algebra 1.1
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ÁlgebraCompendio de Ciencias I-A
31SISTEMA HELICOIDAL
MOTIVACIÓN
Los Árabes fueron los verdaderos sistematizadores del Álgebra.
A fines del siglo VIII floreció la escuela de Bagdad a la que pertenecían al Juarismi, al Batani y Omar K.hayyan. A l Juarismi, persa del siglo IX, escribió el primer libro de Algebra y le dio nombre a esta ciencia.
Al Batani, sirio (858 - 929), aplicó el Algebra a problemas astronómicos. Y Omar Khayyan persa del siglo XII, conocido por sus poemas escritos en «Rubayat», escribió un tratado de Algebra. «Querer es poder, tú quieres, luego puedes».
Concepto : Es la operación que consiste en multiplicar un número llamado base tantas veces como factor, como lo indica otro llamado exponente, para obtener un resultado llamado potencia. Así tenemos:
Notación:
donde: b base n exponente P potencia Luego:
Ejemplos:
•
Es base : 2 Es exponente : 5 Es potencia : 32
•
Es base : –3 Es exponente : 4 Es potencia : 81
•
•
•
•
Donde:
POTENCIACIÓN
OBJETIVOS
Las leyes de exponentes tiene por objeto estudiar todas las clases de exponentes que existen y las relaciones que se dan entre ellos; y la operación que da origen al exponente es la potenciación.
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32 PASCUAL SACO OLIVEROS
Es base :
Es exponente : 4
Es potencia :
•
•
• (a+b)3=(a+b)(a+b)(a+b)
Recíprocamente de acuerdo a la definición de potenciación se verifica:
•
•
•
•
Ejemplos Diversos: • –34 = –3 × 3 × 3 × 3 = –81 • (–3)4=(–3)(–3)(–3)(–3)=+81 • (3x)4 = (3x) (3x) (3x) (3x) • 3x4 = 3x x x x • (–3x)4 = (–3x) (–3x) (–3x) (–3x) • –3x4 = – 3 x x x x
•
•
(*) –bn ≠ (–b)n
(**)
Identificación de una base y su exponente:
• En:
• En:
* En :
En el Exponente anterior: , se tiene: Exp. = x2
Base = x
LEY DE LOS SIGNOS EN LA POTENCIACIÓN
Ejemplos: • (+2)4=+24
(24) = 16
• (+x)32 = x32
(x)32 = x32
Ejemplos: • (+2)5=+25
(2)5 = 32
• (+x)17 =+x17
(x)17 = x17
Ejemplo: • (–2)6=+26
(–2)6 = 64 • (–x)18=+x18
(–x)18 = x18
Ejemplo: • (–2)5 = – 25 (–2)5 = – 32 • (–x)21 = – x21
(1º) Es conveniente indicar la diferencia entre:–34 y (–3)4
(*) En: – 34; el exponente no afecta al signo.
(*) En: (–3)4; el exponente si afecta al signo. (–3)4=+34
Por ello: –34 (–3)4
(2º) Debes tener presente lo siguiente:
(i) con
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33SISTEMA HELICOIDAL
Ejemplos: • 123 = 1 • 1128 = 1 • 1–25 = 1
(ii) Ejemplos: • (–1)16 = 1 • (–1)328 = 1
(iii) Ejemplos: • (–1)17 = –1 • (–1)5 = –1
(iv) con Ejemplos: • 017=0 • 0120=0 • 01256 =0
Para realizar diversas operaciones a través de la po-tenciación es necesario recordar las potencias más
usuales:
POTENCIAS MÁS USUALES :
LEYES DE EXPONENTES Los exponentes se rigen a través de leyes, normas que estudiaremos a continuación:
Objetivos:• El objetivo es capacitar al alumno a poder identificar los diferentes tipos de exponentes y las relaciones que se dan entre ellos,
luego dar paso a la solución de ejercicios mediante reglas prácticas de exponentes.
