6-algebra 1ro (1 - 16)

CORPORACIN EDUCATIVA

Form

ando

ldere

s, con

una a

utn

tica e

duca

cin i

nteg

ral Primero de SecundariaSchools

lgebra

Somos un grupo de educadores que busca contribuir en la solucin de uno de los

mayores problemas de nuestro pas, la educacin, brindando una enseanza de alta calidad.

Nuestra I.E. propone una perspectiva integral y moderna, ofreciendo una formacin

personalizada basada en principios y valores; buscando el desarrollo integral de nuestros

estudiantes, impulsando sus capacidades para el xito en la vida profesional.

Es por esta razn que nuestro trabajo para este ao 2013 se da tambien con el trabajo de

los docentes a travs de Guas Didcticas que permitirn un mejor nivel acadmico y lograr

alcanzar la prctica que es lo que el alumno(a) requiere, porque nuestra meta que es:

Formar lderes con una autntica

educacin integral

DidcticoPresentacinPresentacin Somos un grupo de educadores que busca contribuir en la solucin de

uno de los mayores problemas de nuestro pas, la educacin, brindando

una enseanza de alta calidad.

En ese sentido es pertinente definir pblicamente la calidad

asocindola a las distintas dimensiones de la formacin de las personas:

desarrollo cognitivo, emocional, social, creativo, etc.

Nuestra Institucin Mentor Schools propone una perspectiva integral

y moderna, ofreciendo una formacin personalizada basada en principios

y valores; buscando el desarrollo integral de nuestros estudiantes,

impulsando sus capacidades para el xito en la vida profesional.

Es por esta razn que nuestro trabajo para este ao 2014 se da

tambin con el esfuerzo de los docentes a travs de Guas Didcticas que

permitirn un mejor nivel acadmico y lograr alcanzar la prctica que

es lo que el alumno(a) requiere, porque nuestra meta es:

Formar lderes con una autntica

educacin integral

Captulo 1. Operaciones Combinadas ................................................ 9

Captulo 2. Potenciacin I .................................................................... 16

Captulo 3. Potenciacin II ................................................................... 24

Captulo 4. Expresiones Algebraicas ................................................... 31

Captulo 5. Trminos Semejantes ....................................................... 39

Captulo 6. Multiplicacin Algebraica ................................................ 48

Captulo 7. Productos Notables I ......................................................... 52

Captulo 8. Productos Notables II ....................................................... 58

Captulo 9. Factorizacin I ................................................................... 65

Captulo 10. Factorizacin II .................................................................. 72

Captulo 11. Ecuacin de Primer Grado I ........................................... 78

Captulo 12. Ecuacin de Primer Grado II .......................................... 85

Captulo 13. Ecuacin Cuadrtica I ...................................................... 91

Captulo 14. Ecuacin Cuadrtica II ..................................................... 98

Captulo 15. Sistema de Ecuaciones Lineales ...................................... 105

Captulo 16. Inecuaciones de Primer Grado ........................................ 112

9lgebra - 1ro Sec.

Formando lderes con una autntica educacin integral

Captulo

1Operaciones Bsicas

Ejemplos:

Ejemplos:

Ejemplos:

Ejemplos:

* - 4 - 5 - 7 = - (4 + 5 + 7) = -16

* + 3 + 4 + 8 = + (3 + 4 + 8) = +15

Efecta:

-4 - 6 - 5 =

+2+5+8=

-8 - 7 - 10 =

+8+12+13=

-12- 11 -20=

Si se tiene dos o ms nmeros enteros con el mismo signo, el resultado ser la suma precedido del signo en comn.

1. REGLA PRCTICA PARA SUMAR O RESTAR NMEROS ENTEROS

* -7+12=+(12- 7) = +5

* - 10 + 8 = - (10 - 8) = -2

Si se tiene dos nmeros con signos diferentes, el resul-tado ser la diferencia precedida del signo del mayor en cantidad.

Efecta:

-4 + 5 =

-8 + 6 =

+9- 5 =

+10- 15 =

-20+8=

Todo signo de coleccin precedido por un signo + puede ser suprimido, escribiendo luego los nmeros contenidos en su interior, cada uno con su propio signo.

2. SIGNOS DE COLECCIN: ( ); [ ]; { }

* 10 + (-4+2- 5) = 10 -4+2- 5

* 8+(12-4)=8+12- 4

Todo signo de coleccin precedido por un signo - puede ser eliminado, escribiendo luego cada uno de los nmeros contenidos en su interior, con su signo cambiado.

* -12- (4 + 3 - 1) = -12- 4 - 3 + 1

* -8 - (7 -3+2)=-8 - 7 + 3 -2

10 Formando lderes con una autntica educacin integral

lgebra - 1ro Sec.

1. Calcula:

7 + 5 -2- 4 + 8 - 6

los sumandos pueden cambiarse de orden y agruparse.

Resolucin:

(7 + 5 + 8) -(2+4+6)20-12 8

signos diferentes se restan

2. Calcula:

273+8-164-4x2

si no hay parntesis, las multiplicaciones y las divisiones deben realizarse en primer lugar.

Resolucin

9+8- 4 - 8 17 -12 5

3. Reduce:

18(5+4)+6x(4-2)- 10

los parntesis condicionan el orden de las opera-ciones.

Resolucin:

18 9+6x2- 102+12- 10 14 - 10 4

4. Reduce:

20- 4 x [15 - (7 -42)- 3]

efectuando operaciones dentro del parntesis.

Resolucin:

20- 4 x [15 - (7 -2)- 3]20- 4 x [15 - 5 - 3]

Efectuando el corchete:20- 4[7] 20-28

-8

5. Efecta:

3{2[41-(204)]9}-[(62-29)11+2(45-27)3]

realizando operaciones dentro del parntesis.

Resolucin:

3{2[41- 5] 9}- [33 11+2(18) 3]3{2[36]9}- [3 + 36 3]3{729}-[3+12]3{8}- 1524- 159

Operaciones CombinadasSon aquellas donde intervienen las operaciones elementales (adicin, sustraccin, multiplicacin y divisin), as como tambin los signos de coleccin.

La jerarqua u orden en las operaciones combinadas es el siguiente:

* Se efectan las operaciones dentro de los signos de coleccin:(),[],{}.

* A continuacin operamos las multiplicaciones y divi-siones:x,.

* Finalmente efectuamos las sumas y restas: +, -.

En la civilizacin meso-potmica encontramos los primeros sistemas de dos ecuaciones con dos incgnitas; pero sin duda la gran aportacin algebraica babilnica se centra en el campo de la potenciacin y en la re-solucin de ecuaciones cuadrticas, tanto es as que llegaron a la solucin para ecuaciones de la forma ax2 + bx + c y tambin mediante el cambio de variable t = ax. Efectuaron un sinfn de tabula-ciones que utilizaron para facilitar el clculo, por ejemplo de algunas ecuaciones cbicas. El dominio en esta materia era tal, que incluso desarrollaron algoritmos para el clculo de sumas de progresiones, tanto aritmticas como geomtricas.

Su capacidad de abstraccin fue tal que desarrollaron muchas de las que hoy se conocen como ecuaciones diofnticas, al-gunas de las cuales estn ntimamente unidas con conceptos geomtricos.

11

lgebra - 1ro Sec.


Resolviendo en claseResolviendo en clase

Para ReforzarPara Reforzar

1. Calcula: -8+7+12-15+20

2. Calcula: +20- 15 + 18 -7+32- 8

3. Calcula: 8+12x3-24 3

4. Calcula: (9x6+6- 15) (4 x 5 4)

5. Calcula: {(4+2)-7x2+(5x2+1)-1}

6. Calcula: (12- 15)(-6) + (18 - 13)(-8) -[(12- 16)]

1. Calcula: -10 + 8 - 7 + 10 -25

Rpta: _______

2. Calcula: -30 -15+22- 10 + 14 -12

Rpta: ________

3. Calcula: 20-8x2- 1 + 5 x 4

Rpta: _______

4. Calcula: 64 222+369x5

Rpta: _______

5. Calcula:

8+{9- [6 - (5 - 4)]}+14- 11 - {7 -1}

Rpta: _______

6. Calcula: 6 x 8 + 40 4 -32{(2247) -1}

Rpta: _______

Rpta.: _______ Rpta.: _______

Rpta.: _______ Rpta.: _______

Rpta.: _______ Rpta.: _______

PROBLEMAS PARA CLASE N 1


lgebra - 1ro Sec.

Clave:

1

Clave:

1

Clave:

2

Clave:

2

Para el alumno:Para el alumno:Para el profesor:Para el profesor:

Calcula:50 - {(6 -1)84x3+16(10-2)}- 5

a) 8 b) 13 c) 10d)16 e)2

Calcula: (15 -2)4+3(63)-18(10- 1)

a) 55 b) 56 c) 58d)59 e)60

Calcula:(8 - 1) - (16 -9)+4-1+9- 6 + (11 - 6) - 5

a) 8 b) 4 c) 6d)10 e)12

Calcula:68 -6x7+(39+5-2)7-7x2+8

a)68 b)26 c)40

d) 48 e) 54

Resolucin: Resolucin:


13

lgebra - 1ro Sec.


Clave:Clave:

Clave:Clave:

3

4

3

4

Completa el recuadro:3xx2+155-2=25

a) 4 b) 6 c) 5d) 7 e) 10

Calcula:[(9-4)5+(10-2)4]+9x618+2

a) 6 b) 7 c) 8d)9 e)10

Completa el recuadro:24x6x9- 7 x 3 = 141

a) 4 b) 6 c) 5d) 8 e) 10

Completa el recuadro:24x68x- 24062x1025=10

a)1 b)2 c)3

d) 4 e) 5




lgebra - 1ro Sec.

5

6

5

6

Clave:Clave:

Clave:Clave:

Calcula:-5 + 7 - (-8).2 (-4)

a) -2 b)-1 c) 0d)1 e)2

Calcula:7 - [5 . 4 -20 (-5) + 7 - 40 (-8) -9]

a) -10 b) -16 c) -20d) -24 e)30

Calcula:18 [-5 + (-3.2+5)]

a) -3 b) -2 c)2d) 3 e) 1

Calcula:-3 - 4 - [8 . (-3 - 1) (-2)+(-7)]

a) -12 b)-14 c) -16d) -18 e) -20



15

lgebra - 1ro Sec.


Clave:Clave:

Clave:Clave:

7

Sello y Firma del Profesor

7

8 8

NOTA

Calcula:3 + 4 [8 . {4 -(9+3)6}]

a) 61 b) 63 c) 65d)67 e)69

Calcula:{(4+2)-7(2)+[5(2)+1]-1}

a)2 b)1 c)0d) 1 e) -2

Calcula:-20- [-3 -{20- (6 (-3) -7)}-2]

a)10 b)12 c)14d) 16 e) 18

Calcula:9- {8 - [7 -20.(-2) (-8) - (-12+7).3]}

a) 18 b) 16 c) 14d)12 e)10




lgebra - 1ro Sec.

Captulo

2Potenciacin I

Ejemplos:

Ejemplos:

(5)(5)(5) ... (5) = (5)20

20factores

(m)(m)(m) ... (m) = (m)15

15 factores

As tambin, tenemos:

410 = (4)(4)(4) ... (4)

10 factores

a33 = (a)(a)(a) ... (a)

33 factores

Es aquella operacin matemtica en la cual dados dos nmeros a (base) y otro entero positivo n (exponente), se define p como la potencia ensima de a.

an = P

Exponente

PotenciaBase

Ejemplos:

34 = 81 53=125

* Base : 3 * Base : 5* Exponente : 4 * Exponente : 3*Potencia:81*Potencia:125

Exponente Natural

Exponente Cero

a0 = 1 a 0

(5)0=1(1/2)0 = 1

(-8)0 = 1 ( 3)0 = 1

Teoremas

MULTIPLICACIN DE POTENCIAS DE IGUAL BASE

am . an = am+n

Se tiene:am . an = (a . a . a . ... . a) (aaa ... a)

m factores n factores

Contando el total de factores:am . an = (a . a . a . ... . a . a)

m + n factores

Expresando como potencia:am . an = am+n

Demostracin:

* 35 . 33 = 35+3

* m12 . m5 = m12+5

* 6a . 64 = 6a+4

Ejemplos:

a . a . a . ... . a . a = an

n factores

17

lgebra - 1ro Sec.


