algebra lineal

ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS, TECNOLOGIA E INGENIERIA CAMILO ARTURO ZÚÑIGA G. - UNIDADES 1 Y 2 JORGE ELIECER RONDON D. – UNIDAD 3

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MODULO

ALGEBRA LINEAL

CAMILO ARTURO ZÚÑIGA G.

JORGE ELIECER RONDÓN D.

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA “UNAD” ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS, TECNOLOGÍA E INGENIERÍA

UNIDAD DE CIENCIAS BÁSICAS Bogotá D. C., 2010


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COMITÉ DIRECTIVO Jaime Alberto Leal Afanador Rector Gloria Herrera Vicerrectora Académica Roberto Salazar Ramos Vicerrector de Medios y Mediaciones Pedagógicas Maribel Córdoba Guerrero Secretaria General MÓDULO CURSO ÁLGEBRA LINEAL PRIMERA EDICIÓN © Copyright Universidad Nacional Abierta y a Distancia ISBN 2010 Bogotá, Colombia


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AL ESTUDIANTE

El propósito del curso es que el estudiante apropie de manera significativa los elementos teóricos fundamentales de Algebra Lineal y desarrolle las competencias pertinentes para contextualizarlos en su campo de formación disciplinar. El Algebra Lineal es un área de las matemáticas que en las últimas décadas ha tenido un significativo desarrollo con el aporte de las ciencias computacionales. Su aplicabilidad en diversos campos del saber ha generado la necesidad de articularla al proceso formativo del profesional de hoy en día como herramienta de apoyo para resolver problemas en las más diversas disciplinas. En este sentido y por su carácter mismo, el curso hace aportes significativos al desarrollo de las competencias y aptitud matemática en el estudiante, en tanto potencia habilidades de pensamiento de orden superior, como la abstracción, el análisis, la síntesis, la inducción, la deducción, etc. El curso académico se estructura básicamente en tres unidades didácticas. La primera contempla los Vectores, Matrices y Determinantes, la segunda Sistemas de Ecuaciones Lineales, Rectas, Planos y la tercera Espacios Vectoriales. A través del curso académico de Algebra Lineal se dinamizan procesos de resignificación cognitiva y fortalecimiento del desarrollo de operaciones meta cognitivas mediante la articulación de los fundamentos teóricos a la identificación de núcleos problémicos en los diferentes campos de formación disciplinar. Es importante que desde ahora el estudiante se compenetre con la dinámica del uso de los recursos informáticos y telemáticos como herramientas de apoyo a los procesos de aprendizaje. En este sentido, el curso académico de Algebra Lineal articulará a su desarrollo actividades mediadas por estas tecnologías, como búsquedas de información en la Web, interactividades sincrónicas o asincrónicas para orientar acciones de acompañamiento individual o de pequeño grupo colaborativo y acceso a información disponible en la plataforma virtual de la universidad. La consulta permanente a diferentes fuentes documentales aportadas por el curso se tomará como estrategia pedagógica que apunte al fortalecimiento del espíritu investigativo. En este sentido, se espera que el estudiante amplíe la gama de opciones documentales que aportan a la resignificación cognitiva. Estas fuentes documentales son obviamente de diferentes orígenes, a las cuales se tendrá acceso a través de: material impreso, bibliotecas virtuales, hemerotecas, sitios Web, etc.


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TABLA DE CONTENIDO

Pag. UNIDAD 1- Vectores, Matrices y Determinantes 1.1 CAPITULO 1: VECTORES EN 2R ……………………………………………..8

Lección 1: NOCION DE DISTANCIA ……………………………………….10 Lección 2: SEGMENTOS DIRIGIDOS……………………………………….13 Lección 3: DEFINICION ALGEBRAICA DE VECTOR…………………..19 Lección 4: ALGUNAS OPERACIONES CON VECTORES………………22 Lección 5: PROYECCIONES……………………………………………………51

1.2. CAPITULO 2: VECTORES EN 3R …………………………………………….57 Lección 6: DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS…………………………..61 Lección 7: VECTORES BASE…………………………………………………..65 Lección 8: PRODUCTO VECTORIAL………………………………………..71

1.3 CAPITULO 3: MATRICES……………………………………………………...80 Lección 9: OPERACIONES CON MATRICES…………………………….82 Lección 10: SUMA DE MATRICES……………………………………………83 Lección 11: MULTIPLICACION DE MATRICES…………………………..87 Lección 12: OPERACIONES SOBRE MATRICES………………………….91 Lección 13: MATRICES ELEMENTALES……………………………………104

1.4 CAPITULO 4: DETERMINANTES…………………………………………..130 Lección 14: ALGUNAS PROPIEDADES DE LOS DETERMINANTES…..137 Lección 15: INVERSAS………………………………………………………………139 Lección 16: INTERPRETACION GEOMETRICA DEL PRODUCTO CRUZ…………………………………………………………………….146

UNIDAD 2 – Sistemas Lineales de ecuaciones, rectas, planos y Espacios Vectoriales 2.1 CAPITULO 5: SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES……………….162

Lección 17: PRIMER METODO PARA RESOLVER ECUACIONES LINEALES: ELIMINACION GAUSSIANA………………………………………….185 Lección 18: SEGUNDO METODO PARA RESOLVER ECUACIONES LINEALES: METODO DE GAUSS – JORDAN…………………………………..188 Lección 19: TERCER METODO PARA RESOLVER ECUACIONES LINEALES: REGLA DE CRAMER…………………………………………………….194 Lección 20: CUARTO METODO PARA RESOLVER ECUACIONES LINEALES: EMPLEANDO LA FACTORIZACION LU……………………………197 Lección 21: QUINTO METODO PARA RESOLVER ECUACIONES LINEALES: EMPLEANDO LA MATRIZ INVERSA……………………………….202

Lección 22: SISTEMAS LINEALES HOMOGENEOS…………………………205


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2.2 CAPITULO 6: RECTAS EN 3R ……………………………………………….207

Lección 23: RECTAS EN 3R ……………………………………………………….207 Lección 24: ECUACION VECTORIAL DE LA RECTA……………………….209 Lección 25: ECUACION PARAMETRICA DE LA RECTA…………….......212 Lección 26: ECUACION SIMETRICA DE LA RECTA……………………….213

2.3 CAPITULO 7: PLANOS……………………………………………………….220 Lección 27: ECUACION DEL PLANO……………………………………………220 Lección 28: PLANOS PARALELOS……………………………………………….223 Lección 29: ECUACION DE LA RECTA DE INTERSECCION DE DOS PLANOS NO PARALELOS………………………………….224

UNIDAD 3 – Espacios Vectoriales 3.1 CAPITULO 8: ESPACIOS VECTORIALES…………………………..…….239

Lección 30: CONCEPTUALIZACIÓN……………………………………………….239 Lección 31: ESPACIO VECTORIAL TRIVIAL…………………………………....244 Lección 32: COMBINACIONES LINEALES.……………………………………….245 Lección 33: CONJUNTOS GENERADORES.………………………………………249 Lección 34: ESPACIOS GENERADORES.…………………………………………252

3.2 CAPITULO 9: DEPENDENCIA E INDEPENDENCIA LINEAL………………254 Lección 35: GENERALIDADES………………………..………………………………254

Lección 36: BASE DE UN ESPACIO VECTORIAL.………………………………256 Lección 37: DIMENSIÓN DE UN ESPACIO VECTORIAL.……………………..261 Lección 38: ESPACIO FILA Y ESPACIO COLUMNA……………………………….262 Lección 39: RANGO Y NULIDAD DE UNA MATRIZ……………………………….263

3.3 CAPITULO 10: SUBESPACIOS……………………………………………….267 Lección 40: GENERALIDADES.……………………………………………………..267

Lección 41: SUBESPACIO TRIVIAL Y SUBESPACIO PROPIOS………………267 Lección 42: PRUEBA DE SUBESPACIO.…………………………………………..269 Lección 43: INTERSECCIÓN ENTRE SUBESPACIOS.………………………….271 Lección 44: DIMENSIÓN DE UN SUBESPACIO………………………………….271


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UNIDAD 1

VECTORES, MATRICES Y DETERMINANTES


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OBJETIVO GENERAL

Que el estudiante comprenda el conjunto de conocimientos relacionados con los fundamentos básicos que constituyen el campo teórico y aplicativo de los vectores, matrices y determinantes a través del estudio y análisis de fuentes documentales y situaciones particulares en diferentes campos del saber.

OBJETIVOS ESPECIFICOS

Evidenciar en el estudiante una apropiación conceptual que refleje el entendimiento de nociones como la de vector, complementado con un manejo pertinente de las operaciones con los mismos.

Lograr que el estudiante conozca de cerca el concepto de matriz, lo lleve a

espacios mas generales y reconozca su importancia en aplicaciones mas especificas. Además, debe entender y manejar con propiedad las distintas operaciones que con ellas puede realizar y que le permitirán utilizar herramientas como el determinante y el proceso de obtener la inversa de matrices para resolver a futuro sistemas lineales.


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CAPITULO 1


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LECCION 1 1.1 NOCION DE DISTANCIA Ahora abordemos el problema de dos puntos del plano. Nuestro interés es encontrar la distancia entre ellos. Para esto podemos recurrir a un teorema de la geometría elemental, llamado Teorema de Pitágoras, que nos establece que:


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100

10086

2

222

a

aa

Dado que a es una distancia, entonces consideramos únicamente los valores positivos, es decir,

10a unidades.


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LECCION 2


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LECCION 3


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LECCION 4


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LECCION 5


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CAPITULO 2


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LECCION 6


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LECCION 7


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LECCION 8


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Imagen obtenida de: ALGEBRA LINEAL Autor: Stanley Grossman. Quinta Edición. Pag. 251


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Imagen obtenida de: ALGEBRA LINEAL Autor: Stanley Grossman. Quinta Edición. Pag. 263


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CAPITULO 3


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LECCION 9


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LECCION 10


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LECCION 11


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LECCION 12


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100011001

1E , por lo tanto

100011001

11E

100

0610

001

2E , por lo tanto

100060001

12E

100010021

3E , por lo tanto

100010021

13E

160010001

4E , por lo tanto

160010001

14E

3100

010

001

5E , por lo tanto

300010001

15E

100

0103501

6E , por lo tanto

100

0103501

16E

1006110

001

7E , por lo tanto

1006110

001

17E

Ahora realicemos el siguiente producto 1

71

61

21

1 EEEE


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300010001

160010001

100010021

100060001

100011001

1006110

001

100

0103501

Realicemos los productos de izquierda a derecha, tenemos:

1006110

001

100

0103501

300010001

160010001

100010021

100061001

Seguimos

1006110

001

100

0103501

300010001

160010001

100041021

Seguimos

1006110

001

100

0103501

300010001

160041021

Seguimos

1006110

001

100

0103501

360041021


- 116 -

Seguimos

1006110

001

36035413521

Finalmente

260141221

En conclusión, hemos visto que dada una matriz A, si esta es invertible, tanto A como su

inversa pueden ser escritas como el producto de matrices elementales (ya que, las

inversas de las matrices elementales son a su vez matrices elementales.


