
e! 2
-! 22x 2! = 213 *x
a! 1b! >
c! 3
d! @
e! 2
+! 2+ x & 3! x = 1x & -! >x
a! +1b! +>
c! +3
d! +@
e! *
*! *x 3! = 2- x ++
a! b! 2
c!
d! -
e! +
1! 2* x *! @=+x 1! 2@
a! 3
b! @
c! 2
d! 22
e! 2
>! 4i x & >!= 3 I 3xEntonces :
x& * es /
a! 2
b! 2*
c!
d! *
e! n.a
3! 4i 2x & 2! *x >! =@
I 1x
Entonces:
3)2( ++x es/
a! +
b! *c! 1
d! >
e! 3
@! -Zx*!+x2![
x>!=-2
a! b! 2
c!
d! -
e! +
2! x +!x
-!=-3a! 1
-
7/25/2019 Algebra 6 I
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50MATEMTICA
EDUCAR-PERU
b! >
c! 3
d! @
e! 2
22! +x I x & 2! x = x I
x! & x
a! 2
b! &2
c!
d! &
e!
2! * x -! = >x I
* & x!
a! *
b! 1
c! >
d! 3e! @
ECUACIONES CON0RACCIONES 6
ECI;ALES:
Ejemplo:
2! xx 34
7)
4
3=+
8esolucin:
x x34
7
4
6=
x -x =4
6
4
7
*x =4
1
x = =20
1
x=20
1
! xx 67+8)16
1(8 +=
xx 67+816
88 +=
16
87+868 += xx
x = 36> 6*
x= @6
x =2
2+9
x= +61
-! 3x I 263x I* = 2@63
16x & * = 2@63
16x = 2@63 *
16x = +63
-
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51MATEMTICA
EDUCAR-PERU
x =2+6
8+24
x= +
Rec'erda :
;8todo pr61-
*! 3x I *61x I 63 = 6+
1! 215
)8(3=
x
daca
db
ca
d
c
b
a
db
bda
d
c
b
a
c
ba
c
b
c
a
=
=
=
+=+
YO LO PUEDO HACERYO LO PUEDO HACER
-
7/25/2019 Algebra 6 I
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52MATEMTICA
EDUCAR-PERU
>!6
24 +x= >
3!32
xx+ =
@!45
2 xx = @
2! -x 3
2x= >>
22!3
5
2
1 +=
+ xx
2!4
103
3
62 =
xx
2-!105
2
2
3 xxx= 3
2+! x &3
1= x &
3
7
2*! *x &2
1= x
2
9
21!7
1 x I 2 = x I 2
-
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53MATEMTICA
EDUCAR-PERU
2>!5
21
55
17
5
3+=+
xx
23!3
5
2
3
x= x I 2
2@!105
1
3
1 xx=+
!3
1
01113
1
3
1=
x
2!2
1
03333
2
1
2
1
2
1=
x
! $ndicar la ra< de:
b
a
bax
bax
=
++
-! x &3
22 ++ xx
x & 2 =
+! 01112
1
2
1
2
1
=
x
2! 2 361+!
2= xx
a! +6
b! +62
c! +6
d! -6@
e! -63
-
7/25/2019 Algebra 6 I
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54MATEMTICA
EDUCAR-PERU
! + xx 23
5)
12
5 =
a! 3G@
b! >G@
c! 1G@
d! *G@
e! +G@
-! 14
94)
4
1+=+ xx
a! -G3
b! 2G3
c! G3
d! *G3
e! 1G3
+! 3 xx ++6!3
-C =
a! 6+*
b! 6+1
c! 6+>
d! 6+3
e! 6+@
*! @x I 26+x -61 = 16+
a!
b! 2
c!
d! -
e! +
1! 26x +x I 16 = +61
a! @
b! 3
c! >
d! 1
e! *
>! x *6*x I 6* = 6>
a! 6>
b! 63
c! 6@
d! 26e! n.a
3! 63+!>
*C> =++ xx
a! 36>
b! 363
c! 361
d! 36*
e! 36+
@! 22)3
2(7 = xx
a! 2G-
b! G-
c! +G-d! *G-
e! >G-
2! xx 55
36)
10
3(8 =+
a! -G*
b! +G*
c! 1G*
-
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55MATEMTICA
EDUCAR-PERU
d! >G*
e! 3G*
AUTOE&ALUACI3N N4 5*
Resol2er las si?'ientesec'aciones:
2. x I - = 2a! 2b! 22c! 2d! 2-
. x I - = x
a! +b! *
c! 1d! >
-. -x & +! = x 1a! @b! 3c! >d! 1
+.4
3x 1 = 2
a! *b! 1c! >d! 3
*.4
1+x= x I *
a! b! 2c! d! -
1. >x * I x = 3 +x I a! b! 2c! d! -
>. 4
27+x= x -
a! b! - c! + d! *
3.6
3
2
xx+ = 2
a! b! 2 c! d! -
@.2
115=
x
x
a! 2 b! @ c! 3 d! >
2.432
xxx++ = x -
a! - b! - c! -+ d! -1
-
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56MATEMTICA
EDUCAR-PERU
22. x & *! -x *! = a! - b! c! 2 d!
2. - +x & >! I x & @! = ->a! * b! + c! - d!