Para un mayor entendimiento en este capítulo, las leyes de exponentes lo dividimos en 3 partes:
(1º) Leyes de Los Exponentes I (2º) Leyes de los Exponentes II (3º) Leyes de los Exponentes III A continuación pasaremos a desarrollar las respectivas
leyes contenidas en cada grupo.
LEYES DE EXPONENTES I Aqui mencionaremos las leyes que son usuales dada su forma en que se presentan:
1. Ley del exponente Cero
siempre y cuando : b 0 Ejemplos: • (3)0=1 • 30 = 1
• (–3)0=1 • –30 = –1
• 3x0=3(1)=3 • (3x)0 = 1
• • 3(a+b)0 = 3(1) = 3
• – 3x0y = –3(1)y = –3y
0ºesindeterminado
2. Ley del exponente Uno
El exponente uno ya no se escribe, se sobreentiende Ejemplos:
• 51 = 5 •
• • (a+b)1=(a+b)
• 3x1 = 3x •
3. Ley del exponente de Exponentes: (cadena de expo-nentes)
Para desarrollar esta expresión se toma los 2 últimos términos (base y exponente), luego se va transfor-mando de arriba hacia abajo, tomando de 2 en 2 los términos.
Ejemplos: (*) Desarrollar:
Luego: (*) Desarrollar:
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Luego:
4. Ley del exponente Negativo
con b 0
*Caso Particular
con: a; b 0 Ejemplos:
•
•
•
• Tambien:
•
•
•
Recíprocamente:
• •
• •
•
Si la forma del exponente es negativo:
Entonces transformamos a una expresión fraccionaria
I. Problema desarrollado
1. Indicar de las proposiciones que afirmaciones son correctas:
A) (F)
B) (F)
C) (V)
RESOLUCION
A) La proposición es falsa
B)
Es falso la proposición
C)
La proposición es verdadera
II. Problema por desarrollar2. Indicar cuales de las afirmaciones son verdaderas (V)
o falsas (F):
A) ................... ( )
B) ............ ( )
A) ........................... ( )
RESOLUCION
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35SISTEMA HELICOIDAL
1. Hallar el resultado de:
A)
B)
2. Efectuar:
A)
B)
Rpta.: .......................................................
3. Efectuar:
A)
B)
Rpta.: .......................................................
4. Efectuar:
A)
B)
Rpta.: .......................................................
5. Efectuar:
Rpta.: .......................................................
6. Efectuar:
Rpta.: .......................................................
7. Efectuar:
Rpta.: .......................................................
8. Efectuar:
Rpta.: .......................................................9. Efectuar:
Rpta.: .......................................................
10. Efectuar:
Rpta.: .......................................................
11. Calcular:
Rpta.: .......................................................
12. Efectuar:
Rpta.: .......................................................
13. Calcular:
Rpta.: .......................................................
14. Calcular:
Rpta.: .......................................................
15. Efectuar:
Rpta.: .......................................................
16. Efectuar:
Rpta.: .......................................................
17. Efectuar:
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1. Calcular:
A) –9 B) 27 C) –27 D) 3 E) 6
2. Calcular:
A) 12 B) 17 C) –15 D) 19 E) –20
3. Calcular:
A) 13 B) 15 C) 16 D) 11 E) 5
4. Efectuar:
A) 10 B) 9 C) 7 D) 6 E) 5
5. Calcular:
A) 5 B) 6 C) 1/6 D) –6 E) 1/5
Rpta.: .......................................................
18. Efectuar:
Rpta.: .......................................................
19. Calcular:
Rpta.: .......................................................
20. Calcular:
Rpta.: .......................................................