Ejemplos:

POTENCIA DE UN PRODUCTO

(ab)m = am . bm

Se tiene:(ab)m = (ab)(ab)(ab) ... (ab)

m factores

Asociando los factores iguales:(ab)m = (aaa ... a) (bbb ... b)

m factores m factores

Representando como potencia:(ab)m = am . bm

Demostracin:

(5a)4 = 54 . a4

(3 . 8)a = 3a . 8a

Pero tambin:

35 . p5 = (3p)5

73 . 53 = (7 . 5)3

POTENCIA DE POTENCIA

(am)n = amn

Se tiene:(am)n = am . am . am . ... am

n factores

Por la multiplicacin de potencias de igual base: n factores

(am)n = am+m+m+...+m

Demostracin:

Pero tambin:

mm+2 mm . m2

2a+7=22.27

Ejemplo:

Ejemplos:

de donde:(am)n = amn

(a3)4 = a3(4) = a12

(m5)n = m5n

Pero tambin:

a6 = a3(2) = (a3)2

m4p = (m4)p

LEY DE SIGNOS

4. (-)impar = -

(Exponente impar)

Base negativa

Ejemplo:

(+6)3 = (+6)(+6)(+6) =+216

3. (+)impar = +

(Exponente impar)

Base positiva

Ejemplo:

(+5)4 = (+5)(+5)(+5)(+5) =+625

1. (+)par = +

(Exponente par)

Base positiva

2. (-)par = +

(Exponente par)

Base negativa

(-3)4 = (-3)(-3)(-3)(-3) = +81

Ejemplo:

(-4)3 = (-4)(-4)(-4) = -64

reemplazando:(2)(2)(2)...(2)-(23)2

6 factores 26 -26 64 - 64 0 (cero)

Principales Potencias

POTENCIAS DE DOS

21=2 26 = 64 22=4 27=128 23=8 28=256 24=16 29=512 25=32 210=1024

POTENCIAS DE TRES

31 = 3 34 = 81 32=9 35=243 33=27 36=729

POTENCIAS DE CINCO

51 = 5 53=125 52=25 54=625

POTENCIAS DE SIETE

71 = 7 73 = 343 72=49

1. Calcula: 50+23+(22)2

Resolucin:

* 50 = 1 exponente cero* 23 = 8 exponente natural* (22)2=24 potencia de potencia

reemplazando:50+23+24

1 + 8 + 16

25

2. Reduce:(2)(2)(2)...(2)-(23)2

6 factores

Resolucin:

* (2)(2)...(2)=26

6 factores* (23)2=26

exponente natural

potencia de potencia

3. Reduce:

Resolucin:

Expresamos como potencia:34 -26

81 - 64 17

4. Calcula: (-23)2 + (-22)3

Resolucin:

* (-23)2=+(23)2

* (-22)3 = -(22)3

reemplazando:+(23)2 -(22)3

por potencia de potencia:26 -26

64 - 64 0 (cero)

Exponente par

Exponente impar

5. Un cubo mgico tiene tres capas con tres lneas de tres cubos cada una. Cuntos cubos tiene en total?

Resolucin:

Delafigura:* Cadafilatiene3cubos,entoncesentresfilashabr3(3)=

9cubos.* Cada capa tiene 9 cubos, entonces en tres capas

habr3(9)=27cubos.De donde se tiene:

(3)(3)(3) = 33=27cubos

3 cubos3 lneas

3 capas

(3)(3)(3)(3) -(2)(2)(2)(2)(2)(2) 4 factores 6 factores


lgebra - 1ro Sec.

19

lgebra - 1ro Sec.




Rpta.: _______ Rpta.: _______

Rpta.: _______ Rpta.: _______

Rpta.: _______ Rpta.: _______

2. Calcula: (2)(2)...(2)+(-3)5

8 factores

1. Calcula: 25+24+23

3. Calcula: 34 + (-3)(-4) + (-4)3

4. Calcula: (-2)6 + (-6)2 - 34

5. Calcula: 35 - 44+23

6. Calcula: 42 - 33+24

3. Calcula: (-3)4 + (-4)3 + (4)(3)

Rpta.: _______

1. Calcula: 26 + 62+2(-6)

Rpta.: _______

2. Calcula: (2)(2)...(2)- 43

6 factores

Rpta.: _______

4. Calcula: (-5)3 - (-11)2 + 33

Rpta.: _______

5. Calcula: -25 + 43 - 61

Rpta.: _______

6. Calcula: 26 - 34 + 42

Rpta.: _______



lgebra - 1ro Sec.

Clave:

1

Clave:

1

Clave:

2

Clave:

2


Calcula:(-6)2 + (-5)2 + (-4)3

a) -1 b) -3 c) -5d) -7 e) -9

Calcula:(33 -25)2 + (52 - 33)2

a)25 b)27 c)29d) 31 e) 33

Calcula:{25 + (-3)3 + 41}2

a)3 b)9 c)27d)81 e)243

Calcula:{(-7)2 - (34 - 62)}2

a)2 b)4 c)9d) 16 e) 25



21

lgebra - 1ro Sec.


Clave:Clave:

Clave:Clave:

3

4

3

4

Calcula:(-5)3 + (-4)2 + (-3)1 + (-2)0

a) -111 b) -112 c)-113d) -114 e) -115

Calcula:-(-3)2 + (-4)3 - (-2)4

a) -87 b) -88 c) -89d) -90 e)-91

Calcula:{(-4)2 + (-2)4 + (-3)3 + 50}2

a)4 b)16 c)25d)36 e)49

Calcula:(-3)4 + (-4)3 - (-5)0

a)22 b)23 c)24

d)25 e)26




lgebra - 1ro Sec.

5

6

5

6

Clave:Clave:

Clave:Clave:

Calcula:(3+2)2(1) + (4 + 1)(4-1) + (3 - 1)(3+1)

a) 156 b) 160 c) 166d) 168 e) 170

Calcula:

a)16 b)32 c)64d)128 e)256

(52 + 42 -23)2

(23 + 32 - 42)10

Calcula:22+23+24 + (-3)3

a) -1 b) 0 c) 1d)2 e)3

Calcula:25 + (-5)2+23 + (-3)2

a)70 b)72 c)74d) 76 e) 78


Resolucin:

Resolucin:

23

lgebra - 1ro Sec.


Clave:Clave:

Clave:Clave:

7


7

8 8

NOTA

Calcula:(-9)2 + (-3)4 - 53 - 62

a)1 b)2 c)3d) 4 e) 5

Calcula:((-2)3)2 + ((-3)2)2 - 102

a)41 b)42 c)43d) 44 e) 45

Calcula:63 + (-5)3 + (-4)3 + (-3)3

a) -2 b)-1 c) 0d)1 e)2

Calcula:22 - 32 + 42 + 52 - 62

a)0 b)1 c)2d) 3 e) 4




lgebra - 1ro Sec.

Captulo

3Potenciacin II

Ejemplos:

= am-nam

an

a . a . a . ... a . a . a . ... a . aa . a . a . ... a . a

am

an

Demostracin:

13( )

Ejemplos:

Nota

m

( )1a =1am

m

( )ab =a . a . a . ... . a . a . ab . b . b . ... . b . b . b

m factores

m factores

m

( )ab =am

bm

m

( )ab =( )ab ( )

ab ( )

ab

...( )abm factores

am

bm( )ma

b=

2 2.2.2.2.2.2.22.2.2.2

27

24=

7 factores

4 factores

=23

3 . 3 . 3 . 3 . 33 . 3 . 3

35

33=

5 factores

3 factores

= 32

=

m factores

n factores

a . a . a . ... a . aa . a . a . ... a . a

am

an=

m factores

n factores

Demostracin:

a-n = = 1a

1an ( )

( n

)

siendo: a 0

Exponente Negativo

Teoremas

DIVISIN DE POTENCIAS DE IGUAL BASE

Se tiene:

Reduciendo factores comunes: (m > n)

Expresando los factores que quedan:

= a . a . a . ... a . a

m - n factores

a potencia: = am-n l.q.q.d

am

an

am

an

POTENCIA DE UN COCIENTE

Asociando convenientemente:

Expresando como potencia:

l.q.q.d

19

15

3-2 = = 5-1 = = 151

25

lgebra - 1ro Sec.


Ejemplos:

5

3

-2

( )15-5

( )

1. Calcula:

Resolucin:

2. Calcula: 25

23+ +50( )13

-2

210

27

39

36

* =210-7=23 (propiedad)

* = 39-6 = 33 (propiedad)

Reemplazando:

23 + 33

8+27

35

210

2739

36+

210

2739

36+

1m

= m5

= 52=25

Ejemplo:

Nota

-n

( )1a = an

( )14 =143

=1

64

( )23 =25

35=

32

243

Reemplazando:

32+1+22

9+1+4

14

25

23+ +50( )13

-2

3. Calcula: +( ) ( )13 ( )12

0-114

-2

+

Resolucin:

Aplicando exponente negativo:

42 + 31 + 1 16 + 3 + 1

20

+( ) ( )13 ( )12

0-114

-2

+

4. Calcula:

Resolucin:

Aplicando divisin de potencias de igual base:

212-8 + 310-8 + 48-8

24 + 32 + 40

16+9+1

26

+212

28+

310

3848

48

5. Reduce:

Resolucin:

Reemplazando:

( )232

( )234

( )326

( )232

( )234

( )236

=( )232+4

=

( )236

( )326

26

3636

26.

26

2636

36. =20 . 30 = (1)(1) = 1

Aplicando potencia de un cociente:

Asociando:

Resolucin:

25

23

* = 32

* 50 = 1

* =22

( )13-2

exponente negativo

exponente cero

propiedad


lgebra - 1ro Sec.



Rpta.: _______ Rpta.: _______

Rpta.: _______ Rpta.: _______

Rpta.: _______ Rpta.: _______

315

312213

210+ + 1

24 . 36

22 . 34+ 5

5 . 66

54 . 65

-( ) ( )12-51

8

-2

- 33

218

214416

413- 8

14

812+

( )12 ( )14 ( )

16

-3-4- +

-5

216

214314

312+

412

410+

+( ) ( )14-21

2

-4

+ 10

1. Efecta:

2. Efecta:

3. Reduce:

1. Efecta:

Rpta: _______

2. Efecta:

Rpta: _______

3. Efecta:

Rpta: _______

316

312- 9

14

912+120

-( ) ( )14-31

3

0

+(23)2

4. Calcula:

5. Calcula: ((-1)3)2+(22)2 - 32 - 50

6. Efecta:

4. Reduce:

Rpta: _______

5. Calcula: ((32-23)2)4

Rpta: _______

6. Efecta: (32)3+(24)2 - (33)2

Rpta: _______

27

lgebra - 1ro Sec.


Clave:

1

Clave:

1

Clave:

2

Clave:

2



Efecta:

a) -25 b)25 c)125d) -125 e)250

(22)3

(23)2-(23)2+(22)3

Efecta: (22)(22)...(22) -(25)2 + 50

5 factores

a) -1 b) 0 c) 1d)2 e)5

Calcula:

a) -2 b)-1 c) 0d)1 e)2

(-5)(-5) ... (-5)(-5)(-5) ... (-5)

18 factores

20factores

+( ) ( )15-21

6

-2

+ (-22)3

Reduce:

a) -1 b) -3 c) -5d) -7 e) -9

Resolucin:

Resolucin:



lgebra - 1ro Sec.

