algebra integral

7/18/2019 ALGEBRA Integral

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AXIOMAS DE LA

AXIOMAS DE LA

AXIOMAS DE LEYDISTRIBUTIVA

AXIOMAS DE ORDEN

ALGEBRA

AXIOMAS DE NUMEROS REALES

TEORIA DE EXPONENTESECUACIONES DE PRIMER GRADOECUACIONES EXPONENCIALES

El sistema de los números reales es un

conjunto no vacío denotado por ℜ condos operaciones internas llamadas:1) Adición (+) : Ψ (a,b) = a+b2) ultiplicación (!) : Ψ (a,b) = a!b " una relación de orden #$% ($, se lee #menor &ue%)' el cual

satisace los siuientes a*iomas!

I.

A1: e" de clausura ∀ a, b ∈ ℜ → a + b ∈ ℜA2: e" conmutativa ∀ a, b ∈ ℜ → a + b = b+aA: e" Asociativa

∀ a, b, c ∈ ℜ → ( a + b ) + c = a + ( b + c )

A-: E*istencia " unicidad delelemento neutro aditivoE*iste un valor único ∈ ℜ,denotado por #.% (., se lee cero)

tal &ue∀ a ∈ ℜ: a + . = a = . + aA/: E*istencia " unicidad del

elemento inverso aditivo∀ a ∈ ℜ, e*iste un valor únicodenotado por 0a tal &ue: ∀ a ∈ ℜ:a + (0a) = . = (0a) + a

II.

1: e" de clausura∀ a, b ∈ ℜ → a!b ∈ ℜ

2: e" conmutativa

∀ a, b ∈ ℜ → a!b = b!a: e" Asociativa: ∀ a, b, c ∈ ℜ →

( a ! b ) ! c = a ! ( b ! c )

-: E*istencia " unicidad delelemento neutro multiplicativoE*iste un valor único ∈ ℜ,denotado por #1%( 1, se lee uno ) tal &ue∀ a ∈ ℜ: a!1 = a = 1!a

/: E*istencia " unicidad delelemento inverso multiplicativo∀ a ∈ ℜ a ≠ .' e*iste un valorúnico denotado por a 0 1 tal &uea. a 0 1 = 1 = a 0 1! a

III.

∀ a, b, c ∈ ℜ1: istributividad por la i3&uierda

a ( b + c ) = a b + a c2: istributividad por la derec4a

( a + b ) c = ac + bc

IV.

51 = e" de 6ricotomíaados a " b ∈ ℜ' se cumple una" solamente una de las siuienterelaciones:

a $ b a = b b $ a

52 = e" 6ransitiva, ∀ a, b, c ∈ ℜ,se cumple 7i' a $ b ∧ b $ c

⇒ a $ c5 = e" de la onotoníai) ∀ a, b, c ∈ ℜ'

si a $ b ⇒ a + c $ b + c

1.1

AXIOMAS DE LARELACIÓN DE IGUALDAD

DE LOS NÚMEROS

ALGEBRAii) 7i a $ b ∧ . $ c ⇒ ac $

bciii) 7i a $ b ∧ c $ . ⇒ bc $

ac

V.

∀ a, b, c ∈ ℜ, se cumple

1) icotomía: a = b ∨ a ≠ b2) 8ele*ividad: a = a) 7imetría: a = b → b = a-) 6ransitividad:

7i : a = b ∧ b = c → a = c/) 9nicidad de la adición

7i: a = b ⇒ a+c = b+c) 9nicidad de la multiplicación

7i: a = b ⇒ a!c = b!c

VI.

6odo conjunto A de números reales (A ≠.: no vacío) acotado superiormente,tiene una menor cota superior, llamadosupremo de A!

RECTA REAL (INTERPRETACIÓNGEOMÉTRICA)

a recta real es una recta eom;tricade ininitos puntos donde cada uno delos puntos establece unacorrespondencia biunívoca con losnúmeros reales, esto nos permitevisuali3ar una relación de orden $(menor &ue) entre dos o m<scantidades, como ilustra la r<icaadjunta!

Intervalo cerradoIntervalo abierto

#s negativos #s positivos

A B

0b- 8 + 8

a relación a $ b al raicarla en larecta real nos indica &ue la cantidad #a% se encuentra a la i3&uierda de lacantidad #b%!on respecto a la recta eom;tricadebemos tener en cuenta lo siuiente:1! #.% (cero), es el orien de la recta

real, no tiene sino!2! os números neativos son

menores &ue cero!! El cero es menor &ue cual&uier

número positivo!-! El conjunto A denotado por

A = * a $ * $ b

1.2

OPERACIONES B SICAS ENEL CAMPO DE LOS NÚMEROS

REALES

ALGEBRA7e denomina #intervalo abierto% sobre el eje real " tiene dosrepresentaciones matem<ticas

> ∈ $ a' b ? ó * ∈ @ a ' b 7e lee: # * pertenece al intervaloabierto #a% coma #b%

/! El conjunto B, denotado porB = * c ≤ * ≤ d onde los e*tremos c " d est<nincluidos, se llama #intervalocerrado% sobre el eje real " se lee: #* pertenece al intervalo cerrado #c% coma #d% %, se denota como:* ∈ a ' d @

! El valor absoluto de un número real #a% denotado por CaC satisace lasiuiente rela de correspondencia!

CaC =

<−

≥

.asi'a

.asi'a

D! a distancia entre dos puntos #a% " #b% sobre el eje real es:Ca 0 bC

TEOREMAS IMPORTANTES ENRESOLUCIÓN DE ECUACIONES

1! Ecuación de primer rado en unavariable∀ a, b, * ∈ ℜ'con a ≠ .! 7i a* + b = .,

entonces se cumple &ue:a

bx −

2! Ecuación de seundo rado en unavariable∀ a, b, c, * ∈ ℜ'con a ≠ . a*2 + b* + c = .se cumple &ue:

a2

ac-bb*

2 −±−=

o tambi;n:a2

b*

∆±−=

al símbolo ∆ = b2 - ac, se llamadiscriminante de la ecuación deseundo rado!

! Ecuaciones simult<neas lineales condos incónitas∀ a1, b1, c1, a2, b2, c2 ∈ ℜ con' a1 b2 ≠ a2 b1, donde:

β=+

α=+

)!(!!!!!!!!!!c"b*a

)!(!!!!!!!!!!c"b*a

222

111

se cumple &ue:

12

21

1221

22

11

22

11

baba

bcbc

ba

ba

bc

bc

*

−

−==

1221

1221

22

11

22

11

baba

caca

ba

ba

ca

ca

"

−

−==

4. ∀ a, b ∈ ℜ a!b=. → a = .∨ b=.

Adició.! Es la operación matem<tica,

&ue por medio del sino (+) dos o m<scantidades llamadas sumandos sereducen en una sola, denominadasuma! a suma de dos números realesest< sujeta a las siuientes relas!

R"#$% &.! a suma de dos númerosreales con el mismo sino est<determinada por la suma de sus valoresabsolutos " el resultado o suma totalest< aectado por el sino de los

sumandos!Ejemplo:a) - = 0D c) 12 + . = -2

1.3

1.4

ALGEBRAb) /+ = 11 d) 12 0 . = 0 -2

R"#$% '.! a suma de dos números

reales de sinos dierentes est<determinada por la dierencia de sus

valores absolutos (El ma"or menos elmenor) " el resultado o suma total seencuentra aectado por el sino delsumando &ue tena ma"or valorabsoluto!

Ejemplo:a) 1. + / = 0 / d) + F = /b) 12 + 2 = 0 1. e) 1D 2. = 0 c) 12 0 = G ) 1- + = 0 F

NOTA.! En la adición de variascantidades reales con dierentes sinos,se arupan las cantidades positivas "neativas entre sí " lueo se procede ala reducción de acuerdo a las relasdadas!

Ejemplo:a) +/0-0+20G=(00-00G)+/+2)

= 022+D= 01/

b) 12+0G0/+- = (0120G0/)+(+-)= 02+D= 01G

SUSTRACCIÓN.! Es la operaciónmatem<tica &ue por medio del sinomenos (0) obtenemos la dierencia dedos números (minuendo menossustraendo)

Ejemplo:a) 8estar 12 de /:

=−−

−

1D)12(/:dierencia

12:sustraendo

/:uendomin

b) 8estar F de F:

−=−−

−

1)F(F:dierencia

F:sustraendo

F:uendomin

MULTIPLICACIÓN.! Es una adiciónabreviada, cu"a operación matem<ticapor medio del sino por (!) ó (*) nospermite obtener el producto de lascantidades llamadas multiplicando "multiplicador! Esta operación est<sujeta a dos relas respecto a lossinos!

R"#$% &.! a multiplicación de doscantidades no nulas del mismo sinoes una cantidad positiva Ejm!a) ( 0 ) ( 0 - )=12b) ( 12 ) ( ) = c) ( 0 F ) ( 0 2 ) = 1

R"#$% '.! la multiplicación de doscantidades no nulas de sinosdierentes es una cantidad neativa

E"*$+,a) ( 0 ) (- )= 012b) ( 12 ) (0 ) = 08especto a la le" de sinos, vemos&ue:i) ultiplicación de sinos iuales es

positivo: (+) (+)=+ ∧ (0)(0) = +ii) ultiplicación de sinos dierentes

es neativo: (0) (+) = 0 ∧ (+)(0) = 0

DIVISIÓN.! Es la operación

matem<tica &ue consiste en determinarcuantas veces un número est<contenido en otro por medio del sinooperacional entre (÷), al resultadoobtenido se le llama cociente! Elnúmero &ue se divide se llamadividendo " el &ue divide se llamadivisor! Esta operación est< sujeta ados relas respecto a los sinos!

R"#$% &.! a división de dos cantidades

no nulas del mismo sino es unacantidad positiva (ma"or &ue cero)

OBSERVACIONES-UNDAMENTALES EN LAS

ALGEBRAE"*$+,

a) F2

1=

−−

c) 2G

1F=

−−

b) -2F = d)

F2- =−−

R"#$% '.! a división de dos cantidadesno nulas de sino dierente es unacantidad neativa (menor &ue cero)!

E"*$+,

a) -

12−=

− c)

/

1/−=

−

b) G2

1F−=

− d) G

,

2D−=

−

8especto a le" de los sinos, en ladivisión de dos cantidades reales nonulas, se observa &ue:i) ivisión de sinos iuales, es

positivo: +=++

∧ +=−−

ii) ivisión de sinos dierentes, es

neativo: −=−+

∧ −=+−

1) Adición de racciones 4omo;neas

b

edca

b

e

b

d

b

c

b

a ±±±=±±±

2) Adición de racciones 4etero;neas

bd

ebdcb ad

e

d

c

b

a ±±=±±

) ultiplicación de racciones!0 7emultiplican los numeradores "denominadores entre sí:

bd4

ace

4

e

d

c

b

a=×××

-) ivisión de racciones!0 7e inviertela seunda racción " se multiplicanlos numeradores " denominadoresentre sí:

bc

ad

c

d

b

a

d

c

b

a=×=÷

/) Hracción de racción!0 7e obtieneuna racción e&uivalente cu"onumerador es el producto de lose*tremos " el denominador es elproducto de los medios!

∧

∧→=

)e*tremos(da

)medios(cb

bc

ad

d

cb

a

) Iosición relativa de un sino en unaracción

b

a

b

a

b

a

b

a−=

−−

−=−

=−

POTENCIACIÓN.! Es la multiplicaciónrepetida de una cantidad en un númeroinito de veces' el resultado inal se lellama potencia! Est< sujeta a lassiuientes relas respecto a lascantidades neativas!

R"#$% &.! 6oda cantidad neativaaectada por un e*ponente par (bajoun par;ntesis) es positivo E"*$+,a) (02)- = (02)(02)(02)(02) = 1b) (0D)2 = (0D)(0D) = -Gc) (0F)2 = (0F)(0F) = -d) (0) = D2G

R"#$% '.! 6oda antidad neativaaectada por un e*ponente impar bajoun par;ntesis o sin par;ntesis siemprees neativo!

E"*$+,a) (0) = (0)(0)(0) = 021b) = 0 ()()() = 021c) (0-) = (0-)(0-)(0-) = 0-d) - = 0 (-)(-)(-) = 0-

1.5

PRINCIPALES CONUNTOS

ℜ(Js reales)

ALGEBRA

En resumen, respecto a los sinos enpotenciación debemos considerar

a) (0)

IA8

= +b) (0)KIA8 = 0

RADICACIÓN.! Es la operación inversaa la potenciación &ue nos permiteencontrar un número llamado raí3, tal&ue elevado al índice del radicalreproduce el radicando o cantidadsubradical!

arra nn =⇔=

E"*$+,

a) F)2(2F ,, −=−↔−=−

b) 2)-(-1: −↔−= = 1

c) 1:)-(-1: 2 =↔=

d) F)2(2F ,, =↔=

8especto a los números reales

podemos 4acer la siuienteclasiicación:

A!0 El conjunto de los Lúmerosnaturales, denotado por L, donde:L = 1, 2, , !!!!!!!!

B.!El conjunto de los N/"0+1"2"0+1, denotado por M, donde:

3 4 ...5 !65 !'5 !&5 75 &5 '5 65 ...

C.!El conjunto de los N/"0+1

0%ci+%$"1, denotado por N,donde:

8 4 9:94q

p5 * ; < 1+ "2"0+1

(& ≠ .)D.!El conjunto de los N/"0+1

i00%ci+%$"15 denotado por K,donde:I 4 9:9 2i"" 0"*0"1"2%ció

d"ci%$ i=ii2% +*"0iódic%

E.!El conjunto de los N/"0+1R"%$"15 denotados por ℜ, donde:

ℜ 4 9:9 "1 0%ci+%$ ó i00%ci+%$

-.! El conjunto de los N/"0+1C+*$"+15 denotado por ,donde:

C 4 9 : 9 4 % > ? i @ % ∧ ? ∈ ℜ

i es la unidad imainaria donde: i = 1− ' tal &ue: i2 = 01

G.!El conjunto de los N/"0+1"2"0+1 *+1i2i+1 denotados porM+, donde: 3> 4 & 5 ' 5 6 5 ............

.!El conjunto de los N/"0+1E2"0+1 *+1i2i+1 ic$id+ "$c"0+, denotado por

37> 4 75 &5 '5 65 5 5 ........

Asimismo ampliando se tendrían lossiuientes conjuntos:

8>5 ℜ>5 8 !5 ℜ !5 ℜ7>5 ℜ7

!5 87!5 etc!

Es un conjunto de órmulas &ue

relaciona a los e*ponentes de lase*presiones alebraicas de un solot;rmino, cuando entre estas

ℜ +

(Reales positivos)

ℜ+

(Realesnegativos)

Racionales ( Q+ )Enteros ( Z+ )Fraccionarios ( F+ ) Irracionales ( I+ )

Racionales ( Q- )Enteros ( Z- )

Fraccionarios ( F-

) Irracionales ( I- )

0 (cero real)

1.6

1.7



%. % 4 %>

%.? 4 (%.?)

ALGEBRAe*presiones alebraicas se reali3anoperaciones de multiplicación, división,potenciación " radicación en un número

limitado de veces! 7us principales le"essobre el campo de los números realesson:

I. MULTIPLICACIÓN DE BASESIGUALES

' m, n ∈ ℜ

II. MULTIPLICACIÓN DEBASES DI-ERENTES CON

IGUAL EXPONENTE ' m ∈ ℜ

III. DIVISIÓN DE BASES IGUALES

nmn

m

aaa −= a ≠ . ∧ m ∈ ℜ

IV. DIVISIÓN DE BASESDI-ERENTES CON IGUALEXPONENTE

m

m

m

b

a

b

a

= b ≠ . ∧ m ∈ ℜ

V. POTENCIA DE POTENCIA( ) n!mnm aa = ' m, n ∈ ℜ

L56A: n!mm aan

≠ ó nmm )a(an

≠

VI. EXPONENTE NEGATIVO

'a

b

b

amm

=

−

a ≠ . ∧ b ≠ .

L56A: a 0 m = ma

1

VII. EXPONENTE CERO (% ≠ 7)a. = 1

L56A!0 .. es indeterminado

VIII. RAI3 DE UNA POTENCIA

'aa n

m

n m = m, n ∈ ℜ n ≠ .

i) n

&

n

p

n

mn &pm

cbacba =

ii) nn

1

aa =

IX. MULTIPLICACIÓN DERADICALES OMOGENEOS

nnn abba = ' n ∈ ℜ n ≠ .

ALGEBRAX. DIVISIÓN DE RADICALES

OMOGENEOS

nn

n

ba

ba = n ∈ ℜ n ≠ .

XI. POTENCIACIÓN DE UNRADICAL

( ) n mppn m aa = '

m, n, p, ∈ ℜ n ≠ .

XII. RADICAL DE RADICALmnpm n p

aa = @ m, n, p, ∈ ℜ

XIII. TEOREMA -UNDAMENTAL DELOS RADICALES

mO Pnm n )a(a = '

m, n, O, ∈ ℜ mO ≠ .

EERC.&. 7impliicar:

E = -2

:212

)a(

)a()a(

−

−

S+$ció,omo, (a m) n = a mn

→ E =F

1F2-

a

a!a−

−

e las órmulas (K) " (KK):

E = a2-01F0(0F)' con lo cual

E = a 1- (8pta)!

EERC. ', Eectuar:

7 =( )

( )2

2

22

abab

abba

S+$ció,6eniendo en cuenta la órmula

( ( ( am

)n

ap

)&

ar

)s

= a( ( mn+ p ) &+r)s

obtenemos:

7 =1-F

2121

2)1*2(2)1*1(

)2*2()12*(

ba

ba

ba

ba=

++

++

7 = a210F b2101- → 7 = a1 bD (8pta!)

EERC. 6.! ar el valor simpliicado de

E = 11

radicales!!!!!!!!**S+$ció,Escribiendo un radical m<s, se tendría

E = E

1:1: radicales!!!!!!!!**

E = 1 E*

Elevando el cubo, los dos miembros dela iualdad:

E = →

1: E* E = *1 E

7impliicando

1

*E

E = → E2 = *1 ∴ E = *F (8pta)

EERC. .! 7impliicar la e*presión

1b b

bb

1b bb2

2-

2

aP −

++ −

=

S+$ció,6ransormando a un solo radical " a unsolo e*ponente:

)1b(b)1b( )bb)(bb(22 2-

aP +− +−=

e*presando convenientemente)1b(b)1b( )1b(b)1b(b22 222

aP +− +−

=

siendo el e*ponente iual al índice delradical P = a (8pta)



ALGEBRA

a ecuación lineal de primer rado enuna variable es a&uella &ue adopta laorma canónica:∀ a, b ∈ ℜ:

a* + b = . a ≠ .

" cu"a solución es:a

b* −=

DISCUSIÓN,8especto a la solución de la ecuación,se debe tener en cuenta lo siuiente:

&F a ecuación es compatibledeterminada, (initas soluciones) 7i: a ≠ . ∧ b ∈ ℜ 'F a ecuación es compatibleindeterminada, (ininitas soluciones)

7i: a = . ∧ b = .6F a ecuación es incompatible,

inconsistente (ecuación absurda)7i: a = . ∧ b ∈ ℜ b ≠ .

7&. R"1+$"0,-*

1*

2*

*

−+

=−+

S+$ció,Aplicando las siuientes

identidades

1! →=dc

ba ad = bc

2! ( a+b ) ( c+d ) = ac+ad+bc+bd obtenemos:

( *+ ) ( *- ) = ( *02 ) ( *+1 )*2 0 -* + * 12 = *2 + * 0 2* 0 27impliicando:0 * 12 = 0 * 0 2 .* = 1.

omo el coeiciente de J*% es cero la

ecuación es:

Ecuación Kncompatible (8pta)

ECUACIÓN LINEAL DE

1.!

1.10



ALGEBRA7'. 8" %$+0 d" 9H 1%2i1=%c" %$% "c%ció,

D*2

1*/

-

2* −=

−−

−

S+$ció,7iendo el m!c!m! (-, , ) = 12, seobtiene:

( *02 ) - ( /*1 ) = 2 ( 2*0D ) G* 0 2.* + - = -* 0 1-

7impliicando:011*02 = -*01-

01/* = 012de donde:

1/

12* = → * =

/

- (8pta)

76. R"1+$"0 $% "c%ció $i2"0%$

b

a

b

b2*

a

a2*a

b*

b

a*

−=−

−−

−−

−

S+$ció,

En las racciones, siendo el mcm (b,a, a, b) = ab' se tendría

b

a

)b2*(a)a2*(b

)b*(b)a*(a −=−−−−−−

operando " reduciendo:

b

a

ab2a*ab2b*

ab*aa* 22

−=+−−+−−

obtenemos

b

a

*)ba(

)ba)(ba(*)ba(

b

a

*)ba(

)ba(*)ba( 22

−=−−

−+−−

−=

−−−−−

ancelando: (a0b)

a*b)ba(b*b

a

*

)ba(*=+−→

−=

−+−

(b0a)*=ab+b2 ∴ ab

bab*

2

−+= (8pta)

7. 8 %$+0 d" 9H 1%2i1=%c" %$% "c%ció,

*/

2*1

-

2/

*

1*1

-

2/

−−

−−

+=

−−

+−+

+

S+$ció,ebe tenerse en cuenta &ue lost;rminos &ue son iuales en los dosmiembros de la ecuación se puedencancelar directamente' es decir: / con/' 2 con 2' con ' 0- con - " 1 con1' &uedando:

*/2*

*1*

−−−=−−

o lo &ue es lo mismo:

/*

2*

*

1*

−−

=−−

Ior proporciones>2 /*0*+/=*202*0*+

7impliicando:0*+/= → * = 01 (8pta)

7. R"1+$"0,

2

a*/a*/a*/a*/ =

−−+−++

S+$ció,Qaciendo el cambio de variable:

=−

=+

na*/

ma*/

la ecuación se transorma en:

nmn2m22

nmnm −=+→=

−+

/n = mvolviendo a la variable oriinal

a*/a*// +=−elevando al cuadrado' se obtiene

2/(/*0a) = /*+a 12/*02/a = /*+a

12. * = 2a

de donde: *= :.

a1

(8pta)



ALGEBRA

7J. C%$c$%0 9H " $% "c%ció,

2

2

2

D*

*

1.**

/.*1-* −

−

+=

++

+−

S+$ció,6ransormando el e*ponenteneativo en positivo " desarrollandoel cuadrado del binomio obtenemos:

G*:*

-G*1-*

1.*:*

/.*1-*2

2

2

2

+++−

=+++−

4aciendo el cambio de variable*201-*+-G = a ∧ *2+*+G=btendríamos:

→=++

b

a

1b

1a ab+b=ab+a

de donde: b = a ó: *2+*+G = *201-*+-G 2.*=-.

∴ > = 2 (8pta)

7on todas a&uellas ecuaciones &ue secaracteri3an por &ue la incónita seencuentra en el e*ponente!

E"*$+,a) 2D 0 *+ = G *01

b) 2 *+2 2 * 0 + 2 * 0 1 = /c) * *2* * // + −− + =d)

1*1* G2D

+−−

=

os criterios de solución respecto a

la solución de ecuacionese*ponenciales son:

&F A bases iuales, los e*ponentesdeben ser iuales, es decir

am = an ⇔ m = n ' a ≠ . ∧ a ≠ 1

'F En toda ecuación e*ponencial si lasestructuras alebraicas en ambosmiembros son iuales, entonces el

valor de la incónitas se obtiene porcomparación!

E"*$+,a) 7i: /*/*

2//2** =⇒= ++

b) :*:* : -:* -* =⇒= − −− −

En este tipo de ecuacionese*ponenciales, el problema consisteen 4acer transormaciones en unode sus miembros (ó en ambos) deorma &ue se 4alle una e&uivalenciaestructural' el valor de la incónitase obtiene por comparación!

7&. C%$c$%0 9H5 1K,' 2* −− 4 1*+

S+$ció,E*presando en base #%' tendríamos

() * 0 2 = ( 2) *+1

0* 0 = 2 * + 2 iualando los e*ponentes

0*0 = 2*+2 0/* = F

∴ * =/

F− (8pta)

7'. %$$%0 "$ %$+0 d" 9H " $%"c%ció

* 2*1* 2* DD − −− + =S+$ció,6ransormando los radicales ene*ponentes raccionarios, seobtiene:

,*

2*

1*

2*

DD −−

−+

=iualando los e*ponentes:

*

2*

1*

2*

−−

=−+

→ (*+2)(*0) = (*01)(*02)operando:

*20*0=*20*+2 2*= ∴ * = - (8pta)!

7. R"1+$"0,2*/1*2*

2D

F

-

G

2 +−−−

=

ECUACIONES EXPONENCIALES

EERCICIOS

1.11

1.1"



ALGEBRA

S+$ció,

E*presando en la base

2' se

tendría2*/

1*

22*

2

2!

2+−−−−

=

*1/2*2*

2

2!

2 +−+−−

=

Kualando los e*ponentes:0/* = 01/*+1.* =

∴ * =/

(8pta)

7. 8" %$+0 d" 9H 0"1"$" $%"c%ció,

*22D-aG /12/ −+−

=S+$ció,E*presando en base #/%

( )*2

2D-*G //

−+−=

*22D-*G! // −+−=

Kualando los e*ponentes

!G0*+-

=2D2*0

olocando en base #%

!(2)->+−

= ()>2 −

!02*+F =*0G

02*+G=*0G

Kualando los e*ponentes' obtenemos:

02*+G=*0G 0F*=01F

∴ -

G* = (8pta)

#$%E&R#

MONOMIOS, POLINOMIOS, GRADOSNOTACION DE POLINOMIOS

SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES DE

1ER GRADO

INTRODUCCIÓN.!a unidadundamental de la

estructura alebraicaes el #t;rminoalebraico% TÉRMINOALGEBRAICO.! Esel conjunto de letras" números liadospor las operacionesmatem<ticas demultiplicación,

división,potenciación "radicación en unnúmero limitado deveces!Ejemplos:

a) 2* "2 d)4

3 * "2 31

b) x " e) ab2 * " 3

c) 0y

x) 0*

Rlobalmente est< constituido por unaparte num;rica " una parte literal, comose muestra a continuación:a) -3 x b) ! xy3

parte n"$rica

%n cada "na de estas partes se especi&ican'

signos

exponentes

a) - 3 x b) ! x y3

bases

Es mu" importante presentar a lost;rminos alebraicos bajo una notaciónde orma &ue nos permita dierenciar lasconstantes de las variables!

E"*$+: Iara el t;rmino alebraico denotación 6 (* , ") se observa &ue:

(otaci*n) (exponentes)

(x, y) -! x. y 1/3

ebemos tener en cuenta:

a) T (95;).! Es la notación &ue nos indica&ue las únicas variables son las letras #*% e #"%!

b) Si#+.! Kndica si el t;rmino es ma"oro menor &ue cero!

c) C+"=ici"2".! Es la cantidad &ueaecta a la parte literal' en el caso de&ue el coeiciente sea un númeroentero " positivo, nos indica el númerode veces &ue se repite la parte literalcomo sumando!

Ejemplo:

MONOMIOS POLINOMIOS !

ELEMENTOS DE UN TÉRMINO

(ar2etro)

(bases)

(coe&iciente)

parte literal

coe&icientes

2.1

2.2

#$%E&R#

a) + *2 = *2 + *2 + *2 + *2 + *2

+ *2 ( veces)

') * " 3 = * " 3 + * " 3 + * " 3( veces)

on respecto a la siuiente secuencia:1 a a (a se s"a 1 ve)! a a + a (a se s"a ! veces)3 a a + a + a (a se s"a 3 veces)

na a + a + a + + a (a se s"a n veces) n veces

e la propiedad de simetría

a + a + a + + a na n ∈ +

n veces

E"*$+1a) a + a + a + + a 80 a

80 veces

b) x y

!

+ x y

!

+ + x y

!

33 x y

!

33 veces

c) x!00veces100

x!x!x!=

+++

d)

)yx(4!

veces4!

)yx()yx()yx( !

!!!

+=++++++

d) E9*+"2".! Es el número &ue seescribe en la parte superior derec4a deuna #base%' si el e*ponente es unnúmero entero " positivo nos indica elnúmero de veces &ue se est<multiplicando la base

E"*$+1:

a) x

5

x • x • x • x • x 5 vecesb) (x3)4 x3 • x3 • x3 • x3

4 veces

6on re&erencia a la sig"iente sec"encia'a1 a (a se "ltiplica 1 ve)

a! a • a (a se "ltiplica ! veces) ! vecesa3 a • a • a (a se "ltiplica 3 veces) 3 veces

an a • a • a • • a (a se "ltiplica n veces) n vecesor la propiedad de sietr7a'

a • a • a • • a an n ∈ 9+

n veces

E"*$+1:a) x • x • x x x0

0 vecesn!

b) • • n! vecesc) (x-y!) (x : y!) (x : y!) (x-y!)!.

!. vecesd) • • ,,,,,,,,,,, n-!

(n : !) veces

Es la e*presión alebraica racional entera&ue consta de un solo t;rmino, en el cuallos e*ponentes de sus variables soncantidades enteras no neativas! Ejm:

a) (*, ") = 02 *D "

b) 8 (*, ") = *G "/ 3

%) G0%d+ %?1+$2+ (G.A.).! Est<determinado por la suma de lose*ponentes de sus variables!

E"*$+:8especto a los monomiosa) ;(x,y) - . x4 y → <. A 4 + 10b) =(x,y) - x4 y 3 → <. A 4 + 10

?) G0%d+ R"$%2i+ (G.R.).! onrespecto a una de sus variables, es el

MONOMIO.

2.3

#$%E&R#

e*ponente &ue tiene dic4a variable,es decir:8especto al monomio: (*, ") = 0 / * "- 3F

Semos &ue: R!8! (*) = R!8! (") = -R!8! (3) = F

E"0cici+ &.! ado el monomio (*, ") = (((* "2) *2 ")2 * "2)2

Qallar su rado absoluto

S+$ció7impliicando, obtenemos: (*, ") = * ((* + 2) 2 + 1) 2 "2

(*, ") = *- "2, de dondeR!A! = - + 2 = DF 8pta!

E"0cici+ '.! Qallar el valor de #n% enel monomio

(*) = 1n

3n3 !n

x

xx

−

−−

7abiendo &ue es de primer rado!

S+$ció8educiendo a una sola base " a un solo

e*ponente:

; (x)

1n

!

3n

3

!n

x

xx

−

−−

•

; (x)

1n --

!

3n

3

!n

x−−+−

7iendo (*) de primer rado, secumple &ue:

1

1n

!

3n

3

!n=

−−

−+

−' mcm =

8esolviendo2 (n 2) + (n0) 1 (n01) = (1)2 n - + n G n + 1 =

- n = 1F

5btenemos: n =!

. 8pta!

E"0cici+ 6!0 ado el monomio:

; (x) 4 5n!

3 1n!3n!

x

xx−

−−

Iara &ue el valor de #n%' (*) esconstante!7olución

D%d+ <", n

#

aan # = @ 1" 2"d0K% ,

M(9) 4

8

5n!

1!

1n!

4

3n!

>

>>−

−−

•

R"dci"d+ % % 1+$% ?%1",

M(9) 4> 8

5n!

1!

1n!

4

3n! −−

−+

−

C++ M(9)5 "1 % c%2id%d

c+12%2" 1" c*$" <",2-mcm ' ==

−−

−+

−0

8

5n!

1!

1n!

4

3n!

C+ $+ c%$,J(' 6) > ' (' &) ! 6 (' )

4 7&' & > ! ' ! J > & 4 71. n = /e donde:

n = .,/ 8pta!

E"0cici+ .! En el monomio:(*,")= *(2a+b) "-(/a02b)

7e cumple &ue:R!A! = F " R!8 (T) = 2.etermine : (a + b)

EERCICIOS

#$%E&R#

7oluciónD%d+ <",

3)x(=<

y

!0)y(=<

=

=

o cual a su ve3 implica &ue:

!a + 3b !1 (1)5a - !b 5 (!)

8esolviendo por determinantes:

a 3154

154!

!5

3!

!5

3!1

=−−−−

=

−

−

b 5154

10510

!5

3!

55

!1!

=−−−=

−

∴ a + b 8 =pta

Es la e*presión alebraica &ue constade dos o m<s t;rminos, en el cual lose*ponentes de sus variables sonnúmeros enteros no neativos! 7onejemplos de polinomios:

a) (x) !x : 3 (binoio)b) ?(x) x3 + x! y + y! (trinoio)c) (x,y) x! + !x y + 3y! (trinoio)

%) G0%d+ %?1+$2+ (G.A.).! Est<

determinado por el ma"or radoabsoluto &ue tiene uno de sust;rminos!Ejemplo:ado el polinomio: (x,y) x y4 - ! x y8 + x y1

10@ 13@ !!@vemos &ue: <A !!

?) G0%d+ R"$%2i+ (G.R.).! on

respecto a una de sus variables esel ma"or e*ponente &ue tiene dic4avariable en el polinomio dado!Ejemplo:ado el polinomio:

(x,y) x y3 : !x. y : x4 y8

Semos &ue:R!8!(*) = GR!8!(") = F

7&.! D%d+ "$ *+$i+i+I (* , ") = / * n - " n0 + * n0 " n02

Qallar #n% si su rado absoluto es G

7olución7umando los e*ponentes de cadat;rmino, obtenemos: (x , y) 5 x n : 4 y n - 3 + x n - y n - !

(2n D) (2n0F)or consig"iente' !n : .

n 8 =pta

GRADOS DE UN POLINOMIO.!

<A 83 →

2.4

#$%E&R#

7'.! Si $+1 20i+1 d"$ *+$i+i+I (*, ", 3) = * m + n + "n + 3 m + 2

6ienen el mismo rado! Qallar mn

7oluciónIara este caso, se cumple &ue:m + n = n = m + 2con lo cual:de : m + n = m + 2 → n = 2de : m + n = n

m + 2 = → m = -∴ mn = -2 = 1 8pta!

P+$i+i+ O0d"%d+, 9n polinomioest< ordenado con respecto a una letrallamada ordenatri3, si sus e*ponentesaumentan (ascendentes)' ó disminu"en(descendentes)!

E"*$+,

a) (x) - x3 + ! x : x15 (ascendente) b) (x) x . : ! x : x 3 - 1 (descendente)

P+$i+i+ C+*$"2+, 9n polinomioes completo con respecto a una letrallamada ordenatri3 si sus potenciasaumentan o disminu"en desde elma"or e*ponente 4asta el e*ponentecero en orma consecutiva

a) I(*) = 2*-

+ *

+ *2

D* ()b) I(*)= 0/ + 2* *2 + * (A)c) I (*,") = *2 / *" + "2 () " (A)escendente respecto a #*% Ascendente respeto a #"%

P0+*i"d%d"11! El número de t;rminos es iual al

rado absoluto m<s uno

2! 7i el polinomio es completo "ordenado la dierencia de los radosrelativos de dos t;rminos consecutivoses iual a la unidad!

P+$i+i+ ++#"+, Este polinomiose caracteri3a por &ue todos sus t;rminostienen el mismo rado absoluto!Ejm: Iara el Iolinomio:

(x,y) x . + ! x 4 y 5 + y .

.@ .@ .@

<A .@

P+$i+i+ E2"0+ 9H, En estepolinomio sus e*ponentes son enteros" positivosa) I(*) = 0/ * + D

') I(*) = 2*2 * 2

P+$i+i+1 Id2ic+1, Estospolinomios se caracteri3an por &ue loscoeicientes de sus t;rminossemejantes en ambos miembros soniuales, en eecto:

7i:a x! + b x + c ≡ d x!+ ex + &

7e cumple &ue:a = d

b = ec =

P+$i+i+1 Id2ic%"2" N$+1,Estos polinomios se caracteri3an por&ue sus coeicientes valen cero:

Ejemplo: dadoI(*) = a *2 + b * + c ≡ .

7e cumple &ue:a = .b = .

CLASI-ICACIÓN DE LOS

Jt = R! A + 1

2.5



#$%E&R#

c = .

7&.! Si,A (* ) + B (* 2) ≡ * 12

alcular : E = BB A +−

S+$cióado &ue la identidad se cumple paracual&uier valor de *, asinamos unvalor de * para &ue una de lasincónitas #A% o #B% se cancelen, es

decir: A (x : 3) + B (x : !) ≡ 3x : 1!

0 0

1@) x : 3 0 → x 3, de donde'

A (3 : 3) + B (3 : !) 3(3) - 1!

!@) x : ! 0 → x !

A (! : 3) + B (! : !) 3(!) - 1! -A -

8eempla3ando en #E%

% 333)3( −=−−−

∴ % 0 =pta

7'.! Si "$ *+$i+i+,I (*) = (a 2) *2 + (b + ) * + G *2 / *Es nulo, 4allar (a + b)

S+$ció7i el polinomio es nulo, cadacoeiciente vale cero, es decir: (x) (a : ! +.) x! + (b + 3 : 5) x ≡ 0

0 0

1U) a 2 + G = . → a = 0D

2U) b + 0 / = . → b = 2

∴ a + b = 0D + 2 = / 8pta!

76.! D%d+ "$ *+$i+i+ ++#"+

I(*, ") = *a+b01

"b

*"

0 "2a + b 0

etermine:E = (ab + ba ab)2

S+$cióIor ser 4omo;neo, se cumple:a + b : 1 + b 1 + !a + 3b :

( I ) ( II ) ( III )

e (K) " (KK), se obtiene:a + 2 b = F

e (KK) " (KKK) 2 a + b = 18esolviendo el sistema: a + 2 b = F !!!!!!!!!! (1) 2 a + b = 1 !!!!!!!!!! (2)

!

1

!

43

!!4

3! !1

313

!8

a =

−

−=

−

−==

3 1

3

43

113

3!

!1

13!

