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Algebra Abstracta.

28 de diciembre de 2007

Indice general

1. Grupos. 51.1. Semigrupos, monoides y grupos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.1.1. Ejemplos de grupos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.2. Subgrupos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.3. Morfismos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.4. Subgrupos normales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.4.1. Relaciones de equivalencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.4.2. Subgrupos normales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.5. Teorema del factor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151.6. Generadores de subgrupos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

1.6.1. Subgrupo generado por un conjunto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161.6.2. Grupos cıclicos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

1.7. Automorfismos interiores. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191.8. Teoremas de isomorfismos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

1.8.1. Teorema de correspondencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201.8.2. Teoremas de isomorfismos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

1.9. Grupos abelianos de tipo finito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

2. Acciones de grupos. 23

3

4 INDICE GENERAL

Capıtulo 1

Grupos.

El concepto de grupo es esencial en el estudio del algebra.

1.1. Semigrupos, monoides y grupos

Sea G un conjunto no vacıo. Una operacion binaria o ley de composicion sobre G esuna funcion G × G → G. La imagen por la ley de composicion del par (a, b) ∈ G × G sedenota como ab (notacion multiplicativa), o tambien como a + b (notacion aditiva). En lamayor parte del curso, usaremos la notacion multiplicativa y nos referiremos a ab como elproducto de a y b.

Definicion 1 Sea G un conjunto no vacıo y G×G→ G una operacion binaria sobre G. Sedice que

1. La ley de composicion es asociativa si a(bc) = (ab)c para todo a, b, c ∈ G.

2. La ley de composicion es conmutativa si ab = ba para todo a, b ∈ G.

3. Un elemento e ∈ G es un elemento neutro o identidad o unidad de la ley decomposicion si

ae = ea = a para todo a ∈ G.

4. Un elemento b ∈ G es un inverso de a ∈ G si ab = ba = e.

Observacion 1 Generalmente, la notacion aditiva se utiliza cuando la ley de composiciones conmutativa.

Definicion 2 Sea G un conjunto no vacıo equipado con una ley de composicion sobre G .

1. Se dice que G es un semigrupo si

a) la ley de composicion es asociativa

2. Se dice que G es un monoide si

a) G es un semigrupo,

b) la ley de composicion tiene un elemento neutro eG ∈ G.

5

6 CAPITULO 1. GRUPOS.

3. Se dice que G es un grupo si

a) G es un monoide,

b) Todo a ∈ G tiene un inverso.

4. Se dice que G es un grupo abeliano si G es un grupo y la ley de composicion esconmutativa.

El orden de un grupo G es su cardinal (numero de elementos), y se escribe como |G|. Se diceque el grupo G es finito si |G| <∞. En caso contrario, se dice que G es infinito.

El siguiente teorema muestra la unicidad del neutro y del inverso de cada elemento en ungrupo.

Teorema 1 Sea G un conjunto no vacıo equipado de una ley de composicion.

1. Si G es un monoide, entonces el elemento neutro e es unico. En este caso, denotaremoseG al unico neutro de G.

2. Si G un grupo, entonces:

a) c ∈ G y cc = c, ⇒ c = eG.

b) (Cancelacion por la izquierda) a, b, c ∈ G y ab = ac⇒ b = c.

c) (Cancelacion por la derecha) a, b, c ∈ G y ba = ca⇒ b = c.

d) Para todo a ∈ G, su elemnto inverso es unico. En este caso, denotaremos a−1 alunico inverso de a.

e) Para todo a ∈ G, (a−1)−1 = a.

f) Para todo a, b ∈ G, (ab)−1 = b−1a−1.

Demostracion: Si G es un monoide, entonces por definicion existe un elemento neutro e ∈ G.Veamos que este es unico: si e′ ∈ G es otro elemnto neutro, entonces e = ee′ = e′. Luego,e = e′ y, por lo tanto, e es unico.

Supongamos que G es un grupo, y probemos las afirmaciones (a)-(f).(a) Sea c ∈ G tal que cc = c. Entonces c−1(cc) = c−1c⇒ (c−1c)c = c−1c⇒ eGc = eG ⇒ c =eG.

(b) Sean a, b, c ∈ G tales que ab = ac. Luego,

ab = ac ⇒ a−1(ab) = a−1(ac)⇒ (a−1a)b = (a−1a)c⇒ eGb = eGc

⇒ b = c

(c)Ejercicio.

(d) Sea a ∈ G. Dado que G es un grupo, existe un inverso a−1 para a. Veamos que este esunico: si a′ ∈ G es otro inverso para a, entonces aa′ = eG = aa−1. Utilizando la cancelacionpor la izquierda, concluımos que a′ = a−1, lo que prueba la unicidad del inverso.

1.1. SEMIGRUPOS, MONOIDES Y GRUPOS 7

(e) Ejercicio

(f) Ejercicio.�

Observacion 2 A veces un grupo G se denota por (G, ·), donde · indica la operacion binariaque se utiliza.

1.1.1. Ejemplos de grupos.

N ∪ {0}, equipado con la suma como ley de composicion, es un monoide.

Z, Q, R y C, cada uno equipado con la suma como ley de composicion, es un grupoabeliano.

Q \ {0}, R \ {0} y C \ {0}, cada uno equipado con la multiplicacion como ley decomposicion, es un grupos abeliano.

Raıces de la unidad

Sean n un entero positivo y G el subconjunto de C de todas las raıces n-esimas de la unidad.Es decir,

G = {e2iπr/n : r ∈ {0, · · · , n− 1}}.