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CAPITULO 4


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LECCION 14


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LECCION 16


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UNIDAD 2

SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES, RECTAS, PLANOS Y ESPACIOS VECTORIALES


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OBJETIVO GENERAL

Que el estudiante comprenda los fundamentos teóricos que soportan la concepción de los sistemas lineales, rectas, planos y los principios de espacio vectorial, a través del complejo ejercicio mental de abstracción, estudio, análisis e interpretación de fuentes bibliográficas referenciadas y casos específicos de aplicación en diferentes áreas del conocimiento.


Evidenciar en el estudiante una apropiación conceptual que refleje el entendimiento de nociones como la de un plano o de una recta en el espacio. Complementado con un manejo pertinente de las diversas formas en que son obtenidas y empleadas las ecuaciones que las representan.

Lograr que el estudiante conozca de cerca el concepto de lo que es un sistema de

ecuaciones lineales, lo lleve a espacios más generales y reconozca su importancia en aplicaciones mas especificas. Además, debe entender y manejar con propiedad los distintos procedimientos que le permiten obtener una solución del mismo (en el caso en que sea posible)


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CAPITULO 5


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LECCION 17


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LECCION 18


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LECCION 19


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LECCION 20


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LECCION 21

5.5. QUINTO METODO PARA RESOLVER SISTEMAS LINEALES EMPLEANDO LA MATRIZ INVERSA El objetivo es resolver un sistema de la forma bAX (con A de nn ), donde A es invertible. Partiendo del sistema bAX , podemos multiplicar a izquierda por 1A (Que existe, dado que A es invertible), con lo que nos queda:

bAAXA 11 Agrupando obtenemos bAXAA 11 Simplificando bAXI 1 Finalmente

bAX 1 La ultima afirmación, nos indica que se A es de nn e invertible, entonces la solución del sistema lineal bAX , la encontramos de la forma bAX 1 . Ejemplo Dado el sistema lineal

17457114

211032

321

321

321

xxxxxx

xxx

Determine si el sistema tiene solución única o no. De tener solución única, encuentre su inversa y úsela para resolver el sistema. Solución Para determinar si el sistema tiene solución única o no, debemos calcular su determinante. Si este nos da diferente de cero (0), entonces el sistema tendrá única solución y además la inversa de la matriz de coeficientes existirá (y esta será única) Encontremos el determinante:

225457114

1032

DetA

Recordemos que tenemos dos procedimientos para hallar la inversa: 1. Empleando el método de reducción de Gauss- Jordán

2. Empleando determinantes ( AdjAA

A *det

11 )


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Voy a emplear el método de reducción de Gauss- Jordán. Se deja al estudiante la invitación a realizarlo también por el otro método.

Por lo tanto, dado que la matriz A pudo ser reducida (por medio de operaciones elementales) a la matriz identidad, se tiene que la matriz del lado derecho es la inversa de A. Es decir,

121 f

12 4 ff

13 7 ff 27

1 f

21 23 ff

23 211 ff 3225

14 f

31 1413 ff

32 719 ff


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22514

22511

253

22538

22562

251

22513

22538

251

1A

Finalmente, para obtener la solución del sistema, consideramos la ecuación bAX 1 . Donde,

171121

b

Por tanto,

171121

22514

22511

253

22538

22562

251

22513

22538

251

X

212

X

Es decir, la solución es 2;1;2 321 xxx


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LECCION 22

SISTEMAS LINEALES HOMOGENEOS


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CAPITULO 6

LECCION 23


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LECCION 24


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LECCION 25


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LECCION 26


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CAPITULO 7

LECCION 27


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LECCION 29 Para ver que 1n y 2n son paralelos, puede emplear cualquiera de las dos siguientes condiciones


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UNIDAD 3

ESPACIOS VECTORIALES


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OBJETIVO GENERAL

Contribuir a fortalecer en el estudiante la capacidad para apropiarse del conjunto de conocimientos relacionados con los espacios vectoriales.


Evidenciar en el estudiante una apropiación conceptual que refleje el entendimiento de nociones como la de espacio vectorial, base, etc.

Contribuir a que el estudiante comprenda y aplique en forma clara y pertinente

los conocimientos sobre espacios vectoriales; además, el estudiante debe interpretar y aplicar de manera suficiente las definiciones, axiomas y teoremas relacionados con los espacios vectoriales


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CAPITULO 8

ESPACIO VECTORIAL

Introducción.

Los espacios vectoriales son una temática propia del curso de

Álgebra Lineal, donde se busca que el estudiante se apropie de la fundamentación teórica y este

en capacidad de analizar las particularidades de dichos principios.

El estudio de los espacios vectoriales permite al estudiante desarrollar habilidades y

competencias, especialmente la abstracción, ya que comprender un espacio vectorial requiere un

buen desarrollo de la abstracción. En este sentido la temática hace aportes significativos al

desarrollo de las competencias y aptitud matemática en el estudiante y al futuro profesional.

LECCIÓN 30: CONCEPTUALIZACIÓN

Al estudiar los vectores, se identificaron las operaciones de suma vectorial y multiplicación por

escalar y, algunas propiedades que cumplen dichas operaciones, como la clausurativa,

conmutativa y otras. Se dice que cuando un conjunto cumple dichas propiedades o axiomas se

le llama Espacio Vectorial. Al definir un espacio vectorial se debe tener presente que en sí la

definición es verdadera en sí, ya que parte de axiomas.


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De acuerdo a lo anterior se puede observar que los espacios vectoriales están compuestos por 4

entes: Un conjunto de Vectores, un conjunto de escalares, la operación suma y una operación

producto por escalar. La definición establece que los elementos del espacio vectorial son

Vectores, pero eso es solo por definición, ya que los elementos de un espacio vectorial pueden

ser vectores, matrices, funciones, etc.

Veamos unos ejemplos que nos ilustrar los espacios vectoriales.

DEFINICIÓN:

Sea V un conjunto no vacío de elementos llamados vectores, sobre los que están

definidas las siguientes operaciones:

1. Suma Vectorial: Suma entre elementos de V

2. Multiplicación por Escalar: Multiplicación de un escalar (real o imaginario), por un

elemento de V.

Por otro lado, sea u, v, w,… elementos que están en V; además, los escalares c, d,

e,… Entonces V se le llama espacio vectorial, si cumple los siguientes axiomas.

Axiomas de la Suma:

1. Si Vu y Vv entonces: Vvu )( Ley Clausurativa (cerradura suma)

2. uvvu Ley Conmutativa

3. wvuwvu )()( Ley asociativa

4. El vector V0

Para todo uuVu 0 Ley Modulativa (Neutro aditivo)

5. Para todo Vu existe un vector Vu tal que 0)( uu Inverso Aditivo.

Axiomas de la Multiplicación por Escalar:

6. Si Vu y c un escalar, Vvc Ley Clausurativa (cerradura

multiplicación)

7. vcucvuc )( Primera Ley Distributiva

8. uducudc )( Segunda Ley Distributiva

9. ucdudc )()( Ley Asociativa

10. uu *1 Ley Modulativa (Identidad escalar)


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Ejemplo 1:

Sean el conjunto de pares ordenados de números reales en R2 con las operaciones normales.

Demuestre que corresponde a un espacio vectorial.

Solución:

Sea el vector V = (u, v) donde: u = (x1, y1), v = (x2, y2). La idea es demostrar que cumple

los 10 axiomas, pero demostrando solo algunos, los otros se cumplen automáticamente.

Demostremos el axioma 1 y 6.

Axioma 1: Como u y v pertenecen a V entonces: u + v también deben pertenecer a V.

Veamos: u = (x1, y1) y v = (x2, y2) entonces: (x1, y1) +(x2, y2) = (x1+ x2, y1 + y2), se observa

que tiene dos componentes, luego también pertenece a V.

Axioma 6: Sea c = 4 un escalar, entonces cu = 4(x1, x2) = (4x1, 4x2) que también esta en V.

Los demás axiomas se cumplen automáticamente.

Ejemplo 2.

Sean el conjunto de n-adas ordenadas definidas en Rn con las operaciones normales.

Demuestre que corresponde a un espacio vectorial.

Solución:

Los vectores en este espacio son de la forma V = (v1, v2, v3,…, vn) cada vector de V es una

matriz de nx1.Veamos: v1 = (x1, x2,…, xn)-1, v2 = (y1, y2,…, yn)-1,…, vn = (k1, k2,…, kn)-1

Como VvVvVv n ...21 entonces: Vvvv n ...21 Es evidente mostrar que esto es

cierto. )...,...,...,...(... 22211121 nnnn kyxkyxkyxvvv Así queda

mostrado el axioma 1.

Probemos el axioma 6. Sea c Un escalar y tomemos 1211 ),...,,( nxxxv Entonces:

121

1211 ),...,,(),...,,( nn cxcxcxxxxcvc Vemos que también se cumple este axioma.

Los demás axiomas se cumplen automáticamente.

Ejemplo 3:

Demuestre que el conjunto de puntos en R2 que están en una recta, la cual pasa por el origen de

coordenadas cartesianas es un espacio vectorial.

Solución:


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Toda recta que pasa por el origen de coordenadas cartesianas tiene como modelo matemático el

siguiente: mxy donde m es un escalar y x valores arbitrarios en el conjunto de los reales.

Sea v1 = (x1, y1) y v2 = (x2, y2) donde VvyVv 21 Así: y1 = mx1 y y2 = mx2

Axioma 1: v1 + v2 = (x1, y1) + (x2, y2) = (x1, mx1) + (x2, mx2) = (x1 + x2, mx1 + mx2)

Entonces: Vvv 21 Se cumple el axioma.

Axioma 5: Dada Vyx ),( Como y = mx. Definimos el inverso -(x. y) = (-x, m(-x)) Operando

(x, y) +(–x, -y) = (x – x, y – y) = (0, 0). Entonces Vyx ),(

Axioma 6: Sea c un escalar y si planteamos cv1 = c(x1, y1), donde cy1 = cmx1 que también esta

en V, entonces se cumple el axioma.

Los demás se cumplen automáticamente.