81

b =−−

=−−

==

Ior consiuiente el valor de #E% es:% !3 + 3! : (!) (3) ! → % 1!1 =pta

7.! T0"1 20i+1 c+1"c2i+1

d" *+$i+i+ +0d"%d+ ;c+*$"2+ " =+0% d"1c"d"2""12Q 0"*0"1"2%d+1 *+0,I(*)= !!!! + * a+b+1 *2a 0 1+ b*b010!!!!alcular el valor de #a%

S+$cióEn este caso se cumple &ue ladierencia de dos e*ponentesconsecutivos es iual a la unidad, es

decir:

a + b + 1 0 (2a 1) = 1 !!!!!!!!! (α)

2 a 1 0 ( b 1) = 1 !!!!!!!!! (V) 7impliicando: - a + b -1 (α)

!a - 3b 1 (C)

8esolviendo para #a%

3! 11

31

11

a

−−

−

−

= 1

!

!3

13=

−

− ∴ a !

=pta

B -3

A

#$%E&R#

a notación de polinomios nos permitedierenciar las constantes de lasvariables' en eecto, para lospolinomios!A) I (*) = * + a*2 b2 c

a única variable es #*% " las constantesliterales llamadas tambi;n par<metrosson #a%, #b% " #c%!

B) I (*, ") = *- * "2 + / a * +

as variables son las letras #*% e #"% " las constantes son #/%, #a% " !Este tipo de notación se 4acee*tensible a cual&uier tipo dee*presión alebraica!Ejm:

a) (x) dc x

bxa

++

b) (x) cxbxa ! ++

c) (x,y) 3!

3!

yx

yx

−+

+ x y : .

7&.! S%?i"d+ <",

I(*) =5x.

3x5

−−

alcular : I (I (*))S+$ció8eempla3ando, * por I(*)

I (I(*)) = 5)x(.3)x(5

−−

omo I(*), es conocido

I(I(*)) =5

5-.x

3-5x .

35-.x

3-5x 5

−

−

Eectuando las operaciones indicadas:

I (I(*)) =!5x45-!-x45

15x!-15-x!5

+

+

I (I(*)) =!

x!

−−

→ I (I(*)) = >

8pta!

7'.! Si@ H 1xxx5x

!x !3 −+−=

−−

alcular: E = H(-)

S+$cióIara calcular H(-), 4acemos:

45x

!x=

−−

→ * 2 = - * 2.

1F = * * =

on la cual:

H (-) = () ()2 + () 1H (-) = 1F/ 8pta!76.! Si@ = (*) = a* b " : (*) = b* aQallar' 4(*) = ( (*)) 0 ( (*))

S+$ció5perando por partes, tendríamos:1U) ( (*)) = a (*) b

( (*)) = a (b*0a) b ( (*)) = ab* a2 b

2U) ((*)) = b (*) a ((*)) = b (a* 0 b) a ((*)) = ab* b2 0 a

e donde:4 (*) = ab* a2 b ab * + b2 + a4 (*) = b2 a2 + a b 8pta!

7.! Si@ I (I(I(*))) = 21* 21/alcular: I (* + 2)

S+$cióomo en la condición el seundomiembro es una e*presión de primerrado, entonces I(*) tambi;n es deprimer rado, es decir:I (*) = a * + b

5perando por partes, tendríamos:1) I (I(*)) = a I(*) + b

2.6

#$%E&R#

I (I(*)) = a (a* + b) + bI (I(*)) = a2* + ab + b

2) I(I(I(*))) = a+b(a23 + ab+b) + bI(I(I(*))) = a * + a2b + ab + b

6eniendo en cuenta la condición:

a3 x + a! b + ab + b ≡ !1 x : !15

Al coparar'

i) a = 21 → a = 3 !1 → a =

ii) a2b + ab + b = 021/

b + b + b = 021/ - b = 021/

b = 0/Ior consiuiente:I (*) = a * + b = * /" : I (*+2) = (*+2) 0 / = *+D 8pta!

D"2"0i%2" d" +0d" '.! Es eldesarrollo de una matri3 cuadrada &uepresenta dos ilas " dos columnas "cu"a representación matem<tica "desarrollo es:

Ds ' Diagonal Eec"ndaria

!1

!1!

bb

aa A = a1 b! : a! b1

Dp ' Diagonal principal

%Feplo' %l desarrollo de'

∆ ! 53

4 5

−−, es '

∆2 = p s = /(0/) (0)(-)∆2 = 02/ + 12 = 01 → ∆2 = 01

D"2"0i%2" d" +0d" d" 20"1.! Es eldesarrollo de una matri3 cuadrada de ilas " columnas' su representaciónmatem<tica es:

∆ =cba

cbacba

333

!!!

111

T su desarrollo por menorescomplementarios' es:

∆ = a133

!!

cb

cb0 b1

33

!!

ca

ca+ c1

33

!!

ba

ba

ó tambi;n∆ = a1 (b2 c b c2)0b1 (a2 c a c2)+

+ c1 (a2b 0 ab2)

Ejemplo: alcular:

1/

21-

1 2

−−−

−=∆3

esarrollando

∆ 3 ! 13

!1

−−−

+ 315

!4

−

−+ 1

-

5

1−

∆ 3 ! (1 + ) + 3 (-4 + 10) + 1 (1! + 5)

∆ 3 14 + 18 + 1 ∴ ∆ 3 4.

ado el sistema lineal:a1 * + b1 " = c1 !!!!!!!!!!!!!! (α)a2 * + b2 " = c2 !!!!!!!!!!!!!! (V)

7u resolución por la rela de Pramer

teniendo en cuenta &ue:(a1 b2 a2 b1 ≠ .)es'

Gbaba

bcbc

ba

ba

bc

bc

x!!!1

1!!1

!!

11

!!

11

s

x

−−

==∆∆

=

1!!1

1!!1

!!

11

!!

11

s

y

baba

caca

ba

ba

caca

y−−

==∆

∆=

onde:∆* = eterminante de *∆" = eterminante de "∆s = eterminante del sistema

E"*$+ &.! alcular #*% en el sistema:

SISTEMAS DE ECUACIONES

SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALESCON DOS INCÓGNITAS

2.7

2.8

#$%E&R#

/* " = 11 !!!!!!!!!!!!!! (α)-* 0 /" = 1 !!!!!!!!!!!!!!(V)

S+$ció,e acuerdo a la teoría:

13

5!

1!!5

355

54

35

51

311

x−

−=

+−

+−=

−

−

−

−

=

∴ * = - 8pta!E"*$+ '.! alcular #"% en el sistema:

0D * + /" = 0-/ !!!!!!!!!!!!!!!!! (α) -* 0 " = 2 !!!!!!!!!!!!!!!!! (V)S+$cióIara el c<lculo de #"% tenemos:

1

!

!0!1

18018!

3- 4

5 -

! 4

45

y −

=−

+−=

−−

=

∴ " = 02 8pta!

DISCUSIÓN DE LA SOLUCIÓN1! 7i: ∆*, ∆" ∈ 8 " ∆s ≠ . el sistema es

compatible determinado, " 4a" unasolución única!

2! 7i: ∆* = .' ∆" = . " ∆s = ., el sistemaes compatible indeterminado " tieneininitas soluciones!

! 7i ∆* ≠ .' ∆" ≠ . " ∆s = ., el sistema esincompatible, no tiene solución!Ejemplo: ado el sistema

2* + O" = / O ........... (α)

/* - " = 02D .. (V)

para &ue valor de #P%' es incompatibleS+$cióalculando #*%, vemos &ue:

8H5

H

H58

H!I!0

45

I!

4!

II5

x−−

=−−

+−=

−

−−=

Iara &ue no e*ista solución debe cumplirse&ue:

0/ O F = . → O =5

8− 8pta!

ado el sistema lineal:

a1 * + b1 " + c1 3 = d1 !!!!!!!!!!!!!! (α)a2 * + b2 " + c2 3 = d2 !!!!!!!!!!!!!! (V)a * + b " + c 3 = d !!!!!!!!!!!!!! (γ )

7u resolución por la rela de P8AE8,(donde ∆s ≠.) es:

s

xx∆∆

==

,,,

222 111

,,,

222

111

cba

cba

cba

cbd

cbd

cbd

222

111

222

111

cba

cba

cba

cda

cda

cda

=y =s

y

∆∆

222

111

222

111

cba

cba

cba

dba

dba

dba

3 = s

∆∆

Ejemplo 1: alcular el valor de #"% en el

sistema: 5 x : !y + 3 (1) x + 3y : 4 (!)

SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALESCON TRES INCÓGNITAS

2.9



#$%E&R#

-! x + 4y + 3 5 (3)S+$cióIor determinantes, se tendría:

)34(3)13(!)!5(5)4(3)13()38(5

34!

43

3!535!

4

35

y++ +−=

−−

−−

−

=

y !53

!53

10!!1!5

14181.0=

+++−

∴ y 1 =pta

DISCUSIÓN DE LA SOLUCIÓN,

1! 7i: ∆*, ∆", ∆3 ∈ 8 " ∆s ≠ ., el sistemaes compatible determinado!

2! 7i ∆* = . ' ∆" = .' ∆3 = . " ∆s = ., el

sistema es compatible indeterminado "tiene ininitas soluciones!! 7i ∆* ≠ .' ∆" ≠ ., " ∆s ≠ ., el sistema

es incompatible, no tiene solución:Ejemplo: ado el sistema:

-! x : 3 y + ( + 5) 13 (1) x + y - 0 (!) 3 x : ! y + ! 10 (3)

WIara &ue valor de #O%' el sistema escompatible indeterminadoX

S+$cióalculando #*% vemos &ue:

! !3

111

5I3!I

! !10

110

5I313

x

−−+−−

−−+−

=

e donde:

5)(5)(I (5)3(0)I!10)( 5)(I (10)3(0)13x −+++− −+++=

* =10-5I-

!0-10I-

!5-I5-15

50-I1030 =−

Iara &ue sea compatible indeterminado:

> =0

0

1) 1. O 2. = . → P = 022) / O 0 1. = . → P = 02

∴ O = 02 8pta!



os productos notables son órmulas&ue permiten eectuar multiplicacionesindicadas, sin aplicar los criteriosenerales de la multiplicaciónalebraica, " deben satisacer lassiuientes propiedades:

El rado del producto esiual a la suma de los rados de losactores, en eecto:

E"*$+. &, %$$%0 "$ #0%d+ d" P(9)Si, P(9)4(9> 6) (9J'96) (96 )S+$ció,5bservemos &ue el rado en cada

par;ntesis es:I(*) = (*- + ) (* 2* ) (* -)

RU = - RU = RU = ∴ RU I (*)@ = - + + = 1

E"*$+ ', %$$%0 "$ #0%d+ d" R(9)Si, R(9) 4 (9' > )6 (9 &)J

S+$ció,Iara este caso, el radocorrespondiente en cada par;ntesis es:8(*) = (*2 + /) (*- 1)

2- ∴ RU 8 (*)@ = + 2- = .

El t;rmino independiente del productoes iual al producto de los t;rminosindependientesde los actores, es decir:

E"*$+ &, %$$%0 "$ 20i+id"*"di"2" d" P(9) ",P(9) 4 (96 9 > ') (9 9 J) (9 6)

S+$cióEl t;rmino independiente en cadapar;ntesis es:I(*) = (* * + 2) (*- * ) (*D )

6!K = 2 6!K = 0 6!K = 0

∴ 6!K! I(*)@ = (2) (0) (0) =

E"*$+ ', %$$%0 "$ 20i+id"*"di"2" d" P(9) ",P(9) 4 (9' &) (9 96 ')6 .

S+$ció,En este caso, el t;rmino independienteen cada par;ntesis es: I(*) = (*2 1)/ (*- * 2)

6!K= (01)/ 6!K! = (02)

∴ 6!K! I(*)@ = (01)/ (02)= (01) (0F) = F

ebemos tener en cuenta las siuientespotenciaciones, respecto a los radicalesmonómicos!1) ( ! )2 = ! ! = 4 = 22) ( ! )2 = 2) (2 ! )2 = 22 ! 2 = - (2) = F

-) ( ! )2

= 2

!2

= G (2) = 1F/) ( ! ) = ! ! ! = 4 ! = 2

!

) (2 ! ) = 2! ! = F(2 ! ) = 1!

D) ( 3 ) = 3 3 3 = 3

F) ( 3 ) = ! 33 = 2D ( 3 ) = F1

3

Iara un entendimiento co4erenterespecto a los productos notables " lasidentidades, los observaremos porrupos:

I85I! 1

RUproducto = Σ RUactores

I85I! 2

6!K!producto = π (6!K!actores)

OBSERVACIONES

3.1

3.2

PRODUCTOS NOTABLES-

IDENTIDADES



K! uadrado del Binomio

(a + b)2

= a2

+ 2ab + b2

(a 0 b)2 = a2 0 2ab + b2

KK! ubo del BinomioY (a + b) = a + a2 b + ab2 + b Y (a 0 b) = a 0 a2 b + ab2 0 b

Estas mismas órmulas se puedene*presar bajo las ormas:Y (a + b) = a + b + ab (a + b)

Y (a 0 b)

= a

0 b

0 ab (a 0 b)KKK! ierencia de cuadrados (suma por

dierencia)Y (a + b) (a b) = a2 b2

KS! 7uma " ierencia de cubosY (a + b) (a2 ab + b2) = a+ b

Y (a 0 b) (a2 + ab + b2) = a 0 b

&. E="c2%0R 4 (9>%) (9!%) (9' > %') (9> %) > %

S+$ció6eniendo en cuenta &ue:

Entonces:Y (* + a) (* a) = *2 a2

Y (*2 0 a2) *2 + a2) = *- a-

Y (*- a-) (*- + a-) = *F aF

Ior consiuiente:8 = *F aF + aF → 8 = *F

'. Si*$i=ic%0,S 4 ! ! nn 3!3! −+

S+$ció

ado &ue:

⇔ a > . ∧ b > .

7 = ,02

2n !n )3!()3!( =−+

n 0-7 = → n 1=E = 1 8pta!

6. C%$c$%0, R 4 ( 1! − )

S+$ció,E*presando convenientemente, setendría:8 = ( ! 0 1)2@2 ( ! 0 1)

5perando por partes:( ! 01)2@2 = (2 2 ! +1)2 = (02 !

)2

= G 0 12 ! + F= 1D 12 !

on lo cual, se tendría:8 = (1D 12 ! ) ( ! 01)8 = 1D ! 0 1D 2- + 12 !

8 = 2G ! 0 -1 8pta!

. Si, 9 9!& 4

C%$c$%0 96 > 9!6

S+$cióElevando la condición al cubo, seobtiene:(* + *01) = ( )

* + *0 + * ! *01 (* + *01) =

ado &ue: * + *01

= * + *0 + =

∴ * + *0 = 8pta!

EERCICIOS

(a +b) (a b) = a2 b2

ab ! n=nn ba

3.3

V. M$2i*$ic%ció d" ?i+i+1 c+ 20i+ " c+/.

Y) (* +a ) (* + b) = *2 + (a +b) * + ab

YY) (* + a) (* + b) (* + c) = * + (a + b + c) *2 + (ab + ac + bc) * + abc

VI. C%d0%d+ d"$ 20i+i+(a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab ++ 2ac + 2bc

VII. C?+ d"$ 20i+i+Horma 1:

(a + b + c) = a + b + c ++ (a + b) (a + c) (b + c)

Horma 2:(a + b + c) = a + b + c ++ a2b + a2c + b2a + b2c ++ c2a + c2b + abc

&. Si*$i=ic%0S 4 (% > ? > c)' > (% > ? c)' >

> (% ? > c)' > (! % > ? > c)'

S+$cióesarrollando cada t;rmino, se tendría:

7 = a

2

+ b

2

+ c

2

+ 2ab + 2ac + 2bca2 + b2 + c2 + 2ab 0 2ac 0 2bca2 + b2 + c2 0 2ab + 2ac 0 2bca2 + b2 + c2 0 2ab 0 2ac + 2bc

000000000000000000000000000000000000000000007 = -a2 + -b2 + -c2

Hactori3ando #-%: 7 = -(a2+ b2 +c2) 8pta

'. Si*$i=ic%0,S 4 (% > ? > c)6 ! (% > ? ! c)6

! (%!?> c)6 ! (!% > ? > c)6

S+$ció,Qaciendo el cambio a + b = *de variables: a 0 b = "

se tendría en 7!7 = (* + c) (* c) (c + ") (c0")

esarrollando cada t;rmino

7 = * + *2c + *c2 + c

0* + *2c *c2 + c

0c 0 c2" c"2 0 "

0c + c2"2 c"2 + "

00000000000000000000000000000000007 = *2 c 0 c2 "2

7 = c *2 "2 @Solviendo a las variables oriinales:7 = c (a + b)2 (a b)2 @7 = c a2 +2ab + b2 a2 + 2ab b2@7 = c -ab@ → 7 = 2- abc 8pta!

6. S%?i"d+ <",

- 4 1G2)(*1)0(*)(*/)0(* +++

%$$%0 , G 4 2/1:,H +

S+$ció,5bservemos &ue:H = 1G2)(*1)0(*)(*/)0(* +++

7e transorma en:H = 1G:2)0*(*.)0*(* 22 +++

Qaciendo : *2 + * = a

H = 1.)!a()30a( +−−H = 2/:a20a2 +

omo la cantidad subradical es uncuadrado perecto!H = !)1a( − → H = a 1ó : H = *2 + * 1

8eempla3ando en R:R = 2/1:,1:0** 2 ++

R =-

1 * ++!x

EERCICIOS

3.4

3.5

7iendo la cantidad sub0radical, uncuadrado perecto

R = !)

2

1 (* + → R = * +

!

1

ó lo &ue es lo mismo

R =2

1*2 + 8pta!

IDENTIDADES7on e*presiones alebraicas &ue nos

permite eectuar operaciones porsimple inspección, entre las de ma"orimportancia, tenemos:

VIII. Id"2id%d"1 d"

L"#"d0"

1U) (a+b)2 + (a b)2 = 2 (a2 + b2)2U) (a+b)2 0 (a b)2 = - ab

IX. Id"2id%d"1 d" L%#0%#"1U) (a* + b")2 + (a" b*)2 = (a2 + b2)

(*2 + "2)2U) (a* + b" + c3)2 + (a" b*)2 +

+ (a3 c*)2 + (b3 0 c")2 =(a2+b2+ c2)(*2 + "2 +32)

X. Id"2id%d"1 d" G%11,1U) (a + b + c) (a2+ b2 + c20ab0ac0bc) = = a + b + c abc

2U) !

1

(a + b + c) (a0b)2

+ (a0c)2

++ (b0c)2@ = a + b+ c abc

XI. Id"2id%d"1 d" A0#%d

1U) (*2 + *" +"2) (*2 *" + "2) = = *-

+ *2 "2 + "-

2U) (*2 + * + 1 ) (*2 * + 1)= *- + *2 + 1

A) 7i : a + b + c = .' se veriica &ue:

1!) a2 + b2 + c2 = 0 2 (ab + ac + bc)

2!) a2b2 + a2c2 + b2c2 = (ab+ ac + bc)2

!) a + b + c = abc

-!)

++!

222 cba

++3

cba=

5

/// cba ++

/!)

++

!

222 cba

++

5

/// cba

=

DDD cba ++

B) 7i: a2 + b2 + c2 = ab + ac + b⇒ a = b = c

) 7i :yx

4

y

1

x

1

+=+ ⇒ * = "

7&.! S%?i"d+ <"@ =+a

*

*

a G

G

C%$c$%0, -G

-G a

*

*

a+

S+$ció

7ea E : -G

-G a

*

*

a+

Elevando el cuadrado, se obtiene:

E2 = !x

a.

+ -G

-G a

*

*

a• +

a

*G

E202 =a

*

*

a G

G +

Luevamente elevando el cuadradoobtenemos:

(E2 2 )2 =a

*

*

a G

G + + 2

IGUALDADES CONDICIONALES

3.6

3.7

3.8

8eempla3ando el valor de la condición:E2 2 = 2D =+

e donde:E2 = / ⇒ E = 5 8pta!

7'.! Si,"*

-

"

1

*

1

+=+

C%$c$%0,

R 4y

x−

+"*2

"* 22

S+$ció

5perando en la condición:

"*"*

"*

+=+ 4

Ior proporciones:(* + ")2 = -*"

esarrollando " simpliicando, vemos&ue:

*2 + 2 * " + "2 = -* " *2 2*" + "2 = .

(* ")2 = . → * = "8eempla3ando #*% por #"% en 8' seobtiene:

8 = 101"2

""2

22

=−+

y

y

∴ 8 = . 8pta!

7on a&uellas ecuaciones &ue puedenreducirse a la orma:

(a ≠ .)

donde:a*2 = 6;rmino cuadr<ticob* = 6;rmino ineal

c = 6;rmino independiente

a, b " c son los coeicientes respectivosde sus t;rminos!

I. P+0 =%c2+0i%ció.! 7i el discriminantede la ecuación:(∆ = b2 - ac) es un cuadradoperecto, es decir:∆ ∈ {., 1, -, G, 1, 2/, !!!!!!!!}

Iara su solución aplicamos aspa simple

E"*$+, R"1+$"0&7 9' > && 9 J 4 7

S+$cióIara esta ecuación: a = 1., b=11 " c = 0'el discriminante es:∆ = (11)2 - (1.) (0) = 1

como, 1 es un cuadrado perecto la

ecuación se puede actori3ar!

1. *2 + 11 * = . 2 * → 1/ *

/* 02 → x11

x4−

on lo cual:(2* + ) (/ * 2) = .

8ecordemos &ue:

7i: a! b = . ⇒ a = . ∨ b = .

en nuestro caso : * =!

3− ∨ * =

5

!

II. P+0 =ó0$%!0 7e aplica la órmulacuando la actori3ación no esinmediata

D"dcció,7ea la ecuación:

ECUACIÓN DE SEGUNDO

a *2 + b * + c = .

RESOLUCIÓN DE LA

3.9

3.10

a*2 + b* + c ≠ . dividiendo entre #a%

*2 + .

a

c *

a

b =+

adicionando :!

!

*dee=oeicient

a los dos miembros de la iualdad:

2

2

2

2

2

22

-a

b

a

c

-a

b *

-a

b * =+++

dado &ue los tres primeros t;rminosorman un trinomio cuadrado perecto,se tendría:

a

c

-a

b

2

2−=

+

!

a!

bx

e*tra"endo raí3 cuadrada

a2

c-a0b

2a

b *

2

±=+

* =a2

ac-0bb0 2±

as dos soluciones o raíces son:

*1 =a2

ac-0b0b0 2

*2 =a2

ac-0bb0 2+

e otro lado, siendo: ∆ = b2 - ac

*1 = a2

0b0 ∆

*2 =a2

b0 ∆+

E"*$+, R"1+$"0 , 9' 9 & 4 7S+$ció

a = 1' b = 01: c = 01En este caso: ∆ = (01)2 -(1) (01)

∆ = /

on lo cual:

2

/01 *1 = '

2

/1 *2

+=

En la ecuación de seundo rado:a*2 + b* + c = . (a ≠ .)' se cumple&ue:

*1 =a2

0b0 ∆

*2 =a2

b0 ∆+

as raíces de la ecuación de seundorado, depende de la cantidadsubradical!∆ = b2 - a c ( iscriminante)e acuerdo a esto:1U!0 7i: ∆ = b2 - a c > .' las dos

raíces son reales " dierentes!

2U!0 7i: ∆ = b2

- a c = .' las dosraíces son reales e iuales!

U!0 7i: ∆ = b2 - a c < .' las dosraíces son números complejos "conjuados!

E"*$+, %$$%0 $+1 %$+0"1 d" H" $% "c%ció,

( > &) 9' ( 6) 9 > 4 7S%?i"d+ <" 11 0%Kc"1 1+ i#%$"1

S+$cióesde &ue las raíces son iualesentonces: ∆ = b2 -ac = ., es decir:0(/ O )@2 - (O + 1) (G) = .desarrollando, obtenemos la ecuación:

2/ O2 O 2D = .2/ O G → GO

O 0 → II5

−−

NATURALE3A DE LAS RACES DELA ECUACIÓN DE SEGUNDO

3.11



de donde:O =

(2/ O + G) (O0) = . → ∨

O = !5.

7iendo la ecuación del 7eundo rado:a*2 + b * + c = . ' a ≠ .

7us raíces son:*1 =

a2

ac-bb0 * '

2

2++

=−−−

a!

ac4bb !

de donde se cumple:

1U) 7uma de las raíces:

*1 + *2 =a

b−

2U) Iroducto de las raíces:*1 + *2 =

a

c

U) ierencia de las raíces:

*1 + *2 = Ga

∆ (*, > *2)

E"*$+, 8 0"$%ció #%0d% $+1c+"=ici"2"1 d" $% "c%ció,

%9' > ?9 > c 4 7@ % ≠ 7Si % d" 11 0%Kc"1 "1 "$ 20i*$" d"$% +20%W.

S+$cióe acuerdo a los datos, se tiene:

*1 + *2 = 0a

b !!!!!!!! (1)

*1 • *2 =a

c !!!!!!!! (2)

*1= *2 !!!!!!!! ()

reempla3ando, () en (1):

*2 + *2 = 0a

b → *2 = 0

a4

b

Asimismo: *1 = 0a4

b3

8eempla3ando en (2), tendríamos:

ca1b a

c 2 =⇒=

−

−

a4

b

a4

b3

K! onociendo : #*1% " #*2%, raíces dela ecuación de seundo rado, secumple &ue:

(* *1) (* *2) = .

llevando a la orma canónica, setendría la órmula:

KK! onociendo la suma de las raíces :7 = *1 + *2 " el producto de ellasmismas I = *1 ! *2, la órmula autili3ar es:

E"*$+, -+0%0 % "c%ció d"1"#d+ #0%d+ d" c+"=ici"2"10"%$"15 1i % d" 11 0%Kc"1 "1,

' > .

S+$cióomo las raíces irracionales se

presentan por pares conjuados,entonces:

*1 = 2 + ∧ *2 = 2 0

con lo cual:i) *1 + *2 = 2 + + 2 0 = -ii) *1 + *2 = (2+ ) (20 ) = -0=02

PROPIEDADES DE LASRACES DE LA ECUACIÓN

-ORMACIÓN DE UNA ECUACIÓNDE SEGUNDO GRADOCONOCIENDO SUS RACES

9' (9& > 9') 9 > 9& 9' 4 7

9' S9 > P 4 7

3.12

3.13

8eempla3ando en la órmula,obtenemos la ecuación:

*2

-* 2 = . (8pta!)

E"*$+: Hormar una ecuación deseundo rado de coeicientes reales, siuna de sus raíces es:

6 > 'i@ i 4 1− 2%$ <", i' 4!&

iH "1 $% id%d i%#i%0i%.S+$ció

7iendo: *1= + 2i ⇒ *2 = 2iTa &ue las raíces complejas sepresentan por pares conjuados setiene &ue:i) *1 + *2 = + 2i + 2i = ii) *1 *2 = (+2i) ( 2i) = G -i2 = 1reempla3ando en la órmula, seobtiene:

*2 * + 1 = . 8pta!

as ecuaciones:

a*2 + b* + c = .' (a ≠.) Z! (1)

d*2 + e* + = .' (d ≠.) Z! (2)

6ienen las mismas raíces, si:

c

d

a==

e

b

E, C%$c$%0 %H ; ?H " $%1"c%ci+"1,

(% ! 6)9' (% ! ) 9 > 6 4 7@ . (&)

(? >&)9' ('?!) 9 > J 4 7@ . (')

S%?i"d+ <" 2i"" $%1 i1%1 0%Kc"1,

S+$cióTa &ue las raíces son las mismas, secumple &ue:

21

-2b-a

1ba ==−−=+−

de donde obtenemos, el sistema:

2a 0 b = D !!!!!!!! (α) a b = 2 !!!!!!!! (V)

resolviendo (α) " (V), obtenemos:

a = / ∧ b =

as ecuaciones:a*2 + b* + c = . ZZ!! (1)d*2 + e* + = . !!!!!!! (2)

tienen una raí3 común' se elimina #*2% " se obtiene la raí3 común' es decir:

ad*2 + bd* + cd = . ZZ (α)

ad*2 + ae* + a = . ZZ (V)

restando (α) (V)' se obtiene:* (bd ae) + (cd a) = .

∴ * =ea0db

dc0 a

1! En la ecuación de seundo rado:a*2 + b* + c = . ' a ≠ .as raíces son num;ricamenteiuales " de sino contrario!

7i : b = .2! En la ecuación de seundo rado:

a*2 + b* + c = .' a ≠ .as raíces, son recíprocas!

7i : a=c

ECUACIONES DE SEGUNDOGRADO 8UE TIENEN LAS

MISMAS RACES

ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO

OBSERVACIONES

3.14

3.15

Es la operación inversa a lamultiplicación &ue tiene por objeto4allar una e*presión alebraica llamadocociente' obtenida de otras dose*presiones alebraicas llamadasdividendo " divisor, de tal orma &ue elvalor num;rico del cociente sea iual al

cociente de los valores num;ricos deldividendo " divisor, para cual&uiersistema de valores atribuidos a susletras!

ividendo !!!!!!!!!!!!!! : ivisor !!!!!!!!!!!!!! : dociente !!!!!!!!!!!!! : N8esto o residuo !!!!!!!!!!!!! : 8

A) C+ci"2" "9%c2+ (R ≡ 7)!0 El restode la división es un polinomioid;nticamente nulo!

= d N ód

D = N

B) C+ci"2" i"9%c2+ (R ≠ 7).! El

resto de la división es un polinomio nonulo!

= d N + 8 ód

D = N +

d

=

1! En toda división alebraica elrado del cociente es iual alrado del dividendo menos elrado del divisor!

NU = U 0 dU

2! En toda división alebraica elrado del residuo m<*imo es unaunidad menos &ue el rado deldivisor!

8U ma* = dU 0 1

! En toda división alebraica elt;rmino independiente deldividendo es iual al producto delos t;rminos independientes deldivisor por el cociente m<s eltermino independiente delresiduo!

6!K = 6!Kd * 6!KN+ 6!K8

4. uando se dividen polinomios4omo;neos, el cociente "residuo, tambi;n son 4omo;neos,pero el rado absoluto delresiduo es iual al rado absolutodel dividendo!

R!A! (8) = R!A! ()

I.! P%0% "$ c%1+ d" d+1 ++i+1i) 7e dividen los sinos de acuerdo a

la rela de los sinos

++

= +−

+ = 0

−

− = +

+

− = 0

ii) 7e dividen los coeicientesiii) 7e dividen las letras aplicando las

le"es de e*ponentes

a) n#

n

#a

a

a −= b)#

#

#

b

a

b

a

=

ELEMENTOS DE UNA DIVISIÓN

PROPIEDADES GENERALES DELA DIVISIÓN ALGEBRAICA

4.1 4.2

4.3

DIVISION ALGEBRAICATEOREMA DEL RESTO

II.! P%0% "$ c%1+ d" d+1 *+$i+i+1Iodemos utili3ar cual&uiera de lossiuientes m;todos:a) ;todo eneral o normalb) ;todo de los coeicientes

indeterminados!c) ;todo de Qornerd) 8ela de 8uini

!0 En la división de dospolinomios estos deben ser completos" ordenados en orma descendente, conrespecto a una letra llamadaordenatri3' si altase aluna variable,"a sea en el dividendo o en el divisor,se completar<n con ceros!

Este m;todo es aplicable parapolinomios completos " ordenados enorma descendente, con respecto a unade sus letras, llamada ordenatri3! Así tenemos:

E7N9EA E Q58LE8

d K S K E L 5

ivis

o8

5KEL6E 8E765

E"*$+.! E="c2%0 *+0 +0"0,

!x3x4

x8x!0x1x1!

!

!34

−−

+−+−

S+$ció5bservemos &ue:

NU = U 0 dU = - 2 = 2

8Uma* = dU 0 1 = 2 1 = 1

omo los polinomios son completos "ordenados' de acuerdo al es&uema deQorner se disponen los t;rminos de la

siuiente orma:

- 12 0 1D + 2. 0 F + D

2

A continuación aplicamos los siuientespasos:1! 7e divide el primer t;rmino del

dividendo entre el primer t;rmino deldivisor, obteniendo el primer t;rminodel cociente!

2! El primer t;rmino del cocientemultiplica a los t;rminos con sinocambiado del divisor " el producto seescribe en la seunda ila debajo delos t;rminos de dividendo corriendo

un luar a la derec4a!! 7e reduce la siuiente columna " elresultado se divide entre el primert;rmino del divisor obteniendo elseundo t;rmino del cociente el cualmultiplica a los t;rminos cambiadosdel divisor! El producto resultante seescribe en la tercera ila, debajo delos t;rminos del dividendo corriendoun luar a la derec4a!

-! 7e continua este procedimiento 4astaobtener un t;rmino debajo del último

t;rmino del dividendo!/! os coeicientes del resto o residuo,se obtienen directamente de cadauna de las columnas &ue lepertenecen!

8especto al ejemplo dado, tendríamos:12 0F 2.

÷ - 12 0 1D + 2. 0 F + D

G +

0 0 -1/ + 1.

2

0 2 + / + 1D

*2 * 6!K! * 6!K!

O?1"0%ció

DIVISIÓN POR ORNER

#t *

on sinocambiado(Jt)

El 1U con propiosino

4.4

de donde:N (*) = *2 2* + / (cociente)8 (*) = * + 1D (8esto)

E"*$+, E="c2%0 *+0 +0"0

!!

43!!34

bab5a4

b!0ab30ba51ba!3a1!

+−

+−+−

S+$cióe acuerdo a las propiedades

observamos (respecto a la letra #a%)

NU = U 0 dU = - 2 = 2

8Uma* = dU 0 1 = 2 1 = 1

Adem<s: R!A! (U) = R!A! (8U) = -Ior Qorner, se tendría:

12 0F 2.

÷ - 12 0 2 + /1 0 . + 2.

/ 1/ 0 21

0 1. + 1-

2/ 0 / 0D

0 2 + / G 0 1/

Ior consiuiente:

N (a , b) = a2 2ab + /b2

8 (a , b) = Gab 1/ b-

En la solución de estos problemasdebemos tener en cuenta las siuientesrelas:

R"#$% NF &.! os polinomios son

divisibles, o uno de ellos es múltiplo deotro, o nos dicen &ue la división entreellos es e*acta' cuando el resto o

residuo de la división es un polinomionulo!

R"#$% NF '.! 7i en una división nosdan como dato el resto, entonces el

resto obtenido por Qorner " el resto&ue es dato son polinomios id;nticos!

R"#$% NF 6.! En toda división e*actalos coeicientes del dividendo " deldivisor se pueden escribir en sentidocontrario " al eectuar la división estasiue siendo e*acta!

E"*$+ &.! C%$c$%0 %H ; ?H " $%dii1ió "9%c2%,

!xx

baxxx!!

34

−−

−+−

S+$ció,Ior Qorner tendríamos:

2 1 /

÷ 1 2 0 1 + . + a 0 b

1 2 + -

1 + 2

2 / + 1.

2 + 1 + / . + .

A&uí vemos &ue:i) a + 2 + / = . ⇒ a = 0D 8pta!

ii) b + 1. = . ⇒ b = 1. 8pta!

E"*$+ '.! C%$c$%0 %H ; ?H " $%dii1ió,

1xx

baxx!xx3!

!34

+−−−+−

7abiendo &ue su resto es - * S+$ció:Aplicando el m;todo de Qorner:

2 1

÷ 1 0 1 + 2 0 a 0 b

1 0

2 0 201 1 0 1

CÁLCULO DE COE-ICIENTESEN EL DIVIDENDO O EN EL

4.5

+ 2 + 1 - 0

e las columnas del restoSemos &ue:

i) 0a 0 2 + 1 = - ⇒ a = 0/ 8pta!

ii) b 1 = 0 ⇒ b = 2 8pta!

E"*$+ 6.! C%$c$%0 %H ; ?H " $%dii1ió "9%c2% (+0"0 i"01+)

1xx

!xxbxax

!

!34

−−

−−−−

S+$ció,Escribiendo los coeicientes en sentidocontrario, se tendría el siuientees&uema de Qorner:

02 1 0-

0 1 02 0 1 0 1 0 b + a

1 2 0 2

01 + 101 - 0 -

2 0 1 + - . + .

e donde:i) 0b + 1 + - = . ⇒ b = / 8pta!

ii) a - = . ⇒ a = - 8pta!

Este m;todo es aplicable paradivisores, binomios o transormables abinomios' es un caso particular de ladivisión por Qorner! 7e presentan doscasos:

I.! P0i"0 c%1+ , P(9) ÷ 9 ± ?

ividendo : I(*)ivisor : * ± b

Es&uema de 8uini:

El primer elemento del dividendo se

baja " corresponde al primer elementodel cociente, se procede como en ladivisión por Qorner " el resultado dereducir la última columna es el resto dela división!

Ejemplo J 1 : Eectuar:

!x

!x3xx! !4

+−+−

S+$ció

el es&uema de 8uini, tendríamos:

2 + . 1 + 0 2

0 - + F 1- + 222 0 - + D 0 11

on lo cual:

N(*) = 2* -*2 + D* 11 (cociente)8pta!

8(*) = 2. (8esto)

E. ' , %$$%0 H " $% dii1ió,

!x ++++ O*O*2*0* 2-

S%?i"d+ <" "1 "9%c2%.S+$ció

DIVISIÓN POR RU--INI

,IEE RE/,

()

* = b

ivisor = .

+"0

* = 02

* + 2 = .

2 " .I.

4.6



omo la división es e*acta, el resto es unpolinomio nulo, es decir:

> +2 = . 1 2 + O +1 +O

> = 02 0 2 + F 0 2O01 -O +.

1 0 - +(O+F) +(02O01/) .

5bservemos &ue:P + - O + . = . → O = 0 8pta!

II.! S"#d+ c%1+ , P(9) ÷ %9 ± ?

ividendo : I (*)ivisor : a * ± b

Es&uema de 8uini

I(*)

En este caso:

N (*) = 5KEL6Ea

8 (*) = 8esto

E"*$+ J 1: Eectuar:

2*

*11 -*0 *1/ 2

+++

5

S+$ció,Ior 8uini, se tendría:

/> +2 = . 1/ 0 - + 11 +

> =02/ 0 + - 0

1/ 01. + 1/ .

