algebra lineal unidad 6

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  • 8/17/2019 Algebra Lineal Unidad 6

    1/31

    UNIDAD 6

    ORTOGONALIDAD  Y 

    ORTONORMALIDAD

    Objetivos:

    Al nalizar la unidad, el alumno:

    • Determinará cuándo un conjunto de vectores es ortogonal u ortonormal.• Obtendrá las coordenadas de un vector relativas a una base ortogonal y

    a una base ortonormal.

    • Construirá la matriz de transición entre bases ortonormales.• Construirá bases ortonormales mediante el proceso de Gram-Schmidt.

  • 8/17/2019 Algebra Lineal Unidad 6

    2/31

  • 8/17/2019 Algebra Lineal Unidad 6

    3/31

    Álgebralineal

    205

    Introducción

    E

    n la unidad anterior analizamos el concepto de ángulo entre dos vectores;

    en el plano cartesiano  R2 es frecuente encontrar vectores cuyo ángulo

    es de 90°, estos vectores, se dice, son perpendiculares u ortogonales.En esta unidad vamos a generalizar el concepto de ortogonalidad a espacios

    vectoriales cualesquiera.

    Se analizó también el concepto de vectores unitarios; al unir ambos

    conceptos obtendremos el concepto de vectores ortonormales. Ahora veremos

    las propiedades de estos vectores y las ventajas de trabajar con una base cuyos

    vectores son ortonormales, así como un procedimiento mediante el cual se

     pueden construir dichas bases.

    6.1. Definición de conjunto de vectores

    ortogonales. Bases ortogonales

      Conocemos a  R2  como el concepto de vectores cuyo ángulo es de 90°.

    Ahora generalizaremos este resultado con la definición 6.1.

      Definición 6.1. Sea V   un espacio vectorial con producto interno y u,  v 

    vectores de V . Se dice que u y v son ortogonales si su producto interno es cero,

    es decir 

    (u, v) = 0

      Comprobaremos que la definición anterior es equivalente en R2 al tener

    un ángulo de 90° o de 270°. De ser comprobable la tomaremos como definicióngeneral y analizaremos su significado y las propiedades que tienen en otros

    espacios vectoriales.

    Ejemplo 1

    a) Consideremos los vectores u = (2, 0) y v = (0, 3) en R2

    Recordemos la definición de vectores ortogonales: son aquellos que tienen

    entre ellos un ángulo de 90° o de 270° (π/2 o 3π/2). (Definición 5.8)

  • 8/17/2019 Algebra Lineal Unidad 6

    4/31206

    Unidad 6

    Vamos a encontrar el ángulo entre u y v.

    cos( , ) ( , )

    ( )( )ϕ  =

      ⋅=

    + += = =

    u v

    u v

    2 0 0 3

    2 0 0 3

    0

    2 3

    0

    60

    2 2 2 2

      por tanto ϕ  = cos –1 0 =

    90° o 270°

    Entonces u y v son ortogonales. Observemos que el producto interno de u 

    y v es cero.

    Podemos concluir que estas dos definiciones son equivalentes.

     b)Consideremos ahora el espacio vectorial C[0, 2π].

    Sean f (t ) = sen t  y g (t ) = cos t  en C[0, 2π].

    Entonces (  f ,  g ) =  f t g t dt t t dt t ( ) ( ) ( ) |

    0

    2120

    2 2

    0

    2

    0π π 

      π 

    ∫ ∫= = =sen cos sen  por lotanto podemos asegurar que f  y g  son ortogonales.

    c) Sea D2 el espacio vectorial de las matrices diagonales de orden 2×2 con

    el producto interno definido como la suma de los productos de los elementos de

    la diagonal principal. ( A, B)=a11b11+a22b22 (véase unidad 5, sección 5.3 ejemplo10a).

    Sean A =1 0

    0 2

     

     

     

       y B =

    − 

     

     

     

    2 0

    0 1 .

    Vamos a probar que son ortogonales:

    ( A, B) = (1)(–2) + (2)(1) = –2 + 2 = 0 y por tanto son ortogonales.

      Basados en lo anterior, podemos tener un conjunto de vectores que

    sean ortogonales, pero, ¿tendrán propiedades especiales?

    Consideremos la definición 6.2.

    Definición 6.2. Sea V  un espacio vectorial con producto interno. Sea

    {v1, v

    2, ..., v

     n} un conjunto de vectores de V , entonces es un conjunto ortogonal 

    si satisface que

    (vi, v

     j) = 0 para i  ≠  j 

  • 8/17/2019 Algebra Lineal Unidad 6

    5/31

    Álgebralineal

    207

    Es decir, cuando cada uno de los vectores del conjunto es ortogonal a los

    demás elementos.

    Daremos algunos ejemplos de conjuntos ortogonales, especialmente en  R2 

    y R3.

    Ejemplo 2

    a) Considera los vectores de R3 i  = (1, 0, 0), j  = (0, 1, 0), k  = (0, 0, 1).

    A continuación probaremos que forman un conjunto ortogonal:

    (i , j ) = (1)(0) + (0)(1) + (0)(0) = 0

    (i , k ) = (1)(0) + (0)(0) + (0)(1) = 0

    ( j , k ) = (0)(0) + (1)(0) + (0)(1) = 0

    de donde forman un conjunto ortogonal.

    Sea D3 el espacio vectorial de las matrices diagonales de 3×3,

    Sean A =

    1 0 0

    0 0 0

    0 0 0

     

     

     

     

    , B =

    0 0 0

    0 5 0

    0 0 0

     

     

     

     

    , C  =

    0 0 0

    0 0 0

    0 0 3

     

     

     

     

     

    Probaremos que forman un conjunto ortogonal en D3.

     

    ( A, B) = (1)(0) + (0)(5) + (0)(0) = 0

    ( A, C ) = (1)(0) + (0)(0) + (0)(–3) = 0( B, C ) = (0)(0) + (5)(0) + (0)(–3) = 0

    Así concluimos que forman un conjunto ortogonal.

    Considerando el espacio euclideano  R2, si dos vectores ortogonales tienen

    entre ellos un ángulo de 90° o de 270°, ¿serán linealmente independientes?

    Recordemos que en R2 para que dos vectores fueran linealmente dependientes,

    uno tenía que ser múltiplo del otro, y por tanto el ángulo que formaríanentre ellos sería de 0° o 180°. Esto nos lleva a enunciar que dos vectores

    en  R2  ortogonales, deben ser linealmente independientes. ¿Sucederá esto con

    cualquier espacio vectorial? Veamos el teorema 6.1.