La multiplicacion de numeros complejos restringida a G×G es una ley de composicion sobreG. Con esta ley de composicion, G es un grupo abeliano finito. En efecto:

La multiplicacion en C es asociativa, por lo que tambien es asociativa en G,

G tiene neutro y este es igual a e2iπ0/n = 1.

Sea r ∈ {0, · · · , n− 1}. El elemento e2iπr/n tiene inverso y este es igual e2iπ(n−r)/n.

La multiplicacion en C es conmutativa, por lo que tambien es conmutativa en G. Luego,G es abeliano,

El cardinal de G es |G| = n <∞. Luego, G es finito.

Conjunto de matrices invertibles con la multiplicacion.

Sean n ≥ 2 un entero y K = Q,R o C. Se define

GL(n,K) = {A ∈Mn×n(K) : A es invertible }.

El conjunto GL(n,K), equipado con la multiplicacion de matrices, es un grupo. En efecto:

La multiplicacion de matrices es asociativa enMn×n(K). Luego, es asociativa enGL(n,K).

GL(n,K) tiene neutro, y este es igual a la matriz identidad In ∈Mn×n(K).

Toda matriz A ∈ GL(n,K) tiene un inverso, y este igual a la matriz inversa A−1.

Como la multiplicacion de matrices no es conmutativa, GL(n,K) no es abeliano.


Conjunto de funciones biyectivas con la composicion de funciones.

Sean X un conjunto no vacıo y G = {f : X → X : f es invertible }. La composicion defunciones es una ley de composicion sobre G. El conjunto G, equipado de la composicion defunciones, es un grupo. En efecto:

La composicion de funciones es asociativa,

La funcion identidad id : X → X es el neutro para la composicion de funciones,

para todo f ∈ G su inversa f−1 es el inverso de f para la composicion de funciones.

El grupo (G, ◦) no siempre es abeliano, como lo muestra el proximo ejemplo.

Grupo de permutaciones

Sea n ≥ 2 un entero. Definimos los conjuntos

Bn = {1, · · · , n} y Sn = {σ : Bn → Bn : σ es biyectiva }.

Sn equipado con la composicion de funciones es un grupo (es un caso particular del ejemploanterior). Este grupo se conoce con el nombre de grupo de permutaciones de n elementos.Los elementos de Sn se llaman permutaciones, y σ ∈ Sn se anota

σ =(

1 · · · nσ(1) · · · σ(n)

),

o simplementeσ = (σ(1) · · ·σ(n)) .

(Sn, ◦) es un grupo finito, con |Sn| = n!.Si n = 2, las unicas permutaciones son id = (12) y σ = (21). Luego, como σ ◦ id = id ◦σ = σ,el grupo S2 es abeliano.

Si n ≥ 3, Sn no es abeliano. Para verificarlo, basta tomar las siguientes dos permutaciones

σ =(

1 2 3 4 · · · n2 3 1 4 · · · n

)y τ =

(1 2 3 4 · · · n2 1 3 4 · · · n

),

y comprobar que τ ◦ σ 6= σ ◦ τ .

Producto directo

Sean G1 y G2 dos grupos. Considere el producto G = G1×G1 = {(g1, g2) : g1 ∈ G1, g2 ∈ G2}.Se define la siguiente operacion binaria sobre G:

(g1, g2)(h1, h2) = (g1g2, h1h2), para todo g1, h1 ∈ G1 y g2, h2 ∈ G2.

Entonces G equipado con esta operacion es un grupo, cuyo elemento neutro es (eG1 , eG2).Ademas, el inverso de (g1, g2) esta dado por (g−1

1 , g−12 ), para todo (g1, g2) ∈ G.

Similarmente, para n ≥ 3 grupos G1, · · · , Gn, el producto

G = G1 × · · · ×Gn = {(g1, · · · , gn) : gi ∈ Gi para todo 1 ≤ i ≤ n}

1.2. SUBGRUPOS 9

equipado con la operacion binaria coordenada a coordenada, es un grupo.De manera mas general, sea I un conjunto de ındices, y para cada i ∈ I, sea Gi un grupo. Elproducto G =

∏i∈I Gi es el conjunto definido por∏

i∈I

Gi = {(xi)i∈I : xi ∈ Gi, para todo i ∈ I}.

Sobre este conjunto se define la operacion binaria coordenada a coordenada dada por

(xi)i∈I(yi)i∈I = (xiyi)i∈I para todo (xi)i∈I , (yi)i∈I ∈ G.

El conjunto G, equipado con la operacion binaria coordenada a coordenada, es un grupo cuyoelemento neutro es (eGi)i∈I . Ademas, el inverso de (xi)i∈I esta dado por (x−1

i )i∈I , para todo(xi)i∈I ∈ G. Al grupo G se le llama el producto directo de la familia {Gi}i∈I .

De lo anterior se deduce que Zn,Qn,Rn y Cn, cada uno equipado con la suma coordenada acoordenada, es un grupo.

1.2. Subgrupos

Definicion 3 Sea G un grupo. Se dice que H ⊆ G es un subgrupo de G si satisface las dospropiedades siguientes:

H es cerrado para la ley de composicion, i.e,

xy ∈ H, para todo x, y ∈ H.

H, equipado con la restriccion a H ×H de la ley de composicion, es un grupo.

Se dice que un subgrupo H de G es trivial si H = {eG}. Observe que este es el subgrupo”mas pequeno”de G.

Ejercicio 1 Sea G un grupo. Pruebe que H ⊆ G es un subgrupo de G si y solo si las siguientestres propiedades son ciertas:

1. H es cerrado para la ley de composicion.

2. eG ∈ H.