Ejemplo 4:

Sea el conjunto de matrices rectangulares Mmxn de componentes reales. Demostrar que es un

espacio vectorial.

Solución:

Axioma 1: Si tenemos las matrices Amxn y Bmxn entones (A + B)mxn será una matriz de

dimensión mxn. Luego se cumple este axioma.

Axioma 4: Dada la matriz 0mxn y con la matriz Mmxn entonces Mmxn + 0mxn = Mmxn Se cumple

este axioma.

Axioma 5: Dada la matriz Mmxn, debe existir otra matriz –Mmxn tal que Mmxn + (-Mmxn) = 0. La

matriz cero que verifica la propiedad del inverso aditivo.

Axioma 6: Dada un escalar k y sea la matriz Mmxn entonces kMmxn será otra matriz de dimensión

mxn.

Se puede verificar fácilmente que los demás axiomas se cumplen.

Ejemplo 5:

Sea Pn el conjunto de polinomios de grado menor o igual que n; incluido el polinomio cero.

Demostrar que Pn es un espacio vectorial.

Solución:

Axioma 1: Sea 02

21

1 ... aaxxaxaxaP nn

nnn

y 02

21

1 ... bbxxbxbxbQ nn

nnn


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Entonces: )()()(...)()( 002

221

11 baxbaxbaxbaxbaQP nnn

nnnnn

Será un

polinomio de grado temor o igual a n. Así se cumple este axioma.

Axioma 4: Dado el polinomio 0(x) y el Pn entonces Pn + 0(x) = Pn Se cumple este axioma.

Axioma 6: Dada el escalar k, entonces: 02

21

1 ... kakaxxkaxkaxkakP nn

nnn

que también

es un polinomio de grado menor o igual a n.

Se puede verificar que los demás axiomas se cumplen. Intente hacer la verificación con el grupo

colaborativo y luego corregirlo con el Tutor.

Ejemplo 6:

Sea V = C[0, 1] el conjunto de funciones continuas definidas sobre los reales. Demostrar que V

es un espacio vectorial.

Solución:

Axioma 1: Sean f(x) y g(x) funciones continuas definidas sobre los reales. Entonces f(x) + g(x)

será una función continua, también sobre los reales.

Axioma 4: Dado la función 0(x) y la función f(x) entonces f(x) + 0(x) = f(x) Se cumple este

axioma.

Axioma 5: Definida la función f(x) y, dada la función (–f)(x), entonces –f(x) será otra función

continua y además f(x) + (-f(x)) = 0. Se verifica el inverso aditivo.

Axioma 6: Dada el escalar k, entonces: kf(x) será una función continua sobre los reales.

Se puede demostrar que los demás axiomas se cumplen. Intente hacer dichas demostraciones

con el grupo colaborativo y luego corregirlo con el Tutor.

Para reforzar lo referente a espacios vectoriales hagamos un resumen de los espacios vectoriales

más representativos:

1. El conjunto de todos los números reales R

2. El conjunto de todos los pares ordenados R2

3. El conjunto de todas las n-adas ordenadas Rn

4. El conjunto de todas las funciones continuas definidas sobre el intervalo [a, b]

5. El conjunto de todos los polinomios de grado menor o igual a n.

6. El conjunto de todas las matrices rectangulares de tamaño mxn

7. El conjunto de todas la matrices cuadradas de tamaño nxn.

8. El conjunto V de R2 que es una recta que pasa por el origen de coordenadas.


- 244 -

LECCIÓN 31: ESPACIO VECTORIAL TRIVIAL.

Sea V = {0} el cual cumple todos los axiomas de un espacio vectorial, por consiguiente V se

define como un espacio vectorial, al cual se le llama espacio vectorial trivial.

Para comprender un poco más sobre los espacios vectoriales, vamos a analizar algunos ejemplos

que NO son espacios vectoriales.

Ejemplo 7:

Demostrar que V {1} no es un espacio vectorial.

Solución:

El axioma 1 no se cumple ya que por ejemplo 1 + 2 = 3 y V

3 . El axioma 6 sobre cerradura

de la multiplicación tampoco se cumple, ya que si tenemos un k, entonces Vk

1 . Aunque la

norma define que con un axioma que no cumpla, deja de ser espacio vectorial, aquí

demostramos que no cumple dos.

Ejemplo 8:

Demostrar que bmxxfyxV )(:),(

no es un espacio vectorial, corresponden a las rectas

que no pasan por el origen.

Solución:

El axioma 1 no se cumple. Veamos: Sean (x1, y1) y (x2, y2) pertenecientes a V. Al sumarlos

tenemos: (x1, y1) + (x2, y2) = (x1+ x2, y1 + y2) Expresando la ecuación en términos de y:

y1 + y2 = m(x1+ x2) + b = mx1+ mx2 + b

Por otro lado: 22221111 bxmyybxmy Entonces:

2121212122211121 ))(( bbxxmmyybxmbxmyy

Se observa que Vyyxx 2121 , . Lo anterior significa que si tenemos dos puntos:

VyxP ),( 111 y VyxP ),( 222 la suma Vyxyx ),(),( 2211

Probado que no se cumple la cerradura para la suma, el conjunto definido no es un espacio

vectorial


- 245 -

Ejemplo 9:

Demostrar que 0),,( yyxV corresponde al conjunto de puntos de un semiplano, no es un

espacio vectorial.

Solución:

Si 01 y y 02 y entonces 021 yy Se cumple la cerradura sobre la suma.

Pero si tenemos )1,1(y este no tiene inverso en V. ya que V )1,1( . No se cumple el

inverso aditivo. Por consiguiente V no es un espacio vectorial.

Ejemplo 10:

Demostrar que el conjunto de números enteros NO es un espacio vectorial.

Solución:

La suma de dos enteros es otro entero, se cumple la cerradura para la suma, pero no se cumple

la cerradura para la multiplicación. Por ejemplo sea k = ½ y dado un elemento de los enteros

por ejemplo 5, entonces ½ (5 ) no es entero.

Ejemplo 11:

Demostrar que el conjunto V de todas las matrices singulares de 2x2 no es un espacio vectorial.

Solución:

La suma de dos matrices singulares No siempre origina otra matriz singular.

LECCIÓN 32: COMBINACIONES LINEALES.

Por definición los elementos de los espacios vectoriales son vectores, hay la posibilidad de que

un vector se puede escribir como combinación lineal de otros vectores en un espacio vectorial

dado.


- 246 -

Ejemplo 12:

Sea el vector

132

w y sean los vectores

141

1u y

350

2u Determine si w es una

combinación lineal de u1 y u2.

Solución:

Como

350

141

2132

entonces: 212 uuw Así se muestra que w es combinación lineal

de u1 y u2.

Ejemplo 13:

Muestre que la matriz

71013

M es una combinación lineal de las matrices:

3211

A

y

12

10B

Solución:

Se puede ver que

12

102

3211

371013

Entonces: BAM 23 Así M es una

combinación lineal de A y B.

DEFINICIÓN: Sean nuuu ,...,, 21 vectores en el espacio vectorial V; además, sea el vector w que esta en V, entonces si w se puede escribir de la forma

nnuauauaw ...2211 Para a1, a2,…, an escalares. Se dice que w es una combinación lineal de los vectores nuuu ,...,, 21 .


- 247 -

Ejemplo 14:

Muestre que todo polinomio de grado menor o igual a n: Pn se puede expresar como

combinación lineal de los monomios xn, xn-1,…, x2, x, 1

Solución:

Es evidente que cualquier polinomio de grado menor o igual a n se puede escribir como

combinación lineal de monomios.

Veamos: P3 se puede escribir como: P3 = 2 + 2x2 + 2x3

Determinación de Combinaciones Lineales:

En los ejemplos 13 y 14 se muestra que un vector es combinación lineal de otros vectores en el

espacio vectorial V, pero cómo se puede determinar los vectores que hacen parte de la

combinación lineal, el procedimiento lo explicaremos con unos ejemplos modelos.

Ejemplo 15:

Dado el vector w = (-4, 8. 17) escribirlo como una combinación lineal del conjunto de vectores

conformados como: S = [(-2, 0, 1), (1, 0, -1), (1, 2, 3)]

Solución:

Sea v1 = (-2, 0, 1) v2 = (1, 0, -1) y v3 = (1, 2, 3)

Se deben buscar escalares k1, k2, k3. Tal que:

)3,2,1()1,0,1()1,0,2()17,8,4()3,2,1()1,0,1()1,0,2()17,8,4( 333222111321 kkkkkkkkkkkk

Para resolver se debe plantear un sistema de 3 ecuaciones con 3 incógnitas.

173820042

321

321

321

kkkkkk

kkk

Como podemos ver k3 = 4.

Resolviendo por eliminación: k2 = -2 y k1 = 3

Entonces: 321 423 vvvw

Cuando se utiliza el método de Gauss Jordán o el método Gaussiano, el sistema puede tener

única solución o infinitas soluciones, lo que indica que el vector w es combinación lineal de los

vectores v1, v2, v3.


- 248 -

Ejemplo 16:

Expresar el vector v = (2, 2, 2) si es posible como una combinación lineal del conjunto de

vectores S = [(2, 4, 6), (0, 2, 4), (-2, 0, 2)]

Solución:

Definimos los vectores: u1 = (2, 4, 6), u2 = (0, 2, 4), u3 = (-2, 0, 2)

Debemos hallar escalares k1, k2, k3. Tal que:

)2,0.2()4,2,0()6,4,2()2,2,2()2,0.2()4,2,0()6,4,2()2,2,2( 333222111321 kkkkkkkkkkkk

Planteando el sistema de ecuaciones:

224620242202

321

321

321

kkkkkkkkk

Usando el método Gauss Jordán:

022

000420202

422

840420202

222

246024202

La última matriz nos muestra que el sistema tiene infinitas soluciones. Cada una de la forma:

k3 = t,

-2k2 = 2 + 4t entonces: k2 = -1 – 2t

2k1 = 2 + 2t entonces: k1 = 1 + t

Si damos un valor por ejemplo t = 4, entonces: k3 = 4, k2 = -9, k1 = 5 Así:

v = 5u1 – 9u2 + 4u3


- 249 -

Ejemplo 17:

Expresar el vector v = (3, 2, -1) si es posible como una combinación lineal del conjunto de

vectores S = [(2, 4, 6), (0, 2, 4), (-2, 0, 2)]

Solución:

Definimos los vectores: u1 = (2, 4, 6), u2 = (0, 2, 4), u3 = (-2, 0, 2)

Debemos hallar escalares k1, k2, k3. Tal que:

)2,0.2()4,2,0()6,4,2()1,2,3()2,0.2()4,2,0()6,4,2()1,2,3( 333222111321 kkkkkkkkkkkk

Planteando el sistema de ecuaciones:

124620243202

321

321

321

kkkkkkkkk

Usando el método Gauss Jordán:

244

000420202

1043

840420202

123

246024202

Como se observa en la última matriz el sistema es inconsistente, por lo cual NO hay solución.