/

N (*) = *2 2* +

8 (*) = .E"*$+ ', D"2"0i%0 H " $%dii1ió,

12*

2O/*0-**1.* 2-

++++

sabiendo &ue el resto es: O 2

S+$ció

Aplicando 8uini, tendríamos:

2> +1 = . 1. + 1 + - / + 2O

> =012 0/ + 2 0 + -

1. 0 - + 0 F O 0 2

e la condición:

2O + - = O 2 → O = 8pta!

&. E="c2%0,

3x

x5x!x34

41!1

+

−+−

S+$ció,Qaciendo la transormación: *- = "

6endríamos:3y ++ D0"/"20" -

Ior 8uini:

0 2 + . + / 0 D

0 G + GG + 2F2

0 11 + 0 G-

O?2""+1,

N (") = " 11 "2 + " G-8 (") = 2D/

Resto

* = a

b

a* ± b = .

, I E E a

+"75

T = 0

T + = .

32 3" 3 .I.

CASOS ESPECIALES4.7

omo : " = *- ' en unción de #*%

N (*) = *12 11 *F + *- G- 8 (*) = 2D/

Este teorema es importante por &uenos permite encontrar el resto de ladivisión, sin eectuarla!

Eci%d+.! El resto de dividir unpolinomio racional I(*) entre un divisor

binomio de la orma (a * ± b) ocual&uier otro divisor transormable abinomio' se obtiene al calcular el valor

num;rico de I ( a

b)

DEMOSTRACIÓN DE TEOREMA,En concordancia con los elementos dela división, tenemos:ividendo : I(*)ivisor : a * ± b

ociente : N (*)8esto : 8 (*) (incónita)

e la identidad undamental:

≡ d N + 87e tiene:I (*) = (a * ± b) N (*) + 8 (*)

Evaluando I(*) para > = a

b

7e obtiene:I (

a

b) = a (

a

b) ± b @ N (

a

b) + 8(*)

I ( a

b) =

a

b ±

a

b@ N (

a

b) +

8 (*)

omo vemos a

b ±

a

b = .' con lo

cual:

8esto = 8 (*) = I (a

b ) !&!&!d!

P0i"0 C%1+,bax

)x(

±8elas para determinar el 8esto:

1U !0 ivisor iual a cero : a * ± b = .2U !0 Qallamos el valor de *: * =

a

b

U !0 8eempla3amos el valor de #*% enel polinomio dividendo " el valorobtenido es el resto de la división

E"*$+ &,%$$%0 "$ 0"12+ d" $% dii1ió,

1xxx5x3x!

45.

+ +−+−

S+$cióAplicando las relas tendríamos:1U!0 ivisor = . → * + 1 = .2U!0 <lculo de * → * = 01U!0 8eempla3ando en el dividendo'

* = 01, obtenemos:8esto = 2(01)G (01)/ + /(01)- D(01) + teniendo en cuenta &ue :

(0)

Iar

= + ∧ (0)

Kmpar

= 08esto = 02 + + / + D +

R"12+ 4 & 8pta!

E"*$+ '.! D"2"0i" "$ %$+0 d"H " $% dii1ió "9%c2%.

!x ++ O*0*2)0O(0*2 2

S+$cióomo la división es e*acta, el resto, esiual a cero " de acuerdo a las relasdel teorema del resto tendríamos:1U!0 ivisor = . → * + 2 = .2U!0 <lculo de * → * = 02U!0 8esto = .2 (02) (O 2) (02)2 (02) + O = . 01 12 O + F + 2 + O = .

0 O =

∴ 4 & R*2%.

TEOREMA DEL RESTO

CASOS UE SE PRESENTAN

4.8

4.9

S"#d+ c%1+,bax

)x(n ±

@ ( ≥ ')

8elas para determinar el resto:1U!0 ivisor = . → a*n ± b = .

2U!0 <lculo de *n → *n =ab

U!0 8eempla3amos el valor de *n en elpolinomio dividendo " el valor obtenidoes el resto de la división:

E"*$+ &,%$$%0 "$ 0"12+ d" $% dii1ió,

!x

!x3x5x!x!

!35

+

−+−+

S+$ció,E*presando el dividendo en unción de #*2% se tendría:

!x

!x3)x(5x)x(!x)x(!

!!!!

+

−+−+

Aplicando las relas:1U!0 *2 + 2 = . → *2 = 02'F.! P+0 c+1i#i"2",8(*) = (02)2 * + 2 (02) * / (02) + * 028 (*) = - * - * + 1. + * 2

∴ R (9) 4 6 9 > 8pta!

E"*$+ ',Si "$ 0"12+ d" $% dii1ió,

1x

5bxx3ax!

!5

+

−++

"1, 9 J. %$$%0 (% > ?)

S+$ció

E*presando el dividendo en unción de*2, se tendría:

1x

5)x(bx)x(3x)x(a

!

!!!!

+

−++

el teorema del resto:1U!0 *2 + 1 = . → *2 = 012U!0 8(*) = a (01) * + (01)2 * + b (01) / 8 (*) = (0a + ) * b /omo: 8(*) ≡ * 0 7e cumple &ue:

(0a + ) * b / ≡ * omparando los coeicientes:i) 0a + = 1 → a = 2ii) b / = 0 → b = 1

∴ a + b = 8pta!

E"*$+ 6,%$$%0 "$ 0"12+ d" $% dii1ió,

1xx

3xx!

!

5!3

++

+−

S+$ció

7iendo el divisor un trinomio 4a" &uetransormarlo a binomio, mediante laidentidad

(*2 + * + 1) ( * 1) = * 1

on la cual, se tendría :

)1x()1xx(

)1x()3xx!(!

5!3

−++−+−

1x

3x3xxx!x!3

5!3!4

−−++−−

E*presando el dividendo en unción de *:

1x

3x3x)x()x(x)x(!)x(!3

!3!3!383

−

−++−−

8ecordemos &ue: si al dividendo " aldivisor se multiplican por una mismacantidad, el cociente no se altera pero elresto &ueda aectado por la cantidad&ue se est< multiplicando' enconsecuencia:

Ior el 6eorema del resto:1U!0 * 1 = . → * = 12U!0 on lo cual:(* 0 1) 8(*) = 2(1)F 2(1)D *2 (1)2 +

+ (1) *2 + * (* 0 1) 8 (*) = 0 *2 + * 2

0*2 + * 2 8 (*) = 00000000000000000

* 0 1Ior la rela de 8uini:

01 + 0 2

* = 1 0 1 + 201 + 2 .

5btenemos:

8esto: 8(*) = 0* + 2 8pta

7on cocientes cu"a orma eneral es:

ba

ba nn

±± ' n ∈ 3+

El desarrollo de estos cocientes sepueden eectuar directamente sin aplicarlos criterios enerales de la división

alebraica6odo cociente notable debe satisacer lossiuientes principios:1U El resto de la división debe ser

iual a cero!2U as bases deben ser iualesU os e*ponentes deben ser iuales!Lota!0 oLo = ociente Lotable

b 0 a

b 0a nn

n : Iuede ser par o impar' siempre ser<o no "a &ue su resto es cero! Eldesarrollo obtenido por la rela de8uini es:

10n20n10nnn

b!!!!!!!!!!!ba a b0a

b0a+++=

E"*$+,

b 0 a

b 0a --= a + a2 b + ab2 + b

S"#d+ c%1+,b a

b a nn

++

n : En este caso debe ser imparnecesariamente' para &ue el resto seacero " el cociente sea notable!

El desarrollo obtenido por la rela de8uini es:

10n20n10nnn

b 0,!!!!!!!!!!!0ba a ba

ba++−=

++

,

Ejemplo:

ba

ba //

+

+ = a- a b + a2 b2 ab + b-

T"0c"0 c%1+,b a

b 0a nn

+

n : Iara este caso debe ser un númeropar necesariamente, lo cual nos da unresto cero " por consiuiente el cocientees notable!El desarrollo obtenido por la rela de

8uini es:10n20n10n

nnb0,!!!!!!!!!ba a

ba

b0a+−+−=

+,

E"*$+,

b a

b 0a --

+4 a a2b + ab2 b

C%02+ c%1+,b0a

ba nn +

n : Ta sea par o impar, el resto no ser<

cero, por consiuiente este tipo decociente nunca ser< cociente notable!

8especto al oLo cu"a orma eneral es:

b a

ba nn

±±

PROPIEDADES GENERALES DELOS COCIENTES NOTABLES

P0i"0 c%1+,

COCIENTES NOTABLESFACTORIZACION

7e satisacen las siuientes propiedades:

1U El resto de la división debe seriual a cero!

2U El número de t;rminos &ue tieneen su desarrollo es iual ale*ponente del dividendo delcociente notable!

U El desarrollo de un oLo es unpolinomio 4omo;neo cu"o radoes iual al e*ponente deldividendo del oLo menos uno!

-U En el desarrollo de un oLo los

e*ponentes de la primera "seunda base varían consecuti0vamente en orma descendente "ascendente desde el ma"ore*ponente, 4asta el e*ponentecero!

/U 8especto a los sinos de lost;rminos del desarrollo de unoLo, debemos considerar lo

siuiente:i)

−−

= +, +, + !!!!! + (n: Iar ó

Kmpar)

ii)++

= +, 0, +, Z!!!!0, + (n: Kmpar)

iii)+−

= +, 0, +, ZZ,+, 0 (n: par)

En la e*pansión del oLo:

ba

ba nn

±± = an01 ± an02 b + a n0 b2 ± Z! ± bn01

61 62 6 6P 6n

Semos &ue el t;rmino de luar #O%

adopta la orma matem<tica:

6P = ± (a)n O (b) O 1 ' 1 ≤ O ≤ n

ebemos tener en cuenta &ue: #a% : Irimera base del oLo

#b% : 7eunda base del oLo

#n% : Lúmero de t;rminos de oLo

#O% : uar &ue ocupa el t;rmino&ue &ueremos determinar

Adem<s:i) 6P, es (+) ⇔ O, es imparii) 6P, es (0) ⇔ O, es par, pero solo para

oLo de la orma :

++

ó+−

iii) 6P siempre es positivo para una oLo

de la orma− !

E"*$+&,

ado el oLo :ba

ba 3131

++

4allar el 62D

S+$ció,

ado &ue 2D es un número impar:6P = + (a)n0 O (b) O 1

onde : #a% = a #b% = b #n% = 1 #O% = 2D8empla3ando:62D = (a) 102D (b) 2D01

T' 4 % ?'J R*2%.

', D%d+ "$ C+N+ ,ba

ba 4343

−−

4allar el R!A: del 62

S+$ció,

omo el oLo es de la orma

−

− ,

todos los t;rminos son positivos, porconsiuiente:

-ORMULA PARA CALCULAR EL

TÉRMINO DE LUGAR H EN ELDESARROLLO DE UN CONO

6P = + (a) n O (b) O 1 onde: #a% = a #b% = b #n% = -

#O% = 28empla3ando:62 = + (a)- 2 (b) 2 1

62 = a11 b1

∴ G.A, 4 && > 6& 4 ' R*2%.

Este tipo de división ser< transormablea cociente notable, cuando satisaa lassiuientes condiciones1!0 El resto de la división debe ser

iual a cero!2!0 as bases deben ser iuales

!0 os e*ponentes del dividendo conrespecto al divisor deben serproporcionales " pertenecer alcampo de los números enterospositivos, es decir:

q

n

p

#= ' ∈ 3+

-!0 8especto a los casos &ue sepresentan en los oLo, debentenerse en cuenta lo siuiente:

a) Horma :−−

&

n

p

m = = J par o impar

b) Horma :++

&

n

p

m = = J impar

c) Horma :0

+

&

n

p

m = = J par

DIVISIÓN DE LA -ORMA

qp

n#

baba

±±

d) Horma :−+

(no es oLo)

/!0 9n t;rmino cual&uiera del

desarrollo del oLo

&p

nm

ba

ba

±

±

est< ormulado por:

6P = ± (a) m O p (b) (O01) & ' 1≤ O ≤ p

#

E"*$+ &,alcular #n% en el cociente:

; 9

;! 9

&!'!

'!OD!L

+

7abiendo &ue es notable!

S+$ció,Ior ser cociente notable, se cumple &ue:

10n20nF

20n-0nD=

Ior proporciones:(D n -) (n 1) = (n 2) (Fn 2)Dn2 11 n + - = F n2 1F n + -

0 n2 + Dn = .Hactori3ando:

n = .n (n D) = . → ó

n = D 8pta!

E"*$+ ',C%$c$%0 (>) " "$ c+ci"2"

+2%?$"s:

n

D.m

" *

"0*

−

7i su desarrollo tiene 1- t;rminos:

S+$ció,Ior ser cociente notable, se cumple &ue:

&D

L7

D') &D6

)

&D

L7

6

)

=⇒=

=⇒=

→==

)ii

)i

∴ > 4 R*2%.

E"*$+ 6,

D%d+ "$ C+N+ , -

12-G

ba

ba

+

+

%$$%0 "$ #0%d+ %?1+$2+ d"$ T''.S+$ció,

omo 22 es un número par, aplicamos laórmula:6P = 0 (a) n 0 O (b) O 1

onde: #a% : Irimera base = a

#b% : 7eunda base = b-

#n% : Lúmero de t;rminos = 1-

12-

G==

#O% : luar &ue ocupa el t;rmino = 22

8eempla3ando:622 = 0(a) 1 22 (b-) 22 1

622 = 0a 2D b F- → G.A. &&& R*2%.

ado el oLo :b a

ba nn

±±

Iodemos notar &ue:

1!0 #n% representa el número det;rminos

2!0 7i #n% es un número impar e*isteun t;rmino central al cualdenotaremos por tc " ocupa elluar!

21n c t += t

OBSERVACIONES IMPORTANTES

!0 7i #n% es un número par e*istendos t;rminos centrales " ocupanlos luares!

1 2

nc1

2

nc1 tt tt+

=∧=

-!0 7i #O% es el luar &ue ocupa elt;rmino del desarrollo de un oLo

" # O[ % su t;rmino e&uidistante(t;rmino contado a partir dele*tremo inal)' se cumple!

a) O + O[ = n + 1

b) 6P = ± (a) n O (b) O 0 1

c) 6P[ = tn+1 0 O = ± (a) O 1 (b) n 0 O

d) 6P " 6P[ son de iual sinos en losoLo de la orma :

++

−−

"

e) 6P " 6P[ tienen sinos dierentes

para oLo de la orma: +

−

Iara reconstruir un cociente notable apartir de los t;rminos de su desarrollo,debemos tener en cuenta lassiuientes relas:

&F L"; d" 1i#+1a) +, +, +, !!!!!!!!!!!!!! + →

−−

b) +, 0, + !!!!!!!!!!!!!!!!0,+ →

++

c) +, 0, +, !!!!!!!!!!!!!+, 0 →

+−

'F L"; d" %0i%?$"1.! En eldividendo " en el divisor seescriben como bases del oLo

las bases de los t;rminos

e*tremos del desarrollo!

6F V%0i%ció d" "9*+"2"1!0Los determina los e*ponentes&ue deben colocarse en lasbases del divisor' la variacióndescendente es para la primerabase " la variación ascendentees para la seunda base!

F =+0%ció d"$ C+ci"2"N+2%?$".! 5btenidos lose*ponentes del divisor5 estosse suman con los e*ponentesde los t;rminos e*tremos deldesarrollo del cociente notable "obtenemos los e*ponentes deldividendo, orm<ndose elcociente notable!

E"*$+,ado el desarrollo*1-/ + *1-. "F + !!!!!!!+ "22

ormar el oLo

S+$cióe acuerdo a las relas, tenemos:

1U!0 e" de 7inos :−−

2U!0 e" de variables: "0*

"0*

U!0 Sariación de e*ponentes: F/ "0*

"0*

-U!0 Hormación del oLo: 85 yx −

2-.1/. "0*

RECONSTRUCCIÓN DE UNCOCIENTE NOTABLE A PARTIR DE

EERCICIOS

E"0cici+ NF &.! D%d+ "$ c+ci"2"+2%?$"

02n1n

:n-21n2

" *

)(" 0 )(*

++

++

determine el número de t;rminos &uetiene su desarrollo!

S+$cióIor ser un cociente notable lose*ponentes deben ser proporcionales, esdecir:

Jt =0n2

)n(-

1n

21)n(2 +=

++

operando, se tiene:(n + -2) (2n ) = (12n + 2-) (n + 1)12 n2 1F n + F- n 12 = 12 n2 + 12 n+ 2- n + 2-Si*$i=ic%d+,

n 12 = n + 2- . n = 1/.

n = /0"*$%%d+,

Jt = [ ]1/21(/)2 + + → J t = 12

E"0cici+ NF '.! Al eectuar el desarrollo

del oLo:!3

xx −−

0.-/ *0*

Qallar el número de t;rminosraccionarios!S+$ció,9n t;rmino en;rico del desarrollo de

este oLo es:

6P = (a) n 0 O (b) O 1 →

OO

1/ n

* b

* a20

====

8empla3ando:6P = (*)1/ O ( * 02) O 1

6P = * -/ O * 2O + 2

6P = * -D / O ' 1 ≤ P = 1/

os t;rminos ser<n raccionarios'

uando: -D / O < .0 / O < 0-D

O > 5

4

O > G,-

ado &ue: O ≤ 1/ ' entonces:

P = 1., 11, 12, 1, 1-, 1/∴el número de t;rmino raccionarios es!

a actori3ación es un procesocontrario a la multiplicación, el cual noest< sujeta a relas especíicas' suoperación depende de la pr<cticaad&uirida! En esencia es latransormación de un polinomio en unproducto indicado de actores primos,dentro de un determinado camponum;rico!

9n polinomio est< deinido sobre uncampo num;rico, cuando loscoeicientes de dic4os polinomiospertenecen al conjunto num;ricoasociado a dic4o campo! Qa" trescampos de importancia:8acional : N ' 8eal : 8' omplejo : Ejemplo:i) I (*) = 2 *2 D* + , est<

deinido en N , 8 "

ii) N (*) = ! */ + * 0 3 , est<deinido en 8 " , pero no en N!

iii) 8 (*) = * i * + 2 i ' estadeinición solo en !!!! (i = 1− )

-%c2+0 ó Dii1+0.! Es un polinomio derado distinto de cero &ue dividee*actamente a otro!

-%c2+0 P0i+.! Es un polinomio sobreun campo num;rico el cual no se puedetransormar en el producto de dospolinomios sobre el mismo camponum;rico!E"*$+ & .! P (9) 4 9' '

-ACTORI3ACIÓN

Lo es primo en N, ni en 8' ni en , "a&ue se puede e*presar como

I (*) = (* + /) (* /)!E"*$+ '.! 3(9) 4 9' Es primo en N, pero no en 8 ni en ,dado &ue M (*) = (* + ) (* 0 )

E"*$+ 6 .! R(9) 4 9' > &JEs primo en N " en 8 pero no es primoen , "a &ue8(*) = (* + -i) (* - i)

N/"0+ d" =%c2+0"1 *0i+1.! Es lacantidad de actores no repetidos &uetiene el polinomio, dependiendo sobre&ue campo num;rico se actorice!E"*$+a) I(*) = *- ≡ (*2 + ) (*2 )⇒ I (*) tiene 2 actores primos en N

') I(*)=*- ≡ (*2 + ) (* + )(* 0 )

⇒ I (*) tiene actores primos en 8

c) I(*)=*- ≡ (* + i ) ((* 0 i )

(*+ ) (* 0 )⇒ I (*) tiene - actores primos en

I. M2+d+ d"$ -%c2+0 C+/.! Elactor común est< contenido entodos los t;rminos de la e*presiónalebraica a actori3ar, con el menore*ponente' puede ser monómico opolinómico!

E"*$+ &, -%c2+0i%0,

= 2*-

"

+ 2*-

32

+ 2*-

S+$ció,El actor común es: 2*-' de donde

= 4 '9 (;6 > ' > &) R*2%!E"*$+ ', -%c2+0i%0, = (a2 + b) * + (a2 + b) " + (a2 + b) 3S+$ció,El actor común en este caso es: (a2 + b)'de donde = 4 (%' > ?) (9 > ; > ) R*2%.

II. -%c2+0i%ció *+0 %#0*%ciód" 20i+1

onsiste en arupar convenientementede orma &ue se tena actor comunes

polinómicos!E"*$+ &, -%c2+0i%0

= (a * + b") 2 + (a" b*) 2

S+$ció,esarrollando por productos notables! = a2 *2 + 2ab * " + b2 "2 + a2 "2

0 2 ab *" + b2 *2

7impliicando: = a2 *2 + b2 "2 + a2 "2 + b2 *2

arupando el primero con el tercero "el seundo con el cuarto, se tiene: = (a2 *2 + a2 "2) + (b2 "2 + b2 *2) = a2 (*2 + "2) + b2 (*2 + "2)

∴= 4 (%' > ?') (9' > ;')R*2%.

III. M2+d+ d" $%1 Id"2id%d"1A. DI-ERENCIA DE CUADRADOS

Iara actori3ar se e*trae la raí3cuadrada de los cuadradosperectos " se orman un producto

de la suma de las raíces,multiplicadas por la dierencia delas mismas! En eneral!

= a2m b2n = (am + bn) (am bn)

am bn

B. TRINOMIO CUADRADOPER-ECTO.! 7u orma eneral es:

= a2m

± 2 am

bn

+ b2n

am bn → ambn

am bn → ambn

2ambn

∴ = 4 ( % ± ? ) '

C. SUMA O DI-ERENCIA DE CUBOS.!

-ACTORI3ACIÓN EN 8

(Igales)



En este caso recordamos los productosnotables!am+ bn = (am + bn) (a2m am bn + b2n)am bn = (am bn) (a2m + am bn + b2n)

E"*$+ &, -%c2+0i%0 = *F F1 "F

S+$cióE*tra"endo a los t;rminos, seobtiene: = *F F1 "F

*- G"-

>2 "2

e donde:

= (*- + G"-) (*2 + "2) (*2 "2)

E"*$+ '.! -%c2+0i%0 = (a + b)D + c (a + b)- c- (a + b) cD

S+$ció,Qaciendo: (a + b) = *' se tendría: = *D + c *- c- * cD

actori3ando de 2 en 2 = *- (* + c) c- (* + c)

siendo el actor común : * + c

= (* + c) (*- c-)

actori3ando la suma de cubos " ladierencia de cuadrados, obtenemosinalmente: = (* + c) (*2 *c + c2) (*2 + c2) (* + c) (* c)

E"*$+ 6.! -%c2+0i%0, = ab (a + b) + (a + b)2 c + (a + b) c2

S+$ció

Hactori3ando : (a + b)' se tiene

= (a + b) ab + c (a + b) + c2@

= (a + b) ab + ac + bc + c2@

actori3ando en el corc4ete #2% a #2%

= (a + b) a (b + c) + c (b + c)@

siendo: (b + c) el actor común, se

tendría como actores:= 4 6 (% > ?) (% > c) (? > c) R*2%.

A1*% Si*$".! 7e aplica en

e*presiones trinomias de la orma!

= 4 %9' > ?9 ; > c ; '

7e descomponen en actores lose*tremos " la suma de los productos enaspa debe ser iual al t;rmino central!Es decir, dado :

= a* 2m + b*m "n + c "2n

a1 *m c1 "n → a2 c1

a2 *m c2 "n → b

ca 21

os actores se toman 4ori3ontalmente

∴ = 4 (%& 9 > c& ;) (%' 9 > c' ;)

E"*$+ &, =%c2+0i%0 = - a12 b F aF bD + - a- b11

S+$ció,7iendo el actor común : - a- b

7e obtiene: = - a- b 1 aF 1D a- b- + bF @

Aplicando aspa simple al corc4ete

1 a- 0b- → a- b-

a- 0b- → 1 a - b-

1D a- b-

= -a- b ( 1 a- b- ) (a- 0 b- )

actori3ando las dierencias decuadrados' obtenemos: = - a- b (- a2 + b2) (2 a + b) (2 a b)

(a2 + b2) (a + b) (a b)

-%c2+0i%0,1) = *- + "- + 2* " (*2 + "2) + * "2

R*2%. = 4 (9' > 9; > ;')'

suma

suma * i



2) = * + 2*/ *- + -*2 1

R*2%. # 4 (96 > 69' &) (96 9' > &)

) = (a2 + b2 c2 d2)2 - (ab + cd)2

R*2%. = 4 (% >? > c d) (% > ? c > d)

(% ? > c > d) (% ? c d) = (* + ") + *" (1 * ") 1

R*2%. # 4 (9' > ;' > & 9; > 9 > ;)

-) = (32 "2)2 (*2 a2) + - *2 "2 32

R*2%. = 4 (' 9 > 9;' > %' %;')

(' 9 > 9;' %' > %;')

/) 9n actor de: a (a 1) + a 1 es:

R*2%. (% &) ( % > &)'

) escomponer en actores: */ + * + 1

R*2%. (9

'

> 9 > &) ( 9

6

9

'

> &)D) uando se actori3a *G * 4asta donde

sea posible en polinomios " monomios

con coeicientes enteros, el número de

actores primos es:

R*2%.

F) a e*presión

*2 "2 32 + 2"3 + * + " 3

R*2%. (9 > ; ) (9 ; > > &)

G) Qallar la suma de los actores primos

de: a (a2 + ab 0 1) b (b2 + ab 1)R*2%. 6 % > ?

1.) Hactori3ar la e*presión:

*- + 2* 2* 1, indicar la suma de los

actores primos,

R*2%. '9

LGEBRA

Este m;todo es aplicable parapolinomios de la orma: = a *2m + b*m "n + c "2m + d*m +

+ e "n + El polinomio debe presentar cierto

orden para poder actori3arlo!1U! ebe tener t;rminos, si altaaluno de ellos, se reempla3apor ceros!

2U! on respecto al primer trinomiolos e*ponentes centrales debenser la mitad de los e*tremos, "en el cuarto " &uinto t;rmino serepiten los e*ponentescentrales!

1! Estando ordenado los t;rminosdel polinomio, se tra3an dosaspas de la siuiente orma:

= (a*2m + b*m "n + c"2n+ d*m + e"n +

2! escomponemos en actores loscoeicientes de los t;rminose*tremos! ultiplicados en aspa "sumados deben veriicar al #cuarto t;rmino%!

= a*2m + b*m "n + c"2n + d*m + e"n + a1 1

a2 2

eben cumplirse &ue: a1 2

a2 1 d

! A continuación descomponemos enactores el coeiciente del tercert;rmino! a primera aspa debeveriicar al coeiciente del seundo

t;rmino " la seunda aspa debeveriicar el coeiciente del &uintot;rmino!

-! os actores se obtienen tomandolos t;rminos de las aspas en orma4ori3ontal!

E c+c$1ió, = a*2m + b*m "n + c"2n + d*m + e"n +

a1*m c1 "n 1 → a2 1

a2*m c2 "n 2 → a1 2

d∴

= (a1 *m + c1 "n + 1) (a2 *m + c2 "n + 2)

E"*$+ &, -%c2+0i%0 = 2. *- 21 " + 1 *2 " 2*2 +

+ 2 "

S+$ció5rdenando el polinomio de acuerdo alas relas dadas, se tiene: = 2.*- + 1*2" 21" 2*2 + 2"

-*2 2 → 1.

/*2 → 012 02

ado &ue est< veriicado el cuarto

t;rmino, descomponemos en actoresel #tercer t;rmino% = 2.*- + 1*2" 21" 2*2 + 2"

-ACTORI3ACIÓN POR

-ORMA DE -ACTORI3AR a1c2

a2c1

b

c1 2c2 1 e

FACTORIZACION – MCM / MCDFRACCIONES ALGEBRAICAS

LGEBRA

-*2 0 " 2 → 1.

/*2 D " 0 → 012

0 2omo se 4an veriicado todos lost;rminos, los actores son: = (-*2 "2 + 2) (/*2 + D" )

E"*$+ '.! -%c2+0i%0

= 4&'%' ?'&'c' '%? > %c > & ?c

S+$ció,5rdenando convenientemente, setendría: = 12a2 0 2ab - b2 + Dac + 1- bc 12 c

a -c → 1

-a 0c → 0GD

ado &ue el cuarto t;rmino est<veriicado, descomponemos enactores el tercer t;rmino!

= 12a2 2ab -b2 + Dac + 1- bc 12 c2

a 02b -c → 1 ac

-a 2b 0c → 0G ac

omo todos los t;rminos est<nveriicados, entonces: = (a 0 2b +-c) (-a + 2b c)

El polinomio a actori3ar debe tenercinco t;rminos o en su deecto debecompletarse con ceros, su ormacanónica es:

= a*- + b* + c*2 + d* + e

El problema central consiste en

descomponer c*2

en dos t;rminos,dispuestos en la siuiente orma:

c1 *2 c2 *2 tal &ue : c1 + c2 = c

1! 7e decompone en actores loscoeicientes de los t;rminose*tremos del polinomio de cuartorado, de orma &ue : a = a1 ! a2 " e = e1 ! e2

multiplicando en aspa " sumandolos productos respectivos,

obtenemos #c1%, es decir: = a*- + b* + c*2 + d* + e c2 c1

a1 e1 = a2 e1

a2 e2 = a1 e2

c1

Lota: #c2% se obtiene por dierenciac2 = c c1

2! #c2% se descompone en actoresc2 = c[ 2 ! c% 2 , donde la primeraaspa veriica a #b% " la seundaaspa veriica a #d% = a*- + b* + c*2 + d* + e

c2 c1

a1 *2 c[ 2* e1 → a2 e1

a2 *2 c% 2* e2 → a1 e2

c1

! os actores, se toman4ori3ontalmente

= (a1*2 + c[ 2* + e1) (a2*2 + c% 2 * + e2)

E"*$+ &, -%c2+0i%0 (*)= 2.*- + 2* 11*2 + 1G * 1/

S+$ció,escomponiendo en actores lost;rminos e*tremos, para determinar #c1% se tendría:

2F01/

1

G 1-

2

0 F0 2

F 1- Dac

DOBLE ASPA, CASOH

a1c% 2

a2c[ 2 b

c[ 2 e2

c% 2 e1 d

LGEBRA

(*) = 2. *- + 2* 0 11*2 + 1G* 01/ 0*2 0/*2

-*2 = 1/*2

/*2 0/ =0 2.*2

0/*2

escomponiendo en actores:c2= 0 *2 se tendría:

= 2.*- + 2* 0 11*2 + 1G* 01/

0*2 0/*2

-*2 02* = 1/*2

/*2 * 0/= 0 2.*2

0 /*2

∴ (*) = (-*2 2* + ) (/*2 +* /)

1! Lo todos los polinomios de -to!

Rrado se pueden actori3ar pordoble aspa!2! 7i el polinomio de -to! Rrado es

actori3able por doble aspa, debeobservarse si cada actorcuadr<tico es actori3able!

! El trinomio : a*2 + b* + c = . sepuede actori3ar, si sudiscriminante (∆ = b2 -ac) es

un cuadrado perecto!

-%c2+0i%0,1! = .a2 b2 1-c2 2Fab

0 2ac + 2/ bcR*2%. = 4 (% ! 6? > 'c) (J% > '? c)

2! = 21*2 D *"2 + 12"- + -F*

0 2 "2 + 12

R*2%. # 4 (69 ;' > J) (9! 6;' >')

! = 2.*2 + 12"2 1*" + 2" 2*0 -

R*2%. = 4 (9 ; > ') (9 6; ')

-! = 2Fa2 + b2 12c2 2Gab01.ac + 1-bcR*2%. # 4 (% ! 6? > 'c) (% ! '? Jc)

/! = 12*2 0 2G*" + 1/"2 + 2- * -."R*2%. = 4 (9 6; > ) (69 ;)

! = 2.*-+ G* 0 2.*2 + 21 * 0 R*2%. # 4 (9' 69 > ') (9' > J9 6)

D! = 2.*- + D* 2G*2 + 2 * 21R*2%. = 4 (9' '9 > 6) (9' > 69 )

F! = *- 0 /* + 2*2 0 / * + R*2%. # 4 (69 &) (9 6) ('9 &) (9! ')

G! = 2. *-n + D*n 1G *2n + 1G*n 1/

R*2%. = 4 (9' '9 > 6) (9' > 69 )

1.! = 12.*-n 2-2*n + 2D*2n ++ 1/ *n /-

R*2%. # 4 (69 ') (9> 6) (9 6)

('9 6)

LGEBRA

Este m;todo se basa en el criteriodel teorema del resto:i) 7i: I (*) es divisible entre (* a)entonces I(a) = .ii) 7i: I(*) es divisible entre (* + b)entonces I (0b)= .

5bservando en orma inversai) 7i: p (a)= .' entonces un actor

es (* a)ii) 7i: p(0b) = .' entonces un actores (* + b)

El polinomio mónico se caracteri3apor&ue el coeiciente de su m<*imapotencia es iual a la unidad!

1! 7e 4allan todos los divisores delt;rmino independiente delpolinomio I(*) a actori3ar' losdivisores se consideran con elsino m<s " menos!

2! ada divisor con sino (+) osino (0) se evalúa en I(*), sialuna de las evaluaciones vale

cero, 4emos encontrado un actorlineal!

! 7e recomienda encontrar unacantidad de ceros iual al radodel polinomio I(*) menos dos!

-! os dem<s actores seencuentran aplicando la rela de8uini!

E"*$+ &Hactori3ar :

(*) = *- 2* 1 *2 + 2* + 1/

S+$ció,

Lótese &ue el polinomio es de cuartorado, entonces:1! a cantidad de ceros aencontrar por evaluación es: -U 0 2U= 22! os divisores del t;rminoindependiente #1/% son ± (1, , /,

1/)! Evaluando:

a) (1) = 1 2 1 + 2 + 1/ = .entonces, un actor es : (* 1)b) (01) = (01)- 2(01) 1 (01)2 + 2 (01) + 1/ (01) = .' entonces, otro actor

lineal es: (* + 1)

-! Ior la rela de 8uini:

1 2 1 + 2 + 1/ 1 1 0 1D 0 1/

1 1 1D 0 1/ .

0 1 + 2 + 1/

1 2 1/ .

∴ I (*) = (* 1) (* + 1) (*2 2*

1/)El actor cuadr<tico es m<s <cil deactori3ar, obteni;ndose:I (*) = (* 1) (* + 1) (* /) (* +)

7ea, I(*) el polinomio a actori3ar:1U 7e 4allan los divisorescorrespondientes al t;rminoindependiente de I (*) " los

-ACTORI3ACIÓN POR

* + 1 = .

> = 01

* 1 = .

> = 1

CASO DE POLINOMIOS NO

LGEBRA

divisores correspondientes alcoeiciente de la m<*ima potencia!2U os divisores a evaluar son los

divisores del t;rmino independientem<s las racciones &ue se obtienenal dividir los divisores del t;rminoindependiente entre los divisores delcoeiciente de la m<*ima potencia!

E"*$+, -%c2+0i%0, (*) = */ + 1*-2G *- *2 * +

S+$cióomo el polinomio es de rado / alo m<s debemos encontrar #% ceros!os divisores del primer coeiciente "del t;rmino independiente son: (*) = */ + 1*- 2G* -*2

*+

± (1, 2, , ) ± (1, 2, ,

)

∴

los divisores a evaluar son:

± (1, 2, , ,!

1,3

1,

1,!

3,3

!)

Evaluando:1) (01) = (01)/ + 1(01)- 2G (01)

- (01)2 (01) + (01) = . → 9n actor es: (* + 1)

2) (!

1− ) = (!

1− )/ + 1 (!

1− )- 2G

(!

1− ) - (!

1− )2 (!

1− ) +

( !1− ) = . → otro actor es: )

21 (* +

) (3

1) = (

3

1)/ + 1 (

3

1)- 2G (

3

1

)

0 - (3

1)2 0 (

3

1) +

(3

1) = . → otro actor es (* 0

3

1)

Aplicando 8uini, se tendría:

+ 1 0 2G 0 - 0 1 +

* = 01 0 0 D + + D 0

D 0 0 D + .

* =!

1− 0 0 2 + 1G 0

+ - 0 F + 12 .

+ + 2 + 2 0 12

+ 0 .

∴ (*) = (* + 1) (* +!

1) (* 0

3

1)

(*2 + * )

7impliicando " actori3ando elt;rmino cuadr<tico, se obtiene: (*) = (* + 1) (2* + 1) (* 1)

(* + ) (* 2)

-%c2+0i%0,.1!

H (*) = * *2 + 11 *

.2!R (*) = *- 1.* + /*2 /. * + 2-

.!H (*)=D2 *- G. * / *2 +-. * 12

.-!R (*)=*/ *-1 * +1*2 +*

./!H (*)= */ + D*- 1/ * /*2

+ G * 2

3

1x =

!

1x −=

LGEBRA

as e*presiones recíprocas secaracteri3an por &ue los t;rminos delos t;rminos e&uidistantes de lose*tremos son iuales! ebemostener en cuenta lo siuiente:

1!7i la e*presión es recíproca derado impar, uno de sus actores es(* + 1) " este actor estar<multiplicado por una e*presiónrecíproca de rado par!2! 7i la e*presión es recíproca derado par los coeicientese&uidistantes de los e*tremos soniuales " el último t;rmino espositivo!Ejm: I(*)= a*- ± b* ± c*2 ± b* + a

1! 7e actori3a la variable &ue seencuentra elevado a un e*ponenteiual a la mitad del rado de lae*presión dada!2! 7e arupan los t;rminose&uidistantes de los e*tremos&uedando en cada rupo un t;rminoen #*% " su recíproco!! 7e reempla3a el rupo demenor potencia por una letradierente de #*% " las otras potenciasse encuentran en unción de estaletra!