2-.3
5
2
1 +=
+ xx
a! + b! * c! 1 d! >
2+. 3 x 10
3! &
5
36= *x
a! -G* b! +G* c! 1G* d! .A.
En la interpretacin de
enunciados a cada frase le
corresponde una expresin
simblica.
Las cantidades desconocidas en
matemQtica se llaman inc%nitas, se representan con letras.
Ejemplo:
El doble de un nmero:x
$nterpreta las palabras:
Aumentado:
"isminuido : &
ace un tiempo!: &
"entro de un tiempo!:
SanJ:
'erd : &
Nota:a, al%unas situaciones
frecuentemente usadas como por
Ejemplo:
!) NH/eros Consec'ti2os"&
4i el menor es x6 los que
le si%uen serQn: x26 x
etc.
$) N'/ero par 6 n'/ero
i/par"& 4i F es entero/
entonces x es par , x
2 es impar.
&) o#le triple c'
-
7/25/2019 Algebra 6 I
57/92
57MATEMTICA
EDUCAR-PERU
+! El triple de una cantidad
aumentado en la misma
cantidad:
-x x
*! La suma de dos nmerosnaturales consecutivos:
x x 2 !
VambiJn podemos plantear
ecuaciones a partir de
enunciados.
1! La edad de Luc9ito6
aumentado en 23 a5os esi%ual a + a5os.
F 23 = +
>! El triple de una cantidad6
disminuido en + es i%ual a
-.
-x I + = -
3! o, %astJ 4G.*. mQs que a,er, en los das %astJ en total
4G.@
x x * ! = @
@! "entro de + a5os
tendrJ el doble de mi edad
menos + a5os.
x+ = x I +
Vraducir cada una de las
expresiones verbales en
expresiones matemQticas/
usando la variable (x) para las
cantidades desconocidas.
2! El doble de un nmero6 mQs >.
! El triple de la mitad de un
nmero6 disminuido en *.
................................................
...
-! El doble de un nmero6aumentado en 3.
................................................
...
+! EL exceso de un nmero sobre
>.
................................................
...*! En una aula por cada ni5os
9a, - ni5as.
\ni5os = ...........
\ ni5as =...........
1! 'or cada docena de libros que
compre6 me re%alan .
\Libroscomprados=...................
\ Libros que me
re%alaron=.........YO LO PUEDO HACERYO LO PUEDO HACER
-
7/25/2019 Algebra 6 I
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58MATEMTICA
EDUCAR-PERU
>! En una reunin se cuentan
tantos caballeros como -
veces el nmero de damas.
" =
C =
3! EL cuadrado de la mitad de
un nmero.
................................................
...
@! La mitad del cuadrado de unnmero.
................................................
...
2! La suma de cuatro
nmeros consecutivos.
................................................
..
22! La suma de tres
nmeros impares
consecutivos.
................................................
.
2! > veces el exceso de
un nmero sobre *.
................................................
2-! EL doble del cubo de
un nmero.
................................................
2+! Un nmero mQs su
mitad.
...............................................
2*! Un nmero
aumentado en sus -G*.
................................................
21! Un nmerodisminuido en sus G@.
................................................
.
2>! EL doble de la tercera
parte del exceso de un
numero sobre sus ].................................................
.
Wbservacin:'ara el planteo de una ecuacin
es importante tener en cuenta
(la coma).
Ejemplo:
EL doble de un nmero
disminuido en 1.
x I 1
EL doble de un nmero
disminuido en 1
-
7/25/2019 Algebra 6 I
59/92
59MATEMTICA
EDUCAR-PERU
x & 1!
Como se observa las dos
frases son semejantes6 lo que
lo diferencia es la (coma) de
la primera frase.
NI&EL I
Vraducir cGu de las si%uientes
expresiones verbales en
expresiones matemQticas6
usando la variable (x) para las
cantidades desconocidas.
2! El triple de un nmero6
aumentado en 3.
................................................
...
! El doble de un nmeroaumentado en *.
................................................
...
-! EL exceso de un nmero
sobre 21.
................................................
..
+! Un nmero disminuido en +.
................................................
...
*! Un nmero aumentado en sus
-G2.
................................................
...
1! EL exceso del triple de unnmero sobre la mitad del
mismo.
................................................
...
>! El cuadrado de un nmero6
mQs >.
................................................
...
3! EL triple del cuadrado de un
nmero.
................................................
..
@! * veces un nmero6
disminuido en su cuadrado.
................................................
...
2! Un nmero
disminuido en sus +G*.
-
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60MATEMTICA
EDUCAR-PERU
................................................
...
22! EL triple del dobledel exceso de un nmero
sobre su cuarta parte.
................................................
...
2! + veces el exceso de
un nmero sobre -.
................................................
.
2-! La suma de *
nmeros enteros
consecutivos.
................................................
.
2+! LA suma de +
nmeros pares consecutivos.
................................................
2*! En una reunin se
cuentan tantas damas como -
veces el nmero de
caballeros.
C=............................................
.
"=...........................................
..
21! La semisuma de un
nmero con +.
................................................
..
2>! La semidiferencia de
un nmero con 1.
................................................
...
NI&EL II
Tu
puedes!