3. Para todo x ∈ G, su inverso x−1 ∈ H.

Proposicion 1 (Caracterizacion de subgrupos) Sea G un grupo. Un subconjunto H de G esun subgrupo de G si y solo si las siguientes dos propiedades son ciertas:

1. H 6= ∅.

2. xy−1 ∈ H, para todo x, y ∈ H.


Demostracion:Si H ⊆ G es un subgrupo entonces, por Ejercicio 2, eG ∈ H. Luego, H 6= ∅. Si x, y ∈ Hentonces, nuevamente por Ejercicio 2, tenemos que y−1 ∈ H. Como H es cerrado por la leyde composicion, concluımos que xy−1 ∈ H.

Supongamos que H ⊆ G satisface las propiedades 1. y 2. de la Proposicion. Como H 6= ∅,existe x ∈ H. Luego, la propiedad 2. implica que eG = xx−1 ∈ H. Ya que eG ∈ H, de lapropiedad 2. sigue que si x ∈ H, entonces eGx−1 = x−1 ∈ H. Sean x, y ∈ H. De lo probadoanteriormente se tiene que y−1 ∈ H. Luego, propiedad 2. implica que xy = x(y−1)−1 ∈ H.Finalmente, por Ejercicio 2, concluımos que H es un subgrupo de G. �

Ejercicio 2 Sea G un grupo y sea {Gi}i∈I una familia de subgrupos de G. Pruebe que H =⋂i∈I Gi es un subgrupo de G.

1.3. Morfismos

Una manera de relacionar dos espacios X e Y es por medio de alguna funcion f : X → Y .Dependiendo de la estructura que tengan X e Y , es el tipo de funcion que se escoge. Porejemplo, si X e Y son espacios vectoriales, lo natural es exigir que f sea una funcion lineal.Cuando X e Y son grupos, las funciones que interesan son los morfismos u homomorfismos.

Definicion 4 Sean G y H dos grupos. Un morfismo u homomorfismo entre G y H esuna funcion f : G→ H que satisface la siguiente propiedad:

f(xy) = f(x)f(y) para todo x, y ∈ G.

En palabras, un morfismo entre dos grupos G y H es una funcion entre G y H que preservala estructura de grupo.

Ejercicio 3 Sean G y H dos grupos, y f : G→ H un morfismo. Pruebe que

Si eG y eH son los elementos neutros de G y H, respectivamente, entonces f(eG) = eH .

f(g−1) = f(g)−1, para todo g ∈ G.

Sean G y H dos grupos. Un morfismo f : G→ H recibe el nombre de

monomorfismo si es inyectivo.

epimorfismo si es epiyectivo.

isomorfismo si es biyectivo.

endomorfismo si H = G.

automorfismo si es biyectivo y H = G.

Definicion 5 Se dice que los grupos G y H son isomorfos, lo que se escribe como G ∼= H,si existe un isomorfismo f : G→ H.

Ejercicio 4 Sea f : G→ H un morfismo entre los grupos G y H. Entonces:

1.4. SUBGRUPOS NORMALES. 11

Si G1 ⊆ G es un subgrupo de G, entonces f(G1) es un subgrupo de H.

Si H1 ⊆ H es un subgrupo de H, entonces f−1(H1) es un subgrupo de G.

Definicion 6 Sea f : G→ H un morfismo entre los grupos G y H.

Se define el nucleo o kernel de f como el conjunto

Ker(f) = f−1({eH}) = {x ∈ G : f(x) = eH}.

Se define la imagen de f como el conjunto

Im(f) = f(G) = {f(x) : x ∈ G}.

Ejercicio 5 Sea f : G→ H un morfismo entre los grupos G y H. Pruebe que Ker(f) es unsubgrupo de G, y que Im(f) es un subgrupo de H.

La siguiente Propisicion entrega una caracterizacion de los morfismos inyectivos.

Proposicion 2 Sea f : G→ H un morfismo entre los grupos G y H. Entonces

f es inyectiva si y solo si Ker(f) = {eG}.

Demostracion: Supongamos que f es inyectiva. Como f(eG) = eH , entonces eG ∈ Ker(f). Six ∈ Ker(f) entonces f(x) = f(eG) = eH , pero como f es inyectiva, es necesario que x = eG.Luego, Ker(f) = {eG}.

Supongamos que Ker(f) = {eG}. Sean x, y ∈ G tales que f(x) = f(y). Entonces tenemos que

f(x)f(y)−1 = eH ⇒ f(x)f(y−1) = eH

⇒ f(xy−1) = eH

⇒ xy−1 ∈ Ker(f).

Luego, por hipotesis, xy−1 = eG, lo que implica que x = y. �

1.4. Subgrupos normales.

1.4.1. Relaciones de equivalencia

Sea X un conjunto no vacıo. Una relacion sobre X es un subconjunto R de X ×X. Se diceque x ∈ X esta relacionado segun R con y ∈ X (lo que anotaremos x ∼R y, o simplementex ∼ y, si no hay confusion) si y solo si (x, y) ∈ R.Se dice que R es una relacion de equivalencia si cumple las siguientes propiedades:

Reflexividad: x ∼ x para todo x ∈ X.

Simetrıa: para todo x, y ∈ X, x ∼ y ⇒ y ∼ x.

Transitividad: para todo x, y, z ∈ X, x ∼ y e y ∼ z ⇒ x ∼ z.


Si R es una relacion de equivalencia, se define la clase de equivalencia de x ∈ X como

[x]R = [x] = {y ∈ X : x ∼ y}.

Observacion 3 Notar que x ∼ y si y slo si [x] = [y].