Clave:Clave:

Clave:Clave:

3

4

3

4Reduce:

(4-1++2-1 + 1)3

a)1 b)8 c)27d)64 e)125

14

Efecta:(32)2 -(23)2 - (41)2

a)1 b)2 c)3d) 4 e) 5

Efecta:

a) 6 b) 8 c) 10d)12 e)14

(63)4

(62)6+ +23(2

6)4

(28)3

Calcula:

a)2 b)4 c)6d) 8 e) 10

515

512( )15

-2

- (42)(32)+



29

lgebra - 1ro Sec.


5

6

5

6

Clave:Clave:

Clave:Clave:

Efecta:

a)1 b)8 c)27d)64 e)125

{ }1/2

( )14 ( )12 ( )

13

-2-3-3+ +

Reduce:

a)3 b)9 c)2d) 4 e) 5

Efecta:(23)(23)...(23) -(22)(22)...(22)+23

6factores9factores

a) 6 b) 7 c) 8d)9 e)10

{ }3

( )16 ( )15 ( )

13

-23-1-1+ -

Reduce:

a)20 b) 4 c) 8d)64 e)1024

{ }10

( )15 ( )15 ( )

17

-2-2-2+ -




lgebra - 1ro Sec.

Clave:Clave:

Clave:Clave:

7


7

8 8

NOTA

Reduce:

a)2 b)4 c)6d) 8 e) 10

( )112 ( )115 ( )

119

-2

+ --2-2

Reduce:

a)12 b)13 c)14d) 15 e) 16

{ }( )13-4

( ) ( )13 ( )14

-3-212

-3

{ }++21+ +12 -Calcula:

a)22 b)23 c)24

d)25 e)26

Calcula:

a)4 b)25 c)36d)49 e)64

{ }2

( )114 ( )16

-2-2

( )115-2

+ -

-3-3

( )113 ( )0

( )1214 ( )

16+

- --2



31

lgebra - 1ro Sec.


Captulo

4Expresiones Algebraicas

Trminos Algebraicos

I. CONSTANTE

Ejemplos:

II. VARIABLE

Todo aquello que no cambia.

El nmero de das en una semana. El nmero de departamentos del Per. Las dimensiones de esta hoja. El nmero de dedos en tu mano.

Generalmente las constantes se representan con nme-ros. As, los das de la semana son 7 y las dimensiones deestahojason210x297mm.

Todo aquello que cambia o vara.

El nmero de personas en el Per. La cantidad de estrellas en el universo. El tiempo. La temperatura.

Generalmente las variables se representan con letras.

As, el nmero de personas en el Per se puede repre-sentar mediante la letra x, indicando de esta manera que es una cantidad que cambia con el transcurso del tiempo.

Ejemplos:

Existen constantes que suelen re-presentarse con letras, una de stas es el nmero (pi del alfabeto griego). Aparece espontneamente y en los lu-gares ms inesperados. Por ejemplo, la probabilidad de que dos enteros positivos cualesquiera sean primos entre s es 6/2. El valor aproximado de es 3,14; pero, en realidad, la expansindecimalesinfinitaynosigueningunapautaconocida.En1949JohnvonNeumannutilizlacom-putadora electrnica ENIAC para calcular las primeras 2037cifrasdecimalesde.En1986DavidM.Baileyextrajo29360000cifrasenunCray2delaNasa.En1989elmatemticoGregoryChudnovskyutilizdossupercomputadoras para calcular ms de mil millones de dgitos. Con39cifrasbastaparacalcularlalongituddeunacircunferencia que abarque todo el universo con un error menor que el radio de un tomo de hidrgeno. Por qu entonces calcular pi con tantas cifras? La respuesta es sencilla: una computadora, como toda mquina, debe ser probada en su potencia y contra posibles defectos antes de comenzar a funcionar.

Importante

En la naturaleza existen muchos

ejemplos de variable. La presin

atmosfrica y el tiempo medidos

por el barmetro y el reloj de

arena,mostrados en la figura,

son algunos de stos.


lgebra - 1ro Sec.

III. TRMINO ALGEBRAICO

Ejemplos:

Ten en cuenta

Una constante tambin se considera trmino alge-braico.

Ejemplo:

7;;2sontrminosalgebraicos

Generalmente las variables tienen nmeros escri-tos en la parte superior derecha, stos reciben el nombre de exponentes.

Ejemplo: 4x 7

Los exponentes de las variables deben ser siempre nmeros racionales.

Ejemplo:

2x3

5x 2

7x

3x

6x 3

Luego, la ltima expresin no es un trmino alge-braico.

Un trmino algebraico puede tener ms de una variable.

Ejemplo: 7x3y4

Exponente

-12

Nmero Racional

Nmero Racional

34

Nmero Racional

34

- Nmero Racional

Nmero Irracional

Ejemplos:

Es una expresin matemtica que une a las constantes y a las variables mediante la operacin de multipli-cacin.

Multipliquemos la constante7 con lavariablex,as:

7x Esta expresin matemtica se llama Trmino

Algebraico.

Partes de un Trmino Algebraico

Untrminoposeegeneralmente2partes:

Parte Constante. Parte Variable.

5 x7y4

Parte Parte Constante Variable

Albert Einstein, fsico y matemtico, public en 1916laTeorageneraldelarelatividad.Enelladem-ostrquelavelocidadde la luz(300000km/senelvaco) es la nica constante en el universo, es decir, mientras todo cambia, la velocidad de la luz, represen-tada por la letra c, permanece invariable.

3. Utilizando trminos algebraicos representa las siguientes proposiciones:

a) Dos veces el nmero de postulantes a la uni-versidad. __________

b) Cinco veces el dinero que gast. _________

c) Menos tresveceselnmerodecolegiosdel

Per. __________

d) Menos ocho veces el rea de un cuadrado.

__________

5. Indica en los siguientes casos, cules son trminos semejantes? Coloca s o no.

x2;2x2 ; _______ son trminos semejantes.

3x3;2x3 ; _______ son trminos semejantes.

7x5; 5x7 ; _______ son trminos semejantes.

3y5x2;2x2y5; _______ son trminos semejantes.

3xy; 7xy ; _______ son trminos semejantes.

5x2y;2xy2; _______ son trminos semejantes.

4. Indica el valor de verdad de las siguientes propo-siciones:

a) 2;3y7sonconstantes. ()

b) J;WyTsonvariables. ()

c) Eneltrminoalgebraico:2x3, la parte cons-tantees2ylapartevariableesx3. ( )

d) 4x5 y 7x5 son trminos semejantes. ( )

6. Representa con ayuda de trminos algebraicos las siguientes frases:

a) El dinero de una persona.

b) El quntuple de la temperatura ambiental.

c) Siete veces la distancia de la Tierra al Sol.

d) Menoscuatroveceseltiempotranscurrido.

2. Completa la siguiente tabla:

Trmino Algebraico

Parte Constante

Parte Variable Exp.

5x-9y2

4x-1wz3

-25x3y8w-4

-14x-4w5z3

1. Relaciona las siguientes proposiciones con su respectiva constante.

a) La cantidad de meses de un ao. b) Los colores del semforo. c) Das de la semana. d) Las vocales.

( ) 7 ( ) 5 ()12

( ) 3

33

lgebra - 1ro Sec.




lgebra - 1ro Sec.


2. Completa el siguiente cuadro:

Trmino Algebraico

Parte Constante

Parte Variable

3x

x

5x3

-2x2y

x3yz2

1. Representa mediante trminos algebraicos las siguientes proposiciones:

a) La edad de una persona. _______

b) El doble del nmero de personas en el mundo. _______

c) El triple del nmero de pasajeros que suben a un autobs. _______

d) Menos el doble de la altura de un rbol.

_______

3. Cuntas de las siguientes proposiciones son ver-daderas?

I. Los nmeros son constantes. II. Las variables se representan con nmeros. III. 5 es una variable.

a) I y III b) Slo III c) Slo II d) Slo I e) Ninguna

4. Relaciona las siguientes relaciones con su respec-tiva constante.

a) El nmero de das del mes de agosto. b) El nmero de estaciones del ao. c) La cantidad de campanadas de un reloj al

medioda. d) La cantidad de sentidos en el ser humano.

()12

( ) 5( ) 4( ) 31

5. Cules de las siguientes proposiciones son falsas?

I. 3 es un trmino algebraico. II. 3x2yw es un trmino algebraico. III. x + 3 es un trmino algebraico.

a) Slo Ib) Slo IIc) Slo IIId) I y IIIe) I y II

6. Utilizando trminos algebraicos representa las siguien-tes proposiciones:

a) Menoscuatro veces el rea de un rectngulo. b) Menoseldobledelreadeuntringulo.

c) Menostresveceselreadeuncrculo.

d) El cudruple del rea de un cuadrado.

35

lgebra - 1ro Sec.


Clave:

1

Clave:

1

Clave:

2

Clave:

2


Si los trminos algebraicos 8xa+2y -3x10 tienen el mismo exponente para su variable. Calcula el valor de a.

a) 6 b) 8 c) 10d)12 e)15

Los trminos 16xy3b-1; 10xy11, presentan la misma parte literal, el valor de b es:

a) 8 b) 6 c) 4d) 7 e) 5

Los trminos: -36x4yb; -2xay3, tienen el mismo exponente en sus variables x e y, respectiva-mente.Encuentraelvalorde2b+3a.

a)20 b)22 c)18d)21 e)25

Los trminos 14x2b-3y, 7x9y, presentan la misma parte literal, el valor de b es:

a) 4 b) 6 c) 5d)8 e)9





lgebra - 1ro Sec.

Clave:Clave:

Clave:Clave:

3

4

3

4Los siguientes trminos:T1 = ax

5ym-1 ; T2 = mxb-2y7 ;T3 = bx

m-3y2a+1 Tienen la misma parte literal, determina: coef(T1) + coef(T2) + coef(T3)

a) 13 b) 16 c) 18d)21 e)23

Dados los trminos:-3xa-1y5 ; 10x5-ay-b+7

si sus partes literales son idnticas, determina ab.

a)2 b)3 c)4d) 5 e) 6

Dados 6xayb-5; -3x8ya+1, donde el exponente de x enelprimertrminoexcedeen2unidadesalexpo-nente de x del segundo trmino y los exponentes de y en ambos trminos son iguales. Cul ser el valor de ab?

a)80 b)100 c)120d) 150 e) 160

Dados 3xm+6yn-9; -3x9y4, donde el exponente de y del primer trmino excede en 3 unidades al exponente de y en el segundo trmino y los ex-ponentes de x en ambos trminos son iguales. Culserelvalorde2m- n?

a) -2 b)-3 c) -4d) -5 e) -6


Resolucin:

Resolucin:

37

lgebra - 1ro Sec.


5

6

5

6

Clave:Clave:

Clave:Clave:

Seala, cul de las siguientes expresiones no es algebraica?I. x3+2x2 + 4wII. x + x2 + x3 + x4 + x5 + ...III. 3wx2 -2

a) I y III b) Slo III c) Slo Id) Todas e) Slo II

Reduce los siguientes trminos de parte literal idntica:

axa-1 + bx5 + 3xb+3

a)5 b)7 c)9d) 11 e) 13

Si los siguientes trminos tienen la misma parte literal: T1 = ax

2a+1y9 ; T2 = bx9y2b+13

reduce: T1 + T2.

a)2x9y6 b) -2x9y9 c)2x6y9

d) -2x6y6 e)2x9y9

Cuntasde lasafirmacionesnosonexpresionesalgebraicas?I. x 5 + 5 x II. x5 + 5x

III. 5/x + x/5 IV. xy + yx

a)Ninguna b)1 c)2d) 3 e) Todas

Resolucin:

Resolucin:Resolucin:

Resolucin:


lgebra - 1ro Sec.