Por consiguiente el vector v no se puede expresar como combinación lineal de u1, u2, u3.

LECCIÓN 33: CONJUNTOS GENERADORES.

Si todo vector w en un espacio vectorial V puede expresarse como una combinación lineal de

vectores u1, u2,…, un de un conjunto S, se dice que S es un conjunto generador del espacio

vectorial V.

DEFINICIÓN: Sea S = (u1, u2, u3, …, un) un conjunto contenido en el espacio vectorial V, entonces el conjunto S se le llama Conjunto Generador de V, si todo vector de V se puede escribir como una combinación lineal de vectores de S. Cuando esto ocurre se dice que S Genera a V.


- 250 -

Ejemplo 18:

Sea el conjunto S = {(1,0), (0,1)} Mostrar que S genera a R2.

Solución:

Por definición los vectores )1,0()0,1( jyi

generan a R2 ya que cualquier vector

u = {u1, u2} se puede escribir como: u = u1(1, 0) + u2(0, 1)

Ejemplo 19:

Dado el conjunto S = {u1, u2, u3} Para u1 = (1, 0, 0), u2 = (0, 1, 0) y u3 = (0, 0 ,1)} Mostrar

que S genera a R3.

Solución:

Al igual que el caso anterior, los vectores )1,0,0()0,1,0()0,0,1( kji

generan a R3 ya

que cualquier vector v = {v1, v2, v3} se puede escribir como: v = v1(1,0,0) + v2(0,1,0) +

v3(0,0,1)

Ejemplo 20:

Sea el conjunto S = {1, x, x2} Demuestre que S genera a P2.

Solución:

Sea el polinomio p(x) = a + bx + cx2 Ahora escribamos p(x) como: p(x) = a(1) + b(x) + c(x2)

entonces: p(x) = a + bx + cx2. Por consiguiente S genera a P2.

Conjunto Generadores Normales:

Los ejemplos 18, 19 y 20 muestras conjuntos generadores llamados Conjuntos generadores

normales, ya que cualquier vector en dichos espacios se puede escribir como combinación lineal

de éstos.

El de R2, S = {(1,0), (0,1)}

El de R3, S = {(1, 0,0), (0, 1, 0), (0, 0 ,1)}

El de P2, S = {1, x, x2}

Veamos en seguida conjuntos generadores que no son normales.


- 251 -

Ejemplo 21:

Mostrar que el conjunto S {(1, 1), (1, 0), (1, -1)} es un conjunto que genera a R2.

Solución:

Sea v = (v1, v2) cualquier vector en R2, se deben buscar escalares k1, k2, k3, tales que:

(v1, v2) = k1(1, 1) + k2(1, 0) + k3(1, -1) = (k1 + k2 + k3, k1 – k3) Esto origina el sistema de

ecuaciones

231

1321

vkkvkkk

El sistema anterior tiene solución, lo que nos indica que es consistente. Así queda demostrado

que el conjunto S genera a R2.

Ejemplo 22:

Demostrar que el conjunto S = {(0, 1, 2), (1, 2, 3), (-2, 0, 1)} genera R3.

Solución:

Sea el conjunto v = (v1, v2, v3) cualquier vector en R3, se deben buscar escalares k1, k2, k3, tales

que: (v1, v2, v3) = k1(0, 1, 2) + k2(1, 2, 3) + k3(-2, 0, 1) = (k2 -2k3, k1+2k2, 2k1+3k2 + k3)

Esto origina el sistema:

3321

221

132

3222

vkkkvkkvkk

La matriz de coeficientes.

132021210

A Det(A) = 1 Como el determinante es deferente de cero, entonces hay solución

única. Lo que demuestra que S genera a R3:


- 252 -

LECCIÓN 34: ESPACIOS GENERADORES.

Vamos a analizar una forma de encontrar subespacios vectoriales, tema de la siguiente sección,

partiendo de un conjunto de vectores. Si tenemos un conjunto S2 = {v1, v2, v3}, éste puede

generar un Subespacio de R3, lo cual ocurre si los vectores de S2 son coplanares. El subespacio

originado se le conoce como Espacio Lineal Generado por S2.

Según esta definición Gen {v1, v2, v3,…, vk} es el menor subespacio de V que contiene a G, lo

que conlleva a que cualquier otro subespacio de V que contenga a G, debe contener a Gen(G).

Ejemplo 23:

Sean los vectores v1 = (2, -1, 4) y v2 = (4, 1, 6), identificar el espacio generado por dichos

vectores.

Solución:

Definimos el conjunto M = gen {v1, v2} Así: v = k1 (2, -1, 4) + k2 (4, 1, 6) Por otro lado

definimos v = (x, y, z) Є M. Entonces:

21

21

21

64

42

kkzkkykkx

Se obtiene un sistema el cual solucionamos de la siguiente manera:

2/2/

2/

103021

2/

2/

321121

641142

zxyx

x

zy

x

zyx

De la primera a la segunda matriz se dividió la primera fila y la tercera fila por 2. De la segunda

matriz a la tercera, se planteó:

R2: R1+ R2 y R3: 2R1 – R3 Donde R1 Primera fila, R2 segunda fila y R3 tercera fila.

DEFINICIÓN:

Sea G = {v1, v2, v3,…, vk} un conjunto de vectores en un espacio

vectorial V, entonces el Espacio Generado por G, es el conjunto de

combinaciones lineales de los vectores en G.

Gen {v1, v2, v3,…, vk} = {v/ v = a1v1, a2v2, a3v3,…, akvk}

Para a1, a2, a3,…, ak. Escalares cualesquiera.


- 253 -

2/32/52/

2/

003021

2/2/

2/

103021

zyxyx

x

zxyx

x La última matriz se obtuvo así: R3: R2 – 3R3.

Como el sistema tiene infinitas soluciones, según la última matriz existe una solución cuando:

-5x/2 + y + 3z/2 = 0, dividiendo por 2 se obtiene: -5x + 2y + 3z = 0, multiplicando por -1, se

obtiene finalmente. 5x – 2y – 3z = 0. Corresponde a una ecuación de un plano en R3 que pasa

por el origen.

El ejemplo anterior nos lleva a la siguiente generalización.

Generalización: El espacio generado por dos vectores diferentes de cero en R3 que no son paralelos, es un plano que pasa por el origen.


- 254 -

CAPITULO 9

DEPENDENCIA E INDEPENDENCIA LINEAL Introducción.

La dependencia lineal esta asociada a una combinación lineal, cuando se cumplen ciertas

condiciones del conjunto de vectores que forman dicha combinación. Dentro del estudio de un

espacio vectorial, el análisis de dependencia o independencia permite conocer particularidades

del espacio analizado.

LECCIÓN 35: GENERALIDADES.

El concepto de independencia lineal se puede ver con el siguiente caso: Sea el vector v1 = (2,

3) y el vector v2 = (6, 9). Se observa que v2 = 3v1 esto es igual a: 3v1 - v2 = 0. Lo anterior

nos indica que el vector cero se puede escribir como una combinación lineal no trivial de dos

vectores v1 y v2. No trivial hace referencia a que los coeficientes de cada vector no son todos

cero.

DEFINICIÓN 1: Dado un conjunto de vectores S = {v1, v2,…, vk} en un espacio vectorial V, se dice que S es linealmente independiente, si la ecuación: c1v1 + c2v2 +… + ckvk = 0 Tiene solamente la solución trivial. Entonces: c1 = c2 = c3 =… = ck = 0

DEFINICIÓN 2: Dado un conjunto de vectores S = {v1, v2,…, vk} en un espacio vectorial V, se dice que S es linealmente dependiente, si la ecuación: c1v1 + c2v2 +… + ckvk = 0 Tiene solución No trivial. Entonces: c1, c2, c3,…, ck no todos son cero.


- 255 -

La anterior definición se puede fortalecer con el siguiente teorema:

Demostración:

Asumiendo que v2 = kv1 dado que k ≠ 0 entonces: kv1 - v2 = 0 lo que muestra que los dos

vectores son linealmente dependientes; según la definición 2.

Ahora si asumimos que v1 y v2 son linealmente dependientes, entonces deben existir escalares

k1 y k2 donde k1≠ 0 ó k2 ≠ 0, tal que: k1v1 + k2v2 = 0 si k1≠ 0 entonces dividimos toda la

ecuación por k1 obteniendo: v1 + (k2/k1)v2 = 0 así: v1 = - (k2/k1)v2 esto muestra que v2 es

múltiplo escalar de v1.

Ejemplo 24:

Dado el conjunto M = {(2, 4), (2, 2)} demostrar que los vectores de M son linealmente

independientes.

Solución:

Planteamos la ecuación vectorial: c1v1 + c2v2 = 0 Debemos determinar que el sistema tenga

solamente solución trivial. Entonces c1(2, 4) + c2(2, 2) = (0, 0)


022042

21

21

cccc

Al resolver por matrices, por el método de Gauss – Jordan:

00

1001

2:00

1211

2/2/

00

2422

212

1

2

1

RRRR

RR

La última matriz corresponde a una escalonada reducida, la cual nos muestra que c1 = 0 y

c2 = 0. Esto nos lleva a concluir que los vectores del conjunto M son linealmente independiente,

ya que la única solución es la trivial.

TEOREMA: Dos vectores en un espacio vectorial V son linealmente dependientes, si y solo si, uno es múltiplo escalar del otro.


- 256 -

Ejemplo 25:

Dado el conjunto S = {(1, 3, 1), (0, 1, 2), (1, 0, -5)} demostrar que los vectores de S son

linealmente dependientes.

Solución:

Planteamos la ecuación vectorial: c1v1 + c2v2 + c3v3 = 0 Debemos determinar que el sistema

tenga solución no trivial. Entonces c1(1, 3, 1) + c2(0, 1, 2) + c3(1, 0, -5) = (0, 0, 0)


05200300

321

321

321

ccccccccc

Al resolver por matrices, por el método de Gauss – Jordan:

000

100310101

2:000

520310101

:3:

000

521013101

323

2

1

313

212

1

RRRRR

RRRRRR

R

La última matriz nos muestra:

c1 + c3 = 0, -c2 + 3c3 = 0. .

Para c1 = 1, entonces: c3 = -1 y c2 = -3

La solución: v1 = 3v2 + v3

Por lo anterior se muestra que los vectores del conjunto S son linealmente dependientes.