La coleccion de clases de equivalencia de R forma una particion de X.Al conjunto de clases de equivalencia de R se le llama conjunto cuociente y se denotaX/ ∼R o simplemente X/ ∼.

Definicion 7 Sea G un grupo. Se dice que la relacion de equivalencia ∼ sobre G es com-patible con la ley de composicion si

para todo x1, x2, y1, y2 ∈ G, x1 ∼ y1 y x2 ∼ y2 ⇒ x1x2 ∼ y1y2.

Sea G un grupo y sea ∼ una relacion de equivalencia compatible con la ley de composicion.Sobre X/ ∼ la siguiente ley de composicion esta bien definida

[x][y] = [xy], para todo x, y ∈ G.

En efecto, si x′ ∈ [x] e y′ ∈ [y], entonces, por definicion de relacion compatible, se tiene quex′y′ ∼ xy. Es decir, [x′y′] = [xy].Llamaremos ley inducida a esta ley de composicion sobre G/ ∼.

Proposicion 3 Sea G un grupo y sea ∼ una relacion de equivalencia compatible con la leyde composicion. El conjunto cuociente G/ ∼, equipado con la ley de composicion inducida,es un grupo.

Demostracion: La asociatividad de la ley inducida se hereda de la asociatividad de la ley decomposicion de G. La clase [eG] es el elemento neutro para la ley inducida. Luego, el inversode [x] es [x−1], para todo [x] ∈ G/ ∼.

�

Ejercicio 6 Sean G un grupo y ∼ una relacion de equivalencia compatible con la ley decomposicion.Pruebe que la funcion ν : G→ G/ ∼ definida por ν(x) = [x] es un morfismo epiyectivo.

Definicion 8 Sean G un grupo y ∼ una relacion de equivalencia compatible con la ley decomposicion.Al epimorfismo ν : G→ G/ ∼, definido por ν(x) = [x], se le llama epimorfismo canonicoo sobreyeccion canonica.

Ejercicio 7 Sean G un grupo y ∼ una relacion de equivalencia compatible con la ley decomposicion. Pruebe que

[eG] ⊆ G es el kernel de ν : G→ G/ ∼.

Para todo x ∈ G e y ∈ Ker(ν), se tiene que x−1yx ∈ Ker(ν).

1.4. SUBGRUPOS NORMALES. 13

1.4.2. Subgrupos normales

Hemos visto que el Kernel de un morfismo f : G→ H es un subgrupo de G. En lo que sigue,trataremos de caracterizar tales subgrupos.En el Ejercicio 7, se prueba que el kernel de un epimorfismo canonico ν satisface

x−1Ker(ν)x ⊆ Ker(ν), para todo x ∈ G.

En realidad, se puede probar un resultado mas general, como la muestra la siguiente proposi-cion.

Proposicion 4 Sea f : G→ H un morfismo entre los grupos G y H. Entonces

x−1Ker(f)x = Ker(f), para todo x ∈ G.

Demostracion: Sean x ∈ G e y ∈ Ker(f). Tenemos que

f(x−1yx) = f(x−1)f(y)f(x)= f(x)−1eHf(x)= f(x)−1f(x)= eH .

Luego, x−1yx ∈ Ker(f). Como x e y son arbitrarios, hemos probado que

x−1Ker(f)x ⊆ Ker(f), para todo x ∈ G. (1.4.1)

Por otro lado, si y ∈ Ker(f) entonces y = x−1xyx−1x. Por (1.4.1) aplicado a x−1, deducimosque xyx−1 ∈ H. Luego, y = x−1xyx−1x ∈ x−1Ker(f)x, lo que prueba que

x−1Ker(f)x = Ker(f), para todo x ∈ G.

�

Definicion 9 Sea G un grupo. Un subgrupo H de G se dice normal si

x−1Hx = H, para todo x ∈ G.

La frase ”H es un subgrupo normal de G”se abrevia por H �G.

Ejercicio 8 Sea H un subgrupo de G. Probar que

x−1Hx = H ⇔ x−1Hx ⊆ H.

Luego, H �G⇔ x−1Hx ⊆ H para todo x ∈ G.

Ejercicio 9 Si G es un grupo abeliano, entonces todo subgrupo de G es normal.

De la Proposicon 4 concluımos que el kernel de un morfismo es un subgrupo normal. Veremosque cualquier subgrupo normal es el kernel de algun morfismo.


Definicion 10 Sea H ⊆ G un subgrupo. Se define la siguiente ralcion sobre G

x ∼H y ⇔ x−1y ∈ H.

Proposicion 5 Sea H ⊆ G un subgrupo.

La relacion ∼H es de equivalencia.

La clase de equivalencia de x ∈ G es el conjunto xH. Este conjunto recibe el nombrede clase derecha de x.

La relacion ∼H es compatible con la ley de composicion si y solo si H �G.

Demostracion: El primer y el segundo punto quedan como ejercicio.

Para probar el tercer punto, supongamos primero que ∼H es compatible con la ley de com-posicion. Sean x ∈ G y h ∈ H. Tenemos que eG ∼H h, pues e−1

G h = h ∈ H, y x ∼H x, puesla relacion es refleja. Luego, como la relacion es compatible, obtenemos que eGx ∼H hx. Esdecir, x−1(hx) = x−1hx ∈ H. Entonces, como x y h son arbitrarios, concluımos que

x−1Hx ⊆ H, para todo x ∈ G,

lo que es equivalente a H �G.