  • 8/17/2019 Algebra Lineal Unidad 6

    6/31208

    Unidad 6

    Teorema 6.1. Sea V  un espacio vectorial con producto interno. Sea S = {v1,

    v2, ..., v

     n} un conjunto finito de vectores ortogonales en V . Entonces S  es un

    conjunto linealmente independiente.

    Daremos un ejemplo de este teorema en un espacio vectorial diferente

    de  R2.

    Ejemplo 3

    Consideremos el espacio vectorial D3 de las matrices diagonales de 3×3.

    Retomando las matrices A, B, C  del ejemplo 2.

     A =

    0 0 0

    0 0 0

    0 0 3

     

     

     

     

     

    , B =

    1 0 0

    0 0 0

    0 0 0

     

     

     

     

    , C  =

    0 0 0

    0 5 0

    0 0 0

     

     

     

     

    Ya comprobamos en este ejemplo que el conjunto de las matrices { A, B, C }

    es ortogonal, ahora vamos a probar que son linealmente independientes.Tomemos una combinación lineal de ellas igual a cero:

    c1 A + c

    2 B + c

    3C  = 0

     c1

    1 0 0

    0 0 0

    0 0 0

     

     

     

     

    + c2

    0 0 0

    0 5 0

    0 0 0

     

     

     

     

     + c3

    0 0 0

    0 0 0

    0 0 3

     

     

     

     

     

    = 0

    entonces

    c1 0 0

    0 0 0

    0 0 0

     

     

     

     

     +

    0 0 0

    0 5 0

    0 0 0

    2c

     

     

     

     

    +

    0 0 0

    0 0 0

    0 0 3 3−

     

     

     

     

    c

     =

    0 0 0

    0 0 0

    0 0 0

     

     

     

     

    Donde c1 = 0; 5c

    2 = 0; –3c

    3 = 0; por tanto, c

    1 = c

    2 = c

    3 = 0 siendo el conjunto

    linealmente independiente.

    Lo que nos lleva a considerar un conjunto como base ortogonal sólo con pedirle que genere al espacio vectorial.

  • 8/17/2019 Algebra Lineal Unidad 6

    7/31

    Álgebralineal

    209

    Definición 6.3. Sea V  un espacio vectorial con producto interno. Sea B un

    conjunto ortogonal de vectores en V. Entonces B es una base ortogonal de V  si

    V = gen B

    Consideremos como ejemplo la base canónica de R2.

    Ejemplo 4

    (Ver unidad 4, sección 4.3, ejemplo 2a.)

    Sea B = {i , j }, con i  = (1, 0) y  j  = (0, 1) la base canónica de R2

    Probaremos que es un conjunto ortogonal:

    (i , j ) = (1)(0) + (0)(1) = 0; entonces B es un conjunto ortogonal pero como B 

    genera a R2, entonces podemos asegurar que B es una base ortogonal para R2.

    Vamos ahora a unir el teorema 4.6 (cualesquiera n  vectores linealmente

    independientes en un espacio vectorial de dimensión n forman una base para

    el espacio), con el teorema 6.1 para obtener un resultado que nos indica quecualquier espacio vectorial finito tiene una base ortogonal.

     Teorema 6.2 Sea V  un espacio vectorial finito de dimensión  n. Sea

    B = {v1, v

    2, ..., v

     n} un conjunto ortogonal de n vectores, entonces B es una base

    ortogonal de V .

    Este teorema nos da una condición para tener una base ortogonal de unespacio vectorial de dimensión finita. Veamos algunos ejemplos:

    Ejemplo 5

    Consideremos el espacio vectorial  D2 de las matrices diagonales de orden

    2×2.

    Vamos a probar que la dimensión de  D2 es 2. Sea  A una matriz de  D

    2,

     A =a

    b

    0

    0

     

     

     

       entonces  A se puede escr ibir como

  • 8/17/2019 Algebra Lineal Unidad 6

    8/31210

    Unidad 6

     A =a

    b

    0

    0

     

     

     

       = a

    1 0

    0 0

     

     

     

       + b

    0 0

    0 1

     

     

     

      ;

     por tanto el conjunto formado por1 0

    0 0

    0 0

    0 1

     

     

     

     

       

     

     

     

    ;  genera a D2, lo que

    nos indica que la dimensión de D2 es 2.

    En el ejemplo 1c) se probó que las matrices A =1 0

    0 2

     

     

     

       y B =

    − 

     

     

     

    2 0

    0 1 son

    ortogonales, y como son dos forman una base ortogonal para D2.

    Ejercicio 1

    1. Determina si los siguientes pares de vectores de R3 son ortogonales o no:

    a) u = (3, 2, –4), v = (2, –3, 4)

     b) u = (–1, 0, 0), v = (0, 0, –1)

    c) u = (–2/3, 1/2, 1), v = (1/2, 2/3, 0)

    d) u = (0, –5, 0), v = (4, 1, 0)

    2. Encuentra los vectores en  R2  que sean ortogonales a cada uno de los

    siguientes vectores:

    a) u = (2, –3)

     b) v = (–3, 4)

    c) w = (2, 3)

    3. Determina si los siguientes conjuntos son ortogonales o no:

    a) {(3, –1), (–1, –3), (1, 0)}

     b)1 0

    0 2

    0 0

    0 0

    2 0

    0 1

     

     

     

     

       

     

     

      −

     

     

     

     

    , ,

     

    4. Determina si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas:

    a) {(1, 0, 0), (0, 0, 1)} es una base ortogonal para R3.

     b) {(1, 1, 1), (2, 2, 2); (0, 0, 0)} es una base ortogonal para R3.

    c) Todo conjunto linealmente independiente es ortogonal.d) Todo conjunto ortogonal es linealmente independiente.

    e) Si V  es un espacio vectorial de dimensión n, un conjunto ortogonal de m 

    vectores es una base para V.

  • 8/17/2019 Algebra Lineal Unidad 6

    9/31

    Álgebralineal

    211

    6.2. Definición de conjunto de vectores

    ortonormal. Bases ortonormales

    En la sección anterior determinamos cómo obtener un conjunto ortogonal

    de vectores. En la unidad 5 analizamos vectores cuya norma era 1, es decir,vectores unitarios que tienen importantes propiedades además de un manejo

    más fácil.