E"*$+, =%c2+0i%0H (*) = *- + / * + 2 *2 + / *

+

S+$cióado &ue el rado de H(*) es -,actori3amos: %*2%' obteniendo:

H (*) = *2 *2+/ * + 2 +*

/+

!x

@

Arupando los t;rminose&uidistantes de los e*tremos:

H(*)= *2 (*2 +!x

1) + / (* +

x

1) +

2 @

Qaciendo : * +x

1 = a ⇒ *2 +

!x

1 = a2 2

on lo cual:H (*) = *2 (a2 2) + / (a) +

2 @H (*) = *2 a2 + / a + /. @Ior aspa:

a 1. → 2. a

2a / → 1/ a / a

H (*) = *2 a + 1. @ 2 a + / @

omo: * +x

1 = a' se tendría:

H(*) = *2 (* +x

1) + 1.@ 2 (*+

x

1) +

/ @H (*) = (*2 + 1. * + ) (2 *2 + / * + 2)

Luevamente por aspa simple:H (*) = (* + 1) (* + ) (2* + 1) ( * + 2)

Hactori3ar:1! H (*) = -*- 12 * + 1D *2 12 * +-

2! R(*) =* */ + *- D* + *2 *+ 1

! H(*) = F* */ + DF *- GG *

+ DF *2 * + F

-! R (*) = *- + /* + F *2 + / * +

/! H(*) = 2D * /- */ + 11D *- 0 11 * + 11D*2 /- * + 2D

-ACTORI3ACIÓN DE

LGEBRA

! R (*) = *- + / * -*2 /* +

D! H(*) = 12*/ F *- -/ * + -/ *2 + F * 12

MCD.! El m<*imo común divisor dedos o m<s e*presiones alebraicases otra e*presión alebraica enterade ma"or coeiciente num;rico "ma"or rado &ue dividee*actamente a cada una de ellas!

E"*$+, Qallar el de " 2-

S+$cióDii1+0"1 d" 6J Dii1+0"1 d" '

1 2 - 12 1F 1 2 - F 12 2-

MCD 4 &'

∴ MCD (6J5 ') 4 &'

MCM.! e dos o m<s e*presionesAlebraicas es otra e*presiónalebraica entera de menorcoeiciente num;rico " de menorrado &ue es divisible e*actamenteentre cada una de las e*presionesdada!

E"*$+últiplos de /:/ 1. 1/ 2. 2/ . . 12.últiplos de : 12 1F 2- . . 12.

∴

(/, ) = .

1! 7i dos o m<s e*presiones sonprimos entre sí, es es launidad " su el producto deellas!

2! ada dos e*presiones alebraicasA " B, su !!! por su !!! esiual al producto de A por B!

! !!! (A, B) * !!! (A, B) = A * B

Iara determinar el !!! ó !!!de dos o m<s e*presionesalebraicas se aplican lassiuientes relas:

1! 7e descomponen en susactores primos cada una de lase*presiones dadas!

2! El !! est< determinado porel producto de los actorescomunes con sus menorese*ponentes!

! El !!! est< determinadopor el producto de los actorescomunes " no comunes con susma"ores e*ponentes!

Ejemplo: Qallar el !!! " !!!para las siuientes e*presionesalebraicas:A = (*2 "2)2 ' B = *- "-' = (*2 +"2)2

S+$cióHactori3ando cada una de las

e*presiones alebraicasA = (* + ")2 (* ")2

B = (*2 + "2) (* + ") (* ") = (*2 + "2)2

!!!= 1

!! = (*2 + "2)2 (* + ")2 (* ")2

1! Qallar el !!! de lospolinomiosA = *- * 1. *2 + D * 1B = *- F* + 1D *2 F* + 1 = * *2 + * 1

R*2%! !!! = *2 /> + 1

2! Qallar el !!! de:

MÁXIMO COMÚN DIVISOR (MCD)

M.C.D. ; M.C.M. POR

∴

LGEBRA

A = * + /*2 + F * + -B = * + *2 - = * + *2 + 12 * + F

R*2%! !!! = (* + 2)

(* + 1) (* 1)

as racciones alebraicas, son todasa&uellas donde por lo menos 4a"una letra en el denominador!

Ejemplo: a)x

1 b)

yx

1

+ c) !! yx

yx

+

+

Si#+1 d" % =0%cció.! son tres,el sino del numerador, el sino deldenominador, el sino de la racciónpropiamente dic4a! Así tenemos:

i)b

a

b

a

b

a

−+

−=+−

−=−−

+=++

+=b

a

b

a

ii)b+

−+=−++=

−−−=− a

b

a

b

a

b

a

A . -0%cci+"1 *0+*i%1.! 7e llamaasí cuando el rado del numeradores menor &ue el rado deldenominador (LU < U)! Ejemplos:

a)1xx

!x

3 +−

+b)

3xx

!xx

!

++

+−

B. -0%cci+"1 i*0+*i%1.! Eneste caso el rado del numerador esma"or &ue el rado del denominador(LU > U)! Ejemplos:

a)1**2**

/

++−− b)

0*

2*0*2 +

C. -0%cci+"1 ++#"%1.!7on a&uellas racciones &ue tieneniuales denominadores!

Ejemplos:

a)1x

!

! + '

1x

x

! +

− '

1x

3x!

! +

−

1! uando se trata de una solaracción, se actori3an los miembrosde la racción " se cancelan losactores comunes!

E, Si*$i=ic%0H =

ba

ba !!

+− → H =

)ba(

)ba)(ba(

+−+

∴

- 4 %! ?2!

uando es una suma o resta deracciones' primero se simpliican lasracciones " lueo 4allamos el!!! 7e eectúan las operacionesindicadas " se simpliica la racción

obtenida!En multiplicación de racciones seactori3an los miembros de lasracciones " lueo se multiplicanentre sí!Iara el caso de división deracciones, se invierte la racción &ueactúa como divisor " se procedecomo en el caso de la multiplicación!

E"*$+ &,7impliicar la racción:

!!x

+−+ 2*

!!x

−−+ 2*

S+$ció,5bservamos &ue el !!! es (* 2) con lo cual la e*presión &uedaríade la siuiente orma:

E = 4x!!x

4x!!x

+−+−++

7impliicando:

SIMPLI-ICACIÓN DE

E



LGEBRA

E =x

!x3

+−−

R*2%.

&. Si ,c

b

y

a

x== @ c%$c$%0

E =cbyax

yx

cba

!!!

!!! ++++

−++

++ c3b"*a

R*2%. E 4 7

'. Si*$i=ic%0,

48)x)(1x)(!x(

!)5x)(.x)(1x(%

!

!

+−−+

+−−+=

R*2%. E 4!0x!xx!x

!

!

−−−−

6. Si*$i=ic%0,

E = !!!3

!!!3

abx)ab!b(x)b!a(x

bax)ab!a(x)ba!(x

+++++

+++++

R*2%. E 4 bxax

++

. Si,a + b + c = .' calcular:

cbaG

cba0cba E

GGG ++=

R*2%. (?' > ?c > c')6

. Si "$ "0%d+0 ; "$

d"+i%d+0 d" $% =0%cció0"dc2i?$",

b1)*(a/**

2)*(a2**2

2

+−−−

−+−−

Admite un divisor común de la orma:(*2 + m* )! Kndicar su e&uivalenteirreductible!

R*2%.!x31x3

−+

LGEBRA

as cantidades imainarias se oriinan ale*traer raíces indicadas de índice par anúmeros neativos!

Ejm: 1:− ' 4 !5− ' 2n −

7on cantidades imainarias!Uid%d I%#i%0i%.! Est<representada por la letra i, el cualmatem<ticamente nos representa a

1− ' es decir:

i = 1− ' tal &ue i2 = 01

Lota!0 7i &ueremos eectuar:

E = 3− • 1!− , debemos 4acerlocon bastante cuidado! Es decir::E = • 1− • 12 1−

E = i 1! i

E = 3 i2

omo: 3 = ∧ i2 = 01, se tendría

∴ E = 0 8pta!

ado &ue: i = 10

i2 = 01i = i2 ! i = 0 ii- = i2 ! i2 = 1i/ = ii = 0 1iD = 0 i

iF = 1

Semos &ue las potencies de la unidadimainaria, se repiten en período de - en- " cu"os valores son {i ' 01' 0 i' 1 }

7iendo' -P: múltiplo de cuatro vemos &ue:a) i-O = 1

b) i-O + 1 = i-O • i = i

c) i-O + 2 = i-O • i2 = 01

d) i-O + = i-O • i = 0 i

R"#$%.! a unidad imainaria elevado aun e*ponente múltiplo de cuatro' suresultado es iual a la unidad!

7iendo' -O: múltiplo de cuatro se observa&ue:

a) i -O = 1

b) i 0 (- O 1) = i - O • i = i

c) i 0 (- O 2) = i - O • i2 = 01

d) i 0 (- O ) = i - O • i = 0 i

R"#$%.! uando #i% est< elevada a unapotencia neativa, si el e*ponente es múltiplode cuatro, el resultado es iual a la unidad!Es importante recordar lo siuiente:

esde &ue: -O = múltiplo de -

1! (-O) n

= -O2! (-O + 1)n = -O + 1 ' (n = par oimpar)

CANTIDADES IMAGINARIAS

POTENCIAS DE LA UNIDAD

POTENCIAS POSITIVAS DE

POTENCIAS NEGATIVAS DE

7.3

7.1

7.2

7.4

CANTIDADES IMAGINARIASNUMEROS COMPLEJOS

LGEBRA

! (-O + 2)n = -O ' (para n ≥ 2)-! (-O + )n = -O + 1 ' (para n ≥ 2)

&. %$$%0, i 'J

S+$ció,8ecordemos &ue un número es múltiplode cuatro, cuando sus dos últimasciras son ceros o orman un múltiplode cuatro, es decir:

e donde:i'J 4 i'>' 4 i' 4 !& (R*2%.)

'. D"2"0i%0 , i'J'6

S+$ció,C+1id"0%d+ $%1 d+1 /$2i%1 ci=0%5

"+1 <",i2-2G = i G = i + = i = 0 i

6. C%$c$%0, E 4 i 6

S+$ció,O?1"0%d+ 1+$+ $%1 d+1 /$2i%1ci=0%1,i0DG = i0G = i0G + = i = 0 i

. %$$%0 , E 4 i!'6''J

S+$ció,onsiderando solo las dos últimas cirasE = i0-G =i0/2 + = i = 0 i

. Si*$i=ic%0

G0D20

-GD/G

i i

i i ii 8

+

+++=

S+$ció,Eectuando las potencies indicadas

i

iiii E

+

+++=1

e donde:

0=+

=i!&

i i!i! i E

J. %$$%0 "$ %$+0 1i*$i=ic%d+ d",!.!5!321iE =

S+$ció,E "12" 2i*+ d" *0+?$"%1 1"20%?%% c+ $%1 d+1 *0i"0%1*+2"ci%1.

!321iE = ' donde:KmparJ2

O- 21

=+= 1

on lo cual:E = 1O-Kmpar1)O(- i i ++ =

∴ E 4 i R*2%.

. C%$c$%0 , S 414538GFi

S+$ció6rabajando con los dos primerose*ponentes:

38GFiE = ' donde: parJF

O-GF

=+= !

e donde:

7 = O-Iar2)O(- i i =+

∴ S 4 & R*2%.

. D"2"0i%0 "$ %$+0 d" $%1%2+0i%

7 = i2 + 2i- + i + -iF + ZZZZ!! + + (2 n 1) i -n 2 + 2 n i -n S+$ció,S" +?1"0% <" %; 'H 20i+15$% c%$ "12Q 1"Z%$%d% *+0 $+1c+"=ici"2"1. D"2"0i%d+ $%1*+2"ci%1 d" iH,

7= (01)+ 2(1)+ (01) + -(1) + !!!!! + + (2 n 1)(01) + (2n) (1)

Arupando de #2% en #2%, donde cadarupo vale 1' se tiene:

00 04 0 1" 16 "0 "4 "

2" 26 40 44 4 5" 56 6064 6 7" 76 0 4 !"!6.

7.5

LGEBRA

7 = 1 + 1 + 1 !!!!!!!!!!!!!!!!!!! + 1

n veces

S 4 R*2%.

&. C%$c$%0 "$ %$+0 d",!1.

, 2 i

E

=

••••

R*2%. &

'. %$$%0 "$ %$+0 d",

---///:::

DDDFFFGGG

ii i

i ii 7

++

++= R*2%. i

6. E$ %$+0 d", i2 + i- + /i + DiF +Z! + (2 n 1) i 2n

"1 , R*2%.

. E$ %$+0 d",E = i 0-G + i 02D1/ i01G

es : R*2%. i

. C%$c$%0 "$ %$+0 d",

G02:10/220

0G:-021D0G2

i0 i0 i0

i0 i0i 8 =

es : R*2%. 75

J. C%$c$%0 "$ %$+0 d",5,0

2D2

,2

222

i!!!!!!!!!!!!iii8

++++=

es : R*2%.

. %$$%0 "$ %$+0 d",34!312:0 iE =

es : R*2%. &

os números complejos son e*presionesmatem<ticas ormadas por una parte real" una parte imainaria! El complejo serepresenta por:

M = a + b ionde i' es la unidad de los númerosimainarios " se tiene &ue:

Iarte real : 8e { M } = a

Iarte imainaria : Km { M } = b

Esto nos indica &ue el complejo M est<ormado por #a% unidades reales " #b% unidades imainarias!on respecto al número complejo!

M = a + b i

a) 7i' a = . → M = bi (J imainario puro)

b) 7i' b = . → M = a (J real )c) 7i' a = . ∧ b = . → M = . (omplejo nulo)

A. C+*$"+1 c+#%d+1.! osnúmeros complejos son conjuadoscuando tienen iual parte real " en laparte imainaria solo se dierencian enel sino!

Así tenemos' El complejo de:a) M1 = D 2 i es: M2 = D + 2 ib) M1 = 0 / i es: M2 = 0/ + ic) M1 = F i es: M2 = F + 6 i

En eneral, el complejo de:

M1 = a + b i es : M2 = a b i

%. C+*$"+ I#%$"1!0 os númeroscomplejos son iuales, si tienen iual

NÚMEROS COMPLEOS

CLASES DE COMPLEOS

7.6

7.8

7.7

LGEBRA

parte real e iual parte imainaria! Esdecir,

M1 = a + b i es iual a M2 = c + d i ⇔ a = c ∧ b = d

B.C+*$"+1 N$+1.! 7on a&uellosnúmeros complejos &ue tienen partereal nula " parte imainaria nula, esdecir,

M = a + bi = . ⇔ a = . ∧ b = .

C. C+*$"+1 +*"12+1.! 7on

a&uellos números complejos &ue sedierencian solo en los sinos, tantopara la parte real, como para la parteimainaria, es decir:

M1 = a + b i es opuesto a M2 = c + d i ⇔ a = 0 c ∧ b = 0 d

&. Si $+1 c+*$"+1,3& 4 % > 'i ; 3' 4 ('% &) > (6 ? > ') i

7on conjuados! Qallar el valor de(a2 + b2)

S+$cióado &ue son complejos conjuados' suspartes reales son iuales, es decir:a = 2 a 1 → a = 1

e otro lado, sus partes imainarias, solose dierencian en el sino:

2 = 0 ( b + 2) → - = 0 b

∴ b =3

4−

reempla3ando en :

E = a2 + b2 → E = (1)2 + (3

4− )2

∴ E 4 .

!5

R*2%. D

'. CQ$ "1 "$ %$+0 d" , ? c > c ! ? 1i$+1 c+*$"+1,M1 = ( b ) (c + 2) i

"M2 = ( b 1) i7on opuestos

Soluc!"#oo los neros cople8os son opestosestos se i9erencian en el signo tanto para la

parte real coo para la parte iaginaria esecir:

a) ' ; 2 - 6 → ' -2b) (c + 2) = b 1 → 0 c 2 = 0 1

c = 2

∴ bc + c b = (0)2 + (2) = 1D

bc + c b = 1D 8pta!

6. C%$c$%0 (% > ?)5 1i% ?i 4 (' 6 i)'

Soluc!"esarrollando el seundo miembro de la

iualdad por productos notables!a b i = - 12 i + G i2

dado &ue: i2 = 01 ' entonces:

a bi = 0/ 0 12 i ⇒ 12 b

/0a

=

=

∴ (% > ?) 4 ! > &' 4 R*2%.

Jora <eo$trica o 6artesiana- Todonúmero complejo de la forma :

Z = a + b !e p"ede repre!en#an en el planocar#e!ano. $ebe #ener!e en c"en#a %"e:

Z a + 'i ⇒ b(3)Km

a(3)8e

==

REPRESENTACIÓN GRÁ-ICA

7.9

7.10

LGEBRA

Esto &uiere decir &ue en el eje de lasabscisas, tenemos: #a% unidades reales "en el eje de las ordenadas, tenemos #b%

unidades imainarias!En eecto' la r<ica de:

M = a + bi ' es:

6oana

A=i+ d" c+*$"+.! Es un punto delplano complejo, el cual est< determinadopor un par ordenado (a, b)a = 8e (3) : nos representa la parte real

b = Km (3) : nos representa la parteimainariaE"*$+1,

J omplejo Aijo del J complejoM1 = + / i (' /)M2 = 02 2 i (02' 02)M = 0 + F i (0' F)M- = D 0 ! i (D' 0 ! )

-+0% P+$%0.! Este sistema determina elaijo de un número complejo mediante dos

coordenadas polares, una de lascoordenadas es el radio vector #r% &ue es ladistancia del aijo (r, θ) al polo " la otra

coordenada es el arumento #θ%, llamado

tambi;n <nulo polar, &ue est< determinadopor el eje polar " el radio vector, comomuestra la r<ica adjunta!

Qaciendo coincidir el polo del eje polar con elorien de coordenadas, obtenemos la r<icadel complejo!M = a + bi (En la orma cartesiana)M = r (En la orma polar)

Iara 4acer las transormaciones entrecoordenadas, consideramos:I.! 6ransormación de la orma cartesiana a la

orma polar!ato : M = a + b iKnco: M = r θ = r (cos θ + i sen θ)

En el plano Raussiano por Iit<oras:T en el ∆8 5AB, observamos &ue:

r2 = a2 + b2 → r = 22 ba +

r = 3 es el módulo del J complejo asimismo:

6 θ =a

b → θ = arc t

a

b' 01F.U≤ θ ≤ 1F.U

θ : es el arumento del J complejo!

II. 6ransormación de la orma polar a laorma cartesiana

ato : M = r θ = r cos θ + i sen θ

Knco: M = a + b i

Raio vector

(r θ) a9i8o polo r

E8e polar

RELACIÓN ENTRE LASCOORDENADAS CARTESIANAS

Y LAS COORDENADAS POLARES

θ* (8e)

1 a 0

'

i

a (a ') a9i8o elcople8o

" (Km)

COORDENADAS CARTESIANAS

o θ

COORDENADAS PO$ARES

B

Y (Im)

br

θ

b

0 a A X (Re)

P$ANO GAUSSIANO

7.11

LGEBRA

on reerencia al plano Raussiano

#a% es la pro"ección de #r% sobre el eje de lasabscisas:

a = r cos θ #b% es la pro"ección de #r% sobre el eje de lasordenadas

b = r sen θE%&'(lo ) 1# R&(*&+&",-* &l co'(l&%o

M = 01 + i en la orma polar

Eol"ci*n'

8epresentando 3 = 01 + i en el planocomplejo:

Semos &ue:r = 2 (1)(01) 22 =+

θ = 1F.U 0 α ' donde t α =1

1 = 1

α = -/Uθ = 1F.U 0 -/U = 1/Uon lo cual :

3 =0 1 + i = ! 1/U 8pta!

E%&'(lo. '. 8epresente el númerocomplejo

M =2

1 i0

!

3− en la orma polar!

Eol"ci*n'

Rraicando M =2

1 i0

!

3− en el plano

complejo, con la inalidad de ubicar laposición del arumento!

Semos &ue:

r = 12

10

2

0

2

=

+

!

Asimismo:

θ = 2D.U 0 α ' donde α = arct!/1

!/3

α = .U

θ = 2D.U 0 .U = 21.U

∴ 3 = & '

& i! =

!

3 21.U

8pta!

E%&'(lo 6. E*prese en la orma cartesianael número complejoM = 2 12.U

S+$ció,6eniendo en cuenta &ue:M = r θ = r cos θ + i r sen θ

7e tendría:

M = 2 cos 12.U + i 2 sen 12.U8educiendo al primer cuadranteM = 0 2 cos .U + i 2 sen .U

M = 02

!

1 + i 2

!

3

M = 01 + i 3

∴ 4 ' &'7F 4 ! & > i 3 R*2%.

A) 8epresentar en la orma polar lossiuientes números complejos:

a) 3 =!

1 0 i

!

3 8pta: 3 = 1 ..U

b) 3 = 1 i 8pta: 3 = ! 0 -/U

c) 3 = 01 + i 3 8pta: 3 = 2 12.U

d) 3 = 0/ 3 0 i / 8pta: 3 = 1. 21.U

e) 3 = ! 0 i ! 8pta: 3 = 1/U

3 (I)

α θ

1

< (Re)-1

(-11)

3 (I)

(Re)

!1−

3−o

θ

α

7.12



LGEBRA

B) 8epresentar en la orma cartesianalos siuientes números complejos:

a) 3 = 1. .U 8pta! 3 = / i / 3

b) 3 = 01/U 8pta! 3 = 0 ! 0 i !

c) 3 = 2 12.U 8pta! 3 = 01 + i 3

d) 3= /. 1/U 8pta! 3 = 02/ ! 0i 2/ !

e) 3 =12 012.U 8pta! 3 = 0 i 3

El número complejo 3 = a + bi se puederepresentar en las siuientes ormas:1! Horma artesiana

M = a + b i2! Horma trionom;trica

M = r cos θ + i r sen θ

! Horma polarM = r θ = r (cos θ + i sen θ)

-! Horma e*ponencialM = r e i θ = r (cos θ + i sen θ )

/! Horma sint;ticaM = r is (θ) = r (cos θ + i sen θ )

onsiderar &ue para todas las ormas:

r= M ba 22 =+ :módulo del complejo

θ = arc ta

b: Arumento del complejo!

01F.U ≤ θ ≤ 1F.U

&. SUMA ALGEBRAICA.! Iara sumar orestar complejos, se suman o restan laspartes reales " las partes imainariasentre sí! En eecto:7i' M1 = a + b i " M2 = c + d iEntonces:a) M1 + M2 = a + bi + c + d i

M1 + M2 = (a + c) + (b + d) i

b) M1 0 M2 = a + b i ( c + d i )M1 0 M2 = (a c) + ( b d ) i

'. MULTIPLICACIÓN DE COMPLEOS. %) En la orma cartesiana se procede

como si uera el producto de dos

binomios' es decir:7i' M1 = a + bi " M2 = c + d i

⇒ M1 M2 = (a + b i ) (c + d i )

M1 M2 = ( ac bd ) + ( ad + bc) i

?) En la orma polar' primero se 4ace

la transormación de la orma cartesiana

a polar' es decir, dados:

i) M1 = a + b i = r1 θ1 , donde

r1 = ba 22 + ∧ θ1 = arc ta

b

ii) M2 = c + d i = r2 θ2 , donde

r2 = c 22 d+ ∧ θ2 = arc tc

d

vemos &ue :

M1 M2 = (r1 θ1 ) (r2 θ2 ) = r1 r2 θ1+ θ2

O?1"0%ci+"1,

1. El módulo del producto es igual al

producto de los módulos de los

factores:

2. El argumento del producto es igual a

la suma de los argumentos de los

factores.

6. DIVISIÓN DE COMPLEOS.!

a) En la orma cartesiana' para dividir

dos complejos, se multiplica "

divide por la conjuada del divisor!

Es decir:

ados' M1 = a + bi " M2 = c + d i

7e tiene:

OTRAS -ORMAS DEREPRESENTACIÓN DE UN NÚMERO

OPERACIONES CON NÚMEROS7.14

7.13



LGEBRA

!! dc +

++=

++

= 0(bcbd)(ac

di0c

id0c

idc

iba

M

M

2

1

En una división de complejos, se debe teneren cuenta lo siuiente:

i) M =idciba

++

= es n nero real si:d

b

c

a=

ii) M =idciba

++

= es iaginario pro si:c

b

d

a−=

b) En la orma polar!0 Irimero se 4ace

la transormación de cartesiano apolar' es decir:

M1 = a + b i = r1 θ1

M2 = c + d i = r2 θ2

Entonces:

21

2

1

22

11

2

1 0

r

r

r

r

3

3 θ θ

θ

θ

==

OBSERVACIONES

1. El modulo del cociente, es igual al

cociente de los módulos del dividendo y

divisor.

2. El argumento del cociente, es igual a

la diferencia del argumento del

dividendo y divisor.

. POTENCIACIÓN DE UN COMPLEO.!

Iara el caso de la potencia de uncomplejo se puede utili3ar el binomiode Le\ton o la órmula de E 5KS8E,la cual veremos a continuación:

ado' 3 = a + b i ' al transormar apolar se obtiene:

3 = r θ

onde r = 3 = 22 ba + #ódulo%

θ = arc t a

b

' 01F.U ≤ θ ≤ 1F.U (ar!)

> n ( r θ ) n = r n n θ

> n r n ? cos n θ + i sen n θ @

OBSERVACIONES

1. El módulo de la potencia es igual al

módulo de la base a la potencia deseada.

2. El argumento de la potencia es igual al

argumento de la base por el exponente

de la potencia.

. RADICACIÓN DE UN COMPLEO.!

Iara e*traer la raí3 de un complejo se

utili3a la órmula de E 5KS8E!

ado : M = a + bi = r θ, se tiene parala raí3 n0;sima

n r r3 θ θ

nnn ==

cu"a e*presión en;rica es:

3n rn

+

+

+

O:.U

7en iO:.U

=osnn

θ θ

donde: O = ., 1, 2, !!!!!!!!!!, ( n 1)

6ener en cuenta:

& 4 C+1 7F > i 1" 7

i 4 C+1 7F > i 1" 7F

!& 4 C+1 &7F > i 1" &7F

! i 4 C+1 '7F > i 1" '7F

-1 1

0 260*10*

i

- i"70*

!0*



LGEBRA

R"1+$"0, 96 , &

S+$cióomo' 1 = os .U + i 7en θ, entonces

> = 13 = ( os .U + i 7en .U ) 1

Ior e oivre' se tiene:

> = 1

3

=

osO:.U.U

seniO:.U.U

++

+

33

onde : O = ., 1, 2

Iara O = .

>1 = os .U + i sen .U → *1 = 1

Iara O = 1→

*2 = cos 12.U + i sen 12.U

>2 = 0 cos .U + i sen .U

>2 =2

i+−

!

1

Iara O = 2 → *= cos 2-.U + i sen 2-.U

>= 0 cos .U + i sen .U

> = 2 i 0

!1−

1! 9na de las raíces complejas de la raí3

cúbica de la unidad es el cuadrado de la

otra!

2! a suma de las tres raíces cúbicas de la

unidad es iual a cero

! El producto de las raíces compleja de la

raí3 cúbica de la unidad es iual a 1

E c+c$1ió,

[

[

&

&

'

=3

PROPIEDADES DE LA RACES

P*o(. %) & > [ > [' 4 7?) [ . [' 4 [6 4 &c) [ 6 4 &

7.15

LGEBRA

I#%$d%d.! Es la relación &ue nos indica&ue dos e*presiones tienen el mismovalor en un cierto orden de ideas!Ejm!: 7i A " B tienen el mismo valor,entonces decimos &ue:

A: Irimer miembro

A = B donde: de la iualdad B: 7eundo iembrode la iualdad

CLASES DE IGUALDADESA.! I#%$d%d A?1+$2%,Hormalmente son identidades &ue severiican para cual&uier valor num;ricode sus letras, en la cual est<n deinidos!Ejemplo:a) (* + 2) = * + *2 + 12 * + Fb) (* + a) (* a) = *2 a2

c) (* + ")2 + (* ")2 = 2 (*2 + "2)

B.! I#%$d%d 0"$%2i% + "c%ció7e llaman tambi;n iualdadescondicionales " se veriican paraalunos valores de sus variables!

E"*$+1,

a) * 2 = *+2' se veriica para * = 2b) * *2 + 11 * = .' se veriica para:* = 1 ∨ * = 2 ∨ * =

c) *2 1 = .' se veriica para * = 1d) *- 0 1 = .' se veriica para * = 02e) */ + 1 = .' se veriica para * = 01) *D + *2 = .' se veriica para * = 1) 3x!x ++− = /' se veriica para

* = !

E*isten varias ormas de clasiicar a unaecuación:

A) A2"di"d+ %$ #0%d+.! asecuaciones pueden ser, de primerrado, de seundo rado, de tercer

rado, etc! Ejemplos:a) / * + = . !!!!!!!!!!!!!!!!!!! (1U)b) *2 11 *0 / = . !!!!!!!!!!! (2U)c) G* * 2 = . ZZZZZZ! (U)

B) P+0 "$ /"0+ d" icó#i2%15 lasecuaciones pueden ser, de unaincónita, de dos incónitas, de tresincónitas, etc! Ejemplos:a) e una incónita:

/*- *2 + = .b) e dos incónitas

* / " = 0 2 !!!!!!!!!!!!! (1)-* " = D !!!!!!!!!!!!! (2)

C) A2"di"d+ % 11 c+"=ici"2"15las ecuaciones pueden sernum;ricas o literales! Ejemplos:a) Lum;rica: 2*2 * D = .

b) iteral : a*-

b*

+ c = .D) A2"di"d+ % 1 1+$ció5 las

ecuaciones pueden ser compatibleso incompatibles

a) Ec%ci+"1 c+*%2i?$"15 sona&uellas &ue admiten soluciones" a su ve3 pueden ser:

%.&) C+*%2i?$"1 d"2"0i%d%1.!

Estas ecuaciones presentan unnúmero inito de soluciones!

DEINICIONES /SICAS CLASI-ICACIÓN DE LAS8.1

8.2

TEORIA DE ECUACIONES



LGEBRA

%.') C+*%2i?$"1 Id"2"0i%d%1

Estas ecuaciones admiten ininitassoluciones!

?) Ic+*%2i?$"1 + %?10d%1.

lamadas tambi;n incosistentes, secaracteri3an por &ue no tienensolución!

E) Atendiendo a su estructuraalebraica, las ecuaciones puedenser:

%) Ec%ci+"1 *+$i+i%$"12*- * + *2 * = .

?) Ec%ci+"1 =0%cci+%0i%1

.*

/ 0

10*

2*-2

=+

c) Ec%ci+"1 i00%ci+%$"1

. 0*2 10* =−

d) Ec%ci+"1 20%1c"d"2"1 i) 2*0 + 2 * - = 12

ii) o x (* 0 2) / * + = .

ECUACIONES E8UIVALENTES.!7on todas a&uellas ecuaciones &uepresentan las mismas soluciones!

Ejemplo:a ecuación: /* = 2 * + Es e&uivalente a:

a ecuación: * + 2 = /Ta &ue la solución común es:> =

%6KA6IL%E A=6IAM;%%%?KINAM%%E

7on a&uellas ecuaciones &ue por lomenos presentan una solución común!Ejemplo:a ecuación : *2 /* + = .

Es parcialmente e&uivalente con laecuación 0!x =− = 3a @e se veri9ica para " .

K! 7i a los dos miembros de una ecuación,se suma o resta una misma e*presiónentera, o en orma particular un número,la ecuación resultante es e&uivalente a laecuación propuesta! Es decir:

7i: A = B ⇒ A ± m = B ± m

KK! 7i a los dos miembros de una ecuaciónse multiplica o divide por una e*presiónalebraica independiente de cual&uiervariable (dierente de cero "o dierentede ininito) 7e obtiene una nuevaecuación e&uivalente a la ecuaciónpropuesta! Es decir:

7i : A = B ⇒

m

B

m

A

m! B m! A

=

=

m ≠ . ∧ m ≠ ∞

KKK! 7i a los dos miembros de unaecuación se potencian o se e*traenradicales de un mismo rado, la ecuaciónresultante es parcialmente e&uivalente ala ecuación propuesta!

ada la ecuación I(*) = ., la solución dela ecuación es el valor &ue toma laincónita, de orma &ue al rempla3ar estevalor en la ecuación, esta se transormaen una iualdad num;rica verdadera!

Ejemplo: a ecuación:

2*2 /* = D * 1.

PRINCIPIOS -UNDAMENTALESEN TRANS-ORMACIÓN DE

ECUACIONES

8.4

8.5

LGEBRA

es verdadera para * = /, "a &ue:2 (/)2 / (/) = D (/) 1.

∴ * = / es solución de la ecuación!

i +1

El conjunto solución (!7!) de unaecuación es el conjunto &ue est< ormadopor la reunión de todas las soluciones!

E"*$+ &.! as soluciones de laecuación:(* ) (* + -) (* 1) = ., son:

* = ' * = 0 - ' * = 1Ior consiuiente el conjunto solución es!7! = { 0 -, 1, }

E"*$+ '.! El conjunto solución de laecuación : (* 2) (* + 1)2 = .es: !7! = { 2, 01,}, el cual se obtienecuando cada actor se iuala a cero! Loolvidar &ue la ecuación propuesta tienepor raíces: 2, 2, 2, 01, 01!

O?1"0%ció , A. B 4 7 ⇔ A 4 7 ∨ B 4 7

Es a&uella ecuación cu"a orma canónicao eneral adopta la orma:I(*) = a. *n + a1 *n 0 1+ a2 * n02 !!!!

Z + a n01 * + a n = .

Esta ecuación es de rado #n% si " solosi: ao ≠ . de otro lado ao, a1, a2 !!!!!, an

son coeicientes de la ecuación de rado #n%!

R%K d" P+$i+i+ P(9).! Es elvalor &ue al ser reempla3ado en I(*),este toma el valor cero!Ejemplo:

ado el polinomio: I(*)= * + 1 una desus raíces es * = 01Ta &ue : I (01) = (01) +1 = .

TEOREMA DEL -ACTOR.! 7i unpolinomio I(*) se anula para * = a,entonces (* a) es un actor de I(*) "por consiuiente #a% es una raí3 de dic4opolinomio!ic4o de otra orma:ado I(*) = ., tal &ue I(a) = . entonces(* a) es un actor de I(*)!7e cumple &ue I (*) ≡ (* a) N (*)

1! u<ntas raíces tienen las siuientesecuaciones:

a) I (*) = */ * + 2 = .R*2%. 0%Kc"1.

b) I(*) = (* + ) (* 2) (* -) + *

R*2%. J 0%Kc"1c)

I(*) = (* -)

(* + )2

(* D)

+ 1 = .R*2%. 0%Kc"1

2! Qallar el conjunto solución en lassiuientes ecuaciones:

a) I(*) = (*0) (* + 2) (* ) (* + 2) = .R*2%. C.S. 4 { !'5 6 }

b) I(*) = (* + 1) (* 2)2 (* + ) = .R*2%. C.S. 4 { !&, '@ !J }

c) I(*) = (* +1) (* + 2) (* + )Z (* + n)R*2%. C.S. 4 { !&@ !'@ !6@ ...... @ ! }

! eterminar las raíces de lassiuientes ecuaciones: I(*) = .

a) I (*) = (* 1) (* + 2) (* ) (* /)R*2%. 9& 4 &@ 9' 4 !'@ 96 4 6@ 9 4

b) I (*) = (* 1) (* + )2 (* )R*2%. 9& 4 &@ 9' 4 &@ 96 4 &@ 9 4!J

9 4 !J@ 9J 4 6c) I (*)= * 1

CONUNTO SOLUCIÓN DE UNA

ECUACIÓN POLINOMIAL

O?1"0%ció, 6oda ecuaciónpolinomial de rado #n% tiene #n% raíces

EERCICIOS PROPUESTOS

8.6

8.7

8.8



LGEBRA

R*2%. 9& 4 &@ 9' 4!!

i31+ 96 4

!

1−−

TEOREMA -UNDAMENTAL DEL ÁLGEBRA.a ecuación polinomial!I(*) = ao *n + a1 * n01 + Z! + an01 *+ an =.on coeiciente ao ≠ ., " rado n ≥ 1 concual&uier tipo de coeicientes num;ricostiene por lo menos una raí3 "a sea real ocompleja!

E"*$+ &.! a ecuación: I(*)= .I(*) = *- 1' tiene una raí3 iual a:

i = 1− , "a &ue:

I(i) = i- 1 = 1 1 = .

E"*$+ '.! a ecuación: I(*)=.I(*) = *2 2' tiene una raí3 iual a : 0' , "a &ue :

I (0 ' ) = (0 ' )2 0 2 = 2 2 = .

ada la ecuación polinomial de rado #n% " coeiciente principal dierente decero (ao ≠ .)

ao*n + a1 *n0 1 + a2 *n 2+ !!! + an = .&ue tambi;n puede ser representadapor:

ao *n+0

1aa *n 1+

0

!aa *n 2+ !!+

0

naa @= .

cu"as raíces son {*1, *2, * ZZZ,*n}

el cual nos representa la ecuaciónao (* *1) (* *2) (* *) !!!! (* *n) = .

cu"o desarrollo en productos notableses:ao *n (*1 + *2 + * + Z! *n) * n 1 + + (*1 *2 + *1 * + ZZ *n 1 *n) * n 2 0 0 (*1 *2 * + *1 *2 *-+ ZZ *n 2 * n 1

*n) * n + !!!!!! + (01)n (*1 *2 * + ZZ *n ) @ = .

Al identiicar los coeicientes, vemos lasrelaciones correspondientes entre

coeicientes " raíces, así tenemos:

A&.! S% d" 0%Kc"1

*1 + *2 + * + Z! + *n = 0oa

a1

A2!0 7uma de los productos de las raícestomadas de dos en dos o suma deproductos binarios!

*1 *2 + *1 * + *1 *- +Z!+*n01 *n = +oa

a2

A!0 7uma de los productos de las raícestomadas de tres en tres o suma deproductos ternarios!

*1 *2 *+ *1 *2 *- +Z!+*n01 *n = 0o

3

a

a

Así sucesivamente:

An!0 Iroducto de todas las raíces!

*1 *2 * Z!!! *n01 *n = (01)n

o

n

a

a

%Fercicio #1- Dada la ec"aci*n

/ *- * + 2 * = .

'allar la !"ma de !"! ra(ce! ) !" prod"c#ocorre!ponden#e.