Supongamos ahora que H � G. Sean x1, x2, y1, y2 ∈ G tales que x1 ∼H x2 e y1 ∼H y2,lo que equivale a decir que x−1

1 x2 ∈ H e y−11 y2 ∈ H. Ya que H es normal, tenemos que

y−12 (x−1

1 x2)y2 ∈ H. Luego, como y−11 y2 ∈ H y H es cerrado para la ley de composicion,

obtenemos (y−11 y2)y−1

2 (x−11 x2)y2 = (x1y1)−1(x2y2) ∈ H, lo que implica que x1y1 ∼H x2y2. �

Observacion 4 La relacion x ≈H y ⇔ yx−1 ∈ H, tambien es de equivalencia. La clase dex ∈ G segun esta relacion es igual a Hx (clase izquierda de x). En general, xH y Hx notienen porque coincidir. De hecho, xH = Hx, para todo x ∈ H ⇔ H �G.

La Proposicion 5 asegura que si H �G entonces el cuociente G/ ∼H , con la ley inducida, esun grupo.El cuociente G/ ∼H se denota G/H, lo que se lee como ”G modulo H”. Cuando H �G, sedice que G/H es el grupo factor de G por H.Ahora tenemos todas las herramientas para probar que cualquier subgrupo normal es el kernelde algun morfismo.

Proposicion 6 Sea H ⊆ G un subgrupo. Entonces

H es el kernel de un morfismo ⇔ H �G.

Demostracion: En la Proposicion 4 se probo que si H es el kernel de un morfismo, entoncesH �G.

Si H � G, entonces G/H es un grupo. Ademas, como [eG] = H, el kernel del epimorfismocanonico ν : G→ G/H es H. �

1.5. TEOREMA DEL FACTOR 15

Enteros modulo m

Sea m ≥ 0 un entero, y considere Z equipado con la suma. El conjunto mZ = {ma : a ∈ Z}es un subgrupo de Z. En efecto:

mZ 6= ∅, pues 0 = m0 ∈ mZ,

Si a, b ∈ Z, entonces −ma+mb = m(b− a) ∈ mZ.

Como Z es abeliano, mZ es un subgrupo normal y, por lo tanto, Z/mZ es un grupo con laley inducida.La clase de a ∈ Z en Z/mZ es el conjunto

[a] = a+mZ = {mk + a : k ∈ Z}.

Si b ∈ a + mZ se dice que ”a = b modulo m”. El conjunto Z/mZ tambien se denota comoZm, y se lee ”Z modulo m”.Observe que Z/mZ = {[0], · · · , [m− 1]}.

Proposicion 7 Los subgrupos de Z son todos de la forma mZ, con m ≥ 0.

Demostracion:Sea H ⊆ Z un subgrupo.Caso 1: si H = {0}, entonces H = 0Z.Caso 2: si H 6= {0}, entonces existe m = mın{a ∈ H : a > 0}. Sea h ∈ H un elementocualquiera, y sea k ∈ Z tal que km ≤ m < (k + 1)m. Tenemos que h = km + r, para algunr ∈ {0, · · · ,m− 1}. Como m ∈ H, entonces km y −km estan en H. Luego, h− km = r ∈ H.Ya que m es el elemento positivo mas pequeno en H, necesariamente r = 0. Luego, h = mk.�

De la Proposicion anterior, se desprende que los unicos grupos factores de Z por un subgruposon los grupos Z modulo m.

Ejercicio 10 Pruebe que Z ∼= Z/0Z.

1.5. Teorema del factor

Teorema 2 (Teorema del factor) Sea f : G → L un morfismo entre los grupos G y L. SeaH � G tal que H ⊆ Ker(f). Entonces existe un unico morfismo f : G/H → L que verificaf ◦ ν = f , donde ν : G→ G/H es el epimorfismo canonico.

G

ν��

f // L

G/H

f==zzzzzzzz

.


Demostracion: Primero mostremos la unicidad: si f1, f2 : G/H → L son dos morfismos talesque f1 ◦ ν = f = f2 ◦ ν, entonces para todo [x] ∈ G/H,

f1([x]) = f1 ◦ ν(x) = f(x) = f2 ◦ ν(x) = f2([x]),

lo que prueba que f1 = f2.

Si se tiene que [x] = [x′] ⇒ f(x) = f(x′), entonces la funcion f : G/H → L que a [x] ∈ G/H leasigna f(x), esta bien definida. Veamos que esto es cierto: Sean x, x′ ∈ G tales que [x] = [x′].Luego, x = x′h para algun h ∈ H. Entonces f(x) = f(x′h) = f(x′)f(h) = f(x′)eL = f(x′).Facilmente se comprueba que f es un morfismo que satisface f ◦ ν = f .

�

Proposicion 8 Sea f : G → L un morfismo entre los grupos G y L. Sea H � G tal queH ⊆ Ker(f), y sea f : G/H → L el morfismo que verifica f ◦ ν = f , donde ν : G → G/H.entonces

f es un epimorfismo ⇔ f es un epimorfismo.

f es inyectiva ⇔ Ker(f) = H.

Demostracion: Como ν es un epimorfismo, se tiene que ν(G) = G/H. Esto implica que

f(G) = f ◦ ν(G) = f(G/H).

Es decir, Im(f) = Im(f). Deducimos entonces que f es un epimorfismo si solo si f es unepimorfismo.

Tenemos que

Ker(f) = {[x] ∈ G/H : f([x]) = eL}= {[x] ∈ G/H : f(x) = eL}= {[x] ∈ G/H : x ∈ Ker(f)}

Luego, f es inyectiva ⇔ Ker(f) = {[eG]} ⇔ Ker(f) ⊆ H.�

Corolario 1 Si f : G → L es un epimorfismo entre los grupos G y L, entonces G/Ker(f)es isomorfo a L.En general, si f : G→ L es un morfismo, entonces G/Ker(f) es isomorfo a Im(f).