    En esta sección nos ocuparemos de las bases ortonormales, es decir, de

    conjuntos de vectores ortogonales con norma 1.

    Consideremos la definición 6.4 (que es una ampliación de la definición 6.1).

    Definición 6.4. Sea V  un espacio vectorial con producto interno y u, v dos

    vectores de V , entonces, u y v son vectores ortonormales si son ortogonales y

    su norma es 1, es decir, (u, v) = 0 y además u = 1, v = 1

    Vamos a dar un ejemplo de esta definición en R2 y en D3.

    Ejemplo 6

    a) Consideremos en  R2  los vectores i  = (1, 0) y  j  = (0, 1), veremos si son

    ortonormales.

    (i , j ) = (1)(0) + (0)(1) = 0, por tanto son ortogonales;

    u   = +1 02 2 = 1 y v   = +0 12 2 = 1, son unitarios

    De ambos resultados decimos que i  y j  son ortonormales.

     b) Sean A =

    1 0 0

    0 0 0

    0 0 0

     

     

     

     

    , B =

    0 0 0

    0 1 0

    0 0 0

     

     

     

     

     en D3; veremos si son ortonormales.

    ( A, B) =

    1 0 0

    0 0 0

    0 0 0

     

     

     

     

    0 0 0

    0 1 0

    0 0 0

     

     

     

     

    = (1)(0) + (0)(1) + (0)(0) = 0 y son ortogonales;

  • 8/17/2019 Algebra Lineal Unidad 6

    10/31212

    Unidad 6

     A A A= = + + =( ), 1 0 0 12 2 2   y  B B B= = + + =( ), 0 1 0 12 2 2  

    de donde son unitarias.

    Uniendo ambos resultados tenemos que A y B son ortonormales.

    Del mismo modo que en la sección anterior, podemos tener un conjunto de

    vectores ortonormales. Consideremos la definición 6.5.

     Definición 6.5. Sea V   un espacio vectorial con producto interno y sea

    S = {v1, v

    2, ..., v

     n} un conjunto de vectores de V ; entonces S es un conjunto

    ortonormal si es un conjunto ortogonal y todos los vectores de S son unitarios.

    Es decir, (vi, v j) = 0 si i ≠  j y además vi = 1 para i = 1, 2,... n

    Vamos a dar un ejemplo en R3 en el cual se encuentra la definición 6.5 de

    un conjunto ortonormal.

    Ejemplo 7

    Consideremos en  R3 el conjunto de vectores i  = (1, 0, 0);  j  = (0, 1, 0);

    k  = (0, 0, 1).

    Veamos si el conjunto {i ,  j , k }es ortonormal.

    En el ejemplo 2a) probamos que el conjunto {i ,  j ,  k ) es un conjunto

    ortogonal, por lo que nos faltaría probar que todos son vectores unitarios.

    Consideremos las normas de cada uno de ellos:

    i j k = + + = = + + = = + + =1 0 0 1 0 1 0 1 0 0 1 12 2 2 2 2 2 2 2 2, ,

    Todos son unitarios, por lo que el conjunto es ortonormal.

    De igual manera podemos pensar en tener bases ortonormales (definición

    6.6) que, como veremos más adelante, poseen propiedades muy especiales y

    son bastante más fáciles de manejar que cualquier otra base.

  • 8/17/2019 Algebra Lineal Unidad 6

    11/31

    Álgebralineal

    213

    Definición 6.6. Sea V  un espacio vectorial con producto interno y B una

    base para V.

    Entonces B se llama base ortonormal de V  si es una base y es un conjuntoortonormal.

    En el ejemplo 7 tenemos un conjunto ortonormal para  R3, {i ,  j ,  k ), y

    sabemos que este conjunto es la conocida base canónica, por tanto es una base

    ortonormal para R3.

    Las bases ortonormales nos permiten definir un tipo especial de matriz, lo

    cual haremos a continuación.

    Definición 6.7. Sea  A  una matriz de  n× n, entonces  A  se llama matrizortogonal si

      A –1 = AT

    Daremos un ejemplo en M 3×3

    Ejemplo 8

    Consideremos la matriz de  M 3×3

      A  =

    1 2 0 1 2

    1 2 0 1 2

    0 1 0

    / /

    / /

     

     

     

     

     

      veamos si es

    ortogonal:

     AT =

    1 2 1 2 0

    0 0 1

    1 2 1 2 0

    / /

    / /

     

     

     

     

     

    , entonces

     A AT =

    1 2 0 1 2

    1 2 0 1 2

    0 1 0

    1 2 1 2 0

    0 0 1

    1 2 1 2 0

    / /

    / /

    / /

    / /

     

     

     

     

     

      −

     

     

     

      

    =

     

     

     

     

    1 0 0

    0 1 0

    0 0 1

    Donde A –1 = AT y por tanto A es ortogonal.

  • 8/17/2019 Algebra Lineal Unidad 6

    12/31214

    Unidad 6

      Teorema 6.3. Una matriz Q  de orden  n× n  es ortogonal, si y sólo si, suscolumnas forman una base ortonormal para R n.

    El teorema 6.3 nos brinda una manera de construir matrices ortogonales

    usando conjuntos de vectores ortonormales.

    Ejemplo 9

    Usando este teorema podemos afirmar que la matriz  A  =

    1 0 0

    0 1 00 0 1

     

     

     

     

      es

    ortogonal pues sus columnas forman una base ortonormal para R3.

    Ejercicio 2

    1. Determina si los siguientes vectores son ortonormales o no. Si no lo son,

    describe cuál es la propiedad que no se cumple en cada caso:

    a) u = (1, 0) y v = (0, 3)

     b) u = (2/3, 1/3, 2/3) y v = (–1, 0, 1)

    c) u = (1/ 2 , 1/ 2 , 0) y v = (0, 1, 0)

    2. Encuentra una base ortonormal para R4(generaliza la base de R3).

    3. Determina si la matriz A =  2 3 2 3 1 3

    2 3 1 3 2 3

    1 3 2 3 2 3

    / / // / /

    / / /

    −−

     

     

     

     

     es ortogonal (utiliza el

    teorema 6.3).