Clave:Clave:

Clave:Clave:

7


7

8 8

NOTA

Si se cumple la siguiente identidad: mxm+1 + nya+1 3xb+1 + 5yn+3

determina mn - ba.

a) 4 b) 5 c) 6d) 7 e) 8

Enelsiguientetrminoalgebraicosucoeficienteesel doble de su exponente T = (c + 1)x(c-1) Deter-mina el exponente del siguiente trmino algebraico.

E=(2c+1)x3c+1

a)2 b)4 c)6d) 8 e) 10

Si los siguientes trminos tienen idnticas partes literales: T1 = abx

a+1y3zc+2 ; T2 = bcx3yb+2z4

T3 = acx2b+1ya+1z2c

Calcula: coef(T1) + coef(T3) - coef(T2)

a)2 b)4 c)6d) 8 e) 10

Si se cumple la siguiente identidad: ax5 + bx2a+1 cxb-1

determina el valor de c.

a)2 b)4 c)6d) 8 e) 10



39

lgebra - 1ro Sec.


Captulo

5Terminos Semejantes

OPERACIONES CON TRMINOS SEMEjANTES

ADICIN

Ejemplos:

SUSTRACCIN

Son aquellos trminos algebraicos que tienen la misma parte literal,siendosuscoeficientesvaloresarbitrarios.

Sesumansuscoeficientesyseconservasuparteliteral.

3x2 + 5x2 = (3 + 5)x2 = 8x2

+

Serestansuscoeficientesyseconservasuparteliteral.

10m3 - 4m3 = (10 - 4)m3 = 6m3

-

Resolucin:

13

Resolucin:

1. Determina e l valor de m si ambos trminos son semejantes: T1 = 4x

2m-1; T2 = 1/3xm+6

Por ser trminos semejantes su parte literal debe ser idntica en ambos trminos:

4x2m-1 semejantes xm+6

De donde sus exponentes tienen que ser iguales, as tenemos:

2m- 1 = m + 6 m = 7

2. Determina a y b si ambos trminos son semejantes: T1 = 5x

a-1y6; T2 = -10x7yb+2

Siendo trminos semejantes ambas partes literales deben ser idnticas:

5xa-1y6 semejantes -10x7yb+2

De donde los exponentes de la variable correspondiente tiene que ser iguales, as tenemos:

exponente de x a - 1 = 7 a = 8 exponente de y b+2=6 b = 4

3x5 ; -8x5 ; x5;2x5

son trminos semejantes porque tienen la misma parte literal

45

Observacin

Si en una reduccin de trminos semejantes los coeficientes no se pueden operar, se deben dejar expresados.

Ejemplo:ax3 + 4x3 = (a + 4)x3

mp3 - 10p3 = (m - 10)p3+

-

3. Determina n en la siguiente identidad: 6xn+1 + 3x4 9x4

Como se ha producido una reduccin de trminos, stos tienen que haber sido semejantes, entonces tienen la misma parte literal, es decir:

6xn+1 semejantes 3x4

De donde sus exponentes tienen que ser iguales: n + 1 = 4 n = 3

Resolucin:


lgebra - 1ro Sec.



1) Reduzca los siguientes trminos semejantes:

a) 3x2 + 5x2 + 7x2 b) -9m5 - 11m5 - 13m5 c) 5x3p -2px3 + 3x3p d)2(-3x) + 3(4(-2x)) e) 3(-4m) - 5(-3m) f) -23xy + 32xy


a) 4x3 - 11x3 + 5x3 b) 5m - 6a + 7m + 11a c) -5x5 + 8x5 -2x5 d) 6mx + 5xm

2) Determina el valor de m en cada una de las siguientes identidades:

a) 3xm + 5x3 8xm b) 4xm-1 + 7x5 11x5 c) 5x2m-1 + 8xm+12 mx25

2) Determina el valor de m en cada una de las siguientes identidades:

a)12x2m+1 + 7x11 19xm+6 b) 4x3m-2 - 3xm+4 x2m+1


a) 3xm+2 + mx5 b) 7x2m+1 - mx7 c) 3mxm-2 + (m + 1)x3


a) 5x2m-1 + mxm+4 b) axb + bxa + 3x3

4) Determina el valor de m si ambos trminos son semejantes:

T1 = 7x3m-1y5, T

2 = -x8y5

4) Dados los trminos semejantes: T1 = 3x

5m-1y5, T2=2x14y7n-2

Determina m + n.

5) Determina el valor de m y n si ambos trminos son semejantes:

T1 = 8x4m+1y5, T

2 = -3x9yn-2

6) Determina el valor de mn si ambos trminos son semejantes:

T1 = 4x5m-2ym+2n, T

2 = x3y5

Rpta: _____

Rpta: _____

Rpta: _____

Rpta: _____

Rpta: _____

Rpta: _____

Rpta: _____

Rpta: _____

Rpta: _____

Rpta: _____

Rpta: _____

Rpta: _____

5) Determina el valor de m si ambos trminos son semejantes:

T1 = 8x2m-1y4, T

2=1/2x5ym+1

6) Determina el valor de m y n si ambos trminos son semejantes:

T1 = 5x2m+3y3n-1, T

2 = x7y8

41

lgebra - 1ro Sec.


Clave:

1

Clave:

1

Clave:

2

Clave:

2



Siendo: A=2mxm+2 . y3m+n

B = 3nx3n-2 . y4m-8

trminos semejantes, calcula: A - B y seale su coeficiente.

a) 28 b) 18 c) 10d) 20 e) 22

Siendo: A(x, y) = mxm+3y2m+n

B(x, y) = nx2n-1y3m+1

trminos semejantes, da su suma.

a) 6x5y7 b) 8x7y5 c) 9x7y5

d) 5x5y7 e) 10x5y7

Si: 4mx2n-1 + 3xp-1 = 15x3, halla m + n + p.

a) 9 b) 4 c) 3d) 7 e) 1

Si: (b3 - 7)xn + x8=21x3m+2, halla m . n + b.

a) 13 b) 48 c) 19d) 20 e) N.A.

Resolucin:

Resolucin:



lgebra - 1ro Sec.

Clave:Clave:

Clave:Clave:

3

4

3

4

Si: P(x, y) = 4zx3+nym

Q(x, y) = 8x10y6-2m,halla z2 + m + n2si:P+Q=12x10ym

a) 49 b) 50 c) 51

d) 52 e) 53

Dados los trminos: R = (a3 - 1)xayb

T = a2b3x3by2a-10

son semejantes. Halla a + b.

a) 6 b) 7 c) 8d) 9 e) 10

Dado: P = 4mxa+3yb

2-1

Q = 3abx5ya3

si2P+Qes26x2a+1 y2b+2, halla (a + b)m

a) 4 b) 5 c) 6d) 7 e) 8

Dados los trminos algebraicos: A = mxm+3y2m+n

A = mx2n-1y12

halla m + n.

a) 4 b) 6 c) 8d) 10 e) 12



43

lgebra - 1ro Sec.


5

6

5

6

Clave:Clave:

Clave:Clave:

Halla la sumade coeficientes de los trminos

semejantes: t1 = 3b

2x2a-10yb-1

t2 = -2axa-4y

a) -1 b) 0 c) 8d) 4 e) 24

Sean los trminos semejantes: t1 = 3ax

2a-1yb-3

t2 = 4bxa+3y2b-9

calcular a + b

a) 2 b) -2 c) 10d) 16 e) 14

Calcula a2 + b2, dados los trminos semejantes: t1 = 3ax

2a-bya+3

t2 = a2xa+3y2b+3

a) 60 b) 45 c) 74d) 13 e) 89

Sabiendo que a, b y c son constantes y que los siguientes trminos:a2(b -2)xa+5yc+2zb+4 , c2(a -2)x10-by10-az7-c

sonsemejantes.Calculalasumadeloscoeficientes.

a) 27 b) 63 c) -23d) -67 e) -75




lgebra - 1ro Sec.

Clave:Clave:

Clave:Clave:

7


7

8 8

NOTA

Si los trminos: t1=2x

a+1xa+2yb-4

t2 = 3xa+3ya+3xy

sumados se pueden reducir a uno solo, calcula ab.

a) 12 b) 48 c) 44

d) 16 e) 8

Sean los trminos semejantes: t1=2

8ax5a-2y2b+3

t2 = 45b2x3a+4yb+7

calcula a - b.

a) 6 b) 7 c) 8d) 9 e) 9

Sean los trminos semejantes: t1 = ax

m ; t2 = bxn ; t3 = cx

p

si t1 + t2 = abxp

t1 + t3 = acxn

t2 + t3 = bcx

calcula:

a) 1 b) 2 c) 3d) 3/2 e) 2/3

ab + ac + bcabc

Se realiza las siguientes sumas de trminos semejantes: axm + bxn = abcxp

axn + cxp=2abcxm

bxp + cxm = 3abcxn

calcula: E =

a) 3 b) 1 c) 1/3d) 3/2 e) 2/3

a + b + cabc

Resolucin:

Resolucin:

Resolucin:

Resolucin:

45

lgebra - 1ro Sec.


Captulo

6Multiplicacin Algebraica

Conocimientos Previos

MULTIPLICACIN DE POTENCIAS DE BASES IGUALES

* 33 . 32 = 33+2 = 35

* 57 . 56 = 57+6 = 513

am . an = am+n

POTENCIA DE UN PRODUCTO

* (2x)4=24 x4 = 16x4

* (3m)5 = 35 m5=243m5

(ab)m = am . bn

POTENCIA DE POTENCIA

* (34)5 = 34(5) = 320

* (x3)6 = x3(6) = x18

(am)n = amn

LEY DE SIGNOS

* (+5)(+6) = +30* (-7)(-4) = +28* (+4)(-3) = -12* (-5)(+9) = -45

a) Multiplicacin

(+) (+) = (+)( - ) ( - ) = (+)(+) ( - ) = ( - )( - ) (+) = ( - )

* (+4)2 = +16* (-3)4 = +81* (+5)3 = +125* (-6)3 = -216

b) Potenciacin

(+)PAR = (+)( - )PAR = (+)(+)IMPAR = (+)( - )IMPAR = ( - )

MULTIPLICACIN DE MONOMIOS

Para multiplicar monomios, primero se multiplica los coeficientesyluegoseefectansuspartesliterales,as

tenemos:(3x3y4)(-5x6y2)

Aplicando la propiedad conmutativa:(3)(-5)(x3)(x6)(y4)(y2)

-15 x3+6 y4+2

De donde: -15x9y6

MULTIPLICACIN DE UN MONOMIO POR UN POLINOMIO Para multiplicar un monomio por un polinomio se aplica la propiedad distributiva y luego se procede efectuando sus coeficientesypartesliterales,astenemos:

-5x4 (3x5 - 4x7)

Aplicando la propiedad distributiva:(-5x4)(3x5) + (-5x4)(-4x7)

-15x9+20x11

De donde:-5x4(3x5 - 4x7) = -15x9+20x11

1. Determina la suma de coeficientes del producto, almultiplicar:

(3x3 -2x2)(-5x + 4x4)

Resolucin:

Aplicando la propiedad distributiva:

(3x3)(-5x + 4x4) + (-2x2)(-5x + 4x4)

-15x4+12x7 + 10x3 - 8x6

\Sumadecoeficientesdelproducto:

-15+12+10- 8 = -1

MULTIPLICACIN DE POLINOMIOS

Para multiplicar polinomios se aplica la propiedad distributiva, as tenemos:

(5x4 - 3x5)(-2x6 + 8x3)


(5x4)(-2x6 + 8x3) + (-3x5)(-2x6 + 8x3)

-10x10 + 40x7 + 6x11 -24x8

2. Determina el mayor coeficiente del producto, al multiplicar:

(5x3 -2x5)(-3x2 - 4x)

Resolucin:


(5x3)(-3x2 - 4x) + (-2x5)(-3x2 - 4x)

-15x5 -20x4 + 6x7 + 8x6

\Mayorcoeficiente:8

Fue tan famoso el libro Kitab al-jabr wa al-muqabalah, la obra ms importante del matemtico rabe Al'Khwarizmi, que parte de su ttulo dio nombre a toda una disciplina matemtica: el lgebra. Al-jabr quiere decir as como restitucin, que es lo que se intenta hacer cuando se resuelve una ecuacin, restituir el valor de la incgnita.