-
7/25/2019 Algebra 6 I
61/92
61MATEMTICA
EDUCAR-PERU
$. Vraducir los si%uientes
enunciados verbales al
len%uaje matemQtico o
simblico:
0or/a &er#al 0or/a;ate/Un nmero excedea 2@ en 1El exceso de unnmero sobre 2 es-3La suma de dosnmerosconsecutivos
$$. Escribir un enunciado verbal
para las si%uientes
expresiones:
Len?'a>esi/#lico
En'nciado 2er#al
x & *-x 2++n I 1!
' I > = @*# I 3m3!
AA 2! = +
Resol'cin de pro#le/as
-
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62MATEMTICA
EDUCAR-PERU
'ara resolver un problema
recomendamos lo si%uiente:
2! $denti;car a la inc%nita.
! "e;nir al%unas variables la
menor posible!.Bue nospermita traducir la expresin
verbal del problema a la
forma simblica expresin
matemQtica!
-! 8esolver la ecuacin
resultante.
+! "ar respuesta a la inc%nita.
Ejemplo :
2! EL doble de un nmero6
aumentado en 3 es PCuQl
es el nmeroR
8esolucin:
4ea el nmero : x
x 3 =
x = I 3
x = 2
x = 2G
E>e/plo :
Un nmero excede a otro en 1 ,
los dos suman +.PCuQles son los
nmerosR
Resol'cin:
\ menor : x I 1\ ma,or : x
x x I 1 = +
x I 1 = +
x =+ 1
x = - x= -G
Lue%o : \menor = x I 1=2* I 1
= @
\ ma,or = x = 2*
8pta.&Los nmeros son @ , 2*.
E>e/plo :
La suma de tres nmeros
consecutivos es *+ P Cuales son
los nmerosR
Resol'cin:
4ean los tres nmeros
consecutivos:
\ menor : x
\intermedio : x 2
\ma,or : x
x x 2 x = *+
-x - = *+
-x = *+ I -
-x = *2
x = *2G-
Los nmeros son:
x = 2>
1
2
3
x% -D
x%
x% -J
-
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63/92
63MATEMTICA
EDUCAR-PERU
x 2 =23 8pta.
x =2@
E>e/plo :Vres nmeros pares consecutivos
suman >. El triple del ma,or es:
Resol'cin:
\ par menor : x
\ par intermedio: x
\ par ma,or : x +
x x x + =>
1x 1 = >
1x = > I 1
1x = 11
x =11G1
Entonces :
\ par menor : x =22!=
\par
intermedio:x=22!=
+
\ par ma,or
:x+=22!+=1
Lue%o:
El triple del ma,or es :
- x 1 = >3
8esolver los si%uientes
problemas aplicando ecuaciones:
2! EL doble de un nmero6
disminuido en 23 es *+ PCuQl
es el nmeroR
! 'edro , ^ulio tienen juntos
4G.1. ^ulio tiene 4G+ mQs
que 'edro.PCuQnto dinero
tiene cada unoR
-! EL cuQdruplo de un nmero6
disminuido en 2 es i%ual al
duplo del mismo nmero6
aumentado en 2+ PCuQl es el
nmeroR
+! La suma de tres nmeros
enteros consecutivos es 11.
PCuQles son los nmerosR
4
x% --
YO LO PUEDO HACERYO LO PUEDO HACER
-
7/25/2019 Algebra 6 I
64/92
64MATEMTICA
EDUCAR-PERU
*! AL comprar un cuaderno , un
lQpi< pa%uJ 4G.3.+ PCuQnto
cuesta cGu si el cuaderno
cuesta el triple de lo que cost
el lQpi! allar la estatura de 4ilvia si
sabemos que al triplicarla ,
aumentarle 1 cm para lue%o
dividirla por * obtendremos +
cm menos que su talla.
3! CuQntos ami%os tiene
Dernica6 tal que si al doble de
ellos le quitamos 3 , al
resultado lo triplicamos para
lue%o quitarle obtenemos* ami%os menos de los que
tiene.
@! PCuQl es el nmero/ cu,o
triple disminuido en 2 nos
da el mismo nmero
aumentado en R
-
7/25/2019 Algebra 6 I
65/92
65MATEMTICA
EDUCAR-PERU
2! PCuQl es la edad de
8odolfo tal que6 si sumamos
los a5os que tiene con los que
tendrQ dentro de a5os6
resultara el cuQdruple de suedad actual disminuido en 2R
22! allar el nmero de(sticers) que tiene Alfredo tal
que si lo multiplicamos por 1
para lue%o restarle 26 ,
despuJs extraerle la ra! El sJxtuple de la
diferencia de un nmero con
2 es tanto como el cuQdruple
de la suma del mismo nmerocon +. allar dic9o nmero.
23! La suma de tres
nmeros consecutivos es 12.
"ar como respuesta el ma,or
de ellos.
2@! allar cuatronmeros consecutivos6
sabiendo que la suma nos da
2>+.
! 4e tiene dos nmeros
consecutivos. 4i al cuQdruple
del ma,or le sumamos eltriple del menor6 dara como
resultado 2+. allar el
nmero menor.
2! 4e tiene dos nmeros
consecutivos. 4i al triple del
ma,or le disminuimos el doble
del menor obtendramos *@.
allar el nmero ma,or.