    6.3. Coordenadas de un vector relativas a una

    base ortogonal y a una base ortonormalEn esta sección manejaremos las coordenadas de un vector relativas a una

    base ortogonal  y a una base ortonormal , veremos sus diferencias entre ellas y

  • 8/17/2019 Algebra Lineal Unidad 6

    13/31

    Álgebralineal

    215

    con otras bases cualesquiera. Usaremos el espacio euclideano Rn para nuestros

    ejemplos.

    Sea B = {(1, –1), (1, 1)}una base ortogonal para R2. Con x = ( x, y) un vector

    de  R2. Como B es una base, existen c1 y c

    2 escalares, tal que x = ( x, y) = c

    1(1,

     –1) + c2(1, 1) de donde tenemos que c1 = ( x –  y)/2 y c2 = ( x+y)/2

    En este caso obtuvimos las coordenadas del vector porque conocíamos los

    vectores de la base; sin embargo, ¿habrá una manera general de encontrar las

    coordenadas de un vector aun sin conocer explícitamente los vectores de la

     base?

    El teorema 6.4 nos determina la respuesta:

     Teorema 6.4 Sea V  un espacio vectorial con producto interno y sea B = {e1,

    e2,...,e

     n} una base ortogonal de V . Si u es un vector de V  entonces

    u =( , )

    ( , )

    u e

    e e

    1

    1 1

    e1 +

    ( , )

    ( , )

    u e

    e e

    2

    2 2

    e2+ ... +

    ( , )

    ( , )

    u e

    e e

    n

    n n

    e n

    Daremos un ejemplo en R3

    :

    Ejemplo 10

    Considera el conjunto  B = {e = (2, 2, –1), f = (2, –1, 2), g = (–1, 2, 2)}; es

    una base ortogonal para R3.

    Sea u = (1, 2, –1) un vector de  R3, entonces vamos a usar el teorema 6.4,

     para encontrar las coordenada del vector u con respecto a la base B.

    (u, e) = (1, 2, –1)(2, 2, –1) = 2 + 4 + 1 = 7 (e, e) = (2, 2, –1)(2, 2, –1) = 4 + 4 +1 = 9

    (u, f ) = (1, 2, –1)(2, –1, 2) = 2 – 2 – 2 = –2 (f , f ) = (2, –1, 2)(2, –1, 2) = 4 + 1 + 4 = 9

    (u, g) = (1, 2, –1)(–1, 2, 2) = –1 + 4 – 2 = 1 (g, g) = (–1, 2, 2)(–1, 2, 2) = 1 + 4 + 4 = 9

     por tanto las coordenadas de u con respecto a B son (u) B 

    = (7/9, –2/9, 1/9);

    es decir,

    (1, 2, –1) = 7/9 (2, 2, –1) – 2/9 (2, –1, 2) + 1/9 (–1, 2, 2)

  • 8/17/2019 Algebra Lineal Unidad 6

    14/31216

    Unidad 6

    Sin embargo, ¿pasará lo mismo con las bases ortonormales?

    En el caso de las bases ortonormales las normas de todos los vectores de

    la base es 1, y por tanto las coordenadas de un vector se simplifican como lo

    indica el siguiente teorema.

    Teorema 6.5. Sea V  un espacio vectorial con producto interno y B = {e1,

    e2,...,e

     n} una base ortonormal para V. Si u es cualquier vector de V  entonces:

    u = (u, e1) e

    1 + (u, e

    2) e

    2

     + ... + (u, en)e

    n

    Usaremos el teorema 6.5, para encontrar las coordenadas de un vector conreferencia a una base ortonormal de R3.

    Ejemplo 11

    Consideremos en R3 el conjunto B formado por los vectores

    a  = ( / , / , )1 2 1 2 0 ; b  = (0, 0, 1) y c  = ( / , / , )1 2 1 2 0− ; este

    conjunto constituye una base ortonormal para R3 (ejemplo 8).

    Sea x = (2, –4, 1) un vector de R3. Vamos a encontrar las coordenadas de x 

    con respecto a la base B.

    (x, a) = (2, –4, 1)  ( / , / , ) / / /1 2 1 2 0 2 2 4 2 0 2 2= − + = −

    (x, b) = (2, –4, 1)(0, 0, 1) = 0 + 0 +1 = 1

    (x, c) = (2, –4, 1)  ( / , / , ) / / /1 2 1 2 0 2 2 4 2 0 6 2− = + + =

    Por tanto las coordenadas de x con respecto a B son (x) B = ( −2 2/ , 1, 6 2/ )

    Ejercicio 3

    1. Considera la base ortogonal B = {e = (2, 2, –1), f = (2, –1, 2), g = (–1, 2, 2)}.

    Encuentra las coordenadas con respecto a esta base de los siguientes

    vectores:

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    15/31

    Álgebralineal

    217

    a) u = (1, 0, 0)

     b) v = (0, –3, 0)

    c) x = (2, 1, –1)

    2. Considerando la base ortonormal  B = {a = ( / , / , )1 2 1 2 0 ; b = (0,

    0, 1); c = ( / , / , )1 2 1 2 0− }; encuentra las coordenadas con respecto a esta

     base de los siguientes vectores:

    a) u = (2, –1,4)

     b) v = (4, –1, 0)

    c) w = (0, 0, –3)

    6.4. Matriz de transición entre basesortonormales

    En la sección anterior encontramos una base ortonormal para R3:

     B = {a  = ( / , / , )1 2 1 2 0 ; b  = (0, 0, 1); c  = ( / , / , )1 2 1 2 0− };

    sabemos que la base canónica también es una base ortonormal para  R3. Ahora

    vamos a encontrar la matriz de transición entre las dos bases y analizar sus

     propiedades.

    Sea B1 = {(i  = (1, 0, 0); j  = (0, 1, 0); k  = (0, 0, 1)} y

     B2 = {a = ( / , / ,1 2 1 2− ; b = (0, 0, 1); c = ( / , / , )1 2 1 2 0− }; entonces

    la matriz de transición de  B1  a  B

    2  se obtiene definiendo como columnas las

    coordenadas de los vectores de B1 en función de la base B

    2(ver definición 4.7).

    Procedemos a encontrar las coordenadas de i , j  y k  en términos de a, b y c.