LECCIÓN 36: BASE DE UN ESPACIO VECTORIAL.

En secciones anteriores se analizó lo referente a conjuntos generadores, siguiendo con dicha

línea se estudiaran algunos conjuntos generadores que son linealmente independientes y que

generan todo el espacio vectorial.

DEFINICIÓN:

Sea el conjunto finito S conformado por los vectores {v1, v2,.., vk},

contenidos en el espacio vectorial V. Entonces se dice que S es

Una Base del espacio vectorial V, si se cumple:

1. S genera a V

2. S es linealmente independiente.


- 257 -

De la definición se puede puntualizar que una base debe ser tal que contenga los suficientes

vectores para generar a V, pero no en exceso de modo que permita a uno de ellos ser

combinación lineal de los demás. Por otro lado, todo espacio vectorial tiene al menos una base.

Un espacio vectorial que tiene una base cuya cantidad de vectores es finita, se dice que es un

espacio vectorial de dimensión finita. De igual manera para un espacio de dimensión infinita.

Ejemplo 26:

Muestre que S = {(1, 0), (0, 1)} es una base en R2.

Solución:

Por ejemplos anteriores se sabe que S = {(1, 0), (0, 1)} genera a R2; demás, los vectores

v1 = (1, 0) y v2 = (0, 1) son linealmente independientes. Por consiguiente por cumplir las dos

condiciones, S genera a V.

Ejemplo 27:

Identifique dos espacios vectoriales de dimensión infinita.

Solución:

Sea el espacio vectorial P = {Todos los polinomios}

Sea el espacio vectorial M = {Todas las funciones continuas definidas sobre la recta real}

Base Canónica:

Las siguientes bases por su naturaleza se le conocen como bases canónicas o bases normales.

1. Sea S = {(1, 0), (0, 1)} es la base canónica de R2. Se sabe que S genera a R2; además, los

vectores son linealmente independientes.

2. Sea S = {(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)} es la base canónica de R3. Es sabido que todo vector

en R3 se puede escribir como k1(1, 0, 0) + k2(0, 1, 0) + k3(0, 0, 1) Donde la única solución es la

trivial; es decir, k1 = k2 = k3 = 0, lo que muestra que los vectores son linealmente

independientes. Por otro lado se ha demostrado que S genera a R3.

3. Sea S = {e1, e2, e3,…, en} es la base canónica de Rn.

Si e1 = (1, 0, 0,…,0), e2 = (0, 1, 0,… ,0),…, en = (0, 0, 0,…, 1). Entonces se sabe que los

vectores e1, e2, e3,…, en son linealmente independientes y además S generan a Rn.

4. S = {1, x, x2,..,xn } es la base canónica de Pn. Anteriormente se estudio que los vectores son

linealmente independientes y S generan a Pn.


- 258 -

5. Sea

1000

0100

0010

0001

S es la base canónica de M2x2.

Las matrices de S son linealmente independientes; además, S genera a M2x2.

Base No Canónica:

Una base no canónica son las que están fuera de los casos 1, 2, 3, 4, 5. Son de gran interés en

matemáticas, ya que tienen diversas utilidades, veamos algunos ejemplos.

Ejemplo 28:

Dado el conjunto S = {v1, v2} Donde v1 = (2, 1) y v2 = (-1, 1). Demostrar que S es una base

de R2.

Solución:

Para hace la demostración se debe mostrar que S genera a R2 y que S es linealmente

independiente.

a-) S genera a R2: Sea el vector x = (x1, y1) de R2. Luego: c1v1 + c2v2 = x Reemplazando:

c1(2, 1) + c2(-1, 1) = (x1, y1) Operando: (2c1, c1) + (-c2, c2) = (x1, y1). Esto genera el sistema:

2c1 – c2 = x1 y c1 + c2 = y1.

1112

A Det(A) = 2 – (-1) = 3. Como el determinante de la matriz de coeficientes es

diferente de cero, se puede afirmar que el sistema tiene solución única. Entonces se puede

concluir que S genera a R2.

b-) S es linealmente independiente: Planteando el sistema: 2c1 – c2 = 0 y c1 + c2 = 0.

00

3012

2:00

1112

212

1

RRRR

A

La última matriz nos muestra que el sistema es inconsistente, así la única solución es la trivial.

c1 = c2 = 0. Por consiguiente S es linealmente independiente.

Como se han demostrado las dos condiciones, entonces se puede concluir que el conjunto S es

una base de R2.


- 259 -

Ejemplo 29:

Dado el conjunto S = {u1, u2, u3, u4} Donde u1 = (0, 1, 0, 1); u2 = (1, 0, -1, -2); u3 = (0, 2, -

2, 1) y u4 = (2, 1, 0, 1). Demostrar que S es una base de R4.

Solución:

a-) S genera a R4: Sea u = (x1, x2, x3, x4) plantemos la combinación:

c1u1 + c2u2 +c3u3 +c4u4 = (x1, x2, x3, x4). Entonces:

c1(0, 1, 0, 1) + c2(1, 0, -1, -2) + c3 u3(0, 2, -2, 1) + c4(2, 1, 0, 1) = (x1, x2, x3, x4) Esto genera el

sistema que origina la matriz:

121210

2012

121010101

0111020121

1112021120

0

1121021012012010

A

Al resolver los determinantes 0 – 0 + 0 –(-6) = 6.

Como el determinante de coeficientes es diferente de cero, indica que el sistema tiene solución

única, por consiguiente se puede afirmar que S genera R4.

b-) A partir del planteamiento del sistema homogéneo, se obtiene la matriz

aumentada:

0000

0120021020101201

:0000

1121021020101201

:

0000

1121021012012010

414

3

2

1

4

3

212

1

RRRRRR

RR

RRRR

A

0000

6000020020101201

2:0000

4100220020101201

2::

0000

0120021020101201

434

3

2

1

424

323

2

1

RRRRRR

RRRRRR

RR

Como la última matriz nos muestra que el sistema es inconsistente, entonces la única solución es

la trivial. c1 = c2 = c3 = c4 = 0. Por consiguiente los elementos del conjunto S son linealmente

independientes.

Así queda demostrado que S es una base no normal de R4.


- 260 -

Ejemplo 30:

Dado el conjunto de vectores 4x + 2y – 12z = 0. Encontrar una base para dicho conjunto en R3.

Solución:

Sea:

01224 zyxpara

zyx

Definido π como un espacio vectorial.

Expresamos y en función de x y z: y = -2x + 6z. Luego:

zzx

x

zyx

62

Haciendo x = 0 y z = 0, tenemos:

02

1

160

026

062 xzx

x

zz

zzx

x

Por consiguiente: S = {(0, 6, 1), (1, -2, 0)} Es una base del espacio vectorial π.

Unicidad de la Base:

Dentro de los usos de la base de un espacio vectorial, esta el de representar cualquier vector

Vu , lo cual según el siguiente teorema, se muestra que para una base definida, la

representación es única.

Demostración:

Definimos el vector v en V, entonces se puede escribir el vector v como una combinación lineal

v = a1u1 + a2u2 +… + anun Donde u1, u2,…, un están en V. Lo cual es evidente ya que u1,

u2,…, un son la base del espacio vectorial V y cualquier vector en V se puede escribir como

combinación lineal de vectores de S.

La unicidad se puede demostrar asumiendo que v tiene dos formas de representación: La

primera es la definida anteriormente v1 = a1u1 + a2u2 +… + anun y la otra de la siguiente

manera: v2 = b1u1 + b2u2 +… + bnun. Ahora restamos la segunda de la primera combinación:

v2 – v1 = (b1 – a1)u1 + (b2 – a2)u2 + … + (bn – an)un = 0

Debido a que S es linealmente independiente, entonces la única solución es la trivial; es decir,

TEOREMA:

Sea el conjunto S = {u1, u2, … , un}, donde S es una base del espacio

vectorial V, entonces Todo Vector en V puede escribirse como una y solo

una combinación lineal de vectores de S.


- 261 -

b1 – a1 = 0 y así par los demás.

Lo anterior quiere decir que bi = ai para todo i = 1, 2, 3,.., n, por consiguiente v solo tiene una

representación para la base S.

LECCIÓN 37: DIMENSIÓN DE UN ESPACIO VECTORIAL.

Se ha analizado lo referente a conjuntos generadores, independencia lineal y bases de un

espacio vectorial, se sabe que si un espacio vectorial V tiene una base de n vectores, entonces

cualquier otra base tendrá el mismo número de vectores; es decir, n. Dicho de otra manera, un

espacio vectorial tiene muchas bases, pero se ha demostrado que éstas tiene el mismo número

de vectores.

La definición nos muestra que la dimensión de un espacio vectorial, son los elementos que

contiene una base de dicho espacio.

Ejemplo 31:

Determinar la dimensión de los espacios vectoriales definidos por Rn, Pn, Mm,n con sus

operaciones normales.

Solución:

- La dimensión de Rn es n.

- La dimensión de Pn es n + a.

- La dimensión de Mm,n es mn.

Es pertinente aclarar que la dimensión de un espacio vectorial puede ser finita o infinita, el

ejemplo anterior presenta espacios vectoriales de dimensión finita. El espacio vectorial P

conformado por todos los polinomios y el espacio vectorial C(-α, α) conformado por todas las

funciones continuas en los reales, son ejemplos de espacios vectoriales de dimensión infinita.

Así todos los espacios vectoriales de dimensión finita e igual, presentan las mismas propiedades

algebraicas; solo difieren en la naturaleza de sus elementos.

DEFINICIÓN:

Sea un espacio vectorial V no nulo, el cual tiene una base que consta de

n vectores, entonces la dimensión de V será n, denotándolo como dim (V) = n.


- 262 -

Ejemplo 32:

Encontrar la dimensión del espacio vectorial V definido en R2, el cual tiene una base dada por: S

= {(1, -2), (0, 1)}

Solución:

Por definición la dimensión de un espacio vectorial V son los elementos de la base, para nuestro

caso: dim (V) = 2.

LECCIÓN 38: ESPACIO FILA Y ESPACIO COLUMNA.

Para una matriz A de tamaño mxn, las filas de A se pueden ver como un conjunto de m vectores,

de igual manera para las columnas.

Los concepto espacio fila y espacio columna son fundamentales para el análisis del rango de una

matriz.

DEFINICIÓN:

Sea A una matriz de tamaño m x n, entonces:

1. El Espacio Fila de A esta dado por el subespacio Rn generado por

los vectores fila de A.

2. El Espacio Columna de A, esta dado por el subespacio Rm

generado por los vectores columna de A.