-
7/25/2019 Algebra 6 I
67/92
67MATEMTICA
EDUCAR-PERU
! allar tres nmeros
consecutivos6 tal que si al
doble del intermedio le
a%re%amos el quntuple del
ma,or para lue%o disminuirlo
en el triple del menor6
entonces se obtendra comoresultado >1.
-! PCuQl es el nmero
que excede a * en la misma
medida en que 23 excede a
+R .
+! PCuQl es el nmero
que excede a > en la misma
medida en que 2-1 excede al
nmeroR
*! allar un nmero6 tal
que su doble exceda a 1
tanto como su triple excede a@1
1! PCuQl es el nmero
cu,o cuQdruple excede a +1
tanto como su doble excede a
23R
>! Vres serpientes (A)6
(#) , (C) tienen las si%uientes
caractersticas: la lon%itud de
-
7/25/2019 Algebra 6 I
68/92
68MATEMTICA
EDUCAR-PERU
(A) excede a la de (#) en 3 cm
, a la de (C) en +cm. 4i la
suma de las lon%itudes de las
tres es 2 cm6 PcuQnto mide
la serpiente (A)R
NI&EL I
2! EL triple de un nmero6
aumentado en 2 es 3> PCuQl
es el nmeroR
a!
b! -
c! +
d! *
e! 1
! EL triple de un nmero6
disminuido en equivale al
nmero disminuido en 3.PBuJ
nmero esR
a! 2
b! 3
c! 21
d! 1
e! @
-! 1 veces el exceso de un
nmero sobre 36 es i%ual a +.
allar dic9o nmero.
a! 2b! 2+
c! 2*
d! 23
e! 2
+! La suma de tres nmeros
consecutivos es 23-.PCuQl esel nmero intermedioR
a! 1
b! 12
c! 1
d! 1-
e! n.a.
*! La suma de un nmero mQs 3es i%ual al triple de dic9o
nmero menos 1.PCuQl es el
nmeroR
a! +
b! *
c! 1
d! >e! 3
1! PBuJ edad tiene 'epito6 si al
quntuplo de su edad
disminuido en 2+ es i%ual al
triple de su edad aumentado
en 21R
a! 22
-
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69MATEMTICA
EDUCAR-PERU
b! 2
c! 2-
d! 2+
e! 2*
>! La suma de los precios de un
lQpi< , un cuaderno es 4G.-.1.
9allar el precio del cuaderno
sabiendo que el cuaderno
cuesta el doble del lQpi
d! @
e! n.a
22! La base de un
rectQn%ulo es cuatro veces laaltura. allar el Qrea del
rectQn%ulo si su permetro es
1cm.
a! 2 cm
b! 2 cm
c! 2++ cm
d! 3 cm
e! n.a.
2! La mitad mQs el
tercio mQs la cuarta parte de
los a5os que tiene ?anuel es
i%ual a los a5os que tiene
?anuel mQs -.PBuJ edad
tiene ?anuelR
-
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70MATEMTICA
EDUCAR-PERU
a! 2
b!
c! *
d! -1
e! n.a
NI&EL II
2. 4i tres nmeros consecutivos
suman -@6 9allar el ma,or.
a! 2 b! 2- c!
2+
d! 2* e! 22
. Calcular el menor de dos
nmeros consecutivos6 tal que
si al quntuple del ma,or le
restamos obtenemos el
doble del menor aumentado
en cuatro.
a! * b! 1 c! >
d! 3 e! @
-. "ado tres nmeros
consecutivos: el doble del
ma,or mQs el triple del
intermedio es i%ual al
intermedio aumentado en 1>/
9allar el ma,or.
a! 21 b! 2> c!
23
d! 2@ e!
+. Calcular el menor de tres
nmeros consecutivos tal que
si sumamos los tres nos da el
cuQdruple del ma,or
disminuido en 22.
a! * b! 1 c! >d! 3 e! @
*. 4e tienen dos nmeros pares
consecutivos tal que el
sJptuplo del menor mQs el
doble del ma,or nos da >1.
allar el par si%uiente alma,or.
a! 2 b! 3 c!
2
d! 2+ e! 21
1. "ados cuatro nmeros
consecutivos tal que la sumade los dos menores
aumentado en nueve es i%ual
al doble de la suma de los dos
ma,ores disminuido en 2.
Calcular el menor.
a! * b! 1 c! >
d! 3 e! @
-
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71MATEMTICA
EDUCAR-PERU
>. Vres tortu%as A6 #6 C tienen las
caractersticas si%uientes: la
lon%itud de (A) excede a la de
(#) en 3cm , a la de (C) en
+cm6 la suma de laslon%itudes de las tres es 2
cm PcuQnto mide (A)R
a! 2 cm b! + c!
-
d! -3 e! +
3. 4i se sabe que Leonardo midetres centmetros mQs que
#rodd , tres centmetros
menos que ^9on. La suma de
las tallas de los tres es *+@ cm
PcuQnto mide ^9onR
a! 23 cm b! 231 c!
23+d! 23- e! 2+1
@. allar un nmero6 tal que si a
su doble le disminuimos -@obtendramos *.
a! - b! -2 c!