S+$ció,6eniendo en cuenta &ue la suma delas raíces de una ecuación de rado #n% es iual al coeiciente de *n01 entreel coeiciente de *n, con sinocambiado' se tendría:

oe! de *- = //*- * + 2* = .

oe! de * = 0

suma de raíces:

RELACIONES ENTRE LAS RACES Y

COE-ICIENTES DE UNAECUACIÓN POLINOMIAL

8.9

8.10



LGEBRA

*1 + *2 + * + *- =5

3

5

3 =−

−

e otro lado el producto de todas lasraíces de una ecuación de rado #n% es iual a su t;rmino independientedividido entre el coeiciente de *n "multiplicado por (01)n! Es decirpara:

oe! de *- = //*- * + 2* = .

6erminoKndepediente! = 0

e donde:Iroducto de raíces:

*1 ! *2 ! * ! *- = (01)- (05

3) = 0

5

3

E"0cici+ '.! 8esolver:* *2 * 2 = .

7abiendo &ue dos de sus raícessuman menos uno!

S+$ció,7ean las raíces: {*1, *2, *}Ior condición: *1 + *2 = 01 !!!!! (1)el 6eorema de ardano Sieta

*1 + *2 + * = 01

1−= 1 !!!!!!! (2)

8eempla3ando (1) en (2):

01 + * = 1 → * = 2

7iendo * = 2, una de las raíces dela ecuación, esta contiene al actor(* 2), obteni;ndose el otro actor,por la rela de 8uini:

1 1 1 0 2

2 2 + 2

1 + 1 1 .

e donde, tendríamos:

(* 2) (*2 + * + 1) = .

Kualando cada actor a cero:

a) * 2 = . → * = 2b) *2 + * + 1 = . →

* =)1(!

)1)(1(411 −±−

* =2

i31±−

∴ as raíces de la ecuación dada son:

2* ' 2

i10 * '

2

i010 * 21 =

+==

1) En las siuientes ecuacionesdeterminar la suma de las raíces " elproducto correspondiente!

a) 2*D + */ /*2 D = .

R*2%, S% 4 7 @ P0+dc2+ 4!

b) *G 0 2*F + D* /* = .R*2%, S% 4

3

! @ P0+dc2+ 4 7

c) -*F 0 /* 2* = .R*2%, S% 4 7 @ P0+dc2+ 4 7

d) D* 0 2*/ + /*- * 0 *2 F* + = .

R*2%, S% 4

! @ P0+dc2+ 4

3−

2) 8esolver: 2* 0 *20 D* 0 = . ,

sabiendo &ue dos de sus raíces sumanla unidad!

8pta:!

1311

+= x '

!

131!

−= x '!

13 −= x

) 8esolver: * 12*2 /* + 1 = .,sabiendo &ue una de las raíces esiual a la suma de las otras dos:

R*2%,

11 = x @

!

1! = x @

3

13 = x

-) 8esolver: *- 12* / = ., sabiendo&ue admiten dos raíces &ue suman 2!

* 2 = .

> = 2

8.11

LGEBRA

R*2%, !11 += x ' !1! −= x ' i x !13 +−=

i x !14 −−=

on respecto a las ecuaciones derado superior a 2' se eectúa enorma eneral:(a) Hactori3ando la ecuación

propuesta e iualando a cero cadaactor!

(b) Ior artiicios, damos orma de

ecuaciones conocidas, porejemplo las cuadr<ticas " otras&ue se estudiaran!

ebe tenerse en cuenta los siuientesprincipios: I(*)=.1! 6oda ecuación polinomial de rado

#n%, tiene #n% raíces!2! En toda ecuación con coeicientes

racionales, las raíces complejas sepresentan por pares conjuados!

! En toda ecuación con coeicientesracionales, las raíces irracionales, sepresentan por pares conjuados!

E"*$+ &.! U% 0%K d" $%"c%ció. I(*) = ., donde:I(*) = *- D* + 1-*]02*012

Es : 103

, 4allar las otras raícesS+$ció,ado &ue : *1 = 10 3 , otra de susraíces ser< la conjuada :*2 = 1 + 3 ' del teorema del actor!

I(*) = *0(10 3 )@*0(1+ 3 )@N(*)

I(*) = (*01)]0( 3 )]@ N(*)I(*) = (*]02*02) N(*)

Ior división : N(*) = *] 0/* +

ó : N(*) = (*02) (*0)

on lo cual:I(*) = (*]02*02) (*02)(*0)=.

7e divide las raíces por:

*1 =10 3 ' *2 = 1+ 3 ' *=2'*-=

Ilantean una ecuación es la traducción deun problema del lenuaje materno allenuaje matem<tico!

P0+?$"% &.! WNu; día " 4ora del mesde abril se veriica &ue la raccióntranscurrida del mes es iual a la raccióntranscurrida del aôX (El aô es bisiesto)!

S+$ció,ebe entenderse &ue:

ías 6ranscurridas1! Hracción del es :00000000000000000000000000

e Abril . días

ías transcurridas2! Hracción del aô: 000000000000000000000000000

días

A%$i%d+,i! Iara el mes de Abril

7uponamos &ue 4ace transcurrido #*% días, entonces su racción ser<:

30

x

ii! Iara el aô bisiesto ( días)! 7eobserva &ue 4an transcurrido!

E + H + + > = G1 + *

1 días 2G días 1 días días

on lo cual su racción ser< :3

.1 x +

ado &ue las racciones son iuales,se cumple:

días x x x

8

5

3

.1

30=>−−−

+=

ó: * = F8

1 días

8E759K5L E E9AK5LE7

E R8A5 79IE8K58

PLANTEO DE ECUACIONES

8.12

8.13

LGEBRA

como el día tiene 2- 4oras *= Fdías " 4oras! Qan transcurrido Fdías, m<s 4oras!

P0+?$"% '.! 9n padre tiene 2 aôs "su 4ijo / WAl cabo de cu<ntos aôs, laedad del padre ser< die3 veces ma"or&ue la de su 4ijoX

S+$ció,7ea #*% la cantidad de aôs &ue senecesitan para &ue se cumpla lacondición:ueo el padre tendr< : 2 +*" el 4ijo: / + *∴ 7e cumple :

2 + * = 1. (/+*)8esolviendo :

2 + * = /.+1.*01F = G* * =02

El sino menos indica &ue la condición se

cumplió:Qace dos aôs : 8pta!

P0+?$"% 6.! ispono de F.. soles "

asto los5

3de lo &ue no asto Wu<nto

no astoX!

S+$ció,e acuerdo al enunciado

Lo asto : *Rasto : F.. *e donde la ecuación resultante es:

F.. * =5

3 *

-... /* = * * = /..

∴ Lo asto /.. soles 8pta!

P0+?$"% .! WNu; día del aô marcar<la 4oja de un almana&ue creando el

número de 4oras arrancadas e*cede en F

a los4

4del número de 4ojas &ue

&uedanX

S+$ció,7ea #*% el número de 4ojas arrancadas!Entonces:(/ *) es el número de 4ojas &uealtan por arrancar!ueo la ecuación resultante es:

* 04

4 (/ *) = F

de donde : 9 4 6Jomo enero tiene 1 días, &uiere

decir &ue se 4an arrancado / 4ojasdel mes de ebrero por consiuiente,el día del aô &ue marca elalmana&ue es el de ebrero! 8pta!

1! eterminar #O% en la ecuación deseundo rado:(O 2) *2 2O * + G = .

sabiendo &ue sus raíces son iuales!S+$cióado &ue las raíces son iuales,el discriminante vale cero, esdecir:

∆ = . → b2 - ac = .

R"*$%%d+,(02 O)2 -(O 2) G = .

- O2

- (GO 1F) = .Si*$i=ic%d+,O2 G O + 1F = .

-%c2+0i%d+,O =

(O ) (O ) = . ⇒ óO =

2! a suma de tres números pares

consecutivos es ! Qallar elmenor de los números !

El día pedido ser< el G deAbril a las a!m! 8pta!

8.14

LGEBRA

S+$ció,e acuerdo a los datos:

El J menor : *

El J del medio : * + 2El J ma"or : * + -

P+0 c+1i#i"2" $% "c%ció0"1$2%2" "1,* + * + 2 + * + - =

* = .

9 4 '7 R*2%.

! 9n padre tiene . aôs " su 4ijo

!entro de cuantos aôs la edaddel padre es el cu<druple de lade su 4ijo!

S+$ció,Ac2%$"2" ,Edad del padre : .Edad del 4ijo : D"20+ d" 9H %Z+1Edad del padre : . + *

Edad del 4ijo : + *Ec%ció 0"1$2%2",. + * = - ( + *)R"1+$i"d+,. + * = 12 + - * 1F = *

de donde:* = aôs

∴

entro de aôs la edad del

padre ser< el cu<druple de la de su4ijo! R*2%.

1! 9n individuo va en un tren &ue llevauna velocidad de . Om4r! " vepasar en seundos otro tren &uemarc4a en sentido contrario'

sabiendo &ue el seundo tren tieneuna lonitud de . mts, su velocidades:

a) / Om4r b) F Om4rc) -. Om4r d) -2 Om4r!e) -- Om4r

2! a cantidad &ue debe restarse a los

dos t;rminos de la racciónb

a para

&ue lleue a ser iual a su cuadradoes:

a)ab

ab + b)

ba

ab

+ c)ba

ab

−

d)ab

ba − e)

22

22

ba

ba

+

-! alcular en &ue instante del

viernes, la racción de díatranscurrido es iual a laracción transcurrida de lasemana!a) 2 p!m! b) p!m! c) - p!m!d) F p!m! e) G p!m!

/! Ruillermo tiene 4o" cuatroveces los aôs &ue tenía _altercuando el tenía 1 aôs' _alter

tiene 4o" 22 aôs! Qallar laedad de Ruillermo! a) 2/ b) 2 c) 2D d) 2F e) 2G

! 9n ni o robó lores en un jardín," despu;s de andar F. pasosempe3ó a perseuirle el jardinero! El niô da cuatropasos mientras &ue el jardineroda tres' pero cinco pasos de

;ste e&uivalen a siete de a&uel!El número de pasos &ue dio el jardinero para alcan3ar al niô "el número de estos &ue dio elniô mientras duró lapersecución, ueronrespectivamente:a) .. " F.. pasosb) G.. " 12.. pasosc) 12.. " 1.. pasos

d) 1/.. " 2... pasose) 1F.. " 2-.. pasos

EJERCICIOS8.15



LGEBRA

7on a&uellas ecuaciones &ue al 4acer uncambio de variable en su estructuraciónalebraica se transorma en una ecuación

de la orma:

a*2 + b * + c= . ' a ≠ .

A continuación mostraremos diversos""*$+1 1+?0" 20%1=+0%ciód" "c%ci+"1 % "c%ci+"1c%d0Q2ic%1.E". &, R"1+$"0

-

=−

−

+−

−

!x3

5x!

5x!

!x3

S+$ció,Qaciendo la transormación:

3

1 =

−−→=

−−

!3

5!

5!

!3

x

x z

x

x

donde 3 > .' la ecuación dada setransorma en:

Z + -

=Z → 32

-3 + = .Hactori3ando' (3 ) (3 1) = .

Semos &ue: 3 = ∨ 3 = 1

Iara: 3 = → 5!

!3

−−

X

x =

5!

!3

−−

x

x = G

resolviendo:15

43= x

Iara : 3 = 1 → 5!

!3

−−

x

x = 1

8esolviendo: * = 0

∴el conjunto solución es: !7!

2-=1/

-

E". ', R"1+$"0 $% "c%ció,'9' > 9 10x!x! ++ 4 !

S+$cióE*presando la ecuación en la siuienteorma:2(*2 + 2* + 1. 1.) D 10x!x ! ++ -5

e otro lado' 4aciendo : 10x!x! ++ a

tal &ue (a > .)' se tiene:2 (a2 1.) D a = 0/ 2 a2 Da 0 1/ = .

Hactori3ando por aspa simple:2a a

a 0/ 01. a0 D a

a = / : 7i

(2a + ) (a /) = . → v a = 0

!

3: Lo

volviendo a la variable oriinal:10x!x! ++ = / → *2 + 2* 1/ = .

Hactori3ando:*2 + 2* 1/ = .

* / → / *

* 0 → 0 * 2 *

ECUACIONES REDUCIBLES

SISTEMA DE ECUACIONES DE ORDEN SUPERIORINTERPRETACION GRAFICA

ECUACIONES REDUCIBLES A CUADRATICASECUACION BICUADRADA



LGEBRA

(* +/) (* ) = . → !7! = { 0/, }

E. 6.! R"1+$"0

(9 6) (9 ) (9 ') (9 &) &'7 4 7

S+$ció,ultiplicando los actores #2% a #2% deorma &ue la suma de los t;rminosindependientes sean iuales!

(* ) (* -) (* 2) (* 1) 12. = .

obtenemos:(*2 /*+ ) (*2 / * + -) 12. = .

Qaciendo la transormación' *2 /* = ase tendría, la ecuación:(a + ) (a + -) 12. = . a2 + 1. a G = .

Hactori3ando: a =

(a + 1) (a ) = . → ó a = 01

volviendo a la variable oriinalIara: a = * =

*2 / * = . → (* ) (*+1 ) = . ó * = 01

Iara : a = 01

*2 / * + 1 = . → * =!

4!55 −±

* =2

iG/ ±

∴!7! = {01'' 2iG0/ ' 2

iG/ + }E. , R"1+$"0,

F 0*/ *

2*0* n

2 n

2

!x3x8x5x !! +−

++

−+

+ 4 2

S+$ció,Qaciendo la transormación:

F 0*/ *

: a2*0* n

2 n

2

!x3x8x5x !! +−

+=

−+

+=

a

1

la ecuación dada, se transorma en:

a +a

1 = 2 → a2 2 a + 1 = .

(a 1)2 = .

∴ a = 1

volviendo a la variable oriinal:1

8x5x! =−+

+ n2 2*0*

→ *2 * + 2 = *2 + /* F

0 F * = 01.

∴ * =4

5 8pta!

etermine un valor de #*%, para lasiuientes ecuaciones:

.1)!5x!

x3

−−

+ x35x!

−− = 2

R*2%. 9 4 '

.2)! (* ) (* -) (* /) (* ) 2-= .R*2%. 9 4

.)! 2*2 * 2 x3x! ! +− = 18pta! * =

.-)!:

0*2**

:*0** n

- n

-

+−+

+++

−++

++

xxx3x!xx 3434=2

R*2%, 9 4 6

./)! * (* + 1) (* + 2) ( * + ) 12. = .R*2%. 9 4 '

.)! *2 -* G .x!x3 ! +− = 1DR*2%. 9 4

.D)! -.02-*

=−

+−−

3x!5x3

3x!

R*2%. 9 4 &5

.F) ( * +x

1 0 2) (* +

x

1 + 2) =

.

4

R(,-. 3

PROBLEMAS

LGEBRA

Es la ecuación polinomial de cuartorado &ue contiene solamente

potencias pares de la incónita, suorma canónica o eneral es:

a*- + b*2 + c = . ' ( a ≠ .)

#a% ' #b% " #c% son los coeicientes' #*% es la incónita!

a ecuación bicuadrada:a*- + b*2 + c = . ' a ≠ .presenta cuatro raíces, &ue se obtienen4aciendo el cambio de variable:*2 = " → a "2 + b " + c = . ' (a ≠ .)as raíces correspondientes a esta últimaecuación est<n dadas por:

a2

ca-0b b0 "

2±=

ado &ue:

*2 = " → * = ± y ' con lo cual:

* = ± a2

ca-0bb 2±−

en consecuencia, las raícescorrespondientes de la ecuaciónbicuadrada son:

a2

ca-0bb0 *

2

1+

= = m

a2

ca-0bb0

0*

2

2

+

= = 0 m

a2

ca-0b0b0 *

2

= = n

a2

ca-0b0b0 0 *

2

- = = 0 n

a ecuación bicuadrada:

a*- + b*2 + c = .' se puede resolver poractori3ación (Aspa simple)!

7i: b2 0 - a c' es un cuadrado perecto!

E". &, R"1+$"0G *- 1 *2 + - = .

S+$cióado &ue: a = G ' b = 01 ' c = -b2 0 - a c = (01)2 -(G) (-) = 2/ ' es uncuadrado perecto, la ecuación esactori3able' en eecto los actores de:

G *- 1 *2 + - = .G *2 0 - → 0 - *2

*2 0 1 → 0 G *2

01 *2

7on: (G*

2

-) (*

2

1) = .Asimismo, cada par;ntesis se puedeactori3ar aplicando dierencia decuadrados, es decir:(* + 2) (* 2) (* + 1) (* 1) = .Kualando cada actor a cero las raícescorrespondientes son:

9& 43

!− @ 9' 4

3

! @ 96 4 !& @ 9 4 &

E. ', R"1+$"0,9 ! & 9' &J 4 7

S+$cióomo: b2 -ac = (01/)2 -(1)(01) = 2FGes un cuadrado perecto, los actoresserían:

(*2 1) (*2 + 1) = .iualando cada actor a cero:

*1 = -1U) *2 1 = . → *2 = 1 ó

*2 = 0-

* = i2U) *2 + 1 = . → *2 = 01 ó

*- = 0 iE. 6 , R"1+$"0,

-22-

22-

a a **

a **

++

+ =

G1

G.

ECUACIÓN BICUADRADA

RACES DE LA ECUACIÓN

OBSERVACIÓN,



LGEBRA

S+$ció,e la propiedad de proporciones, seobtiene:G1*- + G1*2 a2 = G.*- + G. *2 a2 + G. a-

*- + a2 *2 G. a- = .

Hactori3ando' se tendría:(*2 + 1. a2) (*2 G a2) = .

Kualando cada actor a cero' las raíces dela ecuación son:

*1 = 10 a ii) *2 = 01. a2 v

*2 = 0 10 a i

* = aii) *2 = G a2 v

*- = 0 a

R"1+$"0,1) *- + / *2 + = .

*1 = ! i' *2 = 0 ! i'

* = 3 i' *- = 0 3 i

2) *- F *2 + 2/ = .*1 = 2' *2 = 02 ' * = F : *- = 0F

) *- /. *2 + -G = .*1 = D' *2 = 0D ' * = 1 ' *- = 01

-) *2 (*2 + 2) = 1--*1 = i' *2 = 0 i ' * = 2 ' *- = 02

/) (1 + *)- + (1 *)- = -*1 = ! ' *2 = 0 ! ' * = 2 ! i*- = 02 ! i!

)!x

1=

-

22

a

a0*12

*1 =3

3a' *2 = 0

3

3a * =

!

a i

*- = 0!

a i

D) - (a2 b2)*2 = (a2 b2 + *2) 2

*1 = 22 b0a ' *2 = 0 22 b0a

* = 22 b0a ' *- = 0 22 b0a

8especto a la ecuación:a*- + b *2 + c = . ' (a ≠ .)

de raíces: *1, *2' *' *-' se cumple:de acuerdo con el 6eorema de ardano Sieta!I. SUMA DE LAS RACES

*1 + *2 + * + *- = .

II. SUMA DEL PRODUCTO DE LASRACES TOMADAS DE DOS EN DOS.

*1 . *2 + * . *- =a

b

III. PRODUCTO DE LAS RACES

*1 . *2 . * . *- =a

c

onociendo las - raíces de la ecuaciónbicuadrada: *1' *2' * " *-! a ecuación aormar adopta la orma:(* *1) (* *2) (* *) ( * *-) = .eectuando las operaciones indicadas,tendríamos:

*-

+ (*1 *2 + * *-) *2

+ *1 *2 * *- = .

1!) 9na de las soluciones de unaecuación bicuadrada es /!8econstruir la ecuación' si:*1 *2 * *- = 22/7olución:

7i una de las raíces es *1 = / ' la otra

raí3 es: *2 = 0/8eempla3ando en el dato:

EERCICIOS PROPUESTOS

PROPIEDADES DE LAS RACES

RECONSTRUCCIÓN DE LA

LGEBRA

(/) (0/) * *- = 22/ → * *- = 0Gcomo * = 0 *- ⇒ (0*-) (*-) = 0 G

*2- = G

on lo cual : *- = " * = 0

8eempla3ando en la órmula:>- +(*1 *2 + * *-) *2 + *1 *2 * *- = .5btenemos:>- + (02/ G) *2 + (/) (0/) (0) () = .

∴ la ecuación ser<:

*- 0 - *2 + 22/ = . 8pta!

'.) C%$c$%0 H *%0% <" $%1 c%20+

0%Kc"1 d" $% "c%ció ?ic%d0%d%,X (6 > &7) 9' > ( > ')' 4 75=+0" % *0+#0"1ió %0i22ic%!

S+$ció,7ean las raíces de la ecuaciónbicuadrada en proresión aritm;tica!

÷ *1 . *2 . * . *-

ó tambi;n:

÷ (a r) ! (a r) ! (a + r) ! (a + r)

de ra3ón # 2 r%

de las propiedades de las raíces se tiene:

1U!0 *1 + *2 + * + *- = .

a r + a r + a + r + a + r = .vemos &ue: a = ., con lo cual *1 = 0 r ' *2 = 0 r ' * = r ' *- = r

2U!0 *1 . *- + *2 . * =a

b

(0 r) ( r) + (0r) ( r )= 01

)10#3( +

1.r2 = m + 1. !!ZZZZ (α)

!U!0 *1 . *2 . * . *- =a

c

(0 r) (0 r) ( r) ( r) =1

)!#( !+

G r- = (m + 2)2 → r2 = m + 2 Z!Z (V)

ividendo (α) ÷ (V), obtenemos:

2

2

r

r1. =

!#

10#3

++

→ 1. m + 2. = G m + .

∴ m = 1. 8pta!

1! alcular #m% para &ue las raíces delas ecuaciones bicuadradas est;n enI!A!

a) *- (- m + 1.) *2 + (m + D)2 = .

R*2%. 4 '7

b) *- (- m + 2) *2 + (2 m 0 /)2 = .

R*2%. 4

c) *- 2 (m + D) *2 + (2m 21)2 = .

R*2%. 4 &

2! Hormar las ecuaciones bicuadradas,conociendo sus raíces:

a) *1 = 0 3 ' * =

R*2%. 9 9' > & 4 7

b) *1 = 2 3 ' * = 0 3

R*2%. 9 > 69' > 6' 4 7! 9na de las raíces de una ecuación

bicuadrada es D! 8econstruir laecuación' si:*1 *2 * *- = 0--1

R*2%. 9 9' & 4 7

Es un conjunto de ecuaciones &ue severiican para los mismos valores de susincónitas! 7e presentan diversos casos:

EERCICIOS

SISTEMA DE ECUACIONES

LGEBRA

7&.! C%$c$%0 9H " "$ 1i12"%,9 > ; 4 ' .................... (α)

9 ; 4 !& ................... (β)

S+$ció,e (α) : " = 2 *8eempla3ando en (β):> (2 0 *) = 0 1 → *2 2* 1 = .8esolviendo la ecuación cuadr<tica

* = 1 + ! ó * = 1 0 !

7'.! .! R"1+$"09 > ; 4 & .................... (&)

9' > ;' 4 ' ................. (')

S+$ció,e (1) : " = 1 *' rempla3ando en (2):

*2 + (1 * )2 = 2/*2 + 1 + *2 2* = 2/

7impliicando, obtenemos:*2 * 0 12 = .

Hactori3ando (* -) (* + ) = .

Kualando cada actor a cero:Iara: * = - → " = 0

Iara: * = 0 → " = -

76.! R"1+$"0, 9' ' 9 ; > 6 ;' 4 & ...... (&)

'9' 9; > ;' 4 6 ...... (')S+$ció,Qaciendo la transormación: " = O * en(1) " (2)' se tendría:

*2 2 * . O*+ O2 *2= 1G !!!!!!! (α)

2*2 * . O* + - O2 *2 = F !!!!!!! (β)ividiendo (α) ÷ (β)

38

1.=

+

+

)O-O0(2*

)OO20(1*22

22

Ior proporciones:F D O + 11- O2 = F 1G O + D O2

O = . (Lo)

F O2

/D O = . ó

O =!

3 (7i)

ado &ue : " =!

3 * ' en !!!!!!!!!!!!! (α)

*2

2* ! !

3

* + ! 4

.

*2

= 1G

*2 *2 +4

x! != 1G → *2 = -

* = ± 2e donde:Iara: * = 2 → " =

Iara: * = 02 → " = 0

. R"1+$"0,

20"*

:0"*2

1 =+

++ ............

(α)

10"*

/ 0

:0"*2

D=

++ ............

(\)S+$ció,Aplicando determinantes, tendríamos:

a) yx!

1

−+ =/0

D1

/0

1

2

= !

13

−

−

=

!

1

e donde: 2 * + " = F !!!!!!!!! (1)

b)3yx

1

−+ =

/0

D

1

1

2

D

1

=!

13

−−

=

!

1

e donde: * + " = / !!!!!!!!! (2)

8esolviendo (1) " (2):2 * + " = F !!!!!!!!!!!!!!!!!!! (1)

* + " = / !!!!!!!!!!!!!!!!!! (2)

por determinantes!

LGEBRA

1 0 2

/ 0 F

1

1

1

2

1

1

/

F

* ===

* =

2 1 0 2

F0 1.

1

1

1

2

/

F

1

2

" ===

" = 2

. R"1+$"0 "$ 1i12"%,(9' ;') ( 9 ;) 4 ........ (&)

(9' > ;') (9 > ;) 4 J ..... (')

S+$cióQaciendo ' * = m" ' se obtiene:

(m2 1) "2 (m 1) " = / !!!!(α)

(m2 + 1) "2 (m + 1) " = / !!!!(β)

ividiendo (β) ÷ (α):

1

1

/

:/

1)(m 1)m( 1)(m

1)m( 1)(m2

==−−+

++

Ior proporciones:m2 + 1 = 1 m2 2 m + 1

simpliicando: m2 1 m + = .

Hactori3ando:2 m 0 → 0 G m

m 0 2 → 0 - m01 m

m =!

3

(2 m ) ( m 2) = . ó

m =3

!

Iara : m =!

3

En !!! (α) :

− 10

2 1

4. " = /

/ (1) " = / (F)

" = 2

omo * = m" → * =!

3 (2)

> =

Iara :

2 m = → * = 2 → " =

L% R"c2%.! 7u r<ica est< dada por launción lineal cu"a rela decorrespondencia es:

: " = m * + b ' m , b, * ∈ 8

* . 0bm " b .

Al coeiciente #m% se le llama pendientede la recta " es tal &ue: m = t θL% P%0Q?+$%.! 7u r<ica est< dadapor la unción cuadr<tica cu"a rela decorrespondencia es:

" = a *2 + b * + c ' a, b, c, * ∈ 8' a ≠

.

con relación al discriminante

∆ = b2 - ac, tendríamos los siuientesr<icos de la par<bola!(:) 7i, a > . la par<bola es cóncavo4acia arriba " dependiendo deldiscriminante, tendríamos:

a) ∆ > .

$ : 3 + '

3

-#

b 0

θ

'

3

<0

Ac

"

1

B (A= C)

LGEBRA

donde:

S (4, O) = S

∆−

a4a!

b

0 '

b) ∆ = .

c) ∆ < .

KK) 7i, a < ., la par<bola es cóncavo4acia abajo " dependiendo deldiscriminante tendríamos:

a) ∆ > .

∆

−a4a!

b

0 '

b) ∆ = .

c) ∆ < .

L% ci0c="0"ci%.! 7u ecuacióneneral es:(* 4)2 + (" O)2 = r2

entro ' (4 ' O)8adio : r

Asimismo tenemos:

L% E$i*1".! a ecuación eneral es:

1b

)Iy(a

)Ox(!!

!

=−+−

L% i*0?+$%.! 7u ecuación enerales:

1b

)Iy(

a

)Ox(

!

!

!

!

=−

−−

as ecuaciones de rado superior &uese pueden presentar es:

(I) R"c2% ; Ci0c="0"ci%

* + " = 1

*2 + "2 = r2

A los m<s 4a" 2 solucionesreales!

(II) E$i*1" ; i*0?+$"

1

b

)Iy(

a

)Ox(!

!

!

!

=−+−

<

3

c

0 B (A= o)

a > 0

<

3

c

0

a > 0

3

0

3

c

c

1

B (A C)

C

"

A0

3

c

0

1

"

(AC)

r

3

0

B (A C) B

∆

−a4a!

b

0 '

!

LGEBRA

1n

)Iy(

#

)Ox(!

!

!

!=−+−

A lo m<s 4a" - soluciones reales!Entre otras combinaciones!

LGEBRA

7on relaciones de comparación entre dos om<s cantidades reales de dierente valor!Ejemplo' si:a edad de ùan es: 2. aôsa edad de Iedro es :. aôs

a edad de uis es: /. aôs7e tendr< las siuientes relaciones1U!0 a edad de uan es menor &ue la

edad de Iedro!2U!0 a edad de uis, es ma"or &ue la

edad de Iedro!U!0 a edad de ùan es menor &ue la

edad de uis!Kntuitivamente estamos comparandomanitudes reales de una misma especie!

as desiualdades solo se veriican en elcampo de los números reales &ue asociadoa la recta real podemos observar:

Nue para cada número real le correspondeun único punto de la recta real "recíprocamente para cada punto de larecta real, le corresponde un úniconúmero real!a correspondencia bionívoca entrenúmeros reales " puntos de una recta realnos a"uda a dar una interpretacióneom;trica de la relación de orden entrelos números reales! Iara la r<icaadjunta!

a relación a < b (se lee: a menor &ue b)siniica &ue al punto A le corresponde elnúmero real #a% " se encuentra a lai3&uierda del punto B al cual le

corresponde el número real #b%!

.1: 5rden de 6ricotomia!0 ∀ a, b ∈8 se cumple una " solo una delas siuientes posibilidades!

% ?∨

% 4 ?∨

? %Ejm:

ado los números reales: 0' ' 0 "-' se cumple &ue:a) < 0 b) < - c) < -d) < -

7' , O0d" T0%1i2i+.! ∀ a, b, c ∈ 8

Si , % ?∧

? c⇒

% c

%F' %n la recta real'

-1! < - ! ∧ - ! < 8 ⇒ -1! < 8

76 , O0d" d" $% M++2+K%.!

∀ a, b, c ∈ 8

i) e" aditiva7i : a < b ⇒ a + c < b + c

AXIOMAS DE RELACIÓN

=%6A K;P=I6A =%AM

-1 -3 -1 0 1 ! 3-∞ + ∞

π!-- π

origen "nidad

Ds (-) : R - Ds (-) : R +

-∞ +∞a b

A Bo

-∞ +∞-1! -! 0 8

DESIGUALDADESINECUACIONES DE 1° y 2° GRADO

INECUACIONES DE GRADO SUPERIOR

LGEBRA

ii) e" ultiplicativa

7i : c ∈ 8+ ∧ a b)

a > b ⇔ a b > .

!0 #a% es ma"or o iual &ue #b% (a ≥

b)

a ≥ b ⇔ a > b ∨ a = b

-!0 #a% es menor o iual &ue #b% (a ≤

b) a ≤ b ⇔ a < b ∨ a = b

D" %c"0d+ % 1 "120c20%ció%2"Q2ic%5 "12%1 *"d" 1"0,

A.! DESIGUALDADES ABSOLUTAS.!

7on a&uellas &ue se veriican en elcampo de los números reales " a su ve3pueden ser num;ricas o literales!Ejemplos:i) Lum;ricas ii) iteralesa) D > . a) *2 > 02

b) G > 2 b) / < (* 2)-

c) 03

! ≤ . c) * + " ≥ .

B.! DESIGUALDADES RELATIVAS.!Estas desiualdades se conocen tambi;ncon el nombre de inecuaciones " se

caracteri3an por &ue se veriican para unconjunto de valores denominadosconjunto solución " su representación sevisuali3a en la recta real!

Ejemplos:a) a inecuación: - * > /

7e veriica para todo valor de *ma"or &ue dos (* > 2)

7u representación r<ica en la rectareal sería de la siuiente orma:

b) a inecuación: *2 2/ ≤ . se veriicapara todo *, tal &ue:

> ≥ 0/ ∧ * ≤ /

7u representación r<ica en la rectareal, seria de la siuiente orma:

<s adelante anali3aremos la solucióne*plícita de los dierentes tipos de

inecuaciones &ue se presentan!El conjunto solución de una inecuaciónse e*presa mediante intervalos!

INTERVALO.! Es el conjunto de valores* pertenecientes a la recta real, limitadoen sus e*tremos por los elementos a "b, tal &ue a < b' a " b pueden o no

pertenecer al conjunto de valores *!

I2"0%$+ %?i"02+,

i! < a ' b > = { *a < * 

I2"0%$+ c"00%d+,

RELACIONES MATEMÁTICAS 8UEEXPRESAN DESIGUALDADES

CLASES DE INTERVALO

-∞ +∞0 "

-5 5 +∞0-∞

+∞0a '

-∞

a < x < b

x ≥ -5 ∧ x ≤ 5

LGEBRA

a , b @ = { * a ≤ * ≤ b ' a = { * a ≤ * 

c) <0 ∞ ' a @ = { * 0∞ < * ≤ a ' 0∞ < a}

e donde : * ∈ < 0 ∞ ' a @

d) a ' ∞ > = { * a ≤ * < ∞ ' a < ∞)

e donde: * ∈ a ' ∞ >

1! 7i a los dos miembros de unadesiualdad, se suma o restauna misma cantidad, el sino dela desiualdad no se altera!

7i : a > b ⇒ a ± c > b ± c

2! 7i a los dos miembros de unadesiualdad se multiplica odivide por una cantidad positivael sino de la desiualdad no sealtera

7i:

i) a c > b c a > b ∧ c > . ⇒ ∧

ii)c

a >

c

b

! 7i a los dos miembros de unadesiualdad se multiplica o

divide por una cantidadneativa, el sino de ladesiualdad se invierte!

7i:i) a c b ∧ c < . ⇒ ∧

ii)c

a <

c

b

-! os desiualdades de sinocontrario se pueden restarmiembro a miembro " el sinode la desiualdad resultante esel mismo &ue 4ace las veces deminuendo, es decir:

ado el sistema:a > b !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! ( α )

c < d !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! ( β )

7e cumple &ue:

a c > b d ∨ c a < d b

/! os o m<s desiualdades delmismo sentido se puedenmultiplicar o dividir miembro amiembro " el sentido de ladesiualdad no se altera,siempre " cuando los miembrosde las desiualdades 1"%cantidades positivas!∀ a, b, c, d, ∈ 8+

a > b !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! (1)7i : ∧

c > d !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! (2)

7e cumple:

PROPIEDADES GENERALES DE

+∞0a '-∞

+∞0a '

+∞0a '

+∞0 a

+∞a 0

-∞

a ≤ x ≤ b

a < x ≤ b

a ≤ x < b

0 ∞ < * ≤ a

a ≤ * < ∞

LGEBRA

a c > bd ∨ c

a

c

b

! os desiualdades de sino

contrario " miembros positivosse pueden dividir miembro amiembro' el sino de ladesiualdad resultante es elmismo &ue el sino de ladesiualdad &ue 4ace las vecesde dividendo!Es decir:∀ a, b, c, d, ∈ 8+

a > b !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! (1)7i : ∧

c < d !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! (2)

7e cumple:

c

a >

c

b ∨ a

a

c b 2n+1

a > b ⇒ ∨ii) a1n! + > b1n! +

n∈3+

F! 7i a los dos miembros de unadesiualdad de t;rminosneativos se eleva a une*ponente par, el sino de ladesiualdad se invierte, esdecir:∀ a, b ∈ 80 i) 7i a > b ⇒ a2n b 2n

G! 7i: a ∈ 8, tal &ue: a ≠ . ⇒ a2 > .

1.! a, b ∈ 8 " son del mismo sino,

entonces:

a 

b

1

a > b ⇔ a

1 . !!!!!!!!!!!! (2)

b > . !!!!!!!!!!!! ()

demostrar &ue : a + b > a2 b + a b2

e (1) : a ≠ b → a b ≠ .Entonces : (a b)2 > .

esarrollando, se obtiene:a2 2 a b + b2 > .

ó a2 a b + b2 > ab ZZ!! ( α)e (2) " (): a + b > . !!!!!!!!! (β)ultiplicando los dos miembros de(α) por (a + b), se tendría:

(a2

a b + b2

) (a + b) > ab (a + b)∴ a + b > a2b + ab2 (!&!&!&)

.2) 7i : a " b son dierentes "positivos, demostrar &ue:

2

ba + >

b a

ab2

+

ado &ue : a ≠ b ' se cumple &ue:(a b)2 > .

esarrollando: a2 2 ab + b2 > .

DEMOSTRACIONES SOBRE

DEMOSTRACIÓN

DEMOSTRACIÓN

LGEBRA

7umando' - ab a los dos miembrosde la desiualdad, se tendría:a2 + 2 a b + b2 > - a b

(a + b)2 > - a b

omo' 2 (a + b) > ., entonces se

tendría al dividir:

b)(a2

b)(a 2

++

> b)(a2

b a-

+

2

b a + >

b)(a

ba

+!

(!&!&!&)

.1!0 7i' a, b ∈ 8+ ' a ≠ b' demostrar

&ue:

a

b

b

a

22 + >

b

1

a

1+

.2!0 7i: a, b, c ∈ 8+, demostrar &ue :

(a + b+ c)2 > a2 + b2 + c2

.!0 7i' a, b, c ∈ 8+ ' a ≠ b ≠ c

demostrar &ue:a2 + b2 + c2 > ab + ac + bc

.-!0 7i' a ≠ b ≠ c ∧ ∈ 8+

demostrar &ue:(a + b + c)2 < (a2 + b2 + c2)

./!0 7i' a ≠ b ∧ ∈ 8+, demostrar &ue:

(a + b) (a + b) > (a2 + b2)2

7on todas a&uellas inecuaciones &ue alreducirse adoptan las ormas:

>' es la incónita " a, b ∈ 8 a ≠ .

&. R"1+$"0 , % 9 > ? ≥ 7@ %5 ? ∈ R >

S+$ció8esolver una inecuación deeste tipo es similar a resolveruna ecuación de primer rado,solo 4a" &ue tener en cuentalas propiedades enerales delas desiualdades, en eecto:

6ransponiendo b al seundomiembro:

a * ≥ 0 b

ado &ue a ∈ 8+, es decir: a > .