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37SISTEMA HELICOIDAL
LEYES DE EXPONENTES II Aquí mencionamos las Leyes que rigen a los exponentes de acuerdo a las operaciones usuales que presentan las diversas expresiones.1. Multiplicación de Bases Iguales
; En forma extensiva:
Ejemplos: •
•
•
•
•
•
Recíprocamente:
•
•
•
2. División de Bases Iguales
con b 0 Ejemplos:
•
•
•
Si se tiene:
Luego obtendremos:
Regla Práctica : “La base resultante lleva como exponente una forma
particular; donde el exponente del numerador mantie-ne su exponente, mientras el exponente denominador va a pasar con signos opuestos”
Ejemplos:
•
•
•
Ejemplos Diversos:
•
•
•
Se observa:
OBJETIVOS
MOTIVACIÓN
«Cada uno de nosotros en cierta medida ha nacido bueno, mediocre o malo, pero al igual que la inteligencia. El sentido moral puede ser desarrollado por la educación, la disciplina y la fuerza de voluntad».
Buscar que el alumno logre dominar las diversas operaciones que se da con los exponentes establecidos como leyes.
El camino a recorrer con estas leyes nos permitirá desarrollar a través de los ejercicios su capacidad de razonamiento.
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38 PASCUAL SACO OLIVEROS
•
3. Potencia de Potencia
;
Ejemplos:
•
•
•
•
•
•
Recíprocamente:
•
•
•
Si se tiene:
m•n = n•m
Luego se cumple:
Ejemplos:
•
•
•
no confundir:
Pues:
4. Potencia de un Producto
•
•
Ejemplos:
•
•
•
•
Recíprocamente:
(*)
(*)
(*)
Nota:
5. Potencia de un Cociente
; con b 0
Ejemplos:
•
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39SISTEMA HELICOIDAL
1. Efectuar:
a) =
b) =
2. Efectuar:
a) =
b) =
Rpta.: .......................................................
•
•
•
I. Problema desarrollado
1. Indicar de las proposiciones que afirmamos son correctas:
a) (F)
b) (V)
c) (F) RESOLUCION
A)
La proposición es falsa
B)
La proposición es verdadera
3. Efectuar:
a) =
b) =
Rpta.: .......................................................
4. Efectuar:
C)
La proposición es falsa
II. Problema por desarrollar
2. Indicar cuales de las proposiciones son verdaderas (V) o falsas (F):
a) .......................... ( )
b) .......................... ( )
c) .......................... ( )
RESOLUCION
Recíprocamente:
•
•
•
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40 PASCUAL SACO OLIVEROS
a) =
b) =
Rpta.: .......................................................
5. Efectuar:
=
Rpta.: .......................................................
6. Efectuar:
=
Rpta.: .......................................................
7. Efectuar:
=
Rpta.: .......................................................
8. Efectuar:
=
Rpta.: .......................................................
9. Efectuar:
=
Rpta.: .......................................................
10. Efectuar:
=
Rpta.: .......................................................
11. Efectuar:
=
Rpta.: .......................................................
12. Efectuar:
=
Rpta.: .......................................................
13. Efectuar:
=
Rpta.: .......................................................
14. Efectuar:
=
Rpta.: .......................................................
15. Efectuar:
=
Rpta.: .......................................................
16. Efectuar:
=
Rpta.: .......................................................
17. Efectuar:
=
Rpta.: .......................................................
18. Efectuar:
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41SISTEMA HELICOIDAL
1. Simplificar:
A) 3 B) 5 C) 7 D) 4 E) 6
2. Efectuar:
A) B) C)
D) E)
3. Reducir:
A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5
4. Calcular el exponente final de x en:
A) 9 B) –9 C) 18
D) –27 E) 27
=
Rpta.: .......................................................
19. Efectuar:
=
Rpta.: .......................................................
20. Efectuar:
Si
Calcular :
= Rpta.: .......................................................
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LEYES DE LOS EXPONENTES III Las siguientes leyes están dadas para la transformación de expresiones afectadas por el símbolo de una raíz.