TEOREMA:

Si dos matrices son equivalentes por filas, entonces tiene el mismo

espacio fila.

Específicamente: Sea la matriz A de tamaño m x n y, sea la matriz B

de tamaño m x n. Si A es equivalente a B por filas, entonces el espacio

fila de A es igual al espacio fila de B.


- 263 -

Demostración: Se invita a investigar en las fuentes propuestas en la bibliografía, sobre la

demostración de este teorema, es relativamente fácil.

LECCIÓN 39: RANGO Y NULIDAD DE UNA MATRIZ.

RANGO DE UNA MATRIZ: Anteriormente se estudio el espacio fila y espacio columna de una

matriz; además, lo referente a dimensión de un espacio vectorial, todo esto nos permite analizar

el concepto de rango de una matriz.

Esta demostrado que los rangos de fila y columna son iguales para una matriz A, entonces al

nombrar el rango de una matriz, se sabe que estamos refiriéndonos a éstos.

Para una matriz A de tamaño mxn, esta demostrado que ran(A) ≤ min{m, n}

Para determinar el rango de una matriz, solo debemos llevarla a la forma escalonada y observar

las filas diferentes de cero (no nulas) que se obtengan, el número de filas diferentes de cero

será el rango de la matriz.

DEFINICIÓN:

La dimensión del espacio generado por las filas de una matriz A se le

denomina Rango por Fila de A. La dimensión del espacio generado

por las columnas de la matriz A se le denomina Rango por Columna

DEFINICIÓN:

Dada la matriz A de tamaño mxn, el Rango de A, denotado por ran(A)

es el número de filas no nulas de la matriz escalonada. Dicho de otra

manera, el número de pivotes.


- 264 -

Ejemplo 33:

Hallar el rango de la matriz A. Donde

40231201

5432A

Solución:

1400070305432

35705070305432

232

40231201

5432

323

2

1

313

212

1

RRRRR

RRRRRR

R

Como la matriz escalonada tiene tres filas diferentes de cero, entones el ran(A) = 3.

NULIDAD DE UNA MATRIZ: La nulidad v(A) de una matriz esta relacionada con la dimensión

del espacio nulo NA de dicha matriz; es decir, la dimensión del espacio solución del sistema Ax =

0. Si A es transformada por medio de operaciones elementales por fila a una matriz escalonada

reducida por fila digamos H con t filas no nulas, entonces la dimensión del espacio solución de

Ax = 0 es n – t. como t es rango de A, entonces hay una relación entre el rango y la nulidad de

la matriz A.

Es pertinente aclarar entre lo que es el Espacio Nulo y la Nulidad. El espacio nulo NA son los

vectores de la solución del sistema Ax = 0. Mientras que la Nulidad es la dimensión de NA.

Ejemplo 34:

Dada la matriz

00000142001245031021

A Determinar el espacio solución.

TEOREMA:

Sea A una matriz de tamaño mxn, entonces: n = Rango(A) +

Nulidad (A)

Siendo n el número de variables del sistema asociado a la matriz A


- 265 -

Solución:

Como se observan 5 variables (n), ya que hay 5 columnas y el rango es 3 (t), entonces:

Dimensión del espacio solución (N) será: 5 – 3 = 2. (n – t = N)

Ejemplo 35:

Dada la matriz

312624936

A Encontrar el espacio nulo y la nulidad de dicha matriz.

Solución:

Primero reducimos la matriz:

000000312

00

3/1

000000936

332

312624936

313

212

1

RRRRRR

R

Esto nos origina una solución única de la forma: 2x – y + 3z = 0 que corresponde a un plano

que pasa por el origen, por consiguiente corresponde a un espacio vectorial. (Recordemos la

definición de espacio vectorial). Así: π = (x, y, z)’. Si x y z son valores arbitrarios, entonces y =

2x + 3z. Los vectores de π se pueden escribir de la forma.

130

021

30

0232 zx

zzx

x

zzx

x Esto nos indica que v1 = (1, 2, 0)’ y v2 = (0, 3, 1)’

generan a π. Entonces v1 y v2 son una base de π. (v1 y v2 son linealmente independientes)

Después de todo este recorrido podemos decir que el espacio nulo son los vectores:

v1 = (1, 2, 0)’ y v2 = (0, 3, 1)’. Mientras que la nulidad v(A) = 2.

La nulidad nos permite plantear el siguiente teorema.

Demostración:

La demostración esta soportada en las siguientes afirmaciones plenamente demostradas.

TEOREMA: Sea A una matriz de dimensión n x n, entonces A es invertible, si y solo si, la nulidad es cero: v(A) = 0


- 266 -

1. A es invertible

2. La única solución del sistema homogéneo Ax = 0. es la solución trivial.

3. El sistema Ax = b. tiene una solución única para todo vector n-vector b.

4. A es equivalente por filas a la matriz identidad In = n x n.

5. A se puede escribir como producto de matrices elementales.

6. La forma escalonada por filas de A tiene n pivotes.

7. Det(A) ≠ 0.

8. Las filas y columnas de A so linealmente independientes.


- 267 -

CAPITULO 10

SUBESPACIOS VECTORIALES

Introducción.

Dentro de la teoría de espacios vectoriales, están los

subespacios, los cuales se comportan como espacios

vectoriales en sí. Vamos a analizar sus principios, partiendo de los fundamentos estudiados

anteriormente.

LECCIÓN 40: GENERALIDADES.

Todos los espacios vectoriales tienen subconjuntos que también son espacios vectoriales en si,

haciendo una analogía, los subespacios son Espacios Vectoriales Hijos y el Espacio Vectorial de

donde se obtuvieron son el Espacio Vectorial Padre. Entonces los Hijos Heredan las

características del padre, así los subespacios heredan las operaciones del espacio que los origino.

Según la definición anterior, se puede inferir que para que un subconjunto sea subespacio de un

espacio vectorial, se debe cumplir las operaciones de cerradura de suma y producto por escalar,

de igual manera como se definió los espacios vectoriales.

LECCIÓN 41: SUBESPACIO TRIVIAL Y SUBESPACIO PROPIOS.

- El Subespacio Trivial: El subconjunto U = {0} correspondiente al vector cero, se considera

un subespacio de cualquier espacio vectorial V, ya que se cumple la cerradura para suma y

producto por escalar. 0 + 0 = 0 y k0 = 0.

DEFINICIÓN:

Sea el subconjunto U no vacío contenido en un espacio vectorial V,

asumiendo que U es espacio vectorial en si (cumple los 10 axiomas)

Entonces se dice que U es un subespacio de V. Donde U ≤ V

Un Espacio Vectorial, es un Subespacio en si Mismo. V subespacio de V


- 268 -

- Los Subespacios Propios: Todos los subespacios diferentes de {0} y V, se consideran

subespacios propios, a estos es que se les dan la mayor atención en el estudio de los espacios

vectoriales.

Ejemplo 36:

Demostrar que el subconjunto U = {(x, y, 0)} Donde x, y son números reales, es un subespacio

de R3.

Solución:

Sean los vectores: u1 = (x1, y1, 0) y u2 = (x2, y2, 0) pertenecientes a U, entonces: u1 + u2

pertenecen a U, veamos: u1 + u2 = (x1+ x2, y1 + y2, 0 + 0) = (x1+ x2, y1 + y2, 0).

Gráficamente corresponde al plano xy.

De la misma manera para mostrar que cumple la cerradura de multiplicación por escalar,

tenemos: Sea k escalar diferente de cero, entonces ku1 = k(x1, y1, 0) = (kx1, ky1, 0)

Ejemplo 37:

Demostrar que toda Mmxn matriz triangular superior es un subespacio de Vmxn matriz

rectangular.

Solución:

La suma de dos matrices triangules superiores, es otra matriz triangular superior. Así se cumple

la cerradura de la suma.

El producto de un escalar diferente de cero por una matriz triangular superior, origina otra matriz

triangular superior. También cumple la cerradura de producto por escalar.

Como se ha venido demostrando los demás axiomas se cumplen de inmediato.

Ejercicio de razonamiento:

En el grupo colaborativo demostrar que los siguientes conjuntos son subespacios de un espacio

vectorial dado V.

a-) Matrices triangulares inferiores

b-) Matrices diagonales

c-) Matrices simétricas.


- 269 -

LECCIÓN 42: PRUEBA DE SUBESPACIO.

Cuando un subconjunto U es subespacio del espacio vectorial V, se dijo anteriormente que U

heredaba las propiedades de V, lo que no requiere demostrarlas. Esto se soporta en el

siguiente teorema sobre las cerraduras.

Demostración:

Si U es un subespacio de V, entonces U es un espacio vectorial por consiguiente cumple la

cerradura de la suma y multiplicación por escalar. Ahora si planteamos la demostración al

contrario, asumiendo que U es cerrada bajos la suma y producto por escalar. Si u, v, w están

en U, automáticamente están en V.

NOTA: Si U es subespacio del espacio vectorial V, entonces tanto U como V deben tener el

vector cero M = {0}

Ejemplo 38:

Sea U5 el espacio vectorial de todas las funciones definidas sobre [0, 1]. Sean U1, U2, U3, U4

conjuntos definidos de la siguiente manera.

U1: Conjunto de todas las funciones polinomicas.

U2: Conjunto de todas las funciones diferenciables en [0, 1]

U3: Conjunto de todas las funciones continúas en [0, 1]

U4: Conjunto de todas las funciones integrables en [0, 1].

Demostrar que 54321 UUUUU

TEOREMA:

Sea U un subconjunto no vacío de un espacio vectorial V, entonces U

se considera un subespacio de V si, y solo si, se cumplen las

siguientes propiedades de cerradura.

1. Si u y v son vectores que están en U, entonces u + v estará en

V.

2. Si u es vector en U y k un escalar, entonces ku estará en U.


- 270 -

Solución:

Del calculo sabemos que toda función polinomial es diferenciable en [0, 1]. Por consiguiente

21 UU . Como toda función diferencial es continua, entonces 32 UU . Ahora toda función

continua es integrable 43 UU Finalmente toda función integrable por supuesto es función.

Así queda demostrado 54321 UUUUU

------ -------------------------

------ -------------------------

----------------------

Ejemplo tomado de Introducción al Álgebra Lineal: Larson-Edwards. Limusa 2.000

Ejemplo 39:

Sea π = {(x, y, z): ax + by + cz = 0} Para a, b, c números reales. Demostrar que es un

subespacio propio en R3.

Solución:

Primero debemos mostrar que π es un espacio vectorial y luego por la definición anterior se

puede mostrar que π es subespacio vectorial.