Si buscas esta palabra en el diccionario, encontrars quejuntoasusignificadomatemticoapareceotro

desusado, el de arte de restituir a su lugar los huesos dislocados. Por eso algebrista era tanto el matemtico dedicado al lgebra como el cirujano que se dedicaba a colocar los huesos en su sitio. Una tercera acepcin de algebrista es la de alcahuete. Algo tendr que ver.

3. Determina la cantidad de trminos del producto, al multiplicar:

(3x5 + 6x4)(2x4 - 4x3)

Resolucin:

Aplicando la propiedad distributiva:(3x5)(2x4 - 4x3) + (6x4)(2x4 - 4x3)

6x9 -12x8+12x8 -24x7

Reduciendo trminos semejantes, tenemos: 6x9 -24x7

\ # de trminos = 2

4. Determina el coeficiente del trmino de mayor exponente, al multiplicar:

(5m2 - 3m)(-2m3 + 7m4)

Resolucin:


5m2(-2m3 + 7m4) + (-3m)(-2m3 + 7m4)-10m5 + 35m6 + 6m4 -21m5

Reduciendo trminos tenemos:35m6 - 31m5 + 6m4

\ Coef. del trmino de mayor exponente es 35.

47

lgebra - 1ro Sec.




Rpta: _____

Rpta: _____

Rpta: _____

Rpta: _____

Rpta: _____

Rpta: _____

Rpta: _____

Rpta: _____

Rpta: _____

Rpta: _____

Rpta: _____

Rpta: _____

1) Multiplica: (-2x5y3)(-3y4z3)(-5x4z2)

1) Multiplica: (-4m5n3)(3m3p4)(-2n6p5)

2) Efecta: (-2x3y4)(-3x5y3)(-4x2y5)(-x4y2)

2) Efecta: (-3x4y2)(-5x7y5)(6x8y6)

3) Efecta: (-5x4y3)(4x2y6)(2x8y5)

3) Efecta: (-8x5z5)(-4x3y5)(2x2z4y2)

4) Multiplica: -2m2n(-3mn + 4m3n2) y determina el coeficiente demayor valor del

producto.

4) Multiplica: 14xy2(-2xy3+2x4y3) ycalculalasumadecoeficientesdelproducto.

5) Multiplica: -4y4(-7y3 + 3x3) y determina el coeficiente del trmino que

contiene a x.

5) Multiplica: -3x4(-x3 + y3 + z3) ydeterminalasumadecoeficientesdelproducto.

6) Multiplica: (3m2 - 5m + 1)(-m + 4) y determina el coeficiente del trmino de

exponente uno al obtener su producto.

6) Multiplica: (2m- m2+3)(2- m2) y determina la cantidad de trminos de su

producto.


lgebra - 1ro Sec.

Clave:

1

Clave:

1

Clave:

2

Clave:

2




Si: (7x3y2)(2xy)3 (b3 - 8)xayc,halla (a - b)c.

a) 32 b) 0 c) 1d) 105 e) 64

Si: (2mxayb)2(2x3ayb-1) 32x5y14,halla m + a + b; m > 0

a) 4 b) 8 c) 12d) 16 e) N. A.

Al efectuar: (x+1)(x2x+1)se obtiene xa+1Halla:2a+1 a) 6 b) 7 c) 8d) 9 e) 10

Al efectuar:(x1)(x2+x+1)

Se obtiene xa1halla:3a1

a) 8 b) 9 c) 10d) 11 e) 12


49

lgebra - 1ro Sec.


Clave:Clave:

Clave:Clave:

3

4

3

4

Resolucin:

Resolucin:


Si: P = 4xay2b Q = 5xbya,entonces P . Q es:

a) 20xay2b

b) 20xbya

c) xayb

d) 20xa+by2(a+b) e) 20xa+bya+2b

Sabiendo que:m = xa; n = xb x2 = (mbna)c,

halla (abc).

a) 1 b) 2 c) -1d) -2 e) 0

Calcula2m+nsi:

= x5y2

a) 5 b) 7 c) 9d) 11 e) 21/2

(x3+m) (y7-n)(x3-n) (y6+n)

Halla n si:

= x4

a) 2 b) 4 c) 6d) 8 e) 10

(xn-4)3 . (x4n)2

(xn-2)4 . x6n


lgebra - 1ro Sec.

5

6

5

6

Clave:Clave:

Clave:Clave:


Resolucin:

Resolucin:

Multiplica:(3x2 -2)(6x+7)eidentificaquetrminonoseencuentraensuproducto. a) 18x3 b) 21x2 c) 12xd) -12x e) -14

Multiplica:(5x2 + x)(3x3 - 1)eidentificauntrminodelproducto. a) -15x5 b) 3x4 c) 5x2

d) x e) 5x5

Multiplica:(5x4 - 3x)(6x - 4x3)ydeterminalasumadecoeficientesdelostrminosnegativos. a) 4 b) -4 c) 12d) 42 e) 32

Multiplica:(-3x3 + 5x)(4x - 3x4)ydeterminalasumadecoeficientesdelostr-minos de exponente par. a) 8 b) -8 c) 2d) -2 e) -27

51

lgebra - 1ro Sec.


Clave:Clave:

Clave:Clave:

7


7

8 8

NOTA

Resolucin:

Resolucin:


Multiplica:(9x-2x2)(-5x + 6x3)ysealaelcoeficientedemayorvalor. a) 54 b) 64 c) 10d) 17 e) 8

Multiplica:(3mn-2n)(-5m - 3mn)ydeterminaelcoeficientedemayorvalorenelproducto. a) 2 b) 4 c) 6d) 8 e) 10

Multiplica:(2x+1)(x+2)-2(x+1)(x+1)

a) 5x b) 4x c) 3xd) 2x e) x

Multiplica:(3x + 1)(x + 3) -(3x+2)(x+2)

a) 2x+1 b) 2x-1 c) 2xd) 3x+2 e) 3x-2


lgebra - 1ro Sec.

Captulo

7Productos Notables I

1. Efecta: (x + 5)2

Resolucin:

Aplicando la identidad:(x + 5)2 = x2+2x(5)+(5)2

(x + 5)2 = x2+10x+25

Son aquellos productos que se obtiene en forma directa sin la necesidad de aplicar la propiedad distributiva.

BINOMIO AL CUADRADO

(a + b)2 = a2 + 2ab + b2

(a - b)2 = a2 - 2ab + b2

A) (a + b)2 = (a + b)(a + b)

Por multiplicacin distributiva: (a + b)2 = a(a + b) + b(a + b)

Eliminando parntesis: (a + b)2 = a2 + ab + ab + b2

Reduciendo trminos semejantes: (a + b)2 = a2+2ab+b2

B) (a - b)2 = (a - b)(a - b)

Por multiplicacin distributiva: (a - b)2 = a(a - b) - b(a - b)

Eliminando parntesis: (a - b)2 = a2 - ab - ab + b2

Reduciendo trminos semejantes: (a - b)2 = a2 -2ab+b2

Demostracin:

MULTIPLICACIN DE BINOMIOS SUMA POR DIFERENCIA

(a + b)(a - b) = a2 - b2

(a + b)(a - b) = (a + b)(a - b)

Demostracin:

Por multiplicacin distributiva: (a + b)(a - b) = a(a - b) + b(a - b)

Eliminando parntesis: (a + b)(a - b) = a2 - ab + ab - b2

Reduciendo trminos semejantes: (a + b)(a - b) = a2 - b2

2. Reduce: E = (x + 3)2 - x(x + 6)

Resolucin:

Aplicando la identidad y multiplicacin de expresiones, tenemos:

E = x2+2(3)x+(3)2 - x2 - 6x

Reduciendo trminos semejantes\ E = 9

3. Efecta: M=(x- 5)2 - x(x - 5) + 5x

Resolucin:

Aplicando la identidad y multiplicando las expresiones, tenemos:M=x2 -2(x)(5)+(5)2 - x2 + 5x + 5xM=x2 -10x+25- x2 + 5x + 5xReduciendo trminos semejantes

\M=25

53

lgebra - 1ro Sec.




Rpta: _____

Rpta: _____

Rpta: _____

Rpta: _____

Rpta: _____

Rpta: _____

Rpta: _____

Rpta: _____

Rpta: _____

Rpta: _____

Rpta: _____

Rpta: _____

1) Efecta:* (a + b)2

* (x + y)2

* (x + 1)2

* (a - b)2

* (x - y)2

* (x -2)2

1) Efecta:

* (x + a)2

* (m + 1)2

* (2x+1)2

* (y - a)2

* (n - 1)2

* (3x - 1)2

2) Efecta:

* (a + b)(a - b)* (x + y)(x - y)* (x + 1)(x - 1)* (a+2)(a-2)* (m - 3)(m + 3)* (b - 5)(b + 5)

2) Efecta:

* (2x+1)(2x- 1)* (3m -2)(3m+2)* (2x+5)(2x- 5)* (x2+2)(x2 -2)* (m3 - 1)(m3 + 1)* (p5+2)(p5 -2)

3) Efecta:(x+2)2 - 4(x + 1)

3) Efecta: (2x+1)2 - 4(x2 + x + 1)

5) Reduce: (x + 1)2 - (x - 1)2 + 3x

4) Efecta: (x + 1)(x - 1) - (x + 3)(x - 3)

4) Efecta: (2x+3)(2x- 3) -(2x+5)(2x- 5)

5) Efecta: (x + 4)2 - 8(x + 1) - x2

6) Efecta: (x + 5)2 - (x + 3)2 - 4x

6) Efecta: (x - 3)2 - (x -2)2+2x



lgebra - 1ro Sec.

Clave:

1

Clave:

1

Clave:

2

Clave:

2




Efecta:(x + 6)2 - (x - 4)2 -20(x+1)

a) -2 b) -1 c) 0d) 1 e) 2

Efecta: (x + 3)2 - (x -2)2 - 5(x + 1) a) x b) 2x c) 3xd) 4x e) 5x

Efecta:(2x-1)(2x+1)- 4(x + 3)(x - 3)

a) 15 b) 20 c) 25d) 30 e) 35

Efecta:(x + 4)(x - 4) - (x + 5)(x - 5)

a) 1 b) 4 c) 9d) 16 e) 25

55

lgebra - 1ro Sec.


Clave:Clave:

Clave:Clave:

3

4

3

4



Efecta: (2x+3)(2x- 3) - (x + 3)(x - 3) a) x2 b) 2x2 c) 3x2

d) 4x2 e) 5x2

Efecta:(4x + 1)(4x - 1) - 16(x + 1)(x - 1)

a) 15 b) 14 c) 13d) 12 e) 11

Si:a+b=3yab=2,calcula a2 + b2. a) 3 b) 4 c) 5d) 6 e) 7

Si a+b= 5 y ab = 8,calcula: M=a2 + b2

a) 6 b) 7 c) 8d) 9 e) 10


lgebra - 1ro Sec.

5

6

5

6

Clave:Clave:

Clave:Clave:



Si a2 + b2 = 13 y a + b = 5,calcula ab. a) 7 b) 6 c) 5d) 4 e) 3

Si a2 + b2 = 10 y a - b = 4,calcula ab. a) -1 b) -2 c) -3d) -4 e) -5

Siab=7yab=3,calcula:

a2 + b2

a) 52 b) 53 c) 54d) 55 e) 56

Si a -b=5yab=12,calcula: a2 + b2

a) 45 b) 46 c) 47d) 48 e) 49

57

lgebra - 1ro Sec.