-
d! -- e! -+
2. PCuQl es la
edad de ^efre,6 si sabemos
que al sextuplicarla6 , lue%o
restarle - obtenemos tres
veces su edad aumentada en
+R
a! 2* b! 2- c!
22d! 2 e! 2+
22. PCuQntos
9ermanos tiene Andrea6
sabiendo que si al doble de
ellos le a%re%amos 2+6 nos da
el quntuple de ellosdisminuido en 2R
a! 1 b! > c! 3
d! @ e! 2
2. PCuQntos
bu
-
7/25/2019 Algebra 6 I
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72MATEMTICA
EDUCAR-PERU
d! * e! -*
2+. A la cantidad
de soles que tiene Eva le
a%rea%amos 4G3 para lue%o elresultado duplicarlo6 , sumarle
@6 a este ltimo resultado se le
divide por > , se obtiene cinco
unidades menos que la
cantidad inicial. PcuQl es dic9a
cantidadR
a! 2 b! 2 c!2-
d! 23 e!
2*. ?ara reparte
su fortuna entre sus tres
novios: al 2ro le da el doble de
los que le dio al do , al -ero_ mQs que al do. 4i su
fortuna fue de _ 6
PcuQnto le toc al -eroR
a! _3 b! 1 c!
*
d! > e! @
21. El sapito de
Danesa da cuatro saltos
recorriendo en cada salto -m
mQs que el anterior. 4i el
sapito recorri un total -3 m6
PcuQnto recorri en el se%undo
saltoR
a! 1 m b! 3 c!
22
d! 2+ e! 2>
2>. 4i %anase _
@ tendra el quntuple de lo
que me quedara si 9ubiera
perdido _ 26 mas _ .
PCuQnto ten%oR
a! _3 b! c!-
d! +* e! 1
23. Calcular el
menor de dos nmeros
consecutivos tal que el
quntuple del ma,or sumadocon el cuQdruple del menor
nos da 2+@.
a! 2 b! 2- c!
21
d! 2> e! 23
2@. "ados tresnmeros consecutivos se sabe
que si al cuQdruple de la suma
de los dos ma,ores le
restamos el menor nos da 3.
PCuQl es el intermedioR
a! 2 b! 22 c!
2
d! 2- e! 2+
-
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73MATEMTICA
EDUCAR-PERU
. Calcular el
menor de dos impares
consecutivos tal que el triple
del menor aumentado en >>nos da el quntuple del ma,or6
mQs +*.
a! 2 b! 22 c!
2-
d! 2* e! @
2. 4i a la sumade tres nmeros pares
consecutivos le a%re%amos el
impar si%uiente se obtiene @@.
PCuQl es el nmero par
intermedioR
a! 23 b! c!
+d! 1 e! 3
. La suma de
dos nmeros impares
consecutivos con los dos pares
que si%uen resulta -3. PCuQl
es el menor imparRa! * b! > c! @
d! 22 e! 2-
-. 4i a un
nmero par le sumamos los
dos pares que le si%uen , los
dos impares que le anteceden
resulta 2. PCuQl es el
nmeroR
a! 23 b! c!
d! + e! >
+. PBuJ nmero
es ma,or que -1 en la misma
medida en que es menor que
2R
a! >* b! +@ c!
>3d! @2 e! -@
*. PCuQl es el
nmero cu,o cuQdruple
excede a tanto como su
doble es excedido por *R
a! 1 b! > c!2
d! @ e! 2
2. Escribir una expresin
al%ebraica que corresponda a
cada una de las frases:
a! La suma de tres nmeros
naturales consecutivos6 si
-
7/25/2019 Algebra 6 I
74/92
74MATEMTICA
EDUCAR-PERU
el nmero del medio se
denota por n
b! La suma de cuatro
nmeros naturales
consecutivos si el ma,orse desi%na por (q)
c! La suma de tres nmeros
naturales6 si (x) denota al
primero , se sabe que el
se%undo es cuatro mQs6
que la mitad del primero ,
el tercero es tres veces else%undo.
. 8esuelve:
a! El doble de un nmero
aumentado en > es -.
PCuQl es el nmeroR
8pta. ={3}
b! El doble de un nmero6
aumentado en 22 es >.
PCuQl es el nmeroR
8pta. =
{3}
-. 4i (x) representa la edad
actual de Luca6 escriba una
expresin al%ebraica para
cada una de las frasessi%uientes:
a! "os veces su edad 9ace >
a5os.