    Como  B2 es una base ortonormal usaremos el teorema 6.5 para encontrar

    sus coordenadas:

    (i , a) = (1, 0, 0)  ( / , / , ) /1 2 1 2 0 1 2=

    (i , b) = (1, 0, 0)(0, 0, 1) = 0;

    (i , c) = (1, 0, 0)  ( / , / , ) /1 2 1 2 0 1 2− =  

    de donde (i ) B2 = (1 2/ , 0, 1 2/ ).

    ( j , a) = (0, 1, 0)  ( / , / , ) /1 2 1 2 0 1 2=

  • 8/17/2019 Algebra Lineal Unidad 6

    16/31218

    Unidad 6

    ( j , b) = (0, 1, 0)(0, 0, 1) = 0;

    ( j , c) = (0, 1, 0)  ( / , / , ) /1 2 1 2 0 1 2− = −

    de donde ( j ) B2

     = (1 2/ , 0, – 1 2/ ).

    (k , a) = (0, 0, 1) ( / , / , )1 2 1 2 0 0=  

    (k , b) = (0, 0, 1)(0, 0, 1) = 1;

    (k , c) = (0, 0, 1)  ( / , / , )1 2 1 2 0 0− =de donde (k )

     B2 = (0, 1, 0)

    Por tanto la matriz de transición es A =

    1 2 1 2 0

    0 0 1

    1 2 1 2 0

    / /

    / /

     

     

     

     

     

    Vamos a encontrar la matriz de transición de la base B2 a B

    1:

    (a, i ) = ( / , / , ) ( , , ) /1 2 1 2 0 1 0 0 1 2   =

    (a,  j ) = ( / , / , ) ( , , ) /1 2 1 2 0 0 1 0 1 2   = ; 

    (a, k ) = ( / , / , ) ( , , )1 2 1 2 0 0 0 1 0   =  

    de donde, ( ) ( / , / , )a B1

    1 2 1 2 0=  

    (b, i ) = ( , , ) ( , , )0 0 1 1 0 0 0

      =(b,  j ) = ( , , ) ( , , )0 0 1 0 1 0 0   =

    (b, k ) = ( , , ) ( , , )0 0 1 0 0 1 1   =

     de donde ( ) ( , , )b  B1 0 0 1=  

    (c, i ) = ( / , / , ) ( , , ) /1 2 1 2 0 1 0 0 1 2− =

    (c,  j ) = ( / , / , ) ( , , ) /1 2 1 2 0 0 1 0 1 2− = −

    (c, k ) = ( / , / , ) ( , , )1 2 1 2 0 0 0 1 0− =

    de donde, ( ) ( / , / , )a  B1 1 2 1 2 0= −

    Por tanto la matriz de transición es C  = −

     

     

     

     

    1 2 0 1 2

    1 2 0 1 2

    0 1 0

    / /

    / /

     

    .

    En este caso las columnas de C  son las coordenadas de los vectores a, b y 

    c; por tanto es ortogonal. Observemos que la matriz  A es la transpuesta de la

    matriz C  de donde podemos asegurar que también es ortogonal.

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    17/31

    Álgebralineal

    219

    Podemos generalizar este resultado en el teorema 6.6

    Teorema 6.6. Sea V  un espacio vectorial con producto interno, sean B1 y B

    dos bases ortonormales para V , entonces la matriz de transición de B1 a B

    2 y la

    matriz de transición de B2 a B1 son ortogonales.

    Ejemplo 12

    Consideremos las bases ortonormales de R2.

     B1 = {i  = (1, 0); j  = (0, 1)} y B2 = {a = ( / , / )−1 5 2 5 ; b = ( / , / )2 5 1 5 }

    Entonces la matriz de transición de B1 a B

    2 es  A =

      − 

     

     

     

    1 5 2 5

    2 5 1 5

    / /

    / / 

    y la de  B2  a  B

    1  es C  =

      − 

     

     

     

    1 5 2 5

    2 5 1 5

    / /

    / / ; como podemos observar son

    iguales y sus columnas son los vectores a y b que son ortogonales y por tanto

    las matrices son ortogonales.

    Este resultado nos será de mucha utilidad en la unidad 10.

    Ejercicio 4

    1. Encuentra la matriz de transición entre las bases ortonormales de R2

     B1 ={( / , / ); ( / , / )}1 2 1 2 1 2 1 2−  

    y

     B2 ={( / , / ); ( / , / )}2 5 1 5 1 5 2 5−  

    2. Verifica que la matriz de transición del ejercicio anterior es ortogonal.

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    18/31220

    Unidad 6

    6.5. El proceso de ortonormalización de Gram-

    Schmidt

    En las secciones anteriores vimos cómo una base ortonormal es más fácil

    de manejar que una que no lo es (teoremas 6.4 y 6.5), lo cual confirmaremosen unidades posteriores.

    En esta sección nos dedicaremos a construir bases ortonormales a partir de una

     base dada, utilizando el procedimiento llamado de Gram-Schmidt. Este procedimiento

    se basa en la proyección ortogonal de un vector, como veremos más adelante.

    Usaremos, como de costumbre, el espacio euclideano R2 con el fin de visualizar lo

    que estamos construyendo y después generalizaremos el resultado.

    Observemos en la figura 6.1 lo que pasa con la proyección de un vector

    sobre otro: proyv u =

    u v

    vv

    ,( )2

     

    Figura 6.1. Proyección de un vector sobre otro.

    En la figura 6.1 podemos ver que el vector proyección proyv u es un vector

    en la misma dirección que v,  sin embargo, si restamos al vector u  el vector

     proyv

     u obtendremos un vector ortogonal a v.

    Esta idea nos indica cuál es el camino a seguir en la construcción de un

    vector ortogonal a otro. Además, si recordamos la definición de vector unitario,

     podemos siempre construir un vector unitario a partir de otro si lo dividimos

    entre su norma.

    Siguiendo estos dos pasos vamos a especificar el procedimiento de

    ortonormalización de Gram-Schmidt.

    Consideremos primero el siguiente teorema.

  • 8/17/2019 Algebra Lineal Unidad 6

    19/31

    Álgebralineal

    221

     

    Teorema 6.7. Sea V  un espacio vectorial con producto interno y sean u y v 

    dos vectores en V ; entonces el vector w = u – proyv u es un vector ortogonal a v.

     Comprobaremos que u – proyv u es un vector ortogonal a v.

    Ejemplo 13

    Tomemos dos vectores en R2, u = (1, 2) y v = ( 2, –3).