Clave:Clave:

Clave:Clave:

7


7

8 8

NOTA



Si a + b = 7 y a2 + b2 = 17,calcula: N = ab

a) 2 b) 3 c) 4d) 5 e) 6

Si a2 + b2=22ya-b=2,calcula: P = ab

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5

Efecta:4 (x+1)(x-1)(x2+1)(x4+1)+1

a) x b) x2 c) 2xd) 2x2 e) 4x

Efecta:8 (b-1)(b2+1)(b4+1)(b+1)+1

a) b b) b2 c) b2-1d) b+1 e) b-1


lgebra - 1ro Sec.

Captulo

8Productos Notables II

IDENTIDAD DE STEVIN

(x + a)(x + b) = x2 + (a + b)x + ab

* Partiremos de la igualdad: (x + a)(x + b) = (x + a)(x + b)

* Aplicando multiplicacin en el segundo miembro: (x + a)(x + b) = x(x + b) + a(x + b)

* Eliminando los parntesis en el segundo miembro: (x + a)(x + b) = x2 + bx + ax + ab

* Asociando convenientemente: (x + a)(x + b) = x2 + (a + b)x + ab

Demostracin:

* (x+2)(x+3)=x2+(2+3)x+(2)(3) = x2 + 5x + 6

* (x + 5)(x - 1) = x2 + (5 - 1)x + (5)(-1) = x2 + 4x - 5

* (x - 8)(x + 3) = x2 + (-8 + 3)x + (-8)(3) = x2 - 5x -24

* (x - 3)(x - 4) = x2 + (-3 - 4)x + (-3)(-4) = x2 -7x+12

Ejemplos:

VALOR NUMRICO

Es el nmero resultante de reemplazar las letras o expresionesalgebraicasporcantidadesespecficas.

EQUIVALENCIA ALGEBRAICA

Son aquellas expresiones que se pueden reducir bajo ciertas condiciones indicadas.

Ejemplo:

Si a + b = 3 yab=2,calculaM=a2 + b2.Sabemos que: (a + b)2 = a2 + b2+2abReemplazando: (3)2=M+2(2) M=5

Ejemplo:

Si a - b = n y ab = n2,calcula Q = a2 + b2.Sabemos que: (a - b)2 = a2 + b2 -2abReemplazando: (n)2 = Q -2(n2)

\ Q = 3n2

59

lgebra - 1ro Sec.


1. Reduce: A = (x + 4)2 - (x + 3)(x + 5)

Resolucin:

Aplicando identidades:A = x2 + 8x + 16 - (x2 + 8x + 15)

Eliminando el parntesis:A = x2 + 8x + 16 - x2 - 8x - 15

Reduciendo trminos, tenemos:

\ A = 1

2. Reduce: (x+3)(x+2)- (x + 1)(x + 4)

Resolucin:

Aplicando propiedad:x2+(3+2)x+(3)(2)- [x2 + (1 + 4)x + (1)(4)]

Eliminando signos de coleccin:x2 + 5x + 6 - x2 - 5x - 4

Reduciendo trminos, tenemos:\ 2

3. Reduce: (x + 3)(x + 4) - x(x + 7)

Resolucin:

Aplicando propiedad:x2 + (3 + 4)x + (3)(4) - x2 - 7x

Eliminando parntesis:x2+7x+12- x2 - 7x


4. Reduce: (x + 4)2 -(x+9)(x- 1)

Resolucin:

Aplicando identidad:x2+2(x)(4)+(4)2 - [x2+(9-1)x+(9)(-1)]

Eliminando signos de coleccin:x2 + 8x + 16 - x2 -8x+9


5. Si x + y = 6 xy = -2, calcula N = x2 + y2.

Resolucin:

Sabemos que: (x + y)2 = x2 + y2+2xyReemplazando: (6)2=N+2(-2)

\ N = 40

6. Si x2 + y2 = 13 x - y = 5, calcula P = xy.

Resolucin:

Sabemos que:(x - y)2 = x2 + y2 -2xy

7. Si x2 + y2 = 52

xy = 4(3) calcula R = x + y (x > y > 0)

Resolucin:

Sabemos que:(x + y)2 = x2 + y2+2xy

Reemplazando:R2=25+2(12)

R2=49Por condicin (x > y > 0)

\ R = 7

8. Si x - y = 5 xy=12, calculaM=x(x- y) + y(x + y)

Resolucin:

ReduciendolaexpresinM:M=x2 - xy + xy + y2

M=x2 + y2

Sabemos que: (x - y)2 = x2 + y2 -2xyReemplazando: 52=M-2(12)

\M=49

9. Si x + y = m(1 + 1/m) xy = m2/2+m, determina E = x2 + y2.

Resolucin:

Sabemos que:(x + y)2 = x2 + y2+2xy

{m(1+1/m)}2=E+2(m2/2+m) (m + 1)2 = E + m2+2mm2+2m+1=E+m2+2m

\ E = 1

Reemplazando:(5)2 = 13 -2P

\ P = -6


lgebra - 1ro Sec.



Rpta: _____

Rpta: _____

Rpta: _____

Rpta: _____

Rpta: _____

Rpta: _____

Rpta: _____

Rpta: _____

Rpta: _____

Rpta: _____

Rpta: _____

Rpta: _____

1) Efecta: (x + 5)(x -2)- x2 - 3(x - 4)

2) Efecta: (x + 7)(x - 1) - (x + 8)(x -2)

2) Efecta: (x+12)(x- 5) - (x + 10)(x - 3)

3) Efecta: 4(x + 1)2 -(2x+1)(2x+3)

3) Reduce: 4(x + 1)2 -(2x+5)(2x- 1)

1) Efecta: (x + 7)(x + 3) -5(2x+4)- x2

4) Si x + y = 4 y xy = 3, calcula x2 + y2.

4) Si m + n = 3 y m . n = 4, calcula m2 + n2.

5) Si x - y = 4 xy=2, calcula x2 + y2.

5) Si x - y = 5 xy = 10,

calcula x2 + y2

9

6) Si x2 + 6x = 1, calcula: (x+2)(x+4)+(x+8)(x-2)

6) Si x2+2x+4=0,calcula: (x + 3)(x - 1) + (x + 1)2


61

lgebra - 1ro Sec.


Clave:

1

Clave:

1

Clave:

2

Clave:

2




Efecta:(x -7)(x+2)- (x -9)(x+4)

a) 20 b) 22 c) 24d) 26 e) 28

Reduce:(x - 5)(x - 3) -(x+2)(x- 10)

a) 35 b) 30 c) 25d) 20 e) 15

Reduce:(x+9)(x- 5) -(x+2)2+49

a) -2 b) -1 c) 0d) 1 e) 2

Efecta:(2x+5)(2x- 1) - 4(x + 1)2 + 10

a) -2 b) -1 c) 0d) 1 e) 2


lgebra - 1ro Sec.

Clave:Clave:

Clave:Clave:

3

4

3

4



Reduce:(x + 16)(x - 6) - (x + 5)2 + 112

a) -2 b) -1 c) 0d) 1 e) 2

Efecta:(2x+7)(2x- 3) - 4(x + 1)2+27

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5

Reduce:(m2 + 4)(m + 1)(m - 1) - (m2+2)(m2 -2)

a) 3m b) 3m2 c) 2md) 2m2 e) m4

Reduce:(a2 + 3)2 - (a2 + 7)(a2 - 1)

a) 8 b) 10 c) 12d) 16 e) 24

63

lgebra - 1ro Sec.


5

6

5

6

Clave:Clave:

Clave:Clave:



Sia+b=3yab=2,calcula Q = aab + bab. a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5

Sia+b=2yab=2,calcula P = aa+b + bab

a) -2 b) -1 c) 0d) 1 e) 2

Si a + b = 3 y ab = 4,calcula F = a(a + 1) + b(b + 1). a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5

Si a - b = 5 y ab = 8,calcula N = a2 + b2. a) 40 b) 41 c) 42d) 43 e) 44


lgebra - 1ro Sec.

Clave:Clave:

Clave:Clave:

7


7

8 8

NOTA


Resolucin:

Resolucin:

Si a2 + b2=27yab=23

calculaM=a+b(a>b>0) a) 10 b) 11 c) 12d) 13 e) 14

Si a2 + b2 = 4(5) y ab = 8calcula: D = a + b a) 4 b) 5 c) 6d) 7 e) 8

Si x = m + 1 y y = m - 1,determina R = x2 - y2.

a) m b) 2m c) 4md) -2m e) -4m

Si: x = y y = ,

determina: E = (x + y)2 + (x - y)2 - 1

a) n2 b) 2n c) 4nd) -n2 e) 0

n + 12

n - 12

65

lgebra - 1ro Sec.


Captulo

9Factorizacin I

ConceptoSe denomina as, al proceso inverso a la multiplicacin algebraica. Consiste en expresar un polinomio en la multiplicacin indicada de factores primos.

(x+3)(x+2)=x2 + 5x + 6

x2+5x+6=(x+3)(x+2)

Multiplicacin

Factorizacin

Factor Primo Es aquel polinomio de grado no nulo, que no se puede expresar como la multiplicacin de polinomios.

E(x) = (x + 3)4(x + 5)6(x - 1)8

* (x + 3) * (x + 5) * (x - 1)

Expresin factorizada

FactoresPrimos

Factor o Divisor Es aquel polinomio de grado no nulo, que divide exactamente a otro polinomio.

E(x) = (x + 1)(x - 1)

* (x + 1) * (x - 1) * (x + 1)(x - 1)

Expresin factorizada

Factoreso Divisores

Mtodos para Factorizar Polinomios

Seaplicacuandoseidentificaqueexistenvariables(oexpresiones) comunes en cada trmino.

1. FACTOR COMN

Ejemplo:

E=2mx+3nx- 4p x

letra comnDe donde:

E=x(2m+3n- 4p)Ejemplo:

E=2x3 + 3x2 - 5x4

letra comn de menor exponente De donde:

E = x2(2x+3- 5x2)

Ejemplo:

E = 6 m n + 8 m p - 10 m q

2esdivisorcomn deloscoeficientesDe donde:

E=2m(3n+4p- 5q)

letra comn

Ejemplo:

E = 3x2(x+2)-5y(x+2)

factor comn

E=(x+2)(3x2 - 5y)

Se aplica cuando existe una caracterstica comn en una cantidad de trminos y por grupos.

2. AGRUPACIN DE TRMINOS

Ejemplo:

letra comn

E = ax + ay + bx + by

letra comn


lgebra - 1ro Sec.

Ejemplo:

P = x2 + xz - xy - yz

Agrupamos convenientemente:

P = (x2 - xy) + (xz - yz) P = x(x - y) + z(x - y)

Extraemos el factor comn:P = (x - y)(x + z)

letra comn

letra comn

Agrupamos convenientemente:E = (ax + ay) + (bx + by)

E = a(x + y) + b(x + y)

Extraemos el factor comn:E = (x + y)(a + b)

1. Luego de factorizar: P(x, y) = 15x3y6 -20x5y5+25x7y3, indica el nmero

de factores primos.

Resolucin:

P(x, y) = 5x3y3

P(x, y) = 5x3y3(3y3 - 4x2y2 + 5x4)

x y 3y3 - 4x2y2 + 5x4

# de factores primos = 3

15x3y6

5x3y3( (- 20x5y5

5x3y3+ 25x

7y3

5x3y3factor comn

Factoresprimos

2. Factoriza e indica el nmero de factores primos: P(x, y) = x2(x+1)+2y2(x + 1) + xy(x + 1)

Resolucin:

P(x, y) = (x + 1)[x2+2y2 + xy]

x + 1 x2+2y2 + xy

Factoresprimos

3. Luego de factorizar: P(x) = x3 + x2+x+1,indicalasumadecoeficientes

del factor cuadrtico.