1.6. Generadores de subgrupos

1.6.1. Subgrupo generado por un conjunto

En el Ejercicio 2 se probo que la interseccion de subgrupos es nuevamente un subgrupo. Estopermite definir la nocion de subrupo generado por un conjunto.

1.6. GENERADORES DE SUBGRUPOS 17

Definicion 11 Sean G un grupo y A ⊆ G. El subgrupo generado por A se define como

〈A〉 =⋂

A ⊆ HH subgrupo de G

H.

El subgrupo generado por A es el subgrupo ”mas pequeno”que contiene a A. Es decir, siH ⊆ G es un subgrupo que contiene a A, entonces 〈A〉 ⊆ H.

Ejercicio 11 Sea G un grupo. Pruebe que

Si A ⊆ B ⊆ G entonces 〈A〉 ⊆ 〈B〉.

A es un subgrupo de G ⇔ 〈A〉 = A.

〈〈A〉〉 = 〈A〉.

Ejercicio 12 Sean G un grupo y {Gi}i∈I una coleccion de subgrupos normales de G. En-tonces

⋂i∈I Gi es un subgrupo normal de G.

En el Ejercicio 12 se probo que la interseccion de subgrupos normales es nuevamente unsubgrupo normal. Esto permite definir la nocion de subrupo normal generado por un conjunto.

Definicion 12 Sean G un grupo y A ⊆ G. El subgrupo normal generado por A es

〈A〉N =⋂

A ⊆ HH � G

H.

El subgrupo normal generado por A es el subgrupo normal mas pequeno que contiene a A.Es decir, si H �G y A ⊆ H, entonces 〈A〉N ⊆ H.

1.6.2. Grupos cıclicos.

Definicion 13 Sean G un grupo y a ∈ G. Para n ∈ Z se define

a0 = eG

an+1 = ana si n ≥ 0an = (a−n)−1 si n < 0.

Si se usa la notacion aditiva, an se escribe na.

Proposicion 9 Sean G un grupo y a ∈ G. Parar todo n,m ∈ Z se tiene

an+m = anam.

(an)m = anm.

Demostracion: Ejercicio. �


Proposicion 10 Sean G un grupo y A ⊆ G, A 6= ∅. Entonces

〈A〉 = {an11 · · · anm

m : n1, · · · , nm ∈ Z, a1, · · · , am ∈ A, m ∈ N}.

Demostracion: Sea

H = {an11 · · · anm

m : n1, · · · , nm ∈ Z, a1, · · · , am ∈ A, m ∈ N}.

Es claro que A ⊆ H. Luego 〈A〉 ⊆ H.Si H ′ ⊆ G es un subgrupo que contiene a A, entonces para todo n1, · · · , nm ∈ Z, a1, · · · , am ∈A y m ∈ N, H ′ contiene a an1

1 · · · anmm , pues H ′ es cerrado para la ley de composicion. Esto

implica que H ⊆ H ′ y, por lo tanto, H ⊆ 〈A〉. �

Definicion 14 Sea G un grupo. Se dice que G es cıclico si existe a ∈ G tal que

G = 〈{a}〉 = {an : n ∈ Z}.

Ejemplos

(Z,+) es cıclico. En efecto,

Z = 〈{1}〉 = 〈{−1}〉 .

Para m ≥ 1, el grupo Z/mZ, equipado con la suma inducida, es cıclico. En efecto,

Z/mZ = 〈{[1]}〉 .

Proposicion 11 Sea G es un grupo cıclico. Entonces

Si G es infinito, entonces G es isomorfo a Z.

Si |G| = m <∞, entonces G es isomorfo a Z/mZ.

Demostracion: Si G es cıclico, entonces existe a ∈ G tal que G = {an : n ∈ Z}. Definimos

f : Z −→ G

n −→ an

Es claro que f es un epimorfismo. Luego, por el Teorema del factor, G es isomorfo a Z/Ker(f).Como Ker(f) es un subgrupo de Z, la Proposicion 7 implica que existe k ≥ 0 tal que Ker(f) =kZ. Luego, G ∼= Z/kZ.Si G es infinito, entonces Z/kZ es infinito, lo que es posible s´lo si k = 0. Esto muestra quesi G es infinito entonces G ∼= Z. Si |G| = m <∞, entonces |Z/kZ| = k = m. �

1.7. AUTOMORFISMOS INTERIORES. 19

1.7. Automorfismos interiores.

Sea G un grupo. El conjunto de automorfismos de G se denota por Aut(G). Con la composi-cion de funciones, Aut(G) es un grupo.

Definicion 15 Sean G un grupo y a ∈ G. El automorfismo interior definido por a es lafuncion

Ia : G −→ G

x −→ axa−1

Ia es un automorfismo.

Ejercicio 13 Sean G un grupo, a ∈ G y b ∈ G. Probar que

Ia es un automorfismo.

Ia ◦ Ib = Iab

IeG = id.

(Ia)−1 = Ia−1.

Se define I : G→ Aut(G) como I(a) = Ia, para todo a ∈ G. Esta funcion es un morfismo degrupos, cuya imagen es el conjunto de los automorfismos interiores. Se tienen las siguientespropiedades:

Im(I) � Aut(G).

Ker(I) = {a ∈ G : ax = xa, para todo x ∈ G}.

Para mostrar la primera afirmacion, note que si f ∈ Aut(G), entonces

f−1 ◦ Ia ◦ f = If−1(a) ∈ Im(I).

La segunda afirmacion es directa.