b! 4iete a5os menos6 que
cinco veces su edad
c! Vres veces su edad dentrode * a5os
+. CJsar es 23 a5os menor que
?anuel. 4i la suma de sus
edades es +1 a5os. PCuQntos
a5os tiene cada unoR
8pta: 2+ , - a5os
*. La suma de cuatro nmeros
consecutivos es *. allar el
ma,or
8pta: 2+
1. alla un nmero6 cu,o
cuQdruplo disminuido en
es i%ual al nmero aumentado
en 2
8pta: +
>. Lue%o de sumar - a un
nmero6 se multiplica por 3 ,
se obtiene lo mismo que si al
nmero se le 9ubiera
-
7/25/2019 Algebra 6 I
75/92
75MATEMTICA
EDUCAR-PERU
aumentado en +* PCuQl es el
nmeroR
8pta: -
3. La suma de tres nmerosnaturales es ++. El se%undo
nmero supera al primero en
23 unidades , el tercero
supera al se%undo en @. En
consecuencia el ma,or de los
tres nmeros es:
8pta: 21
@. 'or *+ soles compre cuaderno
de - soles , de soles 9aba
tres menos que de los - soles
PCuQnto comprJ de cada unoR
8pta: 2 de - , @ de
2. Un cafJ
que se vende a >6* soles el
ilo6 se me
-
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76MATEMTICA
EDUCAR-PERU
*. allar (,) en :2
134
2
3
2
+=
+y
a! +2
1
b! 3 2
1
c! -7
4
d! *2
1
e! 2
1. La edad de "avid es el doblede la edad de 8oberto6 quienes - a5os ma,or que 4er%io. 4i
4er%io tiene (+a) a5os PCuQles la edad de "avidR
a! 3 ab! ac! 2+ a d! 3a 1e! 3a & 1
>. 8esolver:3x x 2! = > x & ! -x
2! 2-
!) &b! +c! -d! &2e! .A.
3. 4i (n) es natural. PCuQl de lossi%uientes %rupos representatres enteros consecutivosparesR
a! n : n 2!/ n !b! n : +n / 1nc! n: n ! : n +!d! n/ n ! : n +!e! n : n 2!/ n !
@. 4i al sJxtuplo de lo que ten%ole resto 36 entonces mequedara + 33. PCuQntoten%oR
a! >*
b! 13+c! >+d! 1@*e! .A.
2. Cinco veces un nmero es 2unidades mQs que el triple delmismo nmero. allar elcuQdruplo del nmero
a! b! +c! -1d! +) 21
22. allar un nmero sabiendoque la quinta parte del cubode su diferencia con - es &*
a! &2
b! -c! &d! >e! *
2. 4i tu piensas en un nmero6cu,a mitad es i%ual a cuatrounidades mQs que una terceraparte del nmero que tienesen mente. PBuJ nmero esR
a! 1b! 2c! +d! -1e! +3
-
7/25/2019 Algebra 6 I
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77MATEMTICA
EDUCAR-PERU
2-. Lus tiene 2+ a5os menos que?arco , ambas edades suman*1 a5os se deduce que:$. Lus tiene 2 a5os$$. Lus tiene -* a5os$$$. ?arcos tiene 23 a5os
a! 4lo $b! 4lo $$c! $ , $$$d! 4lo $$$e! .a.
2+. 8esolver:
x 2@ = 3
7x
*6 dar comorespuesta: xG1
a! 2+b! 2c! d! +e! >
2*. allar el valor de (x) en:
2
5
2
1
3
8 xx =+ / dar como
respuesta (x)
a! @b! 3c! 23d! 2e! 2
21. allar el valor de (x) en lasi%uiente ecuacin:
4
53
3
4 xx= &
a! 1b! 3c! 2d! e! 2
2>. 4i multiplicamos el cuadradode la mitad de un nmero porel cuQdruplo de la terceraparte del mismo6 , lue%o lodividimos entre un tercio delmismo nmero6 obtendremos:
a! La mitad del nmerob! Un tercio del nmeroc! Un cuarto del nmerod! El mismo nmeroe! El cuadrado del nmero
23. allar el valor de (x) en lasi%uiente ecuacin:
3
5
22
3
6
+=+ xx
a! Hb! Mc! &2G+d! &2Ge! 2
2@. 8esolver:3
2
4
3
6+=+ x
x
"ar como respuesta *x!
a! 2G2b! 2G*c! 2G-d! He! 2G2
. 8esolver:
1112
1
2
1
2
1
2
1x & 2 =
a! *b! 2c! 2*d! -e!
NI&EL II
-
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78MATEMTICA
EDUCAR-PERU
2. "ada la expresin: allar (x)x & [- x&2!&2!+]= x -&!&+!
a! 23b! 2+
c! 3d! &>e! &3
. 8esolver:*x 3&x! &- *I-x! = &1Ix >&x!a! *G-b! &-Gc! 2G-d! &G-e! G-
-. 8esolver:1x>!*x&+! = 1*x& 2!a! 2b! c! -d! +e! *
+. "e aqu a 2* a5os6 4aratendrQ cuatro veces la edadque tiene a9ora. PCuQntosa5os tieneRa! +b! *c! -d! e! 3
*. La suma de tres nmeros
consecutivos pares es *+.allar el ma,or:a! 21b! 23c! d! e! +
1. La suma de tres nmerosconsecutivos impares es *2.allar el menor.
a! 2-b! 2*c! 2>d! 2@e! 2
>. La edad de Danesa dentro de3 a5os serQ de a5os. PBuJedad tiene actualmenteRa! 2 a5osb! 2- a5osc! 2+ a5osd! 2* a5ose! 21 a5os
3. La edad de atal, 9ace * a5osera de 2 a5os. PBuJ edadtiene actualmenteRa! 2* a5osb! 2 a5osc! 2+ a5os
d! 2> a5ose! 23 a5os
@. "ividir +* en dos partes talesque una de ellas es *unidades menor que la otra69alla una de las partesa! 2*b! *c! -d! -*
e! +
2. allartres nmeros consecutivostales que dos veces el menorsea *> menos que tres vecesel ma,or. "ar como respuestauno de los nmeros!a! >3b! 3c! 3+d! 31e! 3-
-
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79/92
79MATEMTICA
EDUCAR-PERU
Una inecuacin es unadesi%ualdad en la que 9a, una
inc%nita variable! , que slo se
veri;ca no cambia la
desi%ualdad! para el conjunto de
valores de la inc%nita.