Sabemos que π = ax + by + cz = 0 es un plano que pasa por el origen, ahora: Sea (x1, y1, z1) y

(x2, y2, z2) puntos en R3 y sea a, b, c escalares, planteamos la siguiente operación:

(x1, y1, z1) + (x2, y2, z2) = (x1 + x2, y1 + y2, z1 +z2 ) Pertenecen a V.

Ahora: a(x1 + x2) + b(y1 + y2) + c(z1 +z2 ) = (ax1 +by1 + cz1) + (ax2 + by2 + cz2 ) los cuales

también pertenece a V. Así se cumple el axioma 1, los demás se pueden verificar fácilmente. De

esta manera se puede afirmar que π es un subespacio de R3.


- 271 -

LECCIÓN 43: INTERSECCIÓN ENTRE SUBESPACIOS.

En un espacio vectorial puede haber gran cantidad de subespacios propios. La situación es

determinar que sucede cuando dos o más subespacios se interceptan en dicho espacio. El

siguiente teorema nos ayuda a salir de la inquietud.

Demostración:

Los conjuntos V1 y V2 son subespacios de V, como es sabido los dos tienen el vector cero {0}

entonces V1 ∩ V2 es no vacío. Ahora es relativamente fácil demostrar que V1 ∩ V2 es cerrado

para suma y para la multiplicación por escalar.

Como consecuencia de este teorema es que la intersección de dos subespacios, es en sí otro

subespacio. Por otro lado, la unión de dos subespacios, por lo general NO es subespacio.

LECCIÓN 44: DIMENSIÓN DE UN SUBESPACIO.

Si W es un subespacio del espacio vectorial V; cuya dimensión es n. esta demostrado que la

dimensión de W es finita y además es menor o igual a n. dim(W) ≤ dim(V)

Ejemplo 40:

Encontrar la dimensión del subespacio W en R4 generado por S, donde: S = {v1, v2, v3}

v1 = (-5, 4, 9, 2), v2 = (-1, 2, 5, 0), v3 = (3, 0, 1, -2)

Solución:

Por la definición del problema W es generado por S, ahora debemos determinar si S es una base

de W, lo cual se demuestra si el conjunto de vectores de S son linealmente independientes.

000000210315

210210210315

2/16/6/

420321601260315

525954

202159024315

324

323

2

1

4

3

2

1

414

313

212

1

RRRRRR

RR

RRR

R

RRRRRRRRR

R

La última matriz nos muestra que hay soluciones infinitas, entonces S es un conjunto linealmente

dependiente, por ejemplo v1 = 2v2 – v3. Así S No es una base de W. Lo anterior significa que

W es generado por S1 = {v2, v3}. Entonces S1 es linealmente independiente.

TEOREMA:

Sean V1 y V2 dos subespacios del espacio vectorial V, entonces la

intersección V1 ∩ V2 pertenecen también a V.


- 272 -

Después de todo este análisis se puede decir que dim(W) = 2. Una forma sencilla de identificar

la dimensión es contar las filas de la matriz escalonada que sean diferentes de cero, para el caso

que estamos analizando se observa que hay dos filas diferentes de cero (no nulas).

RESUMEN:

Para sintetizar los conceptos que hemos analizado, vamos a exponer las siguientes afirmaciones

que son válidas para una matriz A de tamaño nxn.

a-) A es una matriz no singular

b-) det(A) ≠ 0

c-) El sistema Ax = 0 Solo tiene la solución trivial

d-) El sistema lineal Ax = b, tiene solución única, para cada matriz b de tamaño nx1

e-) La matriz A tiene rango igual a n. ran(A) = n.

f-) La matriz A tiene como nulidad cero. v(A) = 0

g-) Las filas de la matriz A forman un conjunto linealmente independiente de n vectores en Rn

h-) Igual que el caso anterior, pero para las columnas.


- 273 -

ACTIVIDADES DE AUTOEVALUACIÓN DE LA UNIDAD

1. Demostrar que el conjunto (x, y)’ en R2 con y = 4x es una espacio vectorial real.

2. Demostrar que el conjunto (x, y, z)’ en R3, donde 3x – 2y – 10z = 0 es un espacio vectorial

real.

3. Sea el conjunto V = R2 para V = {u1, u2} u1 = (2, 3) y u2 = (6, 9). Determinar una

combinación lineal de u1 y u2, si existe.

4. Dado el conjunto V = R3 para V = {w1, w2} siendo w1 = (2, -1, 4) y w2 = (4, -2, 8).

Identificar dos combinaciones lineales para V si existen.

5. Dado el conjunto S = {u1, u2} donde u1 = (1, 1) y u2 = (-1, 1). Demuestre que S genera a

R2.

6. Demostrar que el conjunto S = {v1, v2, v3} Dado que v1 = (1, 2, 3), v2 = (-1, 2, 3) y v3 = (5,

2, 3), no puede genera la R3.

7. Dado el conjunto V = {v1, v2, v3} definido en R4. Donde v1 = (2, 1, 1, 2), v2 = (0, 1, 2, 2), v3

= (1, 0, 1, 1). Determinar si los vectores de V son linealmente independientes.

8. Sea el conjunto V = {u1, u2, u3} definido en R3. Donde u1 = (4, 2, 1), u2 = (2, 6, -5) y

u3 = (1, -2, 3). Determine si los vectores de V son linealmente independientes, de los contrario,

identificar la combinación lineal correspondiente.

9. Dado el conjunto V = {v1, v2, v3} definido en R4. Donde v1 = (2, 1, 1, 2), v2 = (0, 1, 2, 2), v3

= (1, 0, 1, 1). Determinar si los vectores de V son linealmente independientes.

10. Sea el conjunto V = {u1, u2, u3} definido en R3. Donde u1 = (4, 2, 1), u2 = (2, 6, -5) y

u3 = (1, -2, 3). Determine si los vectores de V son linealmente independientes, de los contrario,

identificar la combinación lineal correspondiente.

11. Dado el espacio vectorial V, determinar la base normal de dicho espacio.

a-) V = R5.

b-) V = M2x3

c-) V = P4.

12. Dado el conjunto S = {u1, u2} donde u1 = (1 – x2) y u2 = (x). Determinar si S es o no una

base de P2.

13. Cual será la dimensión del espacio vectorial V, dado el conjunto definido por

S = {u1, u2} Donde u1 = (1, 0) y u2 = (0, 1)}.

14. Dado el conjunto de elementos {(1, 2, 1), (1, 1, ,1), (1, 0, 1)} que genera algún espacio

vectorial V en R3, calcular la dimensión del espacio dado.

15. Sea el conjunto S = {v1, v2, v3} en el cual S genera algún espacio vectorial V. Donde


- 274 -

v1 = (-2, 1, 2), v2 = (0, 1, -1) y v3 = (2. 1. 0). Hallar la dimensión del espacio dado.

16. Dada la matriz

0000000000421003110212121

A Determinar el rango de dicha matriz.

17. Dada la matriz

312311012

A Hallar el rango de dicha matriz.

18. demostrar que el conjunto de punto que están en la recta 2x + 4y = 0, es un subespacio de

R2.

19. Sea el conjunto N = {Matrices Simétricas Cuadradas N2x2} y sea V el espacio vectorial

conformado por las matrices cuadradas M2x2. Demostrar que N es un subespacio del espacio

vectorial V.

20. Dado el conjunto S = {(x, y, 0)/ x, y Є R}. Sea el espacio vectorial V definido en R3.

Demostrar que S es un subespacio de V.


- 275 -

INFORMACIÓN DE RETORNO

1. Debemos demostrar que el conjunto cumple los 10 axiomas A1,…, A10.

A1: Sea u1 = (x1, y1) donde y1 = 4x y sea u2 = (x2, y2) donde y2 = 3x. Dado que

VuyVu 21 Vamos a mostrar que u1 + u2 también pertenecen a V.

u1 + u2 = (x1, y1) + (x2, y2) = (x1+ x2 , y1 + y2) = (x1 + x2, 4x1 + 4x2) lo cual pertenece a V.

A5: Dado (x, y) Є V, como y = 4x, su inverso es –(x, y) = (-x, -4x) operando:

(x, y) – (x, y) = (x - x, 4x – 4x) = (0, 0)

A6: Sea k un escalar diferente de cero, luego ku = k(x, 4x) = (kx, 4cx) que pertenece a V.

Los demás teoremas se cumplen automáticamente.

2. La ecuación propuesta corresponde a un plano que pasa por le origen de coordenadas,

sabemos que cuando esto ocurre estamos hablando de un espacio vectorial en R3. Veamos:

A1: Sea u1 = 3x – 2y – 10z y u2 = 2x + 4y – z. Debemos mostrar que u1 + u2 pertenecen a V.

u1 + u2 = (3x – 2y – 10z) + (2x + 4y – z) = (3x – 2x, -2y + 4y, -10z – z) = (x, 2y, -11z)

También pertenece a V.

A6. Se a k un escalar diferente de cero, entonces ku = k(3x, -2y, -10z) = (3kx, -2ky, -10kz)

que también pertenece a V.

Los demás axiomas se pueden verificar fácilmente.

3. Planteamos la combinación lineal c1u1 + c2u2 = 0 para c1 y c2 escalares, entonces:

c1(2, 3) + c2(6, 9) = (0, 0) entonces 3(2, 3) – 1(6, 9) = (0, 0). Así c1 = 3 y c2 = 1. Por

consiguiente: -3u1 + u2 = 0 Será la combinación lineal entre los vectores dados.

Haciendo el procedimiento algebraico:

c1 (2, 3) + c2 (6, 9) = (0, 0) entonces: (2c1, 3c2) + (6c1, 9c2) = (0,0)

Luego: (2c1+ 6c2, 3c1 + 9c2) = (0,0). Se obtiene el sistema:

00

0062

2300

9362

212

1

RRRR

Como la última matriz tiene la última fila cero, indica que hay infinitas soluciones. Luego

2c1 + 6c2 = 0. Asumiendo c2 = 1, entonces c1 = -3 Así a partir de c1u1 + c2u2 = 0, se puede

escribir una combinación: de la forma: -3u1 + u2 = 0

4. Por definición: k1w1 + k2w2 = 0 lo que indica: k1(2, -1, 4) + k2(4, -2, 8) = (0, 0, 0)

Operando:

(2k1, -k1, 4k1) + (4k2, -2k2, 8k2) = (0, 0, 0). Se obtiene el sistema:


- 276 -

000

000042

22

000

8421

42

313

212

1

RRRRRR

R

Según la última matriz hay infinitas soluciones, a partir de la última matriz: 2k1+ 4k2 = 0

a-) Asumiendo k2 = 1, entonces k1 = -2, la combinación obtenida será: -2w1 + w2 = 0

b-) Asumiendo k2 = 3, entonces k1 = -6, la combinación obtenida será -6w1 + 3w2 = 0

5. Deben existir k1 y k2 escalares tal que: k1(1, 1) + k2(-1, 1) Lo que genera la matriz:

1111

A Donde Det(A) = 2. Como el determinante es diferente de cero, el sistema tiene

solución única. Por consiguiente S genera a R2

6. Busquemos escalares c1, c2, c3 tal que: c1(1, 2, 3) + c2(-1, 2, 3) + c3(5, 2, 3) = (c1, 2c1, 3c1)

+ (-c2, 2c2, 3c2) + (5c3, 2c3, 3c3) Que genera la matriz.