Definicion 16 El centro de un grupo G es el kernel del morfismo I. Este se anota

Z(G) = {a ∈ G : ax = xa para tod x ∈ G}.

Por el Teorema del factor se tiene que G/Z(G) ∼= Im(I). Es decir, G/Z(G) es isomorfo algrupo de los automorfismos interiores.

Definicion 17 La operacion x→ axa−1 se llama conjugacion de x por a, y el automorfismointerior Ia es la conjugacion por a.


1.8. Teoremas de isomorfismos.

Definicion 18 Sea G un grupo, y sean H y K dos subgrupos de G. El compuesto de H yK es el grupo

HK =< H ∪K > .

Ejercicio 14 Probar que

HK = {(h1k1) · · · (hnkn) : h1, · · · , hn ∈ H, k1, · · · , kn ∈ K, n ∈ N}.

Proposicion 12 Sea G un grupo, y sean H y K dos subgrupos de G. Entonces

HK = KH.

Si H �G, entonces HK = {hk : h ∈ H, k ∈ K}.

Si H �G y K �G, entonces HK �G.

Demostracion: Para la primera parte, notar que

(h1k1) · · · (hnkn) = (eGh1)(k1h2) · · · (kn−1hn)(kneG) ∈ KH,

lo que prueba que HK ⊆ KH. De igual forma se prueba que KH ⊆ HK.

Si H � G, entonces para todo x ∈ G y h ∈ H, existe h′ ∈ H tal que xh = h′x. Luego, parah1, h2 ∈ H y k1, k2 ∈ K existe h3 ∈ H tal que

(h1k1)(h2k2) = (h1h3)(k1k2) = hk, con h = h1h3 ∈ H y k = k1k2 ∈ K.

Por induccion sobre n, se prueba que para todo h1, · · · , hn ∈ H y k1, · · · , kn ∈ K, existe h ∈ Hy k ∈ K tales que (h1k1) · · · (hnkn) = hk. Esto muestra que HK = {hk : h ∈ H, k ∈ K}.

La ultima parte se deduce de la segunda (ejercicio).�

Proposicion 13 Sea f : G → L un morfismo entre los grupos G y L. Para todo subgrupoH ⊆ G se tiene que f−1(f(H)) = Ker(f)H.

Demostracion: Sea x ∈ f−1(f(H)). Existe h ∈ H tal que f(x) = f(h). Entonces f(xh−1) =eL, lo que implica que x ∈ Ker(f)H. Esto muestra que f−1(f(H)) ⊆ Ker(f)H.Sea x ∈ Ker(f)H. Como Ker(f)�G, por la Proposicion 12, existen k ∈ Ker(f) y h ∈ H talesque x = kh. Luego, f(x) = f(kh) = f(h) ∈ f(H), lo que implica que x ∈ f−1(f(H)).

�

1.8.1. Teorema de correspondencia

Ejercicio 15 Sea f : G → L un morfismo entre los grupos G y L, y sea H un subgrupo deL. Pruebe que f−1(H) es un subgrupo de G tal que Ker(f) ⊆ f−1(H).

Ejercicio 16 Sea f : G → L un epimorfismo entre los grupos G y L, y sea H � G. Pruebeque f(H) � L.

1.8. TEOREMAS DE ISOMORFISMOS. 21

Teorema 3 (Teorema de correspondencia) Sea f : G → L un epimorfismo entre los gruposG y L. Entonces

Hay una biyeccion entre el conjunto de los subgrupos de G que contienen a Ker(f) y elconjunto de los subgrupos de L.

Hay una biyeccion entre el conjunto de los subgrupos normales de G que contienen aKer(f) y el conjunto de los subgrupos normales de L.

Demostracion: Definimos los siguientes conjuntos

C1 = {H ⊆ G : H es subgrupo de G y Ker(f) ⊆ H},C2 = {H ⊆ L : H es subgrupo de L},

C3 = {H ⊆ G : H �G y Ker(f) ⊆ H} y C4 = {H ⊆ L : H � L}.

La funcion φ : C1 → C2, dada por φ(H) = f(H), esta bien definida pues f(H) es un subgrupode L. Veamos que φ es biyectiva:

Sean H1 y H2 en C1 tales que f(H1) = f(H2). Entonces f−1(f(H1)) = f−1(f(H2)). Luego,por Proposicion 13, tenemos que Ker(f)H1 = Ker(f)H2. Pero Ker(f) esta contenido en H1

y H2, lo que implica que Ker(f)H1 = H1 y Ker(f)H2 = H2. Esto muestra que φ es inyectiva.

Sea H ∈ C2 y sea H ′ = f−1(H). Por Ejercicio 15, tenemos que H ′ ∈ C1. La epiyectividad def implica que f(H ′) = H. Lo que muestra que φ es epiyectiva.Hemos probado la primera parte del Teorema. Para mostrar la segunda parte, note que larestriccion φ|C3 → C4 esta bien definida (ver ejercicio 16). Ademas es inyectiva, pues es larestriccion de una funcion inyectiva. Para probar que es epiyectiva, basta mostrar que siH ′ ∈ C4 y H ∈ C1 es tal que f(H) = H ′, entonces H �G. �

1.8.2. Teoremas de isomorfismos

Teorema 4 (Primer Teorema de isomorfismos) Sea f : G → L un epimorfismo entre losgrupos G y L. Sea H � G tal que Ker(f) ⊆ H. Entonces la funcion f : G/H → L/f(H),definida por f([x]H) = [f(x)]f(H), es un isomorfismo.