* ≥ 0a

b

raicando en la recta real:

vemos &ue : * ∈ 0a

b ' ∞ >

'. R"1+$"0,

0*/ 0

2

20*

12

10*

a * + b > . ∨ a * + b < .a * + b ≥ . ∨ a * + b ≤ .

INECUACIONES DE PRIMER GRADO CON UNA INCÓGNITA

EERCICIOS RESUELTOS

-∞ +∞- 0

LGEBRA

Soluc!"#/ieno el .c.. (" 2 1") 1"= n nero

positivo el signo e laesigala no se altera al

e9ectar las operacionesinicaas.6 (2 ; ") ; 4 (5 ; 2) < ; 11 ; 1" ; "0 + 1" < ; 1

- " < - 1- 2 < -1

ltiplicano por (-1) o'teneos :2 > 1

∴ > 3

1 → ∈ <

3

1= ∞ >

6. R"1+$"0,(9>&)' >(9&)'>(9')' ≤ 6(9>&)(9&)

S+$ció,Eectuando las operaciones indicadasobtenemos:*2 + 2* + 1 + *2 2* + 1 + *2 - * +

+ - ≤ *2

7impliicando:*2 -* + ≤ *2

0 - * ≤ 0 G

multiplicando por (01)

- * ≥ G → * ≥ 4

.

Rr<icamente:

∴ * ∈ 4

. ' ∞ > 8pta!

8esolver:a) (2* 1)2 + (* + 2)2 ≥ / (* )

(* + 2) 8pta! ZZZZZ

b) (* + 1)2 + (* + 2)2 + (* + )2 < (* + -)2

8pta! !!!!!!!!!!!

c) (* + 1) (* 1) ≤ (2 * + ) ( * + 2)

8pta!!!!!!!!!!!!!

d)4

3x! − 0

3

!x3 − ≥

5

1x4 −

8pta!0 !!!!!!!!!!!!

e) (2* + 1) (2 * 1) ≥ ≥ (* + 1) ( * 1)

8pta!0 !!!!!!!!!!!!

) (/ * + ) ( * 1) + (* + 2)2 ≥ ≥ (- * )2

8pta!0 !!!!!!!!!!!!!

)2

10*/ 0

/

20* 0

-

0*2 < 1

8pta!0!!!!!!!!!!!!!!

-∞ +∞ 4

.0

LGEBRA

7. R"1+$"0 "$ 1i12"%

2

10* 0

-

0*2 ≥ 1 Z!!!! (α)

-

10*F 0

0/* ≤ 01 Z!!!! (V)

S+$ció,8esolviendo cada inecuación:e (α): m!c!m! (-, 2, 1) = -

2 * 2 ( * 1) ≥ - 2 * * + 2 ≥ -

0 - * ≥ /

∴ * ≤ 04

5

e (V): m!c!m! (, -, 1) = 12

- (/ * ) (F * 1) ≤ 012 2. * 12 2- * + ≤ 012

0 - * ≤ 0 - * ≥

∴ * ≥ 4

3

En la recta real:

omo no 4a" intersección de lassoluciones de (α) " (β) ⇒ * ∈ φ

8esolver los sistemas:

a) (* 1)2 > (2* + )2 + / (*2 01) !!!!!!!!!Z (1)

(2* 1)2

+ (* 0 G) < 1 (*2

+ 2* 0 )!!! (2)8pta!0 !!!!!!!!!!!!!!

b) (*+2) ≥ (*+1) (*+2) (*+) Z!(α)

(*0) ≥ (*0) (*02) (*0-) Z!(β)

8pta!0 !!!!!!!!!!!!!!!

c)

20* 0

-

10* 0

2

0*/ <1 ZZ!! (α)

12

20* 0

-

/0*2 0

0*->1 ZZ!(V)

8pta!0!!!!!!!!!!!!!!!!

En la resolución de inecuacionessimult<neas con dos incónitas podemosaplicar cual&uiera de las siuientesrelas!1U!0 7e toman dos inecuaciones desentido contrario despejando en cadauna de ellas la misma incónita, lueoesta incónita se elimina aplicando elprincipio de transitividad!2U!0 7e puede eliminar una incónita

restando dos inecuaciones de sentidocontrario, 4abiendo 4omoeni3adopreviamente los coeicientes de laincónita &ue se &uiere eliminar!Ejemplo!0 7i #*% e #"% son cantidadesenteras " positivas, calcular: (*2 + "2), alresolver el sistema!

/ * " > 2 !!!!!!!!!!!!!! (1)

2 * + " < 11 !!!!!!!!!!!!!! (2)

" > !!!!!!!!!!!!!! ()

Soluc!"ultiplicando la inecuación (1) por 2 " lainecuación (2) por /, obtenemos:

1. * " > - !!!!!!!!!!!!! (α)

1. * + / " < // !!!!!!!!!!!! (V)

restando miembro a miembro (α) " (β)1. * " 1. * / " > - //

011 " > 0 /1

" < 11

51

ado &ue : < " < 11

51 = -, → " = -

8eempla3ando " = -, en el sistema:/ * " > 2 * > 2, F

∧

2* + " ≤ 11 * < , /

INECUACIONES SIMULTÁNEASDEL PRIMER GRADO

EERCICIOS

+ ∞- 4

5

43 0

LGEBRA

A&uí observamos &ue: * =

∴ *2 + "2 = 2 + -2 = 2/ 8pta!

7on todas a&uellas inecuaciones &ue alreducirse adopta la orma canónica

a *2 + b* + c > . ∨ a*2 + b* + c < .a *2 + b* + c ≥ . ∨ a*2 + b* + c ≤ .

onde *, es la incónita " 'a, b, c ∈ 8 a ≠ .

Soluc!"

;todo del discriminante :∆ = b2 - a c

a > .aso K aso KK

∆ > . > ∈ <*1 ' *2> > ∈< 0∞, *1> ∪< *2 , ∞>∆ = . > ∈ φ > ∈ 8 0 {*1 = *2}∆ < . > ∈ φ > ∈ 8 ∨ > ∈< 0∞, ∞>

>1 =a!

b ∆−− ' >2 =

a!

b ∆+− ( *1 < *2

a > .aso KKK aso KS

∆ > . > ∈ *1 ' *2@ > ∈< 0∞, *1>∪ < *2 , ∞>∆ = . > = *1 = *2 > ∈ 8

∆ < . > ∈ φ > ∈ 8

>1 =a!

b ∆−− ' >2 =

a!

b ∆+− ( *1 < *2

INECUACIONES DE SEGUNDO

a*2 + b* + c < . a*2 + b* + c > .

∆ = b2 - ac

a*2 + b* + c ≤ . a*2 + b* + c ≥ .

∆ = b2 - ac

INECUACIONES DE SEGUNDO

LGEBRA

7&.! R"1+$"0,(* + 1) (* + 2) (* + ) + 12 * >

> (* 1) (* 2) (* )

Soluc!"#enieno en centa la ientia:

(+ a) (+ ') ( + c) 2+ (a + ' + c)" + (a ' + ac + 'c) + a'c

$a inecacin aa se trans9ora en :<2 + 6" + 11 + 6 + 1" > 2 ; 6" +

+ 11 ; 67impliicando' obtenemos: 12 *2 + 12 * + 12 > .ó a = 1 *2 + * + 1 > . b = 1

c = 1

e a&uí vemos &ue:∆ = (1)2 - (1) (1) → ∆ = 0

omo : ∆ < . ⇒ * ∈ 8 (aso KK)

7on a&uellas inecuaciones &ue al serreducidas adoptan cual&uiera de las

siuientes ormas: ao *n + a1 *n 1 + !!!!!!!!!!!!!!+ an > . ao *n + a1 *n 1 + !!!!!!!!!!!!!!+ an ≥ . ao *n + a1 *n 1 + !!!!!!!!!!!!!!+ an < . ao *n + a1 *n 1 + !!!!!!!!!!!!!!+ an ≤ .

onde: *, es la incónita " n ∈ L n ≥ Adem<s: {ao' a1' a2 !!!! ' an }∈ 8 a. ≠ .

Iasos &ue deben eectuarse:1U) Seriicar &ue a. > .!@) odos los t$rinos de la inec"aci*n debenestar en el prier iebro

U) 7e actori3a la e*presión del primermiembro!

-U) ada actor se iuala a cero,obteniendo los puntos de ente, &ueson los valores &ue asume laincónita!

/U) 7e llevan los puntos de corte enorma ordenada a la recta num;ricaU) ada 3ona determinada por dos

puntos de corte consecutivos, sese^alan alternadamente de derec4aa i3&uierda con sinos (+) ∧ (0)! 7einicia siempre con el sino m<s!

DU) 7i la inecuación es de la orma:I(*) > . ∨ I (*) ≥ . , con elcoeiciente principal positivo, el

intervalo solución est< representadopor las 3onas (+)!FU) 7i la inecuación es de la orma:

I(*) < . ∨ I (*) ≤., con elcoeiciente principal positivo, elintervalo solución est< representadopor las 3onas (0)!

N+2%. Este m;todo tambi;n es aplicablepara inecuaciones de seundo rado!EERCICIO

R"1+$"0,* *2 + 11 * ≥ .

Soluc!"Hactori3ando por divisores binomios! 7eobtiene:

* = 1(* 1) (* 2) (* ) ≥ . * = 2

* = llevando los puntos de corte (I!!)a la recta real' tendríamos &ue:el conjunto solución es: ∈ ?1 " ∪ ? 2 ∞ >

EERCICIOS

KLE9AK5LE7 E R8A5

SOLUCIÓN POR EL MÉTODO DE

I!!

ALGEBRA

El valor absoluto de un número real *,es el número no neativo denotado por * " deinido por:

> ' si * > . * = . ' si * = .

0> ' si * < .

Ejemplos:a) / = / d) 02 = 2

b) 0/ = 0(0/) = / e) 0 =

c) . = . ) 3 0 =0

3

e los ejemplos podemos observar &ue:1!0 ∀ * ∈ 8 ' * ≥ .

2!0 * = . ⇔ * = .!0 * = 0 *

∀ *, " ∈ 8 ' se cumple:a) 0 * = * b) * " = * " c) * 2 = *2 ∨ *2 = *2

d) !x = *

e) * + " = * + " ⇔ * " ≥ .) * 0 " = * + " ⇔ * " ≤ .

)

"

*

"

*= ' " ≠ .

4)

* + " ≥ 2 " *

En resolución de ecuaciones con valorabsoluto, debemos tener en cuenta losiuiente:

1!0 7i * ∈ 8, entonces * es el númeroreal no neativo deinido por:

* ' si * ≥ . * =

0* ' si * < .

2!0 * = . ⇔ * = .!0 * = b ⇔ * = b ó * = 0 b-!0 * = b ⇔ b ≥ .

∧ * = b ó * = 0 b @

&. %$$%0 "$ c+2+ 1+$ció "$% i"c%ció,9 > ' (9 &) 4 7

S+$ció,

Hactori3ando, se tendría:* + 2 (*2 + 1) (* + 1) (* 0 1)= .

iualando cada actor a cero!a) * + 2 = . * = 0 2b) *2 + 1 = . * = i ∨ * = 0 ic) * + 1 = . * = 0 1d) * 1 = . * = 1

Lota!0 i = 1− ' tal &ue: i2 = 01

omo * ∈ 8' i ∧ 0i no son parte de lasolución:∴ ! 7! = { 02, 1, 01 }

ECUACIONES CON VALOR

INECUACIONES EXPONENCIALESINECUACIONES IRRACIONALES

ALGEBRA

'. R"1+$"0,9' 9 ! 6 4 9 ! 6

S+$ció,Iara este caso, se cumple la propiedad:

* = b ⇔ * = b ó * = 0 b

Iara nuestro caso:

>2 * = * !!!!!!!!!!!! (α)

>2 * = 0 (* ) !!!!!!!! (V)e !!!!!!!!!!! (α)*2 * = * → *2 2 * = .

* (* 2) = . ∴ * = . ∨ * = 2

e !!!!!!!!!! (V)>2 * = 0 * + → *2 =

∴ * = ∨ * = 0

∴ ! 7! = { ., 2, ' 0 }

6. %$$%0 "$ c+2+ 1+$ció "$% i"c%ció,

' 9 ! & 4 9 > 'S+$ció,esde &ue:

* = b ⇔ b ≥ . ∧ * = b ∨ * = 0 b@7e tendría:1U!0 9niverso de solución* + 2 ≥ . → * ≥ 02

* ∈ 02 ' ∞ >2U!0 on lo cual:2 * 1 = * + 2 ∨ 2 * 1 = 0 * 2

* = ∈ 9 ∨ * = 03

1 ∈ universo

∴ ! 7! = { 031 , }

. R"1+$"0, 9 ! 6 ! ' 4 6

S+$ció,1!0 Qaciendo ' * 0 = a !!!!!!!! (α)donde a > .' se tendría:a 0 2 = → a 2 = ∨ a 2 = 0

a = / ∨ a = 0 1 (Lo)

2!0 En (α), dado &ue: a > .* 0 = / → * = / ∨ * = 0 / * = F ∨ * = 0 2

∴ !7! = { F ' 02 }

. R"1+$"0,!9 ! & > '9 > 6 4

S+$ció,Kualando cada valor absoluto a cerodeterminamos los puntos de corte en larecta real:

8especto a los sinos de los valoresabsolutos en cada intervalo se tendría:

a) < 0 ∞ ' 0 !

3

@ : ( 0 ) ( 0 )

b) < 0!

3 ' 1 @ : ( + ) ( 0 )

c) < 1' ∞ > : ( + ) ( + )

Anali3ando en cada intervalo:

a) * ∈ < 0 ∞ ' 0!

3@ : 0 2* + +*01 = /

02* + *01 = / * = 0G

omo ' 0G ∈ < 0 ∞ ' 0!3 @ ⇒ * = 0 G ' es

7olución!

b) * ∈ < 0!

3 ' 1 @ : 2* + +*01 = /

2* + + *01 = / * =

omo ' 1 ∈ <0!

3 ' 1@ ⇒ * = 1

es solución!c) * ∈ <1 ' ∞ > : 2* +0*01= /

2* +0 *+1 = /omo ' 1 ∉ <1 ' ∞> ⇒ * = 1no es solución, para este intervalo!e (a) " (b) !7! = { 0G ' 1 }

RESOLVER,

.1) / > @ = D 8pta: {2 ' 05

4}

.2) 2*2 * 0 F = D 8pta! { ' 0!

5 }

.) *2 1 = . 8pta! {01 ' 1}

-∞ -" +∞

- ∞ + ∞10-!

3

U

"+2 0 --1 0

ALGEBRA

.-) * 02 = 2*+ 8pta! {/ ' 05

1}

./) *0201= *02 8pta! {!

3'!

5}

.) 2*2

* 0 =.D) * + / = 2* 0

.F)*

20*

+ = *

.G) 10*

20*0*

2

=

1.) * + + *02 = F11) *0 + *01 + * = -12) /* 0 = 02* + -1) * 0 2 = * + 1-) *2 *0 = *2 0

as inecuaciones con valor absoluto seresuelven teniendo en cuenta lassiuientes propiedades:

∀ * ' a ∈ 8' se cumple!K!0 * < a ⇔ ( * + a) (* a) < . * ≤ a ⇔ ( * + a) (* a) ≤ .KK!0 * > a ⇔ ( * + a) (* a) > . * ≥ a ⇔ ( * + a) (* a) ≥ .KKK!0 * < a ⇔ a > . ∧ 0a < * < a @ * ≤ a ⇔ a ≥ . ∧ 0a ≤ * ≤ a @KS!0 * > a ⇔ * < 0 a ∨ * > a * ≥ a ⇔ * ≤ 0 a ∨ * ≥ a

&. R"1+$"0, * 0 2 < 2* 0 1

S+$ció,ado &ue :

a (8pta)

'. R"1+$"0, *2 * > * 1S+$ció,esde &ue :

a > b ⇔ a $ 0b ∨ a > b

a inecuación dada se transorma en:*2 * $ 0 (* 1) ∨ *2 * > * 18esolviendo cada una de lasinecuaciones:1U!0 *2 * < 0* + 1

*2 1 < .* =01

(* + 1) (*01) < . ∨* = 1

en la recta real:

Semos &ue: * ∈ < 01 ' 1 > !!!!! (α)2U!0 *2 0 * > * 1

* = 1 (* 0 1)2 > .

* = 1En la recta real:

Semos &ue * ∈ < 0∞ '1> 9 <1, ∞ >!!! (β)ado &ue la solución es (α) 9 (β):* ∈ <0 ∞ ' 1 > 9 < 1' ∞ > ó * ∈ 8 0 {1}

6. R"1+$"0, *0 2 < /

S+$ció,e acuerdo a las propiedades establecidascomo: / > .' entonces:

INECUACIONES CONVALOR ABSOLUTO

..

..

+∞

-∞ +∞o

5

3 1o o

+ +-

-∞ o 1o ++ +

..

-∞ +∞o-1

+ +-1

ALGEBRA

0 / < * 2 < /sumando #2% a todos los miembros

0/ + 2 < * 2 + 2 < /+ 20 < * < D

dividiendo entre :

01 < * < 3

∴ * ∈ <01 '3

>

. R"1+$"0,' 9 > ≥ 9 ! '

S+$ció,

omo: a ≥ b ⇒ (a + b) (a b) ≥ .

en la inecuación dada se tendría:

(2* + / + /* 2) (2*+ / /* + 2) ≥ .(D * + ) (0 * + D) ≥ .

cambiando el sino de *

* = 0

3

(D* +) (* D) ≤ .

* =3

en la recta

Semos &ue: * ∈ [ ' ]

. R"1+$"0, * 0 2 0 2* 0 1 ≤ 2S+$ció,Kualando cada valor absoluto a ceropara determinar los puntos de corte enla recta real' vemos &ue:

a inecuación a anali3ar es:0 2 * 0 1+ * 0 2 ≤ 2

a) Iara el intervalo: < 0 ∞'!

1@' los

sinos de los valores absolutos son:(0 , 0) de donde:

2* 1 * + 2 ≤ 2 * ≤ 1

* ∈ < 0 ∞ '!

1 @ !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! ( α )

b) Iara el intervalo < !

1

' 2 @ , l ls

sinos de los valores absolutos son(+ , 0 )' de donde:

0 2 * + 1 * + 2 ≤ 2 0 * ≤ 01

* ≥ 3

1

* ∈ < !

1' 2 @ !!!!!!!!!!!!!!!!! ( V )

c) Iara el intervalo : <2' ∞ >: los sinos

de los valores absolutos son (+ , +)de donde:02 * + 1 + * 2 ≤ 2

0 * ≤ * ≥ 0

* ∈ < 2 ' ∞ @ !!!!!!!!!!!!!!!!! ( θ )a solución de la inecuación propuestaestar< dado por (α) 9 (β) 9 (θ)

<0∞ ' 0!

1@ 9 <

!

1, 2 @ 9 <2 ' ∞> = <0∞ ' ∞ >

∴ 9 ∈ R 8pta!

8esolver:a) 2 * 0 D < 2

b) * 1 > /

c) - * 0 < 2 * 0 /

d) D * 0 > /* 0 -

e) * 0 2 < * 2

) * + 2 0 * 0 > 1

) * + 2 0 * 0 < 1

..

-∞ +∞"0

!

1

" -1 -"

-∞ + ∞1 !

1o

-∞ + ∞"o

-∞ + ∞"o -2-∞ +∞

o

-27

+ +

- 72

-27

72

ALGEBRA

4)

1x

x

− > 1

i) *2 0 1 < * + 2

j)

!x3

1x!

−

− <

1x!

!x3

−

−

7on a&uellas inecuaciones cu"aincónita se encuentra en el e*ponente" sus criterios de solución son:K! En toda desiualdad, si las bases

son iuales " ma"or &ue la unidad,al comparar los e*ponentes, elsino de la desiualdad no seinvierte, es decir:

7i la base es ma"or &ue la unidad(a > 1) ' se cumple:

1U aI(*) > a N(*) ⇒ I (*) > N (*)

2U aI(*) ≥ a N(*) ⇒ I (*) ≥ N (*)

U aI(*) < a N(*) ⇒ I (*) < N (*)

-U aI(*) ≤ a N(*) ⇒ I (*) ≤ N (*)

&. R"1+$"0/ 2* 2/ * + 2 ≥ .

S+$ció,E*presando la inecuaciónconvenientemente, se tendría:

/ 2* ≥ 2/ * + 2

/ 2* ≥ 2/ 2* + -

como' la base es ma"or &ue la unidad,se cumple &ue:2 * ≥ 0 2 * + - - * ≥ D

* ≥ 4

∴ * ∈ 4

' ∞ @

'. E <" i2"0%$+ 1" 1%2i1=%c" $%d"1i#%$d%d.1x

!

1 −

> 1

!x

! −

S+$ció,E*presando en base 2

2 ! * 0 1 > !

1

4

x

!−

como la base es ma"or &ue la unidad:

0 * 0 1 > !

1

4

x

−

ó: * 0 1 < 4

x

!

1−

recordando:

a . ∧ 0b < a . → 0

4

x > 0

!

1

* < 22U!0 e otro lado:

0!

1 +

4

x < * 1 <

!

1 0

4

x

0 2 + * < - * - < 2 0 *resolviendo por partes:i) - * - > * 2 ii) - * - < 2 0 *

* > 2 / * <

* > 3

! * <

5

* ∈ <3

! '

5

>

interceptando con el universo:

- ∞ o + ∞

+∞- ∞ o3!

5

"

+∞- ∞ o

3

!

5

ALGEBRA

8pta! !7!' * ∈<3

!'5

>

KK! En toda desiualdad si las bases soniuales " su valor est< comprendido

entre cero " uno (. < base < 1) alcomparar los e*ponentes el sino dela desiualdad se invierte, es decir:

7i la base est< comprendida entrecero " la unidad (. < a < 1)' secumple!

1U aI(*) > a N(*) ⇒ I (*) < N (*)

2U aI(*) ≥ a N(*) ⇒ I (*) ≤ N (*)

UaI(*) < a N(*) ⇒ I (*) > N (*)

-U aI(*) ≤ a N(*) ⇒ I (*) ≥ N (*)

&. R"1+$"03x

!

1 −

<

8

1

1+$ció,

olocando en base

!

1, se tendría:

3x

!

1 −

<

3

!

1

omo la base est< comprendida entrecero " la unidad!

* 0 > recordemos &ue :

a > b ⇔ a < 0 b ∨ a > bcon lo cual:

* < 0 ∨ * > * < . ∨ * >

Rr<icamente:

8pta: * ∈ < 0 ∞ , o > 9 < ' ∞ >

'. R"1+$"0 * 0*0* * (.,/) (.,/) ++ ≤

S+$ció,6ransormando los radicales ae*ponentes raccionarios, se tiene:

x

x

x

x

)5,0()5,0( +−

−+

≤

como la base est< comprendido entrecero " la unidad, al comparar lose*ponentes, el sino de la desiualdadvaría, es decir:

*

0*

+≥

−+

x

x

como el seundo miembro debe sercero:

. *

0* 0 ≥

+−+

x

x

eectuando las operaciones indicadas, seobtiene:

L * = .

. :)0(*:)(*

*≥

+ I!

* = * = 0

Rraicando en la recta real:

8pta! * ∈ < 0 '. ] 9 < ' ∞ >

7on a&uellas inecuaciones cu"asincónitas se encuentran aectadas porradicales o e*ponentes raccionarios!e otro lado como las inecuaciones solose veriican en el campo de los númerosreales, se cumple el siuiente principioundamental!P0ici*i+ =d%"2%$.! En todainecuación irracional de índice par, lascantidades subradicales deben serma"ores o iuales a cero " esto nosdetermina el universo dentro del cual seresuelve la inecuación dada!

Ejemplo!0 ada la inecuación (*) (*) 12nn2 ++ < .

EERCICIOS

+∞- ∞ , 6

-∞ +∞ 6- 6 0

INECUACIONES IRRACIONALES

ALGEBRA

n ∈ 3+

entonces la inecuación se resuelve paravalores &ue est;n comprendidas dentrode las soluciones de : (*) ≥ .

E*isten diversos casos de inecuacionesirracionales presentaremos alunos deellos " su orma de resolverlos!

&. R"1+$"0 *0F 0* + > .

S+$cióEl conjunto solución a esta inecuaciónest< determinado por la intersección delos universos de cada radical, es decir'

91 : > ≥ . → * ≥ 92 : F * ≥ . → * ≤ F

onjunto solución 91 ∩ 92

8pta: * ∈ ' F @

'. R"1+$"0,

/ 20* ≤++ 3x

S+$ció&F.! D"2"0i%ció d"$ i"01+

* + ≥ . ∧ * 2 ≥ . * ≥ 0 ∧ * ≥ 2

9niverso * ∈ 2 , ∞ >2U0 Iasando un radical al seundomiembro!

20* 0 / ≤+ 3x

U!0 Elevando al cuadrado los dosmiembros de la inecuación!

> + ≤ 2/ 1. !x − + * 21. !x − ≤ 2.

!x − ≤ 2-U!0 Elevando al cuadrado

* 2 ≤ -

* ≤ /U!0 Knterceptando con el universo

8pta! * ∈ 2, @

Alunas inecuaciones irracionales deíndice par se transorman en sistemas,como las &ue mostramos a continuación:

a) 7i : (*)n! < (*)n! , entonces:

(*) ≥ . !!!!!!!!!!!!!!!!!!! (α) ∧ (*) < (*) !!!!!!!!!!!!!!! (β)

b) 7i : (*)n! ≤ (*)n! , entonces:

(*) ≥ . !!!!!!!!!!!!!!!!!!! (α) ∧

(*) ≤ (*) !!!!!!!!!!!!!!! (β)

c) 7i : (*)n! > (*)n! , entonces:

(*) ≥ . !!!!!!!!!!!!!!!!!!! (α) ∧ (*) > (*) !!!!!!!!!!!!!!! (β)

d) 7i : (*)n! ≥ (*)n! , entonces:

(*) ≥ . !!!!!!!!!!!!!!!!!!! (α)

∧ (*) ≥ (*) !!!!!!!!!!!!!!! (β)

E"*$+, R"1+$"0,

*01 *

1 01

2 ≥

S+$cióIara este caso, se cumple:

1 * ≥ . !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! (1)

1 0 !x

1 ≥ 1 * !!!!!!!!!!! (2)

EERCICIOS

+∞- ∞ -2 0 "

+∞- ∞

o " 6

5B7E8SAKL

+∞- ∞ 0 2

ALGEBRA

e !!!!!!! (1)1 * ≥ . → * ≤ 1* ∈ < 0 ∞ ' 1 @ !!!!!!!!!!!!!!!!!!!! (α)

e !!!!!!!!! (2)1 0 !x

1 ≥ 1 * →

!

3

x

1x − ≥ .

actori3ando el numerador:

L: * = 1

. 1)*(* 1)0(* 2

≥++!x

: * = .

Rraicando en la recta real:

* ∈ 1 ' ∞ > !!!!!!!!!!! (V)

Knterceptando (α) " (β) obtenemos lasolución inal

8pta! * ∈ ] & @ &J ^

..

-∞ +∞10

+∞-∞ 0 1 16



ALGEBRA

LGEBRA

PAR ORDENADO.! Es un entematem<tico ormado por dos elementos,denotado por (a ' b), donde #a% es la

primera componente " #b% es la seundacomponente! En t;rminos de conjunto deel par ordenado (a ' b) se deine como:

(a' b) = { {a} ' {a ' b} }

I#%$d%d d" *%0"1 +0d"%d+1.! ospares ordenados son iuales si " solo sisus primeras " seundas componentesson iuales respectivamente, es decir:

(a' b) = (c ' d) ⇔ a = c ∧ b = d

Ejemplo!01!0 7i los pares ordenadas (2*+ "' D* 0 2"), (1'F) son iuales,4allar el valor de (*0")S+$ció ,Ta &ue los pares ordenados son iuales,

por deinición se cumple!

2* + " = 1 !!!!!!!!!!!!!!!!!!! (1) D* 2" = F !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! (2)

8esolviendo el sistema pordeterminantes!

!!14

!4!

!

3!

!8

313

> =−−

−−

=

−

−

=

3!14

.11

!

3!

8

13!

Q =−−

−=

−

=

&. C%$c$%0 , (9 > ;) 1i $+1 *%0"1+0d"%d+1.

((% > ?) 9 (%!?) ;@ '%' '?_) ;( %?@ (%!?)9 > (% > ?);) 1+ i#%$"1.

R*2%. '%.

'. Si $+1 *%0"1 +0d"%d+1

FUNCIONES DOMINIOSFUNCIONES ESPECIALES

GRAFICAS DE FUNCIONES

LGEBRA

+−

+−++−

−−+ 3!

1

1

3

3!

5

1

4

y x y x y x y x '

"

−−5

!

5' son iuales, determine el

valor num;rico de : x y y x +

R*2%. &

D%d+ d+1 c+2+1 A ; B +%cK+15 1" d"=i" "$ *0+dc2+c%02"1i%+ A 9 B c++ "$

c+2+ d" *%0"1 +0d"%d+1 (%5?) 2%$ <" % ∈A

∧

? ∈ B@ "1 d"ci0,

A * B = (a'b) a∈

A ∧ b∈

B

En el conjunto de pares ordenados(a,b), las primeras componentes seencuentran en el conjunto A " lasseundas componentes en elconjunto B!

E"*$+ '!0 ado los conjuntos

A = 1, 2 " B = a, betermine a) A * B

b) B * A

ELMK6IR%. M"di%2" "$ Di%#0%% d" Q0?+$H

A B A * Ba (1' a)

1b (1' b)

a (2' a)2

b (2' b)

A * B = (1'a), (1'b), (2'a), (2'b)

?. D" +20+ $%d+B A B * A

1 (a'1)

a2 (a'2)

1 (b'1)b

2 (b'2)

B * A = (a'1), (a'2), (b'1), (b'2)En este ejemplo vemos &ue :

A * B ≠ B * AOBSERVACIÓN.! El producto cartesianose puede e*tender a tres o m<sconjuntos no vacíos, es decir:

A*B*=(a,b,c) a ∈A ∧ b∈B ∧ c ∈

onde (a, b, c) es un terma ordenadadeinida en t;rminos de conjuntos!

(a, b ,c) = a, a, b, a, b, c

1! 7i n(A) es el número deelementos del conjunto A " n(B)es el número de elementos delconjunto B, entonces n (A * B) =n(A)!n(B) es el número deelementos del producto cartesiano

A * B!2! El producto cartesiano en eneralno es conmutativo , es decirA * B ≠ B * A, a menos &ue A = B!

! A * B = Φ' si A es vacío o B esvacío!

-! L (A * B * ) = n(A) ! n(B)! n()

E"*$+ 6!0 ado los conjuntos

A = > ∈ M $ * 2 $ 12

B => ∈ M 0- ≤ * + $ GWu<ntos elementos tiene, A * BX

PROPIEDADES GENERALESDEL PRODUCTO

LGEBRA

S+$ció ,Iara el conjunto A, se cumple:

$ * 2 $ 127umando 2 a todos los miembros de ladesiualdad, se obtiene!

F $ * $ 1-

A = G,1.,11,12,1 n(A) = /

Iara el conjunto B, se cumple:0- ≤ > + $ G

Adicionando a todos los miembros dela desiualdad, se obtiene:

0D ≤ * $

B = 0D'0'0/'0-'0'02'01'.'01'02'0'0-'0/

on lo cual n(B) = 1

∴ n (A * B) = n (A)!n (B)= (/) (1)= /

E"*$+ .! D%d+ $+1 c+2+1

A B

etermine r<icamente :i) A * B ii) B * A

Soluc!"i) Rr<ica de : A * B

ii) Rr<ica de B * A

de i) " ii) vemos &ue : A * B ≠ B * A

&. D%d+ $+1 c+2+1

A = > ∈ L >2 02 $ 2

B = > ∈ M+. >20 $

= > ∈ M $ > ≤ 12

Wu<ntos elementos tiene : A * B * XR*2%. , &7

D"=iició.! adas dos conjuntos A " Bno vacíos, se llama una relación 8 de Aen B a un subconjunto cual&uiera de A *B!

8 es una relación de A en B ⇔ 8 ⊂ A * B

N+2%.! 9na relación de A en B se llamatambi;n relación binaria!

D"=iició.! 9n conjunto 8 es unarelación en A si " solo sí 8 ⊂ A * A

E"*$+ .! ado el conjunto

A 4 `&5 65 a ; % 0"$%ció R "A d"=iid% *+0 ,

(* , ") 8 " = * + 2uantos elementos tiene 8!

S+$ció ,Lotemos &ue el conjunto A * A es :

a

e

1 2

B

a bA

2

1

.

1 2 B

A

b

a

.

LGEBRA

A * A = (1'1), (1'), (1'/)' ('1)('),('/),(/,1)'(/')'(/,/)

ueo una relación 8 en A de elementos(*, ") tal &ue " = * + 2 es:

8 = (1'), ('/)' vemos &ue la relación8 tiene 2 elementos!

E"*$+ J.! 7ea el conjuntoA = 2, - , ,F! onde las relaciones81 " 82 en A est<n dadas por :

81 = (* , " * + " = 1.82= (* , ") " = *Qallar : n (81) " n (82)

S+$ció ,6eniendo en cuenta &ue :81 = (*, " * + " = 1. entonces81 = (2'F), (-'),(F'2),('-)

e otro lado82= (*, ")" =* entonces82= (2'2)' (-'-)'(')'(F'F)∴ n(81) = - " n(82) = -

A! R"$%ci+"1 0"=$"9i%1.! ado unconjunto 8 de pares ordenados 8 es

una relación rele*iva% en A

7i : ∀ a ∈ A ' (a ' a) ∈8

B! R"$%ci+"1 Si20ic%1.! ado unconjunto 8 de pares ordenados 8 esuna #relación sim;trica% en A!

7i : (a'b) ∈ 8 (b' a) ∈ 8

! R"$%ci+"1 20%1i2i%1.! ado unconjunto 8 de pares ordenados la

relación 8 en un conjunto A es una #relación transitiva% en A!

7i : (a'b) ∈8 ∧(b'c) ∈8 ⇒ (a'c) ∈ 8

! R"$%ci+"1 d" "<i%$"ci%.! 9narelación 8 en un conjunto no vacío Aes una #relación de e&uivalencia% enA, si en orma simultanea satisacelas siuientes condiciones:

i! 8 es rele*iva :

∀ a ∈ A ' ( a ' a ) ∈ 8

ii! 8 es sim;trica :(a ' b ) ∈ 8 (b' a) ∈ 8

iii! 8 es transitiva! (a'b) ∈8 ∧(b'c) ∈8@ (a'c) ∈ 8

LGEBRA

8 es una relación de A en B si8 ∈ A * B ' donde :

A * B = (*,") * ∈ A ∧ " ∈ B)

D+ii+ d" $% 0"$%ció R .! Es elconjunto de todas las primerascomponentes de los pares ordenados de8, es decir:

om (8) = {* (*, ") ∈ 8} ! A!

R%#+ d" $% 0"$%ció R.! Es el conjuntode todas las seundas componentes delos pares ordenados de 8, es decir:8an (8) = {" (*,") ∈ 8} ⊂ B

Ejemplo!0 ado los conjuntos

onde 8 es una relación de A deinida

por:8 = {(1,/), (2,F), (,/), (2,D)}etermine : om (8) " 8an (8)

S+$ció,omo el dominio est< determinado porlas primeras componentes!om (8) = {1, 2, }

e otro lado como el rano est<determinado por las seundascomponentes :8an (8) = {/, F, D}

1) ado los conjuntos:A = {1, -, G} ∧ B = {2, F, G}

81 " 82 son relaciones de A en B tal &ue:81 = {(a, b) ∈ A * B a ≥ b }82 = {(a, b) ∈ A * B a + b > }etermine : n (81) + n (82)

8pta! G

2) ado el conjuntoA = {1, 2, , -, , F } " la relación 8 enA : 8 = {(*,") / es divisor de * + "},

4allar la suma de todos los elementos deldominio de 8!

8pta!

) ada la relación 8 deinida en losnúmeros reales:

8 = {(*, ") *0" ≤ }el valor veritativo de :K! 8 es sim;trica

KK! 8 es rele*ivaKKK! 8 es transitivaKS! 8 no es de e&uivalencia

es: 8pta! S S H S

ado dos conjuntos no vacíos #A% " #B% "una relación ⊂ A * B, se deine: # es una unción de A en B si "

solamente si para cada * ∈ A e*iste a lom<s un elemento " ∈ B , tal &ue el parordenado (*, ") ∈ #!

DOMINIO Y RANGO DE

1"

24

56

7

BA

8

BA8

* "

om (8) 8an (8)(*,") ∈ 8

LGEBRA

O?1"0%ció.! os pares ordenadosdistintos no pueden tener la mismaprimera componente' para la unción !

(*' ") ∈ ∧ (*' 3) ∈ ⇔ " = 3

7iendo A = onjunto de partidaT B = onjunto de lleada

i) 7on unciones:

ii) Lo son unciones

ominio de : om ()7e llama tambi;n pre0imaen " es elconjunto de los primeros elementos de la

correspondencia &ue pertenecen alconjunto de partida A! (om () ⊂ A)8ano de = 8an ()

lamado tambi;n imaen, recorrido ocontradominio, es el conjunto de losseundos elementos de lacorrespondencia &ue pertenecen al

conjunto de lleada B (8an! () ⊂ B)E"*$+.! ada la relación representadapor el diarama saital!