Resolucin:

Agrupando convenientemente:

P(x) = x3 + x2 + x + 1

P(x) = x2(x + 1) + (x + 1)

P(x) = (x + 1)[x2 + 1]

4. Factoriza: M=ax+ay+az+bx+by+bz

Resolucin:

Agrupando convenientemente:M=ax+ay+az+bx+by+bz

M=a(x+y+x)+b(x+y+z)

M=(x+y+z)(a+b)

5. Factoriza: 6xy - 10 + 4y - 15x

Resolucin:

Agrupando convenientemente: 6xy - 15x + 4y - 10

3x(2y-5)+2(2y- 5)(2y-5)(3x+2)

6. Factoriza: 12mnp-20mp+18np- 30p

Resolucin:

Reservamos el factor comn:2p[6mn-10m+9n- 15]

Agrupamos en el corchete:2p[(6mn-10m)+(9n- 15)]

2p[2m(3n- 5) + 3(3n - 5)]

Reservamos el factor comn del polinomio:

2p[(3n-5)(2m+3)]

El suizo universal

Los cuadrados latinos son una invencin del suizo Euler. Son creaciones ligeramente ms sencillas que los cuadrados mgicos, ya que en ellos, si bien tambin se parte de una configuracin cuadradadivididaencasillas,sloseexigequeencadafilayencada columna exista un elemento tomando de entre dos categoras sin que se repita ninguna. El primer problema propuesto al respecto proviene de Euler, quienpropusoen1782elproblemadelosoficiales.

Factor cuadrtico: x2 + 1Sumadecoeficientes:1+1=2

67

lgebra - 1ro Sec.




1) Factoriza: A = x2m + x2n + x2q

2) Factoriza: C = 3x2+6xy+9xz

3) Factoriza: D = x3 - 3x2 + 4x5

4) Factoriza: G = x2yz + xy2z + xyz2

5) Factoriza:

C = x(z + 1) + y(z + 1) + (z + 1)

6) Factoriza: x2(x + y) + z2(x + y) + y2(x + y)

2) Factoriza: A = 3amc + 6anc - 3ac

4) Factoriza: H = x2y2 + xy

5) Factoriza: x(y + z) + y(y + z) + z(y + z)

6) Factoriza: x(x2 + y) + y2(x2 + y)

1) Factoriza: B = x3a + x3b + x3c

3) Factoriza: F = x4 -2x3 + 3x4

Rpta: ________

Rpta: ________

Rpta: ________

Rpta: ________

Rpta: ________

Rpta: ________

Rpta: ________

Rpta: ________

Rpta: ________

Rpta: ________

Rpta: ________

Rpta: ________



lgebra - 1ro Sec.

Clave:

1

Clave:

1

Clave:

2

Clave:

2


Factoriza: x3z + x2z2 + xz3

a) x b) x2 + z2 c) z2 + x d) x2+ z2 + 1 e) x2 + z

Resolucin:

Factoriza: 2x2y+2xy2 + xyz a) xy b) y c) x + y d)2x+z e)2y+z

Resolucin:

Factoriza: ax - ay + bx - by a) a - b b) a+ x c) b + y d) x - y e) x - a

Resolucin:

Factoriza: mn + mb + an + ab a) m + n b) a + b c) m + a d) b + m e) a + n

Resolucin:

69

lgebra - 1ro Sec.


Clave:Clave:

Clave:Clave:

3

4

3

4

Factoriza: ac - a - bc + b a) a + 1 b) b + 1 c) a + b d) c - 1 e) c + 1

Resolucin:

Factoriza: a2 - ab + ac - bc

a) a + b b) a - c c) b + c d) b - c e) a - b

Resolucin:

Factoriza: ac - ad + bd - bc a) a - b b) a - c c) b + d d) b - d e) a + c

Resolucin:

Factoriza: 2am-3an+2mb- 3bn

a) m -2n b) 2m-3n c) 2m- n d) 2m+3n e) m- n

Resolucin:


lgebra - 1ro Sec.

5

6

5

6

Clave:Clave:

Clave:Clave:

Factoriza: 4mp+2mq+2np+nq a) 2m+p d) m+q b) 2q+p e) n+p c) 2m+n

Resolucin:

Factoriza: 2m2n + m2 + 6mn + 3m

a) n + 1 b) n -1 c)2n- 1 d)2n+1 e)2n+m

Resolucin:

Factoriza: 15xy+20x+6y+8

a)5x+2 b)3y+2 c)5x+4 d) 6y + 8 e) 5x + y

Resolucin:

Factoriza: 2t5 + 5t3 + 6t2 + 15

a) t3 + 3 b) t2+2 c)2t2 + 5 d) t3 + 1 e) t2 + t3

Resolucin:

71

lgebra - 1ro Sec.


Clave:Clave:

Clave:Clave:

7


7

8 8

NOTA

Factoriza: m2n2 + an2 + bm2 + ab

a) m2 + a b) m2 + n2 c) m2 + b d) a + b e) n2 + a

Resolucin:

Factoriza: m3p2+2m3 + p2+2

a) m3 b) m3 + 1 c) m3+2 d) p2 e) p2 + 1

Resolucin:

Factoriza: m2n - m2 + 3mn - 3m

a) n b) m c) m - 3 d) m - 1 e) n + 1

Resolucin:

Factoriza: x3y -2x2y + 3xy - 6y

a)x+3 b)x+2 c)y+2 d) y e) x

Resolucin:


lgebra - 1ro Sec.

Captulo

10Factorizacin II

Se aplica para trinomios de la forma:

ASPA SIMPLEMtodos para Factorizar Polinomios (continuacin)

Se aplica cuando los polinomios a factorizar presentan una de las siguientes formas:

IDENTIDADES

a2 - b2 = (a + b)(a - b)a2 + 2ab + b2 = (a + b)2

a2 - 2ab + b2 = (a - b)2

Ejemplo:

E = x2 - 16

Identifiquemoslaforma:E = x2 - 42

De donde:E = (x + 4)(x - 4)

Ejemplo:

E = 4x2 -25

Identifiquemoslaforma:E=(2x)2 - 52

De donde:E=(2x+5)(2x- 5)

Ejemplo:

E = 4m2 -9n2

Identifiquemoslaforma:E=(2m)2 - (3n)2

Dedonde: E=(2m+3n)(2m- 3n)

Ax2 + Bx + C

Procedimiento:

* Se identificalaformageneral.* Se descomponen el trmino cuadrtico y el trmino

independiente en dos divisores.* Se multiplican los divisores obtenidos en aspa y los

productos obtenidos en suma deben comprobar el tercer trmino.

* Se eligen los factores en forma horizontal.

Ejemplo:

M=x2 + 11x + 30 x 6 6x + x 5 5x 11x comprueba

en factores:M=(x+6)(x+5)

M=2x2 - 5x + 2

2x-1 -x +

x -2 -4x

-5x

comprueba

en factores:M=(2x- 1)(x -2)

Ejemplo:

73

lgebra - 1ro Sec.




1) Factoriza: x2 - 36

2) Factoriza: 4m2 -9

3) Factoriza: 8x2 - 18y2

4) Factoriza: 27m2 - 3

5) Factoriza: (x + 3y)2 - 4y2

6) Factoriza: x2 + 8x + 16

2) Factoriza: 4m2 -25n2

3) Factoriza: 100x2 - y2

4) Factoriza: 98m2 - 18a2

5) Factoriza: (x + m)2 - y2

1) Factoriza: x2 -49

6) Factoriza: x2+7x+12

Rpta: ________

Rpta: ________

Rpta: ________

Rpta: ________

Rpta: ________

Rpta: ________

Rpta: ________

Rpta: ________

Rpta: ________

Rpta: ________

Rpta: ________

Rpta: ________



lgebra - 1ro Sec.

Clave:

1

Clave:

1

Clave:

2

Clave:

2


Factoriza: 4x2 - 4x + 1 a) 4x - 1 b) x + 4 c) x - 4 d)4x+1 e)2x+1

Resolucin:

Factoriza: 9x2(x2 - 1) - (x2 - 1) a)x+2 b)x-2 c)3x- 1 d) x + 3 e) x - 3

Resolucin:

Factoriza: 25x2(4x2 - 1) - (4x2 - 1) a) x + 5 b) x -5 c)2x- 1 d)x+2 e)x-2

Resolucin:

Factoriza: x2 -11x+24 a) x - 3 b) x - 6 c) x - 4 d) x -12 e)x-2

Resolucin:

75

lgebra - 1ro Sec.


Clave:Clave:

Clave:Clave:

3

4

3

4 Factoriza: 8m2+2+8m a) m+2 b) 4m+1 c) m+1 d) m+8 e) 2m+1

Resolucin:

Factoriza: 3x2 - 8x + 4 a) 3x - 1 b) 3x + 1 c) 3x - 4 d) 3x + 4 e) 3x -2

Resolucin:

Factoriza: 6x2 + 5x - 4 a)2x+1 b)3x-2 c)3x+2 d)3x+4 e)2x- 3

Resolucin:

Factoriza: 6x2 + 13x - 5 a) 3x -1 b)2x- 5 c) 3x - 5 d)3x+5 e)2x+1

Resolucin:


lgebra - 1ro Sec.

5

6

5

6

Clave:Clave:

Clave:Clave:

Factoriza: 4x2+12xy+9y2

a) 4x + 3 b) 4x -3 c)2x+9 d)2x-3 e)2x+3

Resolucin:

Factoriza: 10x2 -9xy+2y2

a) 2x+y b) 2x-y c) 5x+2y d) 5x - y e) 5x + y

Resolucin:

Factoriza: x2 + 4x -32

a) x -2 b)x- 4 c) x - 6 d) x -8 e)x+2

Resolucin:

Factoriza: x2 + 8x -20

a) x -10 b)x+2 c)x-2 d) x + 4 e) x + 5

Resolucin:

77

lgebra - 1ro Sec.


Clave:Clave:

Clave:Clave:

7


7

8 8

NOTA

Factoriza: a4 - 13a2 + 36

a) 2a2 b) 2a2 + 13 c) 4a d) 4a+7 e) 2a2 - 18

Resolucin:

Factoriza: m4 - 5m2 + 1

a) 2m b) 4m+1 c) 3m+1 d) 4m + 3 e) 4m

Resolucin:

Factoriza: (x - y)3 - 5(x - y)2 + 4x - 4y

a) 3a -5 b)2a- 7 c) 3a + 4 d) 3a -2 e)4a- 5

Resolucin:

Factoriza: (a - b)3 - (a - b)2 -2(a- b)

a) 3(a - b) b) 3(a - b) -1 c)2(a- b) - 1 d)2(a- b) + 3 e) 3(a - b) + 1

Resolucin:


lgebra - 1ro Sec.

Captulo

11Ecuacin de Primer Grado I

CONCEPTOS PREVIOS

Se llama igualdad a la relacin que nos indica que dos expresiones tienen el mismo valor. As, si las expresiones P y S tienen el mismo valor, decimos que son iguales y escribimos: P = S.

Donde P se llama el primer miembro y S el segundo miembro.

IGUALDAD

Esunaigualdadabsoluta,puesseverificaparacualquiervalor numrico de las variables.

IDENTIDAD

Ejemplos:

(x + y)(x2 - xy + y2) x3 + y3

(x + y)3 x3 + 3x2y + 3xy2 + y3

DEFINICIN DE ECUACIN

Una ecuacin es aquella relacin de igualdad que se establece entre dos expresiones matemticas.

A(x, y, z, ..., w) = B(x, y, z, ..., w)

A(x, y, z, ..., w) - B(x, y, z, ..., w) = 0

Forma general:

F(x, y, z, ..., w) = 0

Ejemplo:

3x+2=2x- 33x+2-(2x- 3) = 0

x = -5

SOLUCIN DE UNA ECUACIN

Es aquel valor, que asignado a la variable de la ecuacin hace que la igualdad se cumpla.

Ejemplo:

En la ecuacin:2x + 1 = x2

99

se cumple la igualdad si:x = 3

CONjUNTO SOLUCIN DE UNA ECUACIN (C.S.)

Es aquel conjunto formado por todas las soluciones de dicha ecuacin. Si la ecuacin no tiene solucin, entonces su conjunto solucin es el conjunto vaco .

