algebra fácil - versión 1.1

… con el Profesor Leo

Para reflexionar sobre los elementos del campo conceptual que rodean al concepto de número, distinguimos tres dimensiones del conocimiento numérico adaptadas de los trabajos de Peled (1991) y Sasaki (1993):♦La dimensión abstracta: conocimientos referidos a los sistemas numéricos como estructuras matemáticas, a las formas de escritura de los números y a reglas operatorias.♦La dimensión de recta: representación de los números sobre una recta, basada en la identificación de los números reales con los puntos de la recta y con vectores en la misma.♦La dimensión contextual: situaciones concretas en las que se usan los números, aplicaciones o problemas.La dimensión de recta podría ampliarse para incluir otras representaciones.

http://www.pna.es/Numeros/pdf/Bruno2009Metodologia.pdf

(Pag. 2)



Algebra Fácil

¿Qué es Algebra Fácil?

Algebra Fácil es un producto del siglo XXI. A finales de los noventa, del siglo pasado, se inicia una corriente global con la finalidad de introducir el Algebra en los currículos de enseñanza primaria de menores. Pero es la primera década de este siglo que las investigaciones, teóricas y prácticas, se desarrollan de manera explosiva.

Nace entonces la inquietud de introducir nociones del pensamiento algebraico en las aulas, rompiendo de esta manera el viejo esquema de aritmética – educación primaria y algebra – educación secundaria.

No se trata de enseñar Algebra a los niños, reiteramos, sino de introducir el pensamiento algebraico a través de ejercicios físicos, juegos diversos y situaciones problémicas de la vida real. Además se pretende generar en los alumnos un acercamiento al Algebra que no resulte traumático, pues el Algebra tiene fama de ser una materia dura y de difícil comprensión.

La información en la red es escasa y se encuentra distribuida de manera desordenada, por ello nace este Manual de Algebra Fácil como un compendio de actividades sencillas para favorecer el desarrollo del pensamiento algebraico en los niños.

Leonardo Sánchez Coello

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mailto:[email protected]


Clase Nº 01. ¿Qué es el algebra?

Cuando leas un párrafo de matemáticas, léelo dos veces. La primera vez analiza el contenido. La segunda vez halla los detalles y la información relevante. Anota las palabras claves relacionadas con el tema del párrafo.

El álgebra es una parte de las matemáticas que usa variables y operaciones que combinan variables. Algunas operaciones de álgebra las has aprendido en aritmética (+, –, X, /). Sin embargo, en álgebra es necesario incluir variables como a y b y sustituirlas por diferentes valores. Por ejemplo, a + b puede representar 3 + 4 ó 13.5 + 24.7 ó cualquier número que elijas.

Dos personas han sido reconocidas como “el padre del álgebra”. El primero es Diofanto, un matemático griego que vivió en el siglo III de nuestra era. Él fue el primero en usar símbolos para representar palabras comunes. El segundo es el matemático árabe Al-Khowarizmi, quien en el siglo IX publicó un tratado completo sobre cómo resolver una ecuación. La palabra “álgebra” proviene del vocablo, al-jabr, que aparece en el título de su obra.

1. ¿Cuál es el tema del primer párrafo? ¿Cuál es el tema del segundo párrafo?

…………………………………………………………………………………………….

……………………………………………………………………………………………

2. ¿Cómo se usan los números en el texto?

…………………………………………………………………………………………….

3. Según el texto, ¿aproximadamente en qué fecha se usaron por primera vez los símbolos matemáticos para representar palabras comunes?

……………………………………………………………………………………………

4. ¿Cómo se llamaban los dos matemáticos mencionados en el pasaje?

……………………………………………………………………………………………

5. ¿Qué título compartieron ambos?


……………………………………………………………………………………………

6. ¿Cuánto tiempo transcurrió entre la existencia de los dos matemáticos?

…………………………………………………………………………………………….

7. Según el texto, ¿qué es similar en aritmética y álgebra?

……………………………………………………………………………………………

8. ¿Qué operaciones se mencionan en el pasaje?

…………………………………………………………………………………………….

9. ¿Cuál es el origen de la palabra álgebra?

……………………………………………………………………………………………

Clase Nº 02. Tablas

1 rostro tiene dos ojos. En dos 2 rostros hay cuatro ojos. Completa los ojos en los rostros y completa la tabla.

caras ojos

1 2

2

3

4

5

6

7

8

9

10

n


La cantidad de ojos siempre es………………………………………………………

Clase Nº 03. Seriaciones

Vamos a construir patrones con triángulos de colores.

Para realizar esta actividad necesitas tus lápices de colores y/o tus plumones.

a) Pinta los triángulos de la siguiente manera:

2 amarillos – 2 rojos – 2 amarillos – 2 rojos

Podemos representar el color amarillo con su letra inicial.

color amarillo = a

Los mismo podemos hace con el color rojo.

color rojo = r

Entonces las instrucciones para pintar los triángulos serían:

2a + 2r

Recuerda que:

a = color amarillo

r = color rojo


b) Pinta los triángulos de la siguiente manera

2 rojos – 4 amarillos – 2 rojos – 4 amarillos

Las instrucciones para pintar los triángulos serían:

c) Pinta los triángulos de la siguiente manera

1 azul - 5 rojos – 1 azul – 5 rojos

Las instrucciones para pintar los triángulos serían:

d) Emplear clips y fósforos (c + f), o borradores y tajadores (b + t), o frejoles y maíces (f + m), balones de fútbol y vóley, cuadernos grandes y pequeños, libros y cuadernos.

Pasos y aplausos, dos palmadas arriba y dos palmada abajo ( + o también 2 + 2), direcciones (arriba, abajo, derecha, izquierda, norte, sur, este oeste ).

Alumnos con zapatos y alumnos con zapatillas, o niños y niñas en una fila india…


Recuerda: El primer paso es simbolizar, por ejemplo: (a = zapatos y b = zapatillas) o (a = varones y b = mujeres).

Clase Nº 04. Notas musicales

Estas son las siete notas musicales:

Do Re Mi Fa Sol La Si

Estas son las primeras cuatro notas musicales:

Do Re Mi Fa

Entonamos las notas musicales: do, re, mi, fa

Entonamos:

do re mi fa fa mi re

do re mi fa fa fa fa

Reemplazamos cada nota musical por la letra inicial. Así tenemos:

d = do

r = re


m = mi

f = fa

Entonces los solfeos:

do re mi fa fa mi re

do re mi fa fa fa fa

Pueden ser reemplazados así:

d + r + m +2f +m +r

d + r +m + 4f

Les dejo unas canciones para que las escriban algebraicamente:

La cucaracha (México)

do do do fa la do do do fa la fa fa mi mi re re do

do do do mi sol do do do mi sol do' re' do' sib la sol fa

Estrellitas

do do sol sol la la sol fa fa mi mi re re do sol sol fa fa mi mi resol sol fa fa mi mi redo do sol sol la la sol fa fa mi mi re re do

Cumpleaños feliz

sol sol la sol do' si sol sol la sol re' do' sol sol sol mi' do' do' si la fa' fa' mi' do' re' do'

Ojos azules (Perú)

mi mi mi sol mi do re mi do re mi mi re si do la (bis)

Campanero


do-re-mi-do-do-re-mi-do-mi-fa-sol-mi-fa-sol- sol-la-sol-fa-mi-do-sol-la-sol-fa-mi-do-re-si-do-re-si-do

Clase Nº 05. Propiedad conmutativa 1 (adición)

5 manzanas es igual que decir: 3 manzanas + 2 manzanas

5 manzanas es igual que decir: 2 manzanas + 3 manzanas

¿Qué hemos hecho? Conmutar.

Vamos a simbolizar una manzana con la letra inicial: m

Así tenemos:

Entonces:

Por lo tanto:

5m = 3m + 2m

5m = 2m + 3m

Las manzanas están encerradas dentro de unas cuerdas o líneas llamadas diagramas de Venn, por que fueron inventadas por el profesor de matemáticas inglés John Venn (1834-1923). Venn se inspiró en unos diagramas que había

m = manzana

5m = 5 manzanas


creado el matemático suizo Leonhard Euler (1707-1783), los diagramas de Euler tenían forma de círculo, en cambio los diagramas de Venn pueden tener cualquier forma. Los diagramas de Venn se emplean en todas las escuelas del mundo para enseñar matemáticas a los niños (y a los adultos también).

Los pandas

Simbolizar:

p = __________

Entonces:

3p = ___________

Explica la propiedad conmutativa con los pandas.

3p = __________ + _________

3p = __________ + _________

Los lápices

Dibujar: 4 lápices + 2 lápices y 2 lápices + 4 lápices empleando diagramas de Venn.


Simbolizar y explicar la propiedad conmutativa.

Las manzanas, los pandas y los lápices son sólo ejemplos. Tú puedes dibujar, en tu cuaderno conjuntos de los objetos que quieras.

Clase Nº 06. Propiedad Conmutativa 2 (adición)

Ahora que ya sabemos lo que es conmutar podemos seguir adelante. ¿Qué? ¿No sabes lo que es conmutar? Conmutar es cambiar el orden de los sumandos. Observa:

Por ejemplo, si tenemos la adición:

Podemos conmutar los sumandos:

Es fácil darnos cuenta que:

5 + 2 = 7

Al conmutar el orden los sumandos no se altera _________________________

Reemplazar números

Ahora vamos a reemplazar un número (por ejemplo el número 2) por una letra.

Si teníamos:

Ahora tenemos:

La letra t simboliza al número __________

Hallar el valor de t en las siguientes adiciones:

5 + 2

5 + 2 = 2 + 5

2 + 5 = 7

5 + 2 = 2 + 5

5 + 2 = t + 5


a) 3 + 7 = t + 3 b) 12 + 3 = t + 12

c) 1 6 + 4 = t + 16 d) 20 + 30 = t + 20

e) 110 + 230 = t + 110 f) 660 + 330 = t + 660

Clase Nº 07. El número nueve

¿Qué es el número nueve? Es un número natural que sigue al ocho y precede al diez.

Así se escribe comúnmente el número nueve:

Pero… ¿es la única manera de escribir el número nueve? Claro que no, existen muchas, muchísimas maneras de escribir el número nueve. Escríbelas:

a) 9 = 3 + 3 + 3 b) 9 = √81

c) 9 = __________________ d) 9 = _________________

e) 9 = __________________ f) 9 = __________________

g) 9 = ___________________ h) 9 = __________________

i) 9 = ___________________ j) 9 = ___________________

k) 9 = ___________________ l) 9 = ___________________


m) 9= ___________________ n) 9 = ___________________

En tu cuaderno: Realiza ejercicios similares con otros números.

Curiosidades del número nueve

Suma los números tal como indican las líneas ¿qué obtienes?

1 2 3 4 5 6 7 8

“Adivina el pensamiento”

Pide a alguien que escriba un número de 5 cifras. Supongamos que escribe el: 62 341. Entonces tú harás la siguiente predicción en un papel: 262 339. A continuación pide que debajo del primer número escriba un segundo número de 5 cifras, por ejemplo: 12 222, entonces escribe debajo: 87 777. Nuevamente pide que escriba un número cualquiera de 5 cifras, por ejemplo: 44 444, entonces tú escribirás debajo: 55 555.Finalmente pide que sumen todos los números ¡la suma de todos ellos coincide con la predicción (262 339)!

Alguien:

62.341

Alguien:

1 2.222

Tú: 87.777

Alguien:

44.444

Tú: 55.555


Suma:

262.339

El truco consiste en restar dos unidades al primer sumando y escribir un 2 a la izquierda del resultado (cifra de las centenas de millar). En el ejemplo: 62 341 - 2 = 62 339, que con el 2 a la izquierda resulta: 262 339.