Las inecuaciones constan de
miembros vinculados mediantelas relaciones ma,or `! ma,or
i%ual!menor ! o menor
i%ual!.
O#ser2a la expresin:
-er /ie/#ro *do /ie/#ro
x = * K
Si ace/os: entonces
x = 1
x = 2 2 1
x = 1
x = - - 1
'ero si 9acemos:
x = + + = 1
x = * * ` 1
Sol'cin de 'na Inec'acin
4on todos los valores de la
inc%nita que veri;can la
desi%ualdad.'ara 9allar la solucin de una
inecuacin se 9ace uso de las
propiedades de las
desi%ualdades.
2. 4i a ambos miembros de una
inecuacin se les suma o resta
un mismo nmero la relacinse mantiene para m
x 23x m 23 mx I m 23 I m
. 4i a ambos miembros de una
inecuacin se les multiplica o
divide por un mismo nmero
natural dictando de cero6 la
desi%ualdad se mantiene para
m {}
, ` 3, x m ` 3 x m, : m ` 3 : m
Resol'cin de inec'acionesde pri/er ?rado con 'na2aria#le'ara resolver inecuaciones se
procede de forma similar que con
las ecuaciones. 4e transponen
tJrmino , se reali
-
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-
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81MATEMTICA
EDUCAR-PERU
C.4. = {
}
-. n 23: +* : *2
C.4. = {
}
+. x - x >2 > 222
C.4. = {
}
*. x +-
+
-+
& -
C.4. = {
}
1. n -- x > * 12
C.4. = {
}
>. x 1 > -+x 2
C.4. = {
}
3. m *- & @1 *x *
C.4. = {
}
@. p >@ & +- *- I *
C.4. = {
}
2. *x 3 +x
-
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82/92
82MATEMTICA
EDUCAR-PERU
C.4. = {
}
22. x & + x *
C.4. = {
}
2. x I 22 *I --
C.4. = {
}
2-. a I 10 2: >
C.4. = {
}
2+. m & 2 1: -
C.4. = {
}
2*. x I +0 -1 : -
C.4. = {
}
21. m I 2 2 : *
C.4. = {
}
2>. m & -2 +* : 2*
-
7/25/2019 Algebra 6 I
83/92
83MATEMTICA
EDUCAR-PERU
C.4. = {
}
23. x & @0 21 : *
C.4. = {
}
2@. , & -2
+-
: -
C.4. = {
}
. x & 2* 23 : --
C.4. = {
}
2. , I * : * -+: >
C.4. = {
}
. m I 1+ : * 2+1 & 2
C.4. = {
}
-. n I 1 : 2 32 & @
C.4. = {
}
+. a I 3 : +- *: +
-
7/25/2019 Algebra 6 I
84/92
84MATEMTICA
EDUCAR-PERU
C.4. = {
}
*. , -1 : @ *1 : >
C.4. = {
}
1. x *+ I > ` +-: 3
C.4. = {
}
>. x I -1 : - ` 21 & 22
C.4. = {
}
3. , -1 : @ *1 : >
C.4. = {
}
@. m 20 x 1 @ x 21
C.4. = {
}
-. a 23 I 22 ` 2& 23
C.4. = {
}
-2. x 3 I > ` 2 & @
-
7/25/2019 Algebra 6 I
85/92
85MATEMTICA
EDUCAR-PERU
C.4. = {
}
-. n I @0 x -2 ` +3 7 -
C.4. = {
}
--. , I +2 x +0 ` 2* : *
C.4. = {
}
-+. m I 2*
x >
` 2- & 22
C.4. = {
}
-*. x I 1+ : * ` -1 : -
C.4. = {
}
4ea la inecuacin:
x *+ I > +1 I -
x * 2@
'or transposicin de tJrminos
x * 2@
x 2@ & *
x 2+
x 2
14
x >
C.4. ={/ 2/ / -/ +/ */ 1
}
4ea la inecuacin:
-x I 1- : - : 10
-x I >
-x > -x >
Inecuacin de la forma
ax b c y ax b c
-
7/25/2019 Algebra 6 I
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86MATEMTICA
EDUCAR-PERU
x 3
27
x @
C.4. = {/ 2/ / -/ +/ */ 1/ >/ 3}
4ea la inecuacin:
*x 2@ & 22` >2.
*x 3 ` 3
*x ` 3 & 3
*x `
x `5
20
x ` +
C.4. = {*/ 1/ >/ 3/ }
4i fuera el caso x +6 entonces
el C.4. = {+/ */ 1/ >/ 3/ }
4ea la inecuacin:
-n & - : * 2+@ & 2
-n & 2 *
-n * 2
-n 1
n 3
6
n
C.4. = {/ -/ +/ */ 1/ }
2. 1, 32 : -- -2. -
. +a @I >+ >I 1
-. *n I *1 : > *.