Demostracion: Por ejercicio 16, f(H) � L. Luego, G/H y L/f(H), equipados con la leyinducida, son grupos.Sea ν1 el epimorfismo canonico de L en L/f(H), y sea f = ν1 ◦ f . La funcion f es unepimorfismo, pues ν1 y f lo son. Luego, por el Teorema del factor, la funcion f : G/Ker(f) →L/f(H), definida por f([x]Ker(f)) = f(x) = [f(x)]f(H), es un isomorfismo.

Por otro lado, Ker(f) = H, lo que prueba el Teorema.�

Del Teorema 4, tenemos el siguiente diagrama

G

ν2

��

f //

f

%%JJJJJJJJJJ L

ν1

��G/H

f // L/f(H)

.


Corolario 2 Sea f : G→ L un epimorfismo entre los grupos G y L, y sea H ′ �L. Entoncesla funcion f : G/f−1(H ′) → L/H ′, definida por f([x]f−1(H′)) = [f(x)]H′, es un isomorfismo.

Demostracion: Sea H = f−1(H ′). El Teorema de correspondencia implica que H �G. Luego,por Teorema 4, tenemos que f es un isomorfismo. �

Ejercicio 17 Sea G un grupo y sean H y K dos subgrupos normales de G. Pruebe queH/K �G/K.

Corolario 3 Sea G un grupo y sean H y K dos subgrupos normales de G, tales que K ⊆ H.Entonces

(G/K)/(H/K) ∼= G/H.

Demostracion: Por Ejercicio 17, tenemos queH/K�G/K. Luego, podemos aplicar el Teorema4 a G, L = G/K, f el epimorfismo canonico de G a G/K, y H. De esta forma, obtenemosque f : G/H → (G/K)/(H/K), definida por f([x]H) = [[x]K ]H/K , es un isomorfismo.

�

Observacion 5 El corolario 3 es tambien conocido como el Primer Teorema de Isomorfis-mos.

Ejercicio 18 Sean G un grupo y H �G. Pruebe que H �HK.

Teorema 5 (Segundo Teorema de isomorfismos) Sea G un grupo y sean H � G y K unsubgrupo de G. Entonces H �HK, (H ∩K) �K y

K/(H ∩K) ∼= HK/H.

Demostracion: En el Ejercicio 18 se pruba que H �HK.

Considere la inclusion i : K ↪→ HK, y el epimorfismo canonico ν : HK → HK/H. La funcionν ◦ i es un epimorfismo. Es claro que ν ◦ i es un morfismo. Para probar que es epiyectiva,considere [x]H en HK/H. Como H �G y x ∈ HK, existen h ∈ H y k ∈ K tales que x = hk.Ademas, H � G implica que xH = Hx. Luego, ya que k = h−x ∈ Hx = xH, tenemos que[x]H = [k]H = ν ◦ i(k).Aplicando el Teorema del factor, deducimos que

K/Ker(ν ◦ i) ∼= HK/H.

Pero Ker(ν ◦ i) = K ∩H. Lo que prueba que (K ∩H) �K y K/(H ∩K) ∼= HK/K.�

1.9. Grupos abelianos de tipo finito

Capıtulo 2

Acciones de grupos.

Definicion 19 Sea G un grupo y sea X un conjunto no vacıo. Una accion izquierda de Gsobre X es una funcion ϕ : G×X → X con las siguientes propiedades:

1. ϕ(eG, x) = x, para todo x ∈ X.

2. ϕ(g, ϕ(h, x)) = ϕ(gh, x), para todo h, g ∈ G y x ∈ X.

De manera equivalente, una accion derecha de G sobre X es una funcion ψ : X × G → Xque satisface

1. ϕ(x, eG) = x, para todo x ∈ X.

2. ϕ(ϕ(x, h), g) = ϕ(x, hg), para todo h, g ∈ G y x ∈ X.

Una accion derecha no necesariamente coincide con una accion izquierda. Por ejemplo, siψ : X × G → X es una accion derecha y definimos la funcion ϕ : G × X → X comoϕ(g, x) = ψ(x, g), para g ∈ G y x ∈ X, entonces

ϕ(g, ϕ(h, x)) = ψ(ψ(x, h), g) = ψ(x, hg) = ϕ(hg, x),

lo que no necesariamente es igual a ϕ(gh, x), que es lo que se necesita para que ϕ sea unaaccion izquierda.

La manera correcta de relacionar una accion derecha con una izquierda es la siguiente: siψ es una accion derecha de G sobre X, entonces la funcion ϕ : G × X → X, definida porϕ(g, x) = ψ(x, g−1) es una accion izquierda de G sobre X.

Observacion 6 En lo que sigue, a menos que se diga otra cosa, utilizaremos siempre accionesizquierdas. Por lo tanto, omitiremos la palabra izquierda y hablaremos simplemente de accion.

Observacion 7 Si ϕ es una accion de G sobre X, entonces abreviaremos ϕ(g, x) como gx.Luego, la primera propiedad que satisface una accion, con esta nueva notacion se escribecomo eGx = x, para todo x ∈ X. La segunda propiedad queda como g(hx) = (gh)x, para todog, h ∈ G y x ∈ X.

23

24 CAPITULO 2. ACCIONES DE GRUPOS.

Bibliografıa

[1] Hungerford, T. W. Algebra. Reprint of the 1974 original. Graduate Texts in Mathematics,73. Springer-Verlag, New York-Berlin, 1980.

[2] Lang, S. Algebra. Revised third edition. Graduate Texts in Mathematics, 211. Springer-Verlag, New York, 2002.

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28 de diciembre de 2007 - fcfmmcortez/grupos.pdf · algebra abstracta. ´ 28 de diciembre de ... el...

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