Por otra parte, por cada una de las cifras que alguien escriba después de la primera, tú escribirás otra cifra de forma que todos los números sumen 9. En el ejemplo: 87 777 + 44 444 = 99 999 y 44 444 + 55 555 = 99 999. Por tanto la suma de los cuatro últimos sumando será siempre: 99.999 + 99.999 = 199.998 (le faltan 2 unidades para convertirse en 200.000). El resultado final será:

200.000 - 2 + primer sumando

Clase Nº 08. Los puntos de dos dados

Un dado tiene seis caras, en las que están los números del uno al seis, marcados por puntos.

Jugando con los dados completa el siguiente cuadro.


a) Lanzo dos dados ¿De cuántas maneras diferentes pueden caer los dados?

…………………………………………………………………………………………….

b) ¿Cuáles son los números más difíciles de obtener?

…………………………………………………………………………………………….

c) ¿De cuántas maneras diferentes se puede obtener un siete? Grafica.

…………………………………………………………………………………………….

Clase Nº 09. Crear expresiones equivalentes

En la clase sobre el número nueve comprobamos que existen muchas maneras de escribir el número nueve (Pag. 12). Cualquier número se puede escribir de muchas maneras. Observa:

24 se puede escribir como 20 + 4

85 se puede escribir como 50 + 35

24 = 20 + 4

85 = 50 + 35


En la clase sobre los dados (Pag. 14) aprendimos que hay muchas maneras de escribir un número siete. Al tirar dos dados existen tres maneras de que caigan los dados (y tres maneras inversas también). Observa:

a) 7 = 1 + 6 con su operación inversa: 7 = 6 + 1

b) 7 = 2 + 5 con su operación inversa 7 = 5 + 2

c) 7 = 3 + 4 con su operación inversa 7 = 4 + 3

Si prestas mucha atención te darás cuenta de que:

1 + 6

2 + 5 7

3 + 4

Esto significa que:

1 + 6 = 2 + 5

Y también significa que:

2 + 5 = 3 + 4

Las siguientes expresiones se denominan expresiones equivalentes:

Completa empleando expresiones equivalentes:

Bloque 1 (1º - 2º grados)

1 + 6 = 2 + 5

2 + 5 = 3 + 4


a) 5 + 6 = ___________________ b) 10 + 1 = _________________

c) 4 + 9 = ___________________ d) 20 + 4 = _________________

e) 31 + 30 = _________________ f) 22 + 40 = _________________

g) 40 + 20 = _________________ h) 15 + 25 = ________________


a) 14 + 18 = _________________ b) 17 + 27 = ________________

c) 38 + 62 = _________________ d) 115 + 215 = ______________

e) 420 + 340 = _______________ f) 754 + 456 = _______________

g) 1 260 + 2 450 =_____________ h) 3 550 + 4 780 = ___________

En tu cuaderno: a) Crea 10 adiciones y escribe sus expresiones equivalentes.

Clase Nº 10. El orden de los sumandos.

En este dibujo podernos ver a Garu y a Pucca sentados en la banca de un parque. Garu (A) está sentado leyendo un libro y Pucca (B) se sienta a su izquierda. Escribe la letra A debajo de Garu y la letra B debajo de Pucca.


Podemos escribir “Garu y Pucca” así: a + b

Pero ¿Que pasaría si Pucca se sienta a la derecha de Garu?

Entonces tendríamos que escribir “Pucca y Garu” así: b + a

Hemos conmutado a Garu y a Pucca, ahora son Pucca y Garu. Pero ¿no es no es lo mismo? Claro que si por que el orden de A y B no altera la suma.

Garu y Pucca = Pucca y Garu

a + b = b + a

Los tres mosqueteros

En el siguiente dibujo vemos a Mickey, Donald y Goofy. Asignaremos a cada personaje una letra, escribe cada letra debajo de cada personaje.


a = Mickey b = Donald c = Goofy

Qué pasaría si colocamos a estos personajes en diferentes posiciones:

a + b + c

a+ c + b

b + a + c

b + c + a

c + a + b

c + b + a

Ellos, los personajes, siguen siendo los mismos, no importa en orden donde estén.

Eso significa que:

a + b + c = a + c + b = b + a + c = b + c + a = c + a +b = c + b + a


Ahora sacamos a Mickey (a) de la fila. ¿Qué sucede? Podemos Escribirlo así:

(b + c) – a

(c + b) – a

Conclusión:

(b + c) – a = (c + b) – a

Si Mickey sale de la fila quedan Donald y Goofy (o Goofy y Donald).

The Jonas Brothers

Simboliza a cada uno de los tres hermanos con una letra.

En tu cuaderno: a) Ordena a los Jonas Brothers en diferentes posiciones. b) ¿Qué pasaría si sacamos a uno de los Jonas Brothers del grupo? Simboliza.

Clase Nº 11. Varios sumandos

(Propiedades asociativa y conmutativa)


Ana Cecilia fue a hacer compras a la Bodega “Retuerto” y compró seis productos diferentes que costaron:

15 + 8 + 3 + 7 + 12 + 5

Ana Cecilia tenía que sacar la cuenta con rapidez, ya le habían dicho que en la bodega “Retuerto” siempre te engañan con el vuelto. Pero Ana Cecilia había estudiado algebra y sacó la cuenta rápidamente. ¿Cómo lo hizo? Observa:

1º 15 + 8 + 3 + 7 + 12 + 5

2º (15 + 5) + (8 + 12) + (3 + 7)

3º 20 20 20

Agrupó los números que sumando daban 20.

Luego, todo fue bien fácil.

20 + 20 + 20 = 60

Ahora inténtalo tú (en tu cuaderno): (1º - 6º grados)

a) 12 + 4 + 6 + 8 b) 7 + 8 + 6 + 5 + 9 + 10

c) 15 + 20 + 12 + 15 + 10 + 18 d) 16 + 17 + 4 + 3 + 18 + 2

e) 15 + 23 + 32 + 18 + 27 + 15 f) 7 + 4 + 5 + 3 + 5 + 6

g) 22 + 8 + 14 + 16 h) 22 + 24 + 23 + 21

Clase Nº 12. Sumar números grandes

El profesor Leo preguntó: ¿Cuánto es 73 + 26? Enrique calculó así:

73 + 26 = (70 + 3) + (20 + 6) = (70 + 20) + (3 + 6)

Ahora inténtalo tú (en tu cuaderno): (3º - 6º grados)

a) 45 + 34 b) 36 + 26

c) 44 + 26 d) 12 + 68

e) 13 + 37 f) 82 + 28

g) 53 + 22 h) 67 + 33

Clase Nº 12. Propiedad Asociativa (adición)

Observa con atención.


¿Qué conclusión puedes sacar?

…………………………………………………………………………………………….

Reemplazar cifras por letras

Tengo

3 +`5 + 2 = 5 + 2 + 3

3 + 5 + t = 5 + t + 3

Como puedes ver la letra t reemplaza al número…………….

Ejercicios

Reemplaza una cifra por una letra:

a) 4 + 5 + 6

……………………

c) 14 + 15 + 16

……………………

e) 20 + 30 + 40

……………………

g) 132 + 256 + 467

…………………….

Clase Nº 13. a + 1; a + 2; a + 3…

Series


(1º - 3º grados)

Colorea, de manera intercalada, cada uno de los cuadrados, con rojo y verde. Empieza con el color amarillo, sigue con el verde y así sucesivamente.

1

Ahora cada color representará los siguiente:

El cuadrado amarillo = a + 1

El cuadrado verde = a + 2

Ahora completa la serie de números.

Más series

(1º - 3º grados)

Colorea, de manera intercalada, cada uno de los cudradoos, con rojo y verde. Empieza con el color amarillo, sigue con el azul y así sucesivamente.

1 2 5 6 9 10 13 14 17 18 21



No sabemos a cuánto equivale el cuadrado azul.

Hallar el valor.

El cuadrado azul = ___(a + 3)____

Clase Nº 14. ¿Es igual o no es igual?



a) 8 + 2 = 9 + 1 b) 13 + 2 = 14 + 1

c) 24 + 6 = 25 + 5 d) 6 + 4 = 7 + 3

e) 19 + 6 = 20 + 5 f) 14 + 21 = 15 + 20

g) 10 + 2 = 11 + 1 h) 14 + 6 = 15 + 5


a) 96 + 4 = 97 + 3 b) 59 + 3 = 60 + 2

c) 108 + 5 = 109 + 4 d) 999 + 26 = 1 000 + 25

e) 1 249 + 36 = 1 250 + 35 f) 2 009 + 41 = 2 010 + 40

g) 1 999 + 51 = 2 000 + 50 h) 1 502 + 46 = 1 503 + 45

Recuerda: Los elementos de una adición se llaman sumandos:

a + b adición con_____ sumandos

a + b + c adición con_____ sumandos

a + b + c + d adición con_____ sumandos

Si tenemos una adición con dos sumando (a +b) y sumamos___ al primer sumando Entonces debemos quitar____ al segundo sumando.

a + b = (a + 1) + (b – 1)

Y ¿si le sumó 2 al primer sumando y le restó 2 al segundo sumando?

En tu cuaderno: a) Escribe algunos ejercicios donde se aplique esta expresión. b) ¿Y si le sumó 10 al primer sumando y le quito 10 al segundo sumando? Escribe algunos ejercicios donde se aplique dicha expresión.

Clase Nº 15. Mayor y menor

Recuerdas los signos de mayor, menor e igual. Estos son: mayor >

menor <

igual =


Si: 3 2

Entonces:

3 + 1 2 + 1

3 + 2 2 + 2

Ejercicios. Completa empleando mayor (>), menor (<) e igual (=):

Bloque 1

a) 5_____2 b) 7______9

5 + 1______2 +1 7 + 1______9 + 1

5 + 2______2 + 2 7 + 2______9 + 2

c) 12______10 d) 24_____30

12 + 1______10 + 1 24 + 1_____30 + 1

12 + 2______10 + 2 24 + 2_____30 + 2

Bloque 2

a) 24_____12 b) 35_____18

24 + 2_____12 + 2 35 + 2_____18 + 2

24 + 6_____12 + 6 35 + 5_____18 + 5

24 + 10____ 12 + 10 35 + 10_____18 + 10

c) 85_____100 d) 215______225

85 + 5_____100 + 5 215 + 5______225 + 5

85 + 10_____100 + 10 215 + 15_____225 + 15

85 + 20_____100 + 20 215 + 100____225 + 100

Clase Nº 16. Adición y Sustracción (como operaciones inversas)

Tenía 5 manzanas.


Si regalé 2 manzanas a dos amigos, entonces tenemos una sustracción:

5 – 2 = 3

La operación inversa sería una adición:

2 + 3 = 5

o también puede ser:

3 + 2 = 5

Crea dos adiciones para las siguientes sustracciones:

a) 5 – 4 = 9 b) 16 – 6 = 10 c) 36 + 17 = 53

……………………. ……………………. ………………………..

……………………. ……………………. ………………………...

Crea dos sustracciones para las siguientes adiciones:

a) 8 + 4 = 12 b) 53 + 47 = 100 c) 250 + 350 = 600

……………………. …………………….. ……………………….

……………………. …………………….. ……………………….

En tu cuaderno: a) Crea cinco adiciones y cinco sustracciones y crea dos operaciones inversas para cada una de las operaciones.

Clase Nº 17. Problemas (adición y sustracción)


Bolitas. Tenía 18 bolitas en mi bolsillo. Mi mamá me dio algunas bolitas más. Ahora tengo 21 bolitas. ¿Cuántas bolitas me dio mi madre?

Este problema se puede resolver de dos maneras: a) con adición y b) con sustracción. Veamos:

a) Con sustracción:

21 – 18 =____

b) Con adición:

18 +____= 21

Ahorros. Mi papá me regaló una cuenta de ahorros con 50 nuevos soles. Mi mamá, muy orgullosa, me regaló unos soles más para incrementar mis ahorros. Ahora 76 nuevos soles ¿Qué cantidad de dinero me dio mi madre?

a) Resuelve con sustracción:

………………………………….

b) Resuelve con adición:

………………………………….