+. >x I + : +
*. -x 2 >x > I *x
-
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87MATEMTICA
EDUCAR-PERU
1. - x 2! *x
>. m 1
: 2 *1 : >
3. +, +
I + 1
I +
@. @x I +* : - 3+ : >
2. 2a & 1: + *&
alla en los nmeros naturales el
conjunto solucin de cada
inecuacin.
2! *x 3 x
! x I + x *
-!*x I *x I 3x >
+! *x I 3 >21 x
YO LO PUEDO HACERYO LO PUEDO HACER
-
7/25/2019 Algebra 6 I
88/92
88MATEMTICA
EDUCAR-PERU
*! 2* - x & *! x 2
alla el c.s en que satisfacecada una de las si%uientesinecuaciones2! +x I + x 13 Ix
a! c.s=X@/2/22...Yb! c.s=X/2...3Y
c! c.s=X2/22/2....Yd! c.s=X22/2/2-....Ye! n.a.
! 1a 2 ** a a! c.s =X2-/2+...Yb! c.s=X/...2-Yc! c.s=X2+/2*...Yd! c.s=X/....2+Ye! n.a.
-! *x + +x 23+a! c.s.=X/...2@Yb! c.s=X2@/....Yc! c.s= X/....Yd! c.s=X/...Ye! n.a
+! 2x +! 3x 2!a! c.s.=X/....22Yb! c.s=X2/22....Y
c! c.s=X/....2Yd! c.s =X22/...Ye! n.a.
*! 312128
++x
a! c.s=X/... +Yb! c.s=X/... Yc! c.s= X+/*/...Yd! c.s=X*/1/...Ye! n.a
1! x4
3! -x&
6
1!
a! c.s=X+/*.... Yb! c.s=X/2/Yc! c.s=X/2Yd! c.s=X-/+/ Ye! c.s=Xn.aY
>! -x I @ x ` 22 I -xa! c.s=X23/2@/... Yb! c.s=X/2/... 23Yc! c.s=X2@//.... Yd! c.s=X/2/.... 2@Ye! n.a.
3! -x 1! x 2-!a! XYb! X/2/Yc! X/2Yd! X/2//-Ye! X2Y
@! )4(2
11)4(
2
1>+ xx
a! X3... Yb! X>/...Yc! X/...3Yd! X/... >Ye! n.a
2! 442
-
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89/92
89MATEMTICA
EDUCAR-PERU
-
7/25/2019 Algebra 6 I
90/92
90MATEMTICA
EDUCAR-PERU
Restamos 5 a
las tres artes
INECUACIONES E TRES
PARTES
En las inecuaciones de tres
partes se cumple: (si sumas o
restas un nmero a una de las
partes6 debes sumar o restar el
mismo nmero a las otras dos
partes para que la inecuacin no
altere su si%ni;cado)
(si multiplicas o divides por un
nmero positivo a una de las
partes6 debes multiplicar o dividir
por el mismo nmero a las otras
dos partes para que la inecuacin
no altere su si%ni;cado)
OBSER&A 9C3;O SE
RESUEL&EEjemplo:
2! allar el c.s de la inecuacin:
22 -x I + -
22+-xI++-+
2*-x -1
3
36
3
3
3
15
/
/< x
* x 2
c.s=X1/>/3/@/2/22/2Y
! allar el c.s. de la inecuacin.
1* +x * 3*
1* I * +x*I * 3*&*
4
80
4
4
4
60 /23/2@Y
alla en los meros el
conjunto solucin de cada
inecuacin:
2! -+ *x I 1 1+
! 2+3 >x 22@
! 4 ! ! 3!" .
D##*#* " 3! ! " !"
!ividiendo
entre " a las
tres artes
YO LO PUEDO HACERYO LO PUEDO HACER
-
7/25/2019 Algebra 6 I
91/92
91MATEMTICA
EDUCAR-PERU
-! 23 1x I 2 2
+! 2@ 22x 3 21
alla en los nmeros naturales el
conjunto solucin de cada
inecuacin:
2! 3 3x I 2 23
a! c.s=X*/...-Y
b! c.s=X1....-Y
c! c.s=X/...*Y
d! c.s=X/...1Y
! 22x I @ 2-3
a! c.s=X/...+Y
b! c.s=X/...1Yc! c.s=X/...*Y
d! c.s=X-/...1Y
-! *2 -*x 1 -@2
a! c.s=X1/...2Y
b! c.s=X1/...2Y
c! c.s=X>/...2Yd! c.s=X>/...22Y
+! -> -x I * **
a! c.s=X2+/...23Y
b! c.s=X/...2+Y
c! c.s=X2+/...2@Y
d! c.s=X/...2*Y
*! 31 2*x * 3@
a! c.s=X*2Y
b! c.s=X*Y
c! c.s=X/...*Y
d! c.s=X*/...Y
1! 4i:A es el c.s de >3 +x&1
22+ ,6
# es el c.s de 2-3
*x32>3 Entonces : A B es
a! X1/>Y
b! X1/>/3Y
c! X1/>/3/@/-Yd! X1/>/3/@Y
-
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92MATEMTICA
e! n.a.