    Vamos a construir la proyección de u sobre v.

     proyv u =

    ( , ) ( , ) ( , )

    ( , ) ( , )( , ) ( , )

    u v

    vv

    2

    1 2 2 3

    2 3 2 32 3

    2 6

    4 92 3

    4

    13=

      −

    − −  − =

      −

    +  − =

     −

    (( , )2 3−

    ( / , / )8 13 12 13= −

    Encontraremos al vector w = u – proyv u

    w = u – proyv u = (1, 2) – (–8/13, 12/13) = (21/13, 14/13)

    Probaremos ahora que w y v son ortogonales.

    (w, v) = (21/13, 14/13)(2, –3) = 42/13 – 42/13 = 0 y por tanto son

    ortogonales.

    Ahora ya podemos enunciar el procedimiento de Gram-Schmidt para

    construir conjuntos ortonormales:

    Teorema 6.8. Procedimiento de Gram-Schmidt.  Este procedimiento se

    inicia a partir de un conjunto de vectores en un espacio vectorial con producto

    interno. Sea S = {v1, v

    2, ..., v

     n} un conjunto de vectores de V.

     

    Paso 1. Elección del primer vector unitario

     Sea u1 =

    v

    v

    1

    1

    , entonces (u1, u

    1) =

    v

    v

    v

    v vv v1

    1

    1

    1 1

    2 1 1

    11

     

     

     

     

     

     

     

      =

     

     

     

     

    ( )= ; por

    tanto u1 es unitario.

  • 8/17/2019 Algebra Lineal Unidad 6

    20/31222

    Unidad 6

    Paso 2. Elección de un segundo vector ortogonal a u1

    Sea v v'2 2=  –  proyu1 v2, entonces, aplicando el teorema, v '2  es un vectorortogonal a u

    1

    .

    Notemos que, como u1 es unitario, su norma es 1 y por tanto

     proyu1

     v2 =

    v u

    uu

    2 1

    1

    2 1

    ,( ) = (v

    2u

    1) u

    1 de donde v '2 = v2 – (v2•u1) u1

    Paso 3. Elección de un segundo vector unitario y ortogonal a u1

    Sea u2 =

    v

    v

    '

    '

    2

    2

    , entonces u2 es unitario y ortogonal a u

    1

    En este momento hemos construido un conjunto ortonormal {u1, u

    2}

    Paso 4. Elección de un tercer vector ortogonal a u1 y a u

    2

    Sea v'3  = v3 – (v3u1) u1  – (v3u2) u2, éste es un vector ortogonal a u2 y a u1

    Paso 5. Elección de un tercer vector unitario y ortogonal a u1 y a u

    2

    Sea u3 =

    v

    v

    '

    '

    3

    3

    Por tanto el conjunto {u1, u

    2, u

    3 } es ortonormal.

    Podemos continuar con este proceso hasta construir un conjunto {u1, u

    2,..., u

     n}

    ortonormal.

    Vamos a ejemplificar este teorema construyendo una base ortonormal para

     R3, a partir de una base dada.

    Ejemplo 14

    Consideremos en R3 la base {v1, v

    2, v

    3} = {( , , ), ( , , ), ( , , )}1 1 0 0 1 1 1 0 1

  • 8/17/2019 Algebra Lineal Unidad 6

    21/31

    Álgebralineal

    223

     Paso 1

     Como v1 2=  entonces definimos

    u1 =

    v

    v

    1

    1

    1 1 0

    2

    1 2 1 2 0= =( , , )

    ( / , / , )

    Paso 2

    Sea v '2  = v2 – (v2•u1) u1 como

    ( ) ( , , ) ( / , / , ) /v u2 1 0 1 1 1 2 1 2 0 1 2 = = ; entonces,

    v '2  =v2 – (v2•u1)u1 = ( , , ) / ( / , / , ) ( / , / , )0 1 1 1 2 1 2 1 2 0 1 2 1 2 1− = −

    Paso 3

    Como v'2 3 2= / , entonces definimos,

    u2 =

    v

    v

    '

    '

    2

    2

    1 2 1 2 1

    3 21 6 1 6 2 6=

      −= −

    ( / , / , )

    /( / , / , / )

    Paso 4

    Sea v'3  

    = v3 – (v

    3•u

    1) u

    1  – (v

    3•u

    2) u

    2; como,

    ( ) ( , , ) ( / , / , ) /v u3 1 1 0 1 1 2 1 2 0 1 2 = =  y

    ( ) ( , , ) ( / , / , / ) /v u3 2 1 0 1 1 6 1 6 2 6 1 6 = − =

    entonces,

    v'3  

    = v3 – (v

    3•u

    1) u

    1  – (v

    3•u

    2) u

    2 =

    ( , , ) / ( / , / , ) / ( / , / , / )

    / , / , /

    1 0 1 1 2 1 2 1 2 0 1 6 1 6 1 6 2 6

    2 3 2 3 2 3

    − − −

    = −( )

     

    Paso 5 

    Como v'3 2 3= / , entonces definimos

     u3 =

    v

    v

    '

    '

    3

    3

    2 3 2 3 2 3

    2 31 3 1 3 1 3=

      −= −

    ( / , / , / )

    /( / , / , / )

  • 8/17/2019 Algebra Lineal Unidad 6

    22/31224

    Unidad 6

    Por tanto el conjunto

    {( / , / , ), ( / , / , / ), ( / / , / )}1 2 1 2 0 1 6 1 6 2 6 1 3 1 3 1 3− −,   es una

     base ortonormal para R3.

    Ejercicio 5

    1. Utiliza el procedimiento de Gram-Schmidt para encontrar, a partir de

    la base dada, una base ortonormal para cada uno de los espacios vectoriales

    siguientes:

    a) En R

    2

     usando {(1, 1), (–2, 1)}

     b) En R3 usando como base {(1, 0, –2), (0, 2, 1), (–1, 1, 0)}

    Ejercicios resueltos

    1. Detemina si el conjunto de vectores {a = (4, –1, 1), b = (–1, 0, 4),

    c = (–4, –17, –1)} en R3 es ortogonal, ortonormal o ninguno de las dos.

    Vamos a determinar el producto interno de cada pareja de vectores:

    (a, b) = (4, –1, 1) (–1, 0, 4) = – 4 + 4 = 0

    (a, c) = (4, –1, 1) (–4, –17, –1) = –16 + 17 –1 = 0

    (b, c) = (–1, 0, 4) (–4, –17, –1) = 4 – 4= 0

    Por tanto el conjunto es ortogonal.