¿Cuál de estos dos métodos te parece más fácil? Resuelve estos problemas con cualquiera de estos dos métodos.

Álbum. Tenía un álbum con 150 figuritas. Un primo me obsequió un montón de figuritas. Ahora tengo 189 cromos. ¿Cuántas figuritas me regaló mi primo?

Cuyes. En mi granja criaba una gran cantidad de cuyes. Un día, con gran pena, me encontré con 250 cuyes muertos. Ahora sólo tenía 750 cuyes. ¿Cuántos cuyes tenía al principio?

Salario. A fin de mes cobré mi salario, mi ínfimo salario. Iba por la calle pensando en mis deudas cuando de pronto me robaron 50 soles del bolsillo. Ahora me quedan con 170 soles. ¿Cuánto dinero tenía antes del robo?

Árboles. En el perímetro de la escuela había 68 árboles. Un buen día llegaron unos jardineros de la municipalidad y plantaron más árboles. Ahora hay 102 árboles ¿Cuántos árboles sembró el municipio?

Clase Nº 18. ¿Cuánto queda? (adición y sustracción)


Lápices. Paola y Sandy recogen los lápices durante la hora de la limpieza. Paola recoge 7 lápices y Sandy recoge 3. Colocan los lápices en la canasta de la maestra. Luego viene Raúl y coge tres lápices para su grupo. ¿Cuántos lápices quedaron en la canasta?

Este problema se resuelve de la siguiente manera:

1º 7 + 3

2º (7 + 3) – 3

3º 10 – 3 = 7

Inicialmente había 10 lápices en la canasta de la maestra (7 que recogió Paola y 3 que recogió Sandy), pero luego Raúl tomó 3 lápices, por lo tanto quedaron 7 lápices en la canasta.

Cuota de aula. La señora Rojas le pagó 15 soles a la maestra, luego la señora Pérez le pagó 13 soles a la maestra. La maestra pagó 20 soles que debía de las fotocopias del aula. ¿Cuánto dinero le quedó a la maestra?

Fiesta. La señora Gutiérrez trajo 10 vasos de gelatina para la fiesta de la escuela, la señora Pérez trajo 12 gelatinas y la señora López trajo 13 gelatinas. Si en el salón hay 32 niños y cada niño comió una gelatina. ¿Cuántas gelatinas quedaron?

Paseo. Para el paseo a la playa cada alumno pagó tres soles por gastos de movilidad, en el salón hay 32 alumnos. La movilidad cobró 80 nuevos soles. ¿Cuánto dinero quedó para el aula?

Donación. Una escuela rural, que cuenta con 95 alumnos, solicitó una donación de cuadernos, a cuatro cuadernos por alumno. Recibieron una donación de 400 cuadernos. ¿Cuántos cuadernos sobraron?

Clase Nº 19. a + 2 + 3


En la columna a escribimos números.

A estos números les sumaremos primero 2 y luego 3.

a + 2 +3

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

20

30

50

100

¿Qué diferencia hay entre los números de la columna a y los resultados finales?

…………………………………………………………………………………………….

Por lo tanto podemos decir que:

a + 2 + 3 = a + 5

Clase Nº 20. a + 1 + 2 + 3


En una columna escribiremos números. A estos números les sumaremos primero 1, luego 2 y finalmente 3.

a + 1 + 2 +3

1 2 4 7

2

3

4

5

6

7

8

9

10

20

30

50

100


…………………………………………………………………………………………….

a + 1 + 2 + 3 = _________

En tu cuaderno: Crea nuevas expresiones algebraicas combinando sumas.

Clase Nº 21. a + 4 + 6


En una columna escribiremos números. A estos números les sumaremos primero por 4 y luego 6.

a +4 +6

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

20

30

50

100


…………………………………………………………………………………………….

a + 4 + 6 = ________


Clase Nº 22. a + 7 – 2


En una columna escribiremos números. A estos números les sumaremos primero 7 y luego les restaremos 2.

a + 7 - 2

1 8 6

2

3

4

5

6

7

8

9

10

20

30

50

100


…………………………………………………………………………………………….

a + 7 – 2 = ________


Clase Nº 23. n + 3


En una columna escribiremos números. A estos números les sumaremos primero 3 y luego les restaremos 2.

n n + 3 n + 3 – 5 Total

3 3 + 3 (3 +3) – 5 1

4 4 + 3 (4 +3) - 5 2

5

6

7

8

9

10

20

30

40

50

100

Como podrás haberte dado cuenta los totales son iguales a n pero restándole dos ¿no es cierto? Por tanto podemos decir que:

n + 3 – 5 = ________

En tu cuaderno: Crea nuevas expresiones algebraicas con:

a) n + 5 – 1 b) n + 6 – 2

c) n + 10 – 8 c) n + 12 - 7

Clase Nº 24. ¿Es igual o no es igual?



a) 9 – 2 = 10 – 3 b) 13 – 2 = 14 – 3

c) 24 – 9 = 25 – 10 d) 14 – 9 = 15 – 10

e) 19 – 4 = 20 – 5 f) 34 – 9 = 35 – 10

g) 14 – 6 = 15 – 7 h) 18 – 9 = 19 – 10


a) 96 – 5 = 97 – 6 b) 54 – 9 = 55 – 10

c) 108 – 9 = 109 – 10 d) 999 – 24 = 1 000 – 25

e) 1 249 – 34 = 1 250 – 35 f) 2 009 – 14 = 2 010 – 15

g) 1 999 – 24 = 2 000 – 25 h) 1 514 – 99 = 1 515 – 100

Recuerda: Los elementos de una sustracción son:

a – b = c

a = minuendo b = sustraendo c = resta

En toda sustracción con números naturales: a > b

Clase Nº 25. Operaciones combinadas

Resuelve: 57 – (25 + 2) (3º - 6º grados)

57 – 27

30

Bloque 3.

a) 10 – (4 + 3) b) 8 – (5 – 1) c) 17 – (7 + 0)

d) 50 – (20 + 10) e) 35 – (10 + 5) f) 49 – (10 + 5)

g) 245 – (35 – 15) h) 365 – (30 + 30) i) 1470 – (100 + 300)

En tu cuaderno: a) Crea y resuelve algunos ejercicios similares.

Clase Nº 26. Adición de números naturales. (1º - 2º grados)


Traza todas las flechas posibles.

La flecha roja = a + 2

La flecha verde = a + 3

1. 2.

0. 3.

5. 4.

Clase Nº 27. Igualdad. (1º - 2º grados)

Traza todas las flechas posibles.

La flecha azul = “es igual a”

14 – 6

3 + 5 4 + 8

2 x 4 15 – 3

6 x 2

Clase Nº 28. Números mayas


Los mayas fueron una gran civilización pre colombina. Ellos escribían los primeros números de la siguiente manera.

Escribe las equivalencias.

. =………………………………………

– =………………………………………

Los mayas empleaban un sistema de numeración vigesimal (contaban en grupos de veinte). Nosotros empleamos un sostema de numeración decimal (contamos haciendo grupos de diez).

Clase Nº 29. Números egipcios

Los egipcios fueron una civilización que floreció en África hace miles de años. Ellos escribían los números así.

Escribe los siguientes números como números egipcios:

a) 2

b) 5

c) 11

d) 12

e) 22

f) 33

g) 52

h) 116

i) 132

Clase Nº 30. a + 3 y a – 1


Series

Colorea, de manera intercalada, cada uno de los rectángulos, con rojo y verde. Empieza con el color rojo, sigue con el verde y así sucesivamente.

2


El rectángulo rojo = a +3

El rectángulo verde = a – 1


Más series

Colorea, de manera intercalada, cada uno de los cuadradosos, con amarillo y verde. Empieza con el color amarillo, sigue con el verde y así sucesivamente.

1

Cada color representa lo siguiente.


El cuadrado verde = a.2


Clase Nº 31. Caramelos y frunas.

Tenemos varias cajas. En unas cajas hay frunas, pero no se sabe cuantas frunas hay en cada caja. En otras cajas hay caramelos, en cada caja siempre hay 9 caramelos. ¿Qué escogerías? ¿Dos cajas de frunas? ¿O una caja de frunas y una de caramelos? ¿Por qué?

Si deseas puedes graficar tus respuestas.

Clase Nº 32. Propiedad Conmutativa (multiplicación)


Si Sabemos que:

3 x 7 = 7 x 3

Entonces:

3 x t = t x 3

La letra t representa al número…….

Resuelve:

a)

c)

e)

Clase Nº 33. Propiedad Asociativa (multiplicación)

Si sabemos que:

5 x 3 x 2 = 2 x 3 x 5

Entonces:

5 x 3 x t = t x 3 x 5

La letra t representa al número……

Resuelve:

a)

c)

e)

Clase Nº 34. Multiplicaciones


Iniciaremos esta clase con una pregunta:

¿Cuánto es 9 X 4?

En matemáticas nos encontramos muchas veces frente a problemas que resolver. Y, muchas veces también, existen muchos caminos diferentes para llegar a la solución. Pero, aunque los caminos sean distintos, siempre llegan al mismo lugar.

Para contestar a la pregunta ¿cuánto es 9 x 4? Vamos a recorrer tres caminos. (3º - 6º grados)

1º método:

Si sabemos que:

5 x 4 = 20 y

4 x 4 = 16

Entonces:

5 x 4 = 20

4 x 4 = 16 +

9 x 4 = 36

2º método:

¿Cuánto es 9 x 4?

Si sabemos que:

10 x 4 = 40 y

4 x 4 = 4

Entonces:

10 x 4 = 40 y

1 x 4 = 4 -

9 x 4 = 36

3º método:


¿Cuánto es 9 x 4?

Si sabemos que:

9 x 2 = 18

Entonces:

9 x 2 = 18

9 x 2 = 18 -

9 x 4 = 36

Conclusión: (5º - 6º grados)

9 x 4 = (5 x 4) + (4 x 4)

9 x 4 = (10x 4) - (1 x 4);

9 x 4 = (9 x 2) x 2

En tu cuaderno. Resuelve las siguientes multiplicaciones empleando cualquiera de los tres métodos. Escribe las conclusiones de manera matemática.

a) 8 x 3 b) 9 x 5

c)

e)

Clase Nº 35. ¿Cuántas patas hay?

Hay seis asientos entre sillas y bancos. Las sillas tienen cuatro patas y los bancos tres. En total, hay veinte patas. ¿Cuántas sillas y cuántos bancos hay?

Un alumno puede representar la situación dibujando seis círculos, e indicar con trazos en el interior el número de patas. Otro puede representar la situación mediante símbolos y, partiendo de un primer supuesto de que el número de sillas es igual que el de bancos, escribir . Observando que el resultado es demasiado grande, podría ajustar el número de asientos de cada clase para que el número de patas sea 20.

Clase nº 36. Propiedades de la multiplicación con gráficos


Propiedad conmutativa (3º - 6º grados)

¿Es lo mismo 4 x 7 que 7 x 4? Observa

Propiedad asociativa (3º - 6º grados)

¿Es lo mismo (3x2) + (3x7) que 3 x (2+7)? Observa:

En tu cuaderno. Resuelve aplicando gráficamente las propiedades conmutativa y asociativa (emplea papel cuadriculado, de preferencia).

a)

c)

e)

g)

Clase Nº 37. Multiplicación y división (como operaciones opuestas)

Todos Sabemos que:

http://sferrerobravo.wordpress.com/2009/04/21/early-algebra-%C2%BFalgebra-en-primaria/visualizacion-conmutativa/

http://sferrerobravo.wordpress.com/2009/04/21/early-algebra-%C2%BFalgebra-en-primaria/visualizacion-distributiva/


4 x 3 = 12

Entonces:

12 4 = 312 3 = 4

Esto significa que de una multiplicación pueden salir dos………………………….

Esto es así por que la división es la operación opuesta de la……………………..

En tu cuaderno. De las siguientes multiplicaciones deberán extraer dos divisiones. Grafica tus resultados.

a)

c)

e)

g)

i)

Clase Nº 38. Romper un factor.