Observacin

Resolverunaecuacinsignificahallar su C.S.

79

lgebra - 1ro Sec.


1. Resuelve: 5(x - 1) = 3(x + 1)

Resolucin:

5x - 5 = 3x + 3 5x - 3x = 5 + 32x=8x=8/2 x = 4C.S.={4}

2. Resuelve: 2(x+1)+4(x-1)=3(x+2)+1

Resolucin:

2x+2+4x- 4 = 3x + 6 + 1 6x -2=3x+7 6x -3x=7+23x=9x=9/3 x = 3C.S.={3}

Resolucin:

SacamoselMCM(2,4)=4

Multiplicamosatodopor4:

4 . + 4 . = 3 . 4

2x+x=123x=12x=12/3 x = 4C.S.={4}

3. Resuelve: x

2x4

+ = 3

x2

x4

4. Resuelve: x+2

4x + 3

5+ = 2

Resolucin:

SacamoselMCM(4,5)=20


20+20=2.20

5(x+2)+4(x+3)=405x+10+4x+12=409x+22=40

x+24( ( x + 35( (

9x=18x=18/9 x = 2C.S.={2}

Resolucin:

MCM(5,2,3)=30


30 - 30 + 30 =3.30

6(x+2)- 15(x -4)+10(x+1)=906x+12-15x+60+10x+10=90 16x -15x+82=90

x=90-82 x = 8C.S.={8}

x-42( (x+25( (

5. Resuelve: x+2

5x - 42

- = 3x + 13

+

x+13( (

ECUACIN LINEAL

Son aquellas ecuaciones polinomiales que se reducen a la siguiente forma general:

P(x) = ax + b = 0 / a 0

ax + b = 0ax + b + (-b) = (-b) + 0

Resolucin:

ax + 0 = -b ax = -b

(como a 0 a-1 0) a-1 . ax = a-1 . (-b) 1 . x = (-b)

x = - \ C.S. = {-b/a}

1a

ba

Ejemplo:

3x+9=0 C.S. = {-3} x = -3

1 raz 1 solucin

Se observa:# Races = # Soluciones = 1


lgebra - 1ro Sec.



1) Resuelve: 7x+2=3x+14

2) Resuelve: 3(x+1)=2(x+3)

1) Resuelve: 4x+5=2x+7

3) Resuelve: 3(x+1)+2x=2(x+1)+4

3) Resuelve: 3(x -1)+2(x+1)=4(x+1)

x+23

x + 34

=

5) Resuelve:x + 3

5x+2

4=

4) Resuelve: 2x+3+5x=4x+6+x

5) Resuelve:

6) Resuelve:2x+1

57x - 1

13=

6) Resuelve: 3x -2

75x + 1

16=

4) Resuelve: 7x+2+9x=6x+10+8x

2) Resuelve: 3(x -1)=2(x+1)

Rpta: ________

Rpta: ________

Rpta: ________

Rpta: ________

Rpta: ________

Rpta: ________

Rpta: ________

Rpta: ________

Rpta: ________

Rpta: ________

Rpta: ________

Rpta: ________


81

lgebra - 1ro Sec.


Clave:

1

Clave:

1

Clave:

2

Clave:

2


Resuelve:

a)1 b)2 c)3 d) 4 e) 5

Resolucin:

x2

x4

+ = 3

Resuelve:

a)2 b)4 c)6 d)8 e)12

Resolucin:

x3

x6

+ = 3

Resuelve:

a)10 b)12 c)24 d) 36 e) 48

Resolucin:

x3

x4

+ = 8x12

+

Resuelve:

a)12 b)13 c)14 d) 15 e) 16

Resolucin:

x2

x4

+ = 15x16

+x8

+


lgebra - 1ro Sec.

Clave:Clave:

Clave:Clave:

3

4

3

4

Resuelve:

a)1 b)2 c)3 d) 4 e) 5

Resolucin:

x + 12

x+23

+ = 2

Resuelve:

a)1 b)2 c)3 d) 4 e) 5

Resolucin:

x+24

x + 35

+ = 2

Resuelve:

a)2 b)4 c)6 d) 8 e) 10

Resolucin:

x + 35

x + 43

+ = 3

Resuelve:

a)1 b)2 c)3 d) 4 e) 5

Resolucin:

x + 12

x+27

+ = 4

83

lgebra - 1ro Sec.


5

6

5

6

Clave:Clave:

Clave:Clave:

Resuelve:

a)1 b)2 c)3 d) 4 e) 5

Resolucin:

3x + 12

2x- 15

- =+ x + 14

5

Resuelve:

a)2 b)4 c)6 d) 8 e) 10

Resolucin:

x+25

x - 42

- =+ x + 13

3

Halla x en:

a)16 b)28 c)20 d) 30 e) 18

Resolucin:

5x7

- 4 = x -12

Halla el valor de "x" en:

a)10 b)11 c)12 d) 14 e) 16

Resolucin:

x2

- x = x4

-9


lgebra - 1ro Sec.

Clave:Clave:

Clave:Clave:

7


7

8 8

NOTA

Halla el valor de x en la siguiente ecuacin:

a)1/2 b)1/4 c)-1/4 d) -1/2 e)1

Resolucin:

x6

=+ 32

x2

+ 53

Halla el valor de x en:

a)9 b)8 c)7 d) 6 e) 5

Resolucin:

8x3

=+ 12

5x4

-2

Halla el valor de x en:

a) -15 b) -25 c)-35 d) -45 e) -55

Resolucin:

3x7

3 + - 2x5

= x3

413

+

Halla x en:

a)1/5 b)2/5 c)3/5 d) 4/5 e) 1

Resolucin:

x + 34

- x - 12

= x6

+ 1

85

lgebra - 1ro Sec.


Captulo

12Ecuacin de Primer Grado II

(a + b)(a - b)(a - b)

x =

x = a + b

ECUACIN LINEAL PARAMTRICA

Son aquellas ecuaciones polinomiales que se reducen a la siguiente forma general:

A(m) x = B(m)donde A(m) y B(m) son expresiones en funcin del parmetro m.

Ejemplo 1:

(m+1)x=m+2

\ x = m+2m + 1

Ejemplo 2:

(m -2)x=m2 - 4

x =

x =

\x=m+2

m2 - 4m -2(m+2)(m-2)

(m -2)

1. Resuelve en x: 2mx+3m=5(m+1)- 3

Resolucin:

2mx+3m=5m+5- 32mx=2m+2

x =

x =

2m+22m

m + 1m

2. Resuelve en x: 2(x- a) + 3(x - b) = 4(x + a + b)

Resolucin:2x-2a+3x- 3b = 4x + 4a + 4b 5x -2a- 3b = 4x + 4a + 4b

5x -4x=4a+4b+2a+3b x = 6a + 7b

Resolucin:

4(2x-m)=2(3x+m) 8x -4m=6x+2m 8x -6x=4m+2m2x=6mx=6m/2

x = 3m

3. Resuelve en x: 2x- m

23x + m

4=

4. Resuelve en x: m(x+1)+n(x+1)=2(m+n)

Resolucin:

mx+m+nx+n=2m+2nmx+nx=2m+2n- m - n

x(m + n) = m + n

x = 1

5. Resuelve en x: ax + b2 = a2 + bx

Resolucin:

ax - bx = a2 - b2

x(a - b) = a2 - b2

x = a2 - b2

a - b


lgebra - 1ro Sec.



1) Resuelve en x: 3x+m+1=2x+2m

1) Resuelve en x: 2x+n-2=x+3n

2) Resuelve en x: 2x+a+b+3x=3b+2a

2) Resuelve en x:

3x+4x+2a+2b=5x+3a+b

3) Resuelve en x: 3(x+a)=5a+2

3) Resuelve en x: 3(x+b)=2(x+a)

4) Resuelve en x:

2(x+m)+2n+3x=4(x+n)

4) Resuelve en x:

2(x- a) + 3(x - b) = 4(x + a + b)

2x- m2

3x + m4

=

5) Resuelve en x:

2x+K3

x+K2

=

5) Resuelve en x:

3x + a + b2

x + a + b2

=

6) Resuelve en x:

6) Resuelve en x: x + m + n

2x + m+ n

3=

Rpta: ________

Rpta: ________

Rpta: ________

Rpta: ________

Rpta: ________

Rpta: ________

Rpta: ________

Rpta: ________

Rpta: ________

Rpta: ________

Rpta: ________

Rpta: ________


87

lgebra - 1ro Sec.


Clave:

1

Clave:

1

Clave:

2

Clave:

2


Resuelve: a(x - a) + b(x -b)=2ab

a) a + b b) 1/a + 1/b c) a - b d) a e) ab

Resolucin:

Resuelve: m(x - n) + n(x + m) = m + n

a) m b) n c) m + n d) 1 e) 0

Resolucin:

Resuelve: m(x - m) - n(n -x)=2mn

a) m + n b) m - n c) mn d) 1/m e) 1/n

Resolucin:

Resuelve: m(x+1)+n(x+1)=2(m+n)

a)1 b)2 c)3 d) 4 e) m + n

Resolucin:


lgebra - 1ro Sec.

Clave:Clave:

Clave:Clave:

3

4

3

4

Resuelve en x: a(x + a) + b(-x+b)=2ab

a) a + b b) b - a c) ab d) a e) b

Resolucin:

Resuelve en x: a(x+b)+b(x+a)=ab(a+b+2)

a) ab b) a c) b d) a + b e) a - b

Resolucin:

Resuelve en x: ax + b2 = bx + a2

a) a + b b) a - b c) ab d) ab + a e) ab + b

Resolucin:

Resuelve en x: ax + b3 = bx + a3

a) a2 + ab + b2 b) a2 - ab + b2 c) ab d) a + b e) a2 + b2

Resolucin:

89

lgebra - 1ro Sec.


5

6

5

6

Clave:Clave:

Clave:Clave:

Resuelve en x: a2(x - a) + b2(x - b) = abx

a) a + b b) a - b c) ab d)2ab e)a2 + b2

Resolucin:

Resuelve en x: m2(x - m) + n2(x + n) = -mnx

a) m + n b) m - n c) m2 + mn + n2

d) m2 - mn + n2

e) 1

Resolucin:

Resuelve:

a) 1 b) 3b c) 5b d) -3b e)24b

Resolucin:

x - b2

x + b3

= 4b+

Resuelve:

a) 5n b) -5n c) 5n/4 d) -5n/4 e) 5n/6

Resolucin:

x + n3

x - n2

x + 4n6

+ =


lgebra - 1ro Sec.

Clave:Clave:

Clave:Clave:

7


7

8 8

NOTA

Resuelve: a(x - a) + b(x + b) = 0

a) a + b b) a -b c)2a d) b - a e) a

Resolucin:

Resuelve: x2 + (m + n)x = -mn da como respuesta una solucin:

a) m b) n c) -m d) -2n e)-2m

Resolucin:

Resuelve:

a) a + b b) a - b c) a d) b e) b - a

Resolucin:

x - ab

x - ba

+ =2

Resuelve:

a) a[(b + c)/(b - c)] b) b[(a + c)/(a - c)] c) c[(a - b)/(a + b)] d) (b + c)/(b - c) e) N.A.

Resolucin:

x+ax - a

bc

=

91

lgebra - 1ro Sec.


Captulo

13Ecuacin Cuadrtica I

Ejemplo:

2x2 + x + 1 = 0 ; x2+2=0

ax2 + bx + c = 0 ; a 0

RESOLUCIN DE LA ECUACIN CUADRTICA

* Por Factorizacin

A. Aspa Simple

Ejemplos:

x2 - 4x -12=0 x -6 x+2

(x -6)(x+2)=0 x1 = 6 ; x2 = -2

2racesdiferentes

C.S. = {6, -2}

2soluciones

4x2 - 4x + 1 = 0 2x-1 2x-1

(2x

6-algebra 1ro (1 - 16)

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