    Vamos a calcular la norma de los vectores:

     

    a   = + + =16 1 1 18

    b   = + + =1 0 16 17

    c   = + + =16 289 1 306

     Por tanto el conjunto no es ortonormal.

  • 8/17/2019 Algebra Lineal Unidad 6

    23/31

    Álgebralineal

    225

    2. Verifica que el conjunto B = {1, x, x2 , x3} con el producto interno definido

    de la siguiente manera: si p = a0 + a

    1 x + a

    2 x2 + a

    3 x3 y q = b

    0 + b

    1 x + b

    2 x2 +

    b3 x3 entonces

    ( p, q) = a0b

    0 + a

    1b

    1 + a

    2b

    2 + a

    3b

    3 es una base ortonormal de P 

    3.

    Probaremos primero que es un conjunto ortogonal:

    (1, x) = (1)(0) + (0)(1) + (0)(0) + (0)(0) = 0

    (1, x2) = (1)(0) + (0)(0) + (0)(1) + (0)(0) = 0

    (1, x3) = (1)(0) + (0)(0) + (0)(0) + (0)(1) = 0

    ( x, x

    2

    ) = (0)(0) + (1)(0) + (0)(1) + (0)(0) = 0( x, x3) = (0)(0) + (1)(0) + (0)(0) + (0)(1) = 0

    ( x2, x3) = (0)(0) + (0)(0) + (1)(0) + (0)(1) = 0

    Por tanto concluimos que el conjunto es ortogonal.

    Ahora probaremos que son vectores unitarios.

    Consideremos las normas de los vectores:

    1 1 0 0 0 1= + + + = ;  x   = + + + =0 1 0 0 1;

     x2 0 0 1 0 1= + + + = ;  x3 0 0 0 1 1= + + + =

    Por tanto son vectores unitarios y el conjunto es una base ortonormal.

    3. Determina las coordenadas del vector x = (–3, 4) con respecto a la base

    ortogonal

     B = = = −{ ( , ), ( , )}b b1 25 2 5 2 5 5

     

    Usando el teorema 6.4 tenemos que x =x x,

    ,

    ,

    ,

    b

    b bb

    b

    b bb

    1

    1 1

    1

    2

    2 2

    2

    ( )

    ( )+

      ( )

    ( )

     ( , ) ( , ) ( , )x b1 3 4 5 2 5 3 5 8 5 5 5= − = − + =

     

  • 8/17/2019 Algebra Lineal Unidad 6

    24/31226

    Unidad 6

     ( , ) ( , ) ( , )x b2 3 4 2 5 5 6 5 4 5 10 5= − − = + =

    ( , ) ( , ) ( , )b b1 1 5 2 5 5 2 5 5 20 25= = + = 

    ( , ) ( , ) ( , )b b2 2

    2 5 5 2 5 5 20 5 25= − − = + =

    Entonces x =5 5

    255 2 5

    10 5

    252 5 5( ) ( ), ,+ −  y por tanto

     

    x( )   = 

     

     

      B

    5

    5

    2 5

    5,

    4. Determina las coordenadas de x  = (5, 10, 15) con respecto a la base

    ortonormal

     B = {b1 = (3/5, 4/5, 0), b

    2 = (–4/5, 3/5, 0), b

    3 = (0, 0, 1)}

    Usaremos el teorema 6.5 que indica que x = (x, b1) b

    1 + (x, b

    2) b

    2 + (x, b

    3) b

    3

    (x, b1) = (5, 10, 15)(3/5, 4/5, 0) = 3 + 8 + 0 = 11

    (x, b2) = (5, 10, 15)(–4/5, 3/5, 0) = – 4 + 6 + 0 = 2

    (x, b3) = (5, 10, 15)(0, 0, 1) = 0 + 0 + 15 = 15

    Entonces x = 11 b1 + 2 b

    2 + 15 b

    3; por lo tanto (x)

     B= (11, 2, 15)

    5. Utilizando el procedimiento de Gram-Schmidt, encuentra una base

    ortonormal para R3 a partir de la base

    {v1 = (1, 0, 2); v

    2 = (3, –1, 0), v

    3 = (0, 1, –2)}

    Sea u1 =

    v

    v

    1

    1

    1 0 2

    51 5 0 2 5= =

    ( , , )( / , , / )

    Sea v '2  = v2 – (v2•u1) u1

    Como (v2•u1) = (3, –1, 0) ( / , , / ) /1 5 0 2 5 3 5= , entonces,

    v '2  = v2 – (v2•u1) u1 = 3 1 0 3 5 1 5 0 2 5 12 5 1 6 5, , / ( / , , / ) / , , /−( )− = − −( )

  • 8/17/2019 Algebra Lineal Unidad 6

    25/31

    Álgebralineal

    227

    Como v'2 205 5= /  entonces definimos

    u2 =

    v

    v

    '

    '

    2

    2

    12 5 1 6 5

    205 512 205 5 205 6 205=

      − −= − −

    ( / , , / )

    /( / , / , / )

    Sea v'3  = v3 – (v3•u1) u1  – (v3•u2) u2

    como ( ) ( , , ) ( / , , / ) /v u3 1 0 1 2 1 5 0 2 5 4 5 = − = −  y

    ( ) ( , , ) ( / , / , / ) /v u3 2 0 1 2 12 205 5 205 6 205 7 205 = − − − = ;

    entonces

    v'3  = v3 – (v3•u1) u1  – (v3•u2) u2 

    v'3  

    = ( , , ) ( / ) ( / , , / )0 1 2 4 5 1 5 0 2 5− − −

    − − −7 205 12 205 5 205 6 205/ ( / , / , / )

    v'3

      = −( )16 41 48 41 8 41/ , / , /

    Como v'3 8 41= / , entonces definimos

    u3 =

    v

    v

    '

    '

    3

    3

    16 41 48 41 8 41

    8 412 41 6 41 1 41=

      −= −

    ( / , / , / )

    /( / , / , / )

    Por tanto el conjunto

    1 5

    02 5

    12 205

    5 2056 205

    2 41

    6 41

    /

    /,

    /

    //

    ,

    /

    /

     

     

     

     

    −−

     

     

     

     

      −11 41/

     

     

     

     

      es una base

    ortonormal para R3.