Empezaremos esta lección con una pregunta: (4º - 6º grados)


¿Cuánto es 18 x 9?

Para resolver este ejercicio debemos de romper, o descomponer un factor.

a.b = c

La letra a y la letra b representan a los factores

La letra c representa el producto

1º método (con adición)

18 x 9 =

(10 x 9) + (8 x 9)

Como puedes notar el 1º factor (el número 18) ha sido descompuesto en 10 y 8

18 = (10 + 8)

2º método (con sustracción)

18 x 9 =

(20x 9) - (2 x 9)

Como puedes ver el 1º factor (el número 18) ha sido descompuesto en 20 y 2

18 = (20 – 2)

3º método (distribuyendo)

¿Cuánto es 38 x 129

38 x 12 = (30 + 8) x (10 + 2) = (30 x 10) + (30 x 2) + (8 x 10) + (8 x 2)

30 + 60 + 80 + 16

En tu cuaderno. Escribe diversas multiplicaciones y resuélvelas siguiendo cualquiera de los tres métodos empleados en esta clase:

Recuerda:


a.b = c

La letra a y la letra b representan a los factores

La letra c representa el producto

Clase Nº 39. Duplicar factores.

Otra manera de resolver multiplicaciones es duplicando un factor.

Si se duplica uno de los factores en un problema de multiplicación el otro factor es reducido a la mitad. Ejemplos: (4º - 6º grados)

164 x 4 = 328 x 2

El doble de 164 es 328

La mitad de 4 es 2

Clase Nº 40. Triplicar factores.

Otra manera de resolver multiplicaciones es triplicando un factor.

Si se triplica uno de los factores en un problema de multiplicación el otro factor se divide entre 3. Ejemplos: (4º - 6º grados)

100 x 6= 300 x 2

El triple de 100 es 300

La tercera parte de 6 es 2

En tu cuaderno. Resuelve estos ejercicios. Puedes duplcar o triplicar un factor.

a)

c)

e)

g)

Clase Nº 41. Seriaciones (con multiplicación)


Colorea, de manera intercalada, los rectángulos, con amarillo y azul. Empieza con el color amarillo, sigue con el azul y así sucesivamente. (5º - 6º grados)

1


El rectángulo amarillo = a.2

El rectángulo azul = a.3

Ahora completa la serie de números. La serie se incia así:

1.2 = 2

2.3 = 6

6.2 =……

Clase N º 42. Seriaciones (con multiplicación)

Colorea, de manera intercalada, los rectángulos, con celeste y rosado. Empieza con el celeste, sigue con el rosa y así sucesivamente. (5º - 6º grados)

2


El rectángulo celeste = a.4

El rectángulo rosado = a/2


2.4 = 8

8/2 = 4

4.4 =…..



(5º - 6º grados)

Colorea, de manera intercalada, cada uno de los rectángulos, con naranja y marrón. Empieza con el color naranja, sigue con el marrón y así sucesivamente.

2 6 12 36 72 216


El rectángulo naranja = a.3

No sabemos cuánto representa el rectángulo marrón.


El rectángulo marrón equivale a………………………


(5º - 6º grados)

Colorea, de manera intercalada, cada uno de los rectángulos, con verde y marrón. Empieza con el color verde, sigue con el marrón y así sucesivamente.

2 12 24 144 288


El rectángulo verde = a.6

No sabemos que representa el rectángulo marrón.


El rectángulo marrón equivale a………………………

Clase Nº 45. Dinero.

María tiene el triple de dinero que Juan. (2º - 6º grados)


Se representa:

Juan tiene una cantidad n

(No se sabe cuánto tiene)

Si María tiene el triple que Juan, entonces tiene 3n.

Juan = n

María = 3n

Entonces, si Juan tiene un sol, María tendrá tres soles.

En tu cuaderno. a) Completa la tabla. b) Construye una gráfica que represente las cantidades de dinero que poseen Juan y María.

Juan (n) María (3n)1 3234567891020304050

100200300400500

1 000

Clase Nº 46. Dinero


Harold tiene algo de dinero. Sally tiene 4 veces más dinero que Harold. Ahora Harold gana 18 soles más, gana lo mismo que Sally. ¿Cuánto ganaba Harold al inicio? ¿Cuánto gana Sally?

Primero construimos una tabla:

Harold (n) Sally (4n)1 42 83 124 165 206 24

Cuando Harold gana 6 soles (n), Sally gana 24 soles (4n).

Cuando Harold gana 18 soles más (o sea 6 + 18 = 24), gana lo mismo que Sally.

En Algebra lo escribimos así: n + 18 = n x 4

Como sabemos que n = 6, entonces reemplazamos:

6 + 18 = 6 x 4

24 = 24

Clase Nº 47. Expresión algebraica.

Esta es una expresión numérica:

7 + 3

Esta es un expresión algebraica:

n + 3

Donde n se denomina variable .Y donde 3 se denomina constante.

Estas son algunas expresiones algebraicas:

n + 3 (suma) n - 3 (diferencia)

n.3 (producto) n 3 (cociente)

Clase Nº 48. Tablas.


Completa las siguientes tablas: (1º - 2º - 3º grados)

s 3s6 187 2189101112

n 4n + 71 112 1534567

Completa las siguientes tablas: (4º - 5º - 6º grados)

n 4n + 7- 1 3- 2 - 1- 3- 4- 5- 6- 7

b5 23 00 - 3-2 - 5

http://www.centeroninstruction.org/files/Leanne%20Ketterlin%20Geller%20Pre%20Alg%20Instruction1.pdf

(Pag. 49)

Clase N 49. El salario de Alicia




(5º - 6º grados)

Problema:

Alicia gana y soles por cada hora de trabajo, ella trabaja 40 horas a la semana. Por cada hora extra ella gana el doble. Si esta semana Alicia trabajó 55 horas ¿cuánto recibirá de salario?

Solución:

Tenemos que escribir el problema como una expresión algebraica.

Como no sabemos cuánto gana Alicia representaremos el sueldo de Alicia con

la letra y. Alicia gana y soles por hora y trabaja 40 horas a la semana.

El sueldo de Alicia entonces será:

40y

Donde 40 representa las horas de trabajo. Y la letra y representa los soles que gana por hora.

Pero ella ha trabajado 55 horas esta semana, o sea 15 horas más. Y en cada

una de esas 15 horas recibirá el doble de salario (o sea 2y).

Entonces, el salario de Alicia de esta semana será:

40y + 15(2y)

Completa la siguiente tabla:

y 1 2 3 10 15 20

Sin horas extras

40y 40 80

Con horas extras

40y + 15(2y) 70 140

En la tabla sabemos cuánto ganaría Alicia en 1, 2, 3, 10 y 20 semanas.

En tu cuaderno. a) Crea una tabla para saber cuánto ganará Alicia en 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 y 10 semanas (sin y con horas extras) b) Crea una gráfica lineal.

Clase Nº 50. Multiplicando


Multiplica los números tal como se indica. (3º - 6º grados)

a x 2 x 31 2 62 4 1234561020


…………………………………………………………………………………………….


a.2.3 = ________

Clase Nº 51. Multiplicando

Multiplica los números tal como se indica. (3º - 6º grados)

a x 2 x 41 2 82 4 1634561020


…………………………………………………………………………………………….


a.2.4 = ________

En tu cuaderno. Realiza una experiencia similar con la expresión: a.2.5

Clase Nº 52. Operaciones combinadas (1)


En una columna escribiremos números. A estos números les sumaremos primero 1 y luego le restaremos 2. (3º - 6º grados)

a + 1 - 21 2 02 3 134561020


…………………………………………………………………………………………….


a + 1 – 2 = ___(a – 1)_____


En una columna escribiremos números. A estos números les sumaremos primero 2 y luego le restaremos 3. (3º - 6º grados)

a + 2 - 31 3 02 4 134561020


…………………………………………………………………………………………….


a + 2 – 3 = ___(a – 1)_____



En una columna escribiremos números. A estos números les sumaremos primero 1y luego le restaremos 3. (3º - 6º grados)

a + 1 - 31 2 - 12 3 034561020


…………………………………………………………………………………………….


a + 1 – 3 = ___(a – 2)_____


En una columna escribiremos números. A estos números les sumaremos primero 1y luego le restaremos 3. (3º - 6º grados)

a + 2 - 51 3 - 22 34 6 1561020


…………………………………………………………………………………………….


a + 2 – 5 = ___(a – 3)_____

Clase Nº 55. Los camiones con arena


Problema. 5 camiones cargados de arena fueron a entregar el material a una construcción, luego fueron a la construcción otros camiones. Cada camión transporta 3 toneladas de arena. ¿Cuántas toneladas de arena fueron entregadas a la obra?

Solución. Sabemos que cinco camiones llegaron a la obra. Además sabemos que llegaron otros camiones, pero no sabemos cuántos.

Sabemos, con seguridad, que llegaron 5 camiones, este número será la constante. Luego llegaron más camiones, pero desconocemos cuántos, esta

cifra será la variable (llamaremos a la variable c, c de “camión”).

Como expresión algebraica lo escribiremos así:

5 + c

También sabemos que cada camión transporta 3 toneladas de arena.

3. (5 + c)

3. (5 + c) es una expresión con una variable.

Entonces:

- Si llegaron dos camiones más, entonces c = 2

La expresión sería: 3. (5 + 2) = 21

- Si llegaron tres camiones más, entonces c = 3

La expresión sería: 3. (5 + 3) = 24

Completa la tabla:

Camiones Expresión Toneladas de arena

5 + 1 3. (5 + 1) 18

5 + 2 3. (5 + 2) 21

5 + 3

5 + 4

5 + 5

5 + 6

Clase Nº 56. Encomiendas


El envío de encomiendas a diferentes lugares del Perú tiene un costo. Las agencias que envían las encomiendas aumentan el costo de acuerdo al peso de los envíos.

Tarifas de envío de encomiendas (en soles)

Zona 1 Zona 2

Peso Trujillo - Chiclayo Piura - Tumbes

1 – 5 kg 7,25 9,80

6 – 10 kg 7,50 10,00

11 – 15 kg 7,75 10,20

16 – 20 kg 8,00 10,40

Contesta: a) ¿Cuánto pagaré por enviar a Piura una encomienda que pesa 27 kg? b) ¿Cuánto pagaré por enviar a Chiclayo una encomienda que pesa 40 kg?

Clase Nº 57. Azúcar

Dos empresas agroindustriales (Cartavio y Paramonga) fabrican azúcar. Pero las azucareras ponen diferentes precios a sus productos. A mayor calidad el producto, por kg, cuesta más.

Precio del azúcar (en soles)

Bolsas de… Paramonga Cartavio

1 kg 3,25 2,75

2 kg 5,75 4,75

3 kg 8,25 6,75

4 kg 10,75 8,75

Contesta: a) ¿Cuánto costarán 7 kilos de azúcar Cartavio? b) ¿Cuánto costarán 12 kilos de azúcar Paramonga?

Clase Nº 58. Magia

La primera vez que viajé a Piura, ciudad situada al norte del Perú, era niño, y me estaba aburriendo de lo lindo pues llegó un momento en que veía solo


arena, arena, ¡y más arena! Pero tuve suerte, subió un señor al bus y se sentó a mi lado.

No eran los tiempos en que no debías hablar con extraños, eran los años setenta y todavía un gran sector de la sociedad conservaba su cordura, Bien, este señor me acompaño por el resto del trayecto contándome cuentos e historias, ¡yo estaba encantado! Pero lo mejor de todo fue un truco que me enseño, lo aprendí y sorprendía a grandes y chicos. Y como soy buena gente voy a compartir el secreto con ustedes (pero solo con ustedes ¿ya?). Este es el truco:

Piensa un número.

Multiplícalo por 2.

Súmale 6.

Divide el resultado entre 2.

Resta el número que pensaste.

Te queda 3.