Qallar om () ∧ 8an ()

S+$ció,Semos &ue la unción est< dada por: 4 {(a' ) , (b ' e) , (c' ) , (d'4), (i')}lueo por deinición:om () = {a' b' c' d' i }

8an () = { ' e' 4' }

a unción se denomina aplicación de Aen B si " solamente si todo elemento * ∈A sin e*cepción, tiene asinado unelemento " ∈ B " solamente uno, en tal

caso se denota de la siuiente orma: : A B ∨ A B

Iara este caso

om () = A ∧ 8an () ⊂ B

7i los conjuntos A " B, de partida " lleadarespectivamente de una unción son

9

-UNCIÓN REAL DE VARIANTE

ab

j cO d

ii

BA 1

e

l

4 m

i

2

12

DOMINIO Y RANGO DE UNA

1

2

-

/

BA -

2

BA /

F

D

1

2-

BA

/-

/

BA 1

a

b

c

d

e

BA

LGEBRA

conjuntos de números reales, entonces esuna unción real de variable real " por ello tendr< una representación r<ica en el plano82! E*iste una relación unívoca entre lavariable independiente * " su imaen lavariable dependiente "' es decir:

= {(*' ") ∈ 8 * 8 * ∈ om() ∧ " = (*) }

P0+*i"d%d"1 G"+20ic%.! 9na relación ⊂ 8 * 8 es una unción real, si " solo sí,toda recta vertical o paralela al eje #"% cortaa la r<ica a lo m<s en un punto!

R"1*"c2+ % $%1 #0Q=ic%1,

-ció c+12%2".! 7e simboli3a por "su rela de correspondencia est< dadapor (*) = (*) = O

i) on () 8 ii) 8an () = P

-ció Id"2id%d.! 7e simboli3a por K, " su

rela de correspondencia es: K (*) = (*) = *

0

C 9

3

*

"

.

1

.

"

*

2

1 es unción corta en un punto 2 no es unción corta en dos puntos

LGEBRA

-ció V%$+0 A?1+$2+.! 7u rela decorrespondencia est< dada por:

* ' * > ." = (*) = * . ' * = .

0* ' * < .

i) om () = 8 ii) 8an () = .' ∞ >-ció Si#+.! 7e simboli3a por

#sn% su rela de correspondenciaest< dada por:

01 ' * < ." = (*) = sn (*) . ' * = .

1 ' * > .

i) om () = 8 ii) 8an () = {01, ., 1}

-ció 0%K c%d0%d%.! 7e simboli3a por

el sino radical " su rela decorrespondencia es:

" = (*) = x

1

i) om() =.' ∞ > ii) 8an () = .' ∞ >

-ció c/?ic%.! Est< determinada por larela de correspondencia!" = (*) = *

-ció E1c%$ó Ui2%0i+.! Est< denotadopor 9 " su rela de correspondenciaes:

. ' * < ." = (*) = 9 (*) =

1 ' * ≥ 1

i) om () = .' ∞ > ii) 8an () = {1}

-ció C%d0Q2ic%.! a rela decorrespondencia de esta unción est<dada por:" = (*) = a*2 + b* + c ' a ≠ .7e presentan dos casos

3

3

9

0 45*

i) om () = 8ii) 8an () = 8

9()

3

0 1 "

1

9() 2

K) om () = 8KK) 8an () = 8

.

1

*

9(*)

(*)= 9(*)

0

3

*

"

01

.

1

.*

1

H(*)=3

LGEBRA

1! a > .

S(4' O) = S

−

2a

-ac0b0 '

2

a!

b

i) om () = 8 ii) 8an () = 0O' ∞ >

2! a < .

i) om () = 8 ii) 8an () = <0 ∞, O ]

J"nci*n Inverso "ltiplicativoEs a&uella unción cu"a rela decorrespondencia es:

" = (*) =x

1' donde * ≠ .

i) om () = 80 {.} ii) 8an () = 8 0{.}

-ció Q9i+ "2"0+.! Es a&uellaunción deinida por:

(*) = *@ ' 7i n ≤ * < n + 1 ' n ∈ 3

ando valores a n02 ' 7i 2 ≤ * < 0101 ' 7i 1 ≤ * < .

(*) = *@ . ' 7i . ≤ * < 1

1 ' 7i 1 ≤ * < 2 2 ' 7i 2 ≤ * <

i) on () = 8 ii) 8an () = M

1! Qallar el dominio " rano de launción:

(*) =*

* * + ' * ≠ .

S+$ció * ' * ≥ .

ado &ue * =- * ' * < .

$% 0"#$% d" $% c+00"1*+d"ci% d" $%=ció =(9)5 d+d" 9 ≠ 7@ "1 ,

2*

**=

+ @ 9 7

= (9)

.*

*0*

= @ 9 7Rraicando:

i) om () = 80 {.} ii) 8an () =

{., 2}

(*)=a*2+b*+c

*>

2>

1

c

4

S;rtice = v (4,O)O

4

S;rtice = S(4,O)

*2*1

O

c

3

9()

**

"1

2

1

-2 -" -1 1 " 2

01

02

"

9() x

xx +

S(4' O) = S

−

2a

-ac0b0 '

2

a!

b

3

LGEBRA

9na sucesión es un conjunto denúmeros &ue presenta un cierto ordende acuerdo a una le" de ormación!

En t;rminos de conjunto las sucesionesse e*presan como :7 = a1, a2, a, !!!!!, an, !!!!

6oda sucesión debe ser determinado atrav;s de su t;rmino e0n;simo (an), esdecir:

Iara n = 1 a1

Iara n = 2 a2

Iara n = a

! ! !! ! !

! ! !En eneral un t;rmino cual&uiera de lasucesión tal como aO, se obtiene a trav;sde an cuando n = O! 7on ejemplos desucesiones :a! I = ,/,D,G,!!!!!, (2n+1),!!!b! N = 1,-,G,1,!!!!!, n],!!!!!!!!!c! 8 = 1,1,2,,2-,!!!!,(n01),!!!!!

Atendiendo al número de t;rminos lassucesiones pueden ser :a! 7ucesiones initas!0 7on a&uellas &ue

tienen un número limitado det;rminos!

Ejemplo:A = , G, 12, 1/, 1F, 21, 2-, 2D

b! 7ucesiones ininitas!0 Estassucesiones se caracteri3an por&uesus t;rminos son ilimitados!

Ejemplo:I = 01, 2, D, 1-, !!!!!, (n]02),!!!!

SERIES.! 7e llama serie a la sumaindicada de los elementos de unasucesión, es decir dada la sucesión!

7 = a1, a2, a, !!!!!!!!!!, an, !!!!!!!a serie est< representada por

!!!!!!!!!!! +++++=∑∞

=n

n

n aaaaa 3!1

1

ependiendo de &ue la sucesión seainita e ininita, las series ser<n initas eininitas!

Entre los de inter;s tenemos :a! as Iroresiones!- Iroresión aritm;tica!- Iroresión eom;trica!- Iroresión Armónica!b! 7eries de potencia de los números

enteros positivos!c! 7eries num;ricas relacionadas con los

números enteros positivos!

d! 7eries &ue involucran combinatorias!e! 7eries recurrentes!

TIPOS DE SERIESCLASI-ICACION DE LAS

SUCESIONES

SUCESIONESPROGRESIONES ARITMETICAS

PROGRESIONES GEOMETRICAS

LGEBRA

7on 7ucesiones num;ricas cu"a le" deormación se establece a trav;s de una

suma o multiplicación constante!

D"=iició.! as proresionesaritm;ticas o dierenciales sonsucesiones de números donde unt;rmino cual&uiera despu;s delprimero es iual al anterior m<s una

cantidad constante (distinta de cero)llamada ra3ón o dierencia de laproresión!

7ímbolos de una proresión aritm;tica!I!A! : 7iniica proresión aritm;tica!f : Knicio de una I!A!a1 : Irimer t;rmino de la I!A!an : último t;rmino de la I!A!n : número de t;rminos de la I!A!r : 8a3ón o dierencia constante!7n : 7uma de los n primeros t;rminos

de una I!A!m : edios de una I!A!

R"*0"1"2%ció #""0%$ d" % P.A.as sucesiones aritm;ticas initas dera3ón #r% " #n% t;rminos se representanbajo la orma!

E*tremos de la I!A!

f a1! a2 !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! an01' an

m = n 2 (medios)

Aritm;ticosedios : ó

ierenciales

r ≠ .

8a3ón : r = a2 a1 !!!!! = an an01

Ejemplos de I!A!

a)! f !G!12!1/!1F

b)! f G!D!/!!1!01

e los ejemplos vistos las proresiones

aritm;ticas pueden ser :a)! I!A! creciente (ra3ón ? .)b)! I!A! ecreciente (ra3ón $ .)

Iropiedad 1!0 En toda I!A! de #n% t;rminos " ra3ón #r% el último t;rminoes iual al primero m<s (n01) veces lara3ón, es decir :

an = a1 + (n 1) r

DEMOSTRACION7ea la proresión aritm;ticaf a1 ! a2 ! a !!!!!!!!! an02 ! an01 ! an

Ior deinición sabemos &ue :

aO = aO01 + r P = 2, ,-,!!!!nE*pandiendo :

a1 = a1

a2 = a1 +ra = a2 +ra- = a +r! (n01) veces!an02 = an0+ran01 = an02+ran = an01+r

an = a1 + r + r+!!!!!!+r

∴ an = a1 + ( n 1) r

PROGRESIONES

PROGRESION

rier

Grino

Hltio

Grino

a1 : 6

an : 1r : !-62n : 5 : 2

a1 : !an : -1r : 7-!"n : 6 : 6-"4

PROPIEDADES GENERALES DE LAS

(n : 1) veces

LGEBRA

P0+*i"d%d '.! En toda I!A! de ra3ón #r% " #n% t;rminos:

f a1 ! a2!!!!!! ap!!!!!!a&!!!!!an01!an

el t;rmino de luar #&% en unción del

t;rmino de luar #p% est< ormuladapor:

a& = ap + (& p) r

P0+*i"d%d 6.! En toda I!A! de #n% t;rminos " ra3ón #r%, un t;rminocual&uiera &ue ocupe el luar P0;simocontado a partir del e*tremo inal esiual al último t;rmino menos (O01)

veces la ra3ón, es decir:

aO = an (O 1) r

P0+*i"d%d .! En toda I!A! de #n% t;rminos " ra3ón #r%, la suma de lost;rminos e&uidistantes de los e*tremoses una cantidad constante e iual a lasuma de los e*tremos, es decir :

f a1, a2!!!!!! ap!!!!!!!!!!!a&!!!!!an01!an

#p% t;rminos #p% t;rminos

7e cumple &ue

ap + a& = a1 + an

DEMOSTRACIONado &ue #ap% " #a&% e&uidistan de lose*tremos!

ap = a1 + (p01) r !!!!!!!!!!!!!! (α)

a& = an 0 (p01) r !!!!!!!!!!!!!! (V)

7umando miembro a miembro (α) " (V)

obtenemos :

ap + a& = a1 + an l!&!&!d!

Ejemplo : En la I!A!f D! 12 ! 1D ! 22 ! 2D ! 2 ! D ! -2!

7e observa &ue :

f D ! 12 ! 1D! 22! 2D! 2! D! -2

a1 + an = 12+D= 1D+2 = 22+2D=-G

P0+*i"d%d .! En toda I!A! de unnúmero impar de t;rminos, el t;rminocentral #ac% es iual a la semisuma delos t;rminos e&uidistantes de lose*tremos e iual a la semisuma de lose*tremos!

En la I!A! de #n% t;rminos " ra3ón #r%,cu"o es&uema es

f a1 ap a*!ac!a" a& an

ac = t;rmino central7e cumple &ue :

!!

1 pnc

aaaaa

+=

+=

Ejemplo : En la I!A!

f F ! 12 ! 1 ! 2. ! 2- ! 2F ! 2

ac = 2.7e cumple &ue :

!0!

!41

!

!81!

!

3!8=

+=

+=

+=c a

P0+*i"d%d J.! En toda I!A! de trest;rminos, el t;rmino central es la mediaaritm;tica de los e*tremos!En la I!A!

f *! "! 3

7e cumple &ue :!

z x y

+=

P0+*i"d%d .! a suma de los #n%

primeros t;rminos de una I!A! de ra3ón #r%! f a1 ! a2 ZZ!!!!!!!!!!!!Z!!! an01 ! an

SpT t$rinos ST t$rinos ST t$rinos SpT t$rinos

LGEBRA

es iual a la semisuma de los e*tremosmultiplicado por el número de t;rminos,es decir:

naa

! nn

+=

!1

DEMOSTRACIÓNEn la proresión aritm;tica!f a1! a2 ZZZZZZZ!!!!!!!!!!!! an01 ! an

a suma de los #n% primeros t;rminos es:7n = a1+a2 !!!!!!!!!!+ an01+an !!!!!!!!! (α)

ó7n = an+an01 !!!!!!!! +a2 +a1 !!!!!!!!!! (V)7umando miembro a miembro

os#int$r UnU

)aa()aa()aa(E! 1n1n!n1n

++++++= −

omo la suma de los t;rminose&uidistantes es una cantidad constantee iual a la suma de los e*tremos!

osint$r UnU

)aa(3333333)aa()aa(E! n1n1n1n

++++++=

n!

aaE n1n

+= !&!&!d!

e otro lado, como :

an = a1 + (n01)r

nr na

!n

−+=

!

1! 1 )(

P0+*i"d%d .! En toda I!A! de unnúmero impar de t;rminos " t;rminocentral #ac%, la suma de sus #n% t;rminosest< dado por :

7n = ac ! n ' n (Jimpar)

Knterpolar #m% medios dierencialesentre los e*tremos #a1% " #an% de unaproresión aritm;tica, es ormar laproresión! En eecto para la I!A!

f a1 !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! an

#m% medios

os datos conocidos son :

Irimer t;rmino : a1

gltimo t;rmino : an

Lúmero de t;rminos : n = m + 2

El elemento a calcular es la ra3ón : r

e la órmula : an = a1 + (n 1) r

omo : n = m + 2 an = a1 + (m+1)r

5btenemos:11

+−

=m

aar n

onocida la ra3ón "a es posibleinterpolar o ormar la I!A!

En la resolución de problemas sobre I!A!es necesario e*presar los t;rminos de laproresión bajo las siuientes ormas :i! 7i el número de t;rminos es

impar, la ra3ón a considerar es #r%!

Ejm: Iara t;rminos' se tendría :f (a r) ! a! (a + r)

ii! 7i el número de t;rminos es par,la ra3ón a considerar es #2r%!

Ejm: Iara - t;rminos' se tendría: f (a 2r) ! (a 0 r)! (a + r) ! (a + 2r)



LGEBRA

1! En la I!A!f 01 ! 1 ! 01. !!!!!!!!!!!!!!!!

Qallar el t;rmino de luar 1G!

S+$ció ,En toda I!A! un t;rminocual&uiera se determina por laórmula :

% 4 %& > ( &) 0

a1 = 01 donde: n = 1G

r =

8eempla3ando valoresa1G = 0 1+ (1G 0 1) ()

a1G = F 8pta!

'. E $% *0+#0"1ió %0i22ic%.b % ............... J ...............?

#m% medios #m% medios

etermine el valor de m si lasuma de sus t;rminos es DF2!

S+$ció ,En la I!A! se observa &ue elt;rmino central: ac = -Lúmero de t;rminos : n = 2m+7uma de t;rminos : 7n = DF2

ado &ue :7n = ac ! n DF2 = - (2m+)

2m + = 1D

e donde : m = D

! En la proresión aritm;tica!

f -!!!!!!!!!!!!!!!!!1!!!!!!!!!!!!!!-

El número de t;rminoscomprendidos entre 1 " - es el

triple de los comprendidos entre -" 1! Qallar la suma de todos lost;rminos de la I!A!

S+$ció ,e acuerdo con el enunciadotenemos :f - !!!!!!!!!!!!!!!!! 1 !!!!!!!!!!!!! -

#*% term! #*% term!

a1 = -Entre - " 1 an = 1

n = * +2

e la órmula : an = a1 + (n01)r1 = - + (* +1)r

1

1!

+ x = r !!!!!!!!!! (α)

a1 = 1Entre 1 " - an = -

n = *+2

e la órmula : % 4 %& > (!&)0

- = 1 + (*+1)r

13

30

+ x = r !!!!!!!!! (V)

Kualando (α) " (V)

1

1!

+ x =

13

30

+ x * +12 = .*+.

* = 1F * =

8eempla3ando el valor de * = en (α)

r =13

1!

+ r =

ueo en la I!A! f -!!!!!!!!!!!!!!! 1!!!!!!!!!!!!!!!!!!-

LGEBRA

term! G term!

6enemos los datos :

a1 = -

an = - naa

! nn

+=

!1

n = 1/

e donde : 15!

4415

+=!

71/ = D/

-! uantos t;rminos de la I!A!f 2 ! 2 ! 2. !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!7e deben tomar para &ue susuma sea D2! 8pta! G!

/! 7i, 7n = n (2n 1) es la suma delos #n% t;rminos de una I!A!Qallar el t;rmino de luar #p% &ueocupa dic4a proresión aritm;tica!8pta: (- p 0 )

D"=iició.! a proresión eom;trica opor cociente es una sucesión denúmeros, donde cada t;rmino despu;sdel primero es iual al anterior,multiplicado por una cantidad constante(dierente de cero " de la unidad),

llamada ra3ón de la proresióneom;trica!

7ímbolos de una proresión eom;trica!I!R! : Iroresión eom;trica

: Knicio de la I!R!t1 : Irimer t;rminotn : último t;rmino& : ra3ón de la I!R!n : Lúmero de t;rminoss : 7uma de los t;rminos de la I!R!p : Iroducto de los t;rminos de la

I!R!7∞ : 7uma límite de los ininitos

t;rminos de una I!R! decrecienteininita!

6oda proresión eom;trica de #n% t;rminos " ra3ón #&% se representa de lasiuiente orma :

E*tremos

t1 : t2 : !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! : tn01: tn

Reom;tricosY ediosIroporcionales

Y & ≠ . ∧ & ≠ 1 (ra3ón)

Irimer 6ermino último t;rmino

a ra3ón de la I!R! est< determinadapor la división de dos t;rminosconsecutivos de la proresión :

1!

3

1

!

−

====n

n

t

t

t

t

t

t !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!

ebemos tener en cuenta lo siuiente :i! 7i : & ? 1, la I!R! es creciente :

E"*$+,

& = 1!!

4>=

2 : - : F : 1 : 2 a I!R! escreciente

ii! 7i' . $& $1, la I!R! es decreciente!E"*$+,

& =3

1

!

.=

2- : F1: 2D: G . < 3

1 < 1

a I!R! es decreciente

iii! 7i : & $ . la I!R! es oscilante!

E"*$+,

REPRESENTACION GENERAL

LGEBRA

& =!

1

4

3! −=−

-:02:1:0F 0!

1<−

a I!R! es oscilante

P0+*i"d%d &.!En toda I!R! un t;rmino cual&uiera esiual al primer t;rmino multiplicado porla ra3ón, donde la ra3ón se encuentraelevado al número de t;rminos menosuno!

11

−= nn t t

DEMOSTRACION7ea la I!R!

t1: t1 &: t1 &]: !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! : tn

en el cual observamos!t1 = t1 = t1 &101

t2 = t1 &1 = t1 &201

t = t1 &2 = t1 &01

t- = t1 & = t1 &-01

! ! ! ! !! ! ! ! !! ! ! ! !! ! ! ! !tn = t1 &n01

∴ tn = t1 &n01 !&!&!d!

P0+*i"d%d '.! En toda I!R! el productode dos t;rminos e&uidistantes es unacantidad constante e iual al productode los e*tremos, es decir en la I!R!

t1: !!!!!!!!!!!: a:*: !!!!!!!!!!!!:":b:!!!!!!!!!!!!!!:tn

(O+1) t;rminos (O+1) t;rminos!

*" = t1 ! tn

Ejemplo : En la I!R!

2 : : 1F : /- : 12 : -F

Seces &ue : (12) = 1F(/-) = 2(-F) = GD2

P0+*i"d%d 6.! En toda I!R! de un

número impar de t;rminos, el t;rminocentral es iual a la raí3 cuadrada delproducto de los e*tremos!7ea la I!R!

t1: !!!!!!!!!!!!!: a:*:b !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!:tn

(O+1) t;rminos (O+1) t;rminos

7e cumple :

nt t x !1=

E"*$+,En la I!R!

: : 12 : 2- : -F : G : 1G2 6;rmino central

Semos &ue :51.!3!4 == )(

P0+*i"d%d .! En toda I!R! inita elproducto de sus t;rminos es iual a la

raí3 cuadrada del producto de sust;rminos e*tremos, elevado al númerode t;rminos de la proresióneom;trica, es decir:

( ) nnt t " !1=

DEMOSTRACIÓN7ea la proresión eom;trica!

t1 : t2 : !!!!!!!!!!!!!!! tn01 : tn

El producto de sus t;rminos es: I = t1 ! t2 ! !!!!!!!!!!!!!!! tn01 ! tn

ó : I = tn ! tn01 ! !!!!!!!!!!!!!!! t2 ! t1

multiplicando miembro a miembro! #n% par;ntesis

I] = (t1! tn) (t2! tn01) !!!!!!!!!!!!!!!! (tn! t1)

ado &ue el producto de dos t;rminose&uidistantes es iual al producto de lose*tremos!

LGEBRA

I] = (t1 ! tn)

∴ nt t " !1= !&!&!d!

P0+*i"d%d .! a suma de los t;rminosde una I!R! inita es iual al últimot;rmino por la ra3ón menos el primert;rmino' todo esto dividido entre ladierencia de la ra3ón " la unidad!

1q

tqtE 1n

−−

=

ado &ue: tn = t1 & n01

1q

)1q(tE

n1

−

−=

P0+*i"d%d J.! El valor límite de lasuma de los ininitos t;rminos de unaI!R! ininita decreciente es iual alprimer t;rmino dividido entre ladierencia de la unidad " la ra3ón,donde necesariamente el valor absolutode la ra3ón debe ser menor &ue launidad!

q1tE 1

−=∞ ' &< 1

Knterpolar medios eom;tricos entre dosnúmeros dados es ormar unaproresión eom;trica donde lose*tremos son los números dados!7ea la proresión eom;trica:

t1 : t2 : !!!!!!!!!!!!!!! tn01 : tn

#m% medios eom;tricos

la ra3ón &ue determina la interpolaciónest< dada por:

1#

1

n

t

tq +=

E"*$+ &.! alcular el valor limitede la suma:

∞++++= 14

83

4!

!1E

S+$ció,

5bs;rvese &ue:

a)4

1

4

1

4

!+=

b)8

1

8

1

8

1

8

3++=

c)1

1

1

1

1

1

1

1

1

4+++=

on lo cual #7% se puede arupar de lasiuiente orma:

7 =

∞++++

1

1

8

1

4

1

!

1 +

+ 1

1

8

1

1

1

8

1

4

1+

+++

+++

ada par;ntesis representa la suma deininitos t;rminos de una proresión

eom;trica ininita de ra3ón & =!

1, por

consiuiente:

∞+−

+−

+−

=

!

11

8

1

!

11

4

1

!

11

!

1

E

∞+++=

4

1

!

11E

esta última serie, tambi;n es unaproresión eom;trica ininita

decreciente de ra3ón & =!

1' entonces:

!

11

1E

−=

→ 7 = 2 8pta!

LGEBRA

El loaritmo de un número #L% real "positivo (L > .), en una base #b% ma"or&ue cero " dierente de la unidad (b > . ∧

b ≠ 1) es el e*ponente real #a% tal &ueelevado a la base #b% se obtiene unapotencia (ba) iual al número (L)!

En eecto observemos los siuientesejemplos:

/ es el loaritmo1! 2/ = 2 ⇒

de 2 en base 2

02 es el loaritmo

2! 02 =.

1 ⇒

de.

1 en base

es el loaritmo

! ! = F ⇒

de F en base !

en eneral tendríamos &ue:

#a% es el loaritmo

7i : ba = L ⇒

de #L% en base #b%

E*presando matem<ticamente:

Semos &ue: oaritmo " e*ponentesiniica lo mismo siendo la única

dierencia las notaciones matem<ticas enla cual est<n representados, así tenemoslas ormas loarítmicas " e*ponencialrespectivamente, donde una de ellas est<liada a la otra!Es decir:

1!a

b→= aL+o:7ib

= L

2! 7i: Lb

a

= aMog

b

=→

ebemos amiliari3arnos con estasórmulas a trav;s de los siuientesejemplos:

i) P%1+ d" $% =+0% "9*+"ci%$$+#%0K2ic%

1! 7i: 2- = 1 ⇒ o 2 1 = -

2! 7i : /

= 1!5

1

⇒ o / 1!5

1

=0

o L = a b

ba = L

Forma Logarítmica

Forma Exponencial

Número

Logaritmo

Exponente Número

BaseBase

LOGARITMOSECUACIONES LOGARITMICAS

LGEBRA

! 7i: 43 = G ⇒ o 3 G = -

ii) P%1+ d" $% =+0% $+#%0K2ic% %

$% =+0% "9*+"ci%$

1! 7i: o5 2/ = - ⇒ / - = 2/

2! 7i: o 343

1= 0 ⇒ D0 =

343

1

! 7i o 21 = ⇒ = 21

E%&*cco+#a! 6ransorme de la orma e*ponencial

a la orma loarítmica o viceversaseún convena:

1) 2D = 12F 2) o ! F =

) -0- =!5

1-) o 3 3

G =

/) / = 12/ ) o-G = 2

D) / = 2- F) o ! 1 = .

G) 11- = 2 1.) o !! !! = 1

b! Aplicando la deinición de loaritmodetermine #*% en las siuientes

ecuaciones:11! o

81D2G = * 2.! o 3. 33 =*

12! o 1 * = 1 21! o!! * = -

1! ox F =

3 22! o

x = 2

1-! o4

2 = * 2! o ! (*01) =

1/! ox12/ =

!

3 2-! o

!x−/ = 1

1! o 2-.1= * 2/! o 3! 2G = *

1D! o 33 1 = * 2! o3

33 = *

1F! o * = 1 2D!o3!(*02)= .

1G! o . 2D = * 2F!o3!(*02)= 1

Ior deinición sabemos &ue:

b a +o a

b

=↔=

onde:

i) L, es el #número%: L > .

ii) b, es la #base%: b > . ∧ b ≠ 1

iii) a, es el #e*ponente% ó loaritmo:a ∈ 8

N+2%.! Iara 4allar el loaritmo de unnúmero debemos tener en cuenta lasiuiente relación:

Lúmero (Base) aL+o +oaritmo

b

=⇒=

P0+?. &.! alcular el loaritmo de

55 en base /!5

S+$ció,Kualando a #*% el loaritmo pedido, setendría:

///(2/ *+o

/2/

=→=>

)5

El problema a4ora se reduce a resolver laecuación e*ponencial para lo cual see*presa todo en base #/%, es decir:

2

1

12

/!/

=

>

55EXISTENCIA DE LOS

L ∈ < .' ∞ >

+ ∞.

b ∈ < .' 1> u < 1 ' ∞ >+ ∞. 1

0 ∞ + ∞.

a ∈ 8 ó a ∈ < 0∞ ' ∞ >

LGEBRA

como : a a !a nmnm += , entonces6endríamos:

!

11

x

3

1!

55++

=

2

,

,

D*

2

,

///

,

D

=→=

>

5

siendo las bases iuales, iualamos lose*ponentes, es decir:

1-

G *

2

D*=→= 8pta!

Estas identidades nos permite eectuarc<lculos r<pidos en loaritmos, tan es así &ue los problemas anteriores puedeneectuarse por simple inspección!

ID%IDAD JKDA;%AM @ 1

7i el número " la base de un loaritmose pueden e*presar en una base común,el loaritmo est< determinado por elcociente de los e*ponentes de las basescomunes' es decir:

n

#a#

na

=+o : (a > . ∧ a ≠ 1)

emostración:Ior identidad sabemos &ue ## aa =

E*presando convenientemente el seundomiembro tendríamos:

n

mnm a a

=

ueo por deinición de loaritmo comoe*ponente' obtenemos:

n

#a#

na

=+o !&!&!d!

P0+?. '.! alcular el valor de:

3

!5

3

!455Mog!!Mog% −=

S+$ció,E*presando en base #2% " base #/% losloaritmos respectivos, tendríamos:

3

!5

3

!!!

55Mog!!Mog% −=

3

4

!5

3

4

!

5

!

5Mog!Mog% −=

omo :n

#a#

na

=+o

entonces:

2

1/

F 0E −==

1

!3

4

!

53

4

' mcm = 1/

1/

20E

1/

1.0F E =→=

IDENTIDAD UNDAMENTA$ N 27i el loaritmo de un número seencuentra como e*ponente de su propiabase, entonces est< e*presión ese&uivalente al número, es decir:

LL

b+o

=b

emostración:Ior deinición sabemos &ue:

Lb a L+oa

b=↔=

e donde:a

b = L !!!!!!!!!!!!! ()

(2)!!!!!!!+o ab=

8eempla3ando !!!(2) en !!!(1) obtenemos:

L

Lb

+o

=b

!&!&!d!

IDENTIDADES -UNDAMENTALESDE LOS LOGARITMOS

oaritmo

baseLúmero



LGEBRA

I$ENTI$A$ FUN$A*ENTAL N ,

Ei al nVero y a la base de "n logarito sepotencian o se extraenradicales de "n iso 7ndice,el logarito no se altera, esdecir'

n bmb +o+o+o n#

baaa ==

D"+120%ció,7abemos por la identidad LU 2 &ue: a = (1)!!!!!!!!!!!!

ab+ob

Elevando a la potencia #m% los dosmiembros de la iualdad, se obtiene!

a

b+o

mmb a

=

Ior deinición de loaritmo comoe*ponente, tenemos &ue:

#

baa

mb +o+o = !!!!!!!!!! (α)

de otro lado en !!! (1) e*traemos la n a

los dos miembros de la iualdad,obteniendo:

[ ]a

nb

+o

n b a =

Ior deinición de loaritmo comoe*ponente, vemos &ue:

n

b

a+o+on

ba = !!!!!!!!!! (V)

e !!! (α) " !! (β) concluimos &ue:

#

baa

mb +o+o = n

b

a+on

= !&!&!d!

E"*$+.! Iara &ue valor de #*% secumple la iualdad:

G *+o+o

-=+x

3 !

S+$cióEn estos casos las bases de los

loaritmos deben ser iuales " para eso4acemos lo siuiente:

1! En el primer loaritmo el número " labase lo elevamos al e*ponente !

2! En el seundo loaritmo al número "

a la base le e*traemos

O?2"i"d+,

G *+o+o ,

=+

!

3

!x

omo una suma de loaritmos de iualbase es iual al loaritmo de unproducto, entonces:

G,,, 2** G*+o =→=3

!x

.!.

!x =

de donde al simpliicar obtenemos:

!x!

1

= → * = -

IDENTIDAD UNDAMENTA$ N 47i el loaritmo de un número #a% en base #b% se encuentra como e*ponente de unabase c (c > o)' el número #a% " la base

#c% se pueden permutar, es decir:c

b+oa

b+o

a=c

emostración:Ior identidad sabemos &ue:

aMogcMogcMogaMog bbbb ••

=

Ior la órmula:b

cca+oa+o =b

7e tendría:c

bMog

b

ab

Mog

balogclog =

ancelando los loaritmos en base #b% obtenemos:

cb

+oab

+o

a=c !&!&!d

baseLúmero

E*ponente o loaritmo

E*ponente o loaritmo

baseLúmero

LGEBRA

IDENTIDAD UNDAMENTA$ N 57i el producto del número " la base deun loaritmo es iual a la unidad,entonces su loaritmo es iual a 1' es

decir:

7i : L!b = 1 1)Mogb

−=⇒

emostración:

7iendo Lb = 1 → b

1 =

ó ! L = b01

con lo cual : 1bbbMogMog −=

Aplicando la primera identidadobtenemos:

1−=L+ob !&!&!d!

7i' #b% es un número real positivodierente de #1% (b > . ∧ b ≠ 1) entoncesla unción #% se llama e*ponencial debase #b% si " sólo si:

= { (*, ") " = b* ! (b > . ∧ b ≠ 1) }

8epresentación r<ica de: " = b*

i) P0i"0 c%1+.! uando la base est<comprendida entre #.% " #1% (. 0∞ !!!! 02 01 . 1 2 !!! +∞8 T +∞ !!!! G 1 1 1G !!! .

Rr<ica : Iropiedades de:" = b* : . ! " = b* > ∀ * ∈ 8

-! 7i' * = . → " = b* = 1

/! 7i, * < . → " = b* > 1

! 7i, *→ 0 ∞ ⇒ " = b* →∞

D! 7i, * > . ⇒ " = b* < 1

F! 7i, * → ∞ → " = b* → .

ii) S"#d+ c%1+.! uando la base esma"or a la unidad (b > 1)aso particular' " = *

6abulando : obtenemos los valores:

> 0∞ !!! 02 01 . 1 2 !!! +∞8 T +∞ !!! 1G 1 1 G !!! +∞

Rr<ica : Iropiedades de:" = b* : ( b > 1)

1! 1 ∈ <0∞' ∞ >

2! 8 ∈ < .' ∞ >

! " = b* > . ∀ * ∈ 8

-! 7i' * = . → " = b* = 1

/! 7i, * < . → " = b* < 1

! 7i, *→ 0 ∞ ⇒ " = b* → .

D! 7i, * > . ⇒ " = b* > 1

F! 7i, * → ∞ → " = b*

→ ∞

u"c!" $o-*,'c-7i #b% es un número real positivodierente de la unidad entonces unaunción #% ser< loarítmica si " solo si:

= {(*, ") " = xMogb

' (b > . ∧ b ≠ 1) }

al cual llamaremos << unción loaritmode base b% >>

5bservación:-ció E9*+"ci%$ -ció L+#%0K2ic%

" = (*) = b* " = (*) = o *

-UNCIÓN

02 01 . 1 2

" = b*

3

1

" =

02 01 . 1 2

" = b*

"=*G

1

*

1

LGEBRA

b ∈ < 0∞ ' ∞ > 8 ∈ < . ' ∞ >

∈ < . ' ∞ > 8 ∈ < 0 ∞ ' ∞ >

Lótese &ue:∀ b ∈ 8+ 0 {1}

" = b* → xyMogb

=

Hunción irecta

Iermutando #*% por #"%

T = xMogb

Hunción Knversa8epresentación r<ica de:

"= xMogb

i) P0i"0 c%1+, uando la base est<comprendida entre #.% " #1% (. . !!! 1G 1 1 G !!! +∞8 T ∞ !!! 2 1 . 01 02 !!! 0∞

Rr<ica : Iropiedades de:

" = xMogb ' (.< b< 1)

1! ∈ <0.' ∞ >

2! 8 ∈ < 0∞' ∞ >

! 7i, *< .→ xMogb ∃ en 8

-! 1bMogb

=

/! 01Mogb

=

! 7i * > 1 ⇒ xMog b < .

D! 7i: *→ ∞ ⇒ xMogb →0∞

F! 7i: * < 1 → xMogb >

1

G! 7i : * → . xMogb → ∞

ii) S"#d+ c%1+, uando la base esma"or &ue la unidad (b > 1)C%1+ *%02ic$%0,

" = xMog3

6abulando, obtenemos los valores:

> . !!! 1G 1 1 G !!! +∞8 T 0∞ !!! 02 01 . 1 2 !!! +∞

Rr<ica: Iropiedades de:

" = bMog * (b > 1) " = bMog *' ( b > 1)

1! 1 ∈ < . ' ∞ > 2! 8 ∈ < 0∞' ∞ >! 7i, *< .→ xMog

b ∃ en 8

-! 1bMogb

=

/! 01Mogb

=

! 7i * > 1 ⇒ xMogb < .

D! 7i: * → ∞ ⇒ xMogb → ∞

F! 7i: * < 1 ⇒ xMogb < .

G! 7i: * → . ⇒ xMogb → 0∞

6eniendo en cuenta las r<icas de la

unción loaritmo: "= xMogb (b > . ∧ b ≠1)

0

-1-"

-1

1 2 !

*1

+o" =

12

xMogy b=

PROPIEDADES GENERALES

" =

" = . 1

1 G

" = * (b > 1)

.

2

1



LGEBRA

educimos las siuientes propiedades:

K! E*isten ininitos sistemas, donde cadavalor de b (b > . ∧ b ≠1) es un sistemade loaritmos!

KK! Lo e*isten loaritmos de númerosneativos en el campo de los númerosreales, pero si en el campo de losnúmeros complejos!

KKK! El loaritmo de #1% en cual&uier basevale #.% " el loaritmo de la base esiual a #1%, en eecto:

i) 1 b .1 . =→=b

Mog

ii) b b 1b 1 =→=b

Mog

KS! El loaritmo de un producto indicado es

iual a la suma de los loaritmos de losactores!

baab>>>

MogMogMog +=

emostración:

Lb

Lb

+o

=

a =alo

*x !!!!!!!!!!! (1)

a =blo

*x !!!!!!!!!!! (2)

ultiplicando !!! (1) " !!! (2) m!a!m!obtenemos:

*ab

b*

+o ab

+o +

=

Ior deinición de loaritmo comoe*ponente, se obtiene:

baab>>>

MogMogMog += !&!&!d!

S! Elloaritmo de un cociente indicado es

iual al loaritmo del dividendo menos elloaritmo del divisor, es decir:

bab

a

>>>MogMogMog +=

D"+120%ció,6eniendo en cuenta &ue:

a =alo

*x !!!!!!!!!!! (1)

a =blo

*x !!!!!!!!!!! (2)

ividiendo m!a!m! (1)!! (2) obtenemos:

bMogaMogb

a

xx

−=

*

+o !&!&!d!

SK! Elloaritmo de una potencia es iual ale*ponente por el loaritmo de la base,es decir:

b+o+o**

aab= !&!&!d!

D"+120%ció,En la identidad undamental:

*a

a*

+o

= !!!!!!!!!!!!! (1)Elevando al e*ponente #b% m!a!m!obtenemos:

*a

a*

+ob

b=

por deinición de loaritmo como e*ponente,se obtiene:

abab

>>MogMog = !&!&!d!