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    26/31228

    Unidad 6

    Ejercicios propuestos

    1. Encuentra un vector ortogonal a (–2, 5).

    2. Encuentra un vector ortonormal a (–2, 5).

    3. Determina si la matriz Q =

      2 3 1 3 2 3

    1 3 2 3 2 3

    2 3 2 3 1 3

    / / /

    / / /

    / / /

     

     

     

     

     es ortogonal.

    4. Determina las coordenadas del vector x = (2, –2, 1) con respecto a la base

    ortogonal:

     B = = = = −{ }b b b1 2 310 0 3 10 0 1 0 3 10 0 10( , , ); ( , , ); ( , , )

    5. Determina las coordenadas del vector x = (2, –1, 4, 3) con respecto a la

     base ortonormal:

     B = {b1 = (5/13, 0, 12/13, 0); b

    2  = (0, 1, 0, 0);  b

    3 = (–12/13, 0, 5/13, 0);

    b4 = (0, 0, 0, 1)}

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    Álgebralineal

    229

     Autoevaluación

    1. Dos vectores u y v son ortogonales si:

    a) (u, v) = 1

     b) (u, v) = 0

    c) v   =1  y u   =1d) u = v

    2. Determina el conjunto ortogonal en R3:

    a) {(2, 2, –1); (2, –1, 2); (–1, 2, 2)}

     b) {(1, 1, 1); (2, 2, 2); (–1, –1, –1)}

    c) {(1, 0, 3); (0, –3, 0); (4, 0, 0)}

    d) {(1, 0, 0); (2, 0, 0); (0, 2, 3)}

    3. Determina el conjunto ortonormal en R2:

    a) {(1, 1); (1, –1)}

     b) {(1, 1); (1, 0)}

    c) {(1, 0); (0, –1)}

    d) {(1, 0); (–1, 0)}

    4. Determina la matriz ortogonal:

    a)1 6

    3 2

     

     

     

     

     

     b)1 10 6 40

    3 10 2 40

    / /

    / /

     

     

     

       

    c)1 10 6 40

    3 10 2 40

    / /

    / /

     

     

     

     

       

    d)1 6

    3 2

     

     

     

       

    5. Los vectores (2, –12) y (3, 1/2) son:

    a) Unitarios. b) Paralelos.

    c) Ortonormales.

    d) Ortogonales.

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    28/31230

    Unidad 6

    6. Es un vector ortogonal a v es:

    a) u – proyv u

     b) u + proyv u

    c) u – proyu v

    d) proyv u – u 

    7.  Considera la base ortogonal  B  = {e = (2, 2, –1); f = (2, –1, 2);

    g = (–1, 2, 2)}, determina las coordenadas del vector (1, –1, 0) referentes a la

     base B:

    a) (0, 3, –3)

     b) (0, 1/3, –1/3)

    c) (1, –1, 0)d) (0, –3, 3)

    8. Es un procedimiento para encontrar una base ortonormal en un espacio

    vectorial con producto interno:

    a) Regla de Cramer.

     b) Proceso de diagonalización.

    c) Proceso de Gram-Schmidt.

    d) El método de Gauss-Jordan.

    9. Es una expresión verdadera:

    a) Un conjunto ortogonal de vectores es una base.

     b) Un conjunto ortogonal de vectores es linealmente independiente.

    c) Una base es un conjunto ortonormal de vectores.

    d) Un conjunto linealmente independiente es ortogonal.

    10. El proceso de Gram-Schmidt tiene como consecuencia que:

    a) Todos los espacios vectoriales tienen una base ortonormal.

     b) Los espacios vectoriales con producto interno tienen una base

    ortonormal.

    c) Los espacios vectoriales finitos tienen una base ortonormal infinita.

    d) Todos los espacios vectoriales tienen una base.

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    Álgebralineal

    231

    Respuestas a los ejercicios

    Ejercicio 1

    1.a) No, (3, 2, –4)(2, –3, 4) = –16

     b) Sí.

    c) Sí.

    d) No; (0, –5, 0)(4, 1, 0) = –5

    2.

    a) Cualquier vector de la forma (3/2b, b)

     b) Cualquier vector de la forma (4/3b, b)

    c) Cualquier vector de la forma (–3/2b, b)

    3.

    a) No; (3, –1)(1, 0) = 3

     b) Sí.

    4.

    a) Falso.

     b) Falso.c) Falso.

    d) Verdadero.

    e) Falso.

    Ejercicio 2

    1.a) Son ortogonales pero no ortonormales ya que ( , )0 3 = 3 y no es unitario.

     b) Sí son ortonormales.

    c) Son unitarios pero no son ortogonales.

    2.

    {(1, 0, 0, 0); (0, 1, 0, 0); (0, 0, 1, 0); (0, 0, 0, 1)}

    3.

    Sí es ortogonal.

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    Unidad 6

    Ejercicio 3

    1.

    a) (u) B

     = (2/9, 2/9, –1/9)

     b) (v) B

     = (–2/3, 1/3, –2/3)

    c) (x) B

     = (7/9, 1/9, –2/9)

    2.

    a) (u) B

     = ( / , , / )1 2 4 3 2

     b) (v) B

     = ( / , , / )3 2 0 5 2

    c) (w) B

     = ( , , )0 3 0 −  

    Ejercicio 4

    1.  A =3 10 1 10

    1 10 3 10

    / /

    / /−

     

     

     

     

    2. Sí es ortogonal.

    Ejercicio 5

    1.

    a)1 2

    1 2

    1 2

    1 2

    /

    /,

    /

    /

     

     

     

     

    − 

     

     

     

    es una base ortonormal de R2.

     b)

    1 5

    0

    2 5

    2 105

    10 105

    1 105

    4 21

    1 21

    /

    /

    ,

    /

    /

    /

    ,

    /

    /

     

     

     

     

     

     

     

     

    −22 21/

     

     

     

     

     es una base ortonormal para R3.

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    Álgebralineal

    Respuestas a los ejercicios propuestos

    1. (5, 2)

    2. ( / , / )5 29 2 29

    3. Sí.

    4. ( ) ( / / )x  B = − −10 20 2 10 20, ,

    5. ( ) ( / , / , )x  B = − −58 13 1 4 13 3,

    Respuestas a la autoevaluación

     1. b)

     2. a)

     3. c)

     4. c)

     5. d)

     6. a)

     7. b)

     8. c)

     9. b)

    10. b)