Memoriza este truco y verás como sorprendes a tu familia y amigos. Ahora solo te pido una cosita ¿podrás convertir este truco en una expresión algebraica?

Empecemos.

Piensa un número. Este número será la variable.

n

Multiplícalo por dos

……………………..

Súmale seis.

……………………...

Divide el resultado entre dos.

……………………..

Resta el número que pensaste (n)

……………………..

Clase Nº 59. Balanzas (1)


Tenemos una balanza. En uno de los platillos hemos colocado cinco bolsas de arroz. En el otro platillo hemos colocado tres bolsas idénticas de arroz más dos pesas de un kilo cada una. ¿Cuánto pesa cada bolsa de arroz?

Primero debemos realizar un gráfico.

Luego llamaremos cada bolsa de arroz con la letra

x

Entonces en el primer platillo tendremos:

5x

En el segundo platillo tenemos 3 bolsas de arroz. O sea:

3x

Pero como también hay 2 pesas, de un kilo cada una, agregaremos:

3x + 2

Como los platillos de la balanza se encuentran en equilibrio tenemos:

5x = 3x + 2

¿Cuánto pesa cada bolsa de arroz? ¿Por qué?

…………………………………………………………………………………………….

Clase Nº 60. Balanzas (2)

11


Observa las siguientes balanzas, los pesos se encuentran en gramos:

Averigua:

¿Cuánto pesa un círculo? ……………………………

¿Cuánto pesa un rectángulo? ……………………………

¿Cuánto pesa un triángulo? ……………………………

¿Cuánto pesa un cuadrado? ……………………………

Clase Nº 61. Números al cuadrado

Si la variable a = 2 y la variable b = 3

Resolver:

a² + b² =

En tu cuaderno. Dar otros valores a las variables a y b.

Clase Nº 62. Triángulos.

27 24

2926


Los dos triángulos que se muestran a continuación son similares. Tenemos el triángulo XYZ y el triángulo RST

X R

3m

6m

Y Z

S T

¿Cuál es la proporción que describe la relación entre los lados de los dos triángulos?

En el primer triángulo el lado XY mide 3 metros.

En el segundo triángulo el lado RS mide 6 metros.

Por lo tanto:

XY = 3 RS = 6 La proporción es de…………………………………….

Clase Nº 63. Rectángulos.

Los dos rectángulos que se muestran a continuación son similares.

x

6m

8m

10m

¿Cuánto mide el lado x?

6 x 10 8

(6 x 8) / 10 =………………

Clase Nº 64. ¿Cuánto mide el árbol?


Un señor mide dos metros y proyecta una sombra de un metro. Al mismo tiempo, un árbol cercano proyecta una sombra de 14 metros. ¿Cuánto mide el árbol?

2 x 1 14

(2 x 14) / 1 = 28

El árbol mide 28 metros.

Con esta información completa la siguiente tabla. Los datos se presentan en metros.

Altura 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28

Sombra 1

Clase Nº 65. Ecuaciones.

Completa la siguiente tabla si:

y = 2x + 1

x y

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10Clase Nº 66. Probabilidad (1)


En una bolsa hay 15 canicas. 10 canicas son amarillas y 5 son púrpuras. Si saco de la bolsa una canica al azar ¿Qué probabilidad existe de que sea amarilla?

La razón es:

10 / 5

Simplificando:

2 / 1

La probabilidad de que saques una canica amarilla es de dos contra uno. O sea tienes el doble de posibilidades de que saques una canica amarilla a que saques una canica púrpura.

Clase Nº 67. Probabilidades (2)

Los nombres de 6 niñas y 9 niños son colocados en una bolsa. Si un nombre es elegido al azar de la bolsa ¿qué probabilidad existe de que sea el nombre de un niño?

La relación entre niños y niñas es de:

…………….

Simplificando (dividiendo entre 3) tendremos:

……………

La probabilidad de que saques el nombre de un niño es de 3 contra 2. Es decir si tuvieras cinco intentos para sacar un nombre, tendrías la posibilidad de que en tres oportunidades salga un nombre de niño y en dos oportunidades salga el nombre de una niña.

Clase Nº 68. b² - a²

Si la variable a = 4 y la variable b = 5

Resolver:

b² - a²

En tu cuaderno. Dar otros valores a la variable a y a la variable b.

Clase Nº 69. Bicicleta (Gráficas)


Un ciclista viaja a 15 km por hora.

C

40 B

30

Km A

20

10

0 1 2 3 4

Horas

¿Qué línea representa mejor este recorrido? ¿Por qué?...................................

………………………………………………………………………………………….

Clase Nº 70. Tablas

¿Qué ecuación coincide con los datos de la tabla de abajo? Explica.

x y

0 2

1 3

2 4

3 5

a) y = 2x b) y = 3x

c) y = x + 2 d) y = x – 2

Clase Nº 71. Cachangas (Gráficas)


Una señora vende cachangas en la puerta de su casa. La cantidad de tazas de mezcla aumenta de acuerdo al número de cachangas que piensa vender. Necesita cinco tazas de mezcla para preparar diez cachangas

Tazas D

10 C

8

6 B

4

2 A

0 2 4 6 8 10

Personas

¿Qué línea representa mejor esta situación? ¿Por qué?......................................

……………………………………………………………………………………………

Clase Nº 72. Tablas.

Nº Secuencia1 1, 2, 3, 4 2 2, 4, 6, 8 3 3, 6, 9, 12 4 3, 8, 12, 16… …

En tu cuaderno. a) Siguiendo este patrón ¿cuál será el segundo término en una secuencia que empiece con el número 20? b) ¿Cuál es el patrón?


Clase Nº 73. Teorema de Pitágoras. (4º - 6º grados)

Un triángulo tiene tres lados. Un triángulo rectángulo es aquel triángulo que tiene un ángulo recto, es decir uno de sus ángulos internos mide 90º, los otros dos ángulos internos suman 90º también (recuerda que la suma de los tres ángulos internos de un triangulo siempre suman 180º).

El lado mayor de un triángulo rectángulo recibe el nombre de hipotenusa, los lados menores reciben el nombre de catetos.

Pitágoras descubrió que el cuadrado de la hipotenusa era igual al cuadrado de la suma de los catetos. Veamos:

b a

c

El lado de mayor longitud es el lado a. La hipotenusa es a.

Los lados menores son b y c. Los catetos son b y c.

Pitágoras demostró que:

a² = b² + c²


Veamos la demostración del Teorema de Pitágoras de manera gráfica:

El cuadrado del lado a es igual a 20 (o sea hay 20 cuadraditos). En el cuadrado del cateto b hay 16 cuadraditos; y en el cuadrado del cateto c hay 9 cuadraditos.

Por lo tanto es fácil notar que:

16 + 9 = 25

O sea:

b² + c² = a²

Problema. Si tenemos un triángulo rectángulo con las siguientes medidas:

12 x

5


Tenemos que hallar el valor de x, es decir el valor de la hipotenusa.

Recordemos el Teorema de Pitágoras:

a² = b² + c²

Podemos conmutar esta adición y tendremos:

b² + c² = a²

¡Es muy sencillo! ¿No creen?

Y ahora ¿qué debemos hacer? ¿Cuál sería el siguiente paso?

……………………………………………………………………………………………

Clase Nº 74. Teorema de Pitágoras (2) (4º - 6º grados)

Problema. Si tenemos un triángulo rectángulo con las siguientes medidas:

x 15

12

¿Cuál es el valor del lado x?

Aplicando el Teorema de Pitágoras sabemos que:

a² = b² + c²

Entonces:

15² =___ + 12²

225 = ___ + 144

225 – 144 = ___

Por lo tanto:

X =

Por que ___² es igual a ___


Clase Nº 75. Triángulo Isósceles

El perímetro de un triángulo isósceles es de 20 metro. Si la base mide 6 metros. ¿Cuál es la longitud de los otros dos lados?

A. 4 m, 10 m

B. 5 m, 9 m

C. 6 m, 6 m

D. 7 m, 7 m

Clase Nº 76. La piscina problema

Esta es una piscina. Como ves tiene largo y ancho. Llamemos l al largo y a al ancho.

a

l

No sabemos cuánto mide el largo, tampoco sabemos cuánto mide el ancho. Pero si sabemos la disposición de las mayólicas alrededor de la piscina.

¿Cuántas mayólicas se deben poner en l?

Se necesitan l + 2 mayólicas, tanto en la parte superior como en parte inferior.

¿Cuántas mayólicas se deben poner en a?

Se necesitan a mayólicas, tanto a la izquierda como a la derecha.

Entonces el número total de mayólicas que se necesitan es:

2 (l +2) + 2a


Clase Nº 77. Funciones (1)

Tenemos una máquina que se encarga de transformar los números.

En la entrada colocamos un número… ¡y a la salida se transformará en otro

número! Esto es una función y se representa con la letra f.

Observa:

Entrada

2

Regla

f (x) = x + 4

Salida

6

Completa la siguiente tabla. Nota que la regla es “aumentar 4 a x” o sea x + 4

f (x) = x + 41 5234510202530405075100

Graficamos las funciones:

Con diagramas de Venn.

Diagrama de f (x) = x + 4

1.

2.

3.

4.

5.

5.

6.

7.

8.

9.


Clase N º78. Ahorros. Funciones (2)

En mi alcancía, con forma de chancho, tengo una cantidad de ahorro. Si agrego 5 nuevos soles ¿qué cantidad tendré?

La función se representa con la letra:

f

Como se desconoce la cantidad de dinero que tengo en el chancho se coloca

una x entre paréntesis:

f (x)

Pero si conocemos la cantidad que vamos a depositar en el chanchito (5 nuevos soles) por lo tanto la función se escribiría así:

f (x) = x + 5

Donde x representa la cantidad que tengo en la alcancía y 5 soles el dinero que voy a depositar.

Vamos a construir una tabla:

f (x) = x + 5Si en mi chanchito tenía… Ahora tengo…

1234510152025

Diagrama de f (x) = x +5

1.

2.

3.

6.

7.

5.


Clase Nº 79. Préstamos. Funciones (3)

Una señora presta dinero. No importando la cantidad ella cobra el 10% de interés por mes. Con esta información:

¿Cuál sería la función?

La función se representa con la letra:

f

Como se desconoce la cantidad de dinero que va a prestar se coloca una x entre paréntesis:

f (x)

Pero si conocemos el interés que cobraría (10% al mes) por lo tanto la función se escribiría así:

f (x) = x + 10%

Donde x representa la cantidad que me van a prestar y 10% en interés que me van a cobrar (de manera mensual).

Vamos a construir una tabla. Nota: El 10% es lo mismo que la décima parte.

Si me presto x soles ¿cuánto tendré que devolver a fin de mes?

f (x) = x + 10%Si me presto… Tendré que devolver…

100 110200 22030050010002000500010 000

Clase Nº 80. Entradas.

La entrada para adultos cuesta 13 soles y la entrada para niños cuesta 6 soles. Una familia pagó 38 soles en total ¿cuál de las siguientes combinaciones corresponde a la familia?

A. 1 adulto + 3 niños B. 2 adultos + 1 niño

C. 2 adultos + 2 niños D. 3 adultos + 0 niños


Clase Nº 81. Caja Municipal Malpica. Funciones (4)

“En la Caja Municipal Malpica tu dinero se duplica” escuché en la radio. Entonces cogí un dinero que tenía guardadito y fui a la Caja Malpica. Me dijeron que podía ahorrar cualquier cantidad y que al cabo de cinco años la suma depositada se duplicaría.

Entonces empecé a sacar cuentas para decidir que cantidad iba a depositar en la Caja Malpica. Para ayudarme hice una función (realiza la función en tu cuaderno).

Clase Nº 82. Más préstamos. Funciones (5)

Un amigo estaba sobre endeudado, es decir debía a todos los bancos y cajas (y por largos años). Bien, mi amigo se encontró de pronto en un apuro: se enfermó su padre y necesitaba dinero urgente, pero ningún banco le quería prestar.

Entonces mi amigo fue donde la señora que presta dinero (ver pág. 69). Y ella le dijo:

- Por si acaso el interés subió, ya no cobró el 10% sino el 15% mensual.

- ¡Caray! -dijo mi amigo- ¡Y ahora que hago! ¿Me convendrá?

Mi amigo me vino a visitar y me contó su desventura. Yo le aconsejé:

- Te voy a dar dos consejos. En primer lugar no te endeudes demasiado, no vaya a ser que después no puedas pagar ¡y puedes quedar arruinado!

- ¿Y el segundo consejo? -dijo mi amigo.

- Tienes que hacer una función.

- ¡Pero yo no sé actuar como payaso, ni se hacer malabarismos! – contestó mi amigo poniéndose ambas manos a la cabeza y jalándose el poco cabello que le quedaba.

- Me refiero a una función algebraica –le dije, intentando calmarlo.

Vamos a darle una mano a nuestro amigo (realiza la función en tu cuaderno).

Clase Nº 83. Fracciones.

Hallar el valor de y, si:

y / 3 = 4


Clase Nº 84. Triángulos.

Problema: El perímetro de un triángulo equilátero es: 27 cm. Hallar la medida de cada lado. (4º - 6º grados)

Solución: Sabemos que un triángulo equilátero tiene los tres lados iguales.

x = un lado

x + x + x = 3 lados

Simplificando:

3x = 3 lados

Como la suma de los lados es igual a 27 cm. Entonces

3x = ______

La x representa la medida de un lado del triángulo. Entonces: ¿Qué número multiplicado por 3 da 27?

Sólo hay un número: el 9.

Reemplazamos:

3.9 = 27 cm

Entonces:

x = 9

Respuesta: Cada lado del triángulo equilátero mide 9 cm.

Grafica el triángulo. Coloca una x en cada lado.

x + x + x = 3x 3x = 27

En tu cuaderno:

a) Un cuadrado tiene 20 cm de perímetro (4x = 20)

b) Un pentágono tiene 50 cm de perímetro (5x = 50)

c) Crea más ejercicios similares y compártelos con tus compañeros.


Clase Nº 85. Rectángulo.

Tenemos un rectángulo con las siguientes medidas.

6x

2x

Hallar el perímetro del rectángulo.

Llamaremos l al largo y a al ancho.

Entonces un rectángulo es igual a:

l + l + a + a

Reemplazando:

6x + 6x + 2x + 2x

Sumamos:

16x

Respuesta: El perímetro del rectángulo es 16x

En tu cuaderno: a) Hallar el perímetro de los siguientes rectángulos:

Rectángulos

largo (l) ancho (a)4x 3x6x 5x8x 5x

10x 5x12x 7x15x 8x20x 12x24x 15x36x 22x55x 33x


Clase Nº 86. Ruleta

Tenemos la siguiente ruleta, en cada campo están marcados los números del 1 al 12.

¿Qué posibilidad tengo de que me salga un número par?

……………………………

¿Qué posibilidad tengo de que me salga un número impar?

……………………………

¿Qué posibilidad tengo de que me salga un seis o un doce?

…………………………..

¿Qué posibilidad tengo de que me salga un cinco o un ocho?

…………………………..


Clase Nº 87. Matrices (1)

La siguiente matriz representa el inventario de la ropa de una escuela.

Medium Large

Polos

Shorts

Casacas

¿Cuántas casacas de talla large tiene la escuela en stock?

a) 65

b) 175

c) 285

d) 550

¿Cuántos shorts de talla medium tiene la escuela en stock?

a) 425

b) 110

c) 230

d) 410

Clase Nº 88. Cambio de tarjetas.

En el 2010 María tiene una licencia de conducir, una tarjeta del Banco de la Nación y una tarjeta de crédito. La licencia de conducir es válida durante 4 años, la tarjeta del Banco de la Nación es para seis años y la tarjeta de crédito para tres años. ¿Cuál es el próximo año que va a tener que renovar las tres tarjetas en el mismo año?

a) 2015

b) 2021

c) 2022

d) 2033

250 420

425 550

110 175


Clase Nº 89. Matrices (2)

Las matrices que presentamos a continuación representan los datos los datos de ingresantes para dos universidades y las carreras que cada una ofrece.

Matriz - Universidad San Pedro

Derecho I. Civil Educación

Hombres

Mujeres

Matriz - Universidad Santiago Antúnez de Mayolo

Derecho I. Civil Educación

Hombres

Mujeres

¿Cuántas mujeres estudian Ingeniería Civil en las dos universidades?

a) 483

b) 714

c) 1001

d) 1197

¿Cuántos varones estudian educación en las dos universidades?

a) 993

b) 1003

c) 1023

d) 1013

Clase Nº 90. Doble

La frase “El doble de un número más uno”

Se puede escribir como una expresión algebraica, así: n x 2 + 1 =

En tu cuaderno. a) Escribe diverso valores para la variable x (por ejemplo, los números del 1 al 20). Resuelve las ecuaciones en una tabla.

483 216 512

492 341 438

387 267 501

509 373 389


Clase Nº 91. Elecciones.

El periódico “El Hocicón” quiere saber cuál de los dos candidatos, el Sr. Roso o la Sra. Güenza, ganará en las próximas elecciones. El diario lleva a cabo una encuesta en su sitio de Internet (http://www.elhocicon.com) con la siguiente pregunta:

"Si las elecciones fueran hoy ¿por cuál de los candidatos votaría usted: por el señor Roso o por la señora Güenza?”

¿Cuál de las razones, que a continuación presentamos, no es una fuente de sesgo de en esta encuesta?

A. La formulación de la pregunta a favor del Sr. RosoB. Algunos votantes potenciales no pueden leer el periódico “El Hocicón”.C. Algunos lectores del periódico no pueden tener acceso a Internet.D. Los lectores que estén interesados en las elecciones son más propensos a participar en la encuesta.

Clase Nº 92. Nevados

El Huascarán mide unos 6 800 m.s.n.m. El Pariacaca mide 3/4 de la altura del Huascarán ¿Cuál es la altura del nevado Pariacaca?

En tu cuaderno. a) Crea problemas similares relacionados con accidentes geográficos (ríos, lagos, montañas). b) Comparte los problemas creados con tus compañeros.

http://www.elhocicon.com/


Clase Nº 93. Tablas (1)

Observe la siguiente tabla y contesta ¿cuál de las siguientes expresiones corresponde a esta tabla?

n 1 2 3 4

¿? - 1 0 1 2

a) n – 5 b) n – 2

c) 2n – 3 d) 3n – 2

Clase Nº 94. Países

a) Rusia tiene una superficie de unos 17 000 000 km2. Si Brasil tiene la mitad de km2. ¿Cuál es la superficie de Brasil?

b) Canadá tiene una superficie de unos 9 900 000 km2. Si India la tercera parte de dicha extensión. ¿Cuál es la superficie de la India?

c) ¿Cuál es la superficie de México si sabemos que es la quinta parte que la de Canadá? La superficie de Canadá es de unos 9 900 000 km2

d) ¿Cuál es la superficie de Perú si sabemos que es la sexta parte que la de Australia? La superficie aproximada de Australia es de 7 700 000 km2.

Colorea en un mapamundi los países mencionados


Clase Nº 95. Tablas (2)

Observa la siguiente tabla con atención y contesta ¿cuál de las siguientes expresiones corresponde a esta tabla?

x 1 2 3 4

y 5 8 11 14

a) y = 4x b) y = x + 2

c) y = 3x + 2 d) y = 3x + 1

Clase Nº 96. Crecimiento de las plantas

Se deben de construir germinadores caseros (con vasitos descartables de plástico, algodón o aserrín y unas semillas de frejol o maíz). Unos alumnos construyeron un germinador y anotaron en una tabla el crecimiento de las plantitas obteniendo los siguientes resultados:

Tiempo(días)

Altura(cm)

Cambio(cm)

0 02 0 04 0 06 1 18 2 1

10 4 212 6 214 7,5 1,516 8,5 118 8,5 020 9 0,5

¿Por qué crees que el cambio en el crecimiento de la planta es variable?

……………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………

Crea una gráfica con esta información. En el eje x anota el tiempo en días, en el eje y anota la altura en centímetros.

¿Es una gráfica lineal? ¿Por qué?


Clase Nº 97. Magia (2)

Comenzamos con una adivinanza que puedes proponer a un amigo:

1. Piensa un número

2. Multiplícalo por 2

3. Añade 5 al resultado

4. Multiplica lo que has obtenido por 5

5. Añade 75 al resultado

6. Multiplica el resultado por 10

7. Dime el número que te sale y te diré el número inicial.

¿Podrías encontrar el truco?

1. n (es el número que pensamos al principio)

2. 2n

3. 2n + 5

4. 5(2n + 5)

5. 5(2n + 5) + 75

6. 10 [5(2n + 5) + 75]

Ahora tenemos que dar un paso más…

Simplificando:

10 [5(2n + 5) + 75]

10 [10n + 25 + 75]

100n + 1 000

Entonces, según el número que te diga tu amigo en el paso 7, tendremos:

Entonces si te dice tu amigo que le sale 3300, entonces puedes recuperar el valor inicial de n=23 deshaciendo la operación: restando 1000 y dividiendo por 100 el resultado. Esto se reduce a una regla rápida de cálculo como es restar un dígito a la cifra del millar y quitar los ceros a la cifra resultante:


Vamos a resolver ecuaciones, recuerdas las clases de la balanza (pág. 56), pues bien, esas balanzas son ecuaciones. Vamos a culminar este libro de Álgebra Fácil mostrándote tres maneras de resolver ecuaciones.

Clase Nº 98. Resolver ecuaciones con diagramas

Calcula un número tal que si a su doble le sumamos 5 obtenemos el número 325.

Al número que vamos a calcular lo llamaremos a

Si hablamos del doble del número tendremos 2a

Luego a esta expresión le debemos sumar 5

La ecuación correspondiente será: 2a + 5 = 325

Un diagrama de esta ecuación sería:

a x 2 2a +5 325

Si "deshacemos" el diagrama, es decir, si aplicamos al número 325 las operaciones inversas a las realizadas con "a" en sentido contrario:

160 2 320 -5 325

Es decir, a = 160.

En tu cuaderno. Resuelve gráficamente estas ecuaciones:

a) b)

c) d)

e) f)

g) h)


Clase Nº 99. Por ensayos sucesivos

Volvamos a una de las ecuaciones que dejamos atrás (pág. 73)

n – 2 = 4

Hallar el valor de n.

El valor de n que buscamos es aquel que “cuando le quitamos 2 queda 4”.

Para ayudarnos en esta tarea vamos a construir una tabla. Y vamos a asignarle diversos valores a n, hasta dar con el valor exacto.

n 1 2 3 4 5 6 …

n – 2 -1 0 1 2 3 4 …

Aquí nos detenemos por que hallamos que el valor de n es 6, por que el valor 6 satisface a la ecuación. Reemplazamos:

n – 2 = 4

6 – 2 = 4

Clase Nº 100. Gráficamente

Sistema de coordenadas cartesianas

El sistema de coordenadas cartesianas está formado por dos rectas; una horizontal y otra vertical, ambas rectas se intersecan en el punto 0 de cada recta. Las dos rectas son llamados ejes.

Estos dos ejes dividen el plano cartesiano en 4 secciones llamadas cuadrantes. Estos cuadrantes son numerados en forma “contra el reloj” del I al IV de la siguiente forma:


Cada punto en el plano se puede identificar por un par de números llamado par ordenado. El primer numero del par, que se llama la abcisa; está en la recta horizontal, el eje de x. El segundo numero del par se llama la ordenada que se encuentra en la recta vertical, el eje de y.

(1, 4)

Eje de x Eje de y Abcisa Ordenada

Los números negativos y positivos se colocan de la siguiente manera (trataremos de los números positivos en Algebra Fácil II):

El sistema de coordenadas es usada además de localización de puntos en el plano, para graficar el conjunto de soluciones de ecuaciones de dos variables como:

y = 4x + 8

y = x2 + 2x + 5

3y = 5x + 8

Recuerda: x es una variable, y es otra variable.

Si en las ecuaciones encontramos dos letras (la variable x y la variable y), entonces es una ecuación de dos variables.


Un ejemplo

Digamos que queremos hacer la gráfica de la ecuación lineal y = 3x + 7

Hay que asignar valores a la x y resolverlo para encontrar el valor de y. Con los resultados se formaran los puntos de la gráfica.

Para encontrar los puntos de la ecuación y = 3x + 7 vamos a utilizar la siguiente tabla para organizar el trabajo. Le daremos a la x los valores 0, 1 y 2.

x y

0

1

2

Cuando la x es 0

Y = 3x + 7 Y = 3(0) + 7 Y = 0 + 7 Y = 7 [Cuando la x es 0, la y es 7]

Cuando la x es 1

Y = 3x + 7 Y=3(1) + 7 Y= 3 + 7 Y = 10 [Cuando la x es 1, la y es 10]

Cuando la x es 2

Y = 3x + 7 Y= 3(2) + 7 Y= 6 + 7 Y = 13 [Cuando la x es 2, la y es 13]


x y

0

1

2

Y asi se resuelve con cada valor que le quieras dar a la x de la tabla. Es por esto que x se llama la variable independiente, ya que le puedes dar cualquier valor de su dominio, que son los valores permitidos para la x. En el caso de está ecuacion lineal, x puede ser cualquier número real, pero en nuestro estudio se encontrarán ecuaciones que tienen restricciones en su dominio.

Veamos como queda la gráfica de la ecuación y = 3x + 7. (Ver Parte

Para verificar que un punto sea solucion de la ecuación hay que hacer lo siguiente:

1. Sustituir la abcisa por x. 2. Sustituir la ordenada por la y. ( siempre recordar la forma {x,y} ) 3. Resolver la ecuación. 4. Si resulta ser igualdad, entonces el punto es solucion de la ecuación.


Ejemplo 1 : ¿ Es ( 3,11) una solucion a la ecuación y = 2x + 5?

Y = 2x + 5 11 = 2(3) + 5 < Sustituir los puntos por x y y> 11 = 6 + 5 < Resolver> 11 = 11 < Hay igualdad>

Quiere decir que el punto (3,11) es una solucion a la ecuación.

Ejemplo 2: ¿ Es (2,8) una solucion de la ecuación y = 2x + 5?

y = 2x + 5 8 = 2(2) + 5 < Se sustituyo la x y la y> 8 = 4 + 5 < Resolver> 8 = 9 <FALSO, no es solucion>

El punto (2,8) no es solucion.

Interceptos, pendiente y ecuación de la recta

Las ecuaciones lineales son siempre de la forma:

y = mx + b

Donde m es la pendiente y la b es el intercepto en y.

El intercepto en y esta expresada por: (0,b) y es donde la recta corta el eje de y El intercepto en x esta expresada por: (a,0) y es donde la recta corta el eje de x.

Si la ecuación es y = 2x + -6, el intercepto en y seria:

(0,-6)

Ejemplo 1: Buscar el intercepto en y de la ecuación y = 3x + -5.

Solucion: En este caso, la b es -5; quiere decir que el intercepto en y es (0, -5)

Ejemplo 2: Buscar el intercepto en y de la ecuación y = 4x.

Solucion: En este caso, la b no está presente en la ecuación, pero la ecuación y = 4x equivale a y = 4x + 0. Por lo tanto, el intercepto en y es (0, 0).

Ejemplo 3: Buscar el intercepto en y de la ecuación 3y = 18x + 24


Solucion: ¡Ojo! El intercepto en y no es 24, hay que fijarse bien que la ecuación no esta en su forma y = mx + b, hay que despejar de la siguiente manera:

3y = 18x + 24 3 3 3

y = 6x + 8 < Ahora, esta en su forma y = mx + b. El intercepto en y es (0,8)>

La Pendiente

La pendiente es la inclinación de una recta. Una forma de calcular la pendiente de una recta usando la siguiente fórmula. Dado dos puntos (x1,y1), (x2,y2),que están en una recta L, la inclinación o la pendiente m de la recta de determina mediante

m = y2 - y1 x2 - x1

La pendiente es la la razon de cambios de x y y. . Esta puede ser positiva, negativa, puede ser 0 y en algunos casos, la pendiente esta indefinida.


......


...

.

Ejemplo1: Buscar la pendiente de los puntos (2,4) y (3,6)

m = y2 - y1 = 6 - 4 = 2 = 2 x2 - x1 3 - 2 1

La pendiente es 2.

A veces, tenemos dos puntos, y queremos hallar la ecuación de la recta que pasa por estos puntos. Primero, hay que determinar la pendiente de la recta, y para hallar la ecuación, utilizamos la ecuación y = mx + b donde m es la pendiente de la recta y b es el intercepto de b.

Ejemplo: Buscar la ecuación de la recta que pasa por los puntos (1,5) y (0,9).

M = y2 - y1 = 9 - 5 = 4 = -4 x2 - x1 0 - 1 -1


La pendiente es -4. Ahora, hay que buscar el intercepto en y. En este caso, ya está dado por (0,9)

Si la pendiente es -4, y el intercepto (0,9) entonces la ecuación es:

y = -4x + 9

Nota: Para buscar el intercepto en y, hay que siempre fijarse que la ecuación este en su forma

y = mx + b. Si no lo esta, hay que expresarla respecto a y.

Ejemplo: 9x - 3y = 12 <No esta en la forma y = mx + b>

-3y = -9x + 12 <Dejar la y sola, pasar el 9x opuesto>

-3y = -9x + 12 <Dividir entre 3 para despejar la y> -3 -3 -3

y = 3x - 4

Ya esta en su forma y = mx + b, y su intercepto en y es -4.

Tambien se puede conseguir el intercepto en y , sustituyendo la x por 0.

Intercepto de x

Para buscar el intercepto en x, se sustituye la y por 0 en la ecuación.

Ejemplo: y = 9x + 5 0 = 9x + 5 -9x = 5

-9x = 5

-9 -9

x = -5/9

El intercepto en y es (-5/9, 0)

Forma punto - pendiente

Hay otra manera para buscar una ecuación lineal, cuando se conoce un punto y la pendiente, utilizando la fórmula punto - pendiente:

y - y1 = m (x -x1)


Ejemplo: Buscar la ecuación de la recta que pasa por el punto (3,-7) y tiene pendiente de 8.

m= 8

y - y1 = m (x - x1) y - (-7) = 8(x -3) <Se sustituyó> y + 7 = 8x - 24 <Propiedad distributiva> y = 8x - 24 -7 <Se resuelve hasta dejarlo en y=mx+b> y = 8x - 31

Ir a ejercicios de práctica

Fuente:

http://ponce.inter.edu/cremc/eclineal.html

Ver también:

http://www.juntadeandalucia.es/averroes/iesarroyo/matematicas/materiales/3eso/algebra/identyecua/identyecua.htm

Algebra. Millas de dispersión.



http://ponce.inter.edu/cremc/eclineal.html

http://ponce.inter.edu/cremc/ejercicios.html


La siguiente tabla indica las millas recorridas por un avión y las millas que le faltan para llegar a su destino.

Millas recorridas Millas para llegar a su destino2 404 365 357 339 3114 2616 2418 2221 1924 16

Ver las alternativas gráficas en:

http://cpd.ccsd.net/math/pdfs/Spring05%20Prof%20Exam.pdf

(Pag. 7)

Algebra. Ejercicios.


(Pag. 47)

Potencias

Clase Nº 00. Potencias de base dos.

Utilizando tu calculadora, completa la siguiente tabla:

Potencias de base dos Valor de cada potencia

21 2

22 4

23 8

24 16

25

26

27

28



http://cpd.ccsd.net/math/pdfs/Spring05%20Prof%20Exam.pdf


29

210

a) Marcos dice que si encuentra el valor de 212, dicho valor “termina” en seis. Explica, por escrito, si lo que plantea Marcos es cierto o no.

……………………………………………………………………………………………

b) Sin calcularlo, ¿puedes decir en qué cifra terminará el valor de 213?; ¿y el de 215? Explica, por escrito, cómo hiciste para encontrar las respuestas a las preguntas anteriores.

En esta actividad se puede observar que la expresión

212 = 4096 es un hecho aritmético, pero la conclusión: “la cifra de las unidades del valor de toda potencia de dos cuyo exponente sea un múltiplo de cuatro es siempre 6”, es una ley y, por lo tanto, una generalización que estructura los cálculos con estas potencias particulares.

Diagrama cartesiano

Algebra. Diagrama cartesiano (1)

Ubica puntos en un diagrama cartesiano: un cuadrante.

Algebra. Diagrama cartesiano (2)

Ubica puntos en un diagrama cartesiano: cuatro cuadrantes.

http://cpd.ccsd.net/math/pdfs/PreAlgebra8S1Practice.pdf

(Pag. 2)

Algebra. Seriaciones.

¿Qué número continúa en la siguiente secuencia?

- 13, – 9, - 5, - 1,…

A. 1, 5, 9

B. 3, 7, 11

C. 4, 8, 12

D. 5, 9, 13

http://cpd.ccsd.net/math/pdfs/PreAlgebra8S1Practice.pdf


Algebra. Tablas (1)

¿Qué ecuación coincide con los datos de la tabla de abajo? (5º - 6º grados)

x y- 2 - 5- 1 - 30 - 11 12 3

A. y = x - 3

B. y = x + 1

C. y = -2x - 1

D. y = 2x – 1

Algebra. Ecuación (problema)

x² + 5x = 36

Resultado: 4 y (-9)

Problemas aditivos con números negativos

Anexo: En primer lugar, diferenciamos entre historias aditivas simples y problemas aditivos simples, como lo hacen Rudnitsky, Etheredge, Freeman y Gilbert (1995).


Una historia aditiva simple es una situación numérica que se describe con una adición a + b = c. Por ejemplo, la temperatura por la mañana en la ciudad era de 7 grados sobre cero, a lo largo del día bajó 10 grados y por la noche ya era de 3 grados bajo cero. Cada historia aditiva cuyo esquema es a + b = c da lugar a tres problemas aditivos simples, en función de cuál de las tres cantidades anteriores se convierte en incógnita. Diremos que los problemas son de incógnita 1, 2 o 3 según que la incógnita sea a, b o c, respectivamente y los denotaremos por i1, i2 e i3.

En segundo lugar, distinguimos los diversos usos de los números:

♦ Estados (e), que expresan la medida de una cantidad de una cierta magnitud asociada a un sujeto en un instante —“debo 2”—;

♦ Variaciones (v), que expresan el cambio de un estado con el paso del tiempo —“perdí 2”—; y

♦ Comparaciones (c), que expresan la diferencia entre dos estados —“tengo 2 más que tú”—.

La consideración de esos tres usos de los números da lugar a diferentes estructuras de historias y de problemas. En este trabajo se han utilizado las estructuras más usuales en la enseñanza:

♦ Combinación de estados (e + e = e). Ejemplo: Pedro tiene 3 euros y debe 15 euros. ¿Cuál es su situación económica total?

♦ Variación de un estado (e + v = e). Ejemplo: Un delfín estaba a 5 metros bajo el nivel del mar y bajó 8 metros. ¿Cuál era la posición del delfín después de este movimiento?

♦ Comparación de estados (e + c = e). Ejemplo: Un coche está en el kilómetro 6 a la izquierda del cero y una moto está 11 kilómetros a la derecha del coche. ¿Cuál es la posición de la moto?

♦ Combinación de variaciones sucesiva (v + v = v). Ejemplo: La temperatura bajó 11 grados y luego subió 5 grados. ¿Cómo varió la temperatura con respecto a la que hacía antes de moverse?


(Pag. 4)

Diferentes investigaciones han estudiado la resolución de estos problemas por parte de alumnos de primaria o secundaria (Bell, 1986; Bruno y Martinón, 1997b; Marthe, 1979; Vergnaud, 1982; Vergnaud y Durand 1976). Estas investigaciones, de corte muy diferente unas de otras, han estudiado entre otros aspectos:



(a) la dificultad de los problemas,

(b) los tipos de representaciones (esquemas, recta numérica) y (

c) los procedimientos y estrategias de resolución.


(Pag. 4)

En el punto (a) nos centraremos en la estructura de los problemas y la posición de la incógnita.

Hablaremos de dos métodos de enseñanza de los problemas aditivos:

♦ Método redactar. Los alumnos redactan enunciados de historias y luego de problemas, aprenden a distinguir sus estructuras, los intercambian con sus compañeros y los resuelven.

♦ Método resolver. Los alumnos practican de forma sistemática una amplia variedad de problemas que se les proponen secuenciados en orden de dificultad según la posición de la incógnita.


(pag. 5)

A modo de ejemplo, entre las historias del método redactar presentadas a los alumnos encontramos las cuatro siguientes:

Todo junto (e + e = e)

Julián está haciendo cuentas para comprarse un ordenador. Para ello, repasa cómo está su situación económica en los bancos donde tiene ingresado el dinero. Pide los extractos de sus cuentas bancarias y observa que en el banco Nova tiene 125.367 pesetas y en el banco Universal debe 237.550 pesetas. Julián concluye que debe 112.183 pesetas, por lo que decide dejar la compra del ordenador para más adelante.

Algo ocurre (e + v = e)

Un soldado vigila una muralla. La muralla tiene una puerta en su centro 0. El soldado estaba 16 metros a la izquierda de la puerta cuando oyó un ruido que provenía del lado derecho de la muralla. Caminó hacia la derecha 35 metros y se paró al comprobar que había sido una falsa alarma. En ese momento decidió sentarse a descansar, miró hacia la puerta y comprobó que estaba a 19 metros por el lado derecho de la misma.

Compara (e + c = e)




Roberto es un hombre de negocios que viaja a distintos países. Hoy se encuentra en Roma, donde ha trabajado muy duro en un día agradable. De hecho, observó en un termómetro que la temperatura era de 21 grados sobre cero. Ahora está haciendo su maleta porque mañana se marcha a París. No sabe qué ropa coger, por lo que va a mirar en un periódico la temperatura de París en ese día. Decide coger su ropa de abrigo al calcular que en París tuvieron ese día 24 grados menos que en Roma, ya que la temperatura en París había sido de 3 grados bajo cero.

Dos cambios (v + v = v)

Ana normalmente regresa a casa desde el instituto en combi y siempre suele estar bastante lleno. Un día que viajaba en la guagua, agobiada por la cantidad de gente que iba en ella, pensó: “¡Si no cabe nadie más! ¿Cómo puede recoger más gente?” Contó el número de personas que subían y bajaban en esa parada y comprobó que bajaron 13 personas y luego subieron 7. “¡Uf!, el número de personas ha descendido en 6 con respecto a las que viajábamos antes de esta parada”, pensó Ana más tranquila.


(Pag. 12)



Propiedad Asociativa


Propiedad Conmutativa

Propiedad Distributiva

Identidad


Inversa


Dos demostraciones al Teorema de Tales

http://www.teachersparadise.com/ency/es/wikipedia/t/te/teorema_de_pitagoras.html

“El Famoso Teorema de Pitágoras”

http://docenciaymatematica.blogspot.com/2009/03/el-famoso-teorema-de-pitagoras.html






Ecuaciones con balanzas y pesas (1)

Primero tendríamos que nombrar los objetos que aparecen con símbolos que los representen.

Veamos que tenemos en el platillo de la izquierda: la pesa desconocida, tres pesas verdes y una anaranjada; en el platillo de la derecha: dos pesas anaranjadas y cuatros pesas verdes.

Pero que característica de las pesas nos interesa, no es la forma, no es el color, es el peso y todo lo que tenemos a la izquierda pesa igual que lo que está a la derecha.

Para saber el peso total de un platillo tenemos que sumar los pesas de cada una de las pesas, es decir, tenemos que usar el símbolo “+”.

El equilibrio del platillo representa la igualdad de pesos, representaremos dicho equilibrio con el signo “=”.

Veamos como nos queda la situación inicial en símbolos:

Resolviendo las sumas simplificamos la expresión y nos queda:

Podemos aún ser muchos más claros y dejar la expresión simbólica más simple.

http://www.roberprof.com/2010/02/21/ecuaciones-con-balanzas-y-pesas

http://www.roberprof.com/2010/02/21/ecuaciones-con-balanzas-y-pesas


Ecuaciones con balanzas y pesas (2)

Ver: http://www.roberprof.com/2010/03/01/de-las-balanzas-y-las-pesas-a-las-ecuaciones

Ahora expresemos todo en símbolos:

Situación inicial:

Restando 9 en ambos lados de la ecuación:

Restando una x en ambos lados de la ecuación:

Para quedarnos con un tercio en cada lado de la ecuación dividimos por 3:

Como un tercio de tres x es una sola x, y además 3:3 es 1, podemos escribir:

Por último verifiquemos que la solución encontrada sea la correcta:

En hora buena.

http://www.roberprof.com/2010/03/01/de-las-balanzas-y-las-pesas-a-las-ecuaciones

http://www.roberprof.com/2010/03/01/de-las-balanzas-y-las-pesas-a-las-ecuaciones


Ecuaciones (1)

Expliquen en cada ecuación los procedimientos utilizados para pasar de un renglón al otro:

-.-.-.-

-.-.-.-


Ecuaciones (2)

Resuelvan los siguientes ejercicios usando sus conocimientos previos

1) Indiquen qué números deben ir en las líneas punteadas para que las siguientes expresiones sean verdaderas.

a) 6 + …… = 14

b) 11 – …… = 5

c) 6 . …… = 78

2) Decidan, en cada caso, en cuál de las opciones los paréntesis fueron resueltos correctamente.

a) 21 – (13 + 5 – 8 ) = 21 – 13 – 5 + 8

21 – (13 + 5 – 8 ) = 21 – 13 + 5 – 8

b) 34 + (17 – 12 – 3) = 34 – 17 – 12 – 3

34 + (17 – 12 – 3) = 34 + 17 – 12 – 3

3) El hermano de Marcelo tiene 9 años. Si Marcelo tiene 3 años más que el doble de la edad de su hermano, ¿cuál es la edad de Marcelo?

4) Helena también tiene tres años más que el doble de la edad de su hermano. Si la edad de Helena es 13 años, ¿cuántos años tiene su hermano?

Ecuaciones. Concepto y clases.

Una ecuación es una igualdad entre dos expresiones en las cuales por lo menos debe existir una incógnita.

Las expresiones deben contener operaciones matemáticas con números e incógnitas.

La o las incógnitas se representan con letras, normalmente se utiliza un letra x pero no es una regla.

Ejemplos de ecuaciones:

1.

2.

3.

4.


5.

6.

7.

8.

Hagamos algunas consideraciones acerca de los ejemplos:

Las ecuaciones 1 a 7 tienen una incógnita, la ecuación 8 tiene dos incógnitas.

Las ecuaciones 2, 3 y 5 tienen una incógnita que aparece más de una vez en la ecuación, el valor de la incógnita es el mismo en toda la ecuación.

Las tres primeras ecuaciones y la última reciben el nombre de ecuaciones lineales, las incógnitas solo intervienen en las operaciones de suma, resta y multiplicación por un número.

La ecuación 4 recibe el nombre de ecuación cuadrática y la 5 el nombre de ecuación cúbica, los nombres se derivan de los exponentes de las incógnitas.

La ecuación 6 recibe el nombre de ecuación racional, dado que la incógnita aparece en el denominador de una fracción o también podríamos decir como divisor en una división.

La ecuación 7 recibe el nombre de ecuación irracional, dado que la incógnita se encuentra bajo el signo radical.

Respondan:

¿Por qué la expresión no es una ecuación?

¿Por qué la expresión tampoco es una ecuación?

http://www.roberprof.com/2009/06/11/divisor

http://www.roberprof.com/2009/10/18/fraccion

http://www.roberprof.com/wp-content/uploads/2010/02/balanza.jpg


Solución de una ecuación

Decimos que un valor es una solución de una ecuación si al reemplazarlo en la misma tenemos una igualdad numérica.

Ejemplo:

En la ecuación la solución es Veriquemos:

Si hay una sola incógnita la solución obviamente se reemplaza por ella, pero si hay más de una incógnita debemos nombrar cada una.

En la ecuación Una solución es Verifiquemos:

En una ecuación no siempre la ecuación es única, puede haber más de una o quizás infinitas soluciones.

En la ecuación Una solución es Otra solución es Verifiquemos:

También hay ecuaciones donde no hay solución.

En la ecuación no hay solución Una explicación que podríamos dar sería: ningún número puede ser igual a sí mismo aumentado en 5.

Entonces, podemos clasificar las ecuaciones de acuerdo al número de soluciones:

Ecuaciones Soluciones

Compatibles determinadas Cantidad finita

Compatibles indeterminadas

Infinitas


Incompatibles Sin solución

Ecuaciones y problemas geométricos

Planteen la ecuación correspondiente a este enunciado: “Hallar el lado de un triángulo equilátero cuyo perímetro es de 21 cm”. Resuelvan la ecuación.

Solución:

Un triángulo equilátero tiene todos sus lados iguales y el perímetro de un triángulo es la suma de los tres lados del mismo, entonces si llamamos x a la longitud de un lado del triángulo podemos escribir:

x + x + x = 21 cm

3x = 21 cm

x = 7 cm

Rta: Cada lado mide 7 cm

Uno de los ángulos agudos de un triángulo rectángulo mide la mitad de lo que mide el otro. ¿Cuánto mide cada ángulo?

Solución:

Hay que recordar dos cosas para comenzar a escribir la ecuación que permite resolver el problema: un triángulo rectángulo tiene un ángulo recto cuya amplitud es de 90° y que la suma de los tres ángulos de cualquier triángulo es siempre 180°.


Decir que un ángulo mide la mitad de otro es equivalente a decir que el segundo mide el doble que el primero.

Con esa información podemos escribir:

Ángulo 1 + Ángulo 2 + Ángulo 3 = 180°

x + 2x + 90° = 180°

3x + 90° = 180°

3x = 90°

x = 30°

Rta: Un ángulo mide 30° y el otro 60°.

Cuadrado de un binomio

Vamos a analizar los casos más sencillos de cuadrados de un binomio, por ejemplo:

(a + b)2 =

Por definición de cuadrado.

= (a + b) . (a + b)

Por propiedad distributiva.

= a . (a + b) + b . (a + b)

Por propiedad distributiva.

= aa + ab + ba + bb

Por definición de cuadrado y propiedad conmutativa.

= a2 + ab + ab + b2

Por suma de expresiones algebraicas semejantes.

= a2 + 2ab + b2


Algebra. Crecimiento de las plantas.

(3º - 6º grados)

Como parte de un proyecto científico, los estudiantes podrían plantar semillas e ir anotando el crecimiento de la planta. Utilizando los datos de la tabla y la gráfica pueden describir cómo varía la tasa de cambio a través del tiempo. Por ejemplo, uno podría expresar dicha tasa diciendo: “Mi planta no creció durante los primeros cuatro días; en los dos días siguientes, creció despacio; luego empezó a crecer más deprisa y, después, otra vez despacio”. En esta situación, los alumnos no se fijan simplemente en el tamaño que alcanza la planta cada día, sino en lo que ha ocurrido entre las alturas registradas. Este trabajo es precursor para, más tarde, prestar más atención sobre lo que representa la pendiente de una recta.

http://sferrerobravo.wordpress.com/2009/04/21/early-algebra-%C2%BFalgebra-en-primaria/tabla-planta/

algebra fácil - versión 1.1

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