000840511

231260840511

32

333222511

323

2

1

313

212

1

RRRRR

RRRRRR

RA

Como la última matriz muestra que el sistema tiene infinitas soluciones, entonces S no puede

generar a R3. Además, lo confirma que Det(A) = 0

7. Deben existir escalares c1, c2, c3, tales que c1v1 + c2v2 + c3v3 = 0 Esto genera el sistema:

0000

020140

120102

:2:2:

0000

122121011102

414

313

212

1

RRRRRRRRR

R

La última matriz nos muestra que el sistema es inconsistente, por lo cual la única solución es la

trivial, por lo cual el conjunto de vectores de V son linealmente independientes.

8. Definidos los escalares k1, k2, k3, tal que: k1u1 + k2u2 + k3u3 = 0 Lo cual genera el sistema:

000

0005100124

5:000

1205100124

11/000

112205100124

4:2:

000

351262

124

323

2

1

3

2

1

313

212

1

RRRRR

RRR

RRRRRR

RLa

última matriz nos muestra que el sistema tiene infinitas soluciones. Así los vectores de V son


Ahora identifiquemos una combinación lineal. Para esto planteamos a partir de la última matriz;

específicamente la primera y segunda fila: 4k1 + 2k2 + k3 = 0 y -2k2 + k3 = 0 (Esto se obtuvo

al dividir toda la fila R2 por 5).


- 277 -

Definimos k1 = 1, entonces: 2k2 + k3 = -4. Como tenemos también la ecuación -2k2 + k3 = 0.

Tenemos dos ecuaciones con dos incógnitas, al resolver el sistema: k2 = -1 y k3 = -2. Así una

combinación lineal es de la forma: u1 = u2 + 2u3

9. Deben existir escalares c1, c2, c3, tales que c1v1 + c2v2 + c3v3 = 0 Esto genera el sistema:

0000

020140

120102

:2:2:

0000

122121011102

414

313

212

1

RRRRRRRRR

R

La última matriz nos muestra que el sistema es inconsistente, por lo cual la única solución es la

trivial, por lo cual el conjunto de vectores de V son linealmente independientes.

10. Definidos los escalares k1, k2, k3, tal que: k1u1 + k2u2 + k3u3 = 0 Lo cual genera el

sistema:

000

0005100124

5:000

1205100124

11/000

112205100124

4:2:

000

351262

124

323

2

1

3

2

1

313

212

1

RRRRR

RRR

RRRRRR

RLa

última matriz nos muestra que el sistema tiene infinitas soluciones. Así los vectores de V son


Ahora identifiquemos una combinación lineal. Para esto planteamos a partir de la última matriz;

específicamente la primera y segunda fila: 4k1 + 2k2 + k3 = 0 y -2k2 + k3 = 0 (Esto se obtuvo

al dividir toda la fila R2 por 5).

Definimos k1 = 1, entonces: 2k2 + k3 = -4. Como tenemos también la ecuación -2k2 + k3 = 0.

Tenemos dos ecuaciones con dos incógnitas, al resolver el sistema: k2 = -1 y k3 = -2. Así una

combinación lineal es de la forma: u1 = u2 + 2u3

11. a-) La base normal para R5 es (1, 0, 0, 0, 0); (0, 1, 0, 0, 0); (0, 0, 1, 0, 0); (0, 0, 0, 1, 0);

(0, 0, 0, 0, 1)

b-) La base normal para M2x3 es:

100000

010000

001000

000100

000010

000001

c-) La base normal para P4 es: S = {1, x, x2, x3, x4}

12. Definido V como el espacio vectorial de los polinomios. Sea p(x) = a0 + a1x + a2x2.

Debemos escribir p(x) como combinación lineal de S. Entonces p(x) = a2(1 – x2) + a1(x) + a0(0)

lo que equivale a: p(x) = a2 – a2 x2 + a1x. Se observa que p(x) NO se puede escribir como

combinación lineal, por consiguiente S no genera a V. S no es una base de p2.


- 278 -

13. Por conocimientos previos sabemos que el conjunto S es la base canónica de Ven R2. Esto

significa que u1 y u2 son linealmente independientes y S genera a V. Luego dim(V) = 2.

14. Llamemos al conjunto S, el cual genera a V, ahora debemos determinar si los elementos

son linealmente independientes. Entonces el sistema genera la matriz:

000210111

:2:

111012111

213

212

1

RRRRRR

RS

Esto nos indica que el sistema tiene infinitas soluciones. Por otro lado, como la matriz solo tiene

dos pivotes; es decir, dos filas diferentes de cero, entonces hay dos vectores linealmente

independientes. La base será de dos elementos. Luego dim(V) = 2.

15. Los vectores originan un sistema cuya matriz es de la forma:

800420202

2:210420202

:2:

012111202

323

2

1

313

212

1

RRRRR

RRRRRR

R

La última matriz nos indica que el sistema tiene solución única, ahora como hay tres filas

linealmente independientes, ya que se tiene tres pivotes (-2, 2, 8). Entonces dim(V) = 3.

16. Como la matriz A esta en forma escalonada, se pueden observar los pivotes, entonces se

puede afirmar que ran(A) = 3, ya que hay 3 filas no nulas; es decir, son linealmente

independientes.

17. Para identificar el rango de la matriz A, debemos llevarla a la forma escalonada y observar

las filas no nulas que se obtengan. Veamos:

300610

012

:2:

312311012

313

212

1

RRRRRR

R

Como se observan tres filas no nulas, entones el rango de la matriz A es 3.

18. Lo que debemos demostrar es que el conjunto de puntos cumplen los 10 axiomas, una

forma fácil es recordar que toda recta que pasa por el origen es un espacio vectorial.

Pero hagamos una demostración más formal: Si definimos un valor cualquiera t y despejamos x

de la ecuación, entones cualquier punto de la recta es de la forma (-2t, t)

A1: v1 = (-2t1, t1) y v2 = (-2t2, t2) Entonces: v1 + v2 = (-2t1, t1) + (-2t2, t2) = [-2(t1+ t2), t1+

t2]

Si definimos a t1 + t2 = p, entonces: [-2p, p]. Así queda demostrado el axioma 1.

A5: Sea u = (-2t, t) y sea k escalar diferente de cero, entonces: -2kt, kt, cumple la cerradura

de la multiplicación.


- 279 -

Los demás axiomas son fáciles de demostrar. Así el conjunto es un subespacio de R2.

19. Por el contexto del problema se puede afirmar que N es un subconjunto de V, lo cual es

obvio. Por otro lado N2x2 = Nt2x2

por ser simétrica. Ahora debemos demostrar que N2x2 cumple la

cerradura de la suma, producto y los demás axiomas.

Sea N1 y N2 matrices simétricas de 2x2 pertenecientes a N.

A1: Por simetría N1 = N1t y N2 = N2

t Entonces: (N1 + N2)t = N1t + N2

t Luego

N1t + N2

t = N1 + N2 Donde N1 + N2 pertenecen a N

A6: Sea k un escalar diferente de cero y sea N1 una matriz perteneciente a N, entonces:

kN1 = kN1t Como N1 = N1

t, entonces kN1 pertenece a N.

Como en los casos que hemos analizado, los demás axiomas son fáciles de demostrar.

20. Si se demuestra la cerradura para la suma y producto por escalar, se demuestra que S С V.

A1: Sea v1 = (x1, y1, 0) y v2 = (x2, y2, 0) Donde v1 y v2 Є S, luego definimos la suma de los

dos vectores. v2 + v2 = (x1+ y1, y1 + y2, 0) el cual pertenece a S.

A6: Se a c un escalar diferente de cero y sea v1 = (x1, y1, 0) Є S, entonces cv1 = c(x1, y1, 0) =

(cx1, cy1, 0) Є S.

Los demás axiomas son fáciles de demostrar. (Intentar dichas demostraciones estimados

estudiantes)


- 280 -


- 281 -


- 282 -


- 283 -

FUENTES DOCUMENTALES DE LAS UNIDADES 1 y 2


- 284 -

FUENTES DOCUMENTALES DE LA UNIDAD 3.

DOCUMENTOS ESCRITOS:

GROSSMAN, Stanley. Algebra Lineal. McGraw Hill. México 1.996.

ANTÓN, Howard. Introducción al Algebra Lineal. Limusa. México 2.000.

ROJO, Jesús. Algebra Lineal. McGraw Hill. Madrid 2.001.

LARSON, Edwards. Introducción al Algebra Lineal. Limusa. México 2.000.

GOLUBITSKY, Martín, DELLNITZ, Michael. Algebra Lineal y Ecuaciones Diferenciales.

Thomson-Learning. México 2.001

KOLMAN, Bernard. Algebra Lineal. Prentice Hall. México 1.999.

FRALEIGH, John B, BEAUREGARD, Raymond A. Algebra Lineal. Addison-Wesley. Estados

Unidos 1.989.

LANG, Serge. Introducción al Algebra Lineal. Addison Wesley. Estados Unidos 1.990.

POOLE, David. Algebra Lineal una introducción moderna. Editorial Thomson. Primera Edición

2004.

MERINO, Luís. Algebra Lineal con métodos elementales. Editorial Thomson

DIRECCIONES DE SITIOS WEB:

http://www.matematicas.unal.edu.co/cursos/algebra/

http://docentes.uacj.mx/gtapia/ALgebra/

http://thales.cica.es/rd/Recursos/rd99/ed99-0289-02/ed99-0289-02.html

http://fresno.pntic.mec.es/~jvaamond/

http://mit.ocw.universia.net/18.06/f02/related-resources/matlab.pdf

http://cnx.org/content/m12862/latest/

http://ma1.eii.us.es/miembros/silva/AL/2005-06/Apuntes.pdf

http://www.matematicasbachiller.com/temario/algebra/index.html

http://www.elprisma.com/apuntes/curso.asp?id=9538


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algebra lineal

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