SKK! Elloaritmo de una raí3 es iual a lainversa del índice del radical por elloaritmo de la cantidad subradical, esdecir:

ab

1 ab

>>MogMog =

D"+120%ció,6eniendo en cuenta la identidad:

a =a

>Mog

x!!!!!!!!!!! (1)

Al elevar a la potenciab1 obtenemos:

⇒ vemos &ue:

LGEBRA

aMogb

1b

1

xa *

=

a

xMog

b

1

b xa =

Ior deinición de loaritmos como e*ponente,se obtiene:

aMogb

1aMog

x

b

x

= !&!&!d

SKKK! El producto de dos loaritmosrecíprocos es iual a la #unidad%, es decir:

1bba =•ax

MogMog !&!&!d

COLOGARITMO.! El coloaritmo de unnúmero en una base #b% es iual alloaritmo de la inversa del número en lamisma base!

olobL = o

b )

1

Ejemplo:

a) colo.2D = 0 o

.2D=0

!

3

b) colo 3 !aa

3! aa = o3

5

a3

a=

5

ANTI$OGARITMO

El antiloaritmo en una base dada es elnúmero &ue d< orien al loaritmo,matem<ticamente:

Antiloa* = a*

P0+*i"d%d"1,

Antilobo

bL = L

o b Antilo b L = L

Ejemplos:

a) Antilo!

= 2 = F

b) Antilo4012 = -012 =

!

1

CAMBIO DE BASE ?H A BASE 9HEn eneral todo cambio de base implicaun cociente de loaritmos, es decir:

obL =

Mog

Mog

b

x

aso particular: obL =

bMog

Mog

REG$A DE $A CADENA7i en un producto de loaritmos unnúmero cual&uiera " una base cual&uierason iuales entonces estos se cancelanincluso el símbolo loarítmico

oba ! o

cb ! o

dc ! o

xd = o

xa

SISTEMAS DE ECUACIONESLOGARTMICAS

os sistemas de ecuaciones loarítmicasse caracteri3an por &ue tienen lasmismas soluciones para cada ecuación&ue se presenta dentro del sistema!a solución a un sistema depende enran parte de la 4abilidad del operador,sustentado en las propiedadesloarítmicas!

RE$ACIONES ESPECIA$ES EN



LGEBRA

Kn capital se ipone a inter$s cop"estoc"ando en cada "nidad de tiepo(generalente cada aWo), los intereses

prod"cidos se adicionar2n al capital, de talodo q"e en la sig"iente "nidad de tiepo, eln"evo capital tabi$n prod"ce interesesDebeos tener en c"enta la sig"ientenotaci*n'; ' ;onto 6apital + intereses6 ' 6apital ip"esto= ' tanto por ciento an"alG es el inter$s

rod"cido por 100 soles en 1 aWo

r ' tanto por "no ( r 100

=, es el inter$s

prod"cido por "n 1 sol en "n aWo)t ' tiepo q"e se ipone el capital,

generalente en aWos

Dado "n capital 6 q"e se ipone al inter$scop"esto al SrT por "no an"al, d"rante "n

deterinado tiepo de StT aWos 6alc"lar elonto S;T q"e se obtiene al &inal de estetiepo

Ded"cci*n'Eabeos q"e el onto al &inal del aWo esig"al al capital 2s el inter$s, es decir'

6apital + Inter$s ;onto

or consig"iente'%n el prier aWo'

6 + 6r 6 (1 + r)

%n el seg"ndo aWo'6 (1 + r) + 6 (1 + r) r 6 (1 + r)!

%n el tercer aWo'6 (1 + r)!+ 6 (1 + r)! r 6 (1 + r)3

%n el StT aWo6 (1 + r)t-1 + 6 (1 + r) t : 1 r 6 (1 + r) t

Neos q"e el onto obtenido por "n capitalS6T al SrT por "no de inter$s cop"estod"rante StT aWos, es'

; 6 (1 + r ) t

De esta &or"la podeos despeFar'

a) %l capital' S6T'

t)r 1(

;6

+=

b) %l tanto por "no' SrT

16

;r t −=

c) %l tiepo' StT

)r 1(Mog

Mog6Mog;t

+−

=

1 Xallar el onto q"e se obtiene al iponer "n capital de 500 soles al 5Y de inter$scop"esto, d"rante 8 aWosDato' (1,05)8 1,4455

INTERES COMPUESTOANUALIDADES

BINOMIO DE NEWTON



LGEBRA

-ol"cn:

Del en"nciado, teneos'6 500

= 5Y05,0

100

5r ==

t 8 aWos=eeplaando en la &*r"la'

; 6 (1 + r)t

Lbteneos'; 500 (1 + 0,05)8

; 500 (1,05)8

6onsiderando el dato, el onto ser2'; 500 (1,4455); 11 080 .! soles (=pta)

! Kn cierto tipo de bacterias se reprod"ceen &ora "y r2pida de odo q"e en"na Oora a"enta s" vol"en en "n5Y 6"2ntas Ooras ser2n necesariaspara q"e s" vol"en sea 0 veces s"

vol"en originalZ

Datos' Mog 0,8450.8Mog 1,5 0,!43038

Soluc!" #onsiereos n volen JBK coo si 9era

el capital epositao a interGscopesto 70 JBK serL elvolen 9inal

Mone: R 75N → 100

=

r = 075.Reepla>ano en la 9rla eonto:

BO (1 + r)t O 70 B

r 075

7e tendría:

D. S = S (1 + .,D/)t

D. = (1,.D/)t

tomando loaritmos en ambos miembros,obtenemos:

1,D/+o

D.+o=t

1,D/+o

1.+oD+o +=t

.,2-.F

18450.8,0

t

+=

e donde:

t = D,/G 4oras 8pta!

O?1"0%ció, En la órmula del monto : = (1 + r)t ' el e*ponente #t% " el tantopor uno #r% siempre van e*presados en la

misma unidad, seún sea el período al indel cual se capitali3an los intereses, esdecir:

capitali3ación 6iempo 6anto por uno

Anual7emestral6rimestralensualiaria

t (en a^os)2 t- t12 t.. t

r (anual)r2r-r12r.

3 %n c"anto se convertir2 50 00000 soles,ip"esto al 5Y an"al, d"rante aWos,capitali2ndose los intereses cadatriestreZDato' (1,01!5)!4 1,34

-ol"cn:

De ac"erdo con el en"nciado del

problea'6 50 00000 soles= 5Y an"al

LGEBRA

r 100

5 0,05 (an"al)

r 4

05,0 0,01!5 (triestral)

t aWos (4) !4 triestres

=eeplaando en la &*r"la del onto

; 6 (1 + r)t

7e tendría: = /. ... (1 + .,.12/)2-

= /. ... (1,.12/)2-

9tili3ando el dato: = /. ... (1,-D)

el monto ser<: = D /.,.. soles (8pta)!

D"=iició.! 7e llama anualidad a lacantidad ija &ue se impone todos los

aôs para ormar un capital o en sudeecto amorti3ar una deuda!

A%$id%d d" c%*i2%$i%ció.! 7edenota por #Ac% " es la cantidad ija &uese impone al principio de cada aô al #r% por uno de inter;s compuesto paraormar un capital #%, en un tiempo #t%!

7iendo #t% el tiempo en el cual se deseaormar el capital #%, colocando lasanualidades al principio de cada aô!,vemos &ue:a primera #Ac%durante #t% aôs nos d<un monto de Ac (1 + r)t

a seunda #Ac% durante (t 1) aôsnos da un monto de Ac (1 + r)t01

a última anualidad Ac, durante 1 aô,su monto ser<: Ac (1 + r)

7umando todos los montos producidospor las anualidades, ormamos el capital #%! = Ac(1+r)t + Ac(1+r)t01 + !!!! + Ac(1 + r)

= Ac(1+r)t +(1+r)t01 + !!!! + (1 + r)@Hactori3ando : (1 + r) = Ac(1+r) (1+r)t01 + (1 + r)t02 + Z + 1@omo los sumados del corc4ete representanel desarrollo de un cociente notable,obtenemos:

−+−+

+=1)r 1(

1)r 1()r 1( A6

t

c

espejando la anualidad de capitali3ación:

[ ]1)r 1()r 1(

r 6 A

tc

−++= •

A%$id%d d" A+02i%ció.! Es lacantidad ija &ue se impone al inal de cadaaô al #r% por uno de intereses compuesto

para amorti3ar una deuda #% " los intereses&ue produce, a inter;s compuesto, en untiempo #t%!

7iendo #t% el tiempo en el cual se debepaar el capital prestado #% m<s susintereses, colocando las anualidades al inalde cada aô, se observa &ue:

a primera anualidad impuesta durante

(t 1) aôs, nos da un monto de :Aa (1 + r) t01

a seunda anualidad impuesta durante(t02) aôs, nos da unmonto de : Aa (1 + r) t02

a última anualidad impuesta durante elúltimo aô es Aa!

a suma de los montos producidos porlas anualidades e&uivalen al capitalprestado m<s los intereses producidos,

LGEBRA

es decir: (1 + r) t ' con lo cual setendría la ecuación:(1+r)t = Aa (1+r)t 1 + Aa (1+r)t 2!!! + Aa

Hactori3ando #Aa% en el 2do! iembro: (1+r)t =

+++++ 1!!!20tr)(110tr)(1

a A

Ior cocientes notables (reconstrucción)

(1+r)t =

−++

1)r 1(a A 10tr)(1

Ior consiuiente:a anualidad de amorti3ación #Aa% parapaar el capital prestado #% est<ormulado por:

1)r 1( ta A−+ += r)r(1=!

t

E"*$+, 7e acordó la compra de un terreno en1/. ... soles, cu"a cantidad se tomó apr;stamos al -h amorti3able en 1/a^os! WNu; cantidad ija se debeimponer a inal de cada a^o paracancelar el pr;stamo m<s sus interesesXato: (1,.-)1/ = 1,FS+$ció, el anunciado tenemos &ue:

= 1/. ... soles8 = -h

r =100

4= .,.-

8eempla3ando:

10.,.-)(1

.,.-)(1(.,.-)...)(1/. 1/

1/

++

=a A

10,.-)(1

1,.-)((.,.-)...)(1/. 1/

1/

=a A

Fac#oral de "n número na#"ral./ %s el

prod"cto de todos los nVeros enterospositivos y consec"tivos desde el nVero 1Oasta n incl"siveG s" notaci*n es'

n [ * n G se lee S&actorial del nVero SnT

As7 teneos'a) 1 x ! x 3 x 4 x 5 x !0 [

b) 3 3 [ 1 x ! x 3

c) 4 4[ 1 x ! x 3 x 4 !4

%n general'

n [ n 1 x ! x 3 x x (n : 1) x n

Lbserveos q"e'

-3 o existe

!

5 o existe

- 3 -1 x ! x 3 -

!

5

0!x1

5x4x3x!x1=

1 %l &actorial de "n nVero se p"ede

descoponer coo el prod"cto del

&actorial de "n nVero enor, "ltiplicado

por todos los consec"tivos Oasta el

nVero de consideraci*n, es decir

1! . x 10 x 11 x !

! 1 x 1 x 18 x !5 x !

En eneral:

Aa = 1-G1,2 soles



LGEBRA

n n : (n : + 1) (n : + !) (n :1) n



LGEBRA

donde : O ≤ n

7impliicar :

01 2 3

04 2 5

E =

S+$ció,

escomponiendo los actoriales:

:

1F

1D * : * /

1F * 1D * /

E ==

∴ E = 8pta!

2! 7i el actorial del número A es iualal actorial del número B, entonces A

" B son iuales, es decir:

A = B ⇔ A = B (A ≠ . ∧ B≠ .)

E"*$+,alcular los valores de #n% 7i:( n )2 0 F n + 12 = .

S+$ció,Hactori3ando' tendríamos:

( n 02 ) ( n 0 ) = .

iualando cada actor a cero:

a) n = 2 = 2 ⇒ n = 2

a) n = = ⇒ n =

∴ !7! = {2, } 8pta!

O?1"0%ció, El actorial de ceroes iual a la unidad, es decir:

∴ . = . = 1 ' emostración :

ado &ue' n = n 1 x n

para : n = 1 → 1 = . * 1

∴ . = . = 1

! 7i el actorial de un número #n% esiual a uno, entonces el valor de #n% puede ser cero o la unidad

n = 1 ⇔ n = . ∨ n = 1

Ejemplo: Qallar #n%, si:(n 2) = 1

S+$ció, i) n : ! 0 → n !

(n : !) [ 1 ⇒ ii) n : ! 1 → n 3

∴ !7! = {2 ' } 8pta!

1! WNu; valor de n% veriica la siuienteiualdad:

10!4 n : 1 1 x 3 x 5 x (!n : 3) ! (n : 1)

S+$ció,ado &ue:1 x 3 x 5 x (!n :3)

)!n!(xxx4x!

)!n!)(3n!(x5x4x3x!x1

−

−−

1 x 3 x 5 x (! n :3)

0n 6

66n

0n −

−

−

la iualdad se transorma en:

1.2- n1 x 0n 6

66n

0n −

−

− !n - !



LGEBRA

cancelando los actores comunesobtenemos:

2n 1 = 1.2- → 2n01 = 21.

∴ n 1 = 1.

⇒ n = 11 8pta!

2! 7i se cumple la relación:1 1 + 2 2 + + + !!! + n n = 2.G

Qallar el valor de n!

Soluc!"ada coeiciente de los t;rminos elprimer miembro, se puede e*presar de

la siuiente orma:(21) 1 + (01) 2 + (-01) + !!!!!!

!!!!!!!!!!!!+ (n+1 1) n = /.G

de donde el operar, obtenemos:

2 0 1 + 0 2 + - 0 + !!!!!!!

!!!!!!!!! + (n +1 0 n = /.G

al cancelar, los t;rminos semejantes, se

tendría:

0 1 + n + 1 = /.G n + 1 = /.-.

n +1 = D

∴ n + 1 = D → n = 8pta!

P&*'u,-co"&+. ertaciones e JnK eleentos

toaos en grpos e JnK son los i9erentes grpos @ese 9oran en el cal participano JnK eleentos en caagrpo estos se i9erencian por el oren e colocacin=

ateLticaente:

n n P n

Ejemplo: Iermutar #a%, #b% " #c%

Eol"ci*n'

$a pertacin e Ja 'K 3 JcK es:Iabc = {abc' acb' bac' bca' cab' cba}

I = = rupos' en cada rupo 4a"

elementos, &ue se dierencian por el

orden de colocación!

Nariaciones- Nariaciones de SnT eleentostoados en gr"pos de ST enST son los di&erentes gr"posq"e se &oran en el c"alparticipando ST eleentos encada gr"po estos sedi&erencian al enos por "neleento o por el orden decolocaci*nGate2ticaente'

On

n

SnO −

=

actoresO

1)O0(n2)!!!!!!!!(n1)(n(n)SnO

+−−=

Ejm: Sariar #a%, #b% " #c% de 2 en 2!

{ } cbca,bc,ba,ac,ab,S cb,a,2

=

:

1

,*2*1

1

,

20,

,

S,2

====

C+?i%ci+"1.! ombinatoria de #n% elementos, tomados en rupo de #O% en

AN LISIS

LGEBRA

#O% son los dierentes rupos &ue seorman, en el cual participando #O% elementos en cada rupo estos sedierencian al menos por un elemento,

matem<ticamente :

O0nO

n

=n

O = ' O ≤ n

Ixx3x!x1

1)I-(n!)-(n1)-(nn6n

I

+=

Ejm!: ombinar, #a%, #b% " #c% de 2 en 2

S+$ció{ }bcac,ab,cb,a,

2 =6

02620

0262,

0 6

,

C,6

==

=2 ' rupos en el cual un rupo es

dierente del otro por el orden decolocación!

P0+*i"d%d"1,

1) n7/n

n7 CC =

") 0n7

n0/7

n7 CCC

+=+

) n7

0n07 C C

1I1n

+++

+ =

4) n7

0/n0/7 CC

nI=

5)

b a

nm

C Cnb

ma

=

∧

=

⇔=

nmba

nm

C Cn

b

ma

==+

∧

=

⇔=

6) n== n0

n8 CC

Es una órmula &ue nos permite encontrarel desarrollo de un binomio elevado acual&uier e*ponente!educción del binomio para e*ponente

entero " positivo!

1! (a+b)1 = a+b

2! (a+b)] = a] + 2ab +b]

! (a+b) = a +a]b+ab]+b

-! (a+b)- = a- + -ab +a]b]+-ab+b-

e estos desarrollos observamos :

1! El desarrollo es un polinomio4omo;neo, cu"o rado es iual ale*ponente del binomio!

2! El número de t;rminos &ue tiene eldesarrollo es iual al e*ponente delbinomio m<s uno!

! os e*ponentes en el desarrollo varíanconsecutivamente desde el e*ponentedel binomio 4asta el e*pediente ceroen orma descendente " ascendentecon respecto a #a% " #b%!

BINOMIO DE NETON

LGEBRA

-! os coeicientes de los t;rminose&uidistantes de los e*tremos en eldesarrollo son iuales!

/! En el desarrollo, cada coeiciente es

iual al coeiciente anteriormultiplicado por el e*ponente de #a% "dividido entre el e*ponente de #b% m<suno!

! a suma de los coeicientes deldesarrollo es iual al número 2elevado al e*ponente del binomio!

D! 7i en el binomio, su sino central esneativo, los sinos en el desarrollo,

son alternados!e acuerdo a estas observacionestendríamos la siuiente ormaen;rica!

(a+b)n = an + nan01 b +!x1

1)n(n −an0

2b]+

+

3x!x1

!)1)(nn(n −−an0b + !!!!!!!!!+bn

C+"=ici"2"1 Bi+i%$"1.! 7on loscoeicientes de los t;rminos deldesarrollo de (a+b)n, donde n puedeser entero, raccionario, positivo "oneativo!

i! En el binomio de ne\ton si n esentero " positivo, su coeicientebinomial es:

[I

)1n(n6nI

1)O0(n!!!!!!!!!!2)0(n +−=

ii! 7i n es raccionario, su coeiciente

binomial es :

O

1)O(n !!!!!!!!!2)(n1)(nn

O

n +−−−=

e acuerdo a esto, se tendría!(a+b)n cn

0 an + cn , an : 1 b + cnn nb

Es un tri<nulo en el cual, un coeicientecual&uiera es iual a la suma de los dos&ue van sobre el en la línea anterior! Espr<ctico cuando los e*ponentes delbinomio son pe&ue^os!

Ejemplos : Iara 4allar los coeicientes de(a+b)' su tri<nulo de Iascal sería:

(a + b). = 1(a + b)1 = 1 1(a + b)2 = 1 2 2(a + b) = 1 1(a + b)- = 1 - - 1(a + b)/ = 1 / 1. 1. / 1(a + b) = 1 1/ 2. 1/ 1

ado el binomio:

(a + b)n = c no an + c n1 an01 b + Z! + n

n bn

6n+1t1 t2

6P+1en su desarrollo vemos &ue:

HInnI1I )b()a(6+ −

+ =

Ejm! J 1!0 Qallar el R!A! del 6 2/ en eldesarrollo de (*2 ")2

TRIANGULO DE PASCAL

-ORMULA PARA DETERMINAR UNTÉRMINO CUAL8UIERA DEL

DESARROLLO DEL BINOMIO DENETON

LGEBRA

S+$ció,a = *2

atos : b = 0"

n = 2O+1 = 2/ → O = 2-

8eempla3ando en la órmula:

HInnI1I )b()a(6+ −

+ = ' . ≤ O ≤ 2

5btenemos:!43!4!!!

!41!4 )y()x(6+ −= −

+!4!

!4!5 yx6+ =

∴ G0%d+ %?1+$2+ 4 G.A. 4 J R*2%.

1! eterminar #O% en el binomio(*+1), si los t;rminos de luares

(O -) " O2

son iuales en suscoeicientes!8pta! P =

2! u<ntos t;rminos racionales 4a"en el desarrollo del binomio!

50

5

xy

1xy

+

8pta! =

! 7impliicar:

100

15

100

100

85

5

.5

80

100

5

66

666E

+

+•=

-! Qallar el R!A! del t;rmino central enel desarrollo del binomio:

(* + "-)22

EERCICIOS

LGEBRA

D"=iició.! Es la operación inversa a lapotenciación &ue consiste en 4allar unacantidad alebraica #b% llamada raí3 deorma &ue al ser elevada a un ciertoíndice reproduce una cantidad #a%

llamado radicando o cantidad subradical!atem<ticamente:a 9b: b a n =⇔=n

Elemento de la radicación:

b a =n

Ejm!:

a) 81 3)( 3 81 44 =±→±=b) 1!5 )5( 5 1!5 33 =→=

c) 3!- !)(- !- 3!- 55 =→=

d)1-11 )i4( i4 1- !! ==±→±=

N+2%.! i' en la unidad de los númerosimainarios, tal &ue:

1- i 1- i ! =→=

7inos de las raíces:a) par + = ± (8eal)

b) par - = ± (Kmainario)

c) i#par + = + (8eal)

d) i#par - = 0 (8eal)

ebemos tener en cuenta las siuientespropiedades en cuanto a radicación:I. R%K d" % *+2"ci%

n

#

n # a a =

II. R%K d" % $2i*$ic%ció d"%0i+1 =%c2+0"1

c b a cba n n n n••=

III. R%K d" % dii1ió

n

n

nba

ba = ? ≠ 7

IV. R%K d" 0%K

a a n## n =

Iara e*traer la raí3 cuadrada de unpolinomio, su m<*imo e*ponente

(rado) debe ser par " se aplica lassiuientes relas:1U!0 7e ordena " completa el

polinomio respecto a una letra ordenatri3, lueo se arupan lost;rminos de #dos en dos% comen3ando por la última cira!

2U!0 7e 4alla la raí3 cuadrada delprimer t;rmino " obtenemos elprimer t;rmino de la raí3

cuadrada del polinomio! Esta raí3se eleva al cuadrado, se cambiade sino " se suma al polinomiodado, eliminando así la primeracolumna!

U!0 7e bajan los dos t;rminos &ueorman el siuiente rupo, seduplica la raí3 " se divide elprimer t;rmino de los bajadosentre el duplo del primer t;rmino

de la raí3! El cociente obtenido esel seuido t;rmino de la raí3!Este seundo t;rmino de la raí3

Eigno radical

=adicando o cantidad

el s"bradical

\ndice =a7

RACIONALIZACIONFORMAS INDETERMINADAS

LGEBRA

con su propio sino se escribe allado del duplo del primer t;rminode la raí3 orm<ndose un binomio'el binomio ormado lo

multiplicamos por el seundot;rmino con sino cambiado, elproducto se suma a los dost;rminos &ue se 4abían bajado!

-U!0 7e baja el siuiente rupo " serepite el paso " se continua elprocedimiento 4asta obtener unresto cu"o rado sea una unidadmenor &ue el rado de la raí3 o un

polinomio de resto nulo!

Ejm!: Qallar la raí3 cuadrada delpolinomio

I (*) = *- -* + *2 -* + 1

S+$ció,

En este problema tenemos como datos:IU : Rrado de polinomio = -n : ndice de la raí3 = 2

rU :n@ : Rrado de la raí3 =

!4 = 2

8U : Rrado del resto

El rado del resto es siempre menor &ueel rado de la raí3 " su m<*imo rado,uno menos &ue el rado de la raí3multiplicada por (n 1)

8U = (n 1) rU 0 1

En nuestro caso:

8U = (2 1) U 0 1 → 8U 0 2U

istribu"endo en t;rminos tendríamos:

14x-x4x-x !34 ++ *2 2 * + 1

0*- (*2) (0*2) = 0*-

. 2*2

0- * + *2 0-* ÷ 2*2 = 02*

- * 0 -*2 (2*2 2*) (2*) 2*2 -* + 1 2*2 ÷ 2*2 = 1 02*2 + -* 0 1 (2*2 -* + 1) (01)

.∴ Semos &ue:

1x!- x 1x4-x4x- x(x)!!34 +=++=

Qallar la raí3 cuadrada de los siuientespolinomios:a) I (*) = *- + * + *2 + * + 1b) I (*) = 2* 0 */ + -* 0 * + 1c) I (*) = 2*F 0 *D + * 0 *- *2 0 2d) I (*) = 2*- 0 * 0 *2 + * e) I (*) = *1. + 2*/ + *2 + 2* + 1

as radicales dobles son e*presionesalebraicas &ue adoptan la siuienteorma:

B A ±

Ejemplos:a) !!3 + b) !4-5

c) 10!- d) 13!-14

as radicales dobles se puedendescomponer en la suma o dierencia dedos radicales simples!educción de la órmula!7abemos &ue:

)( yxB A α ±=±

e a&uí obtenemos el sistema cu"asincónitas son #*% e #"%

B Ay x +=+ !!!!!!!!!!!!!!!!! (1)

B- Ay - x = !!!!!!!!!!!!!!!!! (2)

8esolviendo el sistema:i) CQ$c$+ d" 9H ,

!

B- AB Ax

++= '

elevando al cuadrado

!B- A Ax

!

+=

4aciendo : = B- A!

TRANS-ORMACIÓN DE



LGEBRA

!

6 Ax

+= !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! ()

ii) CQ$c$+ d" ;H

!

B- AB Ay −+= '

elevando al cuadrado

!

B- A- Ay

!

=

!

6- Ay = !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! (-)

7ustitu"endo los valores de #*% e #"% en !!! (1) " !!! (2), obtenemos lasórmulas de transormación de radicalesdobles en radicales simples'sinteti3ando:

!

6- A

!

6 AB A ±+=±

onde: = B- A ! " A2 B es uncuadrado perecto!

E"*$+ &,escomponer en radicales simples:

5!15% +=

S+$ció,Iasando 2 al radical interno (pasa como -)

A = 1/

4!!15% += → B = 22-

!

615

!

615 %

−+

+= !!!!!!!!!!! (α)

alculo de :1 !!4-!!5 !!4-15B - A6 !! ====

lueo en !!!!! (1)

8 !

115

!

115 % +=−++=

∴ E = !! 5!15 +=+

8pta!

7i el radical doble se puede e*presar enla orma: B! A ± ' sutransormación a radicales simples seobtiene por inspección:

r r B! A !1 ±=±

en esta transormación debe tenerse encuenta &ue:1U!0 r1 > r2

2U!0 r1 + r2 = AU!0 r1 . r2 = B

E"*$+ ',escomponer en radicales simples:

!1!-10 = =

S+$cióBuscamos dos números #r1% " #r2% cu"asuma sea 1. " producto sea 21!Estos números son D " , es decir r1 = D "r2 = , con lo cual se tendría:

3 - !1!-10 = ==

7&.! C%$c$%0 "$ %$+0 d",30!-11!8 8-1401!E +++= 0

! --

7'.! %$$%0 "$ %$+0 d",

!!3!1!1!1!1 ++++++

76.! %$$%0 $% 0%K c%d0%d% d",3x11x!4x5E ! ++++=

7. 8 0%dic%$ d+?$" di+ +0i#" %$+1 0%dic%$"1 1i*$"1

!x3 - 3x5 ++

T0%1=+0%ció " 0%dic%$"1 1i*$"1*%0% 0%dic%$"1 d" $% =+0% D6B A +++ !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! (K)

D6B A −−+ !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!(KK)

S+$ció,7i (K) " (KK) se puede e*presar en lasormas:

y!x!x y! A +++

y!x!x y! A +−+

donde: A = * + " + 3entonces se tendría &ue:



LGEBRA

yx D6B A ++=+++

-y-x D6B A =−−+

Ejemplo J 1: E*presar en radicales

simples:14084015E +++=

S+$ció,omo: . = - * 1/

F- = - * 211-. = - * /

35!!1!15!15E +++=

ó tambi;n:5()!3()!3(5)!15E +++=

donde: + / + D = 1/, entonces la

transormación a radicales simples es:140 84015E +++= = 53 ++ R*2%.

D"1c+*+1ició " 0%dic%$"11i*$"1 *%0% 0%dic%$"1 d" $% =+0%

3B A ±

a transormación se puede e*presar enlas ormas:

3B A + 4 * + y !!!!!!!!!!!!! (1)

3

B- A 4 * 0 y !!!!!!!!!!!!! (2)

Iara determinar #*% e #"% utili3amos lasrelaciones = 3 ! B- A !!!!!!!!!!!!!!!!!!! (α)

A = -* * !!!!!!!!!!!!!! (V)

" = *2 !!!!!!!!!!!!!!!! (λ), se obtiene directamente en (α) " sereempla3a en (V)En (V) se orma la ecuación cúbica en

#*%, la cual se resuelve por tanteos,lueo el valor de #*% se reempla3a en(λ) " se obtiene el valor de #"%!Ejemplo: Qablar la raí3 cúbica de:

1. + 3

S+$cióE*presando bajo el radical cúbico, setendría:

3310810310E +=+= = yx +

A = 1. " B = 1.F → = 10810! −

= 028eempla3ando en:A = -* * c → 1. = -* * (02)

6enemos la ecuación:2* + * / = .: por inspección vemos&ue * = 1ueo en : " = *2 c

" = 1 (02)" =

∴ 313103 +=+

Es la operación &ue consiste entransormar una e*presión alebraicairracional en otra parcialmente racional!-0%cció i00%ci+%$.! 7e llama así a unaracción, cuando el denominador

necesariamente es irracional!-%c2+0 0%ci+%$i%2".! Es unae*presión irracional &ue multiplicado porla parte irracional de la racción irracionalla transorma en racional!

K! uando el denominador irracionales un monomio!

# na

& = ' m > n

En este caso el actor racionali3antemultiplica al numerador " denominador" esta dado por:

r = # n#a −

Entonces:

# n#

# n#

# n a

a

a

&

−

−

•=

# n#n

# n#

a

a &

−+

−=

a

a &

# n#−=

E"*$+, R%ci+%$i%0,

H = 8 !35 cba

5

S+$ció,El actor racionali3ante es:

r = 8 53 cba

con lo cual:



LGEBRA

H =8 !35

8 !35

8 !35 cba

cba

cba

5•

H =

cba

cba 5 8 !35

KK! uando el denominador presentaradicales de índice dos, de lassiuientes ormas:

ba

J1

±=

ba

J!

±=

cba

J3

±+

=

En este caso los actores racionali3antesrespectivos son:

1 = b a

2 = b a

= c)b a( +

8ecordemos &ue:

( b a ± ) ( b a ) = a b

E. R%ci+%$i%0

3!14 =++

=

S+$ció,ultiplicando por el actor racionali3ante:

+

+

++=

3-!1

3-!1

3!1

4 =

obtenemos:

!! )3(-)!(1

)3-!1(4 =

+

+=

!!

)3-!1(4

=

+=

8acionali3ando nuevamente:

!

!

!!

)3-!1(4 = •

+=

8 = - !! + 8pta!KKK! uando el denominador irracional

es un binomio o trinomio conradicales cúbicos de las siuientes

ormas:H1 = 33 ba

±

H2 = 3 !33 ! baba

+

En este caso los actores racionali3antesson:

1 = 3 !33 ! baba +

2 = 33 ba ±ebe tenerse en cuenta &ue:

b a )baba( )ba(3 !33 !33 ±=+±

E"*$+, R%ci+%$i%0,

1!

1 &

3 −=

S+$cióultiplicando por el actor racionali3anteel numerador " denominador, se tendría:

++

++

−=

1 ! !

1 ! !

1!

1 &

33 !

33 !

3

=1)!(

1 ! 4

3 3

34

−

++

= 1 ! 4 33 ++ 8pta!

KS! uando el denominador es unbinomio o polinomio de las ormas:

a) b a nn ±b)

n 1n-n !n-n 1n- b ba a +

ebemos recordar:

1) Iara todo valor de n :b-a)b ba a( )ba(

n 1n-n !n-n 1n-nn =+++−

2) Iara n impar:ba)b baa( )ba(

n 1n-n !n-n 1n-nn +=++−+

) Iara n par:b-a)b -baa( )ba(

n 1n-n !n-n 1n-nn =+−+

9no de los actores es el actorracionali3ante del otro!

Ejm!: 8acionali3ar H =1!

15 −

S+$cióultiplicando el numerador, denominadorpor el actor racionali3ante, obtenemos:

++++

++++

−=

1!!!!

1!! ! !

1!

1 J

55 !5 35 4

55 !5 35 4

5

H = 1!48 1 5555 ++++

-ORMAS DETERMINADAS E

LGEBRA

7i en una racción el numerador "denominador, o ambos se 4acen cero oininito, se obtienen las siuientesormas determinadas!

0 G

0 G

a G

a G

a

0 G

0

a ∞∞

∞∞

matem<ticamente se e*presan de lasiuiente orma:

1) 0 x

a

a

Mi#=

∞→ -)

x

a

a

Mi#

∞=∞→

2)a

x

0a

Mi#∞=

→ /)

0 x

a

0x

a

Mi#

=

→

∞→

) 0 a

x

a

Mi#=

∞→ )

xa

0x

a

Mi#

∞=→

∞→

N+2%.! L% "9*0"1ió,

x

a

0a

Mi#∞=

→ ' se lee: ímite de la

racciónx

a cuando #*% tiende a cero es

iual a ininito (∞)!-+0%1 Id"2"0i%d%1.! 7ona&uellas e*presiones &ue adoptan lasormas:

0 0 G1 G x0 G - G G

0

0 ∞∞∞∞

∞∞

V"0d%d"0+ %$+0.! Es el valor &uetoma la orma indeterminada despu;sde levantar la indeterminación:

ada la racción?(x)

(x)' tal &ue

0

0

?(x)

(x)

ax

Mi#=

→ ! Esto nos indica &ue el

numerados " denominador de la raccióncontienen el actor (* a) &ue causa laindeterminación!Iara encontrar el actor (* a) podemosaplicar cual&uiera de los siuientescriterios, seún convenan:

&. -%c2+0i%ció *+0 %1*% 1i*$",7i I (*) " N(*) son e*presionesracionales de seundo rado!

'. R"#$% 1" R==ii,

7i I(*) " N(*) son e*presionesracionales de rado ma"or o iual&ue tres!

6. C+ci"2"1 +2%?$"1,7i I(*) " N(*) son e*presionesracionales binomias!

. R%ci+%$i%ció7i I(*) " N(*) son e*presionesirracionales!

. D"0i%ció (R"#$% d" L+1*i2%$)

7e deriva I(*) " N(*) en ormaindependiente!

E"*$+ &.! Qallar el verdaderovalor de:

15 !

3

54x

x- x

x- x %

=

cuando * = 1 ó%

1x

Mi#

→S+$ció,

uando * → 1 ⇒ E =0

0 (Knd!)

Iara determinar su verdadero valor,levantamos la indeterminación!1U!0 mcm (-, /, 1/, 2, ) = . (índices)

−

−→

= 0 8

0 !00 30

0 1!0 15x

xx

xx 1x

Mi# %

Qaciendo el cambio de variable: 0 x = t → * = t. :

* → 1 ⇒ t → 1' se tendría:

-ORMA INDETERMINADA,0

LGEBRA

t-t

t)t-t(

1x

Mi# %

!030

81!15

→=

)1t(t

1)-t(t

1x

Mi# %

10!0

3!0

−→=

uando t = 1

E =0

0 (Kndeterminado)

Ior cocientes notables:

1)ttt(t1)-(t

1)t(t)1t(

1t

Mi# %

8.

!

+++++

++−→

=

uando t = 1

10

3 %

11111

111 %

8.

!

=⇒+++++

++=

∴ 10

3

xx

x)xx(

1x

Mi# %

3

15 !54

=−

−→

=

esde &ue∞∞

=∞→

(x)?

(x)

x

Mi# (Knd!)

Iara levantar la indeterminaciónactori3amos en el numerador "denominador #*% al m<*imo e*ponente'despu;s de simpliicar, calculamos ellímite cuando #*% tiende al ininito!En orma pr<ctica debemos considerarlos siuientes aspectos, respecto a losrados absolutos de IF*) " N(*)!

1U!0 7i : IU (*) > NU (*)

⇒∞=

∞→

?(x)

(x)

x

Mi#

2U!0 7i : IU (*) = NU (*) ⇒

[ ][ ]otencia;ax 6oe&

otencia;ax 6oe&

?(x)

(x)

x

Mi#=

∞→U!0 7i : IU (*) < NU (*) ⇒

0

?(x)

(x)

x

Mi#=

∞→E"*$+.! c%$c$%0

8-x3x4x

5-xx5

x

li# %

!34

34

++

+∞→

=

S+$ció,

6omando el límite (* → ∞)

(Ind) 8-

5 - %

∞∞=

∞+∞+∞∞+∞=

evantando la indeterminación, actori3ando* con su ma"or e*ponente!

)x

8

x

1

x

3 (4x

)x

5 -

x

(5x

x

li# %

4!

4

4

4

−++

+

∞→=

uando : * → ∞

45% = 8pta!

ebemos considerar dos casos:&F.! 7i E(*) es una e*presión

alebraica irracional &ue toma laorma de (∞ 0 ∞) cuando * tiende alininito (∞)!E(*) se multiplica " divide por suactor racionali3ante " se lleva a la

orma ∞∞ !ueo de a&uí podemos aplicarcual&uiera de las relas pr<cticasvistas anteriormente!

'F.! 7i E(*) es racional " toma la ormaindeterminada (∞ 0 ∞) cuando *aIara levantar la indeterminación seeectúa las operaciones indicadas "despu;s de simpliicar 4allamosim E(*)

*a

E"*$+.! c%$c$%0

( )bcx x xbx −−−−−∞→= ""aa1

1

$i6 E

S+$ció,uando * ∞ ⇒ E = ∞ 0 ∞ (Knd!)Iara levantar la indeterminaciónmultiplicación el numerador "denominador &ue vale 1 por actorracionali3ante, obtenido:

∞→= x

Mi#

% bcxaxcbxax

b]cxaxcbxax

!!

!!

−++−−

+−−−+

-ORMA INDETERMINADA,∞

∞

-ORMA INDETERMINADA, ∞ ! ∞



LGEBRA

∞→=

x

Mi#%

bcxaxcbxax

)cb(x)cb(

!! −++−−

−+−

uando: * → ∞ ⇒ E =∞

∞ (Knd!)Hactori3ando #*% en el numerador "

denominador:

∞→=

x

Mi#%

−++−+

−+−

!! x

b

x

ca

x

c

x

bax

x

cbcbx

uando: * → ∞

a!

cb

aa

cb%

−=

+

−=

racionali3ando, obtenemos el límite

=∞→

% x

Mi#

a!

a )cb( −8pta!

algebra integral

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