1. Exponente Fraccionario
con n 2 Ejemplos:
• •
•
Si se tiene
(se sobreentiende el índice 2)
Ejemplos:
• •
2. Potencia de una Raíz
; con n 2 Ejemplos:
•
•
•
•
Si se tiene
Luego: Para fines prácticos:
(1º) Si m = 1:
(2º) Si m ≠ 1: Ejemplos:
•
•
•
•
•
•
•
•
La porque:
La porque:
La porque: S
La porque:
La porque:
La porque:
OBJETIVOS
MOTIVACIÓN
«El tiempo que gastas en averiguar vidas ajenas, debes emplearlo en reconocer tus defectos, tus aspiraciones y los actos de tu propia vida».
Lograr que el alumno domine las leyes relacionadas a exponentes fraccionarias y los radicales, los cuales son muy importantes dado sus diversas aplicaciones en otras materias. Esto será posible a través de la práctica que efectuemos con los diversos ejercicios.
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43SISTEMA HELICOIDAL
Sabemos que: Si hacemos: m = n, se tendrá:
Luego:
En forma similar:
Ejemplos:
•
•
•
•
•
•
•
Se cumple; dadas las siguientes formas::
⇒
:
⇒
:
⇒
Ejemplos:
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
3. Raíz de una Multiplicación
•
•
Ejemplos:
•
•
• •
Recíprocamente:
•
•
•
•4. Raíz de una División
•
Ejemplos:
•
•
•
• Recíprocamente:
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•
•
•
•
5. Raíz de Raíz
•
•
Ejemplos:
•
•
•
•
•
PROPIEDADES AUXILIARES
• .....................................................(I)
• ................................................... (II)
• ...............................................(III)
• ................................(IV)
• ................................. (V)
• ......(VI)
Propiedad de Raíz de Raíz
:
:
Ejemplos Diversos:
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
Ejemplos de las formas de Raíz de Raíz:Efectuar:
•
•
•
Desarrollar:
•
•
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45SISTEMA HELICOIDAL
1. Efectuar:
a)
b)
2. Efectuar:
a)
b)
Rpta.: .......................................................
3. Efectuar:
a)
b)
Rpta.: .......................................................
4. Efectuar:
Rpta.: .......................................................
5. Simplificar:
I. Problema desarrollado
1. Indicar de las proposiciones que afirmaciones son correctas:
A) (V)
B) (F)
C) (V)
RESOLUCION
A)
La proposición es verdadera
B)
9 . 3 = 9 27 = 9 La proposición es falsa
C)
La proposición es verdadera
II. Problema por desarrollar2. Indicar cuales de las proposiciones es verdadera (V) o
falsa (F):
A) ....................... ( )
B) ....................... ( ) C)
....................... ( )
RESOLUCION
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46 PASCUAL SACO OLIVEROS
Rpta.: .......................................................
6. Simplificar:
Rpta.: .......................................................
7. Simplificar:
Rpta.: .......................................................
8. Simplificar:
Rpta.: .......................................................
9. Simplificar:
Rpta.: .......................................................
10. Simplificar:
Rpta.: .......................................................
11. Simplificar:
Rpta.: .......................................................
12. Simplificar:
Rpta.: .......................................................
13. Simplificar:
Rpta.: .......................................................
14. Simplificar:
Rpta.: .......................................................
15. Simplificar:
Rpta.: .......................................................
16. Simplificar:
Rpta.: .......................................................
17. Simplificar:
Rpta.: .......................................................
18. Simplificar:
Rpta.: .......................................................
19. Simplificar:
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1. Hallar la expresión equivalente:
A)
B)
2. Reducir:
A) 1 B) 3 C) 9
D) 27 E) 30 3. Reducir:
A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 8 4. Calcular:
A) B) C)
D) E)
5. Calcular:
A) 1 B) 2 C) 3 D) 5 E) 7
Rpta.: .......................................................
20. Simplificar:
Rpta